Kruh vpísaný do trojuholníka

Existencia kruhu vpísaného do trojuholníka

Pripomeňme si definíciu osi uhla .

Definícia 1 .Sektor uhla nazývaný lúč rozdeľujúci uhol na dve rovnaké časti.

Veta 1 (Základná vlastnosť osi uhla) . Každý bod osi uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla (obr. 1).

Ryža. 1

Dôkaz D , ležiaci na osnici uhlaBAC , A DE A DF po stranách rohu (obr. 1).Pravé trojuholníky ADF A ADE rovný , pretože majú rovnaké ostré uhlyDAF A DAE a prepona AD – všeobecný. teda

DF = DE,

Q.E.D.

Veta 2 (obrátiť sa na vetu 1) . Ak nejaké, tak leží na osnici uhla (obr. 2).

Ryža. 2

Dôkaz . Zvážte svojvoľný bodD , ležiaci vo vnútri uhlaBAC a nachádza sa v rovnakej vzdialenosti od strán uhla. Poďme od veciD kolmice DE A DF po stranách rohu (obr. 2).Pravé trojuholníky ADF A ADE rovný , keďže majú rovnaké nohyDF A DE a prepona AD – všeobecný. teda

Q.E.D.

Definícia 2 . Kruh sa nazýva kruh vpísaný do uhla , ak ide o strany tohto uhla.

Veta 3 . Ak je kruh vpísaný do uhla, potom sú vzdialenosti od vrcholu uhla k bodom dotyku kruhu so stranami uhla rovnaké.

Dôkaz . Nechajte bod D – stred kruhu vpísaného pod uhlomBAC a body E A F – body dotyku kruhu so stranami uhla (obr. 3).

Obr.3

a , b , c - strany trojuholníka,
 S -námestie,

r – polomer vpísanej kružnice,
 p - poloobvod

.

Zobraziť výstup vzorca

a – bočná strana rovnoramenného trojuholníka , 
 b - základňa, r – polomer vpísanej kružnice

a r – polomer vpísanej kružnice

Zobraziť výstup vzorca

,

Kde

,

potom, v prípade rovnoramenného trojuholníka, kedy

dostaneme

čo sa vyžadovalo.

Veta 7 . Pre rovnosť

Kde a - strana rovnostranného trojuholníka,r – polomer vpísanej kružnice (obr. 8).

Ryža. 8

Dôkaz .

,

potom v prípade rovnostranného trojuholníka, kedy

b = a,

dostaneme

čo sa vyžadovalo.

Komentujte . Ako cvičenie odporúčam odvodiť vzorec pre polomer kružnice vpísanej do rovnostranného trojuholníka priamo, t.j. bez použitia všeobecných vzorcov pre polomery kružníc vpísaných do ľubovoľného trojuholníka alebo rovnoramenného trojuholníka.

Veta 8 . Pre pravouhlý trojuholník platí nasledujúca rovnosť:

Kde a , b - nohy pravouhlého trojuholníka, c – hypotenzia , r – polomer vpísanej kružnice.

Dôkaz . Zvážte obrázok 9.

Ryža. 9

Od štvoruholníkaCDOF je , ktorý má priľahlé stranyDO A OF sú rovnaké, potom je tento obdĺžnik . teda

CB = CF = r,

Na základe vety 3 platia nasledujúce rovnosti:

Preto aj pri zohľadnení získame

čo sa vyžadovalo.

Výber úloh na tému „Kruh vpísaný do trojuholníka“.

1.

Kruh vpísaný do rovnoramenného trojuholníka rozdeľuje jednu z bočných strán v bode dotyku na dva segmenty, ktorých dĺžky sú 5 a 3, počítané od vrcholu oproti základni. Nájdite obvod trojuholníka.

2.

3

V trojuholníku ABC AC=4, BC=3 je uhol C 90º. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

4.

Nohy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sú 2+. Nájdite polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

5.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je 2. Nájdite preponu c tohto trojuholníka. Vo svojej odpovedi uveďte c(–1).

Uvádzame množstvo problémov z Jednotnej štátnej skúšky s riešeniami.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa rovná . Nájdite preponu tohto trojuholníka. Uveďte prosím vo svojej odpovedi.

Trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný. To znamená, že jeho nohy sú rovnaké. Nech sú všetky nohy rovnaké. Potom je prepona rovnaká.

Oblasť trojuholníka ABC zapisujeme dvoma spôsobmi:

Porovnaním týchto výrazov dostaneme to. Pretože, chápeme to. Potom.

Odpoveď napíšeme.

odpoveď:.

Úloha 2.

1. Vo voľnom sú dve strany 10 cm a 6 cm (AB a BC). Nájdite polomery opísaných a vpísaných kružníc
Problém je riešený samostatne s pripomienkovaním.

Riešenie:

IN.

1) Nájdite:
2) Dokážte:a nájsť CK
3) Nájdite: polomery opísaných a vpísaných kružníc

Riešenie:

Úloha 6.

R polomer kruhu vpísaného do štvorca je. Nájdite polomer kružnice opísanej okolo tohto štvorca.Dané :

Nájsť: OS=?
Riešenie: V tomto prípade možno úlohu vyriešiť pomocou Pytagorovej vety alebo vzorca pre R. Druhý prípad bude jednoduchší, keďže vzorec pre R je odvodený z vety.

Úloha 7.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je 2. Nájdite preponus tento trojuholník. Uveďte prosím vo svojej odpovedi.

S – oblasť trojuholníka

Nepoznáme ani strany trojuholníka, ani jeho obsah. Označme nohy ako x, potom sa prepona bude rovnať:

A plocha trojuholníka bude 0,5x 2 .

Prostriedky

Prepona sa teda bude rovnať:

Vo svojej odpovedi musíte napísať:

odpoveď: 4

Úloha 8.

V trojuholníku ABC AC = 4, BC = 3, uhol C rovná sa 900. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S – oblasť trojuholníka

Dve strany sú známe (to sú nohy), môžeme vypočítať tretiu (preponu) a môžeme vypočítať aj plochu.

Podľa Pytagorovej vety:

Poďme nájsť oblasť:

Takto:

odpoveď: 1

Úloha 9.

Strany rovnoramenného trojuholníka sú 5 a základňa je 6. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S – oblasť trojuholníka

Všetky strany sú známe, vypočítajme plochu. Môžeme to nájsť pomocou Heronovho vzorca:

Potom

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Uvažujme kružnicu vpísanú do trojuholníka (obr. 302). Pripomeňme, že jeho stred O sa nachádza v priesečníku priesečníkov vnútorných uhlov trojuholníka. Segmenty OA, OB, OC spájajúce O s vrcholmi trojuholníka ABC rozdelia trojuholník na tri trojuholníky:

AOV, VOS, SOA. Výška každého z týchto trojuholníkov sa rovná polomeru, a preto budú ich plochy vyjadrené ako

Plocha celého trojuholníka S sa rovná súčtu týchto troch oblastí:

kde je polobvod trojuholníka. Odtiaľ

Polomer vpísaného kruhu sa rovná pomeru plochy trojuholníka k jeho polobvodu.

Aby sme získali vzorec pre obvod trojuholníka, dokážeme nasledujúci výrok.

Veta a: V každom trojuholníku sa strana rovná priemeru kružnice opísanej vynásobenému sínusom opačného uhla.

Dôkaz. Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC a kružnicu opísanú okolo neho, ktorej polomer označíme R (obr. 303). Nech A je ostrý uhol trojuholníka. Narysujme si polomery OB, OS kružnice a zhodíme kolmicu OK z jej stredu O na stranu BC trojuholníka. Všimnite si, že uhol a trojuholníka sa meria polovicou oblúka BC, pre ktorý uhol BOC je stredový uhol. Z toho je zrejmé, že . Preto z pravouhlého trojuholníka RNS nájdeme , alebo , čo sme potrebovali dokázať.

Uvedený obr. 303 a zdôvodnenie sa týka prípadu ostrého uhla trojuholníka; Bolo by ľahké vykonať dôkaz pre prípady pravých a tupých uhlov (čitateľ to urobí sám), ale môžete použiť vetu o sínusoch (218.3). Pretože to musí byť odkiaľ

Je zapísaná aj sínusová veta. formulár

a porovnanie s formou zápisu (218.3) dáva pre

Polomer kružnice opísanej sa rovná pomeru súčinu troch strán trojuholníka k jeho štvornásobnej ploche.

Úloha. Nájdite strany rovnoramenného trojuholníka, ak jeho kružnica a kružnica opísaná majú polomery

Riešenie. Napíšme vzorce vyjadrujúce polomery vpísaných a opísaných kružníc trojuholníka:

Pre rovnoramenný trojuholník so stranou a základňou je plocha vyjadrená vzorcom

alebo, znížením zlomku o nenulový faktor, máme

čo vedie ku kvadratickej rovnici vzhľadom na

Má dve riešenia:

Nahradením jeho vyjadrenia v ktorejkoľvek z rovníc za alebo R nakoniec nájdeme dve odpovede na náš problém:

Cvičenia

1. Nadmorská výška pravouhlého trojuholníka nakresleného od vrcholu pravého uhla, deliac preponu v pomere Nájdite pomer každej z ramien k prepone.

2. Základy rovnoramenného lichobežníka opísaného okolo kruhu sa rovnajú a a b. Nájdite polomer kruhu.

3. Dva kruhy sa zvonka dotýkajú. Ich spoločné dotyčnice sú naklonené k línii stredov pod uhlom 30°. Dĺžka dotyčnicového segmentu medzi dotyčnicovými bodmi je 108 cm Nájdite polomery kružníc.

4. Nohy pravouhlého trojuholníka sa rovnajú a a b. Nájdite oblasť trojuholníka, ktorého strany sú nadmorská výška a stredná hodnota daného trojuholníka nakresleného z vrcholu pravého uhla a segment prepony medzi bodmi ich priesečníka s preponou.

5. Strany trojuholníka sú 13, 14, 15. Nájdite priemet každej z nich na ďalšie dve.

6. Známe sú strany a výšky trojuholníka Nájdite strany b a c.

7. Známe sú dve strany trojuholníka a stredná. Nájdite tretiu stranu trojuholníka.

8. Sú dané dve strany trojuholníka a medzi nimi uhol a: Nájdite polomery vpísanej a opísanej kružnice.

9. Strany trojuholníka a, b, c sú známe. Aké sú segmenty, na ktoré sú rozdelené bodmi dotyku vpísanej kružnice so stranami trojuholníka?

Kosoštvorec je rovnobežník so všetkými stranami rovnakými. Preto zdedí všetky vlastnosti rovnobežníka. menovite:

• Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé.
• Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho vnútorných uhlov.

Kruh možno vpísať do štvoruholníka vtedy a len vtedy, ak sú súčty protiľahlých strán rovnaké.
Preto môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek kosoštvorca. Stred vpísanej kružnice sa zhoduje so stredom priesečníka uhlopriečok kosoštvorca.
Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci možno vyjadriť niekoľkými spôsobmi

1 spôsob. Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci cez výšku

Výška kosoštvorca sa rovná priemeru vpísaného kruhu. Vyplýva to z vlastnosti obdĺžnika, ktorý je tvorený priemerom vpísanej kružnice a výškou kosoštvorca - protiľahlé strany obdĺžnika sú rovnaké.

Preto vzorec pre polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci z hľadiska výšky:

Metóda 2. Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci cez uhlopriečky

Oblasť kosoštvorca môže byť vyjadrená ako polomer vpísaného kruhu
, Kde R– obvod kosoštvorca. Keď vieme, že obvod je súčtom všetkých strán štvoruholníka, máme P= 4×a. Potom
Ale plocha kosoštvorca sa tiež rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok
Pri porovnávaní pravých strán plošných vzorcov máme nasledujúcu rovnosť
V dôsledku toho získame vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci cez uhlopriečky

Príklad výpočtu polomeru kruhu vpísaného do kosoštvorca, ak sú známe uhlopriečky
Nájdite polomer kruhu vpísaného do kosoštvorca, ak je známe, že dĺžky uhlopriečok sú 30 cm a 40 cm
Nechaj A B C D- teda kosoštvorec A.C. A BD jeho uhlopriečky. AC= 30 cm ,BD= 40 cm
Nechajte bod O– je stredom vpísaného kosoštvorca A B C D kruh, potom to bude tiež priesečník jeho uhlopriečok, ktoré ich rozdelí na polovicu.


keďže uhlopriečky kosoštvorca sa pretínajú v pravom uhle, potom trojuholník AOB pravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety
, nahraďte predtým získané hodnoty do vzorca

AB= 25 cm
Aplikovaním predtým odvodeného vzorca pre polomer opísanej kružnice v kosoštvorci získame

3 spôsob. Polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci cez segmenty m a n

Bodka F– bod dotyku kruhu so stranou kosoštvorca, ktorý ho rozdeľuje na segmenty A.F. A B.F.. Nechaj AF=m, BF=n.
Bodka O– stred priesečníka uhlopriečok kosoštvorca a stred kružnice do nej vpísanej.
Trojuholník AOB- pravouhlý, pretože uhlopriečky kosoštvorca sa pretínajú v pravom uhle.
, pretože je polomer nakreslený k dotyčnicovému bodu kružnice. Preto OF- výška trojuholníka AOB do prepony. Potom A.F. A BF projekcie nôh na preponu.
Výška v pravouhlom trojuholníku, znížená k prepone, je priemerná úmernosť medzi projekciami nôh k prepone.

Vzorec pre polomer vpísanej kružnice v kosoštvorci cez segmenty sa rovná druhej odmocnine súčinu týchto segmentov, na ktoré bod dotyku kruhu rozdeľuje stranu kosoštvorca.