Din articolul de mai sus, puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes, s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să-i găsești pe „cinci”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci va fi dificil să rezolvați sarcini practice. De asemenea, nu va fi de prisos să vă familiarizați cu mostrele de proiectare a deciziilor și cu recomandările mele pentru proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-un mod simplu și accesibil.

Și în scopul acestei lecții, avem nevoie de următoarele materiale metodologice: Limite remarcabileȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil, în plus, acestea trebuie adesea accesate offline.

Ce este remarcabil la limitele minunate? Remarcabilitatea acestor limite constă în faptul că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi și grade. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe limite remarcabile, dar în practică, studenții cu fracțiune de normă în 95% din cazuri au două limite remarcabile: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie menționat că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, aceasta este mai convenabilă în ceea ce privește prezentarea materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), la numitor, evident, tot zero. Astfel, ne confruntăm cu o nedeterminare a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar vom lua în considerare semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

– aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și o funcție elementară, o funcție complexă. Este important doar ca tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul bâzâie - se aplică prima limită minunată.

Și iată următoarea intrare - erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, întrebarea este pentru umplere, dar care este limita ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de lin, aproape niciodată unui student nu i se va oferi să rezolve o limită gratuită și să obțină un credit ușor. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, se pare că este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate fi de un ajutor neprețuit în test, când problema va fi decisă între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve cel mai simplu exemplu („poate că el (a) mai știe ce?!”).

Să trecem la exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să înlocuim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau pe o schiță):

Deci, avem o nedeterminare a formei , its asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită arată ca prima limită minunată, dar aceasta nu este chiar asta, este sub sinus, dar în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită minunată, folosind un dispozitiv artificial. Linia de raționament poate fi următoarea: „sub sinusul pe care îl avem, ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită minunată cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în produs:

Acum rămâne doar să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe etaje, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule de matematică la școală fierbinte .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi formatată astfel:

“

Folosim prima limită remarcabilă

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită remarcabilă. La lectie Limite. Exemple de soluții am luat în considerare regula conform căreia, atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul în factori. Aici - același lucru, vom prezenta gradele ca produs (multiplicatori):

În mod similar cu exemplul anterior, conturăm cu un creion limitele minunate (aici sunt două dintre ele) și indicăm că tind la una:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus în conformitate cu binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac cam același lucru cu cotangentei, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă, de asemenea, în unitate și dispare în produs:

Ca urmare, se obține infinitul, se întâmplă.

Exemplul 4

Găsiți limita

Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Incertitudinea obținută (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Scoatem multiplicatorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită remarcabilă:

Aici avem o singură limită minunată, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de cele trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea variabilei, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt se numește a doua limită remarcabilă.

Referinţă: este un număr irațional.

Nu doar o variabilă poate acționa ca un parametru, ci și o funcție complexă. Este important doar să se străduiască spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este în putere - acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, în funcție de ce principiu se face acest lucru, a fost analizat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor să vezi că atunci când baza gradului și exponentul - , adică există o incertitudine a formei:

Această incertitudine tocmai este dezvăluită cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu stă pe un platou de argint și trebuie organizată artificial. Puteți raționa după cum urmează: în acest exemplu, parametrul înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la o putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la o putere:

Când sarcina este întocmită de mână, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În același timp, pictograma limită în sine este mutată în indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită este foarte comun, vă rugăm să studiați acest exemplu cu mare atenție.

Încercăm să înlocuim un număr infinit de mare în expresia sub semnul limită:

Rezultatul este o incertitudine. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertiți baza gradului. Argumentăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că trebuie să organizăm și la numărător.

Dovada:

Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului

Conform formulei binomiale a lui Newton:

Presupunând că primim

Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci și cantitățile crește. Prin urmare, succesiunea crescând, în timp ce (2)* Să arătăm că este mărginit. Înlocuim fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă crește, obținem inegalitatea

Întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice: Prin urmare (3)*

Astfel, șirul este mărginit de sus, în timp ce inegalitățile (2) și (3) sunt valabile: Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (un criteriu pentru convergența unei secvențe), secvența crește monoton și este mărginit, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Acestea.

Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că . Luați în considerare două cazuri:

1. Fie fiecare valoare x să fie între două numere întregi pozitive: , unde este partea întreagă a lui x. => =>

Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită Avem

Pe baza (pe limita unei funcţii intermediare) a existenţei limitelor

2. Fie . Să facem o înlocuire − x = t, atunci

Din aceste două cazuri rezultă că pentru x real.

Consecințe:

9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu echivalente în limită și teorema asupra părții principale a infinitezimale.

Fie funcțiile a( X) și b( X) – b.m. la X ® X 0 .

DEFINIȚII.

1) a( X) numit un ordin infinitezimal mai mare decât b (X) Dacă

Scrieți: a( X) = o(b( X)) .

2) a( X) Și b( X)numit infinitezimale de același ordin, Dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

Scrieți: a( X) = O(b( X)) .

3) a( X) Și b( X) numit echivalent , Dacă

Scrieți: a( X) ~ b( X).

4) a( X) se numește ordin infinitezimal k față de
foarte infinitezimal b( X), dacă infinitezimal A( X)Și(b( X)) k au aceeași ordine, adică Dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).

Lăsa A( X), b( X), a 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. la x ® X 0 . Dacă A( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

Acea

Dovada: Fie a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Apoi

TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitului mic).

Lăsa A( X)Și b( X)– b.m. la x ® X 0 , și b( X)– b.m. ordin mai mare decât A( X).

= , a deoarece b( X) – ordin mai mare decât a( X), atunci , i.e. din este clar că un( X) + b( X) ~ a( X)

10) Continuitatea funcției într-un punct (în limbajul limitelor epsilon-delta, geometric) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.

1. Definiții de bază

Lăsa f(X) este definită într-o vecinătate a punctului X 0 .

DEFINIȚIA 1. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă egalitatea este adevărată

Remarci.

1) Prin teorema 5 din §3, egalitatea (1) poate fi scrisă ca

Stare (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.

2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:

Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct X 0 , atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate.

DEFINIȚIA 2 (în limba e-d).

funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 Dacă„e>0 $d>0 astfel de, Ce

dacă xОU( X 0, d) (adică | X – X 0 | < d),

apoi f(X)ОU( f(X 0), e) (adică | f(X) – f(X 0) | < e).

Lăsa X, X 0 Î D(f) (X 0 - fix, X- arbitrar)

Notă: D X= x-x 0 – increment de argument

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – creșterea funcției în punctul x 0

DEFINIȚIA 3 (geometrică).

funcția f(X) pe numit continuu la un punct X 0 dacă în acest moment un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcţiei, adică

Lasă funcția f(X) este definită pe intervalul [ X 0 ; X 0 + d) (pe intervalul ( X 0 - d; X 0 ]).

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 pe dreapta (stânga ), dacă egalitatea este adevărată

Este evident că f(X) este continuă la punct X 0 Û f(X) este continuă la punct X 0 dreapta si stanga.

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu pe interval e ( A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

funcția f(X) se numeste continuu pe segment [A; b] dacă este continuă pe interval (A; b) și are continuitate unilaterală la punctele de limită(adică continuu la punctul A corect, punct b- la stânga).

11) Puncte de break, clasificarea lor

DEFINIȚIE. Dacă funcția f(X) este definită într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acel moment, atunci f(X) se numește discontinuu în punctul x 0 , dar ideea X 0 numit punct de rupere funcții f(X) .

Remarci.

1) f(X) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului X 0 .

Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.

2) Din definiția lui z, punctul X 0 este punctul de întrerupere al funcției f(X) în două cazuri:

a) U( X 0, d)n D(f) , dar pentru f(X) egalitatea nu este satisfăcută

b) U * ( X 0, d)n D(f) .

Pentru funcțiile elementare, este posibil doar cazul b).

Lăsa X 0 - punctul de întrerupere a funcției f(X) .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita eu drăguț dacă funcția f(X)are limite finite în acest punct în stânga și în dreapta.

Dacă, în plus, aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere , in caz contrar - punct de salt .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita II drăguț dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(X)în acest punct este egal cu¥ sau nu există.

12) Proprietățile funcțiilor continue pe un segment (teoremele lui Weierstrass (fără dovezi) și teoremele lui Cauchy

Teorema Weierstrass

Fie funcția f(x) continuă pe segmentul , atunci

1)f(x) este limitat la

2) f (x) ia intervalul valorile sale cele mai mici și cele mai mari

Definiție: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x ∈ D(f).

Valoarea funcției m=f se numește cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).

Funcția poate lua cea mai mică \ cea mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.

f(x 3)=f(x 4)=max

teorema lui Cauchy.

Fie funcția f(x) continuă pe segment și x numărul cuprins între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g

Prima limită remarcabilă se numește următoarea egalitate:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, spunem că prima limită remarcabilă relevă o nedeterminare a formei $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, sub semnul sinus și la numitor, orice expresie poate fi localizată, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:

1. Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$.
2. Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.

Corolarele din prima limită remarcabilă sunt, de asemenea, adesea folosite:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)

Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele #2, #3, #4 și #5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele 6-10 conțin soluții cu puține sau fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. La rezolvare se folosesc câteva formule trigonometrice, care pot fi găsite.

Observ că prezența funcțiilor trigonometrice, cuplată cu incertitudinea $\frac (0) (0)$, nu înseamnă că trebuie aplicată prima limită remarcabilă. Uneori sunt suficiente transformări trigonometrice simple - de exemplu, vezi.

Exemplul #1

Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Acea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Să facem înlocuirea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero unde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Este demonstrată egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.

c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero unde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, bazându-ne pe rezultatele punctului a), vom avea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Este demonstrată egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.

Exemplul #2

Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. iar numaratorul si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, se poate observa că expresiile de sub semnul sinus și din numitor sunt aceleași (adică și sunt satisfăcute):

Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplul #3

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac( 0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu se potrivesc. Aici este necesară ajustarea expresiei din numitor la forma dorită. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor - atunci va deveni adevărată. Practic, ne lipsește factorul $9$ din numitor, care nu este atât de greu de introdus, doar înmulțiți expresia din numitor cu $9$. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat cu $9$ și să împărțiți:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Acum, expresiile din numitor și sub semnul sinus sunt aceleași. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplul #4

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu o nedeterminare a forma $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este ruptă. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită $5x$ în numitor. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ din semnul limită, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ îndeplinește pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplul #5

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (amintim că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită minunată, ar trebui să scapi de cosinusul din numărător mergând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Puteți face acest lucru cu următoarea transformare:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Să revenim la limită:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită minunată (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Să revenim la limita considerată:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplul #6

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să-l deschidem cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Trecând în limita dată la sinusuri, vom avea:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplul #7

Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dat $\alpha\neq\ beta $.

Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există o nedeterminare a $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Folosind formula de mai sus, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplul #8

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (amintim că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Să o descompunem astfel:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplul #9

Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să schimbați variabila în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că variabila $\alpha \to 0$ în formule). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Observ că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracțiile. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplul #10

Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Din nou avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o modificare a variabilei în așa fel încât noua variabilă să tindă spre zero (rețineți că în formule variabila este $\alpha\to(0)$). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:

$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stânga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplul #11

Găsiți limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

În acest caz, nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți: atât în ​​prima cât și în a doua limită, există doar funcții și numere trigonometrice. Adesea, în exemple de acest fel, este posibilă simplificarea expresiei situate sub semnul limită. În acest caz, după simplificarea și reducerea menționată a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat aplicarea primei limite remarcabile.

Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (amintim că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (amintim că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, acest lucru nu înseamnă deloc că trebuie să folosim prima limită remarcabilă. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare ale acestei secțiuni, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresii în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre: scrieți suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, este adesea convenabil să schimbați o variabilă într-o formă similară, astfel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Totuși, în acest exemplu, nu are rost să înlocuiești variabila, deși este ușor să implementezi înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ dacă se dorește.

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\dreapta)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, acest lucru se poate face dacă se dorește (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.

Care ar fi soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde

Folosind prima limită remarcabilă, obținem:

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Prima limită remarcabilă este adesea folosită pentru a calcula limitele care conțin sinus, arcsinus, tangentă, arctangentă și incertitudinile rezultate zero împărțit la zero.

Formulă

Formula pentru prima limită remarcabilă este: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Observăm că $ \alpha\to 0 $ generează $ \sin\alpha \to 0 $, astfel avem zerouri în numărător și numitor. Astfel, formula primei limite remarcabile este necesară pentru a releva incertitudinile lui $ \frac(0)(0) $.

Pentru ca formula să se aplice, trebuie îndeplinite două condiții:

1. Expresiile conținute în sinusul și numitorul unei fracții sunt aceleași
2. Expresiile din sinusul și numitorul unei fracții tind spre zero

Atenţie! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Deși expresiile de sub sinus și la numitor sunt aceleași, totuși $ 2x ^2+1 = 1 $, când $ x\la 0 $. A doua condiție nu este îndeplinită, deci formula NU POATE fi aplicată!

Consecințe

Destul de rar, în sarcini puteți vedea o primă limită minunată curată în care puteți nota imediat răspunsul. În practică, totul pare puțin mai complicat, dar pentru astfel de cazuri va fi util să cunoaștem consecințele primei limite remarcabile. Datorită acestora, puteți calcula rapid limitele dorite.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Exemple de soluții

Să luăm în considerare prima limită remarcabilă, exemple ale cărei soluție pentru calculul limitelor care conțin funcții trigonometrice și incertitudine $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Exemplul 1

Calculați $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Soluţie

Luați în considerare limita și rețineți că conține un sinus. Apoi, înlocuim $ x = 0 $ în numărător și numitor și obținem incertitudinea lui zero împărțită la zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Deja două semne că trebuie să aplicați o limită minunată, dar există o mică nuanță: nu vom putea aplica imediat formula, deoarece expresia de sub semnul sinus diferă de expresia din numitor. Și avem nevoie de ei să fie egali. Prin urmare, cu ajutorul transformărilor elementare ale numărătorului, îl vom transforma în $2x$. Pentru a face acest lucru, vom scoate zeul de la numitorul fracției printr-un factor separat. Arată astfel: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , că la sfârșit $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ a fost obținut prin formula. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \lim_(x\la 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Exemplul 2

Găsiți $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Soluţie

Ca întotdeauna, mai întâi trebuie să cunoașteți tipul de incertitudine. Dacă este zero împărțit la zero, atunci acordăm atenție prezenței unui sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Această incertitudine ne permite să folosim formula primei limite remarcabile, dar expresia de la numitor nu este egală cu argumentul sinusului? Prin urmare, este imposibil să se aplice formula „pe frunte”. Trebuie să înmulțiți și să împărțiți fracția cu argumentul sinus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Acum descriem proprietățile limitelor: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ A doua limită se potrivește doar formulei și este egală cu unu: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Înlocuiți din nou $ x = 0 $ într-o fracție și obțineți incertitudinea $ \frac(0)(0) $. Pentru a o elimina, este suficient să scoateți $ x $ din paranteze și să reduceți cu el: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Răspuns

$$ \lim_(x\la 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Exemplul 4

Calculați $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Soluţie

Să începem calculul înlocuind $ x=0 $. Ca rezultat, obținem incertitudinea $ \frac(0)(0) $. Limita conține un sinus și o tangentă, care sugerează o posibilă desfășurare a situației folosind formula primei limite remarcabile. Să transformăm numărătorul și numitorul fracției într-o formulă și o consecință: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Acum vedem în numărător și numitor există expresii potrivite pentru formula și consecințe. Argumentul sinus și argumentul tangentei sunt aceleași pentru numitorii respectivi $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Răspuns

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

În articolul: „Prima limită remarcabilă, exemple de soluții” s-a spus despre cazurile în care este indicat să se folosească această formulă și consecințele ei.

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, avem de-a face cu o incertitudine de forma 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Luați în considerare problemele în care avem nevoie de capacitatea de a calcula a doua limită remarcabilă.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Înlocuiți formula dorită și efectuați calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

În răspunsul nostru, am primit o unitate la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudini. Alegem a doua limită remarcabilă și facem o schimbare de variabile.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Dacă x → ​​∞ atunci t → - ∞ .

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Înlocuiți infinitul și obțineți următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită minunată. În continuare, trebuie să selectăm partea întreagă de la baza funcției de putere:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceea, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuim variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞ , atunci t → ∞ .

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

După aceea, trebuie să efectuăm o transformare a funcției pentru a aplica a doua limită minunată. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Înlocuind t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, obținem a doua limită remarcabilă. Înseamnă ceea ce:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

concluzii

Incertitudinea 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit, este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențială.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter