Conceptele de „polinom” și „factorizare a unui polinom” în algebră sunt foarte frecvente, deoarece trebuie să le cunoașteți pentru a efectua cu ușurință calcule cu numere mari multivalorice. Acest articol va descrie mai multe metode de descompunere. Toate sunt destul de simplu de folosit, trebuie doar să-l alegi pe cel potrivit în fiecare caz.

Conceptul de polinom

Un polinom este suma monomiilor, adică expresii care conțin numai operația de înmulțire.

De exemplu, 2 * x * y este un monom, dar 2 * x * y + 25 este un polinom, care constă din 2 monomii: 2 * x * y și 25. Astfel de polinoame se numesc binoame.

Uneori, pentru comoditatea rezolvării exemplelor cu valori multivalorice, expresia trebuie transformată, de exemplu, descompusă într-un anumit număr de factori, adică numere sau expresii între care se efectuează operația de înmulțire. Există mai multe moduri de factorizare a unui polinom. Merită să le luați în considerare pornind de la cele mai primitive, care sunt folosite chiar și în clasele primare.

Grupare (intrare generală)

Formula pentru factorizarea unui polinom în factori prin metoda grupării în general arată astfel:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Este necesară gruparea monomiilor astfel încât în ​​fiecare grupă să apară un factor comun. În prima paranteză, acesta este factorul c, iar în a doua - d. Acest lucru trebuie făcut pentru a-l scoate apoi din paranteză, simplificând astfel calculele.

Algoritm de descompunere pe un exemplu specific

Cel mai simplu exemplu de factorizare a unui polinom în factori folosind metoda grupării este dat mai jos:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

În prima paranteză, trebuie să luați termenii cu factorul a, care va fi comun, iar în a doua - cu factorul b. Acordați atenție semnelor + și - din expresia finală. Am pus înaintea monomului semnul care era în expresia inițială. Adică, trebuie să lucrați nu cu expresia 25a, ci cu expresia -25. Semnul minus, așa cum spune, este „lipit” de expresia din spatele lui și ia întotdeauna în considerare în calcule.

La pasul următor, trebuie să scoateți factorul, care este comun, din paranteză. Pentru asta este gruparea. A-l scoate din paranteză înseamnă a scrie înaintea parantezei (omițând semnul înmulțirii) toți acei factori care se repetă exact în toți termenii care sunt în paranteză. Dacă nu sunt 2, ci 3 sau mai mulți termeni în paranteză, factorul comun trebuie să fie conținut în fiecare dintre ei, altfel nu poate fi scos din paranteză.

În cazul nostru, doar 2 termeni între paranteze. Multiplicatorul general este imediat vizibil. Prima paranteză este a, a doua este b. Aici trebuie să acordați atenție coeficienților digitali. În prima paranteză, ambii coeficienți (10 și 25) sunt multipli ai lui 5. Aceasta înseamnă că nu numai a, ci și 5a pot fi încadrați. Înainte de paranteză, scrieți 5a, apoi împărțiți fiecare dintre termenii dintre paranteze după factorul comun care a fost scos și, de asemenea, notați câtul între paranteze, fără a uita semnele + și -. Faceți același lucru cu a doua paranteză. , scoateți 7b, deoarece 14 și 35 multiplu de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Au rezultat 2 termeni: 5a (2c - 5) și 7b (2c - 5). Fiecare dintre ele conține un factor comun (toată expresia dintre paranteze aici este aceeași, ceea ce înseamnă că este un factor comun): 2c - 5. De asemenea, trebuie scos din paranteză, adică termenii 5a și 7b rămâne în a doua paranteză:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Deci expresia completă este:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Astfel, polinomul 10ac + 14bc - 25a - 35b se descompune în 2 factori: (2c - 5) și (5a + 7b). Semnul înmulțirii dintre ele poate fi omis la scriere

Uneori există expresii de acest tip: 5a 2 + 50a 3, aici puteți pune paranteze nu numai a sau 5a, ci chiar 5a 2. Ar trebui să încercați întotdeauna să eliminați cel mai mare factor comun posibil din paranteză. În cazul nostru, dacă împărțim fiecare termen la un factor comun, obținem:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(la calculul coeficientului mai multor puteri cu baze egale, se păstrează baza, iar exponentul se scade). Astfel, unul rămâne în paranteză (în niciun caz nu uitați să scrieți unul dacă scoateți unul dintre termeni din paranteză în întregime) și câtul de împărțire: 10a. Se pare că:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formule pătrate

Pentru comoditatea calculelor, au fost derivate mai multe formule. Se numesc formule de înmulțire redusă și sunt folosite destul de des. Aceste formule ajută la factorizarea polinoamelor care conțin puteri. Acesta este un alt mod puternic de factorizare. Deci iată-le:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula, numită „pătratul sumei”, deoarece, ca urmare a expansiunii într-un pătrat, se ia suma numerelor cuprinse între paranteze, adică valoarea acestei sume este înmulțită cu ea însăși de 2 ori, ceea ce înseamnă că este un factor.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula pătratului diferenței, este similară cu cea anterioară. Rezultatul este o diferență cuprinsă între paranteze, cuprinsă într-o putere pătrată.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- aceasta este formula pentru diferența de pătrate, deoarece inițial polinomul este format din 2 pătrate de numere sau expresii între care se efectuează scăderea. Este poate cel mai des folosit dintre cele trei.

Exemple de calcul prin formule de pătrate

Calculele pe ele se fac destul de simplu. De exemplu:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - folosiți formula „pătratul sumei”.
2. 25x 2 este pătratul lui 5x. 20xy este de două ori produsul lui 2*(5x*2y), iar 4y 2 este pătratul lui 2y.
3. Deci 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Acest polinom este descompus în 2 factori (factorii sunt aceiași, de aceea se scrie ca o expresie cu o putere pătrată).

Operațiile după formula pătratului diferenței se efectuează în mod similar cu acestea. Ceea ce rămâne este formula diferenței pătratelor. Exemplele pentru această formulă sunt foarte ușor de identificat și de găsit printre alte expresii. De exemplu:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Deoarece 25a 2 \u003d (5a) 2 și 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Deoarece 36x 2 \u003d (6x) 2 și 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Deoarece 169b 2 = (13b) 2

Este important ca fiecare dintre termeni să fie pătratul unei expresii. Atunci acest polinom trebuie factorizat prin formula diferenței pătratelor. Pentru aceasta, nu este necesar ca a doua putere să fie deasupra numărului. Există polinoame care conțin puteri mari, dar încă potrivite pentru aceste formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

În acest exemplu, un 8 poate fi reprezentat ca (a 4) 2 , adică pătratul unei anumite expresii. 25 este 5 2 și 10a este 4 - acesta este produsul dublu al termenilor 2*a 4 *5. Adică această expresie, în ciuda prezenței unor grade cu exponenți mari, poate fi descompusă în 2 factori pentru a putea lucra ulterior cu ei.

Formule cub

Aceleași formule există pentru factorizarea polinoamelor care conțin cuburi. Sunt puțin mai complicate decât cele cu pătrate:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- această formulă se numește suma cuburilor, deoarece în forma sa inițială polinomul este suma a două expresii sau numere închise într-un cub.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - o formulă identică cu cea anterioară se notează ca diferență de cuburi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - sumă cub, în ​​urma calculelor, se obține suma numerelor sau a expresiilor, cuprinsă între paranteze și înmulțită cu ea însăși de 3 ori, adică situată în cub
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, întocmită prin analogie cu cea anterioară cu modificarea doar a unor semne ale operațiilor matematice (plus și minus), se numește „cubul diferențelor”.

Ultimele două formule practic nu sunt utilizate în scopul factorizării unui polinom, deoarece sunt complexe și este destul de rar să găsiți polinoame care corespund complet unei astfel de structuri, astfel încât să poată fi descompuse conform acestor formule. Dar încă trebuie să le cunoașteți, deoarece vor fi necesare pentru acțiuni în direcția opusă - la deschiderea parantezelor.

Exemple pentru formule cub

Luați în considerare un exemplu: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Am luat aici numere destul de prime, așa că puteți vedea imediat că 64a 3 este (4a) 3 și 8b 3 este (2b) 3 . Astfel, acest polinom este extins prin diferența de formule a cuburilor în 2 factori. Acțiunile asupra formulei sumei cuburilor sunt efectuate prin analogie.

Este important de înțeles că nu toate polinoamele pot fi descompuse în cel puțin unul dintre moduri. Dar există astfel de expresii care conțin puteri mai mari decât un pătrat sau un cub, dar pot fi extinse și în forme de înmulțire abreviate. De exemplu: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Acest exemplu conține până la 12 grade. Dar chiar și acesta poate fi factorizat folosind formula sumei cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie să reprezentați x 12 ca (x 4) 3, adică ca un cub al unei expresii. Acum, în loc de a, trebuie să îl înlocuiți în formulă. Ei bine, expresia 125y 3 este cubul lui 5y. Următorul pas este să scrieți formula și să faceți calculele.

La început, sau când aveți îndoieli, puteți verifica întotdeauna prin înmulțire inversă. Trebuie doar să deschideți parantezele din expresia rezultată și să efectuați acțiuni cu termeni similari. Această metodă se aplică tuturor metodelor de reducere de mai sus: atât pentru a lucra cu un factor comun și grupare, cât și pentru operațiile cu formulele de cuburi și puteri pătrate.

Scopul lecției:  formarea deprinderilor de factorizare a unui polinom în factori în diverse moduri;  să cultive acuratețea, perseverența, sârguința, capacitatea de a lucra în perechi. Dotare: proiector multimedia, PC, materiale didactice. Planul lecției: 1. Moment organizatoric; 2. Verificarea temelor; 3. Lucrări orale; 4. Învățarea de materiale noi; 5. Educație fizică; 6. Consolidarea materialului studiat; 7. Lucrați în perechi; 8. Tema pentru acasă; 9. Rezumând. Cursul lecției: 1. Moment organizatoric. Atribuiți elevii la lecție. Educația nu constă în cantitatea de cunoștințe, ci în înțelegerea deplină și aplicarea cu pricepere a tot ceea ce se cunoaște. (Georg Hegel) 2. Verificarea temelor. Analiza sarcinilor în rezolvarea cărora elevii au avut dificultăți. 3. Lucrări orale.  factorizați: 1) 2) 3) ; patru).  Stabiliți o corespondență între expresiile coloanelor din stânga și din dreapta: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Rezolvaţi ecuaţiile: 1. 2. 3. 4. Învăţarea unui material nou. Pentru a factoriza polinoamele, am folosit paranteze, grupări și formule de înmulțire abreviate. Uneori este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea succesivă a mai multor metode. Ar trebui să începeți transformarea, dacă este posibil, prin scoaterea din paranteze a factorului comun. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, astăzi vom încerca să dezvoltăm un plan pentru aplicarea lor consecventă.

150.000₽ fond de premii 11 documente de onoare Dovada publicării în mass-media

PLANUL LECȚIEI lecție de algebră în clasa a VII-a

Profesor Prilepova O.A.

Obiectivele lecției:

Arătați aplicarea diferitelor metode de factorizare a unui polinom

Repetați metodele de factorizare și consolidați-le cunoștințele în timpul exercițiilor

Să dezvolte abilitățile și abilitățile elevilor în aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate.

Dezvoltați gândirea logică și interesul elevilor pentru subiect.

Sarcini:

in directia dezvoltare personala:

Dezvoltarea interesului pentru creativitatea matematică și abilitățile matematice;

Dezvoltarea inițiativei, activitate în rezolvarea problemelor matematice;

Cultivarea capacității de a lua decizii independente.

în direcţia meta-subiectului :

Formarea unor moduri generale de activitate intelectuală, caracteristice matematicii și care stau la baza culturii cognitive;

Utilizarea tehnologiei TIC;

în domeniul subiectului:

Stăpânirea cunoștințelor și abilităților matematice necesare pentru a continua educația;

Formarea la elevi a capacității de a căuta modalități de factorizare a unui polinom și de a le găsi pentru un polinom care este factorizat.

Echipament:fișe, foi de traseu cu criterii de evaluare,proiector multimedia, prezentare.

Tip de lecție:repetarea, generalizarea și sistematizarea materialului acoperit

Forme de lucru:lucrul în perechi și în grup, individual, colectiv,munca independentă, frontală.

În timpul orelor:

Etape	Plan		UUD
Moment org.	Împărțire în grupuri și cupluri: Elevii își aleg un partener după următorul criteriu: Eu comunic cel mai puțin cu acest coleg de clasă. Dispoziție psihologică: Alegeți o emoticon la alegere (dispoziția de la începutul lecției) și sub ea priviți nota pe care ați dori să o primiți astăzi la lecție (SLIDE). - Pune-te în caiet în marginile notei pe care ai vrea să o primești astăzi la lecție. Veți marca rezultatele dvs. în tabel (SLIDE).Foaie de traseu. Exercițiu total Nota Criteriu de evaluare: 1. Am rezolvat totul corect, fără erori - 5 2. Când am rezolvat, am făcut de la 1 la 2 greșeli - 4 3. A făcut 3 până la 4 greșeli în timpul rezolvării - 3 4. A făcut mai mult de 4 greșeli la rezolvare - 2		Noi abordări ale predării (dialog)
Actualizare.	Munca colectivă. - Astăzi, la lecție, veți putea să vă demonstrați cunoștințele, să participați la controlul reciproc și autocontrolul activităților dvs. Potrivire (SLIDE): Pe următorul diapozitiv, fiți atenți la expresii, ce observați? (Diapozitiv) 15x3y2 + 5x2y Scoaterea multiplicatorului comun din paranteze p 2 + pq - 3 p -3 q Metoda de grupare 16m2 - 4n2 Formula de înmulțire prescurtată Cum pot fi reunite aceste acțiuni într-un singur cuvânt? (Metode de expansiune a polinoamelor) Declarația de către elevi a subiectului și a scopului lecției ca sarcină de învățare proprie (SLIDE). Pe baza acestui lucru, să formulăm subiectul lecției noastre și să stabilim obiective. Întrebări pentru studenți: Denumiți subiectul lecției; Formulați scopul lecției; Toată lumea are cărți cu numele formulelor. (Se lucrează în perechi). Dați formule tuturor formulelor
Aplicarea cunoștințelor	Lucrați în perechi. Verificarea diapozitivului 1. Alegeți răspunsul corect (SLIDE). Carduri: Exercițiu Răspuns (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25y2+49-70y 25u2-49-70u 25y2+49+70 x2-16y2= (x-4y)(x+4y) (x-16y)(x+16y) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Găsiți erori (SLIDE): Carduri nr. Verificarea diapozitivului 1 pereche: o ( b- y)2 = b2 - 4 by+y2 o 49- c2=(49-c)(49+s) 2 perechi: o (r- 10) 2=r2- 20r+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 perechi: o (3y+1)2=9y+6y+1 o ( b- a) 2 =b²-4ba+a2 4 perechi: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a²	Educație în conformitate cu caracteristicile de vârstă
	3. Fiecărei perechi i se acordă sarcini și un timp limitat pentru a o rezolva (SLIDE) Verificăm cărțile de răspuns 1. Urmați pașii: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Factorizați: a) ; b) ; în 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Găsiți valoarea expresiei: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) la p = 5.		Management și conducere
	4. Lucru de grup. Uite, nu te înșela (SLIDE). Carduri. Să verificăm diapozitivul. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v²		Predarea gândirii critice. Management și conducere
	5. Lucru în grup (consultare cu privire la soluție, discuții despre sarcini și soluțiile acestora) Fiecare membru al grupului primește sarcini de nivel A, B, C. Fiecare membru al grupului își alege o sarcină fezabilă pentru el însuși. Carduri. (Diapozitiv) Verificarea cu cărți de răspuns Nivelul A 1. Luați în considerare: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Faceți următoarele: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Nivelul B 1. Simplificați: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Calculați: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Nivelul C 1. Rezolvați ecuația: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Rezolvați ecuația: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Predarea celor talentați și supradotați
Rezumatul lecției	- Să rezumam, vom obține estimări în funcție de rezultatele tabelului. Comparați scorurile dvs. cu scorul estimat. Alegeți emoticonul care se potrivește cu evaluarea dvs. (SLIDE). c) profesorul evaluează munca clasei (activitate, nivel de cunoștințe, abilități, autoorganizare, diligență) Muncă independentă sub forma unui test cu verificare de REZERVĂ		Evaluare pentru învățare și Evaluare pentru învățare
Teme pentru acasă	Continuați să predați formule de înmulțire prescurtate.
Reflecţie	Băieți, vă rugăm să ascultați pilda: (SLIDE) Un înțelept mergea, iar trei persoane se întâlneau cu el, cărând căruțe cu Pietre pentru construirea Templului. Înțeleptul s-a oprit și a întrebat pe fiecare Întrebare. Primul a întrebat: - Ce ai făcut toată ziua? Iar el a răspuns cu un zâmbet zâmbet că a purtat pietre blestemate toată ziua. Al doilea a întrebat: „Și ce ai făcut toată ziua? ” Și el a răspuns: „Mi-am făcut treaba cu conștiință”. Iar al treilea i-a zâmbit, chipul i s-a luminat de bucurie și plăcere și i-a răspuns „A Am luat parte la construcția Templului.” Care este Templul tău? (Cunoştinţe) Baieti! Cine a lucrat de la persoana întâi? (afișați emoticoanele) (Scor 3 sau 2) (DIAPOSITIVA) Cine a lucrat cu bună credință? (Scor 4) Și cine a luat parte la construcția Templului Cunoașterii? (Scor 5)		Training pentru gândirea critică

• Formarea deprinderilor de aplicare a diferitelor metode de factorizare.
• Contribuie la educarea unei culturi a vorbirii, acuratețea înregistrării, independența.
• Formarea abilităților activității de căutare parțială: să conștientizeze problema, să analizeze, să tragă concluzii.

Echipament: manual, tablă, caiet, carduri de sarcini.

Tip de lecție: Lecție de aplicare a ZUN.

Metoda de predare: problematică, parțial exploratorie.

Forma de organizare a activităților educaționale: grup, frontal, individual, lucru în perechi.

Durata: 1 lecție (45 min)

Planul lecției:

1. Organizarea începutului lecției. (1 minut)
2. Verificarea temelor. (2 minute)
3. Actualizare. (5 minute)
4. Învățarea de materiale noi. (10 minute)
5. Consolidarea materialului nou. (15 minute)
6. Controlul și autoexaminarea cunoștințelor. (8 min)
7. Rezumând. (2 minute)
8. Teme pentru acasă. (2 minute)

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Buna baieti.

Tema lecției este „Aplicarea diferitelor metode de factorizare”. Astăzi ne vom forma abilitățile de a folosi diverse metode de factorizare și încă o dată ne vom convinge de utilitatea capacității de factorizare a unui polinom.

Vă doresc să lucrați activ la lecție. (Scrieți subiectul într-un caiet).

II. Verificarea temelor

Înainte de începerea lecției, elevii predau caietele cu temele finalizate pentru verificare. Sunt discutate problemele care au cauzat dificultăți.

III. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Înainte de a începe rezolvarea problemelor, vom verifica cât de pregătiți suntem pentru asta. Să ne amintim ce știm despre subiectul lecției.

3.1. Sondaj frontal:

a) Ce înseamnă factorizarea unui polinom?
b) Ce metode de bază de factorizare a unui polinom cunoașteți?
c) Orice polinom poate fi factorizat? De exemplu?
d) În ce sarcini este uneori utilă utilizarea factorizării?

3.2. Desenați linii pentru a conecta polinoamele cu metodele lor de factorizare corespunzătoare.

3.3. Găsiți afirmația greșită:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 s 2 = (5 - 4s) (5 - 4s) (erori b, d)

3.4. Prezent ca produs: a) 64x 2 - 1; b) (d - 3) 2 - 36;

3.5. Rezolvați ecuația x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Găsiți valoarea unei expresii 34 2 – 24 2 (580)

IV. Studierea materialului

Pentru a factoriza polinoamele, am folosit paranteze, grupări și formule de înmulțire abreviate.

Ce parere aveti, exista situatii in care este posibila factorizarea unui polinom aplicand succesiv mai multe metode?

Următoarea sarcină ne va ajuta să găsim răspunsul la această întrebare:

Factorizați polinomul și indicați ce metode au fost utilizate în acest caz. ( Lucrați în perechi cu soluția ulterioară la tablă)

Exemplul 1. 9x 3 - 36x au folosit 2 metode:

Exemplul 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 a folosit 2 metode:

• grupare;
• utilizarea formulelor de înmulțire abreviate.

Exemplul 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 au folosit 3 metode:

• grupare;
• utilizarea formulelor de înmulțire abreviate;
• scotând factorul comun din paranteze.

Exemplul 4. x 3 + 3x 2 + 2x utilizate în 3 moduri:

• scoaterea factorului comun din paranteze;
• transformare preliminară;
• gruparea.

Concluzionăm: uneori este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea succesivă a mai multor metode. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, astăzi să dezvoltăm un plan pentru aplicarea lor constantă:

1. Scoateți factorul comun din paranteză (dacă există).
2. Încercați să factorizați polinomul folosind formulele de înmulțire prescurtate.
3. Încercați să aplicați metoda de grupare (dacă metodele anterioare nu au condus la obiectiv).

V. Exerciţii de consolidare a temei enunţate

5.1. Combinația de diferite metode de factoring vă permite să efectuați cu ușurință și cu grație calcule aritmetice, să rezolvați ecuații de forma ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) (astfel de ecuații se numesc patratice, le vom studia în clasa a 8-a). ).

* Rezolvați ecuația: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Sugestie: Un anumit termen al polinomului este descompus în termenii necesari sau completat prin adăugarea unui termen la acesta. În acest din urmă caz, pentru ca polinomul să nu se schimbe, din acesta se scade același termen.

(Doi elevi rezolvă singuri ecuații într-un caiet. Răspuns: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Completează exercițiul din manualul nr. 1016 (c), 1017 (c), p. 186

(Doi elevi decid pe tablă, restul după opțiunile din caiet).

5.2. Rezolvarea ecuațiilor ( Elevii lucrează în perechi, urmat de autoexaminare)

nr. 949, p.177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (Sarcini individuale pentru elevi mai pregătiți)

Cardul 1	Cardul 2	Cardul 3
Rezolvați ecuația și scrieți suma rădăcinilor x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Rezolvați ecuația și scrieți suma rădăcinilor

x(x+3) +2(3+x) =0 suma este -5

Suma rădăcinilor acestei ecuații:

Suma rădăcinilor ecuației:.

VI. Controlul și autoexaminarea cunoștințelor.

Subiectul luat în considerare este o parte integrantă a GIA în matematică. Pentru a controla și auto-testa cunoștințele despre acest subiect, sunteți invitat să finalizați sarcinile de testare din sarcinile de formare GIA. Încercuiește răspunsul tău la întrebările testului.

Lucrări individuale pe cărți: (Elevii efectuează sarcini de testare GIA, + autotest)

Care dintre aceste expresii sunt identic egale cu 4x-10y 2(2x-5y) -2(5y-2x) -10y-4x -10y+4x? a) 1; 3; minge; c) 1;2;4; opresiune	Care dintre aceste expresii sunt identic egale - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3y 3(2a-y) 3u-6a? si tot; b) 2; y) 2;3; c)1;4	Care dintre aceste expresii sunt identic egale cu -6a + 12p -6(a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; deloc; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a 2 +5); b) (a + 1) (3a 2 -5); c) (a-1) (5-3a 2); e) (a-1) (3a 2 +5).	Exprimați ca produs de polinoame 13ah-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Exprimați ca produs de polinoame prin-6b-5у 2 +30у. a) (6-y) (b-5y); b) (y -6) (b + 5y); c) (y-6)(b-5y); d) (y -6) (5y - b).
Urmați pașii: (5a-c) 2 . a) 25a 2 + 10ac + s 2; b) 25a2 + 10ac-c2; p) 25a2-10ac + c2; d) 25a 2 -5ac + s 2.	Faceți următoarele: (5x + 2y) 2 . a) 25x 2 + 20xy + 4y 2; succes

Profesor: Să verificăm răspunsurile. Citiți cuvintele pe care le aveți. Acestea sunt exact cuvintele care îi însoțesc pe elevii de clasa a șaptea în pregătirea pentru GIA în clasa a 9-a.

VII. Rezumând lecția

Profesorul efectuează o trecere în revistă frontală a principalelor etape ale lecției, evaluează munca elevilor și îi orientează pe elevi în teme.

VIII. Teme pentru acasă: 38, nr. 950 (p. 177), nr. 1016 (g), 1017 (g), p. 186.

** Aflați valoarea expresiei (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 la x=100.

Valoarea acestei expresii nu depinde de alegerea lui x.

Lecția s-a terminat. Vă mulțumim pentru lecție și amintiți-vă că cunoștințele care nu sunt completate zilnic scade în fiecare zi.

Cărți folosite:

1. Manual „Algebră clasa a VII-a”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk şi alţii.Ed. S.A. Teliakovsky. – M.; Iluminarea, 2009.
2. Colectarea sarcinilor de testare pentru controlul tematic și final. Algebră 7. I.L. Guseva și alții - M.; Centrul de Intelect, 2009.
3. Certificare finală de stat (conform noului formular): Nota 9. Sarcini tematice de instruire. Algebră / FIPI autor-compilator: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010.

Secțiuni: Matematica

Tip de lecție:

• după metoda de conducere - o lecție practică;
• în scop didactic – o lecție de aplicare a cunoștințelor și deprinderilor.

Ţintă: formează capacitatea de a factoriza un polinom.

Sarcini:

• Didactic: sistematizează, extinde și aprofundează cunoștințele, abilitățile elevilor, aplică diverse metode de factorizare a unui polinom în factori. Pentru a forma capacitatea de a aplica descompunerea unui polinom în factori printr-o combinație de diferite tehnici. Pentru a implementa cunoștințe și abilități pe tema: „Descompunerea unui polinom în factori” pentru a finaliza sarcini la un nivel de bază și sarcini de complexitate crescută.
• Educational: să dezvolte activitatea psihică prin rezolvarea unor probleme de diverse tipuri, să învețe să găsească și să analizeze cele mai raționale modalități de rezolvare, să contribuie la formarea capacității de generalizare a faptelor studiate, de a-și exprima clar și clar gândurile.
• Educational: dezvoltarea abilităților de muncă independentă și în echipă, abilități de autocontrol.

Metode de lucru:

• verbal;
• vizual;
• practic.

Echipament pentru lecție: tablă interactivă sau lunetă, tabele cu formule de înmulțire abreviate, instrucțiuni, fișă pentru lucrul în grup.

Structura lecției:

1. Organizarea timpului. 1 minut
2. Formularea temei, scopurilor și obiectivelor lecției-practice. 2 minute
3. Verificarea temelor. 4 minute
4. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază ale elevilor. 12 minute
5. Fizkultminutka. 2 minute
6. Instrucțiuni pentru îndeplinirea sarcinilor atelierului. 2 minute
7. Efectuarea sarcinilor în grup. 15 minute
8. Verificarea și discutarea îndeplinirii sarcinilor. Analiza muncii. 3 minute
9. Stabilirea temelor. 1 minut
10. Rezervă sarcini. 3 minute

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

Profesorul verifică pregătirea clasei și a elevilor pentru lecție.

2. Formularea temei, scopurilor și obiectivelor lecției-practice

• Mesaj despre lecția finală pe această temă.
• Motivarea activității educaționale a elevilor.
• Formularea scopului și stabilirea obiectivelor lecției (împreună cu elevii).

3. Verificarea temelor

Pe tablă sunt exemple de rezolvare a exercițiilor de teme nr. 943 (a, c); Nr. 945 (c, d). Mostrele au fost realizate de elevii clasei. (Acest grup de elevi a fost identificat în lecția anterioară, și-au oficializat decizia la pauză). Elevii se pregătesc să „apere” soluțiile.

Profesor:

Verifică temele în caietele elevilor.

Invită cursanții clasei să răspundă la întrebarea: „Ce dificultăți a cauzat sarcina?”.

Oferă să compare soluția lor cu soluția de pe tablă.

Invită elevii de la tablă să răspundă la întrebările pe care elevii le-au avut pe teren la verificarea probelor.

El comentează răspunsurile elevilor, completează răspunsurile, explică (dacă este necesar).

Rezumă temele.

Elevi:

Prezintă temele profesorului.

Schimbați caietele (în perechi) și verificați unul cu celălalt.

Răspunde la întrebările profesorului.

Verificați-vă soluția cu mostre.

Aceștia acționează ca oponenți, fac completări, corecturi, notează o metodă diferită dacă metoda de rezolvare din caiet diferă de metoda de pe tablă.

Cereți explicațiile necesare elevilor, profesorului.

Găsiți modalități de a verifica rezultatele.

Participați la evaluarea calității sarcinilor de la tablă.

4. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază ale elevilor

1. Lucrări orale

Profesor:

Răspunde la întrebările:

1. Ce înseamnă factorizarea unui polinom?
2. Câte metode de descompunere cunoști?
3. Care sunt numele lor?
4. Care este cel mai frecvent?

2. Polinoamele sunt scrise pe tablă:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Profesor invită elevii să factorizeze polinoamele nr. 1-3:

• Varianta I - prin scoaterea unui factor comun;
• Opțiunea II - folosirea formulelor de înmulțire prescurtate;
• Varianta III - pe cale de grupare.

Un elev i se oferă să factorizeze polinomul nr. 4 (o sarcină individuală de dificultate crescută, sarcina se desfășoară pe formatul A 4). Apoi, pe tablă apare un exemplu de soluție pentru sarcinile nr. 1-3 (realizate de profesor), un exemplu de soluție pentru sarcina nr. 4 (realizată de elev).

3. Încălziți-vă

Profesorul dă instrucțiuni pentru factorizarea și alegerea litera asociată cu răspunsul corect. Prin adăugarea literelor veți obține numele celui mai mare matematician al secolului al XVII-lea, care a contribuit enorm la dezvoltarea teoriei rezolvării ecuațiilor. (Descartes)

5. Educaţie fizică Elevii citesc enunţurile. Dacă afirmația este adevărată, atunci elevii ar trebui să ridice mâinile în sus, iar dacă nu este adevărată, atunci să se așeze la birou. (Anexa 2)

6. Instrucțiuni privind modul de finalizare a sarcinilor atelierului.

Pe o tablă interactivă sau un poster separat, un tabel cu instrucțiuni.

La descompunerea unui polinom în factori, trebuie respectată următoarea ordine:

1. scoateți factorul comun dintre paranteze (dacă există);

2. aplicați formule de înmulțire prescurtate (dacă este posibil);

3. aplica metoda gruparii;

4. se verifică rezultatul obţinut prin înmulţire.

Profesor:

Oferă instrucțiuni elevilor (subliniază pasul 4).

Oferă implementarea sarcinilor de atelier în grupuri.

Distribuie fisele de lucru pe grupuri, foi cu hartie carbon pentru completarea temelor in caiete si verificarea ulterioara a acestora.

Stabilește timpul pentru lucrul în grup, pentru lucrul în caiete.

elevi:

Au citit instrucțiunile.

Profesorii ascultă cu atenție.

Sunt așezați în grupuri (4-5 persoane fiecare).

Pregătiți-vă pentru munca practică.

7. Efectuarea sarcinilor în grup

Fișe de lucru cu sarcini pentru grupuri. (Anexa 3)

Profesor:

Gestionează munca independentă în grup.

Evaluează capacitatea elevilor de a lucra independent, capacitatea de a lucra în grup, calitatea designului foii de lucru.

elevi:

Efectuați sarcini pe foi de hârtie carbon incluse într-un registru de lucru.

Discutați soluții raționale.

Pregătiți o fișă de lucru pentru grup.

Pregătește-te să-ți aperi munca.

8. Verificarea și discutarea sarcinii

Răspunsuri pe tablă.

Profesor:

Colectează copii ale deciziilor.

Gestionează munca elevilor care raportează pe foile de lucru.

Se oferă să efectueze o autoevaluare a muncii lor, să compare răspunsurile în caiete, fișe de lucru și mostre de pe tablă.

Amintește criteriile de notare a muncii, de participare la implementarea acesteia.

Oferă clarificări cu privire la deciziile emergente sau problemele de autoevaluare.

Rezumă primele rezultate ale lucrărilor practice și reflecției.

Rezumă (împreună cu elevii) lecția.

Spune că rezultatele finale vor fi rezumate după verificarea copiilor din lucrările efectuate de elevi.

elevi:

Dați copii profesorului.

Fișele de lucru sunt atașate la tablă.

Raportarea asupra executării lucrărilor.

Efectuați autoevaluarea și autoevaluarea performanței în muncă.

9. Stabilirea temelor

Pe tablă sunt scrise temele: Nr. 1016 (a, b); 1017 (c, d); Nr. 1021 (d, e, f)*

Profesor:

Oferă să noteze partea obligatorie a misiunii acasă.

Oferă un comentariu asupra implementării sale.

Invită elevi mai pregătiți să noteze Nr. 1021 (d, e, f) *.

Vă spune să vă pregătiți pentru următoarea lecție de revizuire