Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú dané napr. Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najcharakteristickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú spojenie medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.
Navigácia na stránke.
Vietov teorém, formulácia, dôkaz
Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 tvaru , kde D=b 2 −4 a c , vyplývajú vzťahy x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:
Veta.
Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .
Dôkaz.
Vietovu vetu dokážeme podľa nasledujúcej schémy: súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice zostavíme pomocou známych koreňových vzorcov, výsledné výrazy potom transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b /a a c/a.
Začnime súčtom koreňov, poskladajte to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme. V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec po 2 dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.
Poskladáme súčin koreňov kvadratickej rovnice:. Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako. Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť rozdiel štvorcov vzorca, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže vzorec D=b 2 −4 a·c zodpovedá diskriminantu kvadratickej rovnice, potom b 2 −4·a·c môžeme dosadiť do posledného zlomku namiesto D, dostaneme . Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných členov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.
Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz vety Vieta bude mať stručnú formu:
,
.
Zostáva len poznamenať, že keď je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti pre D=0 je koreň kvadratickej rovnice , potom a , a keďže D=0 , to znamená b 2 −4·a·c=0 , odkiaľ b 2 =4·a·c , potom .
V praxi sa Vietov teorém najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s najvyšším koeficientom a rovným 1 ) tvaru x 2 +p·x+q=0 . Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, keďže akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch jej častí nenulovým číslom a. Tu je zodpovedajúca formulácia Vietovej vety:
Veta.
Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q \u003d 0 sa rovná koeficientu v x, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov je voľný člen, tj x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Veta inverzná k Vietovej vete
Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, tvrdenie, ktoré sa obracia k Vietovej vete, je pravdivé. Sformulujeme to vo forme vety a dokážeme to.
Veta.
Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 +x 2 =−p a x 1 x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 .
Dôkaz.
Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p x+q=0 ich vyjadrenia cez x 1 a x 2 sa prevedie na ekvivalentnú rovnicu.
Do výslednej rovnice dosadíme číslo x 1 namiesto x, máme rovnosť x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, čo je pre ľubovoľné x 1 a x 2 správna číselná rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p x+q=0 .
Ak v rovnici x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 dosaďte číslo x 2 namiesto x, potom dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Toto je správna rovnica, pretože x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a teda rovnice x 2 + p x + q = 0 .
Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovej vete.
Príklady použitia Vietovej vety
Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej inverznej vety. V tejto podkapitole rozoberieme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.
Začneme aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné ho použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú splnené obidva tieto vzťahy, potom na základe vety, ktorá sa obracia k Vietovej vete, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.
Príklad.
Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?
rozhodnutie.
Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety sa súčet koreňov kvadratickej rovnice musí rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov sa musí rovnať c/a, teda 9. /4.
Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s práve získanými hodnotami.
V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2 . Výsledná hodnota je iná ako 4, preto nie je možné vykonať ďalšie overenie, ale pomocou vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme okamžite usúdiť, že prvá dvojica čísel nie je dvojicou koreňov danej kvadratickej rovnice. .
Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Skontrolujeme druhú podmienku: , výsledná hodnota je iná ako 9/4 . Preto druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.
Ostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.
odpoveď:
Veta, opak Vietovej vety, sa dá v praxi použiť na výber koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. Zároveň využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom sú tieto čísla korene tejto kvadratickej rovnice. Vyrovnajme sa s tým na príklade.
Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0 . Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti x 1 + x 2 \u003d 5 a x 1 x 2 \u003d 6. Zostáva vybrať také čísla. V tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2 3=6 . 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.
Veta konverzná k Vietovej vete je obzvlášť vhodná na nájdenie druhého koreňa redukovanej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade sa druhý koreň nájde z ktoréhokoľvek zo vzťahov.
Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x−3=0 . Tu je ľahké vidieť, že jednotka je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je nula. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, odkiaľ x 2 =−3/512. Takže sme definovali oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.
Je zrejmé, že výber koreňov je účelný len v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch, ak chcete nájsť korene, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice cez diskriminant.
Ďalšou praktickou aplikáciou vety, inverznou k Vietovej vete, je zostavenie kvadratických rovníc pre dané korene x 1 a x 2. Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.
Príklad.
Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla −11 a 23.
rozhodnutie.
Označme x 1 = -11 a x 2 = 23 . Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 + x 2 \u003d 12 a x 1 x 2 \u003d −253. Preto sú tieto čísla koreňmi danej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom -12 a voľným členom -253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.
odpoveď:
x 2 −12 x−253=0 .
Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 ? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:
- Ak je voľný člen q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú oba kladné alebo záporné.
- Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.
Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Zvážte príklady ich aplikácie.
Príklad.
R je kladné. Podľa diskriminačného vzorca zistíme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r , teda D>0 pre akékoľvek reálne r . Preto má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.
Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znaky. Ak sú znamienka koreňov rozdielne, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety súčin koreňov danej kvadratickej rovnice rovný voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, musíme vyriešiť lineárnu nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .
odpoveď:
na r<1 .
Vieta vzorce
Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, štvornásobných rovníc a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Nazývajú sa Vieta vzorce.
Vietove vzorce píšeme pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru, pričom predpokladáme, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť rovnaké): 
Získať vzorce Vieta umožňuje polynomiálna faktorizačná veta, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom súčine a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame vzorce Vieta.
Najmä pre n=2 už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu .
Pre kubickú rovnicu majú vzorce Vieta tvar 
Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Vieta sú elementárne tzv symetrické polynómy.
Bibliografia.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Prvý výrok hovorí, že súčet koreňov tejto rovnice sa rovná hodnote koeficientu premennej x (v tomto prípade je to b), ale s opačným znamienkom. Vizuálne to vyzerá takto: x1 + x2 = −b.
Druhý výrok už nesúvisí so súčtom, ale so súčinom tých istých dvoch koreňov. Tento súčin sa rovná voľnému koeficientu, t.j. c. Alebo x1 * x2 = c. Oba tieto príklady sú riešené v systéme.
Vietov teorém značne zjednodušuje riešenie, má však jedno obmedzenie. Kvadratická rovnica, ktorej korene možno nájsť pomocou tejto techniky, sa musí zredukovať. Vo vyššie uvedenej rovnici pre koeficient a sa ten pred x2 rovná jednej. Akákoľvek rovnica môže byť redukovaná do podobného tvaru vydelením výrazu prvým koeficientom, ale táto operácia nie je vždy racionálna.
Dôkaz vety
Na začiatok by sme si mali pripomenúť, ako je podľa tradície zvykom hľadať korene kvadratickej rovnice. Nájdeme prvý a druhý koreň, a to: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Vo všeobecnosti deliteľné 2a, ale ako už bolo spomenuté, vetu možno použiť iba vtedy, keď a=1.Z Vietovej vety je známe, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu so znamienkom mínus. To znamená, že x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
To isté platí pre súčin neznámych koreňov: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Na druhej strane D = b2-4c (opäť s a=1). Ukazuje sa, že výsledok je: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Z vyššie uvedeného jednoduchého dôkazu možno vyvodiť len jeden záver: Vietov teorém je úplne potvrdený.
Druhá formulácia a dôkaz
Vietov teorém má iný výklad. Presnejšie povedané, nejde o výklad, ale o formuláciu. Faktom je, že ak sú splnené rovnaké podmienky ako v prvom prípade: existujú dva rôzne skutočné korene, potom je možné vetu napísať v inom vzorci.Táto rovnosť vyzerá takto: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ak sa funkcia P(x) pretína v dvoch bodoch x1 a x2, potom ju možno zapísať ako P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). V prípade, že P má druhý stupeň a presne tak vyzerá pôvodný výraz, potom R je prvočíslo, konkrétne 1. Toto tvrdenie je pravdivé z toho dôvodu, že inak nebude platiť rovnosť. Koeficient x2 pri otváraní zátvoriek by nemal byť väčší ako jedna a výraz by mal zostať štvorcový.
Vietov teorém sa často používa na testovanie už nájdených koreňov. Ak ste našli korene, môžete použiť vzorce \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) na výpočet hodnôt \(p\ ) a \(q\ ). A ak sa ukáže, že sú rovnaké ako v pôvodnej rovnici, korene sa nájdu správne.
Použime napríklad , vyriešme rovnicu \(x^2+x-56=0\) a získajme korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Skontrolujme, či sme v procese riešenia neurobili chybu. V našom prípade \(p=1\) a \(q=-56\). Podľa Vietovej vety máme:
\(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\koniec (prípadov)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)-1=-1\\-56=-56\koniec (prípady)\ )
Obidva výroky konvergovali, čo znamená, že rovnicu sme vyriešili správne.
Tento test je možné vykonať ústne. Bude to trvať 5 sekúnd a ušetrí vás to od hlúpych chýb.
Inverzná Vieta veta
Ak \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\), potom \(x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi kvadratickej rovnice \ (x^ 2+px+q=0\).
Alebo jednoduchým spôsobom: ak máte rovnicu v tvare \(x^2+px+q=0\), tak vyriešením sústavy \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) nájdete jeho korene.
Vďaka tejto vete môžete rýchlo nájsť korene kvadratickej rovnice, najmä ak sú tieto korene . Táto zručnosť je dôležitá, pretože šetrí veľa času.
Príklad . Vyriešte rovnicu \(x^2-5x+6=0\).
rozhodnutie
: Pomocou inverznej Vietovej vety dostaneme, že korene spĺňajú podmienky: \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\koniec(prípady)\).
Pozrite sa na druhú rovnicu systému \(x_1 \cdot x_2=6\). Na aké dve sa dá rozložiť číslo \(6\)? Na \(2\) a \(3\), \(6\) a \(1\) alebo \(-2\) a \(-3\) a \(-6\) a \(- jeden\). A ktorý pár si vybrať, prvá rovnica systému povie: \(x_1+x_2=5\). \(2\) a \(3\) sú podobné, pretože \(2+3=5\).
Odpoveď
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Príklady
. Pomocou inverznej hodnoty Vietovej vety nájdite korene kvadratickej rovnice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
rozhodnutie
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - na aké faktory sa \(14\) rozkladá? \(2\) a \(7\), \(-2\) a \(-7\), \(-1\) a \(-14\), \(1\) a \(14\ ). Aké dvojice čísel tvoria \(15\)? Odpoveď: \(1\) a \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(-4\)? \(-2\) a \(2\), \(4\) a \(-1\), \(1\) a \(-4\). Aké dvojice čísel tvoria \(-3\)? Odpoveď: \(1\) a \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – na aké faktory sa rozkladá \(20\)? \(4\) a \(5\), \(-4\) a \(-5\), \(2\) a \(10\), \(-2\) a \(-10\ ), \(-20\) a \(-1\), \(20\) a \(1\). Aké dvojice čísel tvoria \(-9\)? Odpoveď: \(-4\) a \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(780\)? \(390\) a \(2\). Súčet je \(88\)? nie Aké ďalšie multiplikátory má \(780\)? \(78\) a \(10\). Súčet je \(88\)? Áno. Odpoveď: \(78\) a \(10\).
Nie je potrebné rozkladať posledný člen na všetky možné faktory (ako v poslednom príklade). Môžete okamžite skontrolovať, či ich súčet dáva \(-p\).
Dôležité! Vietova veta a opačná veta pracujú iba s , teda s takou, ktorej koeficient pred \(x^2\) sa rovná jednej. Ak máme na začiatku neredukovanú rovnicu, môžeme ju zredukovať jednoduchým delením koeficientom pred \ (x ^ 2 \).
napríklad, nech je daná rovnica \(2x^2-4x-6=0\) a chceme použiť jednu z Vietových viet. Ale nemôžeme, pretože koeficient pred \(x^2\) sa rovná \(2\). Zbavme sa toho tak, že celú rovnicu vydelíme \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Pripravený. Teraz môžeme použiť obe vety.
Odpovede na často kladené otázky
otázka:
Vietovou vetou dokážete vyriešiť akýkoľvek ?
odpoveď:
Bohužiaľ nie. Ak v rovnici nie sú celé čísla alebo rovnica nemá žiadne korene, potom Vietova veta nepomôže. V tomto prípade musíte použiť diskriminačný
. Našťastie 80 % rovníc v školskom kurze matematiky má celočíselné riešenia.
Kvadratická funkcia.
Funkcia daná vzorcom y = ax2 + bx + c , kde x a y sú premenné a a, b, c sú dané čísla, pričom a sa nerovná 0 .
volal kvadratickej funkcie
Výber celého štvorca.
Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice, podmienky ich existencie a čísla.
je diskriminant kvadratickej rovnice.
Vietove priame a inverzné vety.
Rozklad štvorcového trojčlenu na lineárne faktory.
Veta. Nechať byť
X 1 a X 2 - odmocniny štvorcového trojčlenuX 2 + px + q. Potom sa táto trojčlenka rozloží na lineárne faktory takto:X 2 + px + q = (X - X 1) (X - X 2).Dôkaz. Nahradiť namiesto
p a qich prejavy cezX 1 a X 2 a použite metódu zoskupovania:x 2 + px + q = X 2 - (X 1 + X 2 ) X + X 1 X 2 = X 2 - X 1 X - X 2 X + X 1 X 2 = X (X - X 1 ) - X 2 (X - X 1 ) = = (X - X 1 ) (X - X 2 ). Veta bola dokázaná.
Kvadratická rovnica. Štvorcový trojčlenný pozemok
Typ rovnice
sa nazýva kvadratická rovnica. Číslo D = b 2 - 4ac je diskriminantom tejto rovnice.
Ak
potom čísla
sú korene (alebo riešenia) kvadratickej rovnice. Ak D = 0, korene sa zhodujú:
Ak D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Platné vzorce:
- Vieta vzorce; a
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
faktorizačný vzorec.
Graf kvadratickej funkcie (štvorcový trinom) y \u003d ax 2 + bx + c je parabola. Umiestnenie paraboly v závislosti od znamienok koeficientu a a diskriminantu D je znázornené na obr.
Čísla x 1 a x 2 na osi x sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + + c \u003d 0; súradnice vrcholu paraboly (bod A) vo všetkých prípadoch
priesečník paraboly s osou y má súradnice (0; c).
Parabola rozdeľuje rovinu na dve časti, podobne ako priamka a kružnica. V jednej z týchto častí súradnice všetkých bodov spĺňajú nerovnosť y > ax 2 + bx + c a v druhej opačne. Znamienko nerovnosti vo vybranej časti roviny sa určí tak, že sa nájde v niektorom bode tejto časti roviny.
Zvážte koncept dotyčnice k parabole (alebo kruhu). Priamka y - kx + 1 sa bude nazývať dotyčnica k parabole (alebo kružnici), ak má s touto krivkou jeden spoločný bod.
V bode dotyku M(x; y) pre parabolu je splnená rovnosť kx + 1 = ax 2 + bx + c (pre kružnicu rovnosť (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0)2 - R2). Prirovnaním diskriminantu výslednej kvadratickej rovnice k nule (keďže rovnica musí mať jednoznačné riešenie) sa dostaneme k podmienkam výpočtu koeficientov dotyčnice.
Vietov teorém
Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1)
.
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.
Poznámka o viacerých koreňoch
Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.
Dôkaz jeden
Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.
Nájdenie súčtu koreňov:
.
Na nájdenie produktu použijeme vzorec:
.
Potom
.
Veta bola dokázaná.
Dôkaz dva
Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otvárame zátvorky.
.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.
Veta bola dokázaná.
Inverzná Vieta veta
Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2)
;
(3)
.
Dôkaz Vietovej konverznej vety
Zvážte kvadratickú rovnicu
(1)
.
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).
Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme členy ľavej strany rovnice:
;
;
(4)
.
Nahradiť v (4):
;
.
Nahradiť v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).
Veta bola dokázaná.
Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu
Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5)
,
kde , a sú nejaké čísla. A .
Rovnicu (5) delíme takto:
.
To znamená, že sme dostali vyššie uvedenú rovnicu
,
kde ; .
Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.
Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.
Vietova veta pre kubickú rovnicu
Podobne môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6)
,
kde , , , sú nejaké čísla. A .
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7)
,
kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom
.
Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.
Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa
Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.
Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;
.
Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom dáme rovnítko medzi koeficienty , , , ... a porovnáme voľný člen.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacích inštitúcií, Moskva, Vzdelávanie, 2006.
