Je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo prvé: odstráňte konštantu

Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

rozhodnutie:

Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok k piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:

Pokúsili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akoukoľvek otázkou na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť to najťažšie ovládanie a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.

Funkčný výskum. V tomto článku budeme hovoriť o úlohách, v ktorých sa berú do úvahy funkcie a v ktorých sú otázky súvisiace s ich štúdiom. Zvážte hlavné teoretické body, ktoré potrebujete vedieť a pochopiť, aby ste ich vyriešili.

Ide o celú skupinu úloh zahrnutých do skúšky z matematiky. Zvyčajne sa kladie otázka hľadania bodov maxima (minima) alebo určenia najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie na danom intervale.Zvažuje sa:

— Mocenské a iracionálne funkcie.

— Racionálne funkcie.

— Štúdium pracovné a súkromné.

— Logaritmické funkcie.

— Goniometrické funkcie.

Ak rozumiete teórii limitov, pojmu derivácia, vlastnostiam derivácie na štúdium grafov funkcií a jej , potom vám takéto problémy nebudú robiť žiadne ťažkosti a ľahko ich vyriešite.

Nižšie uvedené informácie sú teoretické body, ktorých pochopenie vám umožní uvedomiť si, ako takéto problémy riešiť. Pokúsim sa ich uviesť tak, aby takéto problémy bez väčších ťažkostí vyriešili aj tí, ktorým táto téma chýbala, alebo si ju zle naštudovala.

V úlohách tejto skupiny, ako už bolo spomenuté, je potrebné nájsť buď minimálny (maximálny) bod funkcie, alebo najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na intervale.

Minimálny a maximálny počet bodov.Vlastnosti derivátov.

Zvážte graf funkcie:

Bod A je maximálny bod, na intervale od O do A funkcia rastie, na intervale od A po B klesá.

Bod B je minimálny bod, na intervale od A do B funkcia klesá, na intervale od B do C sa zvyšuje.

V týchto bodoch (A a B) derivácia zmizne (rovná sa nule).

Tangenty v týchto bodoch sú rovnobežné s osou vôl.

Dodám, že body, v ktorých funkcia mení svoje správanie z rastúceho na klesajúce (a naopak, z klesajúceho na rastúce), sa nazývajú extrémy.

Dôležitý bod:

1. Derivácia na rastúcich intervaloch má kladné znamienko (nPri dosadení hodnoty z intervalu do derivácie sa získa kladné číslo).

To znamená, že ak má derivácia v určitom bode z určitého intervalu kladnú hodnotu, potom sa graf funkcie na tomto intervale zväčší.

2. Na klesajúcich intervaloch má derivácia záporné znamienko (pri dosadení hodnoty z intervalu do derivačného výrazu dostaneme záporné číslo).

Takže ak má derivácia v určitom bode z určitého intervalu zápornú hodnotu, potom sa graf funkcie na tomto intervale zníži.

Toto si treba ujasniť!

Výpočtom derivácie a jej prirovnaním k nule teda môžete nájsť body, ktoré rozdeľujú skutočnú os na intervaly.V každom z týchto intervalov môžete určiť znamienko derivácie a potom vyvodiť záver o jej zvýšení alebo znížení.

* Samostatne by sa malo povedať o bodoch, v ktorých derivát neexistuje. Napríklad môžeme získať deriváciu, ktorej menovateľ zaniká pri určitom x. Je jasné, že pre takéto x derivácia neexistuje. Takže aj tento bod treba brať do úvahy pri určovaní intervalov zvyšovania (znižovania).

Funkcia v bodoch, kde sa derivácia rovná nule, nie vždy zmení svoje znamienko. Toto bude samostatný článok. Na samotnom USE žiadne takéto úlohy nebudú.

Vyššie uvedené vlastnosti sú potrebné na štúdium správania sa funkcie pri zvyšovaní a znižovaní.

Čo ešte potrebujete vedieť na vyriešenie zadaných problémov: tabuľku derivátov a pravidlá diferenciácie. Bez tohto nič. Ide o základné poznatky v téme derivácie. Mali by ste veľmi dobre poznať derivácie elementárnych funkcií.

Výpočet derivácie komplexnej funkcief(g(X)), predstavte si funkciug(X) je premenná a potom vypočítajte deriváciuf’(g(X)) tabuľkovými vzorcami ako obyčajná derivácia premennej. Potom vynásobte výsledok deriváciou funkcieg(X) .

Pozrite si video tutoriál od Maxima Semenikhina o komplexnej funkcii:

Problémy pri hľadaní maximálneho a minimálneho počtu bodov

Algoritmus na nájdenie maximálnych (minimálnych) bodov funkcie:

1. Nájdite deriváciu funkcie f’(X).

2. Nájdite nuly derivácie (prirovnaním derivácie k nule f’(X)=0 a vyriešiť výslednú rovnicu). Nájdeme aj body, kde derivácia neexistuje(toto sa týka najmä zlomkovo-racionálnych funkcií).

3. Získané hodnoty označíme na číselnej osi a určíme znamienka derivácie na týchto intervaloch dosadením hodnôt z intervalov do derivačného výrazu.

Výstup bude jeden z dvoch:

1. Maximálny bod je bodpri ktorej sa derivácia mení z kladnej na zápornú.

2. Minimálny bod je bodpri ktorej sa derivácia mení z negatívnej na pozitívnu.

Problémy pri hľadaní najväčšej alebo najmenšej hodnoty

funkcie na intervale.

V inom type úlohy je potrebné nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na danom intervale.

Algoritmus na nájdenie najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie:

1. Určte, či existuje maximálny (minimálny) počet bodov. Aby sme to dosiahli, nájdeme derivát f’(X) , potom vyriešiť f’(X)=0 (body 1 a 2 z predchádzajúceho algoritmu).

2. Zistíme, či získané body patria do daného intervalu a zapíšeme tie, ktoré v ňom ležia.

3. Do pôvodnej funkcie (nie do derivácie, ale do danej v podmienke) dosadíme hranice daného intervalu a body (maximum-minimum) ležiace v intervale (položka 2).

4. Vypočítame hodnoty funkcie.

5. Zo získaných vyberieme najväčšiu (najmenšiu) hodnotu podľa toho, aká otázka bola v úlohe položená a následne zapíšeme odpoveď.

Otázka: prečo je v úlohách hľadania najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie potrebné hľadať maximálne (minimálne) body?

Odpoveď je najlepšie ilustrovaná, pozrite si schematické znázornenie grafov uvedených funkciami:

V prípadoch 1 a 2 stačí dosadiť hranice intervalu na určenie maximálnej alebo minimálnej hodnoty funkcie. V prípadoch 3 a 4 je potrebné nájsť nuly funkcie (maximum-minimum bodov). Ak dosadíme hranice intervalu (bez nájdenia núl funkcie), dostaneme nesprávnu odpoveď, je to vidieť z grafov.

Ide o to, že pomocou danej funkcie nevidíme, ako graf vyzerá na intervale (či má v intervale maximum alebo minimum). Preto bez problémov nájdite nuly funkcie!!!

Ak rovnica f'(X)=0 nebude mať riešenie, to znamená, že neexistujú žiadne maximum-minimum bodov (obrázok 1.2) a pre nájdenie zadanej úlohy sa do tejto funkcie dosadia len hranice intervalu.

Ďalší dôležitý bod. Pamätajte, že odpoveď musí byť celé číslo alebo posledné desatinné číslo. Pri výpočte najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie dostanete výrazy s číslom e a pi, ako aj výrazy s odmocninou. Pamätajte, že ich nemusíte počítať až do konca a je jasné, že výsledok takýchto výrazov nebude odpoveďou. Ak existuje túžba vypočítať takúto hodnotu, urobte to (čísla: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Napísal som veľa, asi zmätený? Na konkrétnych príkladoch uvidíte, že všetko je jednoduché.

Ďalej vám chcem povedať malé tajomstvo. Faktom je, že mnohé úlohy možno vyriešiť bez znalosti vlastností derivácie a dokonca aj bez pravidiel diferenciácie. Určite vám poviem o týchto nuansách a ukážem vám, ako sa to robí? Nenechajte si ujsť!

Ale prečo som potom vôbec uvádzal teóriu a tiež povedal, že to musí byť bezpodmienečne známe. To je pravda - musíte vedieť. Ak tomu rozumiete, tak vás žiadna úloha v tejto téme nepopletie.

Tie „triky“, o ktorých sa naučíte, vám pomôžu pri riešení konkrétnych (niektorých) prototypových problémov. KomuAko doplnkový nástroj sú tieto techniky samozrejme vhodné na použitie. Problém je možné vyriešiť 2-3 krát rýchlejšie a ušetriť čas na riešenie časti C.

Všetko najlepšie!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Derivácia funkcie jednej premennej.

Úvod.

Tento metodický vývoj je určený pre študentov Fakulty priemyselného a stavebnej fakulty. Sú zostavené vo vzťahu k programu kurzu matematiky v časti "Diferenciálny počet funkcií jednej premennej."

Vývoj predstavuje jednotnú metodickú príručku, ktorá obsahuje: stručné teoretické informácie; „typické“ úlohy a cvičenia s podrobným riešením a vysvetlením týchto riešení; možnosti ovládania.

Ďalšie cvičenia na konci každého odseku. Takáto štruktúra vývoja ich robí vhodnými na samostatné zvládnutie sekcie s čo najmenšou pomocou učiteľa.

§jedna. Definícia derivátu.

Mechanický a geometrický význam

derivát.

Pojem derivácie je jedným z najdôležitejších pojmov matematickej analýzy a vznikol už v 17. storočí. Vznik pojmu derivácia je historicky spojený s dvoma problémami: problémom rýchlosti premenlivého pohybu a problémom dotyčnice ku krivke.

Tieto úlohy, napriek ich odlišnému obsahu, vedú k rovnakej matematickej operácii, akú je potrebné vykonať na funkcii.Táto operácia dostala v matematike osobitný názov. Nazýva sa to operácia diferencovania funkcie. Výsledok operácie diferenciácie sa nazýva derivácia.

Takže derivácia funkcie y=f(x) v bode x0 je limit (ak existuje) pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu.
pri
.

Derivát sa zvyčajne označuje takto:
.

Takže podľa definície

Symboly sa tiež používajú na označenie derivátu
.

Mechanický význam derivátu.

Ak s=s(t) je zákon priamočiareho pohybu hmotného bodu, potom
je rýchlosť tohto bodu v čase t.

Geometrický význam derivátu.

Ak funkcia y=f(x) má v bode deriváciu , potom sklon dotyčnice ku grafu funkcie v bode
rovná sa
.

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie
v bode =2:

1) Dajme bod = 2 prírastok
. Všimni si.

2) Nájdite prírastok funkcie v bode =2:

3) Zostavte pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu:

Nájdite limitu vzťahu na
:

.

teda
.

§ 2. Deriváty niektorých

najjednoduchšie funkcie.

Študent sa musí naučiť počítať derivácie konkrétnych funkcií: y=x,y= a vo všeobecnosti y= .

Nájdite deriváciu funkcie y=x.

tie. (x)'=1.

Poďme nájsť deriváciu funkcie

Derivát

Nechať byť
potom

Je ľahké si všimnúť vzor vo výrazoch pre derivácie mocninovej funkcie
pri n=1,2,3.

teda

. (1)

Tento vzorec platí pre každé reálne n.

Najmä pomocou vzorca (1) máme:

;

.

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie

.

.

Táto funkcia je špeciálnym prípadom funkcie formulára

pri
.

Pomocou vzorca (1) máme

.

Derivácie funkcií y=sin x a y=cos x.

Nech y=sinx.

Vydelíme ∆x, dostaneme

Prechod na limitu ako ∆x→0, máme

Nech y=cosx .

Prechodom na limitu ako ∆x→0 dostaneme

;
. (2)

§3. Základné pravidlá diferenciácie.

Zvážte pravidlá diferenciácie.

Veta1 . Ak sú funkcie u=u(x) a v=v(x) diferencovateľné v danom bode x, potom ich súčet je v tomto bode tiež diferencovateľný a derivácia súčtu sa rovná súčtu odvodených členov: (u+v)"=u"+v".(3 )

Dôkaz: zvážte funkciu y=f(x)=u(x)+v(x).

Prírastok ∆x argumentu x zodpovedá prírastkom ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcií u a v. Potom bude funkcia y inkrementovaná

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

teda

Takže (u+v)"=u"+v".

Veta2. Ak sú funkcie u=u(x) a v=v(x) diferencovateľné v danom bode x, potom ich súčin je tiež diferencovateľný v tom istom bode. V tomto prípade deriváciu súčinu nájdeme podľa nasledujúceho vzorca : (uv) "=u" v + uv ". (4)

Dôkaz: Nech y=uv, kde u a v sú niektoré diferencovateľné funkcie x. Nech sa x zvýši o ∆x, potom sa u zvýši o ∆u, v sa zvýši o ∆v a y sa zvýši o ∆y.

Máme y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), alebo

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Preto ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Odtiaľ

Prejdeme k limite ako ∆x→0 a vezmeme do úvahy, že u a v nezávisia od ∆x, máme

Veta 3. Derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého menovateľ sa rovná druhej mocnine deliteľa a v čitateli je rozdiel medzi súčinom derivácie deliteľa deliteľom a súčinom deliteľa. dividenda derivátom deliteľa, t.j.

Ak
potom
(5)

Veta 4. Derivácia konštanty je nula, t.j. ak y=C, kde С=konšt., potom y"=0.

Veta 5. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie, t.j. ak y=Cu(x), kde С=konšt., potom y"=Cu"(x).

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

.

Táto funkcia má tvar
, kde u=x,v=cosx. Aplikovaním diferenciačného pravidla (4) zistíme

.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

.

Aplikujeme vzorec (5).

Tu
;
.

Úlohy.

Nájdite deriváty nasledujúcich funkcií:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Zostavte pomer a vypočítajte limit.

Kde bolo tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie? Vďaka jedinému limitu. Vyzerá to ako kúzlo, ale v skutočnosti - podvod a žiadny podvod. Na lekcii Čo je derivát? Začal som uvažovať o konkrétnych príkladoch, kde som pomocou definície našiel derivácie lineárnej a kvadratickej funkcie. Za účelom kognitívnej rozcvičky budeme ďalej rušiť derivačná tabuľka, zdokonaľovanie algoritmu a technických riešení:

Príklad 1

V skutočnosti je potrebné dokázať špeciálny prípad derivácie mocninnej funkcie, ktorý sa zvyčajne vyskytuje v tabuľke: .

rozhodnutie technicky formalizované dvoma spôsobmi. Začnime prvým, už známym prístupom: rebrík začína doskou a derivačná funkcia začína deriváciou v bode.

Zvážte niektoré(konkrétny) bod patriaci do domén funkcia, ktorá má deriváciu. V tomto bode nastavte prírastok (samozrejme, nie ďalejo/o -ja) a zostavte zodpovedajúci prírastok funkcie:

Vypočítajme hranicu:

Neistota 0:0 je eliminovaná štandardnou technikou uvažovanou už v prvom storočí pred naším letopočtom. Vynásobte čitateľa a menovateľa pridruženým výrazom :

Technika riešenia takéhoto limitu je podrobne rozobratá v úvodnej lekcii. o limitoch funkcií.

Keďže AKÝKOĽVEK bod intervalu môže byť zvolený ako, potom nahradením dostaneme:

Odpoveď

Ešte raz sa radujme z logaritmov:

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivácie

rozhodnutie: zvážme iný prístup k propagácii tej istej úlohy. Je úplne rovnaký, no dizajnovo racionálnejší. Cieľom je zbaviť sa dolného indexu na začiatku riešenia a namiesto písmena použiť písmeno .

Zvážte svojvoľný bod patriaci do domén funkciu (interval) a nastavte v nej prírastok. A tu, mimochodom, ako vo väčšine prípadov, môžete urobiť bez akýchkoľvek výhrad, pretože logaritmická funkcia je diferencovateľná v akomkoľvek bode v oblasti definície.

Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:

Poďme nájsť derivát:

Jednoduchosť dizajnu je vyvážená zmätkom, ktorý môžu začiatočníci (nielen) zažiť. Koniec koncov, sme zvyknutí, že písmeno „X“ sa v limite mení! Ale tu je všetko inak: - starožitná socha a - živý návštevník, ktorý sa veselo prechádza po chodbe múzea. To znamená, že „x“ je „ako konštanta“.

K odstraňovaniu neistoty sa vyjadrím krok za krokom:

(1) Použite vlastnosť logaritmu .

(2) V zátvorke delíme čitateľa menovateľom člen po člen.

(3) V menovateli umelo násobíme a delíme "x", aby sme využili úžasná hranica , pričom ako nekonečne malý vyčnieva.

Odpoveď: podľa definície derivátu:

Alebo v skratke:

Navrhujem nezávisle zostaviť ďalšie dva tabuľkové vzorce:

Príklad 3

V tomto prípade je vhodné kompilovaný prírastok okamžite zredukovať na spoločného menovateľa. Približná ukážka zadania na konci hodiny (prvá metóda).

Príklad 3:rozhodnutie : zvážte nejaký bod , patriaci do pôsobnosti funkcie . V tomto bode nastavte prírastok a zostavte zodpovedajúci prírastok funkcie:

Nájdite deriváciu v bode :


Keďže ako môžete si vybrať ľubovoľný bod rozsah funkcie , potom a
Odpoveď : podľa definície derivátu

Príklad 4

Nájdite derivát podľa definície

A tu treba všetko zredukovať úžasná hranica. Riešenie je zarámované druhým spôsobom.

Podobne aj množstvo ďalších tabuľkové deriváty. Kompletný zoznam nájdete v školskej učebnici, alebo napríklad v 1. diele Fichtenholtza. Nevidím veľký zmysel v prepisovaní z kníh a dôkazov o pravidlách diferenciácie – tie sú tiež generované vzorcom.

Príklad 4:rozhodnutie , vo vlastníctve a nastavte v ňom prírastok

Poďme nájsť derivát:

Využitie úžasného limitu

Odpoveď : a-priorstvo

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivátu

rozhodnutie: Použite prvý vizuálny štýl. Zoberme si nejaký bod patriaci do , nastavme v ňom prírastok argumentu. Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:

Možno niektorí čitatelia ešte úplne nepochopili princíp, podľa ktorého by sa malo zvyšovať. Zoberieme bod (číslo) a nájdeme v ňom hodnotu funkcie: , teda do funkcie namiesto"x" by sa malo nahradiť. Teraz tiež vezmeme veľmi konkrétne číslo a tiež ho dosadíme do funkcie namiesto"X": . Rozdiel zapíšeme, pokiaľ je to potrebné úplne zatvorte zátvorky.

Prírastok zloženej funkcie je výhodné okamžite zjednodušiť. Za čo? Uľahčiť a skrátiť riešenie ďalšieho limitu.

Používame vzorce, otvárame zátvorky a redukujeme všetko, čo sa dá znížiť:

Morka je vypitvaná, žiadny problém s pečením:

Nakoniec:

Keďže ako kvalitu je možné zvoliť akékoľvek reálne číslo, vykonáme substitúciu a dostaneme .

Odpoveď: a-priorstvo.

Na účely overenia nájdeme derivát pomocou diferenciačné pravidlá a tabuľky:

Vždy je užitočné a príjemné poznať správnu odpoveď vopred, preto je lepšie v duchu alebo na návrhu „rýchlo“ odlíšiť navrhovanú funkciu hneď na začiatku riešenia.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie podľa definície derivácie

Toto je príklad „urob si sám“. Výsledok leží na povrchu:

Príklad 6:rozhodnutie : zvážte nejaký bod , vo vlastníctve , a nastavte v ňom prírastok argumentu . Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:


Vypočítajme deriváciu:


takto:
Pretože ako je možné zvoliť akékoľvek reálne číslo a
Odpoveď : a-priorstvo.

Vráťme sa k štýlu #2:

Príklad 7

Poďme okamžite zistiť, čo by sa malo stať. Autor: pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

rozhodnutie: zvážte ľubovoľný bod patriaci do , nastavte v ňom prírastok argumentu a vytvorte prírastok funkcie:

Poďme nájsť derivát:


(1) Použitie trigonometrický vzorec .

(2) Pod sínusom otvárame zátvorky, pod kosínusom uvádzame podobné pojmy.

(3) Pod sínusom redukujeme členy, pod kosínusom delíme čitateľa menovateľom člen členmi.

(4) Kvôli zvláštnosti sínusu vyberáme „mínus“. Pod kosínusom označujeme, že výraz .

(5) Umelo vynásobíme menovateľa, ktorý použijeme prvá úžasná limitka. Tým pádom odpadá neistota, výsledok prečešeme.

Odpoveď: a-priorita

Ako vidíte, hlavná zložitosť uvažovaného problému spočíva v zložitosti samotného limitu + miernej originalite balenia. V praxi sa stretávame s oboma spôsobmi navrhovania, preto oba prístupy popisujem čo najpodrobnejšie. Sú ekvivalentné, ale podľa môjho subjektívneho dojmu je pre figuríny výhodnejšie držať sa 1. možnosti s „X nula“.

Príklad 8

Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie

Príklad 8:rozhodnutie : zvážiť svojvoľný bod , vo vlastníctve , nastavíme v ňom prírastok a vykonajte prírastok funkcie:

Poďme nájsť derivát:

Používame trigonometrický vzorec a prvý pozoruhodný limit:

Odpoveď : a-priorstvo

Poďme analyzovať zriedkavejšiu verziu problému:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie v bode pomocou definície derivácie.

Po prvé, aký by mal byť základ? číslo

Vypočítajme odpoveď štandardným spôsobom:

rozhodnutie: z hľadiska prehľadnosti je táto úloha oveľa jednoduchšia, pretože vzorec namiesto toho zohľadňuje konkrétnu hodnotu.

V bode nastavíme prírastok a zložíme zodpovedajúci prírastok funkcie:

Vypočítajte deriváciu v bode:

Na rozdiel dotyčníc používame veľmi zriedkavý vzorec a ešte raz znížte roztok na prvá úžasná limitka:

Odpoveď: podľa definície derivátu v bode.

Úloha nie je taká náročná na riešenie a „vo všeobecnosti“ - stačí nahradiť alebo jednoducho v závislosti od metódy návrhu. V tomto prípade samozrejme nedostanete číslo, ale derivačnú funkciu.

Príklad 10

Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie v bode (z ktorých jeden sa môže ukázať ako nekonečný), o ktorom som už vo všeobecnosti hovoril teoretická lekcia o derivácii.

Niektoré po častiach definované funkcie sú tiež diferencovateľné v „priečnych“ bodoch grafu, napríklad mačka má spoločnú deriváciu a spoločnú tangentu (abscisa) v bode . Krivka, áno rozlíšiteľné podľa ! Kto chce, môže si to overiť na modeli práve vyriešeného príkladu.

©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 2017-06-11

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je menšia ako nula.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane, dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, preto x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Sklon priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 je y"(x_0). Ale y"=-2x+5, takže y"(x_0)=- 2x_0+5 Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke je -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu.Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že =-2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera tupý uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox.

Ako viete, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov získame: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je väčšia ako nula.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, preto x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, kde dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou y=6.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Čiara y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme také body, v ktorých dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d x ^ 2-4x + 9 v ľubovoľnom bode x_0 je y "(x_0). Ale y" \u003d 2x-4, čo znamená y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Sklon dotyčnice y \u003d 4x-7 zadaný v podmienke sa rovná 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že 2x_0-4 \u003d 4. Získame : x_0 \u003d 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.