Plán:
1. Výskum metód matematickej štatistiky v pedagogickom výskume.
1. Výskum metód matematickej štatistiky v pedagogickom výskume.
V poslednej dobe sa podnikli vážne kroky k zavedeniu matematických metód hodnotenia a merania pedagogických javov do pedagogiky a stanovovania kvantitatívnych vzťahov medzi nimi. Matematické metódy nám umožňujú priblížiť sa k riešeniu jednej z najťažších úloh pedagogiky – kvantitatívnemu posudzovaniu pedagogických javov. Iba spracovanie kvantitatívnych údajov az nich vyplývajúce závery môžu objektívne potvrdiť alebo vyvrátiť predloženú hypotézu.
V pedagogickej literatúre sa navrhuje množstvo metód na štatistické spracovanie údajov z pedagogického experimentu (L. B. Itelson, Yu. V. Pavlov a i.). Pri používaní metód matematickej štatistiky si treba uvedomiť, že samotná štatistika neodhaľuje podstatu javu a nedokáže vysvetliť dôvody rozdielov, ktoré vznikajú medzi jednotlivými aspektmi javu. Napríklad analýza výsledkov štúdie ukazuje, že použitá vyučovacia metóda poskytla lepšie výsledky v porovnaní s predtým zaznamenanými. Tieto výpočty však nedokážu odpovedať na otázku, prečo je nová metóda lepšia ako stará.
Najbežnejšie matematické metódy používané v pedagogike sú:
1. Registrácia - spôsob identifikácie prítomnosti určitej kvality u každého člena skupiny a celkový počet tých, ktorí túto vlastnosť majú alebo nemajú (napríklad počet detí, ktoré navštevovali triedy bez prejsť a urobiť prihrávky atď.).
2. Ranking (alebo klasifikačná metóda) zahŕňa usporiadanie zozbieraných údajov v určitom poradí, zvyčajne vo vzostupnom alebo zostupnom poradí akýchkoľvek ukazovateľov, a podľa toho určiť miesto v tomto riadku pre každý zo subjektov (napríklad zostavenie zoznam detí v závislosti od počtu vymeškaných hodín a pod.).
3. Škálovanie ako kvantitatívna výskumná metóda umožňuje zaviesť číselné ukazovatele pri hodnotení určitých aspektov pedagogických javov. Na tento účel sa subjektom kladú otázky, pri odpovedi na ktoré musia uviesť stupeň alebo formu hodnotenia vybranú spomedzi týchto hodnotení, očíslované v určitom poradí (napríklad otázka o športovaní s výberom odpovedí: a) I mám rád, b) robím to pravidelne, c) pravidelne necvičím, d) nerobím žiadny druh športu).
Korelácia výsledkov s normou (s danými ukazovateľmi) zahŕňa určenie odchýlok od normy a koreláciu týchto odchýlok s prijateľnými intervalmi (napríklad pri programovanom učení sa za normu často považuje 85 – 90 % správnych odpovedí; ak je správnych menej to znamená, že program je príliš ťažký, ak viac, potom je príliš ľahký).
Prenikanie matematických metód do najrozmanitejších oblastí ľudskej činnosti aktualizuje problém modelovania, pomocou ktorého sa stanovuje súlad reálneho objektu s matematickým modelom. Akýkoľvek model je homomorfným obrazom nejakého systému v inom systéme (homomorfizmus je zhoda jedna k jednej medzi systémami, ktorá zachováva základné vzťahy a základné operácie). Matematické modely vo vzťahu k simulovaným objektom sú analógmi na úrovni štruktúr.
Špecifickosť štatistického spracovania výsledkov psychologického a pedagogického výskumu spočíva v tom, že analyzovaná databáza sa vyznačuje veľkým počtom ukazovateľov rôzneho typu, ich vysokou variabilitou pod vplyvom nekontrolovaných náhodných faktorov, zložitosťou korelácií. medzi premennými výberového súboru je potrebné brať do úvahy objektívne a subjektívne faktory, ktoré ovplyvňujú diagnostické výsledky., najmä pri rozhodovaní o reprezentatívnosti výberového súboru a vyhodnocovaní hypotéz týkajúcich sa všeobecnej populácie. Údaje z výskumu možno rozdeliť do skupín podľa typu:
Prvou skupinou sú nominálne premenné (pohlavie, osobné údaje atď.). Aritmetické operácie s takýmito veličinami sú nezmyselné, takže výsledky deskriptívnej štatistiky (priemer, rozptyl) nie sú pre takéto veličiny použiteľné. Klasickým spôsobom, ako ich analyzovať, je rozdeliť ich do tried nepredvídaných udalostí s ohľadom na určité nominálne znaky a skontrolovať významné rozdiely podľa triedy.
Druhá skupina údajov má kvantitatívnu stupnicu merania, ale táto stupnica je ordinálna (ordinálna). Pri analýze ordinálnych premenných sa používajú technológie podvzorkovania aj hodnotenia. Parametrické metódy sú tiež použiteľné s určitými obmedzeniami.
Tretia skupina – kvantitatívne premenné, ktoré odrážajú závažnosť meraného ukazovateľa – to sú Cattellove testy, akademický výkon a iné hodnotiace testy. Pri práci s premennými v tejto skupine sú použiteľné všetky štandardné typy analýz a pri dostatočnej veľkosti vzorky je ich distribúcia zvyčajne blízka normálu. Rôznorodosť typov premenných si teda vyžaduje použitie širokého spektra používaných matematických metód.
Postup analýzy možno rozdeliť do nasledujúcich krokov:
Príprava databázy na analýzu. Táto fáza zahŕňa konverziu údajov do elektronického formátu, ich kontrolu na odľahlé hodnoty, výber metódy práce s chýbajúcimi hodnotami.
Popisná štatistika (výpočet priemerov, rozptylov atď.). Výsledky deskriptívnej štatistiky určujú charakteristiky parametrov analyzovanej vzorky alebo čiastkových vzoriek špecifikovaných jednou alebo druhou sekciou.
Prieskumná analýza. Úlohou tejto etapy je zmysluplné štúdium rôznych skupín výberových ukazovateľov, ich vzťahov, identifikácia hlavných explicitných a skrytých (latentných) faktorov ovplyvňujúcich údaje, sledovanie zmien ukazovateľov, ich vzťahov a významnosti faktorov pri delení databázy. do skupín a pod. Výskumným nástrojom sú rôzne metódy a technológie korelačnej, faktorovej a zhlukovej analýzy. Účelom analýzy je formulovať hypotézy týkajúce sa danej vzorky aj všeobecnej populácie.
Podrobná analýza získaných výsledkov a štatistické overenie navrhnutých hypotéz. V tejto fáze sa testujú hypotézy týkajúce sa typov distribučnej funkcie náhodných premenných, významnosti rozdielov v priemeroch a rozptyloch v podvzorkách atď. Pri sumarizovaní výsledkov štúdie sa rieši otázka reprezentatívnosti vzorky.
Treba poznamenať, že tento sled akcií, prísne vzaté, nie je chronologický, s výnimkou prvej fázy. Keď sa získajú výsledky deskriptívnej štatistiky a identifikujú sa určité vzorce, je potrebné otestovať vznikajúce hypotézy a okamžite pristúpiť k ich podrobnej analýze. V každom prípade sa však pri testovaní hypotéz odporúča analyzovať ich rôznymi matematickými prostriedkami, ktoré primerane zodpovedajú modelu, a hypotéza by sa mala prijať na určitej úrovni významnosti iba vtedy, keď je potvrdená niekoľkými rôznymi metódami.
Pri organizácii akéhokoľvek merania sa vždy predpokladá korelácia (porovnanie) nameraného s meracím prístrojom (etalónom). Po korelačnej (porovnávacej) procedúre sa vyhodnotí výsledok merania. Ak sa v technike spravidla používajú materiálové normy ako merače, potom v sociálnych meraniach vrátane pedagogických a psychologických meraní môžu byť merače ideálne. Na určenie, či sa u dieťaťa vytvorila určitá duševná činnosť alebo nie, je skutočne potrebné porovnať skutočné s nevyhnutným. V tomto prípade je nevyhnutný ideálny model, ktorý existuje v hlave učiteľa.
Treba si uvedomiť, že merať možno len niektoré pedagogické javy. Väčšinu pedagogických javov nemožno merať, pretože neexistujú štandardy pedagogických javov, bez ktorých by nebolo možné meranie vykonávať.
Pokiaľ ide o javy, ako je aktivita, veselosť, pasivita, únava, zručnosti, návyky atď., zatiaľ ich nie je možné merať, pretože neexistujú žiadne normy aktivity, pasivity, živosti atď. Pre extrémnu zložitosť a z veľkej časti aj praktickú nemožnosť merania pedagogických javov sa v súčasnosti na približné kvantitatívne hodnotenie týchto javov využívajú špeciálne metódy.
V súčasnosti je zvykom deliť všetky psychologické a pedagogické javy do dvoch veľkých kategórií: objektívne materiálne javy (javy, ktoré existujú mimo a nezávisle od nášho vedomia) a subjektívne nemateriálne javy (javy charakteristické pre daného človeka).
Medzi objektívne materiálne javy patria: chemické a biologické procesy, pohyby vykonávané osobou, zvuky, ktoré vydáva, činnosti, ktoré vykonáva atď.
Medzi subjektívne nemateriálne javy a procesy patria: vnemy, vnemy a predstavy, fantázie a myslenie, pocity, túžby a túžby, motivácia, vedomosti, zručnosti atď.
Všetky znaky objektívnych materiálnych javov a procesov sú pozorovateľné a dajú sa v zásade vždy zmerať, hoci moderná veda to niekedy nedokáže. Akákoľvek vlastnosť alebo vlastnosť môže byť meraná priamo. To znamená, že pomocou fyzikálnych operácií sa dá vždy porovnať s nejakou reálnou hodnotou, ktorá sa berie ako meradlo zodpovedajúcej vlastnosti alebo atribútu.
Subjektívne nemateriálne javy nemožno merať, keďže pre ne neexistujú a ani nemôžu existovať materiálne normy. Preto sa tu používajú približné metódy hodnotenia javov – rôzne nepriame ukazovatele.
Podstatou použitia nepriamych ukazovateľov je, že meraná vlastnosť alebo znak skúmaného javu je spojený s určitými materiálovými vlastnosťami a hodnota týchto materiálových vlastností sa berie ako ukazovateľ zodpovedajúcich nehmotných javov. Napríklad efektívnosť novej vyučovacej metódy sa posudzuje podľa pokroku žiakov, kvality práce žiaka - podľa počtu chýb, náročnosti preberanej látky - podľa množstva stráveného času, vývoja mentálne alebo morálne vlastnosti – počtom relevantných činov alebo pochybení a pod.
Pri všetkom veľkom záujme, ktorý výskumníci zvyčajne prejavujú o metódy kvantitatívnej analýzy experimentálnych údajov a masového materiálu získaného rôznymi metódami, je dôležitá fáza spracovania - ich kvalitatívna analýza. Pomocou kvantitatívnych metód je možné s rôznou mierou spoľahlivosti identifikovať výhodu konkrétnej metódy alebo odhaliť všeobecný trend, dokázať opodstatnenosť testovaného vedeckého predpokladu atď. Kvalitatívna analýza by však mala dať odpoveď na otázku, prečo sa to stalo, čo tomu uprednostňovalo a čo slúžilo ako prekážka a aký významný bol vplyv týchto interferencií, či experimentálne podmienky neboli príliš špecifické na to, aby sa táto technika odporúčala na použitie v iných podmienkach a pod. V tejto fáze je tiež dôležité analyzovať dôvody, ktoré viedli jednotlivých respondentov k negatívnej odpovedi a identifikovať príčiny niektorých typických a dokonca náhodných chýb v práci jednotlivých detí atď. Použitie všetkých týchto metód analýzy zozbieraných údajov pomáha presnejšie vyhodnotiť výsledky experimentu, zvyšuje spoľahlivosť záverov o nich a poskytuje viac základov pre ďalšie teoretické zovšeobecnenia.
Štatistické metódy v pedagogike slúžia len na kvantifikáciu javov. Na vyvodenie záverov a záverov je potrebná kvalitatívna analýza. V pedagogickom výskume by sa teda metódy matematickej štatistiky mali používať opatrne, berúc do úvahy osobitosti pedagogických javov.
Väčšina numerických charakteristík v matematickej štatistike sa teda používa, keď má študovaná vlastnosť alebo jav normálne rozdelenie, ktoré sa vyznačuje symetrickým usporiadaním hodnôt prvkov populácie vo vzťahu k priemernej hodnote. Bohužiaľ, vzhľadom na nedostatočné štúdium pedagogických javov, zákony distribúcie vo vzťahu k nim spravidla nie sú známe. Ďalej, na vyhodnotenie výsledkov štúdie sa často berú hodnoty poradia, ktoré nie sú výsledkom kvantitatívnych meraní. Preto s nimi nie je možné vykonávať aritmetické operácie, a preto pre ne vypočítať číselné charakteristiky.
Každý štatistický rad a jeho grafické znázornenie je zoskupený a vizuálne prezentovaný materiál, ktorý by mal byť podrobený štatistickému spracovaniu.
Metódy štatistického spracovania umožňujú získať množstvo číselných charakteristík, ktoré umožňujú predpovedať vývoj procesu, ktorý nás zaujíma. Najmä tieto charakteristiky umožňujú porovnávať rôzne rady čísel získaných v pedagogickom výskume a vyvodzovať z nich vhodné pedagogické závery a odporúčania.
Všetky série variácií sa môžu navzájom líšiť nasledujúcimi spôsobmi:
1. Vo veľkom, t.j. jeho horná a dolná hranica, ktoré sa zvyčajne nazývajú limity.
2. Hodnota atribútu, okolo ktorého je sústredená väčšina variantu. Táto hodnota funkcie odráža ústredný trend série, t.j. typické pre sériu.
3. Variácie okolo ústredného trendu série.
V súlade s tým sú všetky štatistické ukazovatele variačných radov rozdelené do dvoch skupín:
-ukazovatele, ktoré charakterizujú centrálny trend alebo úroveň série;
-ukazovatele charakterizujúce úroveň variácie okolo centrálneho trendu.
Prvá skupina zahŕňa rôzne charakteristiky priemeru: medián, aritmetický priemer, geometrický priemer atď. Do druhého - variačné rozpätie (limity), stredná absolútna odchýlka, smerodajná odchýlka, rozptyl, koeficienty asymetrie a variácie. Existujú aj iné ukazovatele, ale nebudeme ich brať do úvahy, pretože. v štatistike vzdelávania sa nepoužívajú.
V súčasnosti sa pojem „model“ používa v rôznych významoch, najjednoduchším z nich je označenie vzorky, štandardu. V tomto prípade model veci nenesie žiadne nové informácie a neslúži na účely vedeckého poznania. V tomto zmysle sa pojem „model“ vo vede nepoužíva. V širšom zmysle sa model chápe ako mentálne alebo prakticky vytvorená štruktúra, ktorá reprodukuje časť reality v zjednodušenej a vizuálnej podobe. V užšom zmysle sa pojem „model“ používa na zobrazenie určitej oblasti javov pomocou inej, preštudovanejšej, ľahko pochopiteľnej. V pedagogických vedách sa tento pojem používa v širokom zmysle ako špecifický obraz skúmaného objektu, v ktorom sa zobrazujú skutočné alebo domnelé vlastnosti, štruktúra a pod. Modelovanie je široko používané v akademických predmetoch ako analógia, ktorá môže existovať medzi systémami na nasledujúcich úrovniach: výsledky, ktoré poskytujú porovnávané systémy; funkcie, ktoré určujú tieto výsledky; štruktúry, ktoré zabezpečujú výkon týchto funkcií; prvky, ktoré tvoria štruktúry.
V. M. Tarabajev upozorňuje, že v súčasnosti sa využíva technika takzvaného multifaktoriálneho experimentu. V mnohorozmernom experimente výskumníci pristupujú k problému empiricky – variujú s veľkým množstvom faktorov, od ktorých, ako sa domnievajú, závisí priebeh procesu. Táto variácia rôznymi faktormi sa vykonáva pomocou moderných metód matematickej štatistiky.
Viacrozmerný experiment je vybudovaný na základe štatistickej analýzy a systematického prístupu k predmetu výskumu. Predpokladá sa, že systém má vstup a výstup, ktoré je možné ovládať, tiež sa predpokladá, že tento systém je možné ovládať, aby sa dosiahol určitý výsledok na výstupe. V multifaktoriálnom experimente sa študuje celý systém bez vnútorného obrazu jeho zložitého mechanizmu. Tento typ experimentu otvára veľké možnosti pre pedagogiku.
Literatúra:
1. Zagvjazinskij, V. I. Metodológia a metódy psychologického a pedagogického výskumu: učebnica. príspevok pre študentov. vyššie ped. učebnica inštitúcie / Zagvyazinsky V.I., Atakhanov R. - M .: Academy, 2005.
2. Gadelshina, T. G. Metodológia a metódy psychologického výskumu: učebnica. metóda. príspevok / Gadelshina T. G. - Tomsk, 2002.
3. Kornilová, T. V. Experimentálna psychológia: teória a metódy: učebnica pre vysoké školy / Kornilová T. V. - M .: Aspect Press, 2003.
4. Kuzin, F. A. PhD práca: metodika písania, pravidlá navrhovania a postup obhajoby / Kuzin F. A. - M., 2000.

V dejinách matematiky možno konvenčne rozlíšiť dve hlavné obdobia: elementárnu a modernú matematiku. Medzníkom, od ktorého je zvykom počítať éru novej (niekedy sa hovorí - vyššej) matematiky, bolo 17. storočie - storočie vzniku matematickej analýzy. Do konca XVII storočia. I. Newton, G. Leibniz a ich predchodcovia vytvorili aparát nového diferenciálneho počtu a integrálneho počtu, ktorý tvorí základ matematickej analýzy a možno aj matematický základ celej modernej prírodovedy.

Matematická analýza je rozsiahla oblasť matematiky s charakteristickým predmetom štúdia (premenná), svojráznou výskumnou metódou (analýza pomocou infinitezimál alebo prechodom na limit), určitým systémom základných pojmov (funkcia, limit, derivačný, diferenciálny, integrálny, radový) a neustále sa zdokonaľujúci a rozvíjajúci aparát, ktorý je založený na diferenciálnom a integrálnom počte.

Skúsme si predstaviť, aká matematická revolúcia sa odohrala v 17. storočí, čím sa vyznačuje prechod od elementárnej matematiky spojenej so zrodom matematickej analýzy k tej, ktorá je dnes predmetom výskumu v matematickej analýze, a čo vysvetľuje jeho základnú úlohu v celom modernom systéme teoretických a aplikovaných vedomostí.

Predstavte si, že pred vami je nádherne spracovaná farebná fotografia rozbúrenej vlny oceánu, ktorá beží na breh: mohutný zhrbený chrbát, strmá, no mierne prepadnutá hruď, už naklonená dopredu a pripravená padnúť hlavou so sivou hrivou roztrhanou vetrom. Zastavili ste moment, podarilo sa vám zachytiť vlnu a teraz ju môžete bez náhlenia pozorne študovať do všetkých detailov. Vlna sa dá merať a pomocou nástrojov elementárnej matematiky vyvodíte veľa dôležitých záverov o tejto vlne, a teda o všetkých jej oceánskych sestrách. Ale zastavením vlny ste ju pripravili o pohyb a život. Jeho pôvod, vývoj, chod, sila, s akou padá na breh - to všetko sa ukázalo ako mimo vášho zorného poľa, pretože ešte nemáte ani jazyk, ani matematický aparát vhodný na popis a štúdium nie statické , ale rozvíjajúce sa, dynamické procesy, premenné a ich vzájomné vzťahy.

"Matematická analýza nie je o nič menej komplexná ako samotná príroda: určuje všetky hmatateľné vzťahy, meria časy, priestory, sily, teploty." J. Fourier

Pohyb, premenné a ich vzťahy sú všade okolo nás. Rôzne druhy pohybu a ich zákonitosti tvoria hlavný predmet štúdia špecifických vied: fyziky, geológie, biológie, sociológie atď. Preto sa ukázalo, že je potrebný presný jazyk a vhodné matematické metódy na popis a štúdium premenných vo všetkých oblastiach znalosti približne v rovnakom rozsahu ako čísla a aritmetika sú potrebné pri opise kvantitatívnych vzťahov. Matematická analýza je teda základom jazyka a matematických metód na popis premenných a ich vzťahov. Dnes bez matematickej analýzy nie je možné nielen vypočítať vesmírne trajektórie, prevádzku jadrových reaktorov, priebeh oceánskej vlny a vzorce vývoja cyklónov, ale ani ekonomicky riadiť výrobu, distribúciu zdrojov, organizáciu technologických procesov, predpovedajú priebeh chemických reakcií alebo zmeny v počte rôznych druhov navzájom prepojených v prírode.živočíchy a rastliny, pretože to všetko sú dynamické procesy.

Elementárna matematika bola v podstate matematikou konštánt, študovala najmä vzťahy medzi prvkami geometrických útvarov, aritmetickými vlastnosťami čísel a algebraickými rovnicami. Jej postoj k realite možno do istej miery prirovnať k pozornému, ba až dôkladnému a úplnému štúdiu každého pevného políčka filmu, ktorý zachytáva meniaci sa, rozvíjajúci sa živý svet v jeho pohybe, ktorý však nie je viditeľný na samostatnom poli. a ktoré možno pozorovať iba pri pohľade na pásku ako celok. Ale tak ako je kinematografia nemysliteľná bez fotografie, tak moderná matematika je nemožná bez tej jej časti, ktorú podmienečne nazývame elementárnou, bez nápadov a úspechov mnohých vynikajúcich vedcov, niekedy oddelených desiatkami storočí.

Matematika je jedna a jej „vyššia“ časť je prepojená s tou „elementárnou“ asi tak, ako je s predchádzajúcim spojené ďalšie poschodie rozostavaného domu a šírka horizontov, ktorým sa matematika otvára. nás vo svete okolo nás závisí od toho, ktoré poschodie tejto budovy sa nám podarilo dosiahnuť. Narodený v 17. storočí matematická analýza otvorila možnosti pre vedecký popis, kvantitatívne a kvalitatívne štúdium premenných a pohybu v najširšom zmysle slova.

Aké sú predpoklady pre vznik matematickej analýzy?

Do konca XVII storočia. nastala nasledovná situácia. Po prvé, v rámci samotnej matematiky sa v priebehu rokov nahromadili určité dôležité triedy problémov rovnakého typu (napríklad problémy merania plôch a objemov neštandardných útvarov, problémy kreslenia dotyčníc ku krivkám) a metódy sa objavili na ich riešenie v rôznych špeciálnych prípadoch. Po druhé, ukázalo sa, že tieto problémy úzko súvisia s problémami opisu ľubovoľného (nie nevyhnutne rovnomerného) mechanického pohybu, a to najmä s výpočtom jeho okamžitých charakteristík (rýchlosť, zrýchlenie v ľubovoľnom čase), ako aj so zisťovaním vzdialenosť prejdenú na pohyb pri danej premenlivej rýchlosti. Riešenie týchto problémov bolo nevyhnutné pre rozvoj fyziky, astronómie a techniky.

Napokon, po tretie, do polovice XVII. diela R. Descarta a P. Fermata položili základy analytickej metódy súradníc (tzv. analytická geometria), ktorá umožnila formulovať geometrické a fyzikálne problémy heterogénneho pôvodu vo všeobecnom (analytickom) jazyku čísel. a numerické závislosti, alebo, ako teraz hovoríme, numerické funkcie.

NIKOLAJ NIKOLAEVICH LUZIN (1883-1950) N. N. Luzin - sovietsky matematik, zakladateľ sovietskej školy teórie funkcií, akademik (1929). Luzin sa narodil v Tomsku, študoval na gymnáziu v Tomsku. Formalizmus gymnaziálneho matematického kurzu odcudzil nadaného mladíka a len schopný školiteľ mu mohol odhaliť krásu a vznešenosť matematickej vedy. V roku 1901 Luzin vstúpil na matematické oddelenie Fakulty fyziky a matematiky Moskovskej univerzity. Od prvých rokov štúdia spadali do okruhu jeho záujmov otázky súvisiace s nekonečnosťou. Na konci XIX storočia. nemecký vedec G. Kantor vytvoril všeobecnú teóriu nekonečných množín, ktorá našla množstvo aplikácií pri štúdiu nespojitých funkcií. Luzin začal študovať túto teóriu, no jeho štúdium bolo prerušené v roku 1905. Študent, ktorý sa podieľal na revolučných aktivitách, musel na čas odísť do Francúzska. Tam počúval prednášky najvýznamnejších francúzskych matematikov tej doby. Po návrate do Ruska Luzin vyštudoval univerzitu a nechal sa pripraviť na profesúru. Čoskoro opäť odišiel do Paríža a potom do Göttingenu, kde sa zblížil s mnohými vedcami a napísal svoje prvé vedecké práce. Hlavným problémom, ktorý vedca zaujímal, bola otázka, či môžu existovať množiny obsahujúce viac prvkov ako množina prirodzených čísel, ale menej ako množina bodov úsečky (problém kontinua). Pre každú nekonečnú množinu, ktorú bolo možné získať zo segmentov pomocou operácií zjednotenia a prieniku spočítateľných kolekcií množín, bola táto hypotéza pravdivá a na vyriešenie problému bolo potrebné zistiť, aké sú ďalšie spôsoby konštrukcie množín. Luzin zároveň skúmal otázku, či je možné akúkoľvek periodickú funkciu, aj keď má nekonečne veľa bodov diskontinuity, reprezentovať ako súčet trigonometrického radu, t.j. súčty nekonečnej množiny harmonických kmitov. Luzin v týchto otázkach dosiahol množstvo významných výsledkov a v roku 1915 obhájil dizertačnú prácu „Integrál a trigonometrické série“, za čo mu bol okamžite udelený titul doktor čistej matematiky, čím obišiel v tom čase existujúci stredný magisterský stupeň. . V roku 1917 sa Luzin stal profesorom na Moskovskej univerzite. Talentovaný učiteľ zaujal najschopnejších študentov a mladých matematikov. Luzina škola dosiahla svoj rozkvet v prvých porevolučných rokoch. Luzini žiaci vytvorili tvorivý tím, ktorý sa žartovne nazýval „Luzitania“. Mnohí z nich získali počas študentských čias prvotriedne vedecké výsledky. Napríklad P. S. Aleksandrov a M. Ya. Suslin (1894-1919) objavili novú metódu konštrukcie množín, ktorá iniciovala vývoj nového smeru – deskriptívnej teórie množín. Výskum v tejto oblasti, ktorý uskutočnil Luzin a jeho študenti, ukázal, že bežné metódy teórie množín nestačia na vyriešenie mnohých problémov, ktoré v nej vznikli. Luzinove vedecké predpovede sa plne potvrdili v 60. rokoch. 20. storočie Z mnohých študentov N. N. Luzina sa neskôr stali akademici a korešpondenti Akadémie vied ZSSR. Medzi nimi P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman a ďalší. Moderní sovietski a zahraniční matematici vo svojich dielach rozvíjajú myšlienky N. N. Luzina.

Kombinácia týchto okolností viedla k tomu, že na konci XVII. dvom vedcom - I. Newtonovi a G. Leibnizovi - sa nezávisle podarilo vytvoriť matematický aparát na riešenie týchto problémov, zhrnúť a zovšeobecniť jednotlivé výsledky svojich predchodcov, vrátane antického vedca Archimeda a súčasníkov Newtona a Leibniza - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Tento aparát tvoril základ matematickej analýzy - nového odvetvia matematiky, ktoré študuje rôzne vývojové procesy, t.j. vzájomné vzťahy premenných, ktoré sa v matematike nazývajú funkčné závislosti alebo inak povedané funkcie. Mimochodom, samotný pojem „funkcia“ sa vyžadoval a prirodzene vznikol práve v 17. storočí a dnes už nadobudol nielen všeobecný matematický, ale aj všeobecný vedecký význam.

Úvodné informácie o základných pojmoch a matematickom aparáte analýzy sú uvedené v článkoch „Diferenciálny počet“ a „Integrovaný počet“.

Na záver by som sa rád zastavil len pri jednom princípe matematickej abstrakcie, ktorý je spoločný pre celú matematiku a je charakteristický pre analýzu, a v tejto súvislosti vysvetliť, v akej forme matematická analýza študuje premenné a aké je tajomstvo takejto univerzálnosti jej metód. na štúdium všetkých druhov špecifických vývojových procesov a ich vzájomných vzťahov.

Pozrime sa na niekoľko vysvetľujúcich príkladov a analógií.

Niekedy si už neuvedomujeme, že napríklad matematický pomer, napísaný nie pre jablká, stoličky alebo slony, ale v abstraktnej forme abstrahovaný od konkrétnych predmetov, je vynikajúci vedecký výkon. Toto je matematický zákon, ktorý sa podľa skúseností dá aplikovať na rôzne konkrétne predmety. Takže pri štúdiu všeobecných vlastností abstraktných, abstraktných čísel v matematike študujeme kvantitatívne vzťahy skutočného sveta.

Napríklad zo školského kurzu matematiky je známe, že v konkrétnej situácii by ste mohli povedať: „Ak mi nie sú pridelené dva šesťtonové sklápače na prepravu 12 ton zeminy, môžete požiadať tri štvortonové sklápače a práca bude hotová a ak dajú len jeden štvortonový sklápač, tak bude musieť urobiť tri lety. Dnes už známe abstraktné čísla a číselné zákonitosti sú teda spojené s ich konkrétnymi prejavmi a aplikáciami.

Približne rovnakým spôsobom sú zákony zmeny konkrétnych premenných veličín a vývojových procesov prírody spojené s abstraktnou, abstraktnou formou-funkciou, v ktorej sa objavujú a sú študované v matematickej analýze.

Napríklad abstraktný pomer môže byť odrazom závislosti pokladne v kine od počtu predaných lístkov, ak 20 je 20 kopejok - cena jedného lístka. Ale ak ideme na bicykli po diaľnici rýchlosťou 20 km za hodinu, potom rovnaký pomer možno interpretovať ako vzťah času (hodiny) našej jazdy na bicykli a vzdialenosti prejdenej za tento čas (kilometre), vždy môžete namietať, že , napríklad niekoľkonásobná zmena vedie k úmernej (t. j. o rovnaký počet ráz) zmene hodnoty , a ak , potom platí aj opačný záver. Ak teda chcete zdvojnásobiť tržby kina, musíte prilákať dvakrát toľko divákov a na to, aby ste šli na bicykli tou istou rýchlosťou dvakrát tak ďaleko, musíte jazdiť dvakrát dlhšie.

Matematika študuje ako najjednoduchšie závislosti, tak aj iné, oveľa zložitejšie závislosti v abstraktnej, všeobecnej, abstraktnej forme abstrahovanej od súkromnej interpretácie. Vlastnosti funkcie identifikovanej v takejto štúdii alebo metódy na štúdium týchto vlastností budú mať povahu všeobecných matematických techník, záverov, zákonov a záverov aplikovateľných na každý konkrétny jav, v ktorom sa funkcia skúmaná v abstraktnej forme vyskytuje, bez ohľadu na to, ktorý oblasti poznania tento fenomén patrí.

Koncom 17. storočia sa teda formovala matematická analýza ako odvetvie matematiky. Predmetom štúdia v matematickej analýze (ako sa zdá z moderných pozícií) sú funkcie, alebo inými slovami, závislosti medzi premennými.

S príchodom matematickej analýzy bolo možné, aby matematika študovala a odrážala vývojové procesy reálneho sveta; premenné a pohyb vstúpili do matematiky.

Matematické metódy operačného výskumu

model regresnej analýzy programový

Úvod

Opis predmetnej oblasti a vyjadrenie výskumného problému

Praktická časť

Záver

Bibliografia

Úvod

V ekonomike je základom takmer každej činnosti prognózovanie. Už na základe prognózy je vypracovaný akčný plán a opatrenia. Dá sa teda povedať, že prognóza makroekonomických veličín je základnou súčasťou plánov všetkých ekonomických subjektov. Prognózovanie je možné vykonávať na základe kvalitatívnych (expertných) aj kvantitatívnych metód. Tie samy osebe nemôžu robiť nič bez kvalitatívnej analýzy, rovnako ako odborné posudky musia byť podložené spoľahlivými výpočtami.

Teraz majú prognózy, dokonca aj na makroekonomickej úrovni, scenárový charakter a sú vypracované podľa nasledujúceho princípu: čo sa stane ak… - a sú často predbežným štádiom a odôvodnením veľkých národných ekonomických programov. Makroekonomické prognózy sa zvyčajne robia s predstihom jedného roka. Moderná prax fungovania ekonomiky si vyžaduje krátkodobé prognózy (pol roka, mesiac, desaťročie, týždeň). Určené pre úlohy poskytovania pokročilých informácií jednotlivým účastníkom ekonomiky.

So zmenami v objektoch a úlohách prognózovania sa zmenil aj zoznam metód prognózovania. Adaptívne metódy krátkodobého predpovedania zaznamenali rýchly rozvoj.

Moderné ekonomické prognózovanie vyžaduje od vývojárov všestrannú špecializáciu, znalosti z rôznych oblastí vedy a praxe. K úlohám prognostika patrí znalosť vedeckého (spravidla matematického) aparátu prognózovania, teoretické základy prognostického procesu, informačné toky, softvér, interpretácia výsledkov prognózy.

Hlavnou funkciou prognózy je zdôvodniť možný stav objektu v budúcnosti alebo určiť alternatívne cesty.

Dôležitosť benzínu ako hlavného druhu paliva je dnes ťažké preceňovať. A rovnako ťažké je preceňovať vplyv jeho ceny na ekonomiku ktorejkoľvek krajiny. Charakter vývoja ekonomiky krajiny ako celku závisí od dynamiky cien palív. Zvýšenie cien benzínu spôsobuje zvýšenie cien priemyselných tovarov, vedie k zvýšeniu inflačných nákladov v ekonomike a zníženiu ziskovosti energeticky náročných odvetví. Náklady na ropné produkty sú jednou zo zložiek cien tovarov na spotrebiteľskom trhu a náklady na dopravu ovplyvňujú cenovú štruktúru všetkých spotrebných tovarov a služieb bez výnimky.

Mimoriadne dôležitá je otázka nákladov na benzín v rozvíjajúcej sa ukrajinskej ekonomike, kde akákoľvek zmena cien vyvoláva okamžitú reakciu vo všetkých jej odvetviach. Vplyv tohto faktora sa však neobmedzuje len na sféru ekonomiky, pod dôsledky jeho výkyvov možno pripísať aj mnohé politické a spoločenské procesy.

Štúdium a predpovedanie dynamiky tohto ukazovateľa je preto mimoriadne dôležité.

Účelom tejto práce je predpovedať ceny pohonných hmôt na blízku budúcnosť.

1. Opis predmetnej oblasti a vyjadrenie výskumného problému

Ukrajinský trh s benzínom možno len ťažko nazvať stálym alebo predvídateľným. A má to viacero príčin, počnúc tým, že surovinou na výrobu paliva je ropa, ktorej ceny a objem produkcie určuje nielen ponuka a dopyt na domácom a zahraničnom trhu, ale aj štátnej politiky, ako aj osobitných dohôd medzi výrobnými podnikmi. V podmienkach silnej závislosti ukrajinskej ekonomiky je táto závislá od exportu ocele a chemikálií a ceny týchto produktov sa neustále menia. A keď už hovoríme o cenách benzínu, nemožno si nevšimnúť ich stúpajúci trend. Napriek obmedzujúcej politike štátu je ich rast pre väčšinu spotrebiteľov obvyklý. Ceny ropných produktov na Ukrajine sa dnes menia každý deň. Závisia najmä od ceny ropy na svetovom trhu ($ / barel) a od úrovne daňového zaťaženia.

Štúdia cien benzínu je v súčasnosti veľmi aktuálna, keďže od týchto cien závisia ceny iných tovarov a služieb.

V tomto článku sa budeme zaoberať závislosťou cien benzínu od času a takých faktorov, ako sú:

ü ceny ropy, americký dolár za barel

ü oficiálny výmenný kurz dolára (NBU), hrivny za americký dolár

ü index spotrebiteľských cien

Cena benzínu, ktorý je produktom rafinácie ropy, priamo súvisí s cenou špecifikovaného prírodného zdroja a objemom jeho produkcie. Výmenný kurz dolára má významný vplyv na celú ukrajinskú ekonomiku, najmä na tvorbu cien na jej domácich trhoch. Priama súvislosť tohto parametra s cenami benzínu priamo závisí od výmenného kurzu amerického dolára. CPI odráža všeobecnú zmenu cien v rámci krajiny, a keďže je ekonomicky dokázané, že zmena cien niektorých tovarov v prevažnej väčšine prípadov (v podmienkach voľnej súťaže) vedie k zvýšeniu cien iných tovarov , je opodstatnené predpokladať, že zmena cien tovarov v celej krajine ovplyvňuje skúmaný ukazovateľ pri práci.

Popis matematického aparátu použitého pri výpočtoch

Regresná analýza

Regresná analýza je metóda modelovania nameraných údajov a štúdia ich vlastností. Údaje pozostávajú z párov hodnôt závislej premennej (premenná odozvy) a nezávislej premennej (vysvetľujúca premenná). Regresný model<#"19" src="doc_zip1.jpg" />. Regresná analýza je hľadanie funkcie, ktorá tento vzťah popisuje. Regresiu možno znázorniť ako súčet nenáhodných a náhodných zložiek. kde je funkcia regresnej závislosti a je aditívna náhodná premenná s očakávaním nula mat. Predpoklad o charaktere rozloženia tejto veličiny sa nazýva hypotéza generovania údajov<#"8" src="doc_zip6.jpg" />má Gaussovo rozdelenie<#"20" src="doc_zip7.jpg" />.

Problém hľadania regresného modelu niekoľkých voľných premenných je položený nasledovne. Uvádza sa vzorka<#"24" src="doc_zip8.jpg" />hodnoty voľných premenných a množina zodpovedajúcich hodnôt závislej premennej. Tieto súbory sa označujú ako súbor počiatočných údajov.

Je daný regresný model – parametrická rodina funkcií v závislosti od parametrov a voľných premenných. Je potrebné nájsť najpravdepodobnejšie parametre:

Pravdepodobnostná funkcia závisí od hypotézy generovania údajov a je daná Bayesovskou inferenciou<#"justify">Metóda najmenších štvorcov

Metóda najmenších štvorcov je metódou hľadania optimálnych parametrov lineárnej regresie tak, aby súčet štvorcových chýb (regresných zvyškov) bol minimálny. Metóda spočíva v minimalizácii euklidovskej vzdialenosti medzi dvoma vektormi - vektorom obnovených hodnôt závislej premennej a vektorom skutočných hodnôt závislej premennej.

Úlohou metódy najmenších štvorcov je vybrať vektor na minimalizáciu chyby. Táto chyba je vzdialenosť od vektora k vektoru. Vektor leží v stĺpcovom priestore matice, pretože existuje lineárna kombinácia stĺpcov tejto matice s koeficientmi. Hľadanie riešenia metódou najmenších štvorcov je ekvivalentné problému nájsť bod, ktorý leží najbližšie a nachádza sa v stĺpcovom priestore matice.

Vektor teda musí byť projekciou do priestoru stĺpca a zvyškový vektor musí byť ortogonálny k tomuto priestoru. Ortogonalita je, že každý vektor v priestore stĺpcov je lineárnou kombináciou stĺpcov s nejakými koeficientmi, to znamená, že je to vektor. Pre všetko vo vesmíre musia byť tieto vektory kolmé na zvyšok:

Pretože táto rovnosť musí platiť pre ľubovoľný vektor

Riešením najmenších štvorcov nekonzistentného systému pozostávajúceho z rovníc s neznámymi je rovnica

ktorá sa nazýva normálna rovnica. Ak sú stĺpce matice lineárne nezávislé, potom je matica invertovateľná a jediné riešenie

Projekcia vektora do stĺpcového priestoru matice má tvar

Matica sa nazýva projekčná matica vektora na stĺpcový priestor matice. Táto matica má dve hlavné vlastnosti: je idempotentná a je symetrická. Platí to aj naopak: matica s týmito dvoma vlastnosťami je projekčnou maticou do svojho stĺpcového priestoru.

Nech máme štatistické údaje o parametri y v závislosti od x. Tieto údaje uvádzame vo formulári

xx1 X2 …..Xi…..Xnr *r 1*r 2*......y ja* ....y n *

Metóda najmenších štvorcov umožňuje daný typ závislosti y= ?(x) zvolíme jeho číselné parametre tak, aby krivka y= ?(x) zobrazila experimentálne údaje najlepším spôsobom podľa daného kritéria. Zvážte opodstatnenie z hľadiska teórie pravdepodobnosti pre matematickú definíciu parametrov zahrnutých v ? (X).

Predpokladajme, že skutočná závislosť y od x je presne vyjadrená vzorcom y= ?(X). Experimentálne body uvedené v tabuľke 2 sa od tejto závislosti odchyľujú v dôsledku chýb merania. Chyby merania sa riadia normálnym zákonom podľa Ljapunovovej vety. Zvážte nejakú hodnotu argumentu x i . Výsledkom experimentu je náhodná premenná y i , rozdelené podľa normálneho zákona s matematickým očakávaním ?(X i ) a so štandardnou odchýlkou ?i charakterizujúce chybu merania. Nech je presnosť merania vo všetkých bodoch x=(x 1, X 2, …, X n ) je rovnaký, t.j. ?1=?2=…=?n =?. Potom zákon normálneho rozdelenia Yi vyzerá ako:

V dôsledku série meraní došlo k nasledujúcej udalosti: náhodné premenné (y 1*,y 2*, …, yn *).

Popis zvoleného softvérového produktu

Mathcad - systém počítačovej algebry z triedy systémov počítačom podporovaného návrhu<#"justify">4. Praktická časť

Úlohou štúdie je predpovedať ceny benzínu. Prvotná informácia je 36-týždňový časový rad – od mája 2012 do decembra 2012.

Štatistické údaje (36 týždňov) sú prezentované v matici Y. Ďalej vytvoríme maticu H, ktorá bude potrebná na nájdenie vektora A.

Uveďme počiatočné údaje a hodnoty vypočítané pomocou modelu:

Na posúdenie kvality modelu používame koeficient determinácie.

Najprv nájdime priemernú hodnotu Xs:

Časť rozptylu, ktorá je spôsobená regresiou, v celkovom rozptyle ukazovateľa Y charakterizuje koeficient determinácie R2.

Koeficient determinácie, nadobúda hodnoty od -1 do +1. Čím je jeho hodnota koeficientu modulo bližšie k 1, tým je vzťah efektívneho znaku Y so skúmanými faktormi X užší.

Hodnota koeficientu determinácie slúži ako dôležité kritérium pre hodnotenie kvality lineárnych a nelineárnych modelov. Čím väčší je podiel vysvetlenej variácie, tým menšia je úloha ostatných faktorov, čo znamená, že regresný model sa dobre približuje počiatočným údajom a takýto regresný model je možné použiť na predpovedanie hodnôt efektívneho ukazovateľa. Získali sme koeficient determinácie R2 = 0,78, teda regresná rovnica vysvetľuje 78 % rozptylu efektívneho znaku a 22 % jeho rozptylu (t. j. reziduálneho rozptylu) pripadá na podiel iných faktorov.

Preto sme dospeli k záveru, že model je adekvátny.

Na základe získaných údajov je možné urobiť prognózu cien pohonných látok na 37. týždeň roku 2013. Vzorec na výpočet je nasledujúci:

Vypočítaná predpoveď pomocou tohto modelu: cena benzínu je 10,434 UAH.

Záver

V tomto článku sme ukázali možnosť vykonania regresnej analýzy na predpovedanie cien benzínu na budúce obdobia. Cieľom práce v kurze bolo upevniť si vedomosti v kurze „Matematické metódy operačného výskumu“ a získať zručnosti vo vývoji softvéru, ktorý umožňuje automatizovať operačný výskum v danej tematickej oblasti.

Predpoveď budúcej ceny benzínu samozrejme nie je jednoznačná, čo je spôsobené zvláštnosťami počiatočných údajov a vyvinutých modelov. Na základe získaných informácií je však opodstatnené predpokladať, že ceny benzínu samozrejme v najbližšom období neklesnú, ale s najväčšou pravdepodobnosťou zostanú na rovnakej úrovni alebo mierne porastú. Samozrejme, faktory súvisiace s očakávaniami spotrebiteľov, colnou politikou a mnohými ďalšími faktormi sa tu neberú do úvahy, ale rád by som poznamenal, že sú vo veľkej miere vzájomne splatiteľné . A bolo by celkom rozumné poznamenať, že prudký skok v cenách benzínu je v súčasnosti skutočne mimoriadne pochybný, čo v prvom rade súvisí s politikou vlády.

Bibliografia

1.Buyul A., Zöfel P. SPSS: umenie spracovania informácií. Analýza štatistických údajov a obnova skrytých vzorov - Petrohrad: OOO "DiaSoftUP", 2001. - 608 s.

2. Internetové zdroje http://www.ukrstat.gov.ua/

3. Internetové zdroje http://index.minfin.com.ua/

Internetové zdroje http://fx-commodities.ru/category/oil/

Doučovanie

Potrebujete pomôcť s učením témy?

Naši odborníci vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odošlite žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.

V školskom vzdelávacom systéme sa čoraz viac rozširuje projektová metóda, ktorá má obrovský potenciál pre formovanie neveršálnych vzdelávacích aktivít, no len ťažko „napasovať“ projektovú metódu do tried. Miništúdium zaraďujem do bežnej hodiny. Táto forma práce otvára veľké príležitosti na formovanie kognitívnej činnosti a zabezpečuje zohľadnenie individuálnych charakteristík študentov, pripravuje pôdu pre rozvoj zručností na veľkých projektoch.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

"Ak sa študent v škole nenaučil sám nič vytvárať, potom v živote bude iba napodobňovať, kopírovať, pretože je málo tých, ktorí by sa naučili kopírovať a boli schopní tieto informácie samostatne aplikovať." L. N. Tolstoj.

Charakteristickou črtou moderného vzdelávania je prudký nárast množstva informácií, ktoré sa žiaci potrebujú naučiť. A stupeň rozvoja žiaka sa meria a hodnotí jeho schopnosťou samostatne získavať nové poznatky a využívať ich vo výchovno-vzdelávacej a praktickej činnosti. Moderný pedagogický proces si vyžaduje využívanie inovatívnych technológií vo vyučovaní.

Federálny štátny vzdelávací štandard novej generácie vyžaduje vo výchovno-vzdelávacom procese využívať technológie činnosti typu, metódy projektovania a výskumnej činnosti sú definované ako jedna z podmienok realizácie hlavného vzdelávacieho programu.

Na hodinách matematiky sa takýmto aktivitám venuje osobitná úloha a nie je to náhodné. Matematika je kľúčom k pochopeniu sveta, základom vedecko-technického pokroku a dôležitou zložkou rozvoja osobnosti. Je navrhnutý tak, aby kultivoval v človeku schopnosť porozumieť významu úlohy, ktorá mu bola pridelená, schopnosť logicky uvažovať, naučiť sa zručnosti algoritmického myslenia.

Je dosť ťažké začleniť metódu projektu do systému tried. Snažím sa inteligentne skombinovať tradičný a na študenta zameraný systém začlenením výskumných prvkov do bežnej vyučovacej hodiny. Uvediem niekoľko príkladov.

Takže pri štúdiu témy „Kruh“ vedieme so študentmi nasledujúcu štúdiu.

Matematická štúdia "Kruh".

1. Premýšľajte o tom, ako vytvoriť kruh, aké nástroje sú na to potrebné. Označenie kruhu.
2. Aby sme mohli definovať kruh, pozrime sa, aké vlastnosti má tento geometrický útvar. Spojme stred kruhu s bodom patriacim do kruhu. Poďme zmerať dĺžku tohto segmentu. Pokus zopakujeme trikrát. Urobme záver.
3. Úsečka spájajúca stred kruhu s ktorýmkoľvek bodom na ňom sa nazýva polomer kruhu. Toto je definícia polomeru. Polomerový zápis. Pomocou tejto definície zostrojte kruh s polomerom 2 cm 5 mm.
4. Zostrojte kružnicu s ľubovoľným polomerom. Zostavte polomer, zmerajte ho. Zaznamenajte výsledky merania. Postavte ďalšie tri rôzne polomery. Koľko polomerov možno nakresliť v kruhu.
5. Skúsme, poznajúc vlastnosť bodov kružnice, dať jej definíciu.
6. Zostrojte kružnicu s ľubovoľným polomerom. Spojte dva body kruhu tak, aby tento segment prechádzal stredom kruhu. Tento segment sa nazýva priemer. Definujme priemer. Označenie priemeru. Postavte ďalšie tri priemery. Koľko priemerov má kruh.
7. Zostrojte kružnicu s ľubovoľným polomerom. Zmerajte priemer a polomer. Porovnajte ich. Experiment zopakujte ešte trikrát s rôznymi kruhmi. Urobte záver.
8. Spojte ľubovoľné dva body na kruhu. Výsledný segment sa nazýva akord. Definujme akord. Zostavte ďalšie tri akordy. Koľko akordov má kruh.
9. Je polomer tetiva. Dokázať to.
10. Je priemer tetivy. Dokázať to.

Výskumné práce môžu mať propedeutický charakter. Po preskúmaní kruhu môžete zvážiť množstvo zaujímavých vlastností, ktoré môžu študenti sformulovať na úrovni hypotézy, a potom túto hypotézu dokázať. Napríklad nasledujúca štúdia:

"Matematický výskum"

1. Zostrojte kruh s polomerom 3 cm a nakreslite jeho priemer. Pripojte konce priemeru k ľubovoľnému bodu na kruhu a zmerajte uhol, ktorý zvierajú tetivy. Vykonajte rovnaké konštrukcie pre ďalšie dva kruhy. Čo si všimnete.
2. Opakujte experiment pre kruh ľubovoľného polomeru a formulujte hypotézu. Dá sa to považovať za preukázané pomocou uskutočnených konštrukcií a meraní.

Pri štúdiu témy „Vzájomné usporiadanie čiar v rovine“ sa matematické štúdium vykonáva v skupinách.

Úlohy pre skupiny:

1. Skupina.

1. V jednom súradnicovom systéme nakreslite grafy funkcie

Y=2x, y=2x+7, y=2x+3, y=2x-4, y=2x-6.

2. Odpovedzte na otázky vyplnením tabuľky: