Rangul unei matrice este cea mai importantă caracteristică numerică pentru aceasta. Ar trebui definit cu siguranță atunci când vă confruntați cu sarcina de a verifica compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare. Adică, conceptul de rang înseamnă toate rândurile și coloanele liniar independente din matrice. Există diferite metode pentru a determina rangul unei matrice. Cel mai adesea, este calculat prin metoda minoră sau metoda marginilor. Mai puțin folosită este metoda Gauss. Acest calculator online va face lumină asupra tuturor acelor transformări complexe care sunt necesare pentru a calcula rangul unei matrice online. Folosind-o, vă puteți familiariza vizual cu diferitele opțiuni pentru determinarea acestui indicator.

Pentru a găsi online rangul unei matrice, trebuie să efectuați o serie de operații simple. Mai întâi, specificați dimensiunile matricei făcând clic pe pictogramele „+” și „-” din stânga și jos, corespunzătoare numărului de rânduri și coloane. Apoi, introduceți elementele în câmpurile calculatorului și faceți clic pe butonul „Calculați”. Rezultatul final va apărea imediat pe monitor. În doar câteva secunde, veți vedea valoarea rangului matricei și o explicație detaliată a calculului acesteia.

Folosirea unui calculator online are o serie de avantaje: mai bine învățați teoria folosind un exemplu de sarcină, verificați calculele, înțelegeți cu atenție toate modalitățile de a calcula rangul unei matrice.

În acest subiect, vom avea nevoie de concepte precum matrice minoră și limită minoră. La tema "Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice" există o explicație detaliată a acestor concepte.

$$ \left|\begin(array)(cc) -1 & 2 \\ -3 & 0 \end(array) \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$

Deci, există un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, ceea ce implică că $\rang A≥ 2$. Să luăm în considerare minorii de ordinul trei în jurul unui anumit minor de ordinul doi. Cum se compune un minor înglobat? Pentru a face acest lucru, la setul de rânduri și coloane trebuie adăugate încă un rând și încă o coloană la intersecția cărora se află elementele minorului de ordinul doi. Reamintim că elementele minorului de ordinul doi pe care le-am notat sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanele nr. 1, nr. 2. Să adăugăm rândul #3 la rânduri și coloana #3 la coloane. Vom obține un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente (sunt prezentate cu albastru în figură) se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 2 , Numarul 3.

Să aflăm valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul despre:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end(array) \right|=0. $$

Minorul învecinat este zero. Ce spune? Acest lucru sugerează că trebuie să continuăm să găsim minori la graniță. Fie sunt toate egale cu zero (și atunci rangul va fi egal cu 2), fie există cel puțin unul dintre ele care este diferit de zero.

Elementele celui de-al doilea minor marginal se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4. În figura de mai sus, elementele acestui minor sunt afișate cu verde. Să calculăm acest minor folosind aceeași formulă nr. 2 din subiectul despre calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end(array) \right|=0. $$

Și acest minor învecinat este egal cu zero. Nu există alți minori învecinați. Prin urmare, toți minorii învecinați sunt egali cu zero. Ordinea ultimului minor diferit de zero compus este 2. Concluzie: rangul este 2, i.e. $\rang A=2$.

Răspuns: $\rangul A=2$.

Exemplul #2

Găsiți rangul unei matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 5 & ​​7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end(array) \right)$ prin metoda marginilor minore.

Din nou, ca și în exemplul anterior, începem soluția prin alegerea unui minor de ordinul doi care nu este egal cu zero. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanele nr. 1, nr. 2, există elemente ale minorului $\left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(array) \right|$, care este ușor de calculat folosind formula nr. 1 din subiectul despre calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(array) \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$

Acest minor de ordinul doi este egal cu zero, adică. alegerea este greșită. Să luăm un alt minor de ordinul doi. De exemplu, cel ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanele nr. 2, nr. 3:

$$ \left|\begin(array)(cc) 2 & 0 \\ 6 & -2 \end(array) \right|=-4. $$

Deci, un minor de ordinul doi, diferit de zero, există, deci $\rang A≥ 2$. Să desemnăm acest minor ca $M_2$ și vom începe să-l limităm cu minori de ordinul al treilea. De exemplu, să adăugăm rândul #3 și coloana #1 la rândurile și coloanele în care se află elementele $M_2$. Acestea. să găsim un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 3. Pentru aceasta folosim formula nr. 2 din subiectul despre calcularea determinanților ordinului al doilea și al treilea. Nu voi da calcule detaliate, vom scrie doar răspunsul:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end(array) \right|=0. $$

Luați în considerare un minor de ordinul al treilea ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4. Acest minor înconjoară și $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end(array) \right|=0. $$

Și din nou, minorul de ordinul al treilea care înconjoară $M_2$ este egal cu zero. Deci, trecem la un alt minor de ordinul al treilea. Să luăm un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 5. Acest minor înconjoară și $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end(array) \right|=4. $$

Deci, printre minorii de ordinul al treilea care se învecinează cu $M_2$, există un minor diferit de zero, ceea ce implică $\rang A≥ 3$. Să notăm acest minor diferit de zero ca $M_3$. Elementele minorului $M_3$ se află la intersecția rândurilor #1, #2, #3 și coloanele #2, #3, #5. Să înconjurăm minorul $M_3$ cu minori de ordinul al patrulea. Pentru început, să luăm un minor de ordinul al patrulea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 3 , nr. 5. Acest minor înconjoară $M_3$. Valoarea sa este ușor de găsit dacă utilizați, de exemplu, extinderea pe rând sau după coloană:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 și 11 \end(array) \right|=0. $$

În mod similar, având în vedere minorul de ordinul al patrulea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4, nr. 5. , primim:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \end(array) \right|=0.$$

Nu există alți minori la graniță pentru minorul $M_3$. Toți minorii de ordinul al patrulea din jurul $M_3$ sunt egali cu zero. Ultimul minor non-zero, i.e. $M_3$, a fost de ordinul al treilea. Concluzie: rangul este 3, i.e. $\rangul A=3$.

Răspuns: $\rangul A=3$.

Exemplul #3

Găsiți rangul unei matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end(array) \right)$ prin metoda minorilor învecinați.

Din nou, începem soluția prin alegerea unui minor de ordinul doi care nu este egal cu zero. De exemplu, la intersecția rândurilor #1, #2 și coloanelor #1, #2 există elemente ale minorului $\left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end (matrice) \right| $, pe care o calculăm folosind formula nr. 1 din subiectul despre calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end(array) \right|=2. $$

Acest minor (să-l notăm $M_2$) nu este egal cu zero, prin urmare, îl vom limita cu minori de ordinul trei. De exemplu, să adăugăm rândul #3 și coloana #3 la rândurile și coloanele în care se află elementele $M_2$. Acestea. găsim un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 3. Pentru aceasta folosim formula nr. 2 din subiectul despre calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end(array) \right|=0. $$

Acest minor este egal cu zero, așa că trebuie să treceți la un alt minor învecinat. Fie toți minorii de ordinul trei din jurul $M_2$ sunt egali cu zero, fie există încă cel puțin unul dintre ei care este diferit de zero.

Luați în considerare un minor de ordinul al treilea ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4. Acest minor înconjoară și $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end(array) \right|=22. $$

Deci, printre minorii de ordinul al treilea, care mărginesc $M_2$, există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al patrulea, deoarece necesită 4 rânduri, iar în matricea $A$ sunt doar 3 rânduri. Prin urmare, deoarece ultimul minor diferit de zero era de ordinul al treilea, rangul este 3, adică. $\rangul A=3$.

Răspuns: $\rangul A=3$.

Pentru a calcula rangul unei matrice, puteți aplica metoda minorilor marginalizați sau metoda Gauss. Luați în considerare metoda Gauss sau metoda transformărilor elementare.

Rangul unei matrice este ordinea maximă a minorilor ei, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Rangul unui sistem de rânduri (coloane) este numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale acestui sistem.

Algoritmul pentru găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor:

1. Minor M ordinea nu este zero.
2. Dacă franjuri minori pentru minor M (k+1)-lea ordine, este imposibil de compus (adică matricea conține k linii sau k coloane), atunci rangul matricei este k. Dacă există minori învecinați și sunt toți zero, atunci rangul este k. Dacă printre minorii învecinați există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci încercăm să compunem un nou minor k+2 etc.

Să analizăm algoritmul mai detaliat. În primul rând, luați în considerare minorii de ordinul întâi (elementele matricei) ale matricei A. Dacă toate sunt zero, atunci rangA = 0. Dacă există minori de ordinul întâi (elementele matricei) care nu sunt egale cu zero M1 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 1.

M1. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul doi. Dacă toți minorii se învecinează cu minorul M1 atunci sunt egale cu zero rangA = 1. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero M2 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 2.

Verificați dacă există minori învecinați pentru minor M2. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul trei. Dacă toți minorii se învecinează cu minorul M2 atunci sunt egale cu zero rangA = 2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero M3 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 3.

Verificați dacă există minori învecinați pentru minor M3. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul al patrulea. Dacă toți minorii se învecinează cu minorul M3 atunci sunt egale cu zero rangA = 3. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al patrulea care nu este egal cu zero M4 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 4.

Verificarea dacă există un minor învecinat pentru un minor M4, si asa mai departe. Algoritmul se oprește dacă la un moment dat minorii învecinați sunt egali cu zero sau nu poate fi obținut minorul învecinat (nu există rânduri sau coloane în matrice). Ordinea unui minor non-zero, pe care am reușit să-l compunem, va fi rangul matricei.

Exemplu

Să luăm în considerare această metodă cu un exemplu. Având în vedere o matrice 4x5:

Această matrice nu poate avea un rang mai mare de 4. De asemenea, această matrice are elemente diferite de zero (un minor de ordinul întâi), ceea ce înseamnă că rangul matricei este ≥ 1.

Să facem un minor al 2-lea Ordin. Să începem de la colț.

Deoarece determinantul este egal cu zero, compunem un alt minor.

Găsiți determinantul acestui minor.

Stabiliți că minorul dat este -2 . Deci rangul matricei ≥ 2 .

Dacă acest minor ar fi egal cu 0, atunci s-ar adăuga alți minori. Până la final, toți minorii ar fi fost întocmiți în rândurile 1 și 2. Apoi pe rândurile 1 și 3, pe rândurile 2 și 3, pe rândurile 2 și 4, până când găsesc un minor care nu este egal cu 0, de exemplu:

Dacă toți minorii de ordinul doi sunt 0, atunci rangul matricei ar fi 1. Soluția ar putea fi oprită.

al 3-lea Ordin.

Minorul s-a dovedit a nu fi zero. înseamnă rangul matricei ≥ 3 .

Dacă acest minor ar fi zero, atunci ar trebui să se compună alți minori. De exemplu:

Dacă toți minorii de ordinul trei sunt 0, atunci rangul matricei ar fi 2. Soluția ar putea fi oprită.

Continuăm să căutăm rangul unei matrice. Să facem un minor al 4-lea Ordin.

Să găsim determinantul acestui minor.

Determinantul minorului s-a dovedit a fi egal 0 . Să construim un alt minor.

Să găsim determinantul acestui minor.

Minorul s-a dovedit a fi egal 0 .

Construiește un minor al 5-lea ordinea nu va funcționa, nu există niciun rând în această matrice pentru aceasta. Ultimul minor non-zero a fost al 3-lea ordine, deci rangul matricei este 3 .

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea compatibilității unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol, vom oferi conceptul de rang al unei matrice și vom lua în considerare metodele de găsire a acesteia. Pentru o mai bună asimilare a materialului, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, trebuie să înțelegeți bine conceptul de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Așa că recomandăm, dacă este necesar, să reamintim teoria articolului, metode de găsire a determinantului matriceal, proprietăți ale determinantului.

Luați o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine k-a minoră matricea A este determinantul matricei pătrate de ordin, compusă din elementele matricei A, care se află în k rânduri și k coloane preselectate, iar locația elementelor matricei A este păstrată.

Cu alte cuvinte, dacă ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane din matricea A și formăm o matrice din elementele rămase, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate este ​un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am alcătuit determinantul din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul întâi
și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere, avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi format și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
și .

Minorii de ordinul trei ai matricei A pot fi găsite în mod similar. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane pentru aceste rânduri, atunci obținem un minor de ordinul trei

Poate fi construit și prin ștergerea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată un desen care arată construcția acestor minori de ordinul trei
și .

Pentru o matrice dată A, nu există minore de ordin mai mari decât a treia, deoarece .

Câte minore de ordin k ale matricei A de ordin există?

Numărul de ordine k minori poate fi calculat ca , unde și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p pe n?

Avem nevoie de un set de numere de rând matrice și un set de numere de coloane. Înregistrând totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A la construirea unui minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând, adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente prin k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorele de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de numere de coloană 3 cu 2 sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Luați primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană pentru aceste rânduri, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană, obținem, respectiv, minorele

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, se găsesc toți cei nouă minori de ordinul doi al matricei A.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al matricei minore diferite de zero.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . De asemenea, puteți vedea denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului unei matrice și ale minorului unei matrice, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule este cel puțin unul.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare minoră. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Descrie pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin metoda enumerarii minorilor.

Dacă există cel puțin un element de matrice care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, repetăm ​​minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi diferit de zero, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei diferit de zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul unei matrice nu poate depăși cel mai mic dintre p și n.

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea. Toti lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor.

Există și alte metode pentru a găsi rangul unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

Una dintre aceste metode este metoda de franjuri minore.

Să ne ocupăm de noţiunea de minor învecinat.

Se spune că minorul M ok de ordinul (k+1) al matricei A îl înconjoară pe minorul M de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginit M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul doi. Să notăm toți minorii la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k + 1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice, nu este necesar să enumerați toți minorii care se învecinează suficient. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A de ordin se găsește prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore de ordinul al matricei A . Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor. Descrie pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci luăm orice element al matricei A care este diferit de zero ca un minor de ordinul întâi. Considerăm minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este egală cu doi), atunci trecem la luarea în considerare a minorilor săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2 . Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este egală cu trei), atunci luăm în considerare minorii învecinați. Si asa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există o valoare diferită de zero. minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să analizăm metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice prin metoda minorilor limitrofe.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor la graniță, altul decât zero:

Se găsește un minor de ordinul doi, care nu este zero. Să enumerăm minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice cu ajutorul minorilor învecinaţi.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A . Fringing it minor de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un minor marginal pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări elementare ale matricei (prin metoda Gauss).

Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• permutarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k diferit de zero;
• adunând la elementele oricărui rând (coloană) elementele corespunzătoare altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A cu ajutorul unui număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică se scrie A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări matrice elementare se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rândurile (sau coloanele) unei matrice sunt permutate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când permutați rândurile (coloanele), rămâne egal cu zero.
• Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) al matricei cu un număr arbitrar k diferit de zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare este să aducem matricea, al cărei rang trebuie să-l găsim, la un trapez (într-un caz particular, la unul triunghiular superior) folosind transformări elementare.

Pentru ce este? Rangul matricelor de acest fel este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de rânduri care conțin cel puțin un element non-nul. Și deoarece rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Forma lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1), adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din al treilea rând, se adaugă elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate din rândurile de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal cu unu .

Dacă există cel puțin un element diferit de zero în rândurile de la al doilea până la p, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm exact în același mod, dar numai cu partea din matricea A marcată în figura (2)

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.