Chcete vedieť, aké sú matematické šance na úspech vašej stávky? Potom pre vás máme dve dobré správy. Po prvé: na výpočet priechodnosti nemusíte vykonávať zložité výpočty a tráviť veľa času. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé, po prečítaní tohto článku budete ľahko vedieť vypočítať pravdepodobnosť absolvovania ktoréhokoľvek z vašich obchodov.
Ak chcete správne určiť priechodnosť, musíte vykonať tri kroky:
- Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
- Vypočítajte pravdepodobnosť zo štatistických údajov sami;
- Zistite hodnotu stávky pri oboch pravdepodobnostiach.
Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.
Rýchly prechod
Výpočet pravdepodobnosti vložené do stávkových kurzov
Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou stávková kancelária vyhodnocuje šance na konkrétny výsledok. Je predsa jasné, že stávkové kancelárie nestavia kurzy len tak. Na to používame nasledujúci vzorec:
PB=(1/K)*100 %,
kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
K - kurz stávkovej kancelárie na výsledok.
Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v dueli proti Bayernu je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva BC sa považuje za (1/4) * 100 % = 25 %. Alebo hrá Djokovič proti Juhu. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sa rovnajú (1/1,2)*100%=83%.
Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.
Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom
Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia, herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky predchádzajúcich stretnutí. Na výpočet štatistickej pravdepodobnosti výsledku používame vzorec:
PA\u003d (UM / M) * 100 %,
kdePA- pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;
UM - počet úspešných zápasov, v ktorých sa takáto udalosť uskutočnila;
M je celkový počet zápasov.
Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal odohrali 14 zápasov. V 6 z nich bolo zaznamenaných celkovo menej ako 21 zápasov, v 8 celkovo nad. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá celkovo nad: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala na Mestalle proti Atléticu 74 zápasov, v ktorých si pripísala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.
A to všetci vieme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pri niektorých nových tímoch alebo hráčoch sa takáto pravdepodobnosť nedá vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi nestretnú prvýkrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovanie a vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti na to, aby sme prešli do posledného kroku.
Určenie hodnoty stávky
Hodnota (hodnotnosť) stávky a priechodnosť spolu priamo súvisia: čím vyššie zhodnotenie, tým väčšia šanca na úspešnosť. Hodnota sa vypočíta takto:
V=PA*K-100%,
kde V je hodnota;
P I - pravdepodobnosť výsledku podľa lepšieho;
K - kurz stávkovej kancelárie na výsledok.
Povedzme, že chceme staviť na Miláno, že vyhrá zápas proti Rímu a vypočítali sme, že pravdepodobnosť výhry červeno-čiernych je 45%. Stávková kancelária nám za tento výsledok ponúka koeficient 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Skvelé, máme cennú stávku s dobrými šancami na prihrávku.
Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme sa dohodnúť, aby Mária vyhrala, čo má podľa našich výpočtov pravdepodobnosť 60 %. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok multiplikátor 1,5. Určte hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a mali by ste sa jej zdržať.
ako ontologická kategória odráža mieru možnosti vzniku akejkoľvek entity v akýchkoľvek podmienkach. Na rozdiel od matematických a logických výkladov tohto pojmu sa ontologická V. nespája s nevyhnutnosťou kvantitatívneho vyjadrenia. Hodnota V. sa odhaľuje v kontexte chápania determinizmu a povahy vývoja vôbec.
Veľká definícia
Neúplná definícia ↓
PRAVDEPODOBNOSŤ
pojem, ktorý charakterizuje veličiny. miera možnosti výskytu určitej udalosti pri určitom. podmienky. Vo vedeckom poznania existujú tri výklady V. Klasický pojem V., ktorý vzišiel z matematického. analýzu hazardných hier a najúplnejšie ju rozpracovali B. Pascal, J. Bernoulli a P. Laplace, považuje V. za pomer počtu priaznivých prípadov k celkovému počtu všetkých rovnako možných. Napríklad pri hode kockou so 6 stranami možno očakávať, že každá z nich príde s V rovnajúcim sa 1/6, pretože žiadna zo strán nemá oproti tej druhej výhody. Takáto symetria výsledkov skúseností sa berie do úvahy najmä pri organizovaní hier, ale pri skúmaní objektívnych udalostí vo vede a praxi je pomerne zriedkavá. klasické Interpretácia V. ustúpila štatistickej. V. koncepty, v ktorých jadre sú platné. pozorovanie vzhľadu určitej udalosti počas trvania. skúsenosti za presne stanovených podmienok. Prax potvrdzuje, že čím častejšie sa udalosť vyskytuje, tým väčšia je miera objektívnej možnosti jej vzniku, alebo V. Preto štatistické. Výklad V. vychádza z pojmu súvisí. frekvencie, rez môže byť určený empiricky. V. ako teoretické. pojem sa však v mnohých smeroch nikdy nezhoduje s empiricky určenou frekvenciou. prípadoch sa prakticky len málo líši od príbuzného. frekvencia zistená ako výsledok trvania. pozorovania. Mnohí štatistici považujú V. za „dvojníka“ odkazuje. frekvencia, hrana je určená štatistickým. štúdium výsledkov pozorovania
alebo experimenty. Menej realistická bola definícia V. ako limitu súvisí. frekvencie hromadných podujatí, prípadne kolektívov, ktoré navrhol R. Mises. Ako ďalší rozvoj frekvenčného prístupu k V. sa predkladá dispozičná, resp. sklonová interpretácia V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Podľa tohto výkladu V. charakterizuje vlastnosť vytvárania podmienok napr. experimentovať. inštalácia, aby sa získala sekvencia masívnych náhodných udalostí. Je to tento postoj, ktorý dáva vznik fyzickému dispozície, alebo predispozície, V. to-rykh možno kontrolovať pomocou rel. frekvencie.
Štatistické Vo vedeckom výklade dominuje V. vedomosti, pretože odzrkadľujú špecif. povaha vzorov, ktoré sú vlastné hromadným javom náhodnej povahy. V mnohých fyzikálnych, biologických, ekonomických, demografických a iných spoločenských procesov je potrebné brať do úvahy pôsobenie mnohých náhodných faktorov, to-žito sa vyznačujú stabilnou frekvenciou. Identifikácia tejto stabilnej frekvencie a veličín. jeho posúdenie pomocou V. umožňuje odhaliť nevyhnutnosť, ktorá si razí cestu kumulatívnym pôsobením mnohých nehôd. Tu nachádza svoj prejav dialektika premeny náhody na nevyhnutnosť (pozri F. Engels, v knihe: K. Marx a F. Engels, Soch., zv. 20, s. 535-36).
Logické, alebo induktívne uvažovanie charakterizuje vzťah medzi premisami a záverom nedemonštratívneho a najmä induktívneho uvažovania. Na rozdiel od dedukcie, premisy indukcie nezaručujú pravdivosť záveru, ale len ho robia viac-menej pravdepodobným. Túto vierohodnosť s presne formulovanými premisami možno niekedy odhadnúť pomocou V. Hodnota tohto V. sa najčastejšie zisťuje porovnávaním. pojmy (väčšie, menšie alebo rovné) a niekedy aj číselným spôsobom. Logika interpretácia sa často používa na analýzu induktívneho uvažovania a budovanie rôznych systémov pravdepodobnostnej logiky (R. Carnap, R. Jeffrey). V sémantike logické pojmy. V. sa často definuje ako miera potvrdenia jedného tvrdenia inými (napríklad hypotéza jeho empirických údajov).
V súvislosti s rozvojom teórií rozhodovania a hier, tzv. personalistický výklad V. Hoci V. v tomto prípade vyjadruje mieru viery subjektu a výskyt určitej udalosti, samotné V. treba zvoliť tak, aby boli splnené axiómy výpočtu V. Preto , V. takýmto výkladom vyjadruje ani nie tak mieru subjektívnej, ako skôr rozumnú vieru . Následne rozhodnutia urobené na základe takéhoto V. budú racionálne, pretože nezohľadňujú psychologické. vlastnosti a sklony subjektu.
Z epistemologického sp. rozdiel medzi štatistikou., log. a personalistické interpretácie V. spočíva v tom, že ak prvá charakterizuje objektívne vlastnosti a vzťahy hromadných javov náhodného charakteru, tak posledné dve rozoberajú črty subjektívneho, poznávacieho. ľudské činnosti v podmienkach neistoty.
PRAVDEPODOBNOSŤ
jeden z najdôležitejších pojmov vedy, charakterizujúci špeciálne systémové videnie sveta, jeho štruktúru, vývoj a poznanie. Špecifickosť pravdepodobnostného pohľadu na svet odhaľuje zaradenie pojmov náhoda, nezávislosť a hierarchia (predstavy úrovní v štruktúre a determinácii systémov) medzi základné pojmy bytia.
Predstavy o pravdepodobnosti vznikli v staroveku a súviseli s charakteristikami nášho poznania, pričom sa uznávala prítomnosť pravdepodobnostných poznatkov, ktoré sa líšia od spoľahlivých poznatkov a od nepravdivých. Vplyv myšlienky pravdepodobnosti na vedecké myslenie, na rozvoj poznania priamo súvisí s rozvojom teórie pravdepodobnosti ako matematickej disciplíny. Vznik matematickej doktríny pravdepodobnosti sa datuje do 17. storočia, kedy sa rozvíjalo jadro pojmov, ktoré umožňujú. kvantitatívne (číselné) charakteristiky a vyjadrujúce pravdepodobnostnú predstavu.
Intenzívne aplikácie pravdepodobnosti na rozvoj poznania spadajú na 2. poschodie. 19- 1. poschodie. 20. storočie Pravdepodobnosť vstúpila do štruktúr takých základných prírodných vied, akými sú klasická štatistická fyzika, genetika, kvantová teória, kybernetika (teória informácie). Pravdepodobnosť teda zosobňuje tú etapu vývoja vedy, ktorá je dnes definovaná ako neklasická veda. Na odhalenie novosti, čŕt pravdepodobnostného spôsobu myslenia, je potrebné vychádzať z analýzy predmetu teórie pravdepodobnosti a základov jej mnohých aplikácií. Teória pravdepodobnosti je zvyčajne definovaná ako matematická disciplína, ktorá študuje zákony hromadných náhodných javov za určitých podmienok. Náhodnosť znamená, že v rámci masového charakteru existencia každého elementárneho javu nezávisí a nie je determinovaná existenciou iných javov. Zároveň samotná masová povaha javov má stabilnú štruktúru, obsahuje určité zákonitosti. Hromadný jav je pomerne striktne rozdelený na subsystémy a relatívny počet elementárnych javov v každom zo subsystémov (relatívna frekvencia) je veľmi stabilný. Táto stabilita sa porovnáva s pravdepodobnosťou. Hromadný jav ako celok charakterizuje rozdelenie pravdepodobností, t. j. priradenie podsystémov a im zodpovedajúcich pravdepodobností. Jazykom teórie pravdepodobnosti je jazyk rozdelenia pravdepodobnosti. V súlade s tým je teória pravdepodobnosti definovaná ako abstraktná veda o operáciách s rozdeleniami.
Pravdepodobnosť vyvolala vo vede myšlienky o štatistických zákonitostiach a štatistických systémoch. Posledne menované sú systémy vytvorené z nezávislých alebo kvázi nezávislých entít, ich štruktúra je charakterizovaná rozdeleniami pravdepodobnosti. Ako je však možné vytvárať systémy z nezávislých subjektov? Zvyčajne sa predpokladá, že na vytvorenie systémov, ktoré majú integrálne charakteristiky, je potrebné, aby medzi ich prvkami existovali dostatočne stabilné väzby, ktoré stmelujú systémy. Stabilita štatistických systémov je daná prítomnosťou vonkajších podmienok, vonkajšieho prostredia, skôr vonkajších ako vnútorných síl. Samotná definícia pravdepodobnosti je vždy založená na stanovení podmienok pre vznik počiatočného hromadného javu. Ďalšou dôležitou myšlienkou, ktorá charakterizuje pravdepodobnostnú paradigmu, je myšlienka hierarchie (podriadenosti). Táto myšlienka vyjadruje vzťah medzi charakteristikami jednotlivých prvkov a integrálnymi charakteristikami systémov: tie druhé sú akoby postavené na prvých.
Význam pravdepodobnostných metód v poznávaní spočíva v tom, že nám umožňujú skúmať a teoreticky vyjadrovať zákonitosti štruktúry a správania objektov a systémov, ktoré majú hierarchickú, „dvojúrovňovú“ štruktúru.
Analýza charakteru pravdepodobnosti je založená na jej frekvencii, štatistickej interpretácii. Zároveň vo vede veľmi dlho dominovalo také chápanie pravdepodobnosti, ktoré sa nazývalo logická, čiže induktívna pravdepodobnosť. Logická pravdepodobnosť sa zaujíma o otázky platnosti samostatného, individuálneho úsudku za určitých podmienok. Je možné posúdiť mieru potvrdenia (spoľahlivosť, pravdivosť) induktívneho záveru (hypotetického záveru) v kvantitatívnej forme? V priebehu formovania teórie pravdepodobnosti sa takéto otázky opakovane diskutovali a začali hovoriť o stupňoch potvrdenia hypotetických záverov. Táto miera pravdepodobnosti je určená informáciami, ktorými daný človek disponuje, jeho skúsenosťami, názormi na svet a psychologickým zmýšľaním. Vo všetkých takýchto prípadoch nie je veľkosť pravdepodobnosti prístupná prísnym meraniam a prakticky leží mimo kompetencie teórie pravdepodobnosti ako konzistentnej matematickej disciplíny.
Objektívna, frekvenčná interpretácia pravdepodobnosti bola vo vede založená so značnými ťažkosťami. Spočiatku bolo chápanie podstaty pravdepodobnosti silne ovplyvnené tými filozofickými a metodologickými názormi, ktoré boli charakteristické pre klasickú vedu. Historicky sa formovanie pravdepodobnostných metód vo fyzike vyskytlo pod rozhodujúcim vplyvom myšlienok mechaniky: štatistické systémy boli považované jednoducho za mechanické. Keďže zodpovedajúce problémy neboli riešené striktnými metódami mechaniky, objavili sa konštatovania, že odvolávanie sa na pravdepodobnostné metódy a štatistické zákonitosti je výsledkom neúplnosti našich vedomostí. V dejinách vývoja klasickej štatistickej fyziky sa uskutočnili početné pokusy ospravedlniť ju na základe klasickej mechaniky, ale všetky zlyhali. Základom pravdepodobnosti je, že vyjadruje znaky štruktúry určitej triedy systémov, iných ako sú systémy mechaniky: stav prvkov týchto systémov je charakterizovaný nestabilitou a špeciálnou (na mechaniku neredukovateľnou) povahou interakcií. .
Vstup pravdepodobnosti do poznania vedie k popretiu konceptu rigidného determinizmu, k popretiu základného modelu bytia a poznania vyvinutého v procese formovania klasickej vedy. Základné modely reprezentované štatistickými teóriami sú iného, všeobecnejšieho charakteru: zahŕňajú myšlienky náhodnosti a nezávislosti. Myšlienka pravdepodobnosti je spojená s odhalením vnútornej dynamiky objektov a systémov, ktorú nemožno úplne určiť vonkajšími podmienkami a okolnosťami.
Koncept pravdepodobnostnej vízie sveta, založenej na absolutizácii predstáv o nezávislosti (ako predtým paradigma rigidného určenia), teraz odhalil svoje obmedzenia, ktoré najvýraznejšie ovplyvňujú prechod modernej vedy na analytické metódy komplexného štúdia. organizované systémy a fyzikálne a matematické základy sebaorganizačných javov.
Veľká definícia
Neúplná definícia ↓
Potreba akcií na základe pravdepodobností nastáva, keď sú známe pravdepodobnosti niektorých udalostí a je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené.
Sčítanie pravdepodobnosti sa používa, keď je potrebné vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.
Súčet udalostí A a B určiť A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak sa udalosť vyskytne počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.
Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a ich pravdepodobnosti sú dané, pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, sa vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.
Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:
Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť ALE– zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event AT– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( ALE+ AT) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti ALE a AT sú teda nezlučiteľné udalosti ALE+ AT- výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.
Príklad 1 Krabička obsahuje 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.
rozhodnutie. Predpokladajme, že udalosť ALE– „berie sa červená guľa“ a udalosť AT- "Modrá guľa je prijatá." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti ALE:
a udalostiach AT:
Diania ALE a AT- vzájomne nezlučiteľné, pretože ak sa berie jedna loptička, nemožno brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:
Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nezlučiteľných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:
Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:
Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.
Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami. p a q. najmä
z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:
Príklad 2 Cieľ v pomlčke je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec vystrelí na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.
Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:
Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minul cieľ:
Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Sčítanie pravdepodobností vzájomne spoločných udalostí
Dve náhodné udalosti sa považujú za spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event ALE sa považuje výskyt čísla 4 a event AT- vypustenie párneho čísla. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti výskytu niektorej zo vzájomne spoločných udalostí.
Veta o sčítaní pravdepodobností pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčinu pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:
Pretože udalosti ALE a AT kompatibilný, event ALE+ AT nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nekompatibilných udalostí vypočítame takto:
Udalosť ALE nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:
Podobne:
Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:
Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že udalosti ALE a AT môže byť:
- vzájomne nezávislé;
- vzájomne závislé.
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:
Ak udalosti ALE a AT sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je nasledujúci:
Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď jazdíte v prvom aute, pravdepodobnosť výhry, keď jazdíte v druhom aute. Nájsť:
- pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
- pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;
1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí ALE(prvé auto vyhráva) a AT(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:
2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:
Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Vyriešte problém sčítania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .
Násobenie pravdepodobnosti
Násobenie pravdepodobností sa používa, keď sa má vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.
V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.
Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí ALE a AT sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:
Príklad 5 Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že erb padne pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát:
Sami vyriešte problémy násobenia pravdepodobností a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 6 Je tu krabica s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt nerozlišujú odohrané a neodohrané lopty. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nebudú v boxe žiadne neodohrané loptičky?
Príklad 7 Na rozrezaných kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet, jedna po druhej, a umiestni sa na stôl v poradí, v akom sa objavia. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.
Príklad 8 Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rovnakej farby.
Príklad 9 Rovnaký problém ako v príklade 8, ale každá karta sa po vytiahnutí vráti do balíčka.
Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí, na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda podľa vzorca:
Príklad 10 Náklad sa doručuje tromi druhmi dopravy: riečna, železničná a cestná doprava. Pravdepodobnosť, že náklad bude doručený riečnou dopravou je 0,82, železnicou 0,87, cestnou dopravou 0,90. Nájdite pravdepodobnosť, že tovar bude doručený aspoň jedným z troch spôsobov dopravy.
- Pravdepodobnosť - miera (relatívna miera, kvantitatívne hodnotenie) možnosti výskytu nejakej udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú, prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná. Prevaha pozitívnych dôvodov nad negatívnymi a naopak môže byť v rôznej miere, v dôsledku čoho je pravdepodobnosť (a nepravdepodobnosť) väčšia alebo menšia. Pravdepodobnosť sa preto často hodnotí na kvalitatívnej úrovni, najmä v prípadoch, keď je viac či menej presné kvantitatívne posúdenie nemožné alebo mimoriadne ťažké. Možné sú rôzne stupne "úrovní" pravdepodobnosti.
Štúdium pravdepodobnosti z matematického hľadiska je špeciálna disciplína – teória pravdepodobnosti. V teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike je pojem pravdepodobnosti formalizovaný ako číselná charakteristika udalosti - miera pravdepodobnosti (alebo jej hodnota) - miera na množine udalostí (podmnožiny množiny elementárnych udalostí), ktoré nadobúdajú hodnoty od
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Význam
(\displaystyle 1)
Zodpovedá platnej udalosti. Nemožná udalosť má pravdepodobnosť 0 (opak vo všeobecnosti nie je vždy pravda). Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti
(\displaystyle p)
Potom sa pravdepodobnost jej nevyskytu rovna
(\displaystyle 1-p)
Najmä pravdepodobnosť
(\displaystyle 1/2)
Znamená rovnakú pravdepodobnosť výskytu a neexistencie udalosti.
Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepte ekvipravdepodobnosti výsledkov. Pravdepodobnosť je pomer počtu výsledkov, ktoré uprednostňujú danú udalosť, k celkovému počtu rovnako pravdepodobných výsledkov. Napríklad pravdepodobnosť získania „hlavy“ alebo „chvosta“ pri náhodnom hode je 1/2, ak sa predpokladá, že nastanú iba tieto dve možnosti a sú rovnako pravdepodobné. Túto klasickú „definíciu“ pravdepodobnosti možno zovšeobecniť na prípad nekonečného počtu možných hodnôt – napríklad, ak udalosť môže nastať s rovnakou pravdepodobnosťou v akomkoľvek bode (počet bodov je nekonečný) na nejakej obmedzenej ploche. priestor (rovina), potom sa pravdepodobnosť, že sa to stane v niektorej časti tejto prípustnej plochy, rovná pomeru objemu (plochy) tejto časti k objemu (ploche) plochy všetkých možných bodov .
Empirická „definícia“ pravdepodobnosti súvisí s frekvenciou výskytu udalosti, pričom vychádza zo skutočnosti, že pri dostatočne veľkom počte pokusov by frekvencia mala smerovať k objektívnej miere možnosti tejto udalosti. V modernom podaní teórie pravdepodobnosti je pravdepodobnosť definovaná axiomaticky, ako špeciálny prípad abstraktnej teórie miery množiny. Napriek tomu väzbou medzi abstraktnou mierou a pravdepodobnosťou, ktorá vyjadruje mieru možnosti udalosti, je práve frekvencia jej pozorovania.
Pravdepodobnostný popis určitých javov sa rozšíril v modernej vede, najmä v ekonometrii, štatistickej fyzike makroskopických (termodynamických) systémov, kde aj v prípade klasického deterministického popisu pohybu častíc, deterministický popis celého systému častíc nie je prakticky možné a vhodné. Samotné opísané procesy majú v kvantovej fyzike pravdepodobnostný charakter.
Ak udalosti H 1 , H 2 , …, H n tvoria úplnú skupinu, potom na výpočet pravdepodobnosti ľubovoľnej udalosti môžete použiť vzorec celkovej pravdepodobnosti:
P (A) \u003d P (A / H 1) P (H 1) + P (A / H 2) P (H 2)
V súlade s ktorým možno pravdepodobnosť výskytu udalosti A znázorniť ako súčet súčinov podmienených pravdepodobností udalosti A za podmienky výskytu udalostí H i nepodmienených pravdepodobností týchto udalostí H i. Tieto udalosti H i sa nazývajú hypotézy.
Bayesov vzorec vyplýva zo vzorca celkovej pravdepodobnosti:
Pravdepodobnosti P(H i) hypotéz H i sa nazývajú apriórne pravdepodobnosti - pravdepodobnosti pred experimentmi.
Pravdepodobnosti P(A/H i) sa nazývajú aposteriórne pravdepodobnosti - pravdepodobnosti hypotéz H i spresnených ako výsledok experimentu.
Pridelenie služby. Online kalkulačka je určená na výpočet celkovej pravdepodobnosti s návrhom celého priebehu riešenia vo formáte Word (pozri príklady riešenia úloh).
Príklad č. 1. Predajňa dostáva žiarovky z dvoch tovární, pričom podiel prvej továrne je 25 %. Je známe, že podiel chýb v týchto továrňach je 5% a 10% zo všetkých vyrobených výrobkov. Predajca náhodne odoberie jednu žiarovku. Aká je pravdepodobnosť, že bude vadný?
rozhodnutie: Označte udalosť A - "žiarovka bude chybná." O pôvode tejto žiarovky sú možné nasledujúce hypotézy: H1- "Žiarovka prišla z prvej továrne." H2- "Žiarovka prišla z druhej továrne." Keďže podiel prvej rastliny je 25 %, pravdepodobnosti týchto hypotéz sú resp 
; 
.
Podmienená pravdepodobnosť, že chybná žiarovka bola vyrobená v prvej továrni, je 
, druhá rastlina - p(A/H2)=
želanú pravdepodobnosť, že predajca zobral chybnú žiarovku, zistíme podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti
0,25 0,05 + 0,75 0,10 = 0,0125 + 0,075 = 0,0875
odpoveď: p(A)= 0,0875.
Príklad č. 2. Obchod dostal dve šarže rovnakého produktu s rovnakým názvom, ktoré sa zhodujú v množstve. Je známe, že 25 % prvej šarže a 40 % druhej šarže tvorí tovar prvej triedy. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka komodity nebude prvej triedy?
rozhodnutie:
Označte A udalosť - "výrobok bude prvej triedy." Nasledujúce hypotézy o pôvode tohto produktu sú možné: H1- "tovar z prvej dávky." H2- „tovar z druhej šarže“. Keďže podiel prvej strany je 25 %, potom sú pravdepodobnosti týchto hypotéz rovnaké, resp. ; 
.
Podmienená pravdepodobnosť, že položka v prvej dávke je 
, z druhej várky - 
požadovaná pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka tovaru bude prvej triedy
p(A) \u003d P (H 1) p (A / H 1) + P (H 2) (A / H 2) \u003d 0,25 0,5 + 0,4 0,5 = 0,125 + 0,2 = 0,325
Potom sa pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka tovaru nebude prvej triedy, bude rovnať: 1- 0,325 = 0,675
odpoveď:
.
Príklad č. 3. Je známe, že 5 % mužov a 1 % žien je farboslepých. Náhodne vybraná osoba nebola farboslepá. Aká je pravdepodobnosť, že ide o muža (predpokladajme, že muži a ženy sú rovnako rozdelení).
rozhodnutie.
Udalosť A – náhodne vybraná osoba nebola farboslepá.
Nájdite pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti.
P(A) = P(A|H=muž) + P(A|H=žena) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Potom bude pravdepodobnosť, že ide o muža: p = P(A|H=muž) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Príklad č. 4. Športovej olympiády sa zúčastňujú 4 žiaci z prvého ročníka, z druhého - 6, z tretieho - 5. Pravdepodobnosť víťazstva v olympiáde žiaka prvého, druhého, tretieho ročníka je 0,9, resp. 0,7 a 0,8.
a) Nájdite pravdepodobnosť výhry náhodne vybraného účastníka.
b) V podmienkach tejto úlohy vyhral olympiádu jeden žiak. Do ktorej skupiny s najväčšou pravdepodobnosťou patrí?
rozhodnutie.
Udalosť A – výhra náhodne vybraného účastníka.
Tu P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333 x 0,8 = 0,787
b) Riešenie je možné získať pomocou tejto kalkulačky.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Z p1, p2, p3 vyberte maximum.
Príklad číslo 5. Spoločnosť má tri stroje rovnakého typu. Jeden z nich dáva 20% z celkovej produkcie, druhý - 30%, tretí - 50%. Zároveň prvý stroj produkuje 5% nepodarkov, druhý 4%, tretí - 2%. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný nepoužiteľný výrobok vyrobí prvý stroj.
