Unul dintre instrumentele puternice pentru studierea problemelor de fizică matematică este metoda transformărilor integrale. Fie definită funcția f(x) pe intervalul (a, 6), finit sau infinit. Transformarea integrală a funcției f (x) este funcția în care K (x, w) este o funcție fixă ​​pentru o transformare dată, numită nucleu de transformare (se presupune că integrala (*) există în sensul său propriu sau impropriu ). §unu. Integrală Fourier Orice funcție f(x), care pe segmentul [-f, I] satisface condițiile de expansiune într-o serie Fourier, poate fi reprezentată pe acest segment printr-o serie trigonometrică. : Transformată Fourier Integrală Fourier Forma integrală complexă Transformată Fourier Transformări cosinus și sinus Spectre de amplitudine și fază Proprietăți de aplicare Seria din partea dreaptă a ecuației (1) poate fi scrisă într-o formă diferită. În acest scop, introducem în el din formulele (2) valorile coeficienților a» și op, subsumând integralele cos ^ x și sin x (ceea ce este posibil, deoarece variabila de integrare este m) O) și folosind formula pentru cosinusul diferenței. Vom avea Dacă funcția /(x) a fost definită inițial pe intervalul axei numerice mai mare decât intervalul [-1,1] (de exemplu, pe întreaga axă), atunci extinderea (3) va reproduce valorile ​​a acestei funcții numai pe intervalul [-1, 1] și continuă pe toată axa reală ca funcție periodică cu o perioadă de 21 (Fig. 1). Prin urmare, dacă funcția f(x) (în general vorbind, neperiodic) este definită pe întreaga axă reală, în formula (3) se poate încerca să treacă la limită ca I + oo. În acest caz, este firesc să fie îndeplinite următoarele condiții: 1. f(x) satisface condițiile de expansiune într-o serie Fourier pe orice segment finit al axei Ox\ 2. funcția f(x) este absolut integrabil pe toată axa reală.(3) tinde spre zero ca I -* + oo. Într-adevăr, să încercăm să stabilim la ce va merge suma din partea dreaptă a lui (3) în limită ca I + oo. Să presupunem că Atunci suma din partea dreaptă a lui (3) va lua forma Datorită convergenței absolute a integralei, această sumă pentru I mare diferă puțin de o expresie care seamănă cu suma integrală pentru funcția lui variabila £ compilată pentru intervalul (0, + oo) de modificare. Prin urmare, este firesc să ne așteptăm ca pentru , suma (5) să treacă la integrala С Pe de altă parte, pentru fix) rezultă din formula (3). ) că obținem și egalitatea Condiția suficientă pentru validitatea formulei (7) se exprimă prin următoarea teoremă. Teorema 1. Dacă funcția f(x) este absolut integrabilă pe toată axa reală și, împreună cu derivata ei, are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel pe orice segment [a, 6], atunci de felul al treilea a funcției /(x), valoarea integralei din partea dreaptă a lui (7) este egală cu formula (7) se numește formula integrală Fourier, iar integrala din partea dreaptă se numește integrală Fourier. Dacă folosim formula pentru ziua cosinusului diferenței, atunci formula (7) poate fi scrisă ca Funcțiile a(t), b(t) sunt analogi ai coeficienților Fourier corespunzători an și bn ai unui 2n-periodic. funcția, dar acestea din urmă sunt definite pentru valorile discrete ale lui n, în timp ce a(0> HO sunt definite pentru valorile continue ale lui G(-oo, +oo). Forma complexă a integralei Fourier Presupunând f(x) pentru a fi absolut integrabilă pe toată axa x, considerăm integrala , evident o funcție impară a Dar atunci Pe de altă parte, integrala este o funcție pară a variabilei, astfel încât, prin urmare, formula integrală Fourier poate fi scrisă după cum urmează : Să înmulțim egalitatea cu unitatea imaginară i și să adăugăm la egalitatea (10) Aceasta este forma complexă a integralei Fourier.Aici, integrarea exterioară peste t este înțeleasă în sensul valorii principale Cauchy: § 2 Transformată Fourier Cosinus și sinus Transformate Fourier Fie func Linia f(x) este netedă pe bucăți pe orice segment finit al axei x și absolut integrabilă pe toată axa. Definiție. Funcția de care, în virtutea formulei lui Euler, vom avea se numește transformată Fourier a funcției f(r) (funcția spectrală). Aceasta este transformarea integrală a funcției / (r) pe intervalul (-oo, + oo) cu un nucleu Folosind formula integrală Fourier, obținem Aceasta este așa-numita transformată Fourier inversă, care dă tranziția de la F (t) la / (x). Uneori transformata Fourier directă este dată astfel: Atunci transformata Fourier inversă este determinată de formula Transformarea Fourier a funcției /(g) este definită și astfel: TRANSFORMA FOURIER Integrala Fourier Forma complexă a integralei transformate Fourier Cosinus și sinus a transformării Amplitudinea și spectrele de fază Proprietăți de aplicare Apoi, la rândul său, În acest caz, poziția factorului ^ este destul de arbitrară: poate introduce fie formula (1"), fie formula (2"). Exemplul 1. Aflați transformata Fourier a funcției -4 Avem Această egalitate admite diferențierea față de £ sub semnul integral (integrala obținută după diferențiere converge uniform atunci când ( aparține oricărui segment finit): integrând pe părți, vom avea obţinem de unde (C este constanta integrării). Fixând £ = 0 în (4), găsim С = F(0). În virtutea (3) avem Se știe că În special, căci) obținem că Să considerăm funcția 4. Pentru spectrele oyu ale funcției F(t), obținem de aici (Fig. 2). Condiția de integrabilitate absolută a funcției f(x) pe întreaga axă reală este foarte strictă. Exclude, de exemplu, astfel de funcții elementare ca f(x) = e1, pentru care transformata Fourier (în forma clasică considerată aici) nu există. Numai acele funcții au o transformată Fourier care tind să ajungă la zero suficient de rapid pentru |x| -+ +oo (ca în exemplele 1 și 2). 2.1. Transformate Fourier cosinus și sinus Folosind formula cosinusului, diferența, rescriem formula integrală Fourier în următoarea formă: Fie f(x) o funcție pară. Atunci, astfel încât din egalitatea (5) avem În cazul imparului f(x), obținem în mod similar Dacă f(x) este dat numai pe (0, -foo), atunci formula (6) se extinde f(x) la întreaga axă Ox într-un mod par, iar formula (7) - impar. (7) Definiție. Funcția se numește transformată Fourier cosinus a funcției f(x). Din (6) rezultă că pentru o funcție pară f(x) Aceasta înseamnă că f(x), la rândul său, este o transformată cosinus pentru Fc(t). Cu alte cuvinte, funcțiile / și Fc sunt transformări cosinus reciproce. Definiție. Funcția se numește transformată Fourier sinus a funcției f(x). Din (7) obținem că pentru o funcție impară f(x), adică, f și Fs sunt transformări sinusoidale reciproce. Exemplul 3 (impuls în unghi drept). Fie f(t) o funcție pară definită după cum urmează: (Fig. 3). Să folosim rezultatul obținut pentru a calcula integrala În virtutea formulei (9), avem Fig.3 0 0 În punctul t = 0, funcția f(t) este continuă și egală cu unu. Prin urmare, din (12") obținem 2.2. Spectrele de amplitudine și fază ale integralei Fourier Fie extinsă funcția f(x) periodică cu perioada 2m într-o serie Fourier. Această egalitate poate fi scrisă în forma în care ajungem la conceptele a spectrelor de amplitudine și fază ale unei funcții periodice Pentru o funcție neperiodică f(x) dată pe (-oo, +oo), în anumite condiții, se dovedește a fi posibil să o reprezinte prin integrala Fourier, care se extinde această funcție pe toate frecvențele (extinderea în spectrul de frecvență continuu Definiție Funcția spectrală, sau densitatea spectrală a integralei Fourier, este o expresie (transformata Fourier directă a funcției f se numește spectru de amplitudine, iar funcția Ф ") \u003d -argSfc) este spectrul de fază al funcției / ("). Spectrul de amplitudine A(t) servește ca măsură a contribuției frecvenței t la funcția /(x). Exemplul 4. Aflați spectrele de amplitudine și fază ale funcției 4 Aflați funcția spectrală De aici Graficele acestor funcții sunt prezentate în fig. 4. §3. Proprietăţile transformatei Fourier 1. Linearitate. Dacă și G(0 sunt transformările Fourier ale funcțiilor f(x) și respectiv q(x), atunci pentru orice constantă a și p transformata Fourier a funcției a f(x) + p g(x) va fi funcția a Folosind proprietatea de liniaritate a integralei, avem Astfel, transformata Fourier este un operator liniar.Notând-o vom scrie.Dacă F(t) este transformata Fourier a unei funcții f(x) absolut integrabilă pe întregul real axa, atunci F(t) este mărginită pentru toate. Fie funcția f(x) absolut integrabilă pe întreaga axă - transformata Fourier a funcției f (x). Atunci 3 "flts J. Fie f (x) o funcție, a cărei toleranță este transformata Fourier, L este numărul de proprietăți.Funcția fh ​​(x) \u003d f (z-h) se numește deplasarea funcției f(x).Folosind definiția transformării Fourier , arătați că Problemă. Fie că o funcție f(z) are o transformată Fourier F(0> h este un număr real. Arătați că 3. Transformată Fourier și oereză de diferențiere. Fie o funcție absolut integrabilă f (x) are o derivată f " (x), care este, de asemenea, absolut integrabil pe întreaga axă Oh, deci /(n) tinde spre zero ca |x| -» +oo. Presupunând că f „(x) este o funcție netedă, scriem Integrarea prin părți, avem termenul în afara integralei dispare (deoarece, și obținem Astfel, diferențierea funcției / (x) corespunde înmulțirii lui Fourier. imagine ^ P /] prin factor Dacă funcția f (x) are derivate netede absolut intetable până la ordinul m inclusiv și toate acestea, ca și funcția f(x) însăși, tind spre zero și apoi, integrându-se pe părți de numărul necesar de ori, obținem transformata Fourier este foarte utilă tocmai pentru că înlocuiește operația de diferențiere cu operația de înmulțire cu o valoare și, prin urmare, simplifică problema integrării anumitor tipuri de ecuații diferențiale. Deoarece transformata Fourier a unei funcția absolut integrabilă f^k\x) este o funcție mărginită a (proprietatea 2), din relația (2) se obține următoarea estimare pentru: Transformată Fourier Integrală Fourier Forma integrală complexă Transformată Fourier Transformate cosinus și sinus Spectre de amplitudine și fază Proprietăți de aplicare Din această evaluare cu urmează: cu cât funcția f(x) are derivate absolut integrabile, cu atât transformata sa Fourier tinde mai rapid la zero la. Cometariu. Condiția este destul de firească, deoarece teoria obișnuită a integralelor Fourier se ocupă de procese care, într-un sens sau altul, au început și sfârșit, dar nu continuă la infinit cu aproximativ aceeași intensitate. 4. Relația dintre rata de dezintegrare a funcției f(x) pentru |z| -» -f oo și netezimea transformării sale Fourm. Să presupunem că nu numai /(x), ci și produsul său xf(x) este o funcție absolut integrabilă pe toată axa x. Atunci transformata Fourier) va fi o funcție diferențiabilă. Într-adevăr, diferențierea formală față de parametrul £ al integrandului conduce la o integrală care este absolut și uniform convergentă față de parametru. Dacă, împreună cu funcția f(x), funcțiile sunt absolut integrabile pe toată axa Ox, atunci procesul de diferențiere poate fi continuat. Obținem că funcția are derivate de până la ordinul m inclusiv, și Astfel, cu cât funcția f(x) scade mai repede, cu atât funcția se dovedește mai netedă Teorema 2 (despre burghiu). Fie transformatele Fourier ale funcțiilor /,(x), respectiv f2(x). Apoi integrala dublă din partea dreaptă converge absolut. Să punem x. Atunci vom avea sau, schimbând ordinea integrării, Funcția se numește convoluția funcțiilor și se notează cu simbolul Formula (1) poate fi acum scrisă astfel: De aici este clar că transformata Fourier a convoluției lui funcțiile f \ produsul transformelor Fourier ale funcțiilor pliabile, Observație. Este uşor de stabilit următoarele proprietăţi ale convoluţiei: 1) liniaritatea: 2) comutativitatea: §4. Aplicații ale transformării Fourier 1. Fie Р(^) un operator diferențial liniar de ordinul m cu coeficienți constanți.y(x) are o transformată Fourier y (O. iar funcția f(x) are o transformată /(t) Aplicând transformata Fourier la ecuația (1), obținem în loc de o ecuație algebrică diferențială pe axa de unde, astfel încât în ​​mod formal unde simbolul denotă transformarea Fourier inversă Principala limitare a aplicabilității acestei metode este legată de următoarele fapt: Soluția unei ecuații diferențiale obișnuite cu coeficienți constanți conține funcții de forma< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Cred că toată lumea este în general conștientă de existența unui instrument matematic atât de minunat precum transformata Fourier. Cu toate acestea, în universități, din anumite motive, este predat atât de prost încât relativ puțini oameni înțeleg cum funcționează această transformare și cum ar trebui utilizată corect. Între timp, matematica acestei transformări este surprinzător de frumoasă, simplă și elegantă. Îi invit pe toată lumea să învețe puțin mai multe despre transformarea Fourier și despre subiectul aferent modului în care semnalele analogice pot fi convertite eficient în cele digitale pentru procesarea computațională.

Fără a folosi formule complexe și matlab, voi încerca să răspund la următoarele întrebări:

• FT, DTF, DTFT - care sunt diferențele și cum formulele aparent complet diferite dau rezultate atât de similare din punct de vedere conceptual?
• Cum se interpretează corect rezultatele Transformării Fourier rapide (FFT).
• Ce trebuie făcut dacă este dat un semnal de 179 de eșantioane și FFT necesită o secvență de lungime egală cu puterea a două ca intrare
• De ce, atunci când încercați să obțineți spectrul unei sinusoide folosind Fourier, în loc de un singur „stick” așteptat, pe grafic iese o mârâială ciudată și ce se poate face în acest sens
• De ce filtrele analogice sunt plasate înaintea ADC și după DAC
• Este posibil să se digitalizeze un semnal ADC cu o frecvență mai mare de jumătate din rata de eșantionare (răspunsul școlar este incorect, răspunsul corect este posibil)
• Cum secvența digitală restabilește semnalul original

Voi pleca de la ipoteza că cititorul înțelege ce este o integrală, un număr complex (precum modulul și argumentul său), convoluția de funcții, plus cel puțin „pe degete” își imaginează ce este funcția delta Dirac. Nu știu - nu contează, citiți linkurile de mai sus. Prin „produs al funcțiilor” în acest text, voi înțelege întotdeauna „înmulțire punctual”

Probabil ar trebui să începem cu faptul că transformarea Fourier obișnuită este un fel de lucru care, după cum ați putea ghici din nume, transformă o funcție în alta, adică atribuie fiecărei funcție a unei variabile reale x (t) spectrul său. sau imagine Fourier y (w):

Dacă dăm analogii, atunci un exemplu de transformare similară în sens poate fi, de exemplu, diferențierea, care transformă o funcție în derivata ei. Adică, transformata Fourier este, de fapt, aceeași operație ca și luarea derivatei și este adesea notă într-un mod similar, desenând un „cap” triunghiular peste funcție. Spre deosebire de diferențiere, care poate fi definită și pentru numere reale, transformata Fourier „funcționează” întotdeauna cu numere complexe mai generale. Din această cauză, problemele apar în mod constant la afișarea rezultatelor acestei transformări, deoarece numerele complexe sunt determinate nu de una, ci de două coordonate pe un grafic care operează cu numere reale. Cea mai convenabilă modalitate, de regulă, este de a reprezenta numerele complexe ca modul și argument și de a le trasa separat ca două grafice separate:

Graficul argumentului unei valori complexe este adesea denumit în acest caz „spectrul de fază”, iar graficul modulului este adesea numit „spectrul de amplitudine”. Spectrul de amplitudine, de regulă, prezintă un interes mult mai mare și, prin urmare, partea de „fază” a spectrului este adesea omisă. În acest articol, ne vom concentra și asupra lucrurilor de „amplitudine”, dar nu ar trebui să uităm de existența părții de fază lipsă a graficului. În plus, în loc de modulul obișnuit al unei valori complexe, este adesea desenat logaritmul său înmulțit cu 10. Rezultatul este o diagramă logaritmică, valorile pe care sunt afișate în decibeli (dB).

Vă rugăm să rețineți că numerele nu foarte puternic negative ale graficului logaritmic (-20 dB sau mai puțin) în acest caz corespund unor numere aproape zero pe graficul „normal”. Prin urmare, „cozile” lungi și largi ale diferitelor spectre pe astfel de grafice, atunci când sunt afișate în coordonate „obișnuite”, de regulă, practic dispar. Comoditatea unei astfel de reprezentări aparent ciudate rezultă din faptul că transformatele Fourier ale diferitelor funcții trebuie adesea să fie multiplicate între ele. Cu o astfel de multiplicare punctuală a imaginilor Fourier cu valori complexe, spectrele lor de fază sunt adăugate și spectrele de amplitudine sunt multiplicate. Primul este ușor de făcut, în timp ce al doilea este relativ dificil. Cu toate acestea, logaritmii amplitudinii sunt adăugați la înmulțirea amplitudinilor, astfel încât graficele de amplitudine logaritmică pot fi adăugate pur și simplu punct cu punct, ca și graficele de fază. În plus, în problemele practice este adesea mai convenabil să se opereze nu cu „amplitudinea” semnalului, ci cu „puterea” acestuia (pătratul amplitudinii). Pe scara logaritmică, ambele grafice (atât amplitudinea, cât și puterea) arată identice și diferă doar în coeficient - toate valorile de pe graficul de putere sunt exact de două ori mai mari decât pe scara de amplitudine. În consecință, pentru a reprezenta un grafic distribuția de frecvență a puterii (în decibeli), nu puteți pătra nimic, ci calculați logaritmul zecimal și înmulțiți-l cu 20.

Ești plictisit? Stai, doar puțin, cu partea plictisitoare a articolului care explică cum să interpretezi diagramele, vom termina în curând :). Dar înainte de asta, un lucru foarte important de înțeles este că, în timp ce toate diagramele spectrului de mai sus au fost desenate pentru anumite game limitate de valori (în special, numere pozitive), toate aceste diagrame continuă de fapt în plus și minus infinit. Graficele arată pur și simplu o parte dintre „cea mai semnificativă” parte a complotului, care este de obicei oglindită pentru valorile negative ale parametrului și adesea se repetă periodic în trepte atunci când sunt vizualizate la o scară mai mare.

După ce am decis ce este desenat pe grafice, să revenim la transformarea Fourier în sine și la proprietățile sale. Există mai multe moduri diferite de a defini această transformare, care diferă în mici detalii (diferite normalizări). De exemplu, în universitățile noastre, din anumite motive, se folosesc adesea normalizarea transformării Fourier care determină spectrul în termeni de frecvență unghiulară (radiani pe secundă). Voi folosi o formulare occidentală mai convenabilă care definește spectrul în termeni de frecvență obișnuită (hertz). Transformările Fourier directe și inverse în acest caz sunt definite de formulele din stânga, iar unele dintre proprietățile acestei transformări de care avem nevoie sunt o listă de șapte elemente din dreapta:

Prima dintre aceste proprietăți este liniaritatea. Dacă luăm o combinație liniară de funcții, atunci transformata Fourier a acestei combinații va fi aceeași combinație liniară a imaginilor Fourier ale acestor funcții. Această proprietate permite reducerea funcțiilor complexe și transformările Fourier ale acestora la altele mai simple. De exemplu, transformata Fourier a unei funcții sinusoidale cu frecvența f și amplitudinea a este o combinație a două funcții delta situate în punctele f și -f și cu coeficientul a/2:

Dacă luăm o funcție constând din suma unui set de sinusoide cu frecvențe diferite, atunci, conform proprietății de liniaritate, transformata Fourier a acestei funcții va consta din setul corespunzător de funcții delta. Acest lucru ne permite să oferim o interpretare naivă, dar vizuală a spectrului conform principiului „dacă în spectrul unei funcții frecvența f corespunde amplitudinii a, atunci funcția inițială poate fi reprezentată ca o sumă de sinusoide, dintre care una va fie o sinusoidă cu frecvența f și amplitudinea 2a”. Strict vorbind, această interpretare este incorectă, deoarece funcția delta și punctul de pe grafic sunt lucruri complet diferite, dar după cum vom vedea în continuare, pentru transformatele Fourier discrete, nu va fi atât de departe de adevăr.

A doua proprietate a transformatei Fourier este independența spectrului de amplitudine față de deplasarea în timp a semnalului. Dacă mutăm funcția la stânga sau la dreapta de-a lungul axei x, atunci doar spectrul de fază se va schimba.

A treia proprietate - întinderea (comprimarea) a funcției originale de-a lungul axei timpului (x) comprimă (întinde) în mod proporțional transformata sa Fourier de-a lungul scării de frecvență (w). În special, spectrul unui semnal de durată finită este întotdeauna infinit de larg și invers, spectrul de lățime finită corespunde întotdeauna unui semnal de durată nelimitată.

A patra și a cincea proprietăți sunt poate cele mai utile dintre toate. Ele fac posibilă reducerea convoluției funcțiilor la înmulțirea punctuală a transformărilor lor Fourier și viceversa - multiplicarea punctuală a funcțiilor la convoluția transformelor lor Fourier. Puțin mai departe voi arăta cât de convenabil este.

A șasea proprietate vorbește despre simetria imaginilor Fourier. În special, rezultă din această proprietate că, în transformarea Fourier a unei funcții cu valoare reală (adică orice semnal „real”) spectrul de amplitudine este întotdeauna o funcție pară, iar spectrul de fază (dacă este redus la intervalul -pi.. .pi) este impar . Din acest motiv, partea negativă a spectrului nu este aproape niciodată desenată pe graficele spectrului - pentru semnalele cu valoare reală, nu oferă nicio informație nouă (dar, repet, nici nu este zero).

În cele din urmă, ultima, a șaptea proprietate, spune că transformata Fourier păstrează „energia” semnalului. Are sens numai pentru semnalele cu durată finită, a căror energie este finită, și spune că spectrul unor astfel de semnale la infinit se apropie rapid de zero. Tocmai din cauza acestei proprietăți, de regulă, numai partea „principală” a semnalului este reprezentată pe graficele spectrului, care poartă partea leului de energie - restul graficului tinde pur și simplu spre zero (dar, din nou , nu este zero).

Înarmați cu aceste 7 proprietăți, să aruncăm o privire asupra matematicii „digitizării” unui semnal pentru a traduce un semnal continuu într-o secvență de cifre. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm o funcție cunoscută sub numele de „pieptene Dirac”:

Un pieptene Dirac este pur și simplu o secvență periodică de funcții delta unității, începând de la zero și continuând cu pasul T. Pentru a digitiza semnalele, T este ales cât mai mic posibil, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

În locul unei funcții continue, după o astfel de înmulțire, se obține o succesiune de impulsuri delta de o anumită înălțime. În acest caz, conform proprietății 5 a transformării Fourier, spectrul semnalului discret rezultat este convoluția spectrului original cu pieptene Dirac corespunzător. Este ușor de înțeles că, pe baza proprietăților convoluției, spectrul semnalului inițial este, așa cum spunea, „copiat” de un număr infinit de ori de-a lungul axei frecvenței cu un pas de 1/T și apoi rezumat .

Rețineți că, dacă spectrul original avea o lățime finită și am folosit o rată de eșantionare suficient de mare, atunci copiile spectrului original nu se vor suprapune și, prin urmare, nu vor fi adăugate unele la altele. Este ușor de înțeles că va fi ușor să restabiliți spectrul original dintr-un astfel de spectru „pliat” - va fi suficient doar să luați componenta spectrului în regiunea zero, „tăiând” copiile suplimentare care merg catre infinit. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să multiplicați spectrul cu o funcție dreptunghiulară egală cu T în intervalul -1/2T...1/2T și zero în afara acestui interval. O transformată Fourier similară corespunde funcției sinc (Tx) și conform proprietății 4, o astfel de înmulțire este echivalentă cu convoluția secvenței inițiale de funcții delta cu funcția sinc(Tx)

Adică, folosind transformata Fourier, am obținut o modalitate de a restabili cu ușurință semnalul original de la unul eșantionat în timp, lucrând cu condiția să folosim o frecvență de eșantionare care este de cel puțin două ori (datorită prezenței frecvențelor negative în spectru) mai mare decât frecvența maximă prezentă în semnalul original. Acest rezultat este cunoscut pe scară largă și se numește teorema Kotelnikov / Shannon-Nyquist. Totuși, așa cum este ușor de văzut acum (înțelegând dovada), acest rezultat, contrar unei concepții greșite larg răspândite, determină suficient, dar nu necesar condiție pentru restabilirea semnalului inițial. Tot ce avem nevoie este să ne asigurăm că partea din spectrul care ne interesează după eșantionarea semnalului nu se suprapune una pe cealaltă și dacă semnalul are o bandă suficient de îngustă (are o „lățime” mică a părții non-zero a spectru), atunci acest rezultat poate fi adesea atins chiar și la o rată de eșantionare mult mai mică decât de două ori frecvența maximă a semnalului. Această tehnică se numește „subsampling” (subsampling, bandpass sampling) și este destul de utilizată în procesarea tuturor tipurilor de semnale radio. De exemplu, dacă luăm un radio FM care funcționează în banda de frecvență de la 88 la 108 MHz, atunci pentru a-l digitiza, putem folosi un ADC cu o frecvență de doar 43,5 MHz în locul celor 216 MHz presupuși de teorema Kotelnikov. În acest caz, totuși, aveți nevoie de un ADC de înaltă calitate și de un filtru bun.

Observ că „duplicarea” frecvențelor înalte cu frecvențe de ordine inferioară (aliasing) este o proprietate directă a eșantionării semnalului, „alterând” ireversibil rezultatul. Prin urmare, dacă semnalul, în principiu, poate conține frecvențe de ordin înalt (adică aproape întotdeauna), în fața ADC-ului este plasat un filtru analogic, care „oprește” tot ceea ce este de prisos direct în semnalul original (deoarece va fi prea târziu pentru a face acest lucru după prelevare). Caracteristicile acestor filtre, ca dispozitive analogice, nu sunt ideale, așa că există încă unele „deteriorări” ale semnalului și, în practică, rezultă că cele mai înalte frecvențe din spectru sunt de obicei nesigure. Pentru a reduce această problemă, nu este neobișnuit să eșantionați semnalul la o rată supraeșantionată, în timp ce setați filtrul de intrare analogic la o lățime de bandă mai mică și utilizând doar partea inferioară a gamei de frecvență disponibile teoretic a ADC.

O altă concepție greșită comună, apropo, este atunci când semnalul de la ieșirea DAC-ului este tras în „pași”. „Pașii” corespund convoluției secvenței eșantionate de semnale cu o funcție dreptunghiulară de lățime T și înălțime 1:

Cu o astfel de transformare, spectrul semnalului este înmulțit cu transformata Fourier a acestei funcții dreptunghiulare, iar pentru o funcție dreptunghiulară similară este din nou sinc(w), „întins” cu cât este mai puternic, cu atât lățimea dreptunghiului corespunzător este mai mică. Spectrul semnalului eșantionat cu un „DAC” similar este înmulțit punctual cu acest spectru. În acest caz, frecvențele înalte inutile cu „copii suplimentare” ale spectrului nu sunt complet întrerupte, iar partea superioară a părții „utile” a spectrului, dimpotrivă, este slăbită.

În practică, desigur, nimeni nu face asta. Există multe abordări diferite pentru construirea unui DAC, dar chiar și în cele mai similare DAC-uri de tip ponderare, dimpotrivă, impulsurile dreptunghiulare din DAC sunt alese cât mai scurte posibil (apropiindu-se de o secvență reală de funcții delta) pentru a evita suprimarea inutilă. a părţii utile a spectrului. Frecvențele „extra” din semnalul de bandă largă rezultat sunt aproape întotdeauna atenuate prin trecerea semnalului printr-un filtru analog trece-jos, astfel încât să nu existe „pași digitali” nici „în interiorul” convertorului, fie, mai mult, la ieșirea acestuia.

Cu toate acestea, să revenim la transformarea Fourier. Transformarea Fourier descrisă mai sus aplicată unei secvențe de semnale pre-eșantionate se numește transformată Fourier în timp discret (DTFT). Spectrul obținut printr-o astfel de transformare este întotdeauna 1/T-periodic, astfel încât spectrul DTFT este complet determinat de valorile sale de pe segment)