Să luăm în considerare problema definirii operației inverse a înmulțirii matriceale.
Fie A o matrice pătrată de ordinul n. Matricea A^(-1) care satisface, împreună cu matricea A dată, egalitățile:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
numit verso. Se numește matricea A reversibil, dacă există un invers pentru el, în caz contrar - ireversibil.
Din definiție rezultă că dacă matricea inversă A^(-1) există, atunci este pătrat de același ordin ca A. Cu toate acestea, nu orice matrice pătrată are un invers. Dacă determinantul unei matrice A este egal cu zero (\det(A)=0), atunci nu există invers pentru el. De fapt, aplicând teorema asupra determinantului produsului de matrice pentru matricea de identitate E=A^(-1)A obținem o contradicție
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
întrucât determinantul matricei identității este egal cu 1. Se dovedește că determinantul non-nul al unei matrice pătrate este singura condiție pentru existența unei matrici inverse. Amintiți-vă că o matrice pătrată al cărei determinant este egal cu zero se numește singular (singular); în caz contrar, se numește nedegenerată (non-singular).
Teorema 4.1 privind existența și unicitatea matricei inverse. Matrice pătrată A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), al cărui determinant este diferit de zero, are o matrice inversă și, în plus, doar una:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
unde A^(+) este matricea transpusă pentru o matrice compusă din complemente algebrice ale elementelor matricei A.
Se numește matricea A^(+). matrice adjunctăîn raport cu matricea A.
De fapt, matricea \frac(1)(\det(A))\,A^(+) există sub condiția \det(A)\ne0 . Este necesar să se arate că este inversă lui A, adică. indeplineste doua conditii:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Să demonstrăm prima egalitate. Conform paragrafului 4 al observațiilor 2.3, din proprietățile determinantului rezultă că AA^(+)=\det(A)\cdot E. De aceea
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
care este ceea ce trebuia arătat. A doua egalitate este dovedită în mod similar. Prin urmare, în condiția \det(A)\ne0, matricea A are un invers
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Vom demonstra unicitatea matricei inverse prin contradicție. Fie ca, pe lângă matricea A^(-1), să existe o altă matrice inversă B\,(B\ne A^(-1)) astfel încât AB=E. Înmulțind ambele părți ale acestei egalități din stânga cu matricea A^(-1) , obținem \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Prin urmare, B=A^(-1) , ceea ce contrazice ipoteza B\ne A^(-1) . Prin urmare, matricea inversă este unică.
Note 4.1
1. Din definiție rezultă că matricele A și A^(-1) fac naveta.
2. Inversul unei matrice diagonale nesingulare este, de asemenea, diagonală:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. Inversul unei matrice triunghiulare inferioară (superioară) nesingulară este triunghiulară inferioară (superioară).
4. Matricele elementare au inverse, care sunt de asemenea elementare (vezi paragraful 1 al observațiilor 1.11).
Proprietățile unei matrice inverse
Operația de inversare a matricei are următoarele proprietăți:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aliniat)
dacă operaţiile specificate în egalităţile 1-4 au sens.
Să demonstrăm proprietatea 2: dacă produsul AB al matricelor pătrate nesingulare de același ordin are o matrice inversă, atunci (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Într-adevăr, determinantul produsului matricelor AB nu este egal cu zero, deoarece
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Unde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Prin urmare, matricea inversă (AB)^(-1) există și este unică. Să arătăm prin definiție că matricea B^(-1)A^(-1) este inversul matricei AB. Într-adevăr.
Definiția 1: o matrice se numește singulară dacă determinantul ei este zero.
Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.
Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.
O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.
Schema de calcul a matricei inverse:
1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.
2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".
3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)
4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T
5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.
6) Efectuați verificarea:
La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.
Acum să rezolvăm împreună o sarcină practică calculând matricea inversă.
Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:
1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":
Explicaţie:
Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.
În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.
În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.
Avem un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:
5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:
6. Acum trebuie doar să verificăm:
În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.
2 moduri de a calcula matricea inversă.
1. Transformarea matricei elementare
2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.
Transformarea matricei elementare include:
1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.
2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.
3. Schimbați rândurile matricei.
4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Să ne uităm la asta folosind un exemplu practic cu numere reale.
Exercițiu: Aflați matricea inversă.
Soluţie:
Sa verificam:
O mica precizare asupra solutiei:
Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).
După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.
Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem matricea de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.
După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.
După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.
La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.
Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă este îndeplinită condiția $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.
O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice singulară este una al cărei determinant este egal cu zero.
Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.
Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua metodă de găsire a matricei inverse (metoda transformărilor elementare), care presupune utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este discutată în partea a doua.
Metoda matricei adiacente
Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:
- Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nesingulară.
- Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și scrieți matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din algebricul găsit completează.
- Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matricea $(A^(*))^T$ este adesea numită adjunctă (reciprocă, aliată) la matricea $A$.
Dacă soluția se face manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi inversul unei matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gaussiană, care este discutată în partea a doua.
Exemplul nr. 1
Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.
Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este singulară). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă matricei $A$.
Exemplul nr. 2
Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsirea complementelor algebrice
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)
Compunem o matrice de adunări algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transpunem matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matricea rezultată este adesea numită matrice adjunctă sau aliată matricei $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Deci, se găsește matricea inversă: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ și în forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matrice )\right)$:
Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Exemplul nr. 3
Găsiți matricea inversă pentru matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element dintr-o matrice dată:
Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ și în forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Verificarea a avut succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.
Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Exemplul nr. 4
Găsiți inversul matricei a matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple apar în lucrările de testare.
Pentru a găsi inversul unei matrice, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este prin descompunerea determinantului de-a lungul unui rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementele algebrice ale fiecărui element din rândul sau coloana selectată.
De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.
Pași
Folosind matricea adjunctă
Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.
- Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.
Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
- De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
- Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
- Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.
Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.
- Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
- Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
- În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).
Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire în care se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.
- Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
- În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.
Scrieți matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este matricea inversă.
Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.
Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).
Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate prin literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.
Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați Enter din nou.
Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element de matrice.
Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.
Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.
Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.
Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss
Algoritm pentru găsirea matricei inverse
- Aflarea matricei transpuse A T .
- Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
- Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
- Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
- Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
- Definiția complementelor algebrice.
- Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
- Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
- Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.
Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse
Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.- Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
- Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
- Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
- Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.
Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.
