Celé čísla

Definícia prirodzených čísel sú kladné celé čísla. Prirodzené čísla sa používajú na počítanie predmetov a na mnohé iné účely. Tu sú čísla:

Toto je prirodzený rad čísel.
Nula je prirodzené číslo? Nie, nula nie je prirodzené číslo.
Koľko prirodzených čísel existuje? Existuje nekonečná množina prirodzených čísel.
Aké je najmenšie prirodzené číslo? Jedna je najmenšie prirodzené číslo.
Aké je najväčšie prirodzené číslo? Nedá sa to špecifikovať, pretože existuje nekonečná množina prirodzených čísel.

Súčet prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže sčítanie prirodzených čísel a a b:

Súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže súčin prirodzených čísel a a b:

c je vždy prirodzené číslo.

Rozdiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak je minuend väčší ako subtrahend, potom rozdiel prirodzených čísel je prirodzené číslo, inak nie je.

Podiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak pre prirodzené čísla a a b

kde c je prirodzené číslo, znamená to, že a je rovnomerne deliteľné b. V tomto príklade a je dividenda, b je deliteľ, c je kvocient.

Deliteľ prirodzeného čísla je prirodzené číslo, ktorým je prvé číslo rovnomerne deliteľné.

Každé prirodzené číslo je deliteľné 1 a samo sebou.

Jednoduché prirodzené čísla sú deliteľné iba 1 a samy sebou. Tu máme na mysli rozdelené úplne. Príklad, čísla 2; 3; 5; 7 je deliteľné iba 1 a sebou samým. Sú to jednoduché prirodzené čísla.

Jedna sa nepovažuje za prvočíslo.

Čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla. Príklady zložených čísel:

Jedna sa nepovažuje za zložené číslo.

Množinu prirodzených čísel tvorí jedna, prvočísla a zložené čísla.

Množinu prirodzených čísel označujeme latinským písmenom N.

Vlastnosti sčítania a násobenia prirodzených čísel:

komutatívna vlastnosť sčítania

asociatívna vlastnosť sčítania

(a + b) + c = a + (b + c);

komutatívna vlastnosť násobenia

asociatívna vlastnosť násobenia

(ab)c = a(bc);

distributívna vlastnosť násobenia

A (b + c) = ab + ac;

Celé čísla

Celé čísla sú prirodzené čísla, nula a opak prirodzených čísel.

Čísla oproti prirodzeným číslam sú záporné celé čísla, napríklad:

1; -2; -3; -4;...

Množina celých čísel je označená latinským písmenom Z.

Racionálne čísla

Racionálne čísla sú celé čísla a zlomky.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako periodický zlomok. Príklady:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Z príkladov je zrejmé, že akékoľvek celé číslo je periodický zlomok s periódou nula.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Predstavme si číslo 3,(6) z predchádzajúceho príkladu ako taký zlomok.

Téma racionálnych čísel je pomerne rozsiahla. Môžete o tom hovoriť donekonečna a písať celé diela, zakaždým vás prekvapia nové čipy.

Aby sme sa v budúcnosti vyhli chybám, v tejto lekcii sa trochu ponoríme do témy racionálnych čísel, načerpáme z nej potrebné informácie a ideme ďalej.

Obsah lekcie

Čo je racionálne číslo

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a - je čitateľ zlomku b je menovateľ zlomku. A b nesmie byť nula, pretože delenie nulou nie je povolené.

Racionálne čísla zahŕňajú nasledujúce kategórie čísel:

• celé čísla (napríklad -2, -1, 0 1, 2 atď.)

• desatinné zlomky (napríklad 0,2 atď.)

• nekonečné periodické zlomky (napríklad 0, (3) atď.)

Každé číslo v tejto kategórii môže byť vyjadrené ako zlomok.

Príklad 1 Celé číslo 2 môže byť vyjadrené ako zlomok. Číslo 2 teda platí nielen pre celé čísla, ale aj pre racionálne.

Príklad 2 Zmiešané číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Tento zlomok sa získa prevodom zmiešaného čísla na nesprávny zlomok.

Takže zmiešané číslo je racionálne číslo.

Príklad 3 Desatinné číslo 0,2 môže byť vyjadrené ako zlomok. Táto frakcia bola získaná premenou desatinného zlomku 0,2 na obyčajný zlomok. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Keďže desatinný zlomok 0,2 môže byť vyjadrený zlomkom, znamená to, že platí aj pre racionálne čísla.

Príklad 4 Nekonečný periodický zlomok 0, (3) môže byť reprezentovaný ako zlomok . Táto frakcia sa získava premenou čistej periodickej frakcie na obyčajnú frakciu. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Keďže nekonečný periodický zlomok 0, (3) možno znázorniť zlomkom, znamená to, že patrí aj medzi racionálne čísla.

V budúcnosti všetky čísla, ktoré môžu byť vyjadrené ako zlomok, budeme čoraz častejšie nazývať jednou frázou - racionálne čísla.

Racionálne čísla na súradnicovej čiare

Zvažovali sme súradnicovú čiaru, keď sme študovali záporné čísla. Pripomeňme, že ide o priamku, na ktorej leží veľa bodov. Nasledovne:

Tento obrázok ukazuje malý fragment súradnicovej čiary od -5 do 5.

Nie je ťažké vyznačiť celé čísla v tvare 2, 0, −3 na súradnicovej čiare.

Oveľa zaujímavejšie sú veci so zvyškom čísel: s obyčajnými zlomkami, zmiešanými číslami, desatinnými zlomkami atď. Tieto čísla ležia medzi celými číslami a týchto čísel je nekonečne veľa.

Vyznačme si napríklad racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto číslo je presne medzi nulou a jednou.

Skúsme pochopiť, prečo sa zlomok zrazu nachádza medzi nulou a jednotkou.

Ako bolo uvedené vyššie, medzi celými číslami ležia iné čísla - obyčajné zlomky, desatinné zlomky, zmiešané čísla atď. Napríklad, ak zväčšíte úsek súradnicovej čiary z 0 na 1, uvidíte nasledujúci obrázok

Je vidieť, že medzi celými číslami 0 a 1 sú už iné racionálne čísla, čo sú nám známe desatinné zlomky. Vidno tu aj náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,5. Pozorné preskúmanie tohto čísla dáva odpoveď na otázku, prečo sa zlomok nachádza práve tam.

Zlomok znamená deliť 1 2. A ak 1 delíme 2, dostaneme 0,5

Desatinný zlomok 0,5 možno zamaskovať ako iné zlomky. Zo základnej vlastnosti zlomku vieme, že ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, potom sa hodnota zlomku nezmení.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí ľubovoľným číslom, napríklad číslom 4, dostaneme nový zlomok a tento zlomok sa tiež rovná 0,5

To znamená, že na súradnicovej čiare môže byť zlomok umiestnený na rovnakom mieste, kde sa zlomok nachádzal

Príklad 2 Skúsme na súradnici vyznačiť racionálne číslo. Toto číslo sa nachádza presne medzi číslami 1 a 2

Hodnota zlomku je 1,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 1 na 2, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že medzi celými číslami 1 a 2 sú už iné racionálne čísla, čo sú nám známe desatinné zlomky. Vidno tu aj náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 1,5.

Zväčšili sme určité segmenty na súradnicovej čiare, aby sme videli zvyšné čísla ležiace na tomto segmente. V dôsledku toho sme našli desatinné zlomky, ktoré mali jednu číslicu za desatinnou čiarkou.

Neboli to však jediné čísla ležiace na týchto segmentoch. Na súradnicovej čiare leží nekonečne veľa čísel.

Je ľahké uhádnuť, že medzi desatinnými zlomkami, ktoré majú jednu číslicu za desatinnou čiarkou, už existujú ďalšie desatinné zlomky, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice. Inými slovami, stotiny segmentu.

Skúsme napríklad vidieť čísla, ktoré ležia medzi desatinnými zlomkami 0,1 a 0,2

Ďalší príklad. Desatinné čísla, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice a ležia medzi nulou a racionálnym číslom 0,1, vyzerajú takto:

Príklad 3 Na súradnicovej čiare označíme racionálne číslo. Toto racionálne číslo bude veľmi blízko nule.

Hodnota zlomku je 0,02

Ak zväčšíme segment z 0 na 0,1, uvidíme, kde sa presne nachádza racionálne číslo

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,02.

Príklad 4 Označme racionálne číslo 0 na súradnicovej čiare, (3)

Racionálne číslo 0, (3) je nekonečný periodický zlomok. Jeho zlomková časť nikdy nekončí, je nekonečná

A keďže číslo 0, (3) má nekonečnú zlomkovú časť, znamená to, že nebudeme schopní nájsť presné miesto na súradnicovej čiare, kde sa toto číslo nachádza. Toto miesto môžeme naznačiť len približne.

Racionálne číslo 0,33333... bude veľmi blízko obvyklej desatinnej 0,3

Tento obrázok neukazuje presné umiestnenie čísla 0,(3). Toto je len ilustrácia, ktorá ukazuje, ako blízko môže byť periodický zlomok 0.(3) k bežnej desatinnej 0,3.

Príklad 5 Na súradnicovej čiare označíme racionálne číslo. Toto racionálne číslo sa bude nachádzať v strede medzi číslami 2 a 3

Toto sú 2 (dve celé čísla) a (jedna sekunda). Zlomok sa nazýva aj „polovica“. Preto sme na súradnicovej čiare označili dva celé segmenty a ďalšiu polovicu segmentu.

Ak zmiešané číslo preložíme na nevlastný zlomok, dostaneme obyčajný zlomok. Tento zlomok na súradnicovej čiare bude umiestnený na rovnakom mieste ako zlomok

Hodnota zlomku je 2,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 2 na 3, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 2,5

Mínus pred racionálnym číslom

V predchádzajúcej lekcii, ktorá sa volala, sme sa naučili deliť celé čísla. Dividenda a deliteľ môžu byť kladné aj záporné čísla.

Zvážte najjednoduchší výraz

(−6) : 2 = −3

V tomto výraze je dividenda (-6) záporné číslo.

Teraz zvážte druhý výraz

6: (−2) = −3

Tu je už deliteľ (−2) záporné číslo. Ale v oboch prípadoch dostaneme rovnakú odpoveď -3.

Vzhľadom na to, že každé delenie možno zapísať ako zlomok, môžeme vyššie uvedené príklady napísať aj ako zlomok:

A keďže v oboch prípadoch je hodnota zlomku rovnaká, mínus stojaci buď v čitateli alebo v menovateli sa môže spojiť tak, že sa umiestni pred zlomok.

Preto medzi výrazy a a môžete vložiť znamienko rovnosti, pretože majú rovnakú hodnotu

Ak sa v budúcnosti pri práci so zlomkami stretneme s mínusom v čitateli alebo v menovateli, urobíme toto mínus spoločné a umiestnime ho pred zlomok.

Opačné racionálne čísla

Rovnako ako celé číslo, aj racionálne číslo má svoje opačné číslo.

Napríklad pre racionálne číslo je opačné číslo . Nachádza sa na súradnicovej línii symetricky k umiestneniu vzhľadom na počiatok. Inými slovami, obe tieto čísla sú rovnako vzdialené od pôvodu

Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky

Vieme, že ak chcete previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok, musíte vynásobiť časť celého čísla menovateľom zlomkovej časti a pridať do čitateľa zlomkovej časti. Výsledné číslo bude čitateľom nového zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký.

Preveďme napríklad zmiešané číslo na nesprávny zlomok

Vynásobte časť celého čísla menovateľom zlomkovej časti a pridajte čitateľa zlomkovej časti:

Vypočítajme tento výraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Výsledné číslo 5 bude čitateľom nového zlomku a menovateľ zostane rovnaký:

Celý proces je napísaný takto:

Ak chcete vrátiť pôvodné zmiešané číslo, stačí vybrať časť celého čísla v zlomku

Ale tento spôsob prevodu zmiešaného čísla na nesprávny zlomok je použiteľný iba vtedy, ak je zmiešané číslo kladné. Pre záporné číslo táto metóda nebude fungovať.

Uvažujme zlomok. Zoberme si celú časť tohto zlomku. Získajte

Ak chcete vrátiť pôvodný zlomok, musíte previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Ak však použijeme staré pravidlo, konkrétne vynásobíme celú časť menovateľom zlomkovej časti a k ​​výslednému číslu pridáme čitateľa zlomkovej časti, dostaneme nasledujúci rozpor:

Dostali sme zlomok, ale mali sme dostať zlomok.

Dospeli sme k záveru, že zmiešané číslo bolo nesprávne preložené do nesprávneho zlomku

Ak chcete správne preložiť záporné zmiešané číslo na nesprávny zlomok, musíte vynásobiť časť celého čísla menovateľom zlomkovej časti a z výsledného čísla odčítať zlomkový čitateľ. V tomto prípade všetko padne na svoje miesto

Záporné zmiešané číslo je opakom zmiešaného čísla. Ak sa kladné zmiešané číslo nachádza na pravej strane a vyzerá takto

Racionálne čísla

štvrtí

1. Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   súčet zlomkov

2. operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
3. operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
4. Tranzitivita rádového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
5. Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
6. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
7. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
8. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
9. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
10. Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
11. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
12. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
13. Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka je riadená "hadom" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednému z najväčších spoločných deliteľov čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Poznámky

Literatúra

• I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
• I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

Definícia racionálnych čísel

Racionálne čísla sú:

• Prirodzené čísla, ktoré možno vyjadriť ako zlomok. Napríklad $7=\frac(7)(1)$.
• Celé čísla vrátane čísla nula, ktoré môžu byť vyjadrené ako kladné alebo záporné zlomky alebo ako nula. Napríklad $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Obyčajné zlomky (kladné alebo záporné).
• Zmiešané čísla, ktoré možno znázorniť ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ a $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Konečný desatinný bod a nekonečný periodický zlomok, ktorý možno znázorniť ako spoločný zlomok. Napríklad $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Poznámka 1

Všimnite si, že nekonečný neperiodický desatinný zlomok neplatí pre racionálne čísla, pretože nemôže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok.

Príklad 1

Prirodzené čísla $ 7, 670, 21 \ 456 $ sú racionálne.

Celé čísla $76, -76, 0, -555 \ 666$ sú racionálne.

Obyčajné zlomky $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ sú racionálne čísla .

Racionálne čísla sa teda delia na kladné a záporné. Nula je racionálne číslo, ale nie je to kladné ani záporné racionálne číslo.

Sformulujme kratšiu definíciu racionálnych čísel.

Definícia 3

Racionálne volacie čísla, ktoré môžu byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Možno vyvodiť tieto závery:

• kladné a záporné celé čísla a zlomkové čísla patria do množiny racionálnych čísel;
• racionálne čísla môžu byť reprezentované ako zlomok, ktorý má celé číslo a prirodzeného menovateľa a je racionálnym číslom;
• racionálne čísla môžu byť reprezentované ako akékoľvek periodické desatinné číslo, ktoré je racionálnym číslom.

Ako zistiť, či je číslo racionálne

1. Číslo sa udáva ako číselný výraz, ktorý pozostáva len z racionálnych čísel a znakov aritmetických operácií. V tomto prípade bude hodnotou výrazu racionálne číslo.
2. Druhá odmocnina prirodzeného čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak je odmocninou číslo, ktoré je dokonalou druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad $\sqrt(9)$ a $\sqrt(121)$ sú racionálne čísla, pretože $9=3^2$ a $121=11^2$.
3. $n$-tá odmocnina celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je $n$-tou mocninou nejakého celého čísla. Napríklad $\sqrt(8)$ je racionálne číslo, pretože 8 $ = 2^3 $.

Racionálne čísla sú na číselnej osi všade husté: medzi každými dvoma racionálnymi číslami, ktoré sa navzájom nerovnajú, sa môže nachádzať aspoň jedno racionálne číslo (teda nekonečný počet racionálnych čísel). Zároveň sa množina racionálnych čísel vyznačuje spočítateľnou mohutnosťou (t. j. všetky prvky množiny možno očíslovať). Starovekí Gréci dokázali, že existujú čísla, ktoré nemožno zapísať zlomkom. Ukázali, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2 $. Potom racionálne čísla nestačili na vyjadrenie všetkých veličín, čo neskôr viedlo k vzniku reálnych čísel. Množina racionálnych čísel je na rozdiel od reálnych čísel nulová.

Racionálne čísla

štvrtí

1. Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   súčet zlomkov

2. operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
3. operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
4. Tranzitivita rádového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
5. Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
6. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
7. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
8. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
9. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
10. Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
11. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
12. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
13. Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka je riadená "hadom" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednému z najväčších spoločných deliteľov čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Poznámky

Literatúra

• I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
• I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.