Druhá mocnina čísla je výsledkom matematickej operácie, ktorá zvýši toto číslo na druhú mocninu, to znamená, že toto číslo raz vynásobí. Je obvyklé označovať takúto operáciu takto: Z2, kde Z je naše číslo, 2 je stupeň "štvorca". Náš článok vám povie, ako vypočítať druhú mocninu čísla.
Vypočítajte štvorec
Ak je číslo jednoduché a malé, potom je ľahké to urobiť buď v mysli, alebo pomocou tabuľky násobenia, ktorá je nám všetkým dobre známa. Napríklad:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7 x 7 = 49; 92 = 9 x 9 = 81.
Ak je číslo veľké alebo „obrovské“, potom môžete použiť buď tabuľku štvorcov, ktoré sa všetci naučili v škole, alebo kalkulačku. Napríklad:
122 = 12 x 12 = 144; 172 = 17 x 17 = 289; 1392 = 139 x 139 = 19 321.
Ak chcete získať požadovaný výsledok pre dva vyššie uvedené príklady, môžete tieto čísla vynásobiť v stĺpci.
Ak chcete získať druhú mocninu ľubovoľného zlomku, musíte:
- Preveďte zlomok (ak má zlomok celočíselnú časť alebo ak je desatinná) na nesprávny zlomok. Ak je zlomok správny, nie je potrebné nič prekladať.
- Vynásobte menovateľa menovateľom a čitateľa čitateľom zlomku.
Napríklad:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
V ktorejkoľvek z týchto možností je najjednoduchším spôsobom použiť kalkulačku. Na to potrebujete:
- Napíšte číslo na klávesnici
- Kliknite na tlačidlo so znamienkom násobenia
- Stlačte tlačidlo so znakom „rovná sa“.
Vždy môžete tiež použiť vyhľadávače na internete, ako je napríklad Google. Ak to chcete urobiť, stačí zadať príslušný dopyt do poľa vyhľadávacieho nástroja a získať hotový výsledok.
Napríklad: na výpočet druhej mocniny čísla 9,17 musíte do vyhľadávača zadať 9,17 * 9,17 alebo 9,17 ^ 2 alebo "9,17 na druhú." V ktorejkoľvek z týchto možností vám vyhľadávací nástroj poskytne správny výsledok – 84,0889.
Teraz viete, ako vypočítať druhú mocninu akéhokoľvek čísla, ktoré vás zaujíma, či už je to celé číslo alebo zlomok, veľké alebo malé!
Dnes sa naučíme, ako rýchlo odmocniť veľké výrazy bez kalkulačky. Vo veľkom myslím čísla od desať do sto. Veľké výrazy sú v skutočných problémoch extrémne zriedkavé a už viete, ako počítať hodnoty menšie ako desať, pretože ide o bežnú tabuľku násobenia. Materiál dnešnej hodiny bude užitočný pre pomerne skúsených študentov, pretože začínajúci študenti jednoducho neocenia rýchlosť a účinnosť tejto techniky.
Na začiatok pochopme vo všeobecnosti, o čom hovoríme. Napríklad navrhujem urobiť konštrukciu ľubovoľného číselného výrazu, ako to zvyčajne robíme. Povedzme 34. Zvýšime ho vynásobením samým sebou so stĺpcom:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 je štvorec 34.
Problém tejto metódy možno opísať v dvoch bodoch:
1) vyžaduje si písomnú registráciu;
2) je veľmi ľahké urobiť chybu v procese výpočtu.
Dnes sa naučíme, ako rýchlo násobiť bez kalkulačky, verbálne a prakticky bez chýb.
Tak poďme na to. Aby sme fungovali, potrebujeme vzorec pre druhú mocninu súčtu a rozdielu. Poďme si ich zapísať:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Čo nám to dáva? Ide o to, že akákoľvek hodnota medzi 10 a 100 môže byť reprezentovaná ako $a$, ktorá je deliteľná 10, a $b$, čo je zvyšok po delení 10.
Napríklad 28 môže byť reprezentované takto:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\koniec (zarovnanie)\]
Podobne uvádzame zostávajúce príklady:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\koniec (zarovnanie)\]
Čo nám dáva takúto predstavu? Faktom je, že so súčtom alebo rozdielom môžeme použiť vyššie uvedené výpočty. Samozrejme, aby sa výpočty skrátili, pre každý z prvkov treba zvoliť výraz s najmenším druhým členom. Napríklad z možností $20+8$ a $30-2$ by ste si mali vybrať možnosť $30-2$.
Podobne vyberáme možnosti pre ďalšie príklady:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\koniec (zarovnanie)\]
\[\začiatok(zarovnanie)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\koniec (zarovnanie)\]
Prečo by sme sa mali snažiť znížiť druhý výraz pri rýchlom násobení? Je to všetko o počiatočných výpočtoch druhej mocniny súčtu a rozdielu. Faktom je, že pri riešení skutočných problémov je najťažšie vypočítať plus mínus výraz $2ab$. A ak sa faktor $a$, násobok 10, vždy ľahko vynásobí, potom s faktorom $b$, čo je číslo v rozmedzí od jednej do desať, má veľa študentov pravidelne ťažkosti.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Takže za tri minúty sme urobili násobenie ôsmich príkladov. To je menej ako 25 sekúnd na vyjadrenie. V skutočnosti po troche cviku budete počítať ešte rýchlejšie. Výpočet akéhokoľvek dvojciferného výrazu vám nezaberie viac ako päť alebo šesť sekúnd.
To však nie je všetko. Pre tých, ktorým sa nezdá zobrazená technika dostatočne rýchla a nie dostatočne cool, ponúkam ešte rýchlejšiu metódu násobenia, ktorá však nefunguje pri všetkých úlohách, ale iba pri tých, ktoré sa líšia o jednotku od násobkov 10. V našej lekcii sú štyri takéto hodnoty: 51, 21, 81 a 39.
Zdalo by sa to oveľa rýchlejšie, už ich spočítame doslova v pár riadkoch. V skutočnosti je však možné zrýchliť, a to nasledovne. Zapíšeme si hodnotu, násobok desiatich, ktorá je najbližšie k želanej. Zoberme si napríklad 51. Preto na začiatok zvýšime päťdesiat:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Hodnoty, ktoré sú násobkami desiatich, sa dajú oveľa ľahšie umocniť. A teraz k pôvodnému výrazu jednoducho pridáme päťdesiat a 51. Odpoveď bude rovnaká:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
A tak so všetkými číslami, ktoré sa líšia o jednu.
Ak je hodnota, ktorú hľadáme, väčšia ako tá, ktorú si myslíme, potom do výsledného štvorca pridáme čísla. Ak je požadované číslo menšie, ako v prípade 39, potom pri vykonávaní akcie musí byť hodnota odpočítaná od štvorca. Poďme cvičiť bez použitia kalkulačky:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Ako vidíte, vo všetkých prípadoch sú odpovede rovnaké. Okrem toho je táto technika použiteľná na akékoľvek susediace hodnoty. Napríklad:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\koniec (zarovnanie)\]
Zároveň si vôbec nemusíme pamätať výpočty druhých mocnín súčtu a rozdielu a používať kalkulačku. Rýchlosť práce nie je chvályhodná. Preto pamätajte, cvičte a používajte v praxi.
Kľúčové body
Pomocou tejto techniky môžete jednoducho vynásobiť akékoľvek prirodzené čísla v rozmedzí od 10 do 100. Navyše všetky výpočty prebiehajú slovne, bez kalkulačky a dokonca aj bez papiera!
Najprv si zapamätajte druhé mocniny hodnôt, ktoré sú násobkami 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(zarovnať)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(zarovnať)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(zarovnať)\]
Ako počítať ešte rýchlejšie
Ale to nie je všetko! Pomocou týchto výrazov môžete okamžite urobiť druhú mocninu čísel, ktoré sú „susedné“ s referenčnými. Napríklad poznáme 152 (referenčná hodnota), ale musíme nájsť 142 (susedné číslo, ktoré je o jedno menšie ako referenčná hodnota). Píšme:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(zarovnať)\]
Poznámka: žiadna mystika! Druhé mocniny čísel, ktoré sa líšia o 1, sa skutočne získajú vynásobením referenčných čísel samotnými odčítaním alebo pripočítaním dvoch hodnôt:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(zarovnať)\]
Prečo sa to deje? Zapíšme si vzorec pre druhú mocninu súčtu (a rozdielu). Nech $n$ je naša referenčná hodnota. Potom počítajú takto:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(zarovnať)\]
- toto je vzorec.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\koniec (zarovnanie)\]
- podobný vzorec pre čísla väčšie ako 1.
Dúfam, že vám táto technika ušetrí čas pri všetkých dôležitých testoch a skúškach z matematiky. A to je z mojej strany všetko. Maj sa!
Skrátené vzorce násobenia.
Štúdium vzorcov na skrátené násobenie: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel štvorcov dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčty a rozdiely kociek dvoch výrazov.
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Na zjednodušenie výrazov, rozklad polynómov a redukciu polynómov do štandardného tvaru sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia, ktoré musíte vedieť naspamäť.
Nech a, b R. Potom:
1. Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhá mocnina druhého výrazu.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. súčet kocka dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu krát druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu krát druhá mocnina druhého plus kocka druhého výrazu.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. rozdielová kocka dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus súčin druhej mocniny druhého výrazu.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Príklad 1
Vypočítajte
a) Pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov máme
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Pomocou vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov získame
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604
Príklad 2
Vypočítajte
Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov získame
Príklad 3
Zjednodušte výraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Používame vzorce pre druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Skrátené vzorce násobenia v jednej tabuľke:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
