Zvažovali sme niekoľko fyzikálne úplne odlišných systémov a ubezpečili sme sa, že pohybové rovnice sú zredukované na rovnakú formu

Rozdiely medzi fyzikálnymi systémami sa prejavujú len v rôznych definíciách veličiny a v inom fyzickom zmysle premennej X: môže to byť súradnica, uhol, náboj, prúd atď. Všimnite si, že v tomto prípade, ako vyplýva zo samotnej štruktúry rovnice (1.18), má veličina vždy rozmer inverzného času.

Rovnica (1.18) popisuje tzv harmonické vibrácie.

Rovnica harmonických kmitov (1.18) je lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu (pretože obsahuje druhú deriváciu premennej X). Linearita rovnice to znamená

ak nejakú funkciu x(t) je riešením tejto rovnice, potom funkcia Cx(t) bude tiež jeho riešením ( C je ľubovoľná konštanta);

ak funkcie x 1 (t) a x 2 (t) sú riešenia tejto rovnice, potom ich súčet x 1 (t) + x 2 (t) bude tiež riešením tej istej rovnice.

Je dokázaná aj matematická veta, podľa ktorej má rovnica druhého rádu dve nezávislé riešenia. Všetky ostatné riešenia podľa vlastností linearity možno získať ako ich lineárne kombinácie. Je ľahké skontrolovať priamou diferenciáciou, že nezávislé fungujú a spĺňajú rovnicu (1.18). Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je:

kde C1,C2 sú ľubovoľné konštanty. Toto riešenie môže byť prezentované aj v inej forme. Predstavujeme množstvo

a definujte uhol ako:

Potom sa všeobecné riešenie (1.19) zapíše ako

Podľa trigonometrických vzorcov je výraz v zátvorkách

Konečne prichádzame na všeobecné riešenie rovnice harmonických kmitov ako:

Nezáporná hodnota A volal amplitúda oscilácie, - počiatočná fáza oscilácie. Celý kosínusový argument - kombinácia - sa nazýva oscilačná fáza.

Výrazy (1.19) a (1.23) sú dokonale ekvivalentné, takže z dôvodu jednoduchosti môžeme použiť ktorýkoľvek z nich. Obe riešenia sú periodickými funkciami času. V skutočnosti sú sínus a kosínus periodické s bodkou . Preto sa rôzne stavy systému, ktorý vykonáva harmonické kmity, po určitom čase opakujú t*, pre ktorú fáza kmitania dostáva prírastok, ktorý je násobkom :

Z toho teda vyplýva

Najmenej z týchto časov

volal perióda oscilácie (obr. 1.8), a - jeho kruhový (cyklický) frekvencia.

Ryža. 1.8.

Tiež používajú frekvencia váhanie

V súlade s tým sa kruhová frekvencia rovná počtu kmitov na sekúnd.

Takže, ak systém v čase t charakterizované hodnotou premennej x(t), potom rovnakú hodnotu bude mať premenná po určitom čase (obr. 1.9), tj

Rovnaká hodnota sa samozrejme po chvíli zopakuje. 2T, ZT atď.

Ryža. 1.9. Doba oscilácie

Všeobecné riešenie obsahuje dve ľubovoľné konštanty ( C1, C2 alebo A, a), ktorých hodnoty by mali byť určené dvoma počiatočné podmienky. Zvyčajne (aj keď nie nevyhnutne) ich úlohu zohrávajú počiatočné hodnoty premennej x(0) a jeho derivát.

Vezmime si príklad. Nech riešenie (1.19) rovnice harmonických kmitov opisuje pohyb pružinového kyvadla. Hodnoty ľubovoľných konštánt závisia od spôsobu, akým sme kyvadlo vyviedli z rovnováhy. Napríklad pružinu sme ťahali do diaľky a pustil loptu bez počiatočnej rýchlosti. V tomto prípade

Nahrádzanie t = 0 v (1.19) nájdeme hodnotu konštanty Od 2

Riešenie teda vyzerá takto:

Rýchlosť zaťaženia sa zistí diferenciáciou vzhľadom na čas

Nahrádza sa tu t = 0, nájdite konštantu Od 1:

Konečne

Pri porovnaní s (1.23) zistíme, že je amplitúda kmitania a jeho počiatočná fáza sa rovná nule: .

Teraz vyvedieme kyvadlo z rovnováhy iným spôsobom. Zasiahneme náklad tak, aby získal počiatočnú rýchlosť, ale počas nárazu sa prakticky nepohol. Potom máme ďalšie počiatočné podmienky:

naše riešenie vyzerá takto

Rýchlosť zaťaženia sa bude meniť podľa zákona:

Dajme to sem:

HARMONICKÝ VIBRAČNÝ POHYB

§1 Kinematika harmonického kmitania

Procesy, ktoré sa v priebehu času opakujú, sa nazývajú oscilácie.

Podľa charakteru kmitavého procesu a budiaceho mechanizmu sa rozlišujú: mechanické kmity (kmitanie kyvadiel, strún, budov, zemského povrchu a pod.); elektromagnetické kmity (kmity striedavého prúdu, kmity vektorov a v elektromagnetickej vlne atď.); elektromechanické vibrácie (vibrácie membrány telefónu, difúzora reproduktora atď.); vibrácie jadier a molekúl v dôsledku tepelného pohybu v atómoch.

Uvažujme segment [OD] (radius-vector), ktorý vykonáva rotačný pohyb okolo bodu 0. Dĺžka |OD| = A . Rotácia prebieha pri konštantnej uhlovej rýchlosti ω 0 . Potom uhol φ medzi vektorom polomeru a osouXmení v priebehu času podľa zákona

kde φ 0 je uhol medzi [OD] a osou X v tom časet= 0. Premietnutie segmentu [OD] na os X v tom časet= 0

a v ľubovoľnom časovom bode

(1)

Priemet segmentu [OD] na os x teda osciluje pozdĺž osi X a tieto fluktuácie sú opísané kosínusovým zákonom (vzorec (1)).

Oscilácie, ktoré popisuje kosínusový zákon

alebo sínus

volal harmonický.

Harmonické vibrácie sú periodikum, pretože hodnota x (a y) sa v pravidelných intervaloch opakuje.

Ak je segment [OD] na obrázku v najnižšej polohe, t.j. bodka D sa zhoduje s pointou R, potom je jeho priemet na os x nulový. Nazvime túto polohu segmentu [OD] rovnovážnou polohou. Potom môžeme povedať, že hodnota X popisuje posunutie oscilujúceho bodu z jeho rovnovážnej polohy. Maximálne posunutie z rovnovážnej polohy sa nazýva amplitúda výkyvy

Hodnota

ktorý stojí pod kosínusovým znakom sa nazýva fáza. Fáza určuje posunutie z rovnovážnej polohy v ľubovoľnom časovom bodet. Fáza v počiatočnom časovom okamihut = 0 rovná φ 0 sa nazýva počiatočná fáza.

T

Časový úsek, počas ktorého prebieha jedna úplná oscilácia, sa nazýva perióda oscilácie. T. Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov ν.

Po uplynutí doby rovnajúcej sa perióde T, t.j. keď sa kosínusový argument zväčší o ω 0 T, pohyb sa opakuje a kosínus nadobúda rovnakú hodnotu

pretože kosínusová perióda sa rovná 2π, teda ω 0 T= 2π

teda ω 0 je počet kmitov telesa za 2π sekundy. ω 0 - cyklická alebo kruhová frekvencia.

harmonický vlnový vzor

ALE- amplitúda, T- bodka, X- offset,t- čas.

Rýchlosť kmitajúceho bodu zistíme diferenciáciou rovnice posunu X(t) časom

tie. rýchlosť vmimo fázy s posunom X naπ /2.

Zrýchlenie - prvá derivácia rýchlosti (druhá derivácia výchylky) vzhľadom na čas

tie. zrýchlenie a sa líši od fázového posunu o π.

Zostavme si graf X( t) , y( t) a a( t) v jednom odhade súradníc (pre jednoduchosť berieme φ 0 = 0 a ω 0 = 1)

Voľný alebo vlastný oscilácie, ktoré sa vyskytujú v systéme ponechanom sebe po vyvedení z rovnováhy, sa nazývajú.

Harmonické kmitanie je jav periodickej zmeny nejakej veličiny, pri ktorej má závislosť od argumentu charakter funkcie sínus alebo kosínus. Napríklad množstvo, ktoré sa mení v čase takto harmonicky kolíše:

kde x je hodnota meniacej sa veličiny, t je čas, ostatné parametre sú konštantné: A je amplitúda kmitov, ω je cyklická frekvencia kmitov, je úplná fáza kmitov, je počiatočná fáza kmitov. oscilácie.

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme

(Akékoľvek netriviálne riešenie tejto diferenciálnej rovnice je harmonické kmitanie s cyklickou frekvenciou)

Druhy vibrácií

Voľné kmity sa uskutočňujú pôsobením vnútorných síl systému po vyvedení systému z rovnováhy. Aby boli voľné kmity harmonické, je potrebné, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a nemal by v ňom dochádzať k rozptylu energie (to by spôsobovalo tlmenie).

Nútené kmity sa vykonávajú pod vplyvom vonkajšej periodickej sily. Aby boli harmonické, stačí, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a samotná vonkajšia sila sa v čase mení ako harmonická oscilácia (to znamená, že časová závislosť tejto sily je sínusová) .

Harmonická vibračná rovnica

rovnica (1)

udáva závislosť kolísavej hodnoty S od času t; toto je rovnica voľných harmonických kmitov v explicitnej forme. Rovnica kmitov sa však zvyčajne chápe ako iný záznam tejto rovnice v diferenciálnom tvare. Pre definitívnosť berieme rovnicu (1) v tvare

Rozlišujte to dvakrát s ohľadom na čas:

Je možné vidieť, že platí nasledujúci vzťah:

ktorá sa nazýva rovnica voľných harmonických kmitov (v diferenciálnom tvare). Rovnica (1) je riešením diferenciálnej rovnice (2). Keďže rovnica (2) je diferenciálna rovnica druhého rádu, na získanie úplného riešenia (t. j. na určenie konštánt A a   zahrnutých v rovnici (1) sú potrebné dve počiatočné podmienky); napríklad poloha a rýchlosť oscilačného systému pri t = 0.

Matematické kyvadlo je oscilátor, čo je mechanický systém pozostávajúci z hmotného bodu umiestneného na beztiažovom neroztiahnuteľnom závite alebo na beztiažovej tyči v rovnomernom poli gravitačných síl. Perióda malých vlastných kmitov matematického kyvadla dĺžky l, nehybne zaveseného v rovnomernom gravitačnom poli s voľným pádovým zrýchlením g, sa rovná

a nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla.

Fyzické kyvadlo je oscilátor, čo je tuhé teleso, ktoré kmitá v poli akýchkoľvek síl okolo bodu, ktorý nie je ťažiskom tohto telesa, alebo pevnej osi kolmej na smer síl a neprechádzajúceho cez ťažisko tohto telesa.

Spolu s translačnými a rotačnými pohybmi telies v mechanike sú veľmi zaujímavé aj oscilačné pohyby. Mechanické vibrácie nazývané pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Zákon pohybu kmitajúceho telesa je daný nejakou periodickou funkciou času X = f (t). Grafické znázornenie tejto funkcie dáva vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase.

Príkladom jednoduchých oscilačných systémov je zaťaženie pružiny alebo matematického kyvadla (obr. 2.1.1).

Mechanické oscilácie, podobne ako oscilačné procesy akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, môžu byť zadarmo a nútený. Voľné vibrácie sú vyrobené pod vplyvom vnútorné sily systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. vibrácie pod pôsobením externé nazývajú sa periodicky sa meniace sily nútený .

Najjednoduchší typ oscilačného procesu je jednoduchý harmonické vibrácie , ktoré sú opísané rovnicou

X = X m cos (ω t + φ 0).

Tu X- posunutie tela z rovnovážnej polohy, X m - amplitúda kmitania, t.j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy, ω - cyklická alebo kruhová frekvencia váhanie, t- čas. Hodnota pod kosínusovým znamienkom φ = ω t+ φ 0 sa volá fáza harmonický proces. o t= 0 φ = φ 0, preto sa nazýva φ 0 počiatočná fáza. Minimálny časový interval, po ktorom sa pohyb telesa opakuje, sa nazýva perióda oscilácie T. Fyzikálna veličina recipročná k perióde kmitania sa nazýva frekvencia oscilácií:

Oscilačná frekvencia f ukazuje, koľko vibrácií sa vytvorí za 1 s. Jednotka frekvencie - hertz(Hz). Oscilačná frekvencia f súvisí s cyklickou frekvenciou ω a periódou oscilácií T pomery:

Na obr. 2.1.2 ukazuje polohy tela v pravidelných intervaloch s harmonickými vibráciami. Takýto obraz možno získať experimentálne osvetlením oscilujúceho telesa krátkymi periodickými zábleskami svetla ( stroboskopické osvetlenie). Šípky predstavujú vektory rýchlosti tela v rôznych časových bodoch.

Ryža. 2.1.3 znázorňuje zmeny, ktoré nastanú na grafe harmonického procesu, ak sa zmení buď amplitúda oscilácií X m alebo bodka T(alebo frekvencia f), alebo počiatočná fáza φ 0 .

Keď telo kmitá pozdĺž priamky (os VÔL) vektor rýchlosti je vždy nasmerovaný pozdĺž tejto priamky. Rýchlosť υ = υ X pohyb tela je určený výrazom

V matematike postup pri hľadaní limity pomeru pri Δ t→ 0 sa nazýva výpočet derivácie funkcie X (t) časom t a označované ako alebo ako X"(t) alebo nakoniec ako . Pre harmonický pohybový zákon Výpočet derivácie vedie k tomuto výsledku:

Výskyt termínu + π / 2 v kosínusovom argumente znamená zmenu v počiatočnej fáze. Maximálne modulové hodnoty rýchlosti υ = ω X m sa dosahujú v tých časových okamihoch, keď teleso prechádza rovnovážnymi polohami ( X= 0). Zrýchlenie je definované podobným spôsobom a = aX telesá s harmonickými vibráciami:

preto to zrýchlenie a sa rovná derivácii funkcie υ ( t) časom t alebo druhá derivácia funkcie X (t). Výpočty dávajú:

Znamienko mínus v tomto výraze znamená zrýchlenie a (t) má vždy opačné znamienko odsadenia X (t), a preto podľa druhého Newtonovho zákona sila, ktorá spôsobuje, že teleso vykonáva harmonické kmity, smeruje vždy do rovnovážnej polohy ( X = 0).

Zmeny v čase podľa sínusového zákona:

kde X- hodnota kolísajúcej veličiny v čase t, ALE- amplitúda, ω - kruhová frekvencia, φ je počiatočná fáza oscilácií, ( φt + φ ) je celková fáza kmitov . Zároveň aj hodnoty ALE, ω a φ - trvalý.

Pre mechanické vibrácie s oscilačnou hodnotou X sú najmä posuv a rýchlosť, pri elektrických kmitoch sila napätia a prúdu.

Harmonické vibrácie zaujímajú osobitné miesto medzi všetkými druhmi vibrácií, keďže ide o jediný typ vibrácií, ktorých tvar sa pri prechode cez akékoľvek homogénne médium neskresľuje, t.j. harmonické budú aj vlny šíriace sa zo zdroja harmonických vibrácií. Akákoľvek neharmonická vibrácia môže byť reprezentovaná ako súčet (integrál) rôznych harmonických vibrácií (vo forme spektra harmonických vibrácií).

Premeny energie pri harmonických vibráciách.

V procese oscilácií dochádza k prechodu potenciálnej energie Wp do kinetiky W k a naopak. V polohe maximálnej odchýlky od rovnovážnej polohy je potenciálna energia maximálna, kinetická nulová. Pri návrate do rovnovážnej polohy sa rýchlosť kmitajúceho telesa zvyšuje a s ňou rastie aj kinetická energia, ktorá v rovnovážnej polohe dosahuje maximum. Potenciálna energia potom klesne na nulu. Ďalší pohyb krku nastáva s poklesom rýchlosti, ktorá klesne na nulu, keď výchylka dosiahne svoje druhé maximum. Potenciálna energia sa tu zvyšuje na svoju počiatočnú (maximálnu) hodnotu (pri absencii trenia). Kmity kinetickej a potenciálnej energie sa teda vyskytujú s dvojnásobnou (v porovnaní s kmitmi samotného kyvadla) frekvenciou a sú v protifáze (t.j. medzi nimi je fázový posun rovný π ). Celková energia vibrácií W zostáva nezmenený. Pre teleso kmitajúce pôsobením elastickej sily sa rovná:

kde v m- maximálna rýchlosť telesa (v rovnovážnej polohe), x m = ALE- amplitúda.

V dôsledku trenia a odporu média sa voľné oscilácie tlmia: ich energia a amplitúda sa časom znižujú. Preto sa v praxi častejšie používajú nie voľné, ale nútené kmity.