V „starých“ učebniciach sa tomu hovorí aj „reťazové“ pravidlo. Ak teda y \u003d f (u) a u \u003d φ (x), t.j

y \u003d f (φ (x))

komplexná – zložená funkcia (zloženie funkcií) vtedy

kde , po výpočte sa uvažuje pri u = φ(x).

Všimnite si, že tu sme prevzali „iné“ kompozície z rovnakých funkcií a výsledok diferenciácie sa prirodzene ukázal ako závislý od poradia „miešania“.

Reťazové pravidlo sa prirodzene rozširuje na zloženie troch alebo viacerých funkcií. V tomto prípade budú tri alebo viac „odkazov“ v „reťazci“, ktorý tvorí derivát, resp. Tu je analógia s násobením: „máme“ - tabuľku derivátov; "tam" - násobiteľská tabuľka; "my" - reťazové pravidlo a "tam" - pravidlo násobenia "stĺpec". Pri výpočte takýchto „komplexných“ derivátov sa samozrejme nezavádzajú žiadne pomocné argumenty (u¸v atď.), Ale keď si všimnú počet a postupnosť funkcií zúčastňujúcich sa na kompozícii, „naviažu“ zodpovedajúce odkazy v uvedené poradie.

. Tu sa vykoná päť operácií s „x“ na získanie hodnoty „y“, to znamená, že sa uskutoční zloženie piatich funkcií: „externá“ (posledná z nich) – exponenciálna – e ; potom v opačnom poradí je mocenský zákon. (♦) 2; trigonometrický hriech (); moc. () 3 a nakoniec logaritmické ln.(). Takže

Nasledujúce príklady „zabijú páry vtákov jednou ranou“: precvičíme si diferencovanie zložitých funkcií a doplníme tabuľku derivácií elementárnych funkcií. Takže:

4. Pre výkonovú funkciu - y \u003d x α - jej prepísanie pomocou známej "základnej logaritmickej identity" - b \u003d e ln b - v tvare x α \u003d x α ln x dostaneme

5. Pre ľubovoľnú exponenciálnu funkciu pomocou rovnakej techniky budeme mať

6. Pre ľubovoľnú logaritmickú funkciu pomocou známeho vzorca pre prechod na novú bázu postupne získame

.

7. Na diferenciáciu tangensu (kotangens) použijeme pravidlo pre diferenciáciu kvocientu:

Na získanie derivácií inverzných goniometrických funkcií použijeme vzťah, ktorý spĺňajú derivácie dvoch vzájomne inverzných funkcií, teda funkcie φ (x) a f (x), ktoré sú spojené vzťahmi:

Tu je pomer

Je to z tohto vzorca pre vzájomne inverzné funkcie

a
,

Na záver zhrnieme tieto a niektoré ďalšie, rovnako ľahko získané deriváty, v nasledujúcej tabuľke.

Ak g(X) a f(u) sú diferencovateľné funkcie ich argumentov, respektíve v bodoch X a u= g(X), potom je v bode diferencovateľná aj komplexná funkcia X a nachádza sa podľa vzorca

Typickou chybou pri riešení úloh na deriváciách je automatický prenos pravidiel na diferenciáciu jednoduchých funkcií na funkcie zložité. Tejto chybe sa naučíme vyvarovať.

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie: vypočítajte prirodzený logaritmus každého člena v zátvorkách a nájdite súčet derivácií:

Správne riešenie: opäť určíme, kde je "jablko" a kde "mleté ​​mäso". Prirodzeným logaritmom výrazu v zátvorkách je tu „jablko“, teda funkcia na medziľahlom argumente u a výraz v zátvorkách je "mleté ​​mäso", teda medziargument u nezávislou premennou X.

Potom (pomocou vzorca 14 z tabuľky derivátov)

V mnohých skutočných problémoch je výraz s logaritmom o niečo komplikovanejší, a preto je tu ponaučenie

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Nesprávne riešenie:

Správne riešenie. Opäť určujeme, kde "jablko" a kde "mleté ​​mäso". Tu je kosínus výrazu v zátvorkách (vzorec 7 v tabuľke derivátov) "jablko", je pripravený v režime 1, ktorý ovplyvňuje iba neho, a výraz v zátvorkách (derivát stupňa - číslo 3 v tabuľka derivátov) je "mleté ​​mäso", varí sa v režime 2, ktorý ovplyvňuje iba neho. A ako vždy spájame dva deriváty so znakom produktu. výsledok:

Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie je častou úlohou v testoch, preto dôrazne odporúčame navštíviť lekciu "Derivácia logaritmickej funkcie".

Prvé príklady sa týkali komplexných funkcií, v ktorých bola stredným argumentom nad nezávislou premennou jednoduchá funkcia. V praktických úlohách sa však často vyžaduje nájsť deriváciu komplexnej funkcie, kde medziľahlý argument je buď sám o sebe komplexnou funkciou, alebo takúto funkciu obsahuje. Čo robiť v takýchto prípadoch? Nájdite deriváty takýchto funkcií pomocou tabuliek a pravidiel diferenciácie. Keď sa nájde derivát stredného argumentu, jednoducho sa dosadí na správne miesto vo vzorci. Nižšie sú uvedené dva príklady, ako sa to robí.

Okrem toho je užitočné vedieť nasledujúce. Ak možno komplexnú funkciu znázorniť ako reťazec troch funkcií

potom by sa jeho derivát mal nájsť ako súčin derivátov každej z týchto funkcií:

Mnohé z vašich domácich úloh môžu vyžadovať, aby ste otvorili návody v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi a Akcie so zlomkami .

Príklad 4 Nájdite deriváciu funkcie

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, pričom nezabúdame, že vo výslednom súčine derivácií je medziargument vzhľadom na nezávislú premennú X sa nemení:

Pripravíme druhý faktor súčinu a použijeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

Druhým pojmom je koreň, takže

Zistilo sa teda, že prostredný argument, ktorým je súčet, obsahuje komplexnú funkciu ako jeden z termínov: umocňovanie je komplexná funkcia a to, čo je umocnené, je prostredný argument nezávislej premennej. X.

Preto opäť aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Stupeň prvého faktora transformujeme na koreň a pri diferenciácii druhého faktora nezabúdame, že derivácia konštanty sa rovná nule:

Teraz môžeme nájsť deriváciu stredného argumentu potrebnú na výpočet derivácie komplexnej funkcie potrebnej v podmienke problému r:

Príklad 5 Nájdite deriváciu funkcie

Najprv použijeme pravidlo diferenciácie súčtu:

Získajte súčet derivácií dvoch komplexných funkcií. Nájdite prvý:

V tomto prípade je zvýšenie sínusu na mocninu komplexnou funkciou a samotný sínus je stredným argumentom v nezávislej premennej X. Preto používame pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, pozdĺž cesty vyňatie násobiteľa zo zátvoriek :

Teraz nájdeme druhý člen z tých, ktoré tvoria deriváciu funkcie r:

Tu je zvýšenie kosínusu na mocninu komplexnou funkciou f a samotný kosínus je stredný argument vzhľadom na nezávislú premennú X. Opäť použijeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Výsledkom je požadovaný derivát:

Tabuľka derivácií niektorých zložitých funkcií

Pre komplexné funkcie na základe pravidla diferenciácie komplexnej funkcie má vzorec pre deriváciu jednoduchej funkcie inú formu.

1. Derivácia komplexnej mocninnej funkcie, kde u X
2. Derivácia koreňa výrazu
3. Derivácia exponenciálnej funkcie
4. Špeciálny prípad exponenciálnej funkcie
5. Derivácia logaritmickej funkcie s ľubovoľnou kladnou bázou a
6. Derivácia komplexnej logaritmickej funkcie, kde u je diferencovateľná funkcia argumentu X
7. Sínusová derivácia
8. Kosínový derivát
9. Tangentová derivácia
10. Derivácia kotangens
11. Derivácia arksínusu
12. Derivácia oblúkového kosínusu
13. Derivácia arkus tangenty
14. Derivácia inverznej tangenty

Je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo prvé: odstráňte konštantu

Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

rozhodnutie:

Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok k piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:

Pokúsili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako to znie, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akoukoľvek otázkou na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť to najťažšie ovládanie a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.

komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa oboznámime s novými trikmi a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Tí čitatelia, ktorí majú nízku úroveň prípravy, by si mali prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešeníčo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej musíte starostlivo preštudovať stránku Derivácia zloženej funkcie, pochopiť a vyriešiť všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky už tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa polohy „Kde inde? Áno, a to stačí! “, Pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočných testov a často sa nachádzajú v praxi.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia zloženej funkcie zvážili sme množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných častí matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) maľovať príklady veľmi podrobne. Preto sa precvičíme v ústnom zisťovaní derivátov. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie :

Pri štúdiu iných tém matanu v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: „Aká je derivácia tangensu dvoch x?“. Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si už nespomenula). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia zloženej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci lekcie

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak ich pochopí (niekto trpí), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to potrebné predovšetkým správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočný trik: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu "x" a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) dosadiť túto hodnotu do "strašného výrazu".

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínusovú kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chyby...

(1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.

(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je ten najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatniť pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Vyjadrenie čitateľa prinášame do spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte si vziať nepríjemný derivát zlomkového stupňa a potom aj zlomku.

Takže predtým ako vziať derivát „fantastického“ logaritmu, bol predtým zjednodušený pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, nakreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov na lekcii sa bude točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť formulované takto:

Transformujme funkciu:

Nájdeme derivát:

Predbežná transformácia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa na diferenciáciu navrhuje podobný logaritmus, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.

logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Podobné príklady sme nedávno zvažovali. Čo robiť? Postupne možno aplikovať pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Poznámka : pretože funkcia môže nadobúdať záporné hodnoty, potom vo všeobecnosti musíte použiť moduly: , ktoré v dôsledku diferenciácie zanikajú. Prijateľný je však aj súčasný dizajn, kde je štandardne komplexný hodnoty. Ale ak so všetkou prísnosťou, potom v oboch prípadoch je potrebné urobiť rezerváciu.

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame ťahom:

Odvodenie pravej strany je celkom jednoduché, nebudem sa k tomu vyjadrovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste ho s istotou zvládnuť.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „y“?

Faktom je, že toto „jedno písmeno y“ - JE FUNKCIOU SAMA SAMOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a "y" je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie zložených funkcií :

Na ľavej strane akoby kúzlom máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomenieme, o akej „hernej“ funkcii sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Vzorový návrh príkladu tohto typu na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá má a stupeň a základ závisia od "x". Klasický príklad, ktorý dostanete v ktorejkoľvek učebnici alebo na ktorejkoľvek prednáške:

Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:

Nasledujúce kroky sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorá transformácia nie je úplne jasná, prečítajte si prosím pozorne vysvetlenia príkladu 11.

V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri derivovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ju hneď vyňať zo znamienka derivácie, aby neprekážala; a samozrejme použiť známe pravidlo :

Komplexné funkcie nie vždy zodpovedajú definícii komplexnej funkcie. Ak existuje funkcia tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nemožno ju považovať za komplexnú, na rozdiel od y \u003d sin 2 x.

Tento článok ukáže koncept komplexnej funkcie a jej identifikáciu. Pracujme so vzorcami na nájdenie derivácie s príkladmi riešení v závere. Použitie tabuľky derivátov a pravidlá diferenciácie výrazne skracujú čas na nájdenie derivátu.

Základné definície

Definícia 1

Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argument je tiež funkciou.

Označuje sa takto: f (g (x)) . Máme, že funkcia g (x) sa považuje za argument f (g (x)) .

Definícia 2

Ak existuje funkcia f a je kotangens funkciou, potom g(x) = ln x je funkcia prirodzeného logaritmu. Dostaneme, že komplexnú funkciu f (g (x)) zapíšeme ako arctg (lnx). Alebo funkcia f, čo je funkcia umocnená na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 sa považuje za celú racionálnu funkciu, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4.

Je zrejmé, že g(x) môže byť zložité. Z príkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je zrejmé, že hodnota g má odmocninu kocky so zlomkom. Tento výraz možno označiť ako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odkiaľ máme, že f je sínusová funkcia a f 1 je funkcia umiestnená pod druhou odmocninou, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 je zlomková racionálna funkcia.

Definícia 3

Stupeň vnorenia je definovaný ľubovoľným prirodzeným číslom a zapisuje sa ako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) .

Definícia 4

Koncept zloženia funkcie sa týka počtu vnorených funkcií podľa zadania problému. Pre riešenie vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie tvaru y = (2 x + 1) 2 .

rozhodnutie

Podľa konvencie je f funkcia kvadratúry a g(x) = 2 x + 1 sa považuje za lineárnu funkciu.

Použijeme derivačný vzorec pre komplexnú funkciu a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je potrebné nájsť deriváciu so zjednodušeným počiatočným tvarom funkcie. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Preto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky sa zhodovali.

Pri riešení problémov tohto druhu je dôležité pochopiť, kde sa bude nachádzať funkcia tvaru f a g (x).

Príklad 2

Mali by ste nájsť deriváty komplexných funkcií vo forme y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

rozhodnutie

Prvý záznam funkcie hovorí, že f je funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus. Potom to dostaneme

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sínusová funkcia a g (x) = x 2 označuje mocninovú funkciu. Z toho vyplýva, že súčin komplexnej funkcie možno zapísať ako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pre deriváciu y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) sa zapíše ako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) )))). . . f n "(x)

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

rozhodnutie

Tento príklad ukazuje zložitosť zápisu a určovania umiestnenia funkcií. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) označuje, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkcia sínus, funkcia zvýšenia na 3 stupne, funkcia s logaritmom a základom e, funkcia arkustangens a lineárna.

Zo vzorca na definíciu komplexnej funkcie to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získanie toho, čo nájsť

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ako derivácia sínusu v tabuľke derivácií, potom f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ako derivácia mocninovej funkcie, potom f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a rc t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ako logaritmická derivácia, potom f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ako derivácia arkustangens, potom f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri hľadaní derivácie f 4 (x) \u003d 2 x odoberte 2 zo znamienka derivácie pomocou vzorca pre deriváciu mocninovej funkcie s exponentom, ktorý je 1, potom f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Skombinujeme medzivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takýchto funkcií pripomína hniezdiace bábiky. Diferenciačné pravidlá nemožno vždy použiť explicitne pomocou derivačnej tabuľky. Často musíte použiť vzorec na nájdenie derivátov komplexných funkcií.

Medzi komplexným pohľadom a komplexnou funkciou sú určité rozdiely. S jasnou schopnosťou to rozlíšiť bude hľadanie derivátov obzvlášť jednoduché.

Príklad 4

Je potrebné zvážiť uvedenie takéhoto príkladu. Ak existuje funkcia tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1, potom ju možno považovať za komplexnú funkciu tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zrejmé, že je potrebné použiť vzorec pre komplexný derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcia tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 sa nepovažuje za komplexnú, pretože má súčet t g x 2, 3 t g x a 1 . Avšak t g x 2 sa považuje za komplexnú funkciu, potom dostaneme mocninnú funkciu tvaru g (x) \u003d x 2 a f, ktorá je funkciou dotyčnice. K tomu je potrebné rozlišovať podľa sumy. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 čo 2 x

Prejdime k hľadaniu derivácie komplexnej funkcie (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexné funkcie môžu byť zahrnuté do komplexných funkcií a samotné komplexné funkcie môžu byť komplexnými funkciami komplexnej formy.

Príklad 5

Uvažujme napríklad komplexnú funkciu v tvare y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Táto funkcia môže byť reprezentovaná ako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkciou logaritmu so základom 3 a g (x) sa považuje za súčet dvoch funkcií tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zrejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Zvážte funkciu h(x) . Toto je pomer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je súčet dvoch funkcií n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexná funkcia s číselným koeficientom 3 a p 1 je funkcia kocky, p 2 kosínusová funkcia, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineárna funkcia.

Zistili sme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je súčet dvoch funkcií q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexná funkcia, q 1 je funkcia s exponentom, q 2 (x) = x 2 je mocninová funkcia.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prechode na výraz v tvare k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkcia je reprezentovaná ako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s celočíselným racionálnym t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkcia druhej mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmická so základom e .

Z toho vyplýva, že výraz bude mať tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Potom to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podľa štruktúr funkcie sa ukázalo, ako a aké vzorce treba použiť na zjednodušenie výrazu pri jeho diferenciácii. Aby ste sa zoznámili s takýmito problémami a porozumeli ich riešeniu, je potrebné odkázať na bod diferencovania funkcie, to znamená nájsť jej deriváciu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter