Koncepty fraktálnej a fraktálnej geometrie, ktoré sa objavili koncom 70. rokov, sa od polovice 80. rokov pevne udomácnili v každodennom živote matematikov a programátorov. Slovo fraktál je odvodené z latinského fractus a v preklade znamená pozostávajúci z úlomkov. Benoit Mandelbrot v roku 1975 navrhol odkazovať na nepravidelné, ale sebe podobné štruktúry, ktoré študoval. Zrod fraktálnej geometrie sa zvyčajne spája s vydaním Mandelbrotovej knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977. Vo svojich prácach využíva vedecké výsledky iných vedcov, ktorí v rokoch 1875-1925 pracovali v rovnakej oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ale až v našej dobe bolo možné spojiť ich diela do jedného systému.
Úloha fraktálov v počítačovej grafike je dnes pomerne veľká. Na pomoc prichádzajú napríklad vtedy, keď je potrebné pomocou niekoľkých koeficientov definovať línie a plochy veľmi zložitého tvaru. Z hľadiska počítačovej grafiky je fraktálna geometria nevyhnutná pre generovanie umelých mrakov, hôr a hladiny mora. V skutočnosti sa našiel spôsob, ako jednoducho reprezentovať zložité neeuklidovské objekty, ktorých obrazy sú veľmi podobné prírodným.
Jednou z hlavných vlastností fraktálov je sebepodobnosť. V najjednoduchšom prípade malá časť fraktálu obsahuje informácie o celom fraktále. Mandelbrotova definícia fraktálu je nasledovná: "Fraktál je štruktúra pozostávajúca z častí, ktoré sú v istom zmysle podobné celku."

Existuje veľké množstvo matematických objektov nazývaných fraktály (Sierpinského trojuholník, Kochova snehová vločka, Peanova krivka, Mandelbrotova množina a Lorentzove atraktory). Fraktály s veľkou presnosťou opisujú mnohé fyzikálne javy a útvary reálneho sveta: hory, oblaky, turbulentné (vírové) prúdy, korene, konáre a listy stromov, krvné cievy, čo ani zďaleka nezodpovedá jednoduchým geometrickým tvarom. Benoit Mandelbrot po prvýkrát hovoril o fraktálnej povahe nášho sveta vo svojom kľúčovom diele „Fraktálna geometria prírody“.
Pojem fraktál zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1977 vo svojom základnom diele „Fractals, Form, Chaos and Dimension“. Podľa Mandelbrota slovo fraktál pochádza z latinských slov fractus – zlomkový a frangere – zlomiť, čo odráža podstatu fraktálu ako „rozbitej“, nepravidelnej množiny.

Klasifikácia fraktálov.

Aby bolo možné reprezentovať celú škálu fraktálov, je vhodné uchýliť sa k ich všeobecne akceptovanej klasifikácii. Existujú tri triedy fraktálov.

1. Geometrické fraktály.

Fraktály tejto triedy sú najzreteľnejšie. V dvojrozmernom prípade sa získavajú pomocou lomenej čiary (alebo plochy v trojrozmernom prípade) nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu je každý zo segmentov tvoriacich prerušovanú čiaru nahradený generátorom prerušovaných čiar vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu sa získa geometrický fraktál.

Zoberme si napríklad jeden z takýchto fraktálnych objektov - Kochovu triadickú krivku.

Konštrukcia triadickej Kochovej krivky.

Zoberme si priamku s dĺžkou 1. Nazvime ju semienko. Semienko si rozdelíme na tri rovnaké časti dĺžky 1/3, strednú časť vyhodíme a nahradíme prerušovanou čiarou dvoch článkov dĺžky 1/3.

Dostaneme prerušovanú čiaru, pozostávajúcu zo 4 článkov o celkovej dĺžke 4/3,- tzv prvá generácia.

Aby sme mohli prejsť na ďalšiu generáciu Kochovej krivky, je potrebné vyradiť a nahradiť strednú časť každého článku. Podľa toho bude dĺžka druhej generácie 16/9, tretia - 64/27. ak budete pokračovať v tomto procese do nekonečna, výsledkom bude triadická Kochova krivka.

Uvažujme teraz o svätej triadickej Kochovej krivke a zistime, prečo sa fraktály nazývali „monštrá“.

Po prvé, táto krivka nemá žiadnu dĺžku – ako sme videli, s počtom generácií sa jej dĺžka blíži k nekonečnu.

Po druhé, k tejto krivke nie je možné zostrojiť dotyčnicu – každý jej bod je inflexným bodom, v ktorom derivácia neexistuje – táto krivka nie je hladká.

Dĺžka a hladkosť sú základné vlastnosti kriviek, ktoré študuje tak euklidovská geometria, ako aj geometria Lobačevského a Riemanna. Tradičné metódy geometrickej analýzy sa ukázali ako neaplikovateľné na triadickú Kochovu krivku, takže Kochova krivka sa ukázala ako monštrum – „monštrum“ medzi hladkými obyvateľmi tradičných geometrií.

Stavba „draka“ Harter-Hateway.

Ak chcete získať ďalší fraktálny objekt, musíte zmeniť pravidlá konštrukcie. Nech tvoriacim prvkom sú dva rovnaké segmenty spojené v pravom uhle. V nulovej generácii nahradíme jednotkový segment týmto generujúcim prvkom tak, aby bol uhol hore. Môžeme povedať, že pri takejto výmene dochádza k posunu v strede článku. Pri konštrukcii ďalších generácií sa postupuje podľa pravidla: úplne prvý článok vľavo je nahradený generujúcim prvkom tak, že stred článku je posunutý doľava od smeru pohybu a pri výmene ďalších článkov je smery posunutia stredov segmentov sa musia striedať. Obrázok ukazuje niekoľko prvých generácií a 11. generáciu krivky postavenej podľa princípu opísaného vyššie. Krivka s n smerujúcou k nekonečnu sa nazýva Harter-Hatewayov drak.
V počítačovej grafike je použitie geometrických fraktálov nevyhnutné pri získavaní obrázkov stromov a kríkov. Dvojrozmerné geometrické fraktály sa používajú na vytváranie trojrozmerných textúr (vzorov na povrchu objektu).

2. Algebraické fraktály

Toto je najväčšia skupina fraktálov. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerných priestoroch. Najviac študované sú dvojrozmerné procesy. Interpretáciou nelineárneho iteračného procesu ako diskrétneho dynamického systému je možné použiť terminológiu teórie týchto systémov: fázový portrét, proces v ustálenom stave, atraktor atď.
Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktorov. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami je možné získať farebný fázový portrét tohto systému (iteračný proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s efektnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité netriviálne štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.

Sada Mandelbrot.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu súpravu. Algoritmus na jeho konštrukciu je pomerne jednoduchý a je založený na jednoduchom iteratívnom výraze: Z = Z[i] * Z[i] + C, kde Zi a C sú komplexné premenné. Iterácie sa vykonávajú pre každý počiatočný bod z obdĺžnikovej alebo štvorcovej oblasti - podmnožiny komplexnej roviny. Iteračný proces pokračuje až do Z[i] neprekročí kružnicu s polomerom 2, ktorej stred leží v bode (0,0), (to znamená, že atraktor dynamického systému je v nekonečne), alebo po dostatočne veľkom počte iterácií (napr. , 200 – 500) Z[i] zbieha do nejakého bodu na kruhu. V závislosti od počtu iterácií, počas ktorých Z[i] zostal vo vnútri kruhu, môžete nastaviť farbu bodu C(ak Z[i] zostane vo vnútri kruhu dostatočne veľký počet iterácií, proces iterácie sa zastaví a tento rastrový bod sa zafarbí na čierno).

3. Stochastické fraktály

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektorý z ich parametrov náhodne zmení v iteratívnom procese. Výsledkom sú objekty veľmi podobné prírodným – asymetrické stromy, členité pobrežia atď. Dvojrozmerné stochastické fraktály sa používajú pri modelovaní terénu a hladiny mora.
Existujú aj iné klasifikácie fraktálov, napríklad rozdelenie fraktálov na deterministické (algebraické a geometrické) a nedeterministické (stochastické).

O použití fraktálov

Po prvé, fraktály sú oblasťou úžasného matematického umenia, keď sa pomocou najjednoduchších vzorcov a algoritmov získavajú obrázky mimoriadnej krásy a zložitosti! V kontúrach vytvorených obrázkov sa často hádajú listy, stromy a kvety.

Jedna z najvýkonnejších aplikácií fraktálov spočíva v počítačovej grafike. Jednak je to fraktálna kompresia obrázkov, jednak stavba krajiny, stromov, rastlín a generovanie fraktálnych textúr. Moderná fyzika a mechanika len začínajú študovať správanie fraktálnych objektov. A samozrejme, fraktály sa aplikujú priamo v matematike samotnej.
Výhody algoritmov kompresie fraktálnych obrázkov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zabalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby sa objavili pixely. Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých kúskov obrazu podobných niektorým malým kúskom. A do výstupného súboru sa zapíše len to, ktorý kus je tomu podobný. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová mriežka (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková mriežka takúto nevýhodu nemá.
Iterated vyvinul nový obrazový formát „Sting“, ktorý kombinuje fraktálovú a „vlnovú“ (napríklad jpeg) bezstratovú kompresiu. Nový formát umožňuje vytvárať obrázky s možnosťou následného kvalitného škálovania a objem grafických súborov je 15-20% objemu nekomprimovaných obrázkov.
Tendenciu fraktálov vyzerať ako hory, kvety a stromy využívajú niektoré grafické editory, napríklad fraktálne oblaky od 3D štúdia MAX, fraktálne hory vo World Builder. Fraktálne stromy, hory a celé krajiny sú dané jednoduchými vzorcami, ľahko sa programujú a pri priblížení sa nerozpadnú na samostatné trojuholníky a kocky.
Nemôžete ignorovať použitie fraktálov v samotnej matematike. V teórii množín Cantorova množina dokazuje existenciu dokonalých nikde hustých množín; v teórii mier je dobrým príkladom funkcie singulárnej distribúcie mier funkcia „Cantorovho rebríčka“.
V mechanike a fyzike sa fraktály používajú kvôli ich jedinečnej vlastnosti opakovať obrysy mnohých prírodných objektov. Fraktály vám umožňujú aproximovať stromy, horské povrchy a pukliny s vyššou presnosťou ako aproximácie pomocou úsečiek alebo polygónov (s rovnakým množstvom uložených údajov). Fraktálne modely, podobne ako prírodné objekty, majú „drsnosť“ a táto vlastnosť je zachovaná pri ľubovoľne veľkom náraste modelu. Prítomnosť jednotnej miery na fraktáloch umožňuje použiť integráciu, teóriu potenciálu, použiť ich namiesto štandardných objektov v už preštudovaných rovniciach.
S fraktálovým prístupom chaos prestáva byť modrou poruchou a získava jemnú štruktúru. Fraktálna veda je stále veľmi mladá a má pred sebou veľkú budúcnosť. Krása fraktálov nie je ani zďaleka vyčerpaná a ešte nám dá mnoho majstrovských diel – tých, ktoré lahodia oku, aj tých, ktoré prinášajú skutočné potešenie do mysle.

O budovaní fraktálov

Metóda postupných aproximácií

Pri pohľade na tento obrázok nie je ťažké pochopiť, ako sa dá postaviť sebepodobný fraktál (v tomto prípade Sierpinského pyramída). Musíme si vziať obyčajnú pyramídu (tetrahedron), potom vystrihnúť jej stred (oktaedrón), v dôsledku čoho získame štyri malé pyramídy. S každým z nich vykonáme rovnakú operáciu atď. Toto je trochu naivné, ale názorné vysvetlenie.

Pozrime sa na podstatu metódy prísnejšie. Nech existuje nejaký IFS systém, t.j. systém mapovania kontrakcií S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (napríklad pre našu pyramídu vyzerajú zobrazenia ako S i (x)=1/2*x+o i , kde o i je vrcholy štvorstenu, i=1,..,4). Potom zvolíme nejakú kompaktnú množinu A 1 v R n (v našom prípade zvolíme štvorsten). A indukciou určíme postupnosť množín A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Je známe, že množiny A k s rastúcim k aproximujú požadovaný atraktor systému S.

Všimnite si, že každá z týchto iterácií je atraktor rekurentný systém iterovaných funkcií(Anglický výraz DigraphIFS, RIFS a tiež IFS riadený grafom), a preto sa dajú ľahko zostaviť pomocou nášho programu.

Konštrukcia podľa bodov alebo pravdepodobnostnou metódou

Toto je najjednoduchší spôsob implementácie na počítači. Pre jednoduchosť zvážte prípad plochej samopriľnavej súpravy. Tak nech (S

) je nejaký systém afinných kontrakcií. Mapovania S

zastupiteľná ako: S

Pevná matrica veľkosti 2x2 a o

Dvojrozmerný vektorový stĺpec.

• Zoberme si pevný bod prvého zobrazenia S 1 ako východiskový bod:
  x:=o1;
  Tu využívame fakt, že všetky pevné kontrakčné body S 1 ,..,S m patria do fraktálu. Ako počiatočný bod je možné zvoliť ľubovoľný bod a ním vygenerovaná postupnosť bodov sa zmenší na fraktál, no potom sa na obrazovke objaví niekoľko bodov navyše.
• Všimnite si aktuálny bod x=(x 1 , x 2) na obrazovke:
  putpixel(x1,x2,15);
• Náhodne vyberieme číslo j od 1 do m a prepočítame súradnice bodu x:
  j:=Náhodné (m)+1;
  x:=Sj(x);
• Prejdeme na krok 2, alebo ak sme vykonali dostatočne veľký počet iterácií, tak sa zastavíme.

Poznámka. Ak sú koeficienty kompresie zobrazení S i rôzne, potom bude fraktál vyplnený bodmi nerovnomerne. Ak sú zobrazenia Si podobné, dá sa tomu vyhnúť miernym komplikovaním algoritmu. Na to je potrebné v 3. kroku algoritmu zvoliť číslo j od 1 do m s pravdepodobnosťami p 1 =r 1 s ,.., p m = r m s , kde r i označujú kontrakčné koeficienty zobrazení S i , a číslo s (nazývané dimenzia podobnosti) sa zistí z rovnice r 1 s +...+r m s =1. Riešenie tejto rovnice možno nájsť napríklad Newtonovou metódou.

O fraktáloch a ich algoritmoch

Fraktál pochádza z latinského prídavného mena „fractus“ a v preklade znamená pozostávajúci z úlomkov a zodpovedajúce latinské sloveso „frangere“ znamená lámať, teda vytvárať nepravidelné úlomky. Koncepty fraktálnej a fraktálnej geometrie, ktoré sa objavili koncom 70. rokov, sa od polovice 80. rokov pevne udomácnili v každodennom živote matematikov a programátorov. Tento termín navrhol Benoit Mandelbrot v roku 1975 na označenie nepravidelných, ale sebe podobných štruktúr, ktoré študoval. Zrod fraktálnej geometrie sa zvyčajne spája s vydaním Mandelbrotovej knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977 – „The Fractal Geometry of Nature“. Vo svojich prácach využíval vedecké výsledky iných vedcov, ktorí pôsobili v období 1875-1925 v rovnakej oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Úpravy

Dovoľte mi urobiť nejaké úpravy v algoritmoch navrhnutých v knihe H.-O. Paytgen a P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, čisto na odstránenie preklepov a uľahčenie pochopenia procesov, pretože po ich preštudovaní mi zostalo veľa záhad. Bohužiaľ, tieto "pochopiteľné" a "jednoduché" algoritmy vedú k hojdajúcemu životnému štýlu.

Konštrukcia fraktálov je založená na určitej nelineárnej funkcii komplexného procesu so spätnou väzbou z \u003d z 2 + c, pretože z a c sú komplexné čísla, potom z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, je potrebné rozložiť ho na x a y, aby sme sa dostali do skutočnejšej roviny bežného človeka:

x(k+1)=x(k)2 -y(k)2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Rovina pozostávajúca zo všetkých párov (x, y) môže byť považovaná za s pevnými hodnotami p a q, ako aj pre dynamické. V prvom prípade zoradenie všetkých bodov (x, y) roviny podľa zákona a ich zafarbenie v závislosti od počtu opakovaní funkcie potrebného na ukončenie iteračného procesu alebo nevyfarbenie (načierno), keď je prípustné maximum Počet opakovaní sa zvýši, dostaneme mapovanie sady Julia. Ak naopak určíme počiatočný pár hodnôt (x, y) a sledujeme jeho koloristický osud s dynamicky sa meniacimi hodnotami parametrov p a q, dostaneme obrázky nazývané Mandelbrotove množiny.

K otázke algoritmov farbenia fraktálov.

Zvyčajne je telo súpravy znázornené ako čierne pole, aj keď je zrejmé, že čierna farba môže byť nahradená akoukoľvek inou, ale to je tiež nezaujímavý výsledok. Získať obraz množiny namaľovanej všetkými farbami je úloha, ktorú nemožno vyriešiť pomocou cyklických operácií, pretože počet iterácií tvoriacich telo množiny je rovný maximálnemu možnému a vždy rovnaký. Súpravu je možné zafarbiť rôznymi farbami použitím výsledku kontroly výstupnej podmienky zo slučky (z_magnitude) ako čísla farby alebo podobne, ale s inými matematickými operáciami.

Aplikácia "fraktálneho mikroskopu"

demonštrovať hraničné javy.

Atraktory sú centrá, ktoré vedú boj o dominanciu v lietadle. Medzi atraktormi je hranica predstavujúca vírivý vzor. Zväčšením škály úvah v rámci množiny možno získať netriviálne vzory odrážajúce stav deterministického chaosu – bežný jav v prírodnom svete.

Objekty skúmané geografmi tvoria systém s veľmi zložito organizovanými hranicami, v súvislosti s ktorými sa ich realizácia stáva ťažkou praktickou úlohou. Prírodné komplexy majú typické jadrá pôsobiace ako atraktory, ktoré strácajú svoju silu vplyvu na územie, keď sa vzďaľuje.

Pomocou fraktálneho mikroskopu pre sady Mandelbrot a Julia si možno vytvoriť predstavu o hraničných procesoch a javoch, ktoré sú rovnako zložité bez ohľadu na mieru úvahy, a pripraviť tak vnímanie odborníka na stretnutie s dynamickým a zdanlivo chaotickým v priestore a čase prírodný objekt, pre pochopenie prírody fraktálnej geometrie. Pestrofarebné farby a fraktálna hudba určite zanechajú hlbokú stopu v mysliach študentov.

Fraktálom sú venované tisíce publikácií a obrovské internetové zdroje, avšak pre mnohých odborníkov ďaleko od informatiky sa tento pojem javí ako úplne nový. Fraktály, ako objekty záujmu odborníkov v rôznych oblastiach poznania, by mali dostať svoje správne miesto v kurze informatiky.

Príklady

SIERPINSKI GRID

Toto je jeden z fraktálov, s ktorými Mandelbrot experimentoval pri vývoji konceptov fraktálnych dimenzií a iterácií. Trojuholníky vytvorené spojením stredov väčšieho trojuholníka sú vyrezané z hlavného trojuholníka, aby vytvorili trojuholník s viacerými otvormi. V tomto prípade je iniciátorom veľký trojuholník a šablóna je operácia na rezanie trojuholníkov podobných väčšiemu. 3D verziu trojuholníka získate aj tak, že použijete obyčajný štvorsten a vystrihnete menšie štvorsteny. Rozmer takéhoto fraktálu je ln3/ln2 = 1,584962501. Získať Sierpinski koberec, vezmite štvorec, rozdeľte ho na deväť štvorcov a vystrihnite stredný. To isté urobíme so zvyškom, menšími štvorčekmi. Nakoniec sa vytvorí plochá fraktálna mriežka, ktorá nemá žiadnu plochu, ale s nekonečnými súvislosťami. Vo svojej priestorovej podobe sa Sierpinského špongia premieňa na systém priechodných foriem, v ktorých je každý priechodný prvok neustále nahrádzaný vlastným druhom. Táto štruktúra je veľmi podobná časti kostného tkaniva. Jedného dňa sa takéto opakujúce sa štruktúry stanú prvkom stavebných štruktúr. Mandelbrot verí, že ich statika a dynamika si zaslúžia dôkladné preštudovanie.

KOCHOVÁ KRIVKA

Kochova krivka je jedným z najtypickejších deterministických fraktálov. Vynašiel ho v devätnástom storočí nemecký matematik Helge von Koch, ktorý pri štúdiu prác Georga Kontora a Karla Weierstraße narazil na opisy niektorých zvláštnych kriviek s nezvyčajným správaním. Iniciátor - priama línia. Generátor je rovnostranný trojuholník, ktorého strany sa rovnajú tretine dĺžky väčšieho segmentu. Tieto trojuholníky sa pridávajú do stredu každého segmentu znova a znova. Vo svojom výskume Mandelbrot veľa experimentoval s Kochovými krivkami a získal postavy ako Kochove ostrovy, Kochove kríže, Kochove snehové vločky a dokonca aj trojrozmerné znázornenia Kochovej krivky pomocou štvorstenu a pridaním menšieho štvorstenu na každú z jeho plôch. Kochova krivka má rozmer ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktálny Mandelbrot

Toto NIE JE Mandelbrotova súprava, ktorú vidíte pomerne často. Mandelbrotova množina je založená na nelineárnych rovniciach a je komplexným fraktálom. Aj toto je variant Kochovej krivky, napriek tomu, že tento objekt na to nevyzerá. Iniciátor a generátor sú tiež odlišné od tých, ktoré sa používajú na vytváranie fraktálov založených na princípe Kochovej krivky, ale myšlienka zostáva rovnaká. Namiesto pripájania rovnostranných trojuholníkov k segmentu krivky sú štvorce pripojené k štvorcu. Vzhľadom na to, že tento fraktál zaberá v každej iterácii presne polovicu prideleného priestoru, má jednoduchý fraktálový rozmer 3/2 = 1,5.

DAREROV PENTAGON

Fraktál vyzerá ako zhluk päťuholníkov zovretých dohromady. V skutočnosti je tvorený použitím päťuholníka ako iniciátora a rovnoramenných trojuholníkov, ktorých pomer najväčšej strany k najmenšej sa presne rovná takzvanému zlatému rezu (1,618033989 alebo 1/(2cos72)) ako generátora. . Tieto trojuholníky sú vyrezané zo stredu každého päťuholníka, výsledkom čoho je tvar, ktorý vyzerá ako 5 malých päťuholníkov prilepených k jednému veľkému. Variant tohto fraktálu možno získať použitím šesťuholníka ako iniciátora. Tento fraktál sa nazýva Dávidova hviezda a je dosť podobný šesťuholníkovej verzii Kochovej snehovej vločky. Fraktálny rozmer Darerovho päťuholníka je ln6/ln(1+g), kde g je pomer dĺžky väčšej strany trojuholníka k dĺžke menšej strany. V tomto prípade je g zlatý pomer, takže fraktálny rozmer je približne 1,86171596. Fraktálny rozmer Dávidovej hviezdy je ln6/ln3 alebo 1,630929754.

Komplexné fraktály

V skutočnosti, ak priblížite malú oblasť akéhokoľvek zložitého fraktálu a potom urobíte to isté na malej ploche tejto oblasti, tieto dve zväčšenia sa budú od seba výrazne líšiť. Tieto dva obrázky budú v detailoch veľmi podobné, no nebudú úplne totožné.

Obr. 1. Aproximácia Mandelbrotovej množiny

Porovnajte napríklad obrázky súpravy Mandelbrot zobrazené tu, z ktorých jeden bol získaný zväčšením určitej plochy druhého. Ako vidíte, nie sú absolútne identické, hoci na oboch vidíme čierny kruh, z ktorého horiace chápadlá idú rôznymi smermi. Tieto prvky sa donekonečna opakujú v Mandelbrotovej sade v klesajúcom pomere.

Deterministické fraktály sú lineárne, zatiaľ čo komplexné fraktály nie sú. Keďže sú tieto fraktály nelineárne, sú generované tým, čo Mandelbrot nazýval nelineárne algebraické rovnice. Dobrým príkladom je proces Zn+1=ZnІ + C, čo je rovnica použitá na zostavenie Mandelbrotových a Juliových množín druhého stupňa. Riešenie týchto matematických rovníc zahŕňa komplexné a imaginárne čísla. Keď sa rovnica interpretuje graficky v komplexnej rovine, výsledkom je zvláštny obrazec, v ktorom sa rovné čiary menia na krivky, objavujú sa efekty sebapodobnosti v rôznych mierkach, aj keď nie bez deformácií. Zároveň je celý obraz ako celok nepredvídateľný a veľmi chaotický.

Ako vidíte pri pohľade na obrázky, zložité fraktály sú skutočne veľmi zložité a bez pomoci počítača sa nedajú vytvoriť. Ak chcete získať farebné výsledky, tento počítač musí mať výkonný matematický koprocesor a monitor s vysokým rozlíšením. Na rozdiel od deterministických fraktálov sa komplexné fraktály nevypočítavajú v 5-10 iteráciách. Takmer každá bodka na obrazovke počítača je ako samostatný fraktál. Počas matematického spracovania sa s každým bodom zaobchádza ako so samostatným vzorom. Každý bod zodpovedá určitej hodnote. Rovnica je zabudovaná pre každý bod a vykoná sa napríklad 1000 iterácií. Na získanie relatívne neskresleného obrazu v časovom úseku prijateľnom pre domáce počítače je možné vykonať 250 iterácií pre jeden bod.

Väčšina fraktálov, ktoré dnes vidíme, je krásne sfarbená. Možno práve vďaka svojim farebným schémam získali fraktálne obrázky takú veľkú estetickú hodnotu. Po vypočítaní rovnice počítač analyzuje výsledky. Ak sú výsledky stabilné alebo kolíšu okolo určitej hodnoty, bodka zvyčajne sčernie. Ak má hodnota v jednom alebo druhom kroku tendenciu k nekonečnu, bod je natretý inou farbou, možno modrou alebo červenou. Počas tohto procesu počítač priraďuje farby všetkým rýchlostiam pohybu.

Rýchlo sa pohybujúce body sú zvyčajne natreté červenou farbou, zatiaľ čo pomalšie sú žlté atď. Tmavé bodky sú asi najstabilnejšie.

Komplexné fraktály sa líšia od deterministických fraktálov tým, že sú nekonečne zložité, no dajú sa vygenerovať veľmi jednoduchým vzorcom. Deterministické fraktály nepotrebujú vzorce ani rovnice. Stačí si zobrať papier na kreslenie a sito Sierpinski môžete bez problémov postaviť až na 3 alebo 4 iterácie. Skúste to urobiť s množstvom Julie! Je jednoduchšie ísť zmerať dĺžku pobrežia Anglicka!

MANDERBROT SET

Obr 2. Mandelbrotova súprava

Sady Mandelbrot a Julia sú pravdepodobne dve najbežnejšie medzi komplexnými fraktálmi. Možno ich nájsť v mnohých vedeckých časopisoch, obálkach kníh, pohľadniciach a šetričoch obrazovky počítača. Súprava Mandelbrot, ktorú postavil Benoit Mandelbrot, je pravdepodobne prvou asociáciou, ktorá sa ľuďom vybaví, keď počujú slovo fraktál. Tento fraktál, pripomínajúci kartu so svietiacim stromom a kruhovými oblasťami, je vygenerovaný jednoduchým vzorcom Zn+1=Zna+C, kde Z a C sú komplexné čísla a a je kladné číslo.

Najčastejšie videná Mandelbrotova množina je Mandelbrotova množina 2. stupňa, t.j. a=2. To, že Mandelbrotova množina nie je len Zn+1=ZnІ+C, ale fraktál, ktorého exponentom vo vzorci môže byť ľubovoľné kladné číslo, mnohých vyviedlo z omylu. Na tejto stránke vidíte príklad Mandelbrotovej množiny pre rôzne hodnoty exponentu a.
Obrázok 3. Vzhľad bublín pri a=3,5

Obľúbený je aj proces Z=Z*tg(Z+C). Vďaka zahrnutiu funkcie dotyčnice sa získa Mandelbrotova množina obklopená oblasťou pripomínajúcou jablko. Pri použití kosínusovej funkcie sa získajú efekty vzduchových bublín. Stručne povedané, existuje nekonečné množstvo spôsobov, ako upraviť Mandelbrotovu súpravu tak, aby vytvárala rôzne nádherné obrázky.

VIACNÁSOBNÁ JÚLIA

Prekvapivo sú množiny Julia tvorené podľa rovnakého vzorca ako množina Mandelbrot. Súpravu Julia vynašiel francúzsky matematik Gaston Julia, po ktorom bola zostava pomenovaná. Prvá otázka, ktorá sa vynára po vizuálnom zoznámení sa s množinami Mandelbrot a Julia, je "ak sú oba fraktály generované rovnakým vzorcom, prečo sú také odlišné?" Najprv sa pozrite na obrázky súpravy Julia. Napodiv, existujú rôzne typy súprav Julia. Pri kreslení fraktálu pomocou rôznych začiatočných bodov (na spustenie procesu iterácie) sa vygenerujú rôzne obrázky. To platí len pre súpravu Julia.

Obr 4. Súprava Julia

Aj keď to na obrázku nie je vidieť, Mandelbrotov fraktál je v skutočnosti zhluk Júliových fraktálov spojených dohromady. Každý bod (alebo súradnica) Mandelbrotovej množiny zodpovedá Júliovmu fraktálu. Sady Julia je možné generovať pomocou týchto bodov ako počiatočných hodnôt v rovnici Z=ZI+C. To však neznamená, že ak vyberiete bod na Mandelbrotovom fraktále a zväčšíte ho, môžete získať fraktál Julia. Tieto dva body sú totožné, ale iba v matematickom zmysle. Ak vezmeme tento bod a vypočítame ho podľa tohto vzorca, môžeme dostať fraktál Julia zodpovedajúci určitému bodu Mandelbrotovho fraktálu.

fraktál

Fraktál (lat. fractus- rozdrvený, zlomený, zlomený) - geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celému útvaru ako celku. V matematike sa fraktály chápu ako množiny body v euklidovskom priestore, ktoré majú zlomkový metrický rozmer (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo iný metrický rozmer ako topologický. Fraktasmus je nezávislá exaktná veda o štúdiu a zostavovaní fraktálov.

Inými slovami, fraktály sú geometrické objekty so zlomkovým rozmerom. Napríklad rozmer čiary je 1, plocha je 2 a objem je 3. Pre fraktál môže byť hodnota rozmeru medzi 1 a 2 alebo medzi 2 a 3. Napríklad fraktálny rozmer pokrčeného papierová guľa je približne 2,5. V matematike existuje špeciálny zložitý vzorec na výpočet rozmeru fraktálov. Rozvetvenie tracheálnych trubíc, listy na stromoch, žily v ramene, rieka sú fraktály. Zjednodušene povedané, fraktál je geometrický útvar, ktorého určitá časť sa stále dokola opakuje, pričom sa mení veľkosť – to je princíp sebapodobnosti. Fraktály sú si podobné, sú podobné sebe na všetkých úrovniach (teda v akejkoľvek mierke). Existuje mnoho rôznych typov fraktálov. V zásade možno tvrdiť, že všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál, či už je to oblak alebo molekula kyslíka.

Slovo „chaos“ naznačuje niečo nepredvídateľné, ale v skutočnosti je chaos celkom usporiadaný a riadi sa určitými zákonmi. Účelom štúdia chaosu a fraktálov je predpovedať vzory, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať nepredvídateľné a úplne chaotické.

Priekopníkom v tejto oblasti poznania bol francúzsko-americký matematik, profesor Benoit B. Mandelbrot. V polovici 60. rokov vyvinul fraktálnu geometriu, ktorej účelom bolo analyzovať zlomené, zvrásnené a neostré tvary. Súprava Mandelbrot (zobrazená na obrázku) je prvou asociáciou, ktorá sa človeku naskytne, keď počuje slovo „fraktál“. Mimochodom, Mandelbrot určil, že fraktálny rozmer pobrežia Anglicka je 1,25.

Fraktály sa vo vede stále viac využívajú. Opisujú skutočný svet ešte lepšie ako tradičná fyzika či matematika. Brownov pohyb je napríklad náhodný a chaotický pohyb prachových častíc suspendovaných vo vode. Tento typ pohybu je možno najpraktickejším aspektom fraktálnej geometrie. Náhodný Brownov pohyb má frekvenčnú odozvu, ktorú možno použiť na predpovedanie javov zahŕňajúcich veľké množstvo údajov a štatistík. Napríklad Mandelbrot predpovedal zmeny v cene vlny pomocou Brownovho pohybu.

Slovo „fraktál“ možno použiť nielen ako matematický výraz. Fraktál v tlači a populárnej vedeckej literatúre možno nazvať číslami, ktoré majú niektorú z nasledujúcich vlastností:

Má netriviálnu štruktúru vo všetkých mierkach. Toto je rozdiel od bežných útvarov (ako je kruh, elipsa, graf hladkej funkcie): ak vezmeme do úvahy malý fragment pravidelného útvaru vo veľmi veľkej mierke, bude to vyzerať ako fragment priamky. . Pre fraktál nevedie priblíženie k zjednodušeniu štruktúry, na všetkých mierkach uvidíme rovnako zložitý obraz.

Je sebepodobný alebo približne sebepodobný.

Má zlomkový metrický rozmer alebo metrický rozmer, ktorý je nadradený topologickému rozmeru.

Najužitočnejšie využitie fraktálov vo výpočtovej technike je kompresia fraktálov. Zároveň sú obrázky komprimované oveľa lepšie, ako sa to robí konvenčnými metódami - až 600:1. Ďalšou výhodou fraktálnej kompresie je, že pri priblížení nedochádza k efektu pixelizácie, ktorý by drasticky zhoršoval obraz. Navyše fraktálne komprimovaný obraz po zväčšení často vyzerá ešte lepšie ako predtým. Počítačoví vedci tiež vedia, že fraktály nekonečnej zložitosti a krásy možno generovať pomocou jednoduchých vzorcov. Filmový priemysel vo veľkej miere využíva technológiu fraktálnej grafiky na vytváranie realistických prvkov krajiny (oblaky, skaly a tiene).

Štúdium turbulencie v tokoch sa veľmi dobre prispôsobuje fraktálom. To umožňuje lepšie pochopiť dynamiku zložitých tokov. Plamene sa dajú modelovať aj pomocou fraktálov. Porézne materiály sú dobre zastúpené vo fraktálnej forme vďaka tomu, že majú veľmi zložitú geometriu. Na prenos dát na veľké vzdialenosti sa používajú antény v tvare fraktálov, čo výrazne znižuje ich veľkosť a hmotnosť. Fraktály sa používajú na opis zakrivenia povrchov. Nerovný povrch je charakterizovaný kombináciou dvoch rôznych fraktálov.

Mnohé objekty v prírode majú fraktálne vlastnosti, ako sú pobrežia, oblaky, koruny stromov, snehové vločky, obehový systém a alveolárny systém ľudí alebo zvierat.

Fraktály, najmä v lietadle, sú obľúbené pre svoju kombináciu krásy a jednoduchosti konštrukcie s počítačom.

Prvé príklady sebepodobných množín s neobvyklými vlastnosťami sa objavili v 19. storočí (napr. Bolzanova funkcia, Weierstrassova funkcia, Cantorova množina). Termín „fraktál“ zaviedol Benoit Mandelbrot v roku 1975 a získal si veľkú popularitu vydaním jeho knihy „The Fractal Geometry of Nature“ v roku 1977.

Obrázok vľavo ukazuje ako jednoduchý príklad fraktál Darerovho päťuholníka, ktorý vyzerá ako zhluk päťuholníkov stlačených dohromady. V skutočnosti je tvorený použitím päťuholníka ako iniciátora a rovnoramenných trojuholníkov, ktorých pomer najväčšej strany k najmenšej sa presne rovná takzvanému zlatému rezu (1,618033989 alebo 1/(2cos72°)) ako generátor. Tieto trojuholníky sú vyrezané zo stredu každého päťuholníka, výsledkom čoho je tvar, ktorý vyzerá ako 5 malých päťuholníkov prilepených k jednému veľkému.

Teória chaosu hovorí, že zložité nelineárne systémy sú dedične nepredvídateľné, no zároveň tvrdí, že spôsob vyjadrenia takýchto nepredvídateľných systémov sa ukazuje ako pravdivý nie v presných rovnosti, ale v reprezentáciách správania systému – v grafoch podivných atraktorov, ktoré vyzerať ako fraktály. Teória chaosu, ktorú mnohí považujú za nepredvídateľnosť, sa teda ukazuje ako veda o predvídateľnosti aj v tých najnestabilnejších systémoch. Doktrína dynamických systémov ukazuje, že jednoduché rovnice môžu generovať také chaotické správanie, v ktorom sa systém nikdy nevráti do stabilného stavu a zároveň sa neobjaví žiadna pravidelnosť. Často sa takéto systémy správajú celkom normálne do určitej hodnoty kľúčového parametra, potom zažijú prechod, v ktorom sú dve možnosti ďalšieho vývoja, potom štyri a nakoniec chaotická množina možností.

Schémy procesov vyskytujúcich sa v technických objektoch majú jasne definovanú fraktálovú štruktúru. Zo štruktúry minimálneho technického systému (TS) vyplýva tok v rámci TS dvoch typov procesov - hlavného a podporného, ​​pričom toto rozdelenie je podmienené a relatívne. Akýkoľvek proces môže byť hlavný vo vzťahu k podporným a ktorýkoľvek z podporných procesov môže byť považovaný za hlavný vo vzťahu k „ich“ podporným procesom. Kruhy v diagrame označujú fyzikálne efekty, ktoré zabezpečujú tok tých procesov, pre ktoré nie je potrebné špeciálne vytvárať „vlastné“ TS. Tieto procesy sú výsledkom interakcie medzi látkami, poľami, látkami a poľami. Aby sme boli presní, fyzikálny efekt je vozidlo, ktorého princíp nevieme ovplyvniť a do jeho štruktúry nechceme ani nemáme možnosť zasahovať.

Tok hlavného procesu znázorneného v diagrame je zabezpečený existenciou troch podporných procesov, ktoré sú hlavné pre TS, ktoré ich generujú. Pre korektnosť podotýkame, že na fungovanie aj minimálneho TS jednoznačne nestačia tri procesy, t.j. schéma je veľmi, veľmi prehnaná.

Všetko nie je také jednoduché, ako je znázornené na obrázku. Užitočný (pre človeka potrebný) proces nemožno vykonávať so 100% účinnosťou. Rozptýlená energia sa vynakladá na vytváranie škodlivých procesov - zahrievanie, vibrácie atď. V dôsledku toho paralelne s prospešným procesom vznikajú škodlivé. Nie je vždy možné nahradiť „zlý“ proces „dobrým“, preto je potrebné organizovať nové procesy, aby sa kompenzovali dôsledky, ktoré sú škodlivé pre systém. Typickým príkladom je potreba bojovať proti treniu, ktorá núti organizovať dômyselné mazacie schémy, používať drahé antifrikčné materiály alebo tráviť čas mazaním komponentov a dielov alebo ich pravidelnou výmenou.

V súvislosti s existenciou nevyhnutného vplyvu premenlivého prostredia môže byť potrebné kontrolovať užitočný proces. Správa môže byť vykonávaná pomocou automatických zariadení aj priamo osobou. Procesný diagram je vlastne súbor špeciálnych príkazov, t.j. algoritmus. Podstatou (popisom) každého príkazu je spojenie jediného užitočného procesu, sprievodných škodlivých procesov a súboru nevyhnutných riadiacich procesov. V takomto algoritme je súbor podporných procesov obyčajným podprogramom - a tu nájdeme aj fraktál. Metóda R. Kollera, vytvorená pred štvrťstoročím, umožňuje vytvárať systémy s dosť obmedzenou množinou iba 12 párov funkcií (procesov).

Sebepodobné množiny s neobvyklými vlastnosťami v matematike

Od konca 19. storočia sa v matematike objavovali príklady sebepodobných objektov s patologickými vlastnosťami z pohľadu klasickej analýzy. Patria sem nasledujúce položky:

súprava Cantor je nikde hustá nespočetná dokonalá súprava. Úpravou postupu je možné získať aj nikde hustú množinu kladnej dĺžky.

Sierpinského trojuholník („obrus“) a Sierpinského koberec sú analógmi Cantorovho setu v lietadle.

Mengerova špongia - analóg Cantora v trojrozmernom priestore;

príklady Weierstrassovej a van der Waerdenovej nikde nediferencovateľnej spojitej funkcie.

Kochova krivka – nepretínajúca sa súvislá krivka nekonečnej dĺžky, ktorá nemá v žiadnom bode dotyčnicu;

Peanova krivka je súvislá krivka prechádzajúca všetkými bodmi štvorca.

dráha Brownovej častice tiež nie je nikde diferencovateľná s pravdepodobnosťou 1. Jeho Hausdorffov rozmer je dva

Rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek

Konštrukcia Kochovej krivky

Na získanie fraktálnych kriviek v rovine existuje jednoduchý rekurzívny postup. Definujeme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej v ňom nahradíme každý segment generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Obrázok vpravo ukazuje prvé štyri kroky tohto postupu pre Kochovu krivku.

Príklady takýchto kriviek sú:

Dračia krivka,

Kochova krivka (Kochova snehová vločka),

Levyho krivka,

minkowského krivka,

Hilbertova krivka,

Zlomený (krivkový) drak (Fractal Harter-Hateway),

Peanova krivka.

Podobným postupom sa získa pytagorovský strom.

Fraktály ako pevné body mapovania kontrakcie

Vlastnosť sebapodobnosti možno matematicky rigorózne vyjadriť nasledovne. Nech sú kontrakčné mapy roviny. Zvážte nasledujúce zobrazenie na množine všetkých kompaktných (uzavretých a ohraničených) podmnožín roviny:

Dá sa ukázať, že mapovanie je kontrakčné mapovanie na množine kompaktných množín s Hausdorffovou metrikou. Preto podľa Banachovej vety má toto zobrazenie jedinečný pevný bod. Tento pevný bod bude naším fraktálom.

Vyššie opísaný rekurzívny postup na získanie fraktálnych kriviek je špeciálnym prípadom tejto konštrukcie. V ňom sú všetky mapovania podobnostnými mapovaniami a je to počet odkazov generátora.

Pre Sierpinského trojuholník a zobrazenie , , sú homotecie so stredmi vo vrcholoch pravidelného trojuholníka a koeficient 1/2. Je ľahké vidieť, že Sierpinského trojuholník sa pod mapovaním premieňa na seba.

V prípade, že zobrazenia sú podobnosť transformácie s koeficientmi, rozmer fraktálu (za určitých dodatočných technických podmienok) možno vypočítať ako riešenie rovnice . Takže pre Sierpinského trojuholník dostaneme .

Podľa tej istej Banachovej vety, vychádzajúc z akejkoľvek kompaktnej množiny a aplikovaním iterácií zobrazenia na ňu, získame postupnosť kompaktných množín konvergujúcich (v zmysle Hausdorffovej metriky) k nášmu fraktálu.

Fraktály v komplexnej dynamike

Julia sada

Ďalší súbor Julie

Fraktály prirodzene vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov. Najviac skúmaný je prípad, keď je dynamický systém definovaný iteráciami polynómu alebo holomorfnej funkcie komplexnej premennej v rovine. Prvé štúdie v tejto oblasti pochádzajú zo začiatku 20. storočia a spájajú sa s menami Fatou a Julia.

Nechať byť F(z) - polynóm, z 0 je komplexné číslo. Zvážte nasledujúcu postupnosť: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zaujíma nás, ako sa táto sekvencia správa tak, ako zvykneme n do nekonečna. Táto sekvencia môže:

usilovať sa o nekonečno

usilovať sa o to najlepšie

prejavujú cyklické správanie v limite, napríklad: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

správať sa chaoticky, teda nepreukazovať žiadny zo spomínaných troch typov správania.

Súbory hodnôt z 0, pre ktoré sekvencia vykazuje jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bodov bifurkácie medzi rôznymi typmi, majú často fraktálne vlastnosti.

Množina Júlia je teda množinou bodov rozvetvenia polynómu F(z)=z 2 +c(alebo iná podobná funkcia), teda tie hodnoty z 0 , pre ktoré správanie sekvencie ( z n) sa môže dramaticky meniť s ľubovoľne malými zmenami z 0 .

Ďalšou možnosťou získania fraktálových množín je zavedenie parametra do polynómu F(z) a berúc do úvahy množinu tých hodnôt parametrov, pre ktoré sekvencia ( z n) demonštruje určité správanie pre fix z 0 Mandelbrotova množina je teda množinou všetkých, pre ktoré ( z n) pre F(z)=z 2 +c a z 0 nejde do nekonečna.

Ďalším známym príkladom tohto druhu sú Newtonove bazény.

Je populárne vytvárať nádherné grafické obrázky založené na komplexnej dynamike farbením rovinných bodov v závislosti od správania zodpovedajúcich dynamických systémov. Napríklad na doplnenie sady Mandelbrot môžete body zafarbiť v závislosti od rýchlosti snaženia ( z n) do nekonečna (definované povedzme ako najmenšie číslo n, kde | z n| presahuje pevnú veľkú hodnotu A.

Biomorfy sú fraktály postavené na základe komplexnej dynamiky a pripomínajúce živé organizmy.

Stochastické fraktály

Randomizovaný fraktál založený na množine Julia

Prírodné objekty majú často fraktálny tvar. Na ich modelovanie možno použiť stochastické (náhodné) fraktály. Príklady stochastických fraktálov:

dráha Brownovho pohybu v rovine a v priestore;

hranica trajektórie Brownovho pohybu v rovine. V roku 2001 Lawler, Schramm a Werner dokázali Mandelbrotovu domnienku, že jej rozmer je 4/3.

Schramm-Löwnerove evolúcie sú konformne invariantné fraktálne krivky, ktoré vznikajú v kritických dvojrozmerných modeloch štatistickej mechaniky, napríklad v Isingovom modeli a perkolácii.

rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, v ktorej sa v každom kroku zavádza náhodný parameter. Plazma je príkladom použitia takéhoto fraktálu v počítačovej grafike.

V prírode

Pohľad spredu na priedušnicu a priedušky

bronchiálny strom

sieť krvných ciev

Aplikácia

Prírodné vedy

Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na popis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev).

Rádiotechnika

fraktálne antény

Využitie fraktálnej geometrie pri navrhovaní anténnych zariadení prvýkrát aplikoval americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bolo zakázané inštalovať externé antény na budovy. Nathan vystrihol z hliníkovej fólie figúrku v podobe Kochovej krivky, nalepil ju na list papiera a pripevnil k slúchadlu. Cohen založil vlastnú spoločnosť a spustil ich sériovú výrobu.

informatika

Kompresia obrazu

Hlavný článok: Algoritmus fraktálnej kompresie

fraktálny strom

Existujú algoritmy kompresie obrázkov pomocou fraktálov. Sú založené na myšlienke, že namiesto samotného obrázka môžete uložiť mapu kontrakcií, pre ktorú je tento obrázok (alebo niektorý z jeho blízkych) pevným bodom. Použil sa jeden z variantov tohto algoritmu [ zdroj nešpecifikovaný 895 dní] od spoločnosti Microsoft pri vydávaní svojej encyklopédie, ale tieto algoritmy neboli široko používané.

Počítačová grafika

Ďalší fraktálny strom

Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike na vytváranie obrázkov prírodných objektov, ako sú stromy, kríky, horská krajina, morské povrchy atď. Na generovanie fraktálových obrázkov sa používa veľa programov, pozri Fractal Generator (program).

decentralizované siete

Systém prideľovania IP adries Netsukuku využíva princíp kompresie fraktálnych informácií na kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch. Každý uzol siete Netsukuku uchováva len 4 KB informácií o stave susedných uzlov, pričom každý nový uzol sa pripája do všeobecnej siete bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries, čo je napríklad typické pre tzv. internet. Princíp kompresie fraktálnych informácií teda zaručuje úplne decentralizovanú, a teda najstabilnejšiu prevádzku celej siete.

Fraktálne vlastnosti nie sú rozmarom ani plodom nečinnej fantázie matematikov. Ich štúdiom sa učíme rozlišovať a predpovedať dôležité črty objektov a javov okolo nás, ktoré sa predtým, ak neboli úplne ignorované, odhadovali len približne, kvalitatívne, okom. Napríklad porovnaním fraktálnych rozmerov zložitých signálov, encefalogramov alebo srdcových šelestov dokážu lekári diagnostikovať niektoré závažné ochorenia v ranom štádiu, keď sa pacientovi ešte dá pomôcť. Analytik tiež pri porovnaní predchádzajúceho správania cien na začiatku tvorby modelu môže predvídať jeho ďalší vývoj, čím sa vyhne hrubým chybám v prognózovaní.

Nepravidelnosť fraktálov

Prvou vlastnosťou fraktálov je ich nepravidelnosť. Ak je fraktál opísaný funkciou, potom vlastnosť nepravidelnosti v matematickom vyjadrení bude znamenať, že takáto funkcia nie je diferencovateľná, to znamená, že v žiadnom bode nie je hladká. V skutočnosti to má najpriamejší vzťah k trhu. Kolísanie cien je niekedy také nestále a premenlivé, že to mnohých obchodníkov mätie. Našou úlohou je celý tento chaos vyriešiť a dať do poriadku.

Vieš to: obsadenie od 1. do 10. miesta v súťaži demo účtu "Virtuálna realita" od Alpari, môžete vyhrať od 70 do 500 dolárov. Výšku ceny je možné vybrať bez obmedzení. Víťazi, ktorí získali ceny od 11. do 30., získajú od 1000 do 10000 bonusové body .

Sebapodobnosť fraktálov

Druhá vlastnosť hovorí, že fraktál je objekt, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti. Ide o rekurzívny model, ktorého každá časť vo svojom vývoji opakuje vývoj celého modelu ako celku a je reprodukovaná v rôznych mierkach bez viditeľných zmien. Stále však dochádza k zmenám, ktoré môžu veľmi ovplyvniť naše vnímanie predmetu.

Sebapodobnosť znamená, že objekt nemá charakteristickú mierku: ak by takúto mierku mal, okamžite by ste odlíšili zväčšenú kópiu fragmentu od pôvodného obrazu. Sebapodobné predmety majú nekonečné množstvo mierok pre všetky chute. Podstatu sebapodobnosti možno vysvetliť na nasledujúcom príklade. Predstavte si, že máte obrázok „skutočnej“ geometrickej čiary „dĺžky bez šírky“, ako definoval čiaru Euklides, a hráte sa s kamarátom a snažíte sa uhádnuť, či vám ukazuje pôvodný obrázok (originál) alebo obrázok ľubovoľného fragmentu priamky. Bez ohľadu na to, ako veľmi sa snažíte, nikdy nebudete schopní rozlíšiť originál od zväčšenej kópie fragmentu, priama čiara je usporiadaná rovnako vo všetkých svojich častiach, je podobná sama sebe, ale táto jej pozoruhodná vlastnosť je trochu skrytá nekomplikovanou štruktúrou samotnej priamky, jej „priamočiarosti“ (obr. 7).

Ak tiež nedokážete rozlíšiť snímku nejakého objektu od riadne zväčšenej snímky ktoréhokoľvek z jeho fragmentov, potom máte sebepodobný objekt. Všetky fraktály, ktoré majú aspoň nejakú symetriu, sú sebepodobné. A to znamená, že niektoré fragmenty ich štruktúry sa v určitých priestorových intervaloch striktne opakujú. Je zrejmé, že tieto predmety môžu byť akejkoľvek povahy a ich vzhľad a tvar zostávajú nezmenené bez ohľadu na mierku. Príklad sebepodobného fraktálu:

Vo financiách tento koncept nie je neopodstatnenou abstrakciou, ale teoretickým preformulovaním praktického trhového výroku – menovite, že pohyby akcie alebo meny sú povrchne podobné, bez ohľadu na časový rámec a cenu. Pozorovateľ nemôže podľa vzhľadu grafu zistiť, či ide o údaje pre týždenné, denné alebo hodinové zmeny.

Samozrejme, nie všetky fraktály majú takú pravidelnú, donekonečna sa opakujúcu štruktúru ako tie nádherné exponáty budúceho múzea fraktálneho umenia, ktoré sa zrodili z fantázie matematikov a umelcov. Mnohým fraktálom nachádzajúcim sa v prírode (chybové povrchy hornín a kovov, oblakov, kotácie mien, turbulentné prúdenie, pena, gély, obrysy častíc sadzí atď.) chýba geometrická podobnosť, ale tvrdošijne reprodukujú v každom fragmente štatistické vlastnosti celku. Fraktály s nelineárnou formou vývoja pomenoval Mandelbrot ako multifraktály. Multifraktál je kvázi fraktálový objekt s premenlivou fraktálnou dimenziou. Prirodzene, skutočné objekty a procesy sú oveľa lepšie opísané multifraktály.

Takáto štatistická sebepodobnosť alebo priemerná sebepodobnosť odlišuje fraktály od rôznych prírodných objektov.

Uvažujme o príklade sebapodobnosti na devízovom trhu:

Na týchto obrázkoch vidíme, že sú podobné, pričom majú inú časovú škálu, na obr. a 15 minútová stupnica na obr. b týždenná cenová stupnica. Ako vidíte, tieto citáty nemajú schopnosť dokonale sa navzájom opakovať, môžeme ich však považovať za podobné.

Dokonca aj tie najjednoduchšie fraktály – geometricky sebe podobné fraktály – majú nezvyčajné vlastnosti. Napríklad von Kochova snehová vločka má obvod nekonečnej dĺžky, hoci obmedzuje konečnú oblasť (obr. 9). Navyše je taká pichľavá, že k nej nie je možné nakresliť dotyčnicu v žiadnom bode obrysu (matematik by povedal, že von Kochova vločka nie je nikde rozlíšiteľná, teda nie hladká v žiadnom bode).

Mandelbrot zistil, že výsledky čiastkového merania zostávajú konštantné pre rôzne stupne vylepšenia nepravidelnosti objektu. Inými slovami, pre každú nepravidelnosť existuje pravidelnosť (správnosť, usporiadanosť). Keď s niečím zaobchádzame ako s náhodným, naznačuje to, že nerozumieme podstate tejto náhodnosti. V trhovom vyjadrení to znamená, že k vytvoreniu rovnakých typických útvarov musí dôjsť v rôznych časových rámcoch. Minútový graf opíše fraktálnu formáciu rovnakým spôsobom ako mesačný. Táto „sebapodobnosť“ nachádzajúca sa na grafoch komoditných a finančných trhov ukazuje všetky znaky toho, že akcie trhu sú bližšie k behaviorálnej paradigme „prírody“ než k správaniu ekonomickej fundamentálnej analýzy.

Na týchto obrázkoch môžete nájsť potvrdenie vyššie uvedeného. Vľavo je graf s minútovou stupnicou, vpravo týždenná. Menové páry USD/Yen (obr. 9 (a)) a euro/dolár (obr. 9 (b)) sú tu zobrazené s rôznymi cenovými škálami. Aj keď menový pár JPY/USD má inú volatilitu vo vzťahu k EUR/USD, môžeme pozorovať rovnakú štruktúru pohybu cien.

fraktálna dimenzia

Treťou vlastnosťou fraktálov je, že fraktálne objekty majú iný rozmer ako euklidovský (inými slovami, topologický rozmer). Fraktálny rozmer je mierou zložitosti krivky. Analýzou striedania sekcií s rôznymi fraktálovými dimenziami a toho, ako je systém ovplyvnený vonkajšími a vnútornými faktormi, sa možno naučiť predpovedať správanie systému. A čo je najdôležitejšie, diagnostikovať a predvídať nestabilné stavy.

V arzenáli modernej matematiky Mandelbrot našiel vhodnú kvantitatívnu mieru nedokonalosti predmetov - vlnitosť obrysu, zvrásnenie povrchu, lámavosť a pórovitosť objemu. Navrhli to dvaja matematici - Felix Hausdorff (1868-1942) a Abram Samoylovič Besikovič (1891-1970). Teraz zaslúžene nesie honosné mená svojich tvorcov (Hausdorff-Besikovichov rozmer) - Hausdorff-Besikovichov rozmer. Čo je dimenzia a prečo ju potrebujeme v súvislosti s analýzou finančných trhov? Predtým sme poznali iba jeden typ dimenzie – topologickú (obr. 11). Samotné slovo dimenzia udáva, koľko rozmerov má objekt. Pre úsečku, priamku, sa rovná 1, t.j. máme len jeden rozmer, a to dĺžku úsečky alebo priamky. Pre rovinu bude rozmer 2, keďže máme dvojrozmerný rozmer, dĺžku a šírku. Pre priestorové alebo pevné objekty je rozmer 3: dĺžka, šírka a výška.

Vezmime si príklad počítačových hier. Ak je hra urobená v 3D grafike, tak je priestorová a objemná, ak v 2D grafike, grafika je zobrazená v rovine (obr. 10).

Najneobvyklejšie (správnejšie by bolo povedať - nezvyčajné) v Hausdorffovej-Besikovichovej dimenzii bolo, že ako topologická dimenzia mohla brať nielen celé čísla, ale aj zlomkové hodnoty. Rovnaká ako jedna pre priamku (nekonečnú, polonekonečnú alebo pre konečný segment), Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia sa zväčšuje so zvyšujúcou sa tortuozitou, zatiaľ čo topologická dimenzia tvrdošijne ignoruje všetky zmeny, ku ktorým dochádza pri priamke.

Rozmer charakterizuje komplikáciu množiny (napríklad priamka). Ak ide o krivku s topologickým rozmerom rovným 1 (priamka), potom môže byť krivka komplikovaná nekonečným množstvom ohybov a vetiev do takej miery, že sa jej fraktálny rozmer približuje k dvom, t.j. vyplní takmer celú rovinu (obr. 12)

Zvyšovaním svojej hodnoty ju Hausdorff-Besikovichova dimenzia nemení náhle, ako by to urobila „na jej mieste“ topologická dimenzia, prechod z 1 bezprostredne na 2. Hausdorffova-Besikovichova dimenzia – a to sa na prvý pohľad môže zdať nezvyčajné a prekvapivo má zlomkové hodnoty: rovná sa jednej pre priamku, stáva sa 1,15 pre mierne kľukatú čiaru, 1,2 pre viac sínusovú čiaru, 1,5 pre veľmi sínusovú čiaru atď.

Aby sa zdôraznila schopnosť Hausdorffovej-Besikovichovej dimenzie prijímať zlomkové, neceločíselné hodnoty, Mandelbrot prišiel s vlastným neologizmom a nazval ho fraktálnou dimenziou. Takže fraktálna dimenzia (nielen Hausdorff-Besikovich, ale ktorákoľvek iná) je dimenzia, ktorá nemusí mať nevyhnutne celé čísla, ale aj zlomkové.

Pre lineárne geometrické fraktály dimenzia charakterizuje ich samopodobnosť. Zvážte Obr. 17(A), čiara pozostáva z N=4 segmentov, z ktorých každý má dĺžku r = 1/3. V dôsledku toho dostaneme pomer:

D = logN/log(1/r)

Situácia je úplne iná, keď hovoríme o multifraktály (nelineárne). Tu dimenzia stráca svoj význam ako definícia podobnosti objektu a je definovaná prostredníctvom rôznych zovšeobecnení, oveľa menej prirodzených ako jedinečný rozmer sebepodobných objektov.

Na devízovom trhu môže dimenzia charakterizovať volatilitu cenových ponúk. Každý menový pár má svoje vlastné správanie z hľadiska cien. Pre pár libra/dolár (obr. 13(a)) je pokojnejší ako pre euro/dolár (obr. 13(b)). Najzaujímavejšie je, že tieto meny sa pohybujú s rovnakou štruktúrou k cenovým hladinám, majú však rôzne dimenzie, čo môže ovplyvniť vnútrodenné obchodovanie a zmeny v modeloch, ktoré unikajú neskúsenému pohľadu.

Na obr. Obrázok 14 ukazuje dimenziu vo vzťahu k matematickému modelu, aby ste mohli hlbšie preniknúť do významu tohto pojmu. Všimnite si, že všetky tri obrázky zobrazujú rovnaký cyklus. Na obr. a rozmer je 1,2, na obr. b, rozmer je 1,5 a na obr. v 1.9. Je vidieť, že so zväčšovaním rozmeru sa vnímanie objektu komplikuje, zvyšuje sa amplitúda kmitov.

Na finančných trhoch sa dimenzia prejavuje nielen ako cenová volatilita, ale aj ako detail cyklov (vln). Vďaka nej budeme vedieť rozlíšiť, či vlna patrí do určitej časovej škály. Na obr. 15 ukazuje pár euro/dolár na dennej cenovej stupnici. Venujte pozornosť, môžete jasne vidieť vytvorený cyklus a začiatok nového, väčšieho cyklu. Prepnutím do hodinovej mierky a priblížením jedného z cyklov vidíme menšie cykly a časť veľkého umiestneného na D1 (obr. 16). Detailing slučky, t.j. ich rozmer nám umožňuje z počiatočných podmienok určiť, ako sa môže situácia v budúcnosti vyvíjať. Môžeme povedať, že: fraktálna dimenzia odráža vlastnosť škálovej invariantnosti uvažovaného súboru.

Pojem invariantnosť zaviedol Mandelbrot zo slova „tmel“ – škálovateľný, t.j. keď má objekt vlastnosť invariantnosti, má rôzne mierky zobrazenia.

Na obr. 16 kruh A zvýrazňuje minicyklus (podrobná vlna), kruh B - vlna väčšieho cyklu. Práve kvôli rozmeru nemôžeme vždy určiť VŠETKY cykly na rovnakej cenovej škále.

O problémoch určovania a vývoja vlastností neperiodických cyklov si povieme v časti „Cykly na devízovom trhu“, teraz nám išlo hlavne o to, aby sme pochopili, ako a kde sa prejavuje dimenzia na finančných trhoch.

Môžeme teda povedať, že fraktály ako modely sa používajú vtedy, keď skutočný objekt nemožno reprezentovať vo forme klasických modelov. A to znamená, že máme do činenia s nelineárnymi vzťahmi a nedeterministickým (náhodným) charakterom údajov. Nelinearita v ideologickom zmysle znamená mnohorozmernosť vývojových ciest, dostupnosť výberu z alternatívnych ciest a určité tempo evolúcie, ako aj nezvratnosť evolučných procesov. Nelinearita v matematickom zmysle znamená určitý typ matematických rovníc (nelineárnych diferenciálnych rovníc) obsahujúcich požadované veličiny v mocninách väčších ako jedna alebo koeficienty, ktoré závisia od vlastností média. Jednoduchý príklad nelineárneho dynamického systému:

Johnny vyrastie 2 palce za rok. Tento systém vysvetľuje, ako sa Johnnyho výška mení v priebehu času. Nech x(n) je Johnnyho výška v tomto roku. Nech jeho rast v budúcom roku zapíšeme ako x (n + 1). Potom môžeme napísať dynamický systém vo forme rovnice:

x(n+1) = x(n) + 2.

Vidíš? Nie je to jednoduchá matematika? Ak dnes zadáme Johnnyho výšku x (n) = 38 palcov, potom na pravej strane rovnice dostaneme Johnnyho výšku budúci rok, x (n+1) = 40 palcov:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Pohyb sprava doľava v rovnici sa nazýva iterácia (opakovanie). Rovnicu môžeme znova zopakovať zadaním Johnnyho novej výšky 40 palcov na správnu stranu rovnice (t.j. x(n) = 40) a dostaneme x(n+1) = 42. Ak rovnicu iterujeme (zopakujeme), 3-krát dostaneme Johnnyho výšku za 3 roky, konkrétne 44 palcov, počnúc výškou 38 palcov.

Ide o deterministický dynamický systém. Ak to chceme urobiť nedeterministickým (stochastickým), mohli by sme vytvoriť takýto model: Johnny vyrastie o 2 palce za rok, viac alebo menej, a rovnicu napíšeme ako:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

kde e je malá chyba (malá vzhľadom na 2), predstavuje určité rozdelenie pravdepodobnosti.

Vráťme sa k pôvodnej deterministickej rovnici. Pôvodná rovnica, x(n+1) = x(n) + 2, je lineárna. Lineárny znamená, že pridávate premenné alebo konštanty alebo násobíte premenné konštantami. Napríklad rovnica

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x (n)

je lineárny. Ale ak vynásobíte premenné alebo ich zvýšite na mocninu väčšiu ako jedna, rovnica (systém) sa stane nelineárnym. Napríklad rovnica

x(n+1) = x(n) 2

je nelineárne, pretože x(n) je druhá mocnina. Rovnica

je nelineárne, pretože dve premenné, x a y, sú vynásobené.

Keď aplikujeme klasické modely (napríklad trend, regresia atď.), hovoríme, že budúcnosť objektu je jednoznačne určená, t.j. závisí výlučne od počiatočných podmienok a je prístupný jasnej predpovedi. Jeden z týchto modelov môžete nezávisle vykonať v Exceli. Príklad klasického modelu môže byť reprezentovaný ako neustále klesajúci alebo rastúci trend. A môžeme predpovedať jeho správanie, poznáme minulosť objektu (počiatočné údaje pre modelovanie). A fraktály sa používajú v prípade, keď má objekt viacero možností rozvoja a stav systému je daný polohou, v ktorej sa práve nachádza. To znamená, že sa snažíme simulovať chaotický vývoj. Tento systém predstavuje medzibankový devízový trh.

Uvažujme teraz, ako možno z priamky získať to, čo nazývame fraktál, s jeho inherentnými vlastnosťami.

Na obr. 17(A) ukazuje Kochovu krivku. Vezmite úsečku, jej dĺžka = 1, t.j. stále topologický rozmer. Teraz ho rozdelíme na tri časti (každá 1/3 dĺžky) a prostrednú tretinu odoberieme. Strednú tretinu však nahradíme dvoma segmentmi (každý 1/3 dĺžky), ktoré možno znázorniť ako dve strany rovnostranného trojuholníka. Toto je druhá fáza (b) dizajnu znázorneného na obr. 17(A). V tomto bode máme 4 menšie časti, každá 1/3 dĺžky, takže celá dĺžka je 4(1/3) = 4/3. Tento postup potom zopakujeme pre každý zo 4 menších lalokov linky. Toto je tretia etapa (c). Získame tak 16 ešte menších úsečiek, každý má 1/9 dĺžky. Takže celá dĺžka je teraz 16/9 alebo (4/3) 2 . V dôsledku toho sme dostali zlomkovú dimenziu. Ale nielen to odlišuje výslednú štruktúru od priamky. Stalo sa sebepodobným a v žiadnom z jeho bodov nie je možné nakresliť dotyčnicu (obr. 17 (B)).

Obsah

Čo majú spoločné strom, morské pobrežie, oblak alebo krvné cievy v našej ruke? Na prvý pohľad sa môže zdať, že všetky tieto predmety nemajú nič spoločné. V skutočnosti však existuje jedna vlastnosť štruktúry, ktorá je vlastná všetkým uvedeným objektom: sú sebe podobné. Z konára, ako aj z kmeňa stromu odchádzajú menšie procesy, z nich - ešte menšie atď., To znamená, že konár je podobný celému stromu. Obehový systém je usporiadaný podobným spôsobom: arterioly odchádzajú z tepien a z nich - najmenšie kapiláry, cez ktoré kyslík vstupuje do orgánov a tkanív. Pozrime sa na satelitné snímky morského pobrežia: uvidíme zálivy a polostrovy; pozrime sa na to, ale z vtáčej perspektívy: uvidíme zálivy a mysy; teraz si predstavte, že stojíme na pláži a pozeráme sa na svoje nohy: vždy tu budú kamienky, ktoré budú vyčnievať ďalej do vody ako ostatné. To znamená, že pobrežie zostáva podobné ako pri priblížení. Americký matematik Benoit Mandelbrot (hoci vychovaný vo Francúzsku) nazval túto vlastnosť objektov fraktálnosťou a takéto objekty samotné – fraktály (z latinského fractus – rozbité).

Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Fraktál je zvyčajne geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností: Má zložitú štruktúru na akejkoľvek úrovni priblíženia (na rozdiel napríklad od priamky, ktorej akákoľvek časť je najjednoduchším geometrickým útvarom – úsečkou ). Je (približne) sebepodobný. Má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická. Môže byť zostavený rekurzívnymi postupmi.

Geometria a algebra

Štúdium fraktálov na prelome 19. a 20. storočia bolo viac epizodické ako systematické, pretože skorší matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné skúmať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 nemecký matematik Karl Weierstrass postavil príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a je celkom jednoduché ju nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jedna variácia tejto krivky sa nazýva Kochova snehová vločka.

Myšlienky sebapodobnosti postáv zachytil Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí podobných celku“, v ktorom je popísaný ďalší fraktál – Lévyho C-krivka. Všetky tieto fraktály uvedené vyššie možno podmienečne pripísať jednej triede konštruktívnych (geometrických) fraktálov.

Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvý výskum v tomto smere sa začal začiatkom 20. storočia a spája sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vyšlo takmer dvesto strán Júliiných spomienok, venovaných iteráciám zložitých racionálnych funkcií, v ktorých sú opísané Julie množiny – celá rodina fraktálov úzko súvisiaca s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, no neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu objavených predmetov. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo Júliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo. Pozornosť sa naň opäť obrátila až o polstoročie neskôr s príchodom počítačov: práve tie zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov.

Fraktálne rozmery

Ako viete, rozmer (počet meraní) geometrického útvaru je počet súradníc potrebných na určenie polohy bodu ležiaceho na tomto obrázku.
Napríklad poloha bodu na krivke je určená jednou súradnicou, na ploche (nie nevyhnutne rovine) dvoma súradnicami, v trojrozmernom priestore tromi súradnicami.
Zo všeobecnejšieho matematického hľadiska možno dimenziu definovať takto: zvýšenie lineárnych rozmerov, povedzme, dvojnásobné, pre jednorozmerné (z topologického hľadiska) objekty (segment) vedie k zvýšeniu veľkosti (dĺžky). ) dvojnásobne, pre dvojrozmerné (štvorcové ) rovnaké zvýšenie lineárnych rozmerov vedie k zväčšeniu veľkosti (plochy) 4-krát, pre trojrozmerné (kocka) - 8-krát. To znamená, že „skutočnú“ (tzv. Hausdorffovu) dimenziu možno vypočítať ako pomer logaritmu nárastu „veľkosti“ objektu k logaritmu nárastu jeho lineárnej veľkosti. To znamená, že pre segment D=log (2)/log (2)=1, pre rovinu D=log (4)/log (2)=2, pre objem D=log (8)/log (2 )=3.
Vypočítajme teraz rozmer Kochovej krivky, pre konštrukciu ktorej je jednotkový segment rozdelený na tri rovnaké časti a stredný interval je nahradený rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. S trojnásobným nárastom lineárnych rozmerov minimálneho segmentu sa dĺžka Kochovej krivky zvyšuje v log (4) / log (3) ~ 1,26. To znamená, že rozmer Kochovej krivky je zlomkový!

Veda a umenie

V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot vo svojej prezentácii kládol hlavný dôraz nie na ťažkopádne vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka počítačom generovaným ilustráciám a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je z veľkej časti spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý trend v umení - fraktálne maľovanie a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.

Schéma na získanie Kochovej krivky

Vojna a mier

Ako je uvedené vyššie, jedným z prírodných objektov, ktoré majú fraktálne vlastnosti, je pobrežie. Spája sa s ňou, respektíve s pokusom zmerať jej dĺžku, jeden zaujímavý príbeh, ktorý tvoril základ Mandelbrotovho vedeckého článku a je opísaný aj v jeho knihe „Fraktálna geometria prírody“. Hovoríme o experimente, ktorý pripravil Lewis Richardson, veľmi talentovaný a excentrický matematik, fyzik a meteorológ. Jedným zo smerov jeho výskumu bol pokus nájsť matematický popis príčin a pravdepodobnosti ozbrojeného konfliktu medzi dvoma krajinami. Medzi parametrami, ktoré bral do úvahy, bola aj dĺžka spoločnej hranice medzi dvoma bojujúcimi krajinami. Keď zbieral údaje pre numerické experimenty, zistil, že v rôznych zdrojoch sa údaje o spoločnej hranici Španielska a Portugalska veľmi líšia. To ho priviedlo k nasledujúcemu objavu: dĺžka hraníc krajiny závisí od pravítka, ktorým ich meriame. Čím menšia mierka, tým dlhší bude okraj. Je to spôsobené tým, že pri väčšom zväčšení je možné brať do úvahy stále viac ohybov pobrežia, ktoré boli predtým ignorované kvôli drsnosti meraní. A ak sa pri každom priblížení otvoria predtým nezapočítané ohyby čiar, potom sa ukáže, že dĺžka hraníc je nekonečná! Pravda, v skutočnosti sa to nedeje - presnosť našich meraní má konečnú hranicu. Tento paradox sa nazýva Richardsonov efekt.

Konštruktívne (geometrické) fraktály

Algoritmus na zostavenie konštruktívneho fraktálu je vo všeobecnom prípade nasledujúci. V prvom rade potrebujeme dva vhodné geometrické tvary, nazvime ich základ a úlomok. V prvej fáze je znázornený základ budúceho fraktálu. Potom sú niektoré jeho časti nahradené fragmentom odobratým vo vhodnej mierke - toto je prvá iterácia konštrukcie. Potom sa vo výslednom obrazci niektoré časti opäť zmenia na obrazce podobné fragmentom atď.. Ak budete v tomto procese pokračovať donekonečna, potom v limite dostanete fraktál.

Zvážte tento proces pomocou príkladu Kochovej krivky (pozri bočný panel na predchádzajúcej strane). Za základ Kochovej krivky možno považovať akúkoľvek krivku (pre Kochovu snehovú vločku je to trojuholník). Obmedzíme sa však na najjednoduchší prípad – segment. Fragment je prerušovaná čiara zobrazená v hornej časti obrázku. Po prvej iterácii algoritmu sa v tomto prípade pôvodný segment zhoduje s fragmentom, potom sa každý z jeho základných segmentov sám nahradí prerušovanou čiarou podobnou fragmentu atď. Obrázok ukazuje prvé štyri kroky tohto procesu.

Jazyk matematiky: dynamické (algebraické) fraktály

Fraktály tohto typu vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov (odtiaľ názov). Správanie takéhoto systému možno opísať pomocou komplexnej nelineárnej funkcie (polynómu) f(z). Zoberme si nejaký počiatočný bod z0 na komplexnej rovine (pozri bočný panel). Uvažujme teraz takú nekonečnú postupnosť čísel v komplexnej rovine, z ktorých každé je získané z predchádzajúcej: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). V závislosti od počiatočného bodu z0 sa takáto postupnosť môže správať odlišne: inklinovať k nekonečnu ako n -> ∞; konvergovať k nejakému koncovému bodu; cyklicky nadobúdať množstvo pevných hodnôt; sú možné komplexnejšie možnosti.

Komplexné čísla

Komplexné číslo je číslo pozostávajúce z dvoch častí – reálnej a imaginárnej, teda formálneho súčtu x + iy (x a y sú tu reálne čísla). ja je tzv. imaginárnu jednotku, teda číslo, ktoré spĺňa rovnicu i^ 2 = -1. Nad komplexnými číslami sú definované základné matematické operácie - sčítanie, násobenie, delenie, odčítanie (nie je definovaná iba operácia porovnávania). Na zobrazenie komplexných čísel sa často používa geometrická reprezentácia - v rovine (nazýva sa komplexná), skutočná časť je vynesená pozdĺž osi x a imaginárna časť pozdĺž osi y, zatiaľ čo komplexné číslo bude zodpovedať bodu. s kartézskymi súradnicami x a y.

Každý bod z komplexnej roviny má teda svoj vlastný charakter správania počas iterácií funkcie f (z) a celá rovina je rozdelená na časti. Okrem toho body ležiace na hraniciach týchto častí majú nasledujúcu vlastnosť: pre ľubovoľne malé posunutie sa povaha ich správania dramaticky mení (takéto body sa nazývajú bifurkačné body). Ukazuje sa teda, že množiny bodov, ktoré majú jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bifurkačných bodov, majú často fraktálne vlastnosti. Toto sú Júliove množiny pre funkciu f(z).

dračia rodina

Zmenou základne a fragmentu môžete získať ohromujúce množstvo konštruktívnych fraktálov.
Okrem toho je možné podobné operácie vykonávať v trojrozmernom priestore. Príklady volumetrických fraktálov sú „Mengerova špongia“, „Sierpinského pyramída“ a iné.
Rodina drakov sa tiež označuje ako konštruktívne fraktály. Niekedy sú označovaní menom objaviteľov ako „draci z Heiwei-Harter“ (tvarom pripomínajú čínskych drakov). Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť túto krivku. Najjednoduchší a najzrejmejší z nich je tento: musíte si vziať dostatočne dlhý pás papiera (čím tenší papier, tým lepšie) a ohnúť ho na polovicu. Potom ho znova ohnite na polovicu v rovnakom smere ako prvýkrát. Po niekoľkých opakovaniach (zvyčajne po piatich alebo šiestich prehyboch sa pás stane príliš hrubým na to, aby sa dal ďalej opatrne ohýbať), musíte pás narovnať späť a pokúsiť sa vytvoriť 90˚ uhly v záhyboch. Potom sa krivka draka ukáže v profile. Samozrejme, bude to len aproximácia, ako všetky naše pokusy o zobrazenie fraktálnych objektov. Počítač vám umožňuje zobraziť oveľa viac krokov v tomto procese a výsledkom je veľmi krásna postava.

Súprava Mandelbrot je konštruovaná trochu inak. Uvažujme funkciu fc (z) = z 2 +c, kde c je komplexné číslo. Zostrojme postupnosť tejto funkcie so z0=0, v závislosti od parametra c môže divergovať do nekonečna alebo zostať ohraničená. Okrem toho všetky hodnoty c, pre ktoré je táto sekvencia ohraničená, tvoria Mandelbrotovu množinu. Podrobne ju študoval sám Mandelbrot a ďalší matematici, ktorí objavili mnohé zaujímavé vlastnosti tohto súboru.

Je vidieť, že definície množín Julia a Mandelbrot sú si navzájom podobné. V skutočnosti tieto dva súbory spolu úzko súvisia. Menovite, Mandelbrotova množina sú všetky hodnoty komplexného parametra c, pre ktoré je pripojená množina Julia fc (z) (množina sa nazýva spojená, ak ju nemožno rozdeliť na dve nepretínajúce sa časti s niektorými ďalšími podmienkami).

fraktály a život

V súčasnosti je teória fraktálov široko používaná v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Okrem čisto vedeckého objektu na výskum a už spomínaného maľovania fraktálov sa fraktály využívajú v teórii informácie na kompresiu grafických dát (tu sa využíva hlavne vlastnosť sebapodobnosti fraktálov – predsa len, aby sme si zapamätali malý fragment výkresu a transformácií, pomocou ktorých môžete získať zvyšné časti, zaberie oveľa menej pamäte ako uloženie celého súboru). Pridaním náhodných porúch do vzorcov, ktoré definujú fraktál, je možné získať stochastické fraktály, ktoré veľmi hodnoverne sprostredkujú niektoré skutočné objekty - reliéfne prvky, povrch vodných plôch, niektoré rastliny, čo sa úspešne používa vo fyzike, geografii a počítačovej grafike na dosiahnutie väčšia podobnosť simulovaných objektov so skutočnými. V rádiovej elektronike začali v poslednom desaťročí vyrábať antény, ktoré majú fraktálny tvar. Zaberajú málo miesta a poskytujú celkom kvalitný príjem signálu. Ekonómovia používajú fraktály na opis kriviek fluktuácie meny (túto vlastnosť objavil Mandelbrot pred viac ako 30 rokmi). Týmto sa končí táto krátka exkurzia do sveta fraktálov, ktorý je úžasný svojou krásou a rozmanitosťou.

Fraktály sú známe už takmer storočie, sú dobre študované a majú množstvo aplikácií v živote. Tento jav je založený na veľmi jednoduchej myšlienke: z relatívne jednoduchých štruktúr možno pomocou dvoch operácií – kopírovania a škálovania – získať nekonečné množstvo krásnych a rozmanitých figúrok.

Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Toto sa bežne označuje ako geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností:

• má zložitú štruktúru pri akomkoľvek zväčšení;
• je (približne) sebepodobný;
• má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická;
• môžu byť postavené rekurzívnymi postupmi.

Na prelome 19. a 20. storočia bolo štúdium fraktálov viac epizodické ako systematické, pretože skorší matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné študovať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 postavil nemecký matematik Karl Weierstrass príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovaná. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a je celkom jednoduché ju nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jedna variácia tejto krivky sa nazýva Kochova snehová vločka.

Myšlienky sebapodobnosti postáv zachytil Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“, v ktorom je popísaný ďalší fraktál – Lévyho C-krivka. Všetky vyššie uvedené fraktály možno podmienene pripísať jednej triede konštruktívnych (geometrických) fraktálov.

Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvé štúdie v tomto smere pochádzajú zo začiatku 20. storočia a spájajú sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vyšlo takmer dvesto strán Júliinho diela venovaného iteráciám zložitých racionálnych funkcií, v ktorých sú opísané Júliove množiny – celá rodina fraktálov úzko súvisiaca s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, no neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu objavených predmetov. Napriek tomu, že toto dielo preslávilo Júliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa naň zabudlo.

Až o polstoročie neskôr, s príchodom počítačov, sa pozornosť obrátila na prácu Julie a Fatou: práve oni zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov. Fatou sa napokon nikdy nemohol pozerať na obrázky, ktoré dnes poznáme ako obrázky Mandelbrotovej množiny, pretože potrebný počet výpočtov nie je možné vykonať ručne. Prvý človek, ktorý na to použil počítač, bol Benoit Mandelbrot.

V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „The Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot vo svojej prezentácii kládol hlavný dôraz nie na ťažkopádne vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka počítačom generovaným ilustráciám a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je z veľkej časti spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý trend v umení - fraktálne maľovanie a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.