Veta 1. Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky:
Veta 2. Uhlopriečky lichobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky, z ktorých dva sú podobné a ďalšie dva majú rovnakú plochu:
Veta 3. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu základne a výšky zníženej k danej základni alebo súčinu dvoch strán a sínusu uhla medzi nimi: 
Veta 4. V rovnobežníku sa súčet štvorcov uhlopriečok rovná súčtu štvorcov jeho strán: 
Veta 5. Plocha ľubovoľného konvexného štvoruholníka sa rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi:
Veta 6. Plocha štvoruholníka opísaná okolo kruhu sa rovná súčinu pol obvodu tohto štvoruholníka a polomeru daného kruhu: 
Veta 7.Štvoruholník, ktorého vrcholy sú stredmi strán ľubovoľného konvexného štvoruholníka, je rovnobežník, ktorého plocha sa rovná polovici plochy pôvodného štvoruholníka:
Veta 8. Ak sú uhlopriečky konvexného štvoruholníka navzájom kolmé, potom súčty štvorcov protiľahlých strán tohto štvoruholníka sú:
AB2 + CD2 = BC2 + AD2.
Článok vyšiel s podporou spoločnosti „DKROST“. Šmykľavky pre deti, domčeky, pieskoviská a mnoho iného - výroba a predaj ihrísk veľkoobchod a maloobchod. Najnižšie ceny, zľavy, krátke výrobné časy, odchod a konzultácia špecialistu, zabezpečenie kvality. Môžete sa dozvedieť viac o spoločnosti, zobraziť katalóg produktov, ceny a kontakty na webovej stránke, ktorá sa nachádza na adrese: http://dkrost.ru/.
Dôkazy niektorých teorémov
Dôkaz teorému 2. Nech ABCD je daný lichobežník, AD a BC jeho základne, O priesečník uhlopriečok AC a BD tohto lichobežníka. Dokážme, že trojuholníky AOB a COD majú rovnakú plochu. Aby sme to urobili, pustme kolmice BP a CQ z bodov B a C na priamku AD. Potom je oblasť trojuholníka ABD
A oblasť trojuholníka ACD je 
Pretože BP = CQ, potom S∆ABD = S∆ACD . Ale plocha trojuholníka AOB je rozdiel medzi plochami trojuholníkov ABD a AOD a plocha trojuholníka COD je rozdiel medzi plochami trojuholníkov ACD a AOD. Preto sú plochy trojuholníkov AOB a COD rovnaké, čo sa malo dokázať.
Dôkaz vety 4. Nech ABCD je rovnobežník, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Aplikujme kosínusovú vetu na trojuholník ABD:
Ak teraz použijeme kosínusovú vetu na trojuholník ACD, dostaneme:
Pridaním rovnosti medzi členmi dostaneme to 
Q.E.D.
Dôkaz vety 5. Nech ABCD je ľubovoľný konvexný štvoruholník, E priesečník jeho uhlopriečok, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Máme:
Q.E.D.
Dôkaz vety 6. Nech ABCD je ľubovoľný štvoruholník opísaný kružnici, O je stred tejto kružnice, OK, OL, OM a ON sú kolmice klesnuté z bodu O na priamky AB, BC, CD a AD. Máme: 
kde r je polomer kružnice a p je polobvod štvoruholníka ABCD.
Dôkaz vety 7. Nech ABCD je ľubovoľný konvexný štvoruholník, K, L, M a N sú stredy strán AB, BC, CD a AD. Keďže KL je stredová čiara trojuholníka ABC, priamka KL je rovnobežná s priamkou AC a Podobne aj priamka MN je rovnobežná s priamkou AC a KLMN je teda rovnobežník. Zvážte trojuholník KBL. Jeho plocha sa rovná štvrtine plochy trojuholníka ABC. Plocha trojuholníka MDN sa tiež rovná štvrtine plochy trojuholníka ACD. teda
podobne, 
Znamená to, že
odkiaľ z toho vyplýva 
Dôkaz vety 8. Nech ABCD je ľubovoľný konvexný štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú navzájom kolmé, nech E je priesečník jeho uhlopriečok,
AE= a BE = b, CE = c, DE = d. Aplikujte Pytagorovu vetu na trojuholníky ABE a CDE:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
teda,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2.
Ak teraz použijeme Pytagorovu vetu na trojuholníky ADE a BCE, dostaneme:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
odkiaľ z toho vyplýva
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2.
Preto AB2 + CD2 = AD2 + BC2, čo sa malo dokázať.
Riešenie problémov
Úloha 1. V blízkosti kruhu je opísaný lichobežník so základnými uhlami α a β. Nájdite pomer plochy lichobežníka k ploche kruhu.
rozhodnutie. Nech ABCD je daný lichobežník, AB a CD jeho základne, DK a CM kolmice klesnuté z bodov C a D na priamku AB. Požadovaný pomer nezávisí od polomeru kruhu. Preto predpokladáme, že polomer je 1. Potom je oblasť kruhu π, nájdeme oblasť lichobežníka. Keďže trojuholník ADK je pravouhlý trojuholník,
Podobne z pravouhlého trojuholníka BCM zistíme, že keďže do daného lichobežníka možno vpísať kruh, súčty protiľahlých strán sú rovnaké:
AB + CD = AD + BC,
kde nájdeme
Takže oblasť lichobežníka je
a požadovaný pomer je 
Odpoveď: 
Úloha 2. V konvexnom štvoruholníku ABCD je uhol A 90° a uhol C nepresahuje 90°. Kolmice BE a DF sú spustené z vrcholov B a D na uhlopriečku AC. Je známe, že AE = CF. Dokážte, že uhol C je pravý uhol.
Dôkaz. Pretože uhol A je 90°,
a uhol C nepresahuje 90°, potom body E a F ležia na uhlopriečke AC. Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Stačí nám dokázať, že α + β + γ + δ = π. Ako
odkiaľ dostaneme to, čo sa malo dokázať.
Úloha 3. Obvod rovnoramenného lichobežníka opísaného okolo kruhu je p. Nájdite polomer tohto kruhu, ak je známe, že ostrý uhol v základni lichobežníka je α.
rozhodnutie. Nech ABCD je daný rovnoramenný lichobežník so základňami AD a BC, nech BH je výška tohto lichobežníka od vrcholu B.
Keďže do daného lichobežníka možno vpísať kruh, tak 
teda
Z pravouhlého trojuholníka ABH zistíme,
Odpoveď:
Úloha 4. Daný je lichobežník ABCD so základňami AD a BC. Diagonály AC a BD sa pretínajú v bode O a priamky AB a CD sa pretínajú v bode K. Priamka KO pretína strany BC a AD v bodoch M a N a uhol BAD je 30°. Je známe, že do lichobežníkov ABMN a NMCD možno vpísať kruh. Nájdite pomer plochy trojuholníka BKC a lichobežníka ABCD.
rozhodnutie. Ako viete, pre ľubovoľný lichobežník čiara spájajúca priesečník uhlopriečok a priesečník predĺžení bočných strán rozdeľuje každú zo základní na polovicu. Takže BM = MC a AN = ND. Ďalej, keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníkov ABMN a NMCD, potom
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Z toho vyplýva, že AB = CD, teda lichobežník ABCD je rovnoramenný. Požadovaný pomer plôch nezávisí od mierky, takže môžeme predpokladať, že KN = x, KM = 1. Z pravouhlých trojuholníkov AKN a BKM dostaneme, že Prepísaním už použitého vzťahu
BM + AN = AB + MN ⇔
Musíme vypočítať pomer:
Tu sme využili fakt, že obsahy trojuholníkov AKD a BKC súvisia ako druhé mocniny strán KN a KM, teda ako x2.
odpoveď:
Úloha 5. V konvexnom štvoruholníku ABCD sú body E, F, H, G stredmi strán AB, BC, CD, DA a O je priesečník segmentov EH a FG. Je známe, že EH = a, FG = b, Nájdite dĺžky uhlopriečok štvoruholníka.
rozhodnutie. Je známe, že ak spojíte do série stredy strán ľubovoľného štvoruholníka, dostanete rovnobežník. V našom prípade je EFHG rovnobežník a O je priesečník jeho uhlopriečok. Potom
Aplikujte kosínusovú vetu na trojuholník FOH:
Pretože FH je stredná čiara trojuholníka BCD, potom
Podobne, ak použijeme kosínusovú vetu na trojuholník EFO, dostaneme to
Odpoveď:
Úloha 6. Strany lichobežníka sú 3 a 5. Je známe, že do lichobežníka možno vpísať kruh. Stredová čiara lichobežníka ho rozdeľuje na dve časti, ktorých pomer plôch sa rovná nájdite základne lichobežníka.
rozhodnutie. Nech ABCD je daný lichobežník, AB = 3 a CD = 5 - jeho strany, body K a M - stredy strán AB a CD. Nech je pre istotu AD > BC, potom plocha lichobežníka AKMD bude väčšia ako plocha lichobežníka KBCM. Keďže KM je stredná čiara lichobežníka ABCD, lichobežníky AKMD a KBCM majú rovnakú výšku. Pretože plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základní a výšky, platí nasledujúca rovnosť:
Ďalej, keďže do lichobežníka ABCD možno vpísať kruh, potom AD + BC = AB + CD = 8. Potom KM = 4 ako stredná čiara lichobežníka ABCD. Nech BC = x, potom AD = 8 - x. Máme: 
Takže BC = 1 a AD = 7.
odpoveď: 1 a 7.
Úloha 7. Báza AB lichobežníka ABCD je dvakrát dlhšia ako základňa CD a dvakrát dlhšia ako laterálna strana AD. Dĺžka uhlopriečky AC je a a dĺžka bočnej strany BC sa rovná b. Nájdite oblasť lichobežníka.
rozhodnutie. Nech E je priesečník predĺženia strán lichobežníka a CD = x, potom AD = x, AB = 2x. Segment CD je rovnobežný so segmentom AB a dvakrát kratší, takže CD je stredná čiara trojuholníka ABE. Preto CE = BC = b a DE = AD = x, odkiaľ AE = 2x. Takže trojuholník ABE je rovnoramenný (AB = AE) a AC je jeho stred. Preto je AC tiež výška tohto trojuholníka, a teda
Keďže trojuholník DEC je podobný trojuholníku AEB s koeficientom podobnosti, potom
Odpoveď:
Úloha 8. Uhlopriečky lichobežníka ABCD sa pretínajú v bode E. Nájdite obsah trojuholníka BCE, ak sú dĺžky základní lichobežníka AB = 30, DC = 24, dĺžky strán AD = 3 a uhol DAB je 60 °.
rozhodnutie. Nech DH je výška lichobežníka. Z trojuholníka ADH to zistíme 
Keďže výška trojuholníka ABC spadnutého z vrcholu C sa rovná výške DH lichobežníka, máme: 
Odpoveď:
Úloha 9. V lichobežníku je stredová čiara 4 a uhly na jednej zo základov sú 40° a 50°. Nájdite základne lichobežníka, ak je segment spájajúci stredy základov 1.
rozhodnutie. Nech ABCD je daný lichobežník, AB a CD jeho základne (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Predĺžme strany DA a CB do priesečníka v bode E. Uvažujme trojuholník ABE, kde ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
teda ∠AEB = 90°. Medián EM tohto trojuholníka, nakreslený z vrcholu pravého uhla, sa rovná polovici prepony: EM = AM. Nech EM = x, potom AM = x, DN = 4 – x. Podľa podmienky úlohy MN = 1 teda
EN = x + 1. Z podobnosti trojuholníkov AEM a DEN máme:
To znamená, že AB = 3 a CD = 5.
Odpoveď: 3 a 5.
Úloha 10. Konvexný štvoruholník ABCD je opísaný okolo kruhu so stredom v bode O, pričom AO = OC = 1, BO = OD = 2. Nájdite obvod štvoruholníka ABCD.
rozhodnutie. Nech K, L, M, N sú dotykové body kružnice so stranami AB, BC, CD, DA, r - polomer kružnice. Keďže dotyčnica kružnice je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku, trojuholníky AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO sú pravouhlé. Aplikovaním Pytagorovej vety na tieto trojuholníky to dostaneme
Preto AB = BC = CD = DA, to znamená, že ABCD je kosoštvorec. Uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé a ich priesečník je stredom vpísanej kružnice. Odtiaľto ľahko zistíme, že strana kosoštvorca je rovnaká, a preto sa obvod kosoštvorca rovná
Odpoveď:
Úlohy na samostatné riešenie
C-1. Rovnoramenný lichobežník ABCD je opísaný okolo kruhu s polomerom r. Nech E a K sú dotykové body tejto kružnice so stranami lichobežníka. Uhol medzi základňou AB a stranou AD lichobežníka je 60°. Dokážte, že EK je rovnobežná s AB a nájdite oblasť lichobežníka ABEK.
C-2. V lichobežníku sú uhlopriečky 3 a 5 a segment spájajúci stredy základní je 2. Nájdite oblasť lichobežníka.
C-3. Je možné opísať kruh okolo štvoruholníka ABCD, ak ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. V lichobežníku ABCD (AB je základňa) tvoria hodnoty uhlov DAB, BCD, ADC, ABD a ADB aritmetickú postupnosť (v poradí, v akom sú zapísané). Nájdite vzdialenosť od vrcholu C po uhlopriečku BD, ak je výška lichobežníka h.
C-5. Daný rovnoramenný lichobežník, do ktorého je vpísaný kruh a okolo ktorého je opísaný kruh. Pomer výšky lichobežníka k polomeru kružnice opísanej je Nájdite uhly lichobežníka.
C-6. Plocha obdĺžnika ABCD je 48 a dĺžka uhlopriečky je 10. V rovine, v ktorej sa obdĺžnik nachádza, sa zvolí bod O tak, že OB = OD = 13. Nájdite vzdialenosť od bodu O k vrcholu obdĺžnika, ktorý je od neho najďalej.
C-7. Obvod rovnobežníka ABCD je 26. Uhol ABC je 120°. Polomer kružnice vpísanej do trojuholníka BCD je Nájdite dĺžky strán rovnobežníka, ak je známe, že AD > AB.
C-8.Štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu so stredom v bode O. Polomer OA je kolmý na polomer OB a polomer OC je kolmý na polomer OD. Dĺžka kolmice spadnutej z bodu C na priamku AD je 9. Dĺžka úsečky BC je polovica dĺžky úsečky AD. Nájdite oblasť trojuholníka AOB.
C-9. V konvexnom štvoruholníku ABCD sú vrcholy A a C opačné a dĺžka strany AB je 3. Uhol ABC je uhol BCD je Nájdite dĺžku strany AD, ak viete, že plocha štvoruholníka je 
C-10. Konvexný štvoruholník ABCD má uhlopriečky AC a BD. To je známe
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90° a vzdialenosť medzi priesečníkom priesečníkov trojuholníka ABD a priesečníkom priesečníkov trojuholníka ACD je Nájdite dĺžku strany BC.
C-11. Nech M je priesečník uhlopriečok konvexného štvoruholníka ABCD, v ktorom sú strany AB, AD a BC rovnaké. Nájdite uhol CMD, ak je známe, že DM = MC,
a ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. V štvoruholníku ABCD vieme, že ∠A = 74°, ∠D = 120°. Nájdite uhol medzi osami uhlov B a C.
C-13. Kruh môže byť vpísaný do štvoruholníka ABCD. Nech K je priesečník jej uhlopriečok. Je známe, že AB > BC > KC a obvod a plocha trojuholníka BKC sú 14 a 7. Nájdite DC.
C-14. V lichobežníku opísanom okolo kruhu je známe, že BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Nájdite AB, ak je plocha lichobežníka ABCD 10.
C-15. V lichobežníku ABCD so základňami AB a CD je známe, že 
∠CAB = 2∠DBA. Nájdite oblasť lichobežníka.
C-16. V rovnobežníku ABCD vieme, že AC = a, ∠CAB = 60°. Nájdite oblasť rovnobežníka.
S-17. V štvoruholníku ABCD sa diagonály AC a BD pretínajú v bode K. Body L a M sú stredy strán BC a AD. Úsek LM obsahuje bod K. Štvoruholník ABCD je taký, že doň možno vpísať kružnicu. Nájdite polomer tohto kruhu, ak AB=3 a LK:KM=1:3.
C-18. Konvexný štvoruholník ABCD má uhlopriečky AC a BD. V tomto prípade ∠BAC =
= ∠BDC a plocha kruhu opísanej okolo trojuholníka BDC sa rovná
a) Nájdite polomer kružnice opísanej trojuholníku ABC.
b) S vedomím, že BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, nájdite obsah štvoruholníka ABCD.
Poznámka. Toto je časť lekcie s problémami v geometrii (časť rovnobežníka). Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Na označenie akcie extrakcie druhej odmocniny pri riešení problémov sa používa symbol √ alebo sqrt () a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.
Teoretický materiál
Vysvetlivky k vzorcom na nájdenie oblasti rovnobežníka:
- Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžky jednej z jeho strán a výšky na tejto strane.
- Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho dvoch susedných strán a sínusu uhla medzi nimi
- Plocha rovnobežníka sa rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi
Problémy s nájdením oblasti rovnobežníka
Úloha.V rovnobežníku je menšia výška a menšia strana 9 cm a odmocnina 82. Najdlhšia uhlopriečka je 15 cm. Nájdite plochu rovnobežníka.
rozhodnutie.
Menšiu výšku rovnobežníka ABCD, zníženého z bodu B k väčšej základni AD, označme ako BK.
Nájdite hodnotu ramena pravouhlého trojuholníka ABK tvoreného menšou výškou, menšou stranou a časťou väčšej základne. Podľa Pytagorovej vety:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1
Predĺžime hornú základňu rovnobežníka BC a zhodíme na ňu výšku AN z jeho spodnej základne. AN = BK ako strany obdĺžnika ANBK. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku ANC nájdeme nohu NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12
Teraz nájdime väčšiu základňu BC rovnobežníka ABCD.
BC=NC-NB
Berieme do úvahy, že NB = AK ako strany obdĺžnika, teda
BC = 12 - 1 = 11
Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu základne a výške tejto základne.
S=ah
S=BC * BK
S = 11 x 9 = 99
Odpoveď: 99 cm2.
Úloha
V rovnobežníku ABCD je kolmica BO klesnutá na uhlopriečku AC. Nájdite plochu rovnobežníka, ak AO=8, OS=6 a BO=4.
rozhodnutie.
Položme ešte jednu kolmú DK na uhlopriečku AC.
V súlade s tým sú trojuholníky AOB a DKC, COB a AKD párovo zhodné. Jedna zo strán je opačná strana rovnobežníka, jeden z uhlov je pravý, pretože je kolmý na uhlopriečku, a jeden zo zostávajúcich uhlov je vnútorný kríž ležiaci pre rovnobežné strany rovnobežníka a sečny. uhlopriečky.
Plocha rovnobežníka sa teda rovná ploche označených trojuholníkov. T.j
Parall = 2S AOB + 2S BOC
Plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu nôh. Kde
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Odpoveď: 56 cm2.
Pri riešení problémov na túto tému sa okrem základné vlastnosti rovnobežník a zodpovedajúce vzorce, môžete si zapamätať a použiť nasledujúce:
- Osa vnútorného uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník
- Bisektory vnútorných uhlov susediacich s jednou zo strán rovnobežníka sú navzájom kolmé
- Bisektory pochádzajúce z opačných vnútorných uhlov rovnobežníka, navzájom rovnobežné alebo ležiace na jednej priamke
- Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán
- Plocha rovnobežníka je polovica súčinu uhlopriečok krát sínus uhla medzi nimi.
Uvažujme o úlohách, pri riešení ktorých sa tieto vlastnosti využívajú.
Úloha 1.
Osa uhla C rovnobežníka ABCD pretína stranu AD v bode M a pokračovanie strany AB za bodom A v bode E. Nájdite obvod rovnobežníka, ak AE \u003d 4, DM \u003d 3.
rozhodnutie.
1. Trojuholník CMD rovnoramenný. (Nehnuteľnosť 1). Preto CD = MD = 3 cm.
2. Trojuholník EAM je rovnoramenný.
Preto AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Obvod ABCD = 20 cm.
Odpoveď. 20 cm
Úloha 2.
Uhlopriečky sú nakreslené v konvexnom štvoruholníku ABCD. Je známe, že plochy trojuholníkov ABD, ACD, BCD sú rovnaké. Dokážte, že daný štvoruholník je rovnobežník.
rozhodnutie.
1. Nech BE je výška trojuholníka ABD, CF je výška trojuholníka ACD. Keďže podľa podmienky úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu AD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. BE = CF.
2. BE, CF sú kolmé na AD. Body B a C sa nachádzajú na rovnakej strane priamky AD. BE = CF. Preto čiara BC || AD. (*)
3. Nech AL je výška trojuholníka ACD, BK výška trojuholníka BCD. Keďže podľa podmienky úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu CD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. AL = BK.
4. AL a BK sú kolmé na CD. Body B a A sú umiestnené na rovnakej strane priamky CD. AL = BK. Preto riadok AB || CD (**)
5. Podmienky (*), (**) znamenajú, že ABCD je rovnobežník.
Odpoveď. Osvedčené. ABCD je rovnobežník.
Úloha 3.
Na stranách BC a CD rovnobežníka ABCD sú označené body M a H tak, že úsečky BM a HD sa pretínajú v bode O;<ВМD = 95 о,
rozhodnutie.
1. V trojuholníku DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. V pravouhlom trojuholníku DHC Potom<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ale CD = AB. Potom AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odpoveď: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Úloha 4. Jedna z uhlopriečok rovnobežníka dĺžky 4√6 zviera so základňou uhol 60° a druhá uhlopriečka zviera s tou istou základňou uhol 45°. Nájdite druhú uhlopriečku. rozhodnutie.
1. AO = 2√6. 2. Aplikujte sínusovú vetu na trojuholník AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. odpoveď: 12.
Úloha 5. Pre rovnobežník so stranami 5√2 a 7√2 sa menší uhol medzi uhlopriečkami rovná menšiemu uhlu rovnobežníka. Nájdite súčet dĺžok uhlopriečok. rozhodnutie.
Nech d 1, d 2 sú uhlopriečky rovnobežníka a uhol medzi uhlopriečkami a menším uhlom rovnobežníka je φ. 1. Počítajme dva rôzne S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Získame rovnosť 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f alebo 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Pomocou pomeru medzi stranami a uhlopriečkami rovnobežníka zapíšeme rovnosť (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d12 + d22. d12 + d22 = 296. 3. Urobme systém: (d12 + d22 = 296, Vynásobte druhú rovnicu sústavy 2 a pridajte ju k prvej. Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Preto Id 1 + d 2 I = 24. Pretože d 1, d 2 sú dĺžky uhlopriečok rovnobežníka, potom d 1 + d 2 = 24. odpoveď: 24.
Úloha 6. Strany rovnobežníka sú 4 a 6. Ostrý uhol medzi uhlopriečkami je 45 o. Nájdite oblasť rovnobežníka. rozhodnutie.
1. Z trojuholníka AOB pomocou kosínusovej vety napíšeme vzťah medzi stranou rovnobežníka a uhlopriečkami. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Podobne napíšeme vzťah pre trojuholník AOD. Berieme to do úvahy<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dostaneme rovnicu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Máme systém Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme 2d 1 d 2 √2 = 80 resp. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Poznámka: V tomto a v predchádzajúcom probléme nie je potrebné úplne riešiť systém, pretože v tomto probléme potrebujeme na výpočet plochy súčin uhlopriečok. odpoveď: 10. Úloha 7. Plocha rovnobežníka je 96 a jeho strany sú 8 a 15. Nájdite štvorec menšej uhlopriečky. rozhodnutie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Urobme substitúciu vo vzorci. Získame 96 = 8 15 sin VAD. Preto hriech VAD = 4/5. 2. Nájdite čos BAD. hriech 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ZLÉ = 1. cos 2 ZLÉ = 9/25. Podľa stavu problému zistíme dĺžku menšej uhlopriečky. Uhlopriečka BD bude menšia, ak je uhol BAD ostrý. Potom cos ZLE = 3/5. 3. Z trojuholníka ABD pomocou kosínusovej vety nájdeme druhú mocninu uhlopriečky BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD čos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. odpoveď: 145.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vyriešiť problém s geometriou? stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj. Vzorec pre oblasť rovnobežníka Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho strany a výšky zníženej na túto stranu. Ak je rovnobežník obdĺžnik, potom je rovnosť splnená vetou o ploche obdĺžnika. Ďalej predpokladáme, že rohy rovnobežníka nie sú správne. Nech $\uhol BAD$ je ostrý uhol v rovnobežníku $ABCD$ a $AD > AB$. V opačnom prípade premenujeme vrcholy. Potom výška $BH$ od vrcholu $B$ po čiaru $AD$ padne na stranu $AD$, pretože noha $AH$ je kratšia ako prepona $AB$ a $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Porovnajme plochu rovnobežníka $ABCD$ a plochu obdĺžnika $HBCK$. Plocha rovnobežníka je väčšia o plochu $\trojuholník ABH$, ale menšia o plochu $\trojuholník DCK$. Keďže tieto trojuholníky sú zhodné, ich plochy sú tiež zhodné. To znamená, že plocha rovnobežníka sa rovná ploche obdĺžnika so stranami dlhými na stranu a výškou rovnobežníka. Vzorec pre oblasť rovnobežníka z hľadiska strán a sínusu Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Výška rovnobežníka $ABCD$ zníženého na stranu $AB$ sa rovná súčinu úsečky $BC$ a sínusu uhla $\uhol ABC$. Zostáva použiť predchádzajúce tvrdenie. Vzorec pre oblasť rovnobežníka z hľadiska uhlopriečok Plocha rovnobežníka sa rovná polovici súčinu uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi. Nech sa uhlopriečky rovnobežníka $ABCD$ pretínajú v bode $O$ pod uhlom $\alpha$. Potom $AO=OC$ a $BO=OD$ pomocou vlastnosti rovnobežníka. Sínusy uhlov, ktorých súčet je $180^\circ$, sú $\uhol AOB = \uhol COD = 180^\circ - \uhol BOC = 180^\circ - \uhol AOD$. Preto sú sínusy uhlov v priesečníku uhlopriečok rovné $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\trojuholník AOB) + S_(\trojuholník BOC) + S_(\trojuholník COD) + S_(\trojuholník AOD)$ podľa axiómy merania plochy. Pre tieto trojuholníky a uhly, keď sa uhlopriečky pretínajú, použite vzorec pre oblasť trojuholníka $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \uhol ABC$. Strany každého sa rovnajú polovici uhlopriečok, sínusy sú tiež rovnaké. Preto sú plochy všetkých štyroch trojuholníkov $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Ak zhrnieme všetko vyššie uvedené, dostaneme $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$ Pri riešení problémov na túto tému sa okrem základné vlastnosti rovnobežník a zodpovedajúce vzorce, môžete si zapamätať a použiť nasledujúce: Uvažujme o úlohách, pri riešení ktorých sa tieto vlastnosti využívajú. Úloha 1. Osa uhla C rovnobežníka ABCD pretína stranu AD v bode M a pokračovanie strany AB za bodom A v bode E. Nájdite obvod rovnobežníka, ak AE \u003d 4, DM \u003d 3. rozhodnutie.
1. Trojuholník CMD rovnoramenný. (Nehnuteľnosť 1). Preto CD = MD = 3 cm. 2. Trojuholník EAM je rovnoramenný. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Obvod ABCD = 20 cm. Odpoveď. 20 cm
Úloha 2. Uhlopriečky sú nakreslené v konvexnom štvoruholníku ABCD. Je známe, že plochy trojuholníkov ABD, ACD, BCD sú rovnaké. Dokážte, že daný štvoruholník je rovnobežník. rozhodnutie.
1. Nech BE je výška trojuholníka ABD, CF je výška trojuholníka ACD. Keďže podľa podmienky úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu AD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. BE = CF. 2. BE, CF sú kolmé na AD. Body B a C sa nachádzajú na rovnakej strane priamky AD. BE = CF. Preto čiara BC || AD. (*) 3. Nech AL je výška trojuholníka ACD, BK výška trojuholníka BCD. Keďže podľa podmienky úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu CD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. AL = BK. 4. AL a BK sú kolmé na CD. Body B a A sú umiestnené na rovnakej strane priamky CD. AL = BK. Preto riadok AB || CD (**) 5. Podmienky (*), (**) znamenajú, že ABCD je rovnobežník. Odpoveď. Osvedčené. ABCD je rovnobežník.
Úloha 3. Na stranách BC a CD rovnobežníka ABCD sú označené body M a H tak, že úsečky BM a HD sa pretínajú v bode O;<ВМD = 95 о, 1. V trojuholníku DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. V pravouhlom trojuholníku DHC Potom<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ale CD = AB. Potom AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odpoveď: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Úloha 4. Jedna z uhlopriečok rovnobežníka dĺžky 4√6 zviera so základňou uhol 60° a druhá uhlopriečka zviera s tou istou základňou uhol 45°. Nájdite druhú uhlopriečku. rozhodnutie.
1. AO = 2√6. 2. Aplikujte sínusovú vetu na trojuholník AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. odpoveď: 12.
Úloha 5. Pre rovnobežník so stranami 5√2 a 7√2 sa menší uhol medzi uhlopriečkami rovná menšiemu uhlu rovnobežníka. Nájdite súčet dĺžok uhlopriečok. rozhodnutie.
Nech d 1, d 2 sú uhlopriečky rovnobežníka a uhol medzi uhlopriečkami a menším uhlom rovnobežníka je φ. 1. Počítajme dva rôzne S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Získame rovnosť 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f alebo 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Pomocou pomeru medzi stranami a uhlopriečkami rovnobežníka zapíšeme rovnosť (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d12 + d22. d12 + d22 = 296. 3. Urobme systém: (d12 + d22 = 296, Vynásobte druhú rovnicu sústavy 2 a pridajte ju k prvej. Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Preto Id 1 + d 2 I = 24. Pretože d 1, d 2 sú dĺžky uhlopriečok rovnobežníka, potom d 1 + d 2 = 24. odpoveď: 24.
Úloha 6. Strany rovnobežníka sú 4 a 6. Ostrý uhol medzi uhlopriečkami je 45 o. Nájdite oblasť rovnobežníka. rozhodnutie.
1. Z trojuholníka AOB pomocou kosínusovej vety napíšeme vzťah medzi stranou rovnobežníka a uhlopriečkami. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Podobne napíšeme vzťah pre trojuholník AOD. Berieme to do úvahy<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dostaneme rovnicu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Máme systém Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme 2d 1 d 2 √2 = 80 resp. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Poznámka: V tomto a v predchádzajúcom probléme nie je potrebné úplne riešiť systém, pretože v tomto probléme potrebujeme na výpočet plochy súčin uhlopriečok. odpoveď: 10. Úloha 7. Plocha rovnobežníka je 96 a jeho strany sú 8 a 15. Nájdite štvorec menšej uhlopriečky. rozhodnutie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Urobme substitúciu vo vzorci. Získame 96 = 8 15 sin VAD. Preto hriech VAD = 4/5. 2. Nájdite čos BAD. hriech 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ZLÉ = 1. cos 2 ZLÉ = 9/25. Podľa stavu problému zistíme dĺžku menšej uhlopriečky. Uhlopriečka BD bude menšia, ak je uhol BAD ostrý. Potom cos ZLE = 3/5. 3. Z trojuholníka ABD pomocou kosínusovej vety nájdeme druhú mocninu uhlopriečky BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD čos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. odpoveď: 145.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vyriešiť problém s geometriou? blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
(
(Pretože v pravouhlom trojuholníku sa noha, ktorá leží oproti uhlu 30 o, rovná polovici prepony).
spôsoby svojej oblasti.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
Dôkaz
Dôkaz
Dôkaz
Preto AE = AM = 4 cm.rozhodnutie.
(
(Pretože v pravouhlom trojuholníku sa noha, ktorá leží oproti uhlu 30 o, rovná polovici prepony).spôsoby svojej oblasti.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!
