Geometria je veľmi mnohostranná veda. Rozvíja logiku, predstavivosť a inteligenciu. Samozrejme, vzhľadom na jeho zložitosť a obrovské množstvo teorémy a axiómy, školáci to nemajú vždy radi. Okrem toho je potrebné neustále dokazovať svoje závery pomocou všeobecne uznávaných noriem a pravidiel.

Priľahlé a vertikálne uhly sú neoddeliteľnou súčasťou geometrie. Určite ich mnohí školáci jednoducho zbožňujú z toho dôvodu, že ich vlastnosti sú jasné a ľahko dokázateľné.

Tvorba rohov

Akýkoľvek uhol je vytvorený priesečníkom dvoch čiar alebo nakreslením dvoch lúčov z jedného bodu. Môžu sa nazývať jedno písmeno alebo tri, ktoré postupne označujú body konštrukcie rohu.

Uhly sa merajú v stupňoch a môžu sa (v závislosti od ich hodnoty) nazývať inak. Existuje teda pravý uhol, ostrý, tupý a nasadený. Každému z názvov zodpovedá určitá miera stupňa alebo jej interval.

Ostrý uhol je uhol, ktorého veľkosť nepresahuje 90 stupňov.

Tupý uhol je uhol väčší ako 90 stupňov.

Uhol sa nazýva pravý, keď je jeho miera 90.

V prípade, že je tvorená jednou súvislou priamkou a jej miera stupňov je 180, nazýva sa rozmiestnená.

Uhly, ktoré majú spoločnú stranu, ktorej druhá strana na seba nadväzuje, sa nazývajú susedné. Môžu byť ostré alebo tupé. Priesečník priamky tvorí susedné uhly. Ich vlastnosti sú nasledovné:

1. Súčet takýchto uhlov sa bude rovnať 180 stupňom (existuje veta, ktorá to dokazuje). Preto sa jeden z nich dá ľahko vypočítať, ak je známy druhý.
2. Z prvého bodu vyplýva, že susedné uhly nemôžu tvoriť dva tupé alebo dva ostré uhly.

Vďaka týmto vlastnostiam sa dá vždy vypočítať miera uhla vzhľadom na hodnotu iného uhla alebo aspoň pomer medzi nimi.

Vertikálne uhly

Uhly, ktorých strany sú vzájomným pokračovaním, sa nazývajú vertikálne. Ako taký pár môže pôsobiť ktorákoľvek z ich odrôd. Vertikálne uhly sú vždy rovnaké.

Vznikajú pri pretínaní čiar. Spolu s nimi sú vždy prítomné susedné rohy. Uhol môže byť priľahlý pre jednu a vertikálny pre druhú.

Pri prechode ľubovoľnou čiarou sa zvažuje aj niekoľko ďalších typov uhlov. Takáto čiara sa nazýva sečna a tvorí zodpovedajúce, jednostranné a priečne ležiace uhly. Navzájom sú si rovní. Možno ich vidieť vo svetle vlastností, ktoré majú vertikálne a susedné uhly.

Téma rohov sa teda zdá byť celkom jednoduchá a zrozumiteľná. Všetky ich vlastnosti sa dajú ľahko zapamätať a dokázať. Riešenie problémov nie je ťažké, pokiaľ uhly zodpovedajú číselnej hodnote. Už ďalej, keď sa začne štúdium hriechu a cos, budete si musieť zapamätať mnohé zložité vzorce, ich závery a dôsledky. Dovtedy si môžete užiť len jednoduché hádanky, v ktorých musíte nájsť priľahlé rohy.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú komplementárne lúče. Na obrázku 20 sú uhly AOB a BOC priľahlé.

Súčet susedných uhlov je 180°

Veta 1. Súčet susedných uhlov je 180°.

Dôkaz. Lúč OB (pozri obr. 1) prechádza medzi stranami rozvinutého uhla. Takže ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Z vety 1 vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú.

Vertikálne uhly sú rovnaké

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú komplementárnymi lúčmi strán druhého uhla. Uhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvorené v priesečníku dvoch priamok, sú vertikálne (obr. 2).

Veta 2. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Dôkaz. Zvážte vertikálne uhly AOB a COD (pozri obr. 2). Uhol BOD susedí s každým z uhlov AOB a COD. Podľa vety 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Dospeli sme teda k záveru, že ∠ AOB = ∠ COD.

Dôsledok 1. Uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.

Uvažujme dve pretínajúce sa priamky AC a BD (obr. 3). Tvoria štyri rohy. Ak je jeden z nich pravý (uhol 1 na obr. 3), potom sú aj ostatné uhly pravé (uhly 1 a 2, 1 a 4 susedia, uhly 1 a 3 sú vertikálne). V tomto prípade sa hovorí, že tieto čiary sa pretínajú v pravom uhle a nazývajú sa kolmé (alebo vzájomne kolmé). Kolmosť priamok AC a BD je označená nasledovne: AC ⊥ BD.

Kolmica úsečky je priamka kolmá na túto úsečku a prechádzajúca jej stredom.

AN - kolmá na čiaru

Uvažujme priamku a a bod A, ktorý na nej neleží (obr. 4). Spojte bod A úsečkou s bodom H priamkou a. Úsek AH sa nazýva kolmica vedená z bodu A k priamke a, ak sú priamky AN a a kolmé. Bod H sa nazýva základňa kolmice.

Kreslenie štvorca

Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 3. Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na priamke, možno nakresliť kolmicu na túto priamku a navyše iba jednu.

Na kreslenie kolmice z bodu na priamku na výkrese sa používa kresliaci štvorec (obr. 5).

Komentujte. Výrok vety sa zvyčajne skladá z dvoch častí. Jedna časť hovorí o tom, čo je dané. Táto časť sa nazýva podmienka vety. Druhá časť hovorí o tom, čo treba dokázať. Táto časť sa nazýva záver vety. Napríklad podmienkou vety 2 sú vertikálne uhly; záver - tieto uhly sú rovnaké.

Akákoľvek veta môže byť podrobne vyjadrená slovami tak, že jej podmienka začína slovom „ak“ a záver slovom „potom“. Napríklad veta 2 môže byť podrobne vyjadrená takto: "Ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké."

Príklad 1 Jeden zo susedných uhlov je 44°. Čomu sa rovná ten druhý?

rozhodnutie. Označme mieru stupňa iného uhla x, potom podľa vety 1.
44° + x = 180°.
Pri riešení výslednej rovnice zistíme, že x \u003d 136 °. Preto je druhý uhol 136°.

Príklad 2 Nech je uhol CHSK na obrázku 21 45°. Aké sú uhly AOB a AOC?

rozhodnutie. Uhly COD a AOB sú vertikálne, preto sú podľa vety 1.2 rovnaké, t.j. ∠ AOB = 45°. Uhol AOC susedí s uhlom COD, teda podľa vety 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CHSK = 180° - 45° = 135°.

Príklad 3 Nájdite susedné uhly, ak je jeden z nich 3-krát väčší ako druhý.

rozhodnutie. Označte mieru menšieho uhla x. Potom miera stupňa väčšieho uhla bude Zx. Keďže súčet susedných uhlov je 180° (Veta 1), potom x + 3x = 180°, odkiaľ x = 45°.
Takže susedné uhly sú 45° a 135°.

Príklad 4 Súčet dvoch vertikálnych uhlov je 100°. Nájdite hodnotu každého zo štyroch uhlov.

rozhodnutie. Podmienke úlohy zodpovedá obrázok 2. Vertikálne uhly COD k AOB sú rovnaké (Veta 2), čo znamená, že aj ich miery sú rovnaké. Preto ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (ich súčet je 100° podľa podmienky). Uhol BOD (tiež uhol AOC) susedí s uhlom COD, a preto podľa vety 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Priľahlé rohy- dva uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a ostatné dva sú pokračovaním jeden druhého.

Súčet susedných uhlov je 180°

Vertikálne uhly sú dva uhly, v ktorých strany jedného uhla sú pokračovaním strán druhého uhla.

Vertikálne uhly sú rovnaké.

2. Značky rovnosti trojuholníkov:

podpisujem: Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

znak II: Ak sa strany a dva susediace uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva k nej susediace uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

III znak: Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné

3. Znaky rovnobežnosti dvoch priamok: jednostranné uhly, ležiace krížom a zodpovedajúce:

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný ak sa nepretínajú.

Uhly priečneho ležania: 3 a 5, 4 a 6;

Jednostranné rohy: 4 a 5, 3 a 6; ryža. Strana 55

Zodpovedajúce uhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;

Veta: Ak sú uhly ležania v priesečníku dvoch priamok priečnika rovnaké, potom sú priamky rovnobežné.

Veta: Ak sú na priesečníku dvoch priamok sečnice zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú priamky rovnobežné.

Veta: Ak sa v priesečníku dvoch priamok sečnice súčet jednostranných uhlov rovná 180 °, potom sú priamky rovnobežné.

Veta: ak sú dve rovnobežné priamky pretínané sečnicou, potom sú uhly priečne ležiace rovnaké

Veta: ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, potom sú príslušné uhly rovnaké

Veta: ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, potom súčet jednostranných uhlov je 180°

4. Súčet uhlov trojuholníka:

Súčet uhlov trojuholníka je 180°

5. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka:

Veta: V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.

Veta: V rovnoramennom trojuholníku je os pritiahnutá k základni stred a výška (stred je naopak), (strednica rozpolí uhol, stred rozdelí stranu, výška zviera uhol 90°)

Znamenie: Ak sú dva uhly trojuholníka rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný.

6. Pravý trojuholník:

Správny trojuholník je trojuholník, v ktorom je jeden uhol pravý (to znamená 90 stupňov)

V pravouhlom trojuholníku je prepona dlhšia ako noha

1. Súčet dvoch ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je 90°

2. Noha pravouhlého trojuholníka, ležiaca oproti uhlu 30°, sa rovná polovici prepony

3. Ak sa rameno pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony, potom je uhol oproti tomuto ramenu 30 °

7. Rovnostranný trojuholník:

ROVNOSTRANNÝ TROJUHOLNÍK, plochý obrazec s tromi stranami rovnakej dĺžky; tri vnútorné uhly, ktoré zvierajú strany, sú tiež rovnaké a rovné 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin=, Cos=, tg=, ctg=, tg= ,ctg=

9. Znaky štvoruholníka^

Súčet uhlov štvoruholníka je 2 π = 360°.

Štvoruholník možno vpísať do kruhu vtedy a len vtedy, ak súčet protiľahlých uhlov je 180°

10. Znaky podobnosti trojuholníkov:

podpisujem: ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného, ​​potom sú tieto trojuholníky podobné

znak II: ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly medzi týmito stranami sú rovnaké, potom sú takéto trojuholníky podobné.

III znak: ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám druhého, potom sú takéto trojuholníky podobné

11. Vzorce:

· Pytagorova veta: a 2 +b 2 =c 2

· Veta o hriechu:

· cos veta:

· 3 vzorce oblasti trojuholníka:

· Plocha pravouhlého trojuholníka: S = S =

· Plocha rovnostranného trojuholníka:

· Plocha rovnobežníka: S=ah

· Štvorcová plocha: S = a2

· Oblasť trapézu:

· Oblasť kosoštvorca:

· Oblasť obdĺžnika: S=ab

· Rovnostranný trojuholník. Výška: h=

· Trigonometrické jednotky: sin 2 a+cos 2 a=1

· Stredná čiara trojuholníka: S=

· Stredná čiara lichobežníka:MK=

©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 2017-12-12

KAPITOLA I.

ZÁKLADNÉ POJMY.

§jedenásť. PRIDAJÚCE A VERTIKÁLNE UHLY.

1. Priľahlé rohy.

Ak budeme pokračovať stranou niektorého rohu za jeho vrchol, dostaneme dva rohy (obr. 72): / Slnko a / SVD, v ktorom je jedna strana BC spoločná a ďalšie dve AB a BD tvoria priamku.

Dva uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a ďalšie dva tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly možno získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neležiacej na danej priamke), získame susedné uhly.
Napríklad, / ADF a / FDВ - priľahlé rohy (obr. 73).

Priľahlé rohy môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže umma dvoch susedných uhlov je 2d.

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme hodnotu jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť hodnotu druhého susedného uhla.

Napríklad, ak jeden zo susedných uhlov je 3/5 d, potom sa druhý uhol bude rovnať:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla.

Nechať byť / 1 = 7 / 8 d(obr. 76). Susedí s ním / 2 sa bude rovnať 2 d- 7 / 8 d t.j. 1 1/8 d.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú / 3 a / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(obr. 77).

To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastnosti zvislých uhlov je potrebné overiť zdôvodnením, dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

/ +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(keďže súčet susedných uhlov je 2 d).

/ +/ c = / b +/ c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa rovná 2 d a jeho pravá strana sa tiež rovná 2 d).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol s.

Ak od rovnakých hodnôt odpočítame rovnako, zostane rovnako. Výsledkom bude: / a = / b t.j. vertikálne uhly sú si navzájom rovné.

Pri zvažovaní otázky vertikálnych uhlov sme najprv vysvetlili, ktoré uhly sa nazývajú vertikálne, t.j. dali sme definícia zvislé rohy.

Potom sme si urobili úsudok (výrok) o rovnosti vertikálnych uhlov a o platnosti tohto úsudku sme sa presvedčili dôkazom. Takéto rozsudky, ktorých platnosť musí byť preukázaná, sa nazývajú teorémy. V tejto časti sme teda uviedli definíciu vertikálnych uhlov a tiež uviedli a dokázali vetu o ich vlastnosti.

V budúcnosti sa pri štúdiu geometrie budeme musieť neustále stretávať s definíciami a dôkazmi viet.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 / 1, / 2, / 3 a / 4 sú umiestnené na rovnakej strane priamky a majú spoločný vrchol na tejto priamke. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na výkrese 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 majú spoločný vrch. V súhrne tieto uhly tvoria celý uhol, t.j. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Cvičenia.

1. Jeden zo susedných uhlov je 0,72 d. Vypočítajte uhol, ktorý zvierajú osy týchto susedných uhlov.

2. Dokážte, že osy dvoch susedných uhlov tvoria pravý uhol.

3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.

4. Koľko párov susedných rohov je na výkrese 81?

5. Môže sa dvojica susediacich uhlov skladať z dvoch ostrých uhlov? z dvoch tupých rohov? z pravého a tupého uhla? z pravého a ostrého uhla?

6. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, čo sa potom dá povedať o hodnote susedného uhla?

7. Ak je v priesečníku dvoch priamok jeden pravý uhol, čo sa potom dá povedať o veľkosti zvyšných troch uhlov?