2. Modifikácie Gaussovej metódy

Gaussova metóda s výberom hlavného prvku. Hlavným obmedzením Gaussovej metódy je predpoklad, že všetky prvky, na ktoré sa delí v každom kroku pohybu vpred, nie sú rovné nule. Tieto prvky sa nazývajú hlavné prvky a nachádzajú sa na hlavnej diagonále matice A.

Ak sa v niektorom kroku posunu vpred hlavný prvok = 0, ďalšie riešenie systému je nemožné. Ak má hlavný prvok malú hodnotu blízku nule, potom je možné silné zvýšenie chyby v dôsledku prudkého nárastu absolútnej hodnoty koeficientov získaných v dôsledku delenia. V takýchto situáciách sa Gaussova metóda stáva nestabilnou.

Gaussova metóda s výberom hlavného prvku umožňuje vylúčiť výskyt takýchto prípadov.

Myšlienka tejto metódy je nasledovná. Pri niektorom k-tom kroku pohybu vpred nie je z rovníc vylúčená ďalšia premenná x k, ale taká premenná, ktorej koeficient je v absolútnej hodnote najväčší. To zaručuje absenciu delenia nulou a stabilitu metódy.

Ak sa v k-tom kroku zvolí ako hlavný prvok ¹, potom by sa mali v matici A¢ prehodiť riadky s číslami k a p a stĺpce s číslami k a q.

Permutácia riadkov nemá vplyv na riešenie, pretože zodpovedá permutácii rovníc v systéme, ale permutácia stĺpcov znamená zmenu v číslovaní premenných. Preto je potrebné zachovať informácie o všetkých permutovaných stĺpcoch, aby sa po dokončení spätného ťahu mohlo obnoviť pôvodné číslovanie premenných.

Gaussova metóda má dve jednoduchšie modifikácie:

S výberom hlavného prvku podľa stĺpca;

S výberom hlavného prvku po riadku.

V prvom prípade sa ako hlavný prvok vyberie najväčší prvok k-tého riadku (medzi prvkami , i = ). V druhom - najväčšom prvku absolútnej hodnoty k-tého stĺpca (medzi prvkami , i = ). Prvý prístup je najrozšírenejší, keďže sa tu nemení číslovanie premenných.

Treba poznamenať, že naznačené úpravy sa týkajú iba priameho priebehu Gaussovej metódy. Spätný pohyb sa vykoná bez zmien, ale po získaní riešenia môže byť potrebné obnoviť pôvodné číslovanie premenných.

LU rozklad. V modernom počítačovom softvéri je Gaussova metóda implementovaná pomocou LU-rozkladu, ktorý sa chápe ako zobrazenie matice koeficientov A ako súčinu A = LU dvoch matíc L a U, kde L je spodná trojuholníková matica, U je horná trojuholníková matrica

Ak sa získa LU rozklad, potom sa riešenie pôvodného systému rovníc (2) redukuje na postupné riešenie nasledujúcich dvoch systémov rovníc s trojuholníkovými maticami koeficientov.

lineárna algebraická rovnica numerický

kde Y = - vektor pomocných premenných.

Tento prístup umožňuje opakovane riešiť sústavy lineárnych rovníc s rôznymi pravými stranami B. V tomto prípade sa časovo najnáročnejšia časť (LU-rozklad matice A) vykoná len raz. Tento postup zodpovedá priamej Gaussovej metóde a má odhad vstupu práce O(n 3). Ďalšie riešenie sústav rovníc (6) a (7) je možné vykonávať opakovane (pre rôzne B), pričom riešenie každej z nich zodpovedá spätnému chodu Gaussovej metódy a má odhad výpočtovej zložitosti O (n 2).

Ak chcete získať rozklad LU, môžete použiť nasledujúci algoritmus.

1. Pre pôvodný systém (1) vykonajte priamu Gaussovu metódu a získajte sústavu trojuholníkových rovníc (5).

2. Určte prvky matice U podľa pravidla

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Vypočítajte prvky matice L podľa pravidiel

Výpočtové vzorce pre systém riešenia (6) sú nasledovné:

y 1 \u003d b 1 / l 11;

Výpočtové vzorce pre systém riešenia (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

Skutočné nájdenie inverznej matice je zároveň dosť namáhavý proces a jeho programovanie možno len ťažko nazvať elementárnou úlohou. Preto sa v praxi častejšie využívajú numerické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc. Medzi numerické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc patria napr.: Gaussova metóda, Cramerova metóda, iteračné metódy. V Gaussovej metóde sa napríklad pracuje na...

35437 x4 = 0,58554 5 x1 = 1,3179137 x2 = -1,59467 x3 = 0,35371 x4 = 0,58462 6 x1 = 1,3181515 x2 = -1,59506 funkcia x3 x4 = axi, 7 bod in55 okolia x4 = 0,35467 x3 = 0,35467 x4 = 0,58462 je diferencovateľný dostatočný počet krát. ...

V Turbo Pascal 7.0 na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc pomocou metódy jednoduchej iterácie. 1.2 Matematická formulácia úlohy Nech A je nesingulárna matica a potrebujeme vyriešiť systém, v ktorom sú diagonálne prvky matice A nenulové. 1.3 Prehľad existujúcich numerických metód riešenia problému Gaussova metóda V Gaussovej metóde je matica SLAE pomocou ekvivalentných ...

čísla). Ďalej, podľa vzorcov (2), xn-1, xn-2,..., x1 sa postupne nachádzajú pre i=n-1, n-2,...,1, v tomto poradí. Riešenie rovníc tvaru (1) je teda popísané metódou nazývanou sweep metóda, ktorá je zredukovaná na výpočty pomocou troch jednoduchých vzorcov: zistenie takzvaných sweep koeficientov δi, λi pomocou vzorcov (3) pre i= 1,2,…,n (priame zametanie) a potom neznáme xi podľa...

(SLAE), pozostávajúce z rovníc s neznámymi:

Predpokladá sa, že existuje jedinečné riešenie systému, t.j.

Tento článok sa bude zaoberať príčinami chyby, ktorá sa vyskytuje pri riešení systému pomocou Gaussovej metódy, spôsobmi, ako túto chybu identifikovať a odstrániť (redukovať).

Popis metódy

Proces riešenia sústavy lineárnych rovníc

podľa Gaussovej metódy pozostáva z 2 etáp:

1. Predpokladáme, že . Potom vydelíme prvú rovnicu sústavy koeficientom, čím dostaneme rovnicu. Potom sa od každej zo zostávajúcich rovníc odčíta prvá a vynásobí sa príslušným koeficientom. Výsledkom je transformácia sústavy do tvaru: 2. Za predpokladu, že druhú rovnicu vydelíme koeficientom a neznámu vylúčime zo všetkých nasledujúcich rovníc atď. 3. Dostaneme sústavu rovníc s trojuholníkovou maticou:

• Spätné priame určenie neznámych

1. Z tej rovnice sústavy určíme 2. Z th - určíme atď.

Analýza metódy

Táto metóda patrí do triedy priamych metód riešenia sústavy rovníc, čo znamená, že presné riešenie možno získať v konečnom počte krokov za predpokladu, že vstupné údaje (matica a pravá strana rovnice - ) sú presne špecifikované a výpočet sa vykoná bez zaokrúhľovania. Na získanie riešenia sú potrebné násobenia a delenie, teda poradie operácií.

Podmienky, za ktorých metóda produkuje presné riešenie, sú v praxi nerealizovateľné - chyby vstupných údajov aj chyby zaokrúhľovania sú nevyhnutné. Potom vyvstáva otázka: aké presné je možné získať riešenie pomocou Gaussovej metódy, aká správna je metóda? Stanovme stabilitu riešenia vzhľadom na vstupné parametre. Spolu s pôvodným systémom zvážte narušený systém:

Nech sa zavedie nejaká norma. - sa nazýva číslo podmienky matice.

Možné sú 3 prípady:

Číslo podmienky matice je vždy . Ak je veľký () , potom sa hovorí, že matica je zle podmienená. V tomto prípade malé poruchy na pravej strane systému, spôsobené buď nepresnosťami v nastavení počiatočných údajov, alebo spôsobené chybami vo výpočtoch, výrazne ovplyvňujú riešenie systému. Zhruba povedané, ak je chyba na pravej strane , potom chyba riešenia bude .

Získané výsledky ilustrujme na nasledujúcom číselnom príklade: Daný systém

Má riešenie.

Teraz zvážte narušený systém:

Riešením takéhoto systému je vektor .

Pri veľmi malej perturbácii pravej strany sme získali neúmerne veľkú perturbáciu roztoku. Túto „nespoľahlivosť“ riešenia možno vysvetliť skutočnosťou, že matica je takmer degenerovaná: čiary zodpovedajúce dvom rovniciam sa takmer zhodujú, ako je možné vidieť na grafe:

Takýto výsledok by sa dal očakávať v dôsledku zlej podmienenosti matice:

Výpočet je pomerne zložitý, porovnateľný s riešením celého systému, preto sa na odhad chyby používajú hrubšie, ale ľahko realizovateľné metódy.

Metódy odhadovania chýb

1) Kontrolná suma: sa zvyčajne používa na zabránenie náhodným chybám v procese výpočtu bez pomoci počítačov.

Vyrábame ovládací stĺpik pozostávajúci z ovládacích prvkov systému:

Pri transformácii rovníc sa na riadiacich prvkoch vykonávajú rovnaké operácie ako na voľných členoch rovníc. V dôsledku toho sa riadiaci prvok každej novej rovnice musí rovnať súčtu koeficientov tejto rovnice. Veľký rozdiel medzi nimi naznačuje chyby vo výpočtoch alebo nestabilitu algoritmu výpočtu vo vzťahu k chybe výpočtu.

2) Relatívna chyba známeho riešenia umožňuje bez významných dodatočných nákladov získať úsudok o chybe riešenia.

Určitý vektor je daný s komponentmi, ktoré majú, pokiaľ je to možné, rovnaké poradie a znamienko ako komponenty požadovaného riešenia. Vypočíta sa vektor a spolu s pôvodným systémom rovníc sa systém vyrieši.

Nechať a byť skutočne získané riešenia týchto systémov. Úsudok o chybe požadovaného riešenia možno získať na základe hypotézy: relatívne chyby pri riešení eliminačnou metódou systémov s rovnakou maticou a rôznymi pravými stranami, ktoré sa líšia hodnotami a . nie veľmi veľakrát.

3) Zmena mierky - technika používaná na získanie predstavy o skutočnej hodnote chyby, ktorá sa vyskytuje v dôsledku zaokrúhľovania vo výpočtoch.

Spolu s pôvodným systémom je systém riešený rovnakou metódou

, kde a sú čísla

Ak by nedošlo k chybe v zaokrúhľovaní, potom by pre riešenia pôvodného a škálovaného systému platila rovnosť: . Preto pre a , ktoré nie sú mocninami dvoch, porovnanie vektorov a poskytuje predstavu o veľkosti výpočtovej chyby

Zlepšenie Gaussovej eliminácie

Úpravy Gaussovej metódy uvedené nižšie umožňujú znížiť chybu výsledku.

Výber hlavného prvku

Hlavný nárast chyby v metóde nastáva pri pohybe vpred, keď sa vodiaci riadok násobí koeficientmi. Ak sú koeficienty 1%20" alt=" >1 ">, potom chyby získané v predchádzajúcich krokoch sú Gaussian s výberom hlavného prvku V každom kroku sa do obvyklej schémy pridáva výber maximálneho prvku podľa stĺpca takto:

Pri odstraňovaní neznámych nech získame nasledujúcu sústavu rovníc:

, .

Nájdite takú a vymeňte -té a -té rovnice.

Takáto transformácia v mnohých prípadoch výrazne znižuje citlivosť riešenia na zaokrúhľovacie chyby vo výpočtoch.

Iteratívne zlepšenie výsledku

Ak existuje podozrenie, že získané riešenie je silne skreslené, potom je možné výsledok zlepšiť nasledovne. Množstvo sa nazýva zostatok. Chyba vyhovuje sústave rovníc

.

Vyriešením tohto systému získame aproximáciu a množinu

.

Ak je presnosť tejto aproximácie neuspokojivá, potom túto operáciu zopakujeme.

Proces môže pokračovať, kým nie sú všetky komponenty dostatočne malé. V tomto prípade nemožno výpočty zastaviť len preto, že všetky zložky reziduálneho vektora sú dostatočne malé: môže to byť výsledkom zlej podmienenosti matice koeficientov.

Číselný príklad

Zoberme si napríklad maticu 7x7 Vandermonde a 2 rôzne pravé strany:

Tieto systémy boli riešené dvoma spôsobmi. Typ údajov je float. V dôsledku toho sme dostali nasledujúce výsledky:

Konvenčný spôsob
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

S výberom vedúceho prvku po riadku
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3,57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

Jedným z najjednoduchších spôsobov riešenia sústavy lineárnych rovníc je metóda založená na výpočte determinantov ( Cramerovo pravidlo). Jeho výhodou je, že umožňuje okamžite zaznamenať riešenie, je to výhodné najmä v prípadoch, keď systémové koeficienty nie sú čísla, ale nejaké parametre. Jeho nevýhodou je ťažkopádnosť výpočtov v prípade veľkého množstva rovníc, navyše Cramerovo pravidlo nie je priamo aplikovateľné na systémy, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych. V takýchto prípadoch sa zvyčajne používa Gaussova metóda.

Sústavy lineárnych rovníc, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalent. Je zrejmé, že množina riešení lineárneho systému sa nezmení, ak dôjde k zámene rovníc, alebo ak sa jedna z rovníc vynásobí nejakým nenulovým číslom, alebo ak sa jedna rovnica pridá k druhej.

Gaussova metóda (metóda postupného odstraňovania neznámych) spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa systém redukuje na ekvivalentný stupňovitý systém. Najprv pomocou 1. rovnice X 1 všetkých nasledujúcich rovníc systému. Potom pomocou 2. rovnice eliminujeme X 2 z 3. a všetky nasledujúce rovnice. Tento proces, tzv priama Gaussova metóda, pokračuje, kým na ľavej strane poslednej rovnice nezostane iba jedna neznáma x n. Potom je vyrobený Gaussov reverz– riešenie poslednej rovnice, nájdeme x n; potom pomocou tejto hodnoty vypočítame z predposlednej rovnice x n-1 atď. Naposledy nájdeme X 1 z prvej rovnice.

Je vhodné vykonávať gaussovské transformácie vykonávaním transformácií nie so samotnými rovnicami, ale s maticami ich koeficientov. Zvážte maticu:

volal rozšírený maticový systém, pretože okrem hlavnej matice systému obsahuje stĺpec voľných členov. Gaussova metóda je založená na uvedení hlavnej matice systému do trojuholníkového tvaru (alebo lichobežníkového tvaru v prípade neštvorcových systémov) pomocou elementárnych riadkových transformácií (!) rozšírenej matice systému.

Príklad 5.1. Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou prvého riadku potom nastavíme ostatné prvky na nulu:

dostaneme nuly v 2., 3. a 4. riadku prvého stĺpca:

Teraz potrebujeme, aby sa všetky prvky v druhom stĺpci pod 2. riadkom rovnali nule. Ak to chcete urobiť, môžete vynásobiť druhý riadok -4/7 a pridať k tretiemu riadku. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, v 2. riadku druhého stĺpca vytvoríme jednotku a len

Teraz, aby ste získali trojuholníkovú maticu, musíte vynulovať prvok štvrtého riadku 3. stĺpca, na tento účel môžete vynásobiť tretí riadok 8/54 a pridať ho do štvrtého. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, prehodíme 3. a 4. riadok a 3. a 4. stĺpec a až potom vynulujeme zadaný prvok. Všimnite si, že keď sú stĺpce preusporiadané, zodpovedajúce premenné sú vymenené, a to je potrebné mať na pamäti; iné elementárne transformácie so stĺpcami (sčítanie a násobenie číslom) nie je možné vykonať!

Posledná zjednodušená matica zodpovedá sústave rovníc ekvivalentnej tej pôvodnej:

Odtiaľto pomocou opačného priebehu Gaussovej metódy zistíme zo štvrtej rovnice X 3 = -1; z tretieho X 4 = -2, od druhého X 2 = 2 az prvej rovnice X 1 = 1. V maticovom tvare sa odpoveď zapíše ako

Uvažovali sme o prípade, keď je systém určitý, t.j. keď je len jedno riešenie. Pozrime sa, čo sa stane, ak je systém nekonzistentný alebo neurčitý.

Príklad 5.2. Preskúmajte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému

Napíšeme zjednodušený systém rovníc:

Tu v poslednej rovnici vyšlo, že 0=4, t.j. rozpor. Preto systém nemá riešenie, t.j. ona je nezlučiteľné. à

Príklad 5.3. Preskúmajte a vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému:

V dôsledku transformácií boli v poslednom riadku získané iba nuly. To znamená, že počet rovníc sa znížil o jednu:

Po zjednodušeniach teda zostávajú dve rovnice a štyri neznáme, t.j. dve neznáme „navyše“. Nech je „nadbytočné“, alebo, ako sa hovorí, voľné premenné, bude X 3 a X 4. Potom

Za predpokladu X 3 = 2a a X 4 = b, dostaneme X 2 = 1–a a X 1 = 2b–a; alebo v matricovej forme

Takto napísané riešenie sa nazýva všeobecný, pretože zadaním parametrov a a b rôzne hodnoty, je možné popísať všetky možné riešenia systému. a

Gaussova metóda, nazývaná aj metóda postupného odstraňovania neznámych, spočíva v nasledujúcom. Pomocou elementárnych transformácií sa systém lineárnych rovníc dostane do takej formy, že jeho matica koeficientov sa ukáže ako lichobežníkový (rovnaký ako trojuholníkový alebo stupňovitý) alebo v blízkosti lichobežníka (priamy priebeh Gaussovej metódy, potom - len priamy pohyb). Príklad takéhoto systému a jeho riešenie je na obrázku vyššie.

V takomto systéme posledná rovnica obsahuje iba jednu premennú a jej hodnotu možno jednoznačne nájsť. Potom sa hodnota tejto premennej dosadí do predchádzajúcej rovnice ( Gaussov reverz , potom - iba spätný pohyb), z ktorej sa nájde predchádzajúca premenná atď.

V lichobežníkovom (trojuholníkovom) systéme, ako vidíme, tretia rovnica už neobsahuje premenné r a X, a druhá rovnica - premenná X .

Potom, čo matica systému nadobudne lichobežníkový tvar, už nie je ťažké vyriešiť otázku kompatibility systému, určiť počet riešení a nájsť riešenia samotné.

Výhody metódy:

1. pri riešení sústav lineárnych rovníc s viac ako tromi rovnicami a neznámymi nie je Gaussova metóda taká ťažkopádna ako Cramerova metóda, keďže pri riešení Gaussovej metódy je potrebných menej výpočtov;
2. pomocou Gaussovej metódy môžete riešiť neurčité sústavy lineárnych rovníc, to znamená, že majú spoločné riešenie (a budeme ich analyzovať v tejto lekcii) a pomocou Cramerovej metódy môžete iba konštatovať, že systém je neistý;
3. môžete riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych nerovná počtu rovníc (v tejto lekcii ich tiež rozoberieme);
4. metóda je založená na elementárnych (školských) metódach - metóda dosadzovania neznámych a metóda sčítania rovníc, ktorých sme sa dotkli v zodpovedajúcom článku.

Aby bol každý presiaknutý jednoduchosťou, s akou sa riešia lichobežníkové (trojuholníkové, stupňovité) sústavy lineárnych rovníc, uvádzame riešenie takejto sústavy pomocou spätného ťahu. Rýchle riešenie tohto systému bolo znázornené na obrázku na začiatku hodiny.

Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou spätného pohybu:

rozhodnutie. V tomto lichobežníkovom systéme je premenná z sa jednoznačne zistí z tretej rovnice. Jej hodnotu dosadíme do druhej rovnice a dostaneme hodnotu premennej r:

Teraz poznáme hodnoty dvoch premenných - z a r. Dosadíme ich do prvej rovnice a dostaneme hodnotu premennej X:

Z predchádzajúcich krokov vypíšeme riešenie sústavy rovníc:

Aby sme získali taký lichobežníkový systém lineárnych rovníc, ktorý sme vyriešili veľmi jednoducho, je potrebné použiť priamy pohyb spojený s elementárnymi transformáciami systému lineárnych rovníc. Tiež to nie je veľmi ťažké.

Elementárne transformácie sústavy lineárnych rovníc

Opakovaním školskej metódy algebraického sčítania rovníc sústavy sme zistili, že do jednej z rovníc sústavy možno pridať ďalšiu rovnicu sústavy a každú z rovníc vynásobiť nejakými číslami. Výsledkom je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná danej sústave. V nej už jedna rovnica obsahovala len jednu premennú, ktorej dosadením hodnoty do iných rovníc sa dostávame k riešeniu. Takéto sčítanie je jedným z typov elementárnej transformácie systému. Pri použití Gaussovej metódy môžeme použiť niekoľko typov transformácií.

Animácia vyššie ukazuje, ako sa sústava rovníc postupne mení na lichobežníkový. Teda ten, ktorý ste videli pri úplne prvej animácii a ubezpečili ste sa, že v ňom je ľahké nájsť hodnoty všetkých neznámych. Ako vykonať takúto transformáciu a samozrejme príklady, o tom sa bude diskutovať ďalej.

Pri riešení sústav lineárnych rovníc s ľubovoľným počtom rovníc a neznámych v sústave rovníc a v rozšírenej matici sústavy môcť:

1. swap linky (toto bolo spomenuté na samom začiatku tohto článku);
2. ak sa v dôsledku iných transformácií objavia rovnaké alebo proporcionálne čiary, možno ich vymazať, s výnimkou jednej;
3. vymazať "nulové" riadky, kde sa všetky koeficienty rovnajú nule;
4. vynásobte alebo vydeľte ľubovoľný reťazec nejakým číslom;
5. pridajte do ľubovoľného riadku ďalší riadok vynásobený nejakým číslom.

Výsledkom transformácií je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná danej sústave.

Algoritmus a príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc so štvorcovou maticou sústavy Gaussovou metódou

Uvažujme najprv o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych rovná počtu rovníc. Matica takéhoto systému je štvorcová, to znamená, že počet riadkov v nej sa rovná počtu stĺpcov.

Príklad 2 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pri riešení sústav lineárnych rovníc školskými metódami sme jednu z rovníc vynásobili člen po člen určitým číslom, takže koeficienty prvej premennej v dvoch rovniciach boli opačné čísla. Pri pridávaní rovníc táto premenná odpadá. Gaussova metóda funguje podobným spôsobom.

Na zjednodušenie vzhľadu riešenia zostavte rozšírenú maticu systému:

V tejto matici sú koeficienty neznámych umiestnené vľavo pred zvislou čiarou a voľné členy sú vpravo za zvislou čiarou.

Pre pohodlie delenia koeficientov premenných (na získanie delenia jednou) zameňte prvý a druhý riadok systémovej matice. Získame systém ekvivalentný danému systému, pretože v systéme lineárnych rovníc je možné rovnice preusporiadať:

S novou prvou rovnicou odstrániť premennú X z druhej a všetkých nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok vynásobený (v našom prípade ) do druhého riadku matice a prvý riadok vynásobený (v našom prípade ) do tretieho riadku.

To je možné, pretože

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, potom by sa prvý riadok mal pridať do všetkých nasledujúcich rovníc, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov, braných so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že získame maticu ekvivalentnú danému systému nového systému rovníc, v ktorom všetky rovnice počnúc od 2. neobsahujú premennú X :

Aby sme zjednodušili druhý riadok výsledného systému, vynásobíme ho a opäť dostaneme maticu systému rovníc ekvivalentnú tomuto systému:

Teraz, keď ponecháme prvú rovnicu výsledného systému nezmenenú, pomocou druhej rovnice eliminujeme premennú r zo všetkých nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý riadok vynásobený (v našom prípade ) k tretiemu riadku matice systému.

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, potom by sa do všetkých nasledujúcich rovníc mal pridať druhý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že opäť získame maticu systému ekvivalentnú danému systému lineárnych rovníc:

Získali sme lichobežníkový systém lineárnych rovníc ekvivalentný danému:

Ak je počet rovníc a premenných väčší ako v našom príklade, potom proces postupnej eliminácie premenných pokračuje, kým sa matica systému nestane lichobežníkovou, ako v našom demo príklade.

Nájdeme riešenie „od konca“ – obrátene. Pre to z poslednej rovnice určíme z:
.
Nahradením tejto hodnoty do predchádzajúcej rovnice Nájsť r:

Z prvej rovnice Nájsť X:

Odpoveď: riešenie tohto systému rovníc - .

: v tomto prípade bude daná rovnaká odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie. Ak má systém nekonečný počet riešení, bude mať aj odpoveď, a to je predmetom piatej časti tejto lekcie.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sami a potom sa pozrite na riešenie

Pred nami je opäť príklad konzistentného a určitého systému lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych. Rozdiel oproti nášmu ukážkovému príkladu z algoritmu je v tom, že už existujú štyri rovnice a štyri neznáme.

Príklad 4 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na vylúčenie premennej z nasledujúcich rovníc. Urobme nejaké prípravné práce. Aby to bolo pohodlnejšie s pomerom koeficientov, musíte získať jednotku v druhom stĺpci druhého riadku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí riadok od druhého riadku a vynásobte výsledný druhý riadok -1.

Urobme teraz samotnú elimináciu premennej z tretej a štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý, vynásobený , do tretieho riadku a druhý, násobený , do štvrtého.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, do štvrtého riadku pridajte tretí, vynásobený . Získame rozšírenú matricu lichobežníkového tvaru.

Získali sme sústavu rovníc, ktorá je ekvivalentná danej sústave:

Preto sú výsledné a dané systémy konzistentné a určité. Konečné riešenie nájdeme „od konca“. Zo štvrtej rovnice môžeme priamo vyjadriť hodnotu premennej „x štvrtá“:

Túto hodnotu dosadíme do tretej rovnice sústavy a dostaneme

,

,

Nakoniec, nahradenie hodnoty

V prvej rovnici dáva

,

kde nájdeme "x prvé":

Odpoveď: Tento systém rovníc má jedinečné riešenie. .

Riešenie systému si môžete skontrolovať aj na kalkulačke, ktorá rieši Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

Riešenie aplikovaných úloh Gaussovou metódou na príklade úlohy pre zliatiny

Systémy lineárnych rovníc sa používajú na modelovanie reálnych objektov fyzického sveta. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov - pre zliatiny. Podobné úlohy - úlohy pre zmesi, cenu alebo mernú hmotnosť jednotlivých tovarov v skupine tovarov a podobne.

Príklad 5 Tri kusy zliatiny majú celkovú hmotnosť 150 kg. Prvá zliatina obsahuje 60% medi, druhá - 30%, tretia - 10%. Zároveň je v druhej a tretej zliatine spolu o 28,4 kg medi menej ako v prvej zliatine a v tretej zliatine je medi o 6,2 kg menej ako v druhej. Nájdite hmotnosť každého kusu zliatiny.

rozhodnutie. Zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 10 dostaneme ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

Zložíme rozšírenú maticu systému:

Pozor, priamy ťah. Pridaním (v našom prípade odčítaním) jedného riadku, vynásobeného číslom (aplikujeme dvakrát), nastanú s rozšírenou maticou systému tieto transformácie:

Rovný beh sa skončil. Získali sme rozšírenú matricu lichobežníkového tvaru.

Použime naopak. Nájdeme riešenie od konca. To vidíme.

Z druhej rovnice zistíme

Z tretej rovnice -

Riešenie systému si môžete skontrolovať aj na kalkulačke, ktorá rieši Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

O jednoduchosti Gaussovej metódy svedčí fakt, že nemeckému matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi jej vynájdenie trvalo len 15 minút. Popri metóde jeho mena z Gaussovho diela je akýmsi stručným návodom na objavovanie výrok „To, čo sa nám zdá neuveriteľné a neprirodzené, nemýlime s absolútne nemožným“.

V mnohých aplikovaných úlohách nemusí byť tretie obmedzenie, teda tretia rovnica, vtedy je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc s tromi neznámymi Gaussovou metódou, alebo naopak neznámych je menej ako rovníc. Teraz začneme riešiť takéto sústavy rovníc.

Pomocou Gaussovej metódy môžete určiť, či je niektorý systém konzistentný alebo nekonzistentný n lineárne rovnice s n premenné.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení

Ďalším príkladom je konzistentný, ale neurčitý systém lineárnych rovníc, to znamená, že má nekonečný počet riešení.

Po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému (permutovanie riadkov, násobenie a delenie riadkov určitým číslom, pridávanie jedného riadka k druhému), riadky formulára

Ak vo všetkých rovniciach majú tvar

Voľné členy sú rovné nule, to znamená, že systém je neurčitý, to znamená, že má nekonečný počet riešení a rovnice tohto typu sú „nadbytočné“ a sú zo systému vylúčené.

Príklad 6

rozhodnutie. Zostavme rozšírenú maticu systému. Potom pomocou prvej rovnice odstránime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, do druhého, tretieho a štvrtého riadku pridajte prvý, vynásobený , v tomto poradí:

Teraz pridajme druhý riadok k tretiemu a štvrtému.

V dôsledku toho sa dostávame k systému

Posledné dve rovnice sa stali rovnicami tvaru . Tieto rovnice sú splnené pre akékoľvek hodnoty neznámych a môžu byť vyradené.

Aby sme splnili druhú rovnicu, môžeme zvoliť ľubovoľné hodnoty pre a , potom bude hodnota pre určená jednoznačne: . Z prvej rovnice je tiež jednoznačne nájdená hodnota pre: .

Daný aj posledný systém sú kompatibilné, ale neurčité, a vzorce

za ľubovoľné a dajte nám všetky riešenia daného systému.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc, ktoré nemajú riešenia

Nasledujúci príklad je nekonzistentný systém lineárnych rovníc, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Odpoveď na takéto problémy je formulovaná nasledovne: systém nemá riešenia.

Ako už bolo spomenuté v súvislosti s prvým príkladom, po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému, riadkov formulára

zodpovedajúca rovnici tvaru

Ak je medzi nimi aspoň jedna rovnica s nenulovým voľným členom (t.j. ), potom je táto sústava rovníc nekonzistentná, to znamená, že nemá riešenia, a tým je jej riešenie dokončené.

Príklad 7 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Zostavíme rozšírenú maticu systému. Pomocou prvej rovnice vylúčime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý vynásobený do druhého riadku, prvý vynásobený tretím riadkom a prvý vynásobený štvrtým riadkom.

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na vylúčenie premennej z nasledujúcich rovníc. Aby sme získali celočíselné pomery koeficientov, prehodíme druhý a tretí riadok rozšírenej matice systému.

Ak chcete vylúčiť z tretej a štvrtej rovnice, pridajte druhú, vynásobenú , do tretieho riadku a druhú, násobenú , do štvrtého.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, do štvrtého riadku pridajte tretí, vynásobený .

Daný systém je teda ekvivalentný nasledovnému:

Výsledný systém je nekonzistentný, pretože jeho posledná rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych. Preto tento systém nemá žiadne riešenia.

Gaussova metóda skvelé na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). V porovnaní s inými metódami má niekoľko výhod:

• po prvé, nie je potrebné vopred skúmať kompatibilitu systému rovníc;
• po druhé, Gaussovu metódu možno použiť nielen na riešenie SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a hlavná matica systému je nedegenerovaná, ale aj na riešenie systémov rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje. s počtom neznámych premenných alebo determinantom hlavnej matice sa rovná nule;
• po tretie, Gaussova metóda vedie k výsledku s relatívne malým počtom výpočtových operácií.

Krátky prehľad článku.

Najprv uvedieme potrebné definície a zavedieme nejakú notáciu.

Ďalej popíšeme algoritmus Gaussovej metódy pre najjednoduchší prípad, teda pre sústavy lineárnych algebraických rovníc, počet rovníc, v ktorých sa zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice sústavy nie je rovná nule. Pri riešení takýchto sústav rovníc je najzreteľnejšie viditeľná podstata Gaussovej metódy, ktorá spočíva v postupnej eliminácii neznámych premenných. Preto sa Gaussova metóda nazýva aj metóda postupného odstraňovania neznámych. Ukážme si podrobné riešenia niekoľkých príkladov.

Na záver uvažujeme o Gaussovom riešení systémov lineárnych algebraických rovníc, ktorých hlavná matica je buď pravouhlá alebo degenerovaná. Riešenie takýchto systémov má niektoré vlastnosti, ktoré si podrobne rozoberieme na príkladoch.

Navigácia na stránke.

Základné definície a zápisy.

Uvažujme sústavu p lineárnych rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n):

Kde sú neznáme premenné, sú čísla (reálne alebo komplexné), sú voľné členy.

Ak , potom sa nazýva sústava lineárnych algebraických rovníc homogénne, inak - heterogénne.

Nazýva sa množina hodnôt neznámych premenných, v ktorých sa všetky rovnice systému menia na identity rozhodnutie SLAU.

Ak existuje aspoň jedno riešenie systému lineárnych algebraických rovníc, potom sa nazýva kĺb, inak - nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý. Ak existuje viac riešení, potom sa volá systém neistý.

Systém je vraj napísaný súradnicový formulár ak má formu
.

Tento systém v matricový formulár záznamov má tvar , kde - hlavná matica SLAE, - matica stĺpca neznámych premenných, - matica voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Štvorcová matica A sa nazýva degenerovať ak je jeho determinant nula. Ak , potom sa volá matica A nedegenerované.

Treba poznamenať nasledujúci bod.

Ak sa nasledujúce akcie vykonajú so systémom lineárnych algebraických rovníc

• vymeniť dve rovnice,
• vynásobte obe strany akejkoľvek rovnice ľubovoľným a nenulovým reálnym (alebo komplexným) číslom k,
• k obom častiam ktorejkoľvek rovnice pridajte zodpovedajúce časti druhej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom k,

potom dostaneme ekvivalentný systém, ktorý má rovnaké riešenia (alebo ako ten pôvodný nemá žiadne riešenia).

Pre rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc budú tieto akcie znamenať elementárne transformácie s riadkami:

• výmena dvoch strún
• násobenie všetkých prvkov ľubovoľného riadku matice T nenulovým číslom k ,
• pridanie k prvkom ľubovoľného riadku matice zodpovedajúcich prvkov iného riadku, vynásobené ľubovoľným číslom k .

Teraz môžeme pristúpiť k popisu Gaussovej metódy.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych a hlavná matica sústavy je nedegenerovaná, Gaussovou metódou.

Čo by sme robili v škole, keby sme dostali za úlohu nájsť riešenie sústavy rovníc .

Niektorí by tak urobili.

Všimnite si, že pridaním ľavej strany prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice a pravej strany k pravej strane sa môžete zbaviť neznámych premenných x 2 a x 3 a okamžite nájsť x 1:

Nájdenú hodnotu x 1 \u003d 1 dosadíme do prvej a tretej rovnice systému:

Ak obe časti tretej rovnice sústavy vynásobíme -1 a pripočítame ich k zodpovedajúcim častiam prvej rovnice, zbavíme sa neznámej premennej x 3 a môžeme nájsť x 2:

Získanú hodnotu x 2 \u003d 2 dosadíme do tretej rovnice a nájdeme zostávajúcu neznámu premennú x 3:

Iní by urobili inak.

Vyriešme prvú rovnicu sústavy vzhľadom na neznámu premennú x 1 a výsledný výraz dosadíme do druhej a tretej rovnice sústavy, aby sme z nich túto premennú vylúčili:

Teraz vyriešme druhú rovnicu systému vzhľadom na x 2 a získaný výsledok dosadíme do tretej rovnice, aby sme z nej vylúčili neznámu premennú x 2:

Z tretej rovnice systému je zrejmé, že x 3 = 3. Z druhej rovnice zistíme a z prvej rovnice dostaneme .

Známe riešenia, však?

Tu je najzaujímavejšie, že druhá metóda riešenia je v podstate metóda postupnej eliminácie neznámych, teda Gaussova metóda. Keď sme vyjadrili neznáme premenné (prvé x 1 , ďalšie x 2 ) a dosadili ich do zvyšku rovníc systému, tým sme ich vylúčili. Výnimku sme vykonávali až do momentu, keď posledná rovnica ostala len o jednej neznámej premennej. Proces postupnej eliminácie neznámych je tzv priama Gaussova metóda. Po dokončení pohybu vpred máme možnosť vypočítať neznámu premennú v poslednej rovnici. S jeho pomocou z predposlednej rovnice nájdeme ďalšiu neznámu premennú atď. Proces postupného hľadania neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Je potrebné poznamenať, že keď vyjadríme x 1 ako x 2 a x 3 v prvej rovnici a potom dosadíme výsledný výraz do druhej a tretej rovnice, nasledujúce akcie vedú k rovnakému výsledku:

Takýto postup nám skutočne umožňuje vylúčiť neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému:

Nuansy s elimináciou neznámych premenných Gaussovou metódou vznikajú vtedy, keď rovnice systému neobsahujú nejaké premenné.

Napríklad v SLAU v prvej rovnici nie je žiadna neznáma premenná x 1 (inými slovami, koeficient pred ňou je nula). Preto nemôžeme vyriešiť prvú rovnicu systému vzhľadom na x 1, aby sme túto neznámu premennú vylúčili zo zvyšku rovníc. Východiskom z tejto situácie je výmena rovníc systému. Keďže uvažujeme o sústavách lineárnych rovníc, ktorých determinanty hlavných matíc sú odlišné od nuly, vždy existuje rovnica, v ktorej je prítomná premenná, ktorú potrebujeme, a túto rovnicu môžeme preusporiadať do polohy, ktorú potrebujeme. Pre náš príklad stačí prehodiť prvú a druhú rovnicu sústavy , potom môžete vyriešiť prvú rovnicu pre x 1 a vylúčiť ju zo zvyšku rovníc systému (hoci x 1 už v druhej rovnici chýba).

Dúfame, že pochopíte podstatu.

Poďme popísať Algoritmus Gaussovej metódy.

Potrebujeme vyriešiť sústavu n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými tvaru , a nech je determinant jeho hlavnej matice nenulový.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhú rovnicu vynásobenú k tretej rovnici systému, pridajte druhú vynásobenú k štvrtej rovnici atď., Pridajte druhú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z rovnice. prvá rovnica.

Analyzujme algoritmus na príklade.

Príklad.

Gaussova metóda.

rozhodnutie.

Koeficient a 11 je rôzny od nuly, pristúpme teda k priamemu priebehu Gaussovej metódy, teda k eliminácii neznámej premennej x 1 zo všetkých rovníc sústavy, okrem prvej. Ak to chcete urobiť, do ľavej a pravej časti druhej, tretej a štvrtej rovnice pridajte ľavú a pravú časť prvej rovnice, vynásobte, resp. a:

Neznáma premenná x 1 bola eliminovaná, prejdime k vylúčeniu x 2 . K ľavej a pravej časti tretej a štvrtej rovnice sústavy pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené a :

Aby sme dokončili dopredný priebeh Gaussovej metódy, musíme z poslednej rovnice systému vylúčiť neznámu premennú x 3. Pridajte k ľavej a pravej strane štvrtej rovnice, respektíve ľavú a pravú stranu tretej rovnice, vynásobte :

Môžete začať opačný priebeh Gaussovej metódy.

Z poslednej rovnice, ktorú máme ,
z tretej rovnice dostaneme,
z druhej
od prvého.

Pre kontrolu môžete získané hodnoty neznámych premenných dosadiť do pôvodného systému rovníc. Všetky rovnice sa menia na identity, čo znamená, že riešenie Gaussovou metódou bolo nájdené správne.

odpoveď:

A teraz uvedieme riešenie toho istého príkladu Gaussovou metódou v maticovom tvare.

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy rovníc Gaussova metóda.

rozhodnutie.

Rozšírená matica systému má tvar . Nad každým stĺpcom sú napísané neznáme premenné, ktoré zodpovedajú prvkom matice.

Priamy priebeh Gaussovej metódy tu zahŕňa uvedenie rozšírenej matice systému do lichobežníkového tvaru pomocou elementárnych transformácií. Tento proces je podobný vylúčeniu neznámych premenných, ktoré sme urobili so systémom v súradnicovej forme. Teraz sa o tom presvedčíte.

Transformujme maticu tak, aby všetky prvky v prvom stĺpci, počnúc druhým, boli nulové. Ak to chcete urobiť, k prvkom druhého, tretieho a štvrtého riadku pridajte zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , a na príslušnom poradí:

Potom transformujeme výslednú maticu tak, že v druhom stĺpci sa všetky prvky, počnúc tretím, stanú nulovými. To by zodpovedalo vylúčeniu neznámej premennej x 2 . Za týmto účelom pridajte k prvkom tretieho a štvrtého riadku zodpovedajúce prvky prvého riadku matice, vynásobené a :

Zostáva vylúčiť neznámu premennú x 3 z poslednej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, k prvkom posledného riadku výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky predposledného riadku, vynásobené :

Treba poznamenať, že táto matica zodpovedá systému lineárnych rovníc

ktorý bol získaný skôr po priamom ťahu.

Je čas obrátiť sa späť. V maticovom tvare zápisu pri reverznom priebehu Gaussovej metódy ide o takú transformáciu výslednej matice, aby matica označená na obr.

sa stal diagonálnym, to znamená, že nadobudol formu

kde sú nejaké čísla.

Tieto transformácie sú podobné ako pri Gaussovej metóde, ale nevykonávajú sa od prvého riadku po posledný, ale od posledného po prvý.

Pridajte k prvkom tretieho, druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky posledného riadku, vynásobené , ďalej a ďalej v tomto poradí:

Teraz pridajme k prvkom druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené, resp.

V poslednom kroku spätného pohybu Gaussovej metódy pridáme zodpovedajúce prvky druhého radu, vynásobené , k prvkom prvého radu:

Výsledná matica zodpovedá sústave rovníc , z ktorej nájdeme neznáme premenné.

odpoveď:

POZNÁMKA.

Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc sa treba vyhnúť približným výpočtom, pretože to môže viesť k absolútne nesprávnym výsledkom. Odporúčame nezaokrúhľovať desatinné miesta. Je lepšie prejsť z desatinných zlomkov na bežné zlomky.

Príklad.

Riešte systém troch rovníc Gaussovou metódou .

rozhodnutie.

Všimnite si, že v tomto príklade majú neznáme premenné iné označenie (nie x 1 , x 2 , x 3 , ale x, y, z ). Prejdime k obyčajným zlomkom:

Odstráňte neznáme x z druhej a tretej rovnice systému:

Vo výslednom systéme nie je žiadna neznáma premenná y v druhej rovnici a y je prítomné v tretej rovnici, preto prehodíme druhú a tretiu rovnicu:

V tomto bode je priamy priebeh Gaussovej metódy ukončený (netreba vylučovať y z tretej rovnice, keďže táto neznáma premenná už neexistuje).

Poďme späť.

Z poslednej rovnice zistíme ,
od predposledného


z prvej rovnice, ktorú máme

odpoveď:

X = 10, y = 5, z = -20.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych alebo je hlavná matica sústavy degenerovaná, Gaussovou metódou.

Systémy rovníc, ktorých hlavná matica je obdĺžniková alebo štvorcová degenerovaná, nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo môžu mať nekonečný počet riešení.

Teraz pochopíme, ako nám Gaussova metóda umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistenciu sústavy lineárnych rovníc av prípade jej kompatibility určiť všetky riešenia (alebo jedno riešenie).

Proces eliminácie neznámych premenných v prípade takýchto SLAE zostáva v zásade rovnaký. Je však potrebné podrobne sa zaoberať niektorými situáciami, ktoré môžu nastať.

Prejdime k najdôležitejšiemu kroku.

Predpokladajme teda, že systém lineárnych algebraických rovníc po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy nadobudne tvar a žiadna z rovníc zredukovaná na (v tomto prípade by sme dospeli k záveru, že systém je nekonzistentný). Vzniká logická otázka: „Čo ďalej“?

Vypíšeme neznáme premenné, ktoré sú na prvom mieste všetkých rovníc výsledného systému:

V našom príklade sú to x 1 , x 4 a x 5 . V ľavých častiach rovníc sústavy necháme len tie členy, ktoré obsahujú vypísané neznáme premenné x 1, x 4 a x 5, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu rovníc s opačným znamienkom:

Priraďme ľubovoľné hodnoty neznámym premenným, ktoré sú na pravej strane rovníc, kde - ľubovoľné čísla:

Potom sa čísla nachádzajú v správnych častiach všetkých rovníc nášho SLAE a môžeme prejsť na opačný priebeh Gaussovej metódy.

Z poslednej rovnice sústavy máme , z predposlednej rovnice nájdeme , z prvej rovnice dostaneme

Riešením systému rovníc je množina hodnôt neznámych premenných

Dávať čísla rôzne hodnoty, dostaneme rôzne riešenia sústavy rovníc. To znamená, že náš systém rovníc má nekonečne veľa riešení.

odpoveď:

kde - ľubovoľné čísla.

Na konsolidáciu materiálu podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých ďalších príkladov.

Príklad.

Vyriešte homogénny systém lineárnych algebraických rovníc Gaussova metóda.

rozhodnutie.

Vylúčme neznámu premennú x z druhej a tretej rovnice systému. Ak to chcete urobiť, pridajte ľavú a pravú časť prvej rovnice k ľavej a pravej časti druhej rovnice, vynásobte číslom a k ľavej a pravej časti tretej rovnice, ľavú a pravú časť prvá rovnica, vynásobená:

Teraz vylúčime y z tretej rovnice výsledného systému rovníc:

Výsledný SLAE je ekvivalentný systému .

Na ľavej strane rovníc systému necháme len členy obsahujúce neznáme premenné x a y a na pravú stranu prenesieme členy s neznámou premennou z: