Transformarea Laplace a DE face posibilă introducerea unui concept convenabil al funcției de transfer care caracterizează proprietățile dinamice ale sistemului.
De exemplu, ecuația operatorului
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
pot fi convertite prin scoaterea X(s) și Y(s) din paranteze și împărțind unul la altul:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
Expresia rezultată se numește funcție de transfer.
funcție de transfer este raportul dintre imaginea acțiunii de ieșire Y(e) și imaginea de intrare X(e) în condiții inițiale zero.
(2.4)
Funcția de transfer este o funcție fracționară-rațională a unei variabile complexe:
,
unde B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polinom numărător,
А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n este polinomul numitorului.
Funcția de transfer are o ordine, care este determinată de ordinea polinomului numitorului (n).
Din (2.4) rezultă că imaginea semnalului de ieșire poate fi găsită ca
Y(s) = W(s)*X(s).
Deoarece funcția de transfer a sistemului determină complet proprietățile sale dinamice, sarcina inițială de calculare a ASR este redusă la determinarea funcției sale de transfer.
2.6.2 Exemple de legături tipice
Legătura sistemului este elementul său, care are anumite proprietăți în sens dinamic. Legăturile sistemelor de control pot avea o natură fizică diferită (legături electrice, pneumatice, mecanice etc.), dar pot fi descrise de același control, iar raportul semnalelor de intrare și de ieșire din legături poate fi descris de același funcții de transfer.
În TAU, se distinge un grup de legături cele mai simple, care sunt de obicei numite tipice. Caracteristicile statice și dinamice ale legăturilor standard au fost studiate destul de complet. Legăturile tipice sunt utilizate pe scară largă în determinarea caracteristicilor dinamice ale obiectelor de control. De exemplu, cunoscând răspunsul tranzitoriu construit folosind un dispozitiv de înregistrare, este adesea posibil să se determine ce tip de legături îi aparține obiectul de control și, în consecință, funcția sa de transfer, ecuația diferențială etc., i.e. model de obiect. Legături tipice Orice legătură complexă poate fi reprezentată ca o combinație a celor mai simple legături.
Cele mai simple link-uri tipice includ:
amplificare,
inerțial (aperiodic de ordinul I),
integratoare (real și ideal),
diferențierea (real și ideal),
aperiodic de ordinul 2,
oscilator,
întârziat.
1) Legătură de întărire.
Legătura amplifică semnalul de intrare de K ori. Ecuația de legătură y \u003d K * x, funcția de transfer W (s) \u003d K. Parametrul K se numește câştig .
Semnalul de ieșire al unei astfel de legături repetă exact semnalul de intrare, amplificat de K ori (vezi Figura 1.18).
Sub acțiunea pasului h(t) = K.
Exemple de astfel de legături sunt: transmisii mecanice, senzori, amplificatoare fără inerție etc.
2) Integrarea.
2.1) Integrator ideal.
Valoarea de ieșire a unui integrator ideal este proporțională cu integrala valorii de intrare:
; W(e) = 
Când o legătură de acțiune în trepte x(t) = 1 este aplicată la intrare, semnalul de ieșire crește constant (vezi Figura 1.19):
Această legătură este astatică, adică nu are o stare de echilibru.
Un exemplu de astfel de legătură este un recipient umplut cu lichid. Parametrul de intrare este debitul lichidului de intrare, parametrul de ieșire este nivelul. Inițial, recipientul este gol și în absența curgerii, nivelul este zero, dar dacă porniți alimentarea cu lichid, nivelul începe să crească uniform.
2.2) Integrator real.
P 
funcția de transfer a acestei legături are forma
W(e) = 
.
Răspunsul tranzitoriu, spre deosebire de legătura ideală, este o curbă (vezi Fig. 1.20):
h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .
Un exemplu de legătură de integrare este un motor de curent continuu cu excitație independentă, dacă tensiunea de alimentare a statorului este luată ca acțiune de intrare și unghiul de rotație a rotorului este luat ca acțiune de ieșire. Dacă motorului nu se aplică tensiune, atunci rotorul nu se mișcă și unghiul său de rotație poate fi luat egal cu zero. Când se aplică tensiune, rotorul începe să se rotească, iar unghiul său de rotație la început lent din cauza inerției, apoi crește rapid până când se atinge o anumită viteză de rotație.
3) Diferențierea.
3.1) Diferențiatorul ideal.
Valoarea de ieșire este proporțională cu derivata în timp a intrării:
; W(s) = K*s
Cu un semnal de intrare în trepte, semnalul de ieșire este un impuls (funcție ): h(t) = K . (t).
3.2) Diferențierea reală.
Legăturile ideale de diferențiere nu sunt realizabile fizic. Majoritatea obiectelor care sunt legături diferențiatoare se referă la legături diferențiatoare reale, ale căror funcții de transfer au forma
W(e) = 
.
Raspuns tranzitoriu: 
.
Exemplu de link: generator electric. Parametrul de intrare este unghiul de rotație al rotorului, parametrul de ieșire este tensiunea. Dacă rotorul este rotit cu un anumit unghi, tensiunea va apărea la bornele, dar dacă rotorul nu este rotit mai mult, tensiunea va scădea la zero. Nu poate cădea brusc din cauza prezenței inductanței în înfășurare.
4) Aperiodic (inerțial).
Această legătură corespunde DE și PF din formular
; W(e) = 
.
Să determinăm natura modificării valorii de ieșire a acestei legături atunci când la intrare este aplicată o acțiune pas cu valoarea x 0.
Imaginea acțiunii pasului: X(s) = 
. Apoi imaginea cantității de ieșire:
Y(s) = W(s) X(s) = 
= K x 0 
.
Să descompunăm fracția în unele simple:
=
+
=
=
-
=
-
Originalul primei fracții conform tabelului: L -1 () = 1, a doua:
L -1 ( 
}
=
.
Apoi ajungem în sfârșit
y(t) = K x 0 (1 - 
).
Se numește constanta T timpul constant.
Majoritatea obiectelor termice sunt legături aperiodice. De exemplu, atunci când se aplică tensiune la intrarea unui cuptor electric, temperatura acestuia se va schimba conform unei legi similare (vezi Figura 1.22).
5) Link-uri de ordinul doi
Legăturile au formularul DU și PF
,
W(e) = 
.
Atunci când la intrare este aplicată o acțiune în trepte cu amplitudine x 0, curba de tranziție va avea unul din două tipuri: aperiodic (la T 1 2T 2) sau oscilatorie (la T 1).< 2Т 2).
În acest sens, se disting legăturile de ordinul doi:
aperiodic de ordinul 2 (T 1 2T 2),
inerțială (T 1< 2Т 2),
conservator (T 1 \u003d 0).
6) Întârziat.
Dacă, atunci când un anumit semnal este aplicat la intrarea unui obiect, acesta nu răspunde la acest semnal imediat, ci după un timp, atunci se spune că obiectul are o întârziere.
Lag este intervalul de timp din momentul în care semnalul de intrare se schimbă până la începutul schimbării semnalului de ieșire.
O legătură întârziată este o legătură a cărei valoare de ieșire y repetă exact valoarea de intrare x cu o oarecare întârziere :
y(t) = x(t - ).
Funcția de transfer link:
W(s) \u003d e - s.
Exemple de întârzieri: mișcarea lichidului prin conductă (cât lichid a fost pompat la începutul conductei, atât de mult va fi eliberat la sfârșit, dar după un timp, în timp ce lichidul se mișcă prin conductă), mișcarea de marfa de-a lungul transportorului (întârzierea este determinată de lungimea transportorului și viteza benzii) etc. .d.
Scopul final al analizei ACS este de a rezolva (dacă este posibil) sau de a studia ecuația diferențială a sistemului ca întreg. De obicei, sunt cunoscute ecuațiile legăturilor individuale care fac parte din ACS și apare o problemă intermediară de obținere a ecuației diferențiale a sistemului din DE cunoscut al legăturilor sale. Cu forma clasică de reprezentare a DE, această problemă este asociată cu dificultăți semnificative. Utilizarea conceptului de funcție de transfer îl simplifică foarte mult.
Să fie descris un sistem printr-un DE de forma.
Introducând notația = p, unde p se numește operatorul sau simbolul diferențierii, și tratând acum acest simbol ca un număr algebric obișnuit, după ce scoatem x și x din paranteze, obținem ecuația diferențială a acestui sistem sub formă de operator:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)
Polinom în p, situat la valoarea de ieșire,
D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)
se numește operator propriu, iar polinomul la valoarea de intrare se numește operator de acțiune
K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3,40)
Funcția de transfer este raportul dintre operatorul de acțiune și propriul său operator:
W(p) = K(p)/D(p) = x afară / x în. (3,41)
În cele ce urmează, vom folosi aproape peste tot forma operator de scriere a ecuațiilor diferențiale.
Tipuri de conexiuni de legătură și algebra funcțiilor de transfer.
Obținerea funcției de transfer a ACS necesită cunoașterea regulilor de găsire a funcțiilor de transfer ale grupurilor de legături în care legăturile sunt interconectate într-un anumit mod. Există trei tipuri de conexiuni.
1. Secvenţial, în care ieşirea legăturii anterioare este intrarea pentru următoarea (Fig. 3.12):
| x afară |
Orez. 3.14. Conexiune contra-paralelă.
În funcție de faptul dacă semnalul de feedback x este adăugat la semnalul de intrare x în sau scăzut din acesta, se disting feedback-urile pozitive și negative.
Tot pe baza proprietății funcției de transfer, putem scrie
W 1 (p) \u003d x afară / (x în ± x); W 2 (p) \u003d x / x afară; W c \u003d x out / x in. (3,44)
Eliminând coordonata internă x din primele două ecuații, obținem funcția de transfer pentru o astfel de conexiune:
W c (p) = W 1 (p)/ . (3,45)
Rețineți că în ultima expresie, semnul plus îi corespunde negativ părere.
În cazul în care orice legătură are mai multe intrări (ca, de exemplu, un obiect de reglementare), sunt luate în considerare mai multe funcții de transfer ale acestei legături corespunzătoare fiecăreia dintre intrări, de exemplu, dacă ecuația de legătură are forma
D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)
unde K x (p) și K z (p) sunt operatorii de acțiune pentru intrările x și respectiv z, atunci această legătură are funcții de transfer pentru intrările x și z:
Wx(p) = Kx(p)/D(p); Wz (p) = Kz (p)/D(p). (3,47)
Pe viitor, pentru a reduce intrările în expresiile funcțiilor de transfer și a operatorilor corespunzători, vom omite argumentul „p”.
Din analiza comună a expresiilor (3.46) și (3.47) rezultă că
y = W x x + W z z, (3,48)
adică, în cazul general, valoarea de ieșire a oricărei legături cu mai multe intrări este egală cu suma produselor valorilor de intrare și a funcțiilor de transfer pentru intrările corespunzătoare.
Funcția de transfer a ACS prin perturbare.
Forma obișnuită a structurii ACS, care lucrează la abaterea valorii controlate, este următoarea:
| W o z =K z /D obiect W o x =K x /D |
| W p y |
| z |
| y |
| -X |
Fig.3.15. SAR închis.
Să fim atenți la împrejurarea în care acțiunea de reglare ajunge la obiect cu un semn schimbat. Conexiunea dintre ieșirea obiectului și intrarea acestuia prin controler se numește feedback principal (spre deosebire de posibilele feedback-uri suplimentare din controler însuși). După însuși sensul filozofic al reglementării, se urmărește acțiunea regulatorului reducerea abaterii valoare ajustabilă și, prin urmare feedback-ul principal este întotdeauna negativ. Pe fig. 3.15:
W o z - funcţia de transfer a obiectului aflat în perturbare;
W o x - funcția de transfer a obiectului asupra acțiunii de reglementare;
W p y - funcția de transfer a controlerului prin abaterea y.
Ecuațiile diferențiale ale instalației și ale controlerului arată astfel:
y=W o x x + W o z z
x = - W p y y. (3,49)
Înlocuind x din a doua ecuație în prima și grupând, obținem ecuația CAP:
(1+W o x W p y)y = W o z z . (3,50)
De aici funcția de transfer a ACS în raport cu perturbația
W c z \u003d y / z \u003d W o z / (1 + W o x W p y) . (3,51)
Într-un mod similar, puteți obține funcția de transfer a ACS pentru acțiunea de control:
W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3,52)
unde W p u este funcția de transfer a controlerului pentru acțiunea de control.
3.4 Vibrațiile forțate și caracteristicile de frecvență ale ACS.
În condiții reale de funcționare, sistemul de control automat este adesea supus acțiunii unor forțe perturbatoare periodice, care este însoțită de modificări periodice ale valorilor controlate și acțiunilor de control. Astfel, de exemplu, sunt oscilațiile navei în timpul cursului undelor, oscilațiile în frecvența de rotație a elicei și alte cantități. În unele cazuri, amplitudinile de oscilație ale valorilor de ieșire ale sistemului pot atinge valori inacceptabil de mari, iar acest lucru corespunde fenomenului de rezonanță. Consecințele rezonanței sunt adesea dăunătoare sistemului care se confruntă cu aceasta, de exemplu, răsturnarea unei nave, distrugerea unui motor. În sistemele de control, astfel de fenomene sunt posibile atunci când proprietățile elementelor se modifică din cauza uzurii, înlocuirii, reconfigurarii și defecțiunilor. Atunci apare nevoia fie de a defini intervale de operare sigure, fie de a regla corect ACS. Aceste întrebări vor fi considerate aici ca aplicate sistemelor liniare.
Fie ca un sistem să aibă următoarea structură:
| x=A x sinωt |
| y=A y sin(ωt+φ) |
Fig.3.16. ACS în modul oscilațiilor forțate.
Dacă sistemul este afectat de o acțiune periodică x cu amplitudinea A x și frecvența circulară w, atunci după încheierea procesului tranzitoriu, oscilațiile de aceeași frecvență cu amplitudinea A y și deplasate în raport cu oscilațiile de intrare de unghiul de fază j vor fi stabilit la ieșire. Parametrii oscilațiilor de ieșire (amplitudine și defazare) depind de frecvența forței motrice. Sarcina este de a determina parametrii oscilațiilor de ieșire din parametrii cunoscuți ai oscilațiilor la intrare.
În conformitate cu funcția de transfer a ACS prezentată în Fig. 3.14, ecuația sa diferențială are forma
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)
Să substituim în (3.53) expresiile pentru x și y prezentate în Fig. 3.14:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)
Dacă luăm în considerare modelul de oscilație deplasat cu un sfert din perioadă, atunci în ecuația (3.54) funcțiile sinus vor fi înlocuite cu funcții cosinus:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)
Înmulțiți ecuația (3.54) cu i = și adăugați rezultatul cu (3.55):
(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)
Aplicarea formulei lui Euler
exp(±ibt)=cosbt±isinbt,
aducem ecuația (3.56) la forma
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)
Să realizăm operația de diferențiere în timp oferită de operatorul p=d/dt:
A y exp=
Axexp(iwt). (3,58)
După transformări simple legate de reducerea prin exp(iwt), obținem
Partea dreaptă a expresiei (3.59) este similară cu expresia funcției de transfer CAP și poate fi obținută din aceasta prin înlocuirea p=iw. Prin analogie, se numește funcția complexă de transfer W(iw) sau caracteristica amplitudine-fază (AFC). Adesea este folosit și termenul răspuns în frecvență. Este clar că această fracție este o funcție a argumentului complex și poate fi reprezentată și sub această formă:
W(iw) = M(w) + iN(w), (3,60)
unde M(w) și N(w) sunt răspunsurile de frecvență reale și, respectiv, imaginare.
Raportul A y / A x este modulul AFC și este o funcție de frecvență:
A y / A x \u003d R (w)
și se numește caracteristica amplitudine-frecvență (AFC). fază
deplasarea j =j (w) este, de asemenea, o funcție de frecvență și se numește răspuns în frecvență de fază (PFC). Calculând R(w) și j(w) pentru intervalul de frecvență (0…¥), este posibil să se traseze graficul AFC pe planul complex în coordonatele M(w) și iN(w) (Fig. 3.17).
| ω |
| R(ω) |
| ωcp |
| ω res |
Fig.3.18. Caracteristici amplitudine-frecvență.
Răspunsul în frecvență al sistemului 1 arată un vârf de rezonanță corespunzător celei mai mari amplitudini a oscilațiilor forțate. Munca în zona din apropierea frecvenței de rezonanță poate fi dezastruoasă și adesea, în general, inacceptabilă de regulile de funcționare ale unui anumit obiect de reglementare. Răspunsul în frecvență de tip 2 nu are un vârf de rezonanță și este mai preferabil pentru sistemele mecanice. De asemenea, se poate observa că odată cu creșterea frecvenței, amplitudinea oscilațiilor de ieșire scade. Din punct de vedere fizic, acest lucru este ușor de explicat: orice sistem, datorită proprietăților sale inerțiale inerente, este supus mai ușor la oscilații de frecvențe joase decât de cele înalte. Pornind de la o anumită frecvență, fluctuațiile de ieșire devin nesemnificative, iar această frecvență se numește frecvență de tăiere, iar intervalul de frecvență sub frecvența de tăiere se numește lățime de bandă. În teoria controlului automat, frecvența de tăiere este considerată una la care valoarea răspunsului în frecvență este de 10 ori mai mică decât la frecvența zero. Proprietatea sistemului de a amortiza oscilațiile de înaltă frecvență se numește proprietatea filtrului trece-jos.
Luați în considerare metodologia de calcul a răspunsului în frecvență folosind exemplul unei legături de ordinul doi, a cărei ecuație diferențială
(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3,62)
În problemele de oscilații forțate, este adesea folosită o formă mai ilustrativă a ecuației
(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)
unde se numeste frecventa naturala a oscilatiilor in absenta amortizarii, x =T 1 w 0 /2 este coeficientul de amortizare.
Funcția de transfer arată astfel:
Prin înlocuirea p = iw obținem caracteristica amplitudine-fază
Folosind regula de împărțire a numerelor complexe, obținem o expresie pentru răspunsul în frecvență:
Să determinăm frecvența de rezonanță la care răspunsul în frecvență are un maxim. Aceasta corespunde minimului numitorului expresiei (3.66). Echivalând cu zero derivata numitorului față de frecvența w, avem:
2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)
de unde obținem valoarea frecvenței de rezonanță, care nu este egală cu zero:
w tăiat \u003d w 0 Ö 1 - 2x 2. (3,68)
Să analizăm această expresie, pentru care luăm în considerare cazuri individuale, care corespund unor valori diferite ale coeficientului de atenuare.
1. x = 0. Frecvența de rezonanță este egală cu propria sa, iar modulul de răspuns în frecvență merge la infinit. Acesta este un caz de așa-numită rezonanță matematică.
2. . Deoarece frecvența este exprimată ca număr pozitiv și din (68) pentru acest caz se obține fie zero, fie un număr imaginar, rezultă că pentru astfel de valori ale coeficientului de amortizare, răspunsul în frecvență nu are un vârf de rezonanță ( curba 2 din fig. 3.18).
3. . Răspunsul în frecvență are un vârf de rezonanță, iar odată cu scăderea coeficientului de atenuare, frecvența de rezonanță se apropie de a ei, iar vârful de rezonanță devine mai mare și mai ascuțit.
După transformări simple, obținem
(3.54)
Regulă: functia de transfer a sistemului cu negativ feedback-ul este egal cu o fracție, al cărei numărător este funcția de transfer a canalului direct, iar numitorul este suma unității și produsul funcțiilor de transfer ale canalelor directe și inverse ale sistemului.
Când pozitiv formula de feedback (3.54) ia forma
(3.55)
În practică, există de obicei sisteme cu feedback negativ, pentru care funcția de transfer se găsește prin relația (3.54).
3.3.4. Regula de transfer
În unele cazuri, pentru a obține funcția de transfer globală a sistemului folosind transformări structurale, ar fi mai convenabil să mutați punctul de aplicare a semnalului prin legătura mai aproape de ieșire sau intrare. Cu o astfel de transformare a schemei structurale, ar trebui să adere reguli: funcția de transfer a sistemului trebuie să rămână neschimbată.
Luați în considerare situația în care punctul de aplicare al semnalului este transferat prin legătura mai aproape de ieșire. Structura inițială a sistemului este prezentată în fig. 3.31. Să definim pentru aceasta funcția de transfer rezultată
Să transferăm punctul de aplicare al semnalului prin legătura cu funcția de transfer adăugând o funcție de transfer la acest canal.
 |
Orez. 3.32. Schema bloc a sistemului convertit.
Pentru aceasta, funcția de transfer are forma
Deoarece, atunci când structura sistemului este transformată, funcția sa de transfer nu ar trebui să se schimbe, prin echivalarea părților corecte ale expresiilor (3.56) și (3.57), determinăm funcția de transfer necesară
Astfel, la mutarea punctului de aplicare a semnalului mai aproape de ieșirea sistemului, funcția de transfer a legăturii prin care este transferat semnalul ar trebui adăugată canalului.
Similar regulă poate fi formulat pentru a muta punctul de aplicare al semnalului mai aproape de intrarea sistemului: funcția de transfer invers a legăturii prin care este transferat semnalul trebuie adăugată la canalul corespunzător.
Exemplul 3.1
Determinați funcția generală de transfer a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în fig. 3.33.
Să determinăm preliminar funcțiile de transfer ale conexiunilor tipice de legături: funcția de transfer a unei conexiuni paralele de legături
și funcția de transfer a legăturilor conectate în serie
 |
Orez. 3.33. Schema structurală a sistemului
Ținând cont de notația introdusă, structura sistemului poate fi redusă la forma prezentată în Fig. 3.34.
Folosind transformări structurale, scriem funcția generală de transfer a sistemului
Înlocuind și valorile lor, obținem în sfârșit
Exemplul 3.2
Determinați funcția de transfer a sistemului automat de urmărire a țintei al stației radar, a cărei diagramă bloc este prezentată în fig. 3.35.
Orez. 3.35. Schema structurală a sistemului automat de urmărire a țintei
Aici este funcția de transfer a receptorului de sistem; - functia de transfer a detectorului de faza; - functia de transfer a amplificatorului de putere; - functia de transfer a motorului; - functia de transfer a reductorului; - functia de transfer a senzorului de viteza antenei; - functia de transfer a dispozitivului corector.
Folosind regulile transformărilor structurale, scriem
funcție de transfer
Definiți funcția de transfer a buclei interioare
și sistem de canal direct
Să definim funcția de transfer totală a sistemului
Înlocuind în loc de funcții de transfer intermediare, valorile inițiale, obținem în sfârșit
3.4. Diagrame bloc corespunzătoare ecuațiilor diferențiale
A doua modalitate de a elabora o diagramă bloc se bazează pe utilizarea ecuațiilor diferențiale. Considerați-l mai întâi pentru un obiect al cărui comportament este descris de ecuațiile vector-matrice (2.1), (2.2):
(3.59)
Să integrăm ecuația de stare din (3.59) în raport cu timp și să definim variabilele de stare și de ieșire ca
(3.60)
Ecuațiile (3.60) sunt de bază pentru graficare.
 |
Orez. 3.36. Diagrama structurală corespunzătoare ecuațiilor
starea obiectului
Diagrama bloc corespunzătoare ecuațiilor (3.60) este mai convenabil de reprezentat, începând cu variabilele de ieșire y, și este de dorit să plasați variabilele de intrare și de ieșire ale obiectului pe aceeași linie orizontală (Fig. 3.36).
Pentru un obiect cu un singur canal, se poate întocmi o diagramă bloc conform ecuației (2.3), rezolvându-l în raport cu cea mai mare derivată
Fiind integrat (3.61) n ori, primim
(3.62)
Sistemul de ecuații (3.62) corespunde diagramei bloc din fig. 3.37.
Orez. 3.37. Diagrama bloc corespunzătoare ecuației (3.61)
După cum puteți vedea, un obiect de control cu un singur canal, al cărui comportament este descris de ecuația (3.61), poate fi întotdeauna reprezentat structural ca un lanț de n integratoare de feedback conectate în serie.
Exemplul 3.3
Desenați o diagramă bloc a unui obiect al cărui model este dat de următorul sistem de ecuații diferențiale:
Să integrăm preliminar ecuațiile de stare
 |
Orez. 3.38. Ilustrație grafică structurală
conform ecuaţiilor de stare
În conformitate cu ecuațiile integrale din Fig. 3.38 vom reprezenta schema bloc a sistemului.
3.5. Trecerea de la funcția de transfer la descrierea canonică
Să discutăm cele mai cunoscute modalități de transformare a modelului matematic al unui obiect sub forma unei funcții de transfer arbitrare într-o descriere în variabile de stare. În acest scop, folosim diagramele bloc corespunzătoare. Rețineți că această problemă este ambiguă, deoarece variabilele de stare pentru un obiect pot fi alese în moduri diferite (vezi Sec. 2.2).
Luați în considerare două opțiuni pentru trecerea la descrierea în variabile de stare din funcția de transfer a obiectului
(3.63)
unde Să reprezentăm mai întâi (3.63) ca produs al două funcții de transfer:
Fiecare dintre aceste reprezentări (3.63) are propriul său model simplu în variabile de stare, care se numește formă canonică.
3.5.1. Prima formă canonică
Se consideră transformarea modelului matematic al sistemului cu funcția de transfer (3.64). Diagrama sa bloc poate fi reprezentată ca două legături conectate în serie
(Fig. 3.39).
Orez. 3.39. Reprezentarea structurală a sistemului (3.64)
Pentru fiecare verigă a sistemului, scriem ecuația operatorului corespunzătoare
(3.66)
Să determinăm din prima ecuație (3.66) cea mai mare derivată a variabilei z, care corespunde valorii din formularul operator
Expresia rezultată ne permite să reprezentăm prima ecuație (3.66) ca un lanț de n integratori de feedback (vezi Sec. 3.5) și variabila de ieșire y se formează conform celei de-a doua ecuații (3.66) ca sumă a variabilei z si ea m derivate (Fig. 3.40).
Orez. 3.40. Schema corespunzătoare ecuațiilor (3.66)
Folosind transformări structurale, obținem schema bloc a sistemului prezentat în fig. 3.41.
Orez. 3.41. Diagrama bloc corespunzătoare formei canonice
Rețineți că diagrama bloc corespunzătoare funcției de transfer (3.64) constă din lanț n integratori, unde n- ordinea sistemului. Mai mult, coeficienții numitorului funcției de transfer inițiale (coeficienții polinomului caracteristic) sunt în feedback, iar coeficienții polinomului numărătorului său sunt în legătură directă.
Nu este greu să treci de la diagrama bloc obţinută la modelul sistemului în variabile de stare. În acest scop, luăm rezultatul fiecărui integrator ca o variabilă de stare
ceea ce ne permite să scriem ecuațiile diferențiale de stare și ecuația de ieșire a sistemului (3.63) sub forma
(3.67)
Sistemul de ecuații (3.67) poate fi reprezentat sub formă de vector-matrice (2.1) cu următoarele matrice:
Se va apela modelul de sistem în variabilele de stare (3.67). prima formă canonică.
3.5.2. A doua formă canonică
Să considerăm a doua modalitate de trecere de la funcția de transfer (3.63) la descrierea în variabile de stare, pentru care reprezentăm schematic structura sistemului (3.65) în fig. 3.42.
Orez. 3.42. Reprezentarea structurală a funcției de transfer (3.65)
Ecuațiile sale operator au forma
(3.68)
Similar cu cazul precedent, reprezentăm prima ecuație din (3.68) ca un lanț de n integratori cu feedback și acțiunea de intrare z se formează în conformitate cu a doua ecuație (3.68) sub forma sumei controlului uȘi m derivatele sale (Fig. 3.43).
Ca urmare a transformărilor structurale, obținem o diagramă bloc a sistemului prezentat în fig. 3.44. După cum putem observa, și în acest caz, diagrama bloc corespunzătoare funcției de transfer (3.65) este formată din lanțul n integratori. Coeficienții polinomului caracteristic sunt, de asemenea, în feedback, iar coeficienții polinomului numărătorului său sunt în legătură directă.
Orez. 3.43. Schema corespunzătoare ecuațiilor (3.68)
Orez. 3.44. Diagrama bloc corespunzătoare funcției de transfer (3.65)
Din nou, alegem valorile de ieșire ale integratorilor ca variabile de stare și notăm ecuațiile diferențiale de stare și ecuația de ieșire în raport cu acestea
(3.69)
Folosind ecuațiile (3.69), definim matricele
Se va apela modelul de sistem în variabile de stare de tip (3.69). a doua formă canonică.
Rețineți că matricea A este neschimbat pentru prima sau a doua formă canonică și conține coeficienții numitorului funcției de transfer inițiale (3.63). Coeficienții numărătorului funcției de transfer (3.63) conțin matricea C(în cazul primei forme canonice) sau matrice B(în cazul celei de-a doua forme canonice). Prin urmare, ecuațiile de stare corespunzătoare a două reprezentări canonice ale sistemului pot fi scrise direct în termenii funcției de transfer (3.63) fără a merge la diagramele bloc prezentate în Fig. 3.40 și 3.43.
După cum puteți vedea, trecerea de la funcția de transfer la descrierea în variabile de stare este o sarcină ambiguă. Am luat în considerare opțiunile pentru trecerea la descrierea canonică, care sunt cel mai des folosite în teoria controlului automat.
Exemplul 3.4
Obțineți două versiuni ale descrierii canonice și diagramele bloc corespunzătoare pentru sistem, al căror model are forma
Folosim reprezentarea funcției de transfer în forma (3.64) și notăm ecuațiile operatorului pentru aceasta
de la care trecem la schema bloc prezentată în Fig. 3.45.
Orez. 3.45. Diagrama bloc corespunzătoare primei forme canonice
Pe baza acestei scheme structurale, scriem ecuațiile primei forme canonice în formă
Pentru a trece la a doua formă canonică, reprezentăm funcția de transfer a sistemului în forma (3.65) și scriem următoarele ecuații de operator pentru aceasta:
care corespunde schemei bloc prezentate în fig. 3.46.
Orez. 3.46. Diagrama bloc corespunzătoare celei de-a doua forme canonice
Acum scriem modelul de sistem sub forma celei de-a doua forme canonice
3.6. Domeniul de aplicare al metodei structurale
Metoda structurală este convenabilă în calculul sistemelor automate liniare, dar are limitările sale. Metoda presupune utilizarea funcțiilor de transfer, deci poate fi aplicată, de regulă, în condiții inițiale zero.
Când utilizați metoda structurală, trebuie să respectați următoarele reguli: pentru orice transformare a sistemului, ordinea acestuia nu ar trebui să scadă, adică este inacceptabil să se reducă aceiași factori în numărătorul și numitorul funcției de transfer. Prin reducerea acelorași multiplicatori, aruncăm astfel legăturile cu adevărat existente din sistem. Să ilustrăm această afirmație cu un exemplu.
Exemplul 3.5
Luați în considerare un sistem format din legături de integrare și diferențiere, care sunt conectate în serie.
Prima versiune a conexiunii legăturilor este prezentată în Fig. 3.47.
Folosind transformări structurale, găsim funcția generală de transfer
Aceasta implică concluzia că o astfel de conexiune de legături este echivalentă cu o legătură fără inerție, adică semnalul de la ieșirea sistemului repetă semnalul de la intrarea sa. Să arătăm acest lucru luând în considerare ecuațiile legăturilor individuale. Semnalul de ieșire al integratorului este determinat de relație
unde este condiția inițială a integratorului. Semnalul de la ieșirea legăturii de diferențiere și, prin urmare, întregul sistem, are forma
care corespunde concluziei făcute pe baza analizei funcţiei de transfer de ansamblu a legăturilor.
A doua variantă de conectare a legăturilor este prezentată în Fig. 3.48, adică legăturile au fost schimbate. Funcția de transfer a sistemului este aceeași ca în primul caz,
Cu toate acestea, acum ieșirea sistemului nu repetă semnalul de intrare. Acest lucru poate fi văzut luând în considerare ecuațiile legăturilor. Semnalul de la ieșirea legăturii de diferențiere corespunde ecuației
iar la ieșirea sistemului este determinată de relația
După cum puteți vedea, în al doilea caz, semnalul de ieșire diferă de semnalul de la ieșirea primului sistem prin valoarea valorii inițiale, în ciuda faptului că ambele sisteme au aceeași funcție de transfer.
Concluzie
Această secțiune ia în considerare caracteristicile dinamice ale legăturilor tipice care alcătuiesc sistemele de control cu configurație arbitrară. Sunt discutate caracteristicile diagramelor bloc construite pe baza funcțiilor de transfer și a ecuațiilor diferențiale. Sunt prezentate două moduri de trecere de la funcția de transfer a sistemului prin diagrame bloc la modelele sale sub formă de variabile de stare corespunzătoare diferitelor forme canonice.
Trebuie remarcat faptul că reprezentarea sistemului sub forma unei diagrame bloc permite în unele cazuri evaluarea staticii și dinamicii acestuia și, în esență, oferă un portret structural al sistemului.
3.1. Desenați o diagramă bloc a sistemului, a cărei ecuație diferențială are forma:
A) 
V) 
3.2. Desenați o diagramă bloc a sistemului, al cărei model este prezentat în variabile de stare:
A) 
b) 
V) 
G) 
3.3. Determinați funcțiile de transfer ale sistemelor dacă diagramele bloc ale acestora au forma prezentată în fig. 3.49.
Orez. 3.49. Diagrame bloc pentru sarcina 3.3
|
|
3.4. Sunt cunoscute diagramele bloc ale sistemului (Fig. 3.50). Înregistrați modelele lor în variabile de stare.
Orez. 3,50. Diagrame bloc pentru sarcina 3.4
3.5. Este cunoscută schema bloc a sistemului (Fig. 3.51).
Orez. 3,51.
1. Determinați funcția de transfer presupunând că
2. Determinați funcția de transfer presupunând
3. Scrieți modelul sistemului în variabile de stare.
 |
4. Repetați paragrafele. 1 și 2 pentru sistemul a cărui schemă bloc este prezentată în fig. 3,52.
Orez. 3,52. Diagrama bloc pentru sarcina 3.5
3.6 .
3.7. Desenați o diagramă bloc corespunzătoare primei forme canonice de descriere a unui sistem care are o funcție de transfer
1. Notează prima formă canonică.
2. Desenați o diagramă bloc corespunzătoare celei de-a doua forme canonice a descrierii sistemului.
3. Notează a doua formă canonică.
3.8. Desenați o diagramă bloc corespunzătoare primei forme canonice de descriere a unui sistem care are o funcție de transfer
1. Notează prima formă canonică.
2. Desenați o diagramă bloc corespunzătoare celei de-a doua forme canonice a descrierii sistemului.
3. Notează a doua formă canonică.
Literatură
1. Andreev Yu.N. Controlul obiectelor liniare cu dimensiuni finite. - M.: Nauka, 1978.
2. Besekersky V.A..,Popov E.P.. Teoria controlului automat. - M.: Nauka, 1974.
3. Erofeev A. A. Teoria controlului automat. - Sankt Petersburg: Politehnică, 1998.
4. Ivașcenko N.N. Reglare automată. - M.: Mashinostroenie, 1978.
5. Pervozvansky A.A. Curs de teoria controlului automat. - M.: Mai sus. scoala, 1986.
6. Popov E.P. Teoria sistemelor liniare de reglare și control automat. - M.: Mai sus. scoala, 1989.
7. Konovalov G.F. Radioautomatice. - M.: Mai sus. scoala, 1990.
8. Philips Ch.,Portul R. Sisteme de control al feedback-ului. - M.: Laboratorul de cunoștințe de bază, 2001.
SISTEME LINEARE
CONTROL AUTOMAT
Editura OmSTU
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse
Instituție de învățământ de stat
studii profesionale superioare
„Universitatea Tehnică de Stat din Omsk”
SISTEME LINEARE
CONTROL AUTOMAT
Instrucțiuni metodice pentru lucrări practice
Editura OmSTU
Compilator E. V. Shendaleva, cand. tehnologie. Științe
Publicația conține linii directoare pentru lucrări practice privind teoria controlului automat.
Este destinat studenților specialității 200503, „Standardizare și Certificare”, care studiază disciplina „Fundamentele controlului automat”.
Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial
Universitatea Tehnică de Stat din Omsk
© GOU VPO „Statul Omsk
Universitatea Tehnică”, 2011
Necesitatea utilizării metodologiei teoriei managementului pentru specialiștii în standardizare și certificare apare atunci când se determină:
1) caracteristicile cantitative și (sau) calitative ale proprietăților obiectului testat ca urmare a influenței asupra acestuia în timpul funcționării sale, la modelarea obiectului și (sau) influențe, a căror lege de schimbare trebuie să fie furnizată cu ajutorul a unui sistem de control automat;
2) proprietăţile dinamice ale obiectului măsurătorilor şi încercărilor;
3) influența proprietăților dinamice ale instrumentelor de măsură asupra rezultatelor măsurătorilor și încercărilor obiectului.
Metodele de studiu a obiectelor sunt luate în considerare în lucrările practice.
Lucrări practice 1
Caracteristici dinamice
Exercițiu 1.1
Găsiți funcția de greutate w(t) prin funcţia de tranziţie cunoscută
h(t) = 2(1–e –0,2 t).
Soluţie
w(t)=h¢( t), deci la diferențierea expresiei originale
w(t)=0,4e –0,2 t .
Exercițiu 1.2
Aflați funcția de transfer a sistemului din ecuația diferențială 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5X(t). Condițiile inițiale sunt zero.
Soluţie
Ecuația diferențială este convertită în formă standard prin împărțirea la coeficientul cu termenul y(t)
0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5X(t).
Ecuația rezultată este transformată conform lui Laplace
0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5X(s)
și apoi scris ca funcție de transfer:
Unde s= a + i w este operatorul Laplace.
Exercițiu 1.3
Găsiți funcția de transfer W(s) a sistemului în raport cu funcția de greutate cunoscută w(t)=5–t.
Soluţie
Transformarea Laplace
. (1.1)
Folosind relația dintre funcția de transfer și funcția de greutate W(s) = w(s), primim
.
Transformarea Laplace poate fi obținută prin calcul (1.1), folosind tabele de transformare Laplace sau folosind pachetul software Matlab. Programul în Matlab este prezentat mai jos.
syms s t
x=5-t Funcția % timp
y=laplace(x)% este o funcție transformată de Laplace.
Exercițiu 1.4
Folosind funcția de transfer a sistemului, găsiți răspunsul acestuia la o acțiune cu un singur pas (funcția de tranziție)
.
Soluţie
Transformarea Laplace inversă
, (1.2)
unde c este abscisa convergenței X(s).
Conform principiului suprapunerii, valabil pentru sisteme liniare
h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),
Unde h(t) este funcția de tranziție a întregului sistem;
h 1 (t) este funcția de tranziție a verigii integratoare
;
h 2 (t) este funcția tranzitorie a legăturii de amplificare
.
Se știe că h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2×δ( t), Apoi h(t)=k 1× t+k 2×δ( t).
Transformarea Laplace inversă poate fi obținută prin calcul (1.2), folosind tabele de transformare Laplace sau folosind pachetul software Matlab. Programul din Matlab este prezentat mai jos.
syms s k1 k2 Notație % pentru variabile simbolice
y=k1/s+k2% Funcția transformată de Laplace
x=ilaplace(y)% este o funcție temporară.
Exercițiu 1.5
Găsiți caracteristicile amplitudine-frecvență și fază-frecvență din funcția de transfer cunoscută a sistemului
.
Soluţie
Pentru a determina caracteristicile amplitudine-frecvență (AFC) și fază-frecvență (PFC), este necesar să se treacă de la funcția de transfer la caracteristica amplitudine-fază. W(i w) de ce schimba argumentul s → i w
.
Apoi reprezentați AFC în formă W(i w)= P(w)+ iQ(w), unde P(w) este partea reală, Q(w) este partea imaginară a AFC. Pentru a obține părțile reale și imaginare ale AFC, este necesar să înmulțiți numărătorul și numitorul cu un număr complex conjugat la expresia din numitor:
AFC și PFC sunt determinate, respectiv, de formule
, 
;
, 
Caracteristica amplitudine-fază W(j w) poate fi reprezentat ca
.
Exercițiu 1.6
Definiți semnalul y(t) la ieșirea sistemului conform semnalului de intrare cunoscut și funcției de transfer a sistemului
X(t)=2sin10 t; 
.
Se știe că atunci când este expus la semnalul de intrare X(t)=B sinw t pe semnal de ieșire de sistem y(t) va fi, de asemenea, armonică, dar va diferi de amplitudinea și faza de intrare
y(t) = B× A(w)păcat,
Unde A(w) – răspunsul în frecvență al sistemului; j(w) - PFC al sistemului.
Prin funcția de transfer, determinăm răspunsul în frecvență și răspunsul de fază
j(w)=- arctg0,1w.
La frecvența w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 și j(10) = –arctg1=–0,25p.
Apoi y(t) = 2×2 sin(10 t-0,25p) = 4 sin(10 t-0,25p).
Întrebări de control:
1. Definiți conceptul de funcție de greutate.
2. Definiți conceptul de funcție de tranziție.
3. Care este scopul utilizării transformării Laplace atunci când descriem legăturile dinamice?
4. Ce ecuații se numesc diferențială liniară?
5. În ce scop, la trecerea la o ecuație sub formă de operator, ecuația diferențială originală este convertită într-o formă standard?
6. Cum se elimină expresia cu un număr imaginar de la numitorul caracteristicii amplitudine-fază?
7. Specificați comanda directă de transformare Laplace în pachetul software Matlab.
8. Specificați comanda de transformare Laplace inversă în pachetul software Matlab.
Lucrări practice 2
Funcții de transfer
Exercițiu 2.1
Găsiți funcția de transfer a sistemului conform diagramei bloc.
Soluţie
Principalele modalități de conectare a legăturilor în diagramele bloc sunt: paralelă, serială și conectarea legăturilor cu feedback (secțiuni tipice de legături).
Funcția de transfer a unui sistem de legături conectate în paralel este egală cu suma funcțiilor de transfer ale legăturilor individuale (Fig. 2.1)
. (2.1)
Orez. 2.1. Conectarea paralelă a legăturilor
Funcția de transfer a unui sistem de legături conectate în serie este egală cu produsul funcțiilor de transfer ale legăturilor individuale (Fig. 2.2)
(2.2)
Orez. 2.2. Conectarea în serie a legăturilor
Feedback-ul este transferul unui semnal de la ieșirea unei legături la intrarea acesteia, unde semnalul de feedback este însumat algebric cu un semnal extern (Fig. 2.3).
Orez. 2.3 Legătura cu feedback: a) pozitiv, b) negativ
Funcția de transfer a conexiunii cu feedback pozitiv
, (2.3)
funcția de transfer a conexiunii de feedback negativ
. (2.4)
Funcția de transfer a unui sistem de control complex este determinată pas cu pas. Pentru a face acest lucru, selectați secțiuni care conțin conexiuni seriale, paralele și conexiuni cu feedback (secțiuni tipice ale legăturilor) (Fig. 2.4)
W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); 
.
Orez. 2.4. Schema structurală a sistemului de control
Apoi secțiunea tipică selectată a legăturilor este înlocuită cu o legătură cu funcția de transfer calculată și se repetă procedura de calcul (Fig. 2.5 - 2.7).
Orez. 2.5. Înlocuirea conexiunii paralele și a conexiunii de feedback cu o singură legătură
Orez. 2.6. Înlocuirea unei conexiuni de feedback cu o singură legătură
Orez. 2.7. Înlocuirea unei conexiuni seriale cu o singură legătură
(2.5)
Exercițiu 2.2
Determinați funcția de transfer dacă funcțiile de transfer ale legăturilor incluse în aceasta:
Soluţie
La înlocuirea în (2.5) a funcțiilor de transfer ale legăturilor
Transformarea diagramei bloc în raport cu acțiunea de control al intrării (Fig. 2.7, 2.11) poate fi obținută prin calcul (2.5) sau folosind pachetul software Matlab. Programul în Matlab este prezentat mai jos.
W1=tf(,)% Funcția de transmisie W 1
W2=tf(,)% Funcția de transmisie W 2
W3=tf(,)% Funcția de transmisie W 3
W4=tf(,)% Funcția de transmisie W 4
W5=tf(,)% Funcția de transmisie W 5
W34=paralel(W3;W4)% conexiune paralelă ( W 3 + W 4)
W25=feedback(W2,W5)
W134=feedback(W1,W34)% feedback negativ
W12345=serie(W134,W25)% conexiune serială ( W 134× W 25)
W=feedback(W12345,1)
Exercițiu 2.3.
Găsiți funcția de transfer a unui sistem închis prin acțiunea perturbatoare
Soluţie
Pentru a determina funcția de transfer a unui sistem complex printr-o acțiune perturbatoare, este necesar să o simplificam și să o consideram relativ la acțiunea perturbatoare de intrare (Fig. 2.8 - 2.12).
Fig.2.8. Schema bloc inițială a sistemului automat
Orez. 2.9. Simplificarea diagramei bloc
Orez. 2.10. Diagrama bloc simplificată
Orez. 2.11. Diagrama structurală relativă la acțiunea de control al intrării
Orez. 2.12. Schema structurală a sistemului în raport cu acțiunea perturbatoare
După aducerea diagramei bloc la o funcție de transfer cu o singură buclă pentru acțiunea perturbatoare f(t)
(2.6)
Transformarea diagramei bloc în raport cu acțiunea perturbatoare (Fig. 2.12) poate fi obținută prin calcul (2.6) sau folosind pachetul software Matlab.
W1=tf(,)% Funcția de transmisie W 1
W2=tf(,)% Funcția de transmisie W 2
W3=tf(,)% Funcția de transmisie W 3
W4=tf(,)% Funcția de transmisie W 4
W5=tf(,)% Funcția de transmisie W 5
W34=paralel(W3;W4)% conexiune paralelă
W25=feedback(W2,W5)% feedback negativ
W134=feedback(W1,W34)% feedback negativ
Wf=feedback(W25,W134)% feedback negativ.
Exercițiu 2. 4
Determinați funcția de transfer în buclă închisă pentru eroare.
Soluţie
O diagramă bloc pentru determinarea funcției de transfer a unui sistem închis pentru o eroare de control este prezentată în fig. 2.13.
Orez. 2.13. Schema structurală a sistemului în raport cu eroarea de control
Funcție de transfer în buclă închisă pentru erori
(2.7)
La înlocuirea valorilor numerice
Transformarea diagramei bloc în raport cu semnalul de eroare de control (Fig. 2.13) poate fi obținută prin calcul (2.7) sau folosind pachetul software Matlab.
W1=tf(,)% Funcția de transmisie W 1
W2=tf(,)% Funcția de transmisie W 2
W3=tf(,)% Funcția de transmisie W 3
W4=tf(,)% Funcția de transmisie W 4
W5=tf(,)% Funcția de transmisie W 5
W34=paralel(W3;W4)% conexiune paralelă)
W25=feedback(W2,W5)% feedback negativ
W134=feedback(W1,W34)% feedback negativ
Noi=feedback(1,W134*W25)% feedback negativ
Întrebări de control:
1. Enumerați principalele modalități de conectare a legăturilor în diagramele bloc.
2. Determinați funcția de transfer a sistemului de legături conectate în paralel.
3. Determinați funcția de transfer a sistemului de legături conectate în serie.
4. Determinați funcția de transfer cu feedback pozitiv.
5. Determinați funcția de transfer de feedback negativ.
6. Determinați funcția de transfer a liniei de comunicație.
7. Ce comandă Matlab este folosită pentru a determina funcția de transfer a două legături conectate în paralel?
8. Ce comandă Matlab este folosită pentru a determina funcția de transfer a două legături conectate în serie?
9. Ce comandă Matlab este folosită pentru a determina funcția de transfer a unei legături acoperite de feedback?
10. Desenați o diagramă bloc a sistemului pentru a determina funcția de transfer pentru acțiunea de control.
11. Scrieți funcția de transfer pentru acțiunea de control.
12. Desenați o diagramă bloc a sistemului pentru determinarea funcției de transfer din parametrul perturbator.
13. Scrieți funcția de transfer pentru parametrul perturbator.
14. Desenați o diagramă bloc a sistemului pentru determinarea funcției de transfer pentru eroarea de control.
15. Scrieți funcția de transfer pentru eroarea de control.
Lucrări practice 3
Descompunerea unei funcții de transfer complexe
Transformarea Laplace a DE face posibilă introducerea unui concept convenabil al funcției de transfer care caracterizează proprietățile dinamice ale sistemului.
De exemplu, ecuația operatorului
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
pot fi convertite prin scoaterea X(s) și Y(s) din paranteze și împărțind unul la altul:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
Expresia rezultată se numește funcție de transfer.
funcție de transfer este raportul dintre imaginea acțiunii de ieșire Y(e) și imaginea de intrare X(e) în condiții inițiale zero.
(2.4)
Funcția de transfer este o funcție fracționară-rațională a unei variabile complexe:
,
unde B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polinom numărător,
А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n este polinomul numitorului.
Funcția de transfer are o ordine, care este determinată de ordinea polinomului numitorului (n).
Din (2.4) rezultă că imaginea semnalului de ieșire poate fi găsită ca
Y(s) = W(s)*X(s).
Deoarece funcția de transfer a sistemului determină complet proprietățile sale dinamice, sarcina inițială de calculare a ASR este redusă la determinarea funcției sale de transfer.
Exemple de link-uri tipice
Legătura sistemului este elementul său, care are anumite proprietăți în sens dinamic. Legăturile sistemelor de control pot avea o natură fizică diferită (legături electrice, pneumatice, mecanice etc.), dar pot fi descrise de același control, iar raportul semnalelor de intrare și de ieșire din legături poate fi descris de același funcții de transfer.
În TAU, se distinge un grup de legături cele mai simple, care sunt de obicei numite tipice. Caracteristicile statice și dinamice ale legăturilor standard au fost studiate destul de complet. Legăturile tipice sunt utilizate pe scară largă în determinarea caracteristicilor dinamice ale obiectelor de control. De exemplu, cunoscând răspunsul tranzitoriu construit folosind un dispozitiv de înregistrare, este adesea posibil să se determine ce tip de legături îi aparține obiectul de control și, în consecință, funcția sa de transfer, ecuația diferențială etc., i.e. model de obiect. Legături tipice Orice legătură complexă poate fi reprezentată ca o combinație a celor mai simple legături.
Cele mai simple link-uri tipice includ:
amplificare,
inerțial (aperiodic de ordinul I),
integratoare (real și ideal),
diferențierea (real și ideal),
aperiodic de ordinul 2,
oscilator,
întârziat.
1) Legătură de întărire.
Legătura amplifică semnalul de intrare de K ori. Ecuația de legătură y \u003d K * x, funcția de transfer W (s) \u003d K. Parametrul K se numește câştig
.
Semnalul de ieșire al unei astfel de legături repetă exact semnalul de intrare, amplificat de K ori (vezi Figura 1.18).
Sub acțiunea pasului h(t) = K.
Exemple de astfel de legături sunt: transmisii mecanice, senzori, amplificatoare fără inerție etc.
2) Integrarea.
2.1) Integrator ideal.
Valoarea de ieșire a unui integrator ideal este proporțională cu integrala valorii de intrare:
; W(e) =
Când o legătură de acțiune în trepte x(t) = 1 este aplicată la intrare, semnalul de ieșire crește constant (vezi Figura 1.19):
Această legătură este astatică, adică nu are o stare de echilibru.
Un exemplu de astfel de legătură este un recipient umplut cu lichid. Parametrul de intrare este debitul lichidului de intrare, parametrul de ieșire este nivelul. Inițial, recipientul este gol și în absența curgerii, nivelul este zero, dar dacă porniți alimentarea cu lichid, nivelul începe să crească uniform.
2.2) Integrator real.
Funcția de transfer a acestei legături are forma
Răspunsul tranzitoriu, spre deosebire de legătura ideală, este o curbă (vezi Fig. 1.20):
h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .
Un exemplu de legătură de integrare este un motor de curent continuu cu excitație independentă, dacă tensiunea de alimentare a statorului este luată ca acțiune de intrare și unghiul de rotație a rotorului este luat ca acțiune de ieșire. Dacă motorului nu se aplică tensiune, atunci rotorul nu se mișcă și unghiul său de rotație poate fi luat egal cu zero. Când se aplică tensiune, rotorul începe să se rotească, iar unghiul său de rotație la început lent din cauza inerției, apoi crește rapid până când se atinge o anumită viteză de rotație.
3) Diferențierea.
3.1) Diferențiatorul ideal.
Valoarea de ieșire este proporțională cu derivata în timp a intrării:
Cu o intrare în trepte, ieșirea este un impuls (funcția d): h(t) = K . d(t).
3.2) Diferențierea reală.
Legăturile ideale de diferențiere nu sunt realizabile fizic. Majoritatea obiectelor care sunt legături diferențiatoare se referă la legături diferențiatoare reale, ale căror funcții de transfer au forma
Raspuns tranzitoriu: .
Exemplu de link: generator electric. Parametrul de intrare este unghiul de rotație al rotorului, parametrul de ieșire este tensiunea. Dacă rotorul este rotit cu un anumit unghi, tensiunea va apărea la bornele, dar dacă rotorul nu este rotit mai mult, tensiunea va scădea la zero. Nu poate cădea brusc din cauza prezenței inductanței în înfășurare.
4) Aperiodic (inerțial).
Această legătură corespunde DE și PF din formular
; W(s) = .
Să determinăm natura modificării valorii de ieșire a acestei legături atunci când la intrare este aplicată o acțiune pas cu valoarea x 0.
Imaginea acțiunii pasului: X(s) = . Apoi imaginea cantității de ieșire:
Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .
Să descompunăm fracția în unele simple:
= + = 
= - = -
Originalul primei fracții conform tabelului: L -1 ( ) = 1, a doua:
Apoi ajungem în sfârșit
y(t) = K x 0 (1 - ).
Se numește constanta T timpul constant.
Majoritatea obiectelor termice sunt legături aperiodice. De exemplu, atunci când se aplică tensiune la intrarea unui cuptor electric, temperatura acestuia se va schimba conform unei legi similare (vezi Figura 1.22).
5) Link-uri de ordinul doi
Legăturile au formularul DU și PF
,
W(e) = 
.
Atunci când la intrare este aplicată o acțiune în trepte cu amplitudine x 0, curba de tranziție va avea unul din două tipuri: aperiodică (la T 1 ³ 2T 2) sau oscilativă (la T 1).< 2Т 2).
În acest sens, se disting legăturile de ordinul doi:
aperiodic de ordinul 2 (T 1 ³ 2T 2),
inerțială (T 1< 2Т 2),
conservator (T 1 \u003d 0).
6) Întârziat.
Dacă, atunci când un anumit semnal este aplicat la intrarea unui obiect, acesta nu răspunde la acest semnal imediat, ci după un timp, atunci se spune că obiectul are o întârziere.
Lag este intervalul de timp din momentul în care semnalul de intrare se schimbă până la începutul schimbării semnalului de ieșire.
O legătură întârziată este o legătură a cărei valoare de ieșire y repetă exact valoarea de intrare x cu o întârziere t:
y(t) = x(t - t).
Funcția de transfer link:
W(s) = e - t s .
Exemple de întârzieri: mișcarea lichidului prin conductă (cât lichid a fost pompat la începutul conductei, atât de mult va fi eliberat la sfârșit, dar după un timp, în timp ce lichidul se mișcă prin conductă), mișcarea de marfa de-a lungul transportorului (întârzierea este determinată de lungimea transportorului și viteza benzii) etc. .d.
Link conexiuni
Întrucât obiectul studiat este împărțit în legături pentru a simplifica analiza funcționării, după determinarea funcțiilor de transfer pentru fiecare legătură, apare sarcina de a le combina într-o singură funcție de transfer a obiectului. Tipul funcției de transfer a obiectului depinde de succesiunea de conectare a legăturilor:
1) Conexiune serială.
W aproximativ \u003d W 1. W2. W 3...
Când legăturile sunt conectate în serie, funcțiile lor de transfer multiplica.
2) Conexiune în paralel.
W despre \u003d W 1 + W 2 + W 3 + ...
Când legăturile sunt conectate în paralel, funcțiile lor de transfer aduna.
3) Feedback
Funcția de transfer în funcție de sarcină (x):
„+” corespunde sistemului de operare negativ,
"-" - pozitiv.
Pentru a determina funcțiile de transfer ale obiectelor care au conexiuni mai complexe de legături, fie se folosește mărirea secvențială a circuitului, fie acestea sunt convertite conform formulei Meson.
Funcțiile de transfer ale ASR
Pentru cercetare și calcul, diagrama bloc a ASR este adusă la cea mai simplă formă standard „obiect - controler” prin intermediul transformărilor echivalente (vezi Figura 1.27). Aproape toate metodele de inginerie pentru calcularea și determinarea parametrilor setărilor regulatorului sunt aplicate pentru o astfel de structură standard.
În cazul general, orice ACP unidimensional cu feedback principal poate fi redus la această formă prin creșterea treptată a legăturilor.
Dacă ieșirea sistemului y nu este aplicată la intrarea sa, atunci se obține un sistem de control în buclă deschisă, a cărui funcție de transfer este definită ca produs:
W ¥ = W p . W y
(W p - PF al controlerului, W y - PF al obiectului de control).
|
|
|
Această funcție de transfer Ф з (s) determină dependența lui y de x și se numește funcție de transfer a unui sistem închis de-a lungul canalului de influență principală (prin atribuire).
Pentru ASR, există și funcții de transfer pentru alte canale:
Ф e (s) = = - din greșeală,
Ф în (s) = = - prin perturbare,
unde W s.v. (s) este funcția de transfer a obiectului de control pe canalul de transmisie a perturbației.
Există două opțiuni pentru a lua în considerare perturbațiile:
Perturbația are un efect aditiv asupra acțiunii de control (vezi Figura 1.29, a);
Perturbarea afectează măsurătorile parametrului controlat (vezi Figura 1.29,b).
Un exemplu al primei opțiuni poate fi influența fluctuațiilor de tensiune din rețea asupra tensiunii furnizate de regulator la elementul de încălzire al obiectului. Exemplu al celei de-a doua opțiuni: erori în măsurătorile parametrului reglat din cauza modificărilor temperaturii ambientale. W – modelul influenței mediului asupra măsurătorilor.
Figura 1.30
Parametrii K 0 = 1, K 1 = 3, K 2 = 1,5, K 4 = 2, K 5 = 0,5.
În schema bloc a ACP, legăturile corespunzătoare dispozitivului de control stau în fața legăturilor obiectului de control și generează o acțiune de control asupra obiectului u. Diagrama arată că legăturile 1, 2 și 3 aparțin circuitului regulator, iar legăturile 4 și 5 aparțin circuitului obiect.
Având în vedere că legăturile 1, 2 și 3 sunt conectate în paralel, obținem funcția de transfer a controlerului ca sumă a funcțiilor de transfer ale legăturilor:
Legăturile 4 și 5 sunt conectate în serie, astfel încât funcția de transfer a obiectului de control este definită ca produsul funcțiilor de transfer ale legăturilor:
Funcția de transfer a unui sistem deschis:
de unde se vede că numărătorul B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, numitorul (alias polinomul caracteristic al unui sistem deschis) A(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s. Atunci polinomul caracteristic al sistemului închis este egal cu:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2 . s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s + 1.
Funcțiile de transfer ale unui sistem închis:
la misiune 
,
din greseala 
.
La determinarea funcției de transfer din perturbație, W r.v. = W oy. Apoi
. ¨
