UHOL MEDZI ROVINAMI

Uvažujme dve roviny α 1 a α 2 dané rovnicami:

Pod rohu medzi dvoma rovinami máme na mysli jeden z uhlov dvojsteny, ktoré tieto roviny zvierajú. Je zrejmé, že uhol medzi normálovými vektormi a rovinami α 1 a α 2 sa rovná jednému z naznačených susedných dihedrických uhlov resp. . Takže . Pretože a , potom

.

Príklad. Určte uhol medzi rovinami X+2r-3z+4 = 0 a 2 X+3r+z+8=0.

Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín.

Dve roviny α 1 a α 2 sú rovnobežné práve vtedy, ak ich normálové vektory a sú rovnobežné, a teda .

Takže dve roviny sú navzájom rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach úmerné:

alebo

Podmienka kolmosti rovín.

Je jasné, že dve roviny sú kolmé práve vtedy, ak sú ich normálové vektory kolmé, a teda alebo .

Teda, .

Príklady.

PRIAMO V PRIESTORU.

VEKTOROVÁ ROVNICE PRIAMA.

PARAMETRICKÉ ROVNICE PRIAME

Poloha priamky v priestore je úplne určená určením ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.

Vektor rovnobežný s priamkou sa nazýva vedenie vektor tejto čiary.

Tak nech rovno l prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1) ležiace na priamke rovnobežnej s vektorom .

Zvážte svojvoľný bod M(x,y,z) na priamke. Z obrázku je vidieť, že .

Vektory a sú kolineárne, takže existuje také číslo t, čo , kde je násobiteľ t môže nadobudnúť akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t sa nazýva parameter. Označenie vektorov polomerov bodov M 1 a M respektíve prostredníctvom a , získame . Táto rovnica sa nazýva vektor priamka rovnica. Ukazuje, že hodnota každého parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M ležiace na priamke.

Túto rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare. Všimni si , a odtiaľto

Výsledné rovnice sú tzv parametrické priamkové rovnice.

Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r a z a bodka M sa pohybuje v priamom smere.

KANONICKÉ ROVNICE PRIAME

Nechať byť M 1 (X 1 , r 1 , z 1) - bod ležiaci na priamke l a je jeho smerový vektor. Opäť vezmite ľubovoľný bod na priamke M(x,y,z) a zvážte vektor .

Je jasné, že vektory a sú kolineárne, takže ich príslušné súradnice musia byť proporcionálne

– kanonický priamkové rovnice.

Poznámka 1. Všimnite si, že kanonické rovnice priamky možno získať z parametrických rovníc odstránením parametra t. V skutočnosti z parametrických rovníc, ktoré získame alebo .

Príklad. Napíšte rovnicu priamky parametrickým spôsobom.

Označiť , teda X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.

Poznámka 2. Nech je čiara kolmá na jednu zo súradnicových osí, napríklad na os Vôl. Potom je smerový vektor priamky kolmý Vôl, teda, m=0. V dôsledku toho nadobúdajú tvar parametrické rovnice priamky

Vylúčenie parametra z rovníc t, dostaneme rovnice priamky v tvare

Aj v tomto prípade však súhlasíme s formálnym zápisom kanonických rovníc priamky do formulára . Ak je teda menovateľ jedného zo zlomkov nula, znamená to, že čiara je kolmá na príslušnú súradnicovú os.

Podobne aj kanonické rovnice zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl a Oj alebo rovnobežná os Oz.

Príklady.

VŠEOBECNÉ ROVNICE PRIAMA ČIARA AKO PRIESTOROVÁ ČIARA DVOCH ROVINEK

Cez každú priamku v priestore prechádza nekonečný počet rovín. Akékoľvek dva z nich, ktoré sa pretínajú, ho definujú v priestore. Preto rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spolu, sú rovnicami tejto priamky.

Vo všeobecnosti akékoľvek dve nerovnobežné roviny dané všeobecnými rovnicami

určiť ich priesečník. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.

Príklady.

Zostrojte priamku danú rovnicami

Na zostrojenie priamky stačí nájsť dva ľubovoľné jej body. Najjednoduchším spôsobom je vybrať priesečníky úsečky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky za predpokladu z= 0:

Pri riešení tohto systému nachádzame pointu M 1 (1;2;0).

Podobne za predpokladu r= 0, dostaneme priesečník priamky s rovinou xOz:

Od všeobecných rovníc priamky možno prejsť k jej kanonickým alebo parametrickým rovniciam. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerový vektor priamky.

Súradnice bodu M 1 získame z tejto sústavy rovníc, pričom jednej zo súradníc priradíme ľubovoľnú hodnotu. Ak chcete nájsť smerový vektor, všimnite si, že tento vektor musí byť kolmý na oba normálové vektory a . Preto pre smerový vektor priamky l môžete vziať krížový súčin normálnych vektorov:

.

Príklad. Uveďte všeobecné rovnice priamky na kánonickú formu.

Nájdite bod na priamke. Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľne jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:

Normálne vektory rovín definujúcich priamku majú súradnice Preto bude smerový vektor rovný

. teda l: .

UHOL MEDZI PRÁVAMI

rohu medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvomi priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore dané dve rovné čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi čiarami možno považovať za uhol medzi ich smerovými vektormi a . Vzhľadom k tomu, potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

V tomto článku sa budeme zaoberať parametrickou rovnicou priamky v rovine. Uveďme príklady zostrojenia parametrickej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a smerový vektor tejto priamky. Uveďme metódy na transformáciu rovnice v parametrickom tvare do kanonických a všeobecných foriem.

Parametrická rovnica priamky L na rovine je reprezentovaný nasledujúcim vzorcom:

(1)

kde X 1 , r 1 súradnice nejakého bodu M 1 na priamke L. Vektor q={m, p) je smerový vektor čiary L, t je nejaký parameter.

Všimnite si, že pri písaní rovnice priamky v parametrickom tvare by smerový vektor priamky nemal byť nulový vektor, t.j. aspoň jedna súradnica smerového vektora. q sa musí líšiť od nuly.

Na zostrojenie priamky na rovine v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme danom parametrickou rovnicou (1) stačí nastaviť parameter t dve rôzne hodnoty, vypočítajte X a r a nakreslite priamku cez tieto body. o t=0 máme bod M 1 (X 1 , r 1) pri t= 1, získame bod M 2 (X 1 +m, r 1 +p).

Zostaviť parametrickú rovnicu priamky v rovine L stačí mať bod na čiare L a smerový vektor úsečky, alebo dva body patriace úsečke L. V prvom prípade, ak chcete zostrojiť parametrickú rovnicu priamky, musíte do rovnice (1) vložiť súradnice bodu a smerový vektor. V druhom prípade musíte najskôr nájsť smerový vektor čiary q={m, p), výpočet rozdielov zodpovedajúcich súradníc bodov M 1 a M 2: m=X 2 −X 1 , p=r 2 −r 1 (obr. 1). Ďalej, podobne ako v prvom prípade, dosaďte súradnice jedného z bodov (nezáleží na tom, ktorý) a smerový vektor q priamka v (1).

Príklad 1. Priamka prechádza bodom M=(3,−1) a má smerový vektor q= (-3, 5). Zostrojte parametrickú rovnicu priamky.

rozhodnutie. Na zostavenie parametrickej rovnice priamky dosadíme súradnice bodu a smerového vektora do rovnice (1):

Zjednodušme výslednú rovnicu:

Z výrazov (3) môžeme napísať kanonickú rovnicu priamky na rovine:

Preveďte túto rovnicu priamky do kanonickej podoby.

Riešenie: Vyjadrite parameter t cez premenné X a r:

(5)

Z výrazov (5) môžeme písať.

Prirovnanie každého zlomku v kanonických rovniciach priamky k nejakému parametru t:

Prostredníctvom parametra získame rovnice vyjadrujúce aktuálne súradnice každého bodu priamky t.

teda parametrické rovnice priamky majú tvar:

Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body.

Nech dva body M 1 (x1,y1,z1) a M2 (x2,y2,z2). Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body sa získajú rovnakým spôsobom ako podobná rovnica v rovine. Preto okamžite dáme tvar tejto rovnice.

Priamka na priesečníku dvoch rovín. Všeobecná rovnica priamky v priestore.

Ak vezmeme do úvahy dve nerovnobežné roviny, ich priesečník bude priamka.

Ak normálne vektory a nekolineárne.

Nižšie, keď budeme zvažovať príklady, ukážeme spôsob, ako transformovať takéto priame rovnice na kanonické rovnice.

5.4 Uhol medzi dvoma priamkami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok.

Uhol medzi dvoma priamkami v priestore je ktorýkoľvek z uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú dve čiary dané ich kanonickými rovnicami.

Pre uhol medzi dvoma priamkami budeme brať uhol medzi smerovými vektormi.

A

Podmienka kolmosti dvoch priamok sa redukuje na podmienku kolmosti ich smerových vektorov, teda na nulu skalárneho súčinu: alebo v súradnicovom tvare: .

Podmienka rovnobežnosti dvoch priamok sa redukuje na podmienku rovnobežnosti ich smerových vektorov a

5.5 Vzájomné usporiadanie priamky a roviny.

Nech sú dané rovnice priamky:

a lietadlá. Uhol medzi priamkou a rovinou bude ktorýkoľvek z dvoch susedných uhlov tvorených priamkou a jej priemetom do roviny (obrázok 5.5).

Obrázok 5.5

Ak je priamka kolmá na rovinu, smerový vektor priamky a normálový vektor k rovine sú kolineárne. Podmienka kolmosti priamky a roviny sa teda redukuje na podmienku kolineárnych vektorov

V prípade rovnobežnosti priamky a roviny sú ich vektory uvedené vyššie navzájom kolmé. Preto sa podmienka rovnobežnosti priamky a roviny redukuje na podmienku kolmosti vektorov; tie. ich bodový súčin je nula alebo v súradnicovom tvare: .

Nižšie sú uvedené príklady riešenia problémov súvisiacich s témou kapitoly 5.

Príklad 1:

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom A (1,2,4) kolmou na priamku danú rovnicou:

rozhodnutie:

Používame rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ako bod berieme bod A (1,2,4), cez ktorý prechádza rovina podľa podmienky.

Keď poznáme kanonické rovnice priamky, poznáme vektor rovnobežný s priamkou.

Vzhľadom na skutočnosť, že podľa podmienky je priamka kolmá na požadovanú rovinu, smerový vektor možno považovať za normálový vektor roviny.

Tak dostaneme rovnicu roviny v tvare:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Príklad 2:

Nájdite v lietadle 4x-7y+5z-20=0 bod P, pre ktorý OP zviera rovnaké uhly so súradnicovými osami.

rozhodnutie:

Urobme si schematický nákres. (Obrázok 5.6)

pri

Obrázok 5.6

Prázdny bod Р má súradnice . Pretože vektor zviera rovnaké uhly so súradnicovými osami, smerové kosínusy tohto vektora sú rovnaké

Poďme nájsť projekcie vektora:

potom sa dajú ľahko nájsť smerové kosínusy tohto vektora.

Z rovnosti smerových kosínusov vyplýva rovnosť:

x p \u003d y p \u003d z p

keďže bod P leží v rovine, dosadením súradníc tohto bodu do rovnice roviny sa zmení na totožnosť.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respektíve: r=10; z p=10.

Požadovaný bod P má teda súradnice P (10; 10; 10)

Príklad 3:

Vzhľadom na dva body A (2, -1, -2) a B (8, -7,5). Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodom B, kolmej na úsečku AB.

rozhodnutie:

Na vyriešenie úlohy použijeme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ako bod použijeme bod B (8, -7,5) a ako vektor kolmý na rovinu vektor. Poďme nájsť projekcie vektora:

potom dostaneme rovnicu roviny v tvare:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Príklad 4:

Nájdite rovnicu roviny rovnobežnej s osou OY a prechádzajúcej bodmi K(1,-5,1) a M(3,2,-2).

rozhodnutie:

Keďže rovina je rovnobežná s osou OY, použijeme neúplnú rovnicu roviny.

Ax+Cz+D=0

Vzhľadom na to, že body K a M ležia na rovine, získame dve podmienky.

Vyjadrime z týchto podmienok koeficienty A a C pomocou D.

Nájdené koeficienty dosadíme do neúplnej rovnice roviny:

od , potom znížime D:

Príklad 5:

Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

rozhodnutie:

Využime rovnicu roviny prechádzajúcej 3 danými bodmi.

dosadením súradníc bodov M, K, R za prvý, druhý a tretí dostaneme:

rozšírte determinant pozdĺž 1. riadku.

Príklad 6:

Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) a kolmo na rovinu 3x+5y-7z-21=0

rozhodnutie:

Urobme si schematický nákres (obrázok 5.7)

Obrázok 5.7

Označíme danú rovinu P 2 a požadovanú rovinu P 2. . Z rovnice danej roviny Р 1 určíme priemet vektora kolmého na rovinu Р 1.

Vektor je možné posunúť do roviny P 2 pomocou rovnobežného posunu, keďže podľa podmienky úlohy je rovina P 2 kolmá na rovinu P 1, čo znamená, že vektor je rovnobežný s rovinou P 2. .

Nájdite projekcie vektora ležiaceho v rovine Р 2:

teraz máme dva vektory ležiace v rovine R 2 . samozrejme vektor rovná vektorovému súčinu vektorov a bude kolmá na rovinu R2, pretože je kolmá na rovinu R2, a teda aj jej normálový vektor.

Vektory a sú dané ich projekciami, teda:

Ďalej použijeme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na vektor. Ako bod si môžete vziať ktorýkoľvek z bodov M 1 alebo M 2, napríklad M 1 (8, -3.1); Ako normálny vektor k rovine Р 2 berieme .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Príklad 7:

Priamka je definovaná priesečníkom dvoch rovín. Nájdite kanonické rovnice priamky.

rozhodnutie:

Máme rovnicu v tvare:

Treba nájsť pointu x 0, y 0, z 0), cez ktorý prechádza priamka a smerový vektor.

Jednu zo súradníc volíme ľubovoľne. Napríklad, z = 1, potom dostaneme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi:

Takto sme našli bod ležiaci na požadovanej priamke (2,0,1).

Ako smerový vektor požadovanej priamky berieme krížový súčin vektorov a , ktoré sú normálovými vektormi od r. , čo znamená rovnobežne s požadovanou čiarou.

Smerový vektor priamky má teda projekcie . Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej daným bodom rovnobežným s daným vektorom:

Takže požadovaná kanonická rovnica má tvar:

Príklad 8:

Nájdite súradnice priesečníka priamky a roviny 2x+3y+3z-8=0

rozhodnutie:

Danú rovnicu priamky napíšme v parametrickom tvare.

x = 3t-2; y = -t+2; z = 2t-1

každý bod priamky zodpovedá jednej hodnote parametra t. Ak chcete nájsť parameter t zodpovedajúci priesečníku priamky a roviny dosadíme výraz do rovnice roviny x, y, z cez parameter t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t = 1

potom súradnice požadovaného bodu

požadovaný priesečník má súradnice (1;1;1).

Príklad 9:

Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej rovnobežnými priamkami.

Urobme si schematický nákres (obrázok 5.9)

Obrázok 5.9

Z daných rovníc priamok a určíme priemety smerových vektorov týchto priamok. Nájdeme projekcie vektora ležiaceho v rovine P a vezmeme body a z kanonických rovníc priamok M 1 (1, -1,2) a M 2 (0,1, -2).

Prednáška č.7

Rovina a čiara v priestore

Prednášal prof. Dymkov M.P.

1. Parametrická rovnica priamky

Nech je bod M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) daný na priamke a vektor s = (l ,m ,n ) leží na

túto čiaru (alebo rovnobežnú s ňou). Vektor s sa tiež nazýva vodiť vektor rovno.

Tieto podmienky jednoznačne definujú priamku v priestore. Poďme ju nájsť

rovnica. Vezmite ľubovoľný bod M (x, y, z) na priamke. Je jasné, že vektory

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) a s sú kolineárne.

Preto M 0 M = t s − je vektorová rovnica priamky.

V súradnicovom zápise má posledná rovnica nasledujúcu parametrickú reprezentáciu

x = x0 + t l,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

kde t - "preteká"

interval (−∞ ,∞ ),

(pretože bod M (x, y, z) musí

"prebehnúť"

celý riadok).

2. Kanonická rovnica priamky

Vylúčením parametra t z predchádzajúcich rovníc máme

x − x

y − y

z − z

T-

kanonická rovnica priamky.

3. Uhol medzi čiarami. Podmienky " " a " " dvoch riadkov

Nech sú uvedené dva riadky

x − xi

y – yi

z−zi

i = 1,2.

Definícia.

Uhol medzi priamkami L 1 a L 2

nazvime ho z akéhokoľvek uhla

dva uhly tvorené dvomi priamkami, ktoré sú rovnobežné s danou čiarou a prechádzajú jedným bodom (čo môže vyžadovať paralelný posun jednej z priamok).

Z definície vyplýva, že jeden z uhlov sa rovná uhlu ϕ medzi

smerové vektory čiar

= (l 1 , m 1 , n 1 )

= (l 2, m 2, n 2 ), [a druhý uhol

potom sa bude rovnať (π − φ ) ]. Potom sa zo vzťahu určí uhol

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Priame čiary sú rovnobežné ak s a s

kolineárne

Čiary sú kolmé na s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.

4. Uhol medzi čiarou a rovinou. Podmienky « » a « » priame a

lietadlo

Nech je priamka L daná jej kanonickou rovnicou x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

a rovinu P rovnicou

Ax + By + Cz + D = 0.

Definícia. Uhol medzi čiarou L

a rovina p je ostrý uhol medzi priamkou L a jej priemetom do roviny.

Z definície (a obrázku) vyplýva, že požadovaný uhol ϕ je komplementárny (až do pravého uhla) k uhlu medzi normálovým vektorom n (A , B , C ) a

smerový vektor s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A2 + B2 + C212 + m2 + n2

(. je braný na získanie ostrého uhla).

Ak L Р, potom s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 -					podmienka " ".
Ak L P , potom s je kolineárne s n
				C-	podmienka " ".
5. Priesečníky priamky a roviny
L: x = x0 + l, t,					y = yo + mt, z = zo + nt;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Dosadením výrazov pre x, y, z do rovnice roviny a transformáciou,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Ak teraz dosadíme nájdené "t" do parametrických rovníc priamky, nájdeme požadovaný priesečník

Prednáška č.8-9

Základy matematickej analýzy

Prednášal prof. Dymkov M.P.

Jednou z hlavných operácií matematickej analýzy je operácia prechodu na limitu, ktorá sa v priebehu deje v rôznych formách. Začneme najjednoduchšou formou operácie prechodu k limite, založenej na koncepte limity takzvanej číselnej postupnosti. To uľahčí zavedenie ďalšej veľmi dôležitej formy prechodu na limitnú operáciu, limitu funkcie. V nasledujúcom texte budú konštrukcie prechodov na limit použité pri konštrukcii diferenciálneho a integrálneho počtu.



 Nekonečne malé a nekonečne veľké sekvencie

 Vzťah medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými sekvenciami.

 Najjednoduchšie vlastnosti nekonečne malých postupností

 Limit sekvencie.

 Vlastnosti konvergentných postupností

 Aritmetické operácie na konvergentných postupnostiach

 Monotónne sekvencie

 Cauchyho konvergenčné kritérium

 Číslo e a jeho ekonomické znázornenie.

 Aplikácia limitov v ekonomických výpočtoch

§ 1. Číselné postupnosti a jednoduché vlastnosti

1. Pojem číselnej postupnosti. Aritmetické operácie na postupnostiach

Číselné postupnosti sú nekonečné množiny čísel. Príklady sekvencií sú známe zo školy:

1) postupnosť všetkých členov nekonečnej aritmetickej a geometrickej postupnosti;

2) postupnosť pravidelných obvodov n-uholníkov vpísaných do daného kruhu;

	3) postupnosť čísel							približné číslo

sa bude nazývať číselná postupnosť (alebo len postupnosť).

Samostatné čísla x 3 , x 5 , x n budeme nazývať prvkami alebo členmi postupnosti (1). Symbol x n sa nazýva spoločný alebo n-tý člen tejto postupnosti. Zadaním hodnoty n = 1, 2, … v spoločnom člene x n dostaneme prvé x 1 , druhé x 2 atď. členov.

Sekvencia sa považuje za danú (pozri definíciu), ak je špecifikovaná metóda na získanie ktoréhokoľvek z jej prvkov. Postupnosť je často daná vzorcom pre bežný výraz postupnosti.

Na skrátenie zápisu sa sekvencia (1) niekedy píše ako

( x n ) . Napríklad,			znamená sekvenciu 1,
( 1+ (− 1)n ) máme			0, 2, 0, 2, … .

Štruktúra bežného termínu (jeho vzorec) môže byť zložitá. Napríklad,

							n N.
x n =					n-nepárne

Niekedy je postupnosť daná tzv opakujúce sa vzorce, t.j. vzorce, ktoré vám umožňujú nájsť nasledujúce členy postupnosti zo známych predchádzajúcich.

Príklad (Fibonacciho čísla). Nech x 1 = x 2 = 1 a je daný opakujúci sa vzorec x n = x n − 1 + x n − 2 pre n = 3, 4, …. Potom máme postupnosť 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (čísla Leonarda z Pisy, prezývaného Fibonacci). Geometricky môže byť číselná postupnosť znázornená na číselníku

os vo forme postupnosti bodov, ktorých súradnice sa rovnajú príslušným

zodpovedajúcich členov sekvencie. Napríklad ( x n ) = 1 n .

Prednáška č. 8-9 Základy matematickej analýzy prof. Dymkov M.P. 66

Zvážte spolu s postupnosťou ( x n ) ďalšiu postupnosť ( y n ): y 1 , y 2 , y , n (2).

Definícia. Súčet (rozdiel, súčin, kvocient) postupnosti

hodnoty ( xn ) a ( yn ) sa nazýva postupnosť ( zn ), ktorej členmi sú

tvorené podľa

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Súčin postupnosti (xn) a čísla c R je postupnosť (c xn).

Definícia. Postupnosť ( xn ) sa nazýva ohraničená

zhora (zdola), ak existuje reálne číslo M (m) také, že každý prvok tejto postupnosti xn spĺňa nerovna

xn ≤ M (xn ≥ m) . Postupnosť sa nazýva ohraničená, ak je ohraničená nad aj pod m ≤ xn ≤ M . Zavolá sa postupnosť xn

je neohraničená, ak pre kladné číslo A (ľubovoľne veľké) existuje aspoň jeden prvok postupnosti xn , vyhovuje

čo dáva nerovnosť xn > A.

( x n ) = ( 1 n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − je zdola ohraničené 1, ale je neohraničené.

( x n ) = ( − n ) − zhora ohraničené (–1), ale aj neohraničené.

Definícia. Zavolá sa postupnosť ( x n ). nekonečne malý,

ak pre akékoľvek kladné reálne číslo ε (bez ohľadu na to, aké je malé) existuje číslo N závislé, všeobecne povedané, na ε , (N = N (ε )) tak, že pre všetky n ≥ N je nerovnosť x n< ε .

Príklad. ( x n ) = 1 n .

Definícia. Zavolá sa postupnosť ( xn ). nekonečná bolesť -

shoy, ak pre kladné reálne číslo A (bez ohľadu na to, aké je veľké) existuje číslo N (N = N(A)) také, že pre všetky n ≥ N

získa sa nerovnosť xn > A.

Nech priamka prechádza bodom M1 (x1, y1, z1) a je rovnobežná s vektorom (m ,n, l). Napíšme rovnicu pre tento riadok.

Zoberme si ľubovoľný bod M (x, y, z) na tejto priamke a nájdime vzťah medzi x, y, z. Zostavme vektor

Vektory sú kolineárne.

- kanonická rovnica priamky v priestore.

44 Parametrické rovnice priamky

Pretože tejto rovnici vyhovujú súradnice ľubovoľného bodu na priamke, potom je výsledná rovnica parametrickou rovnicou priamky.

Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:

Transformáciou tohto systému a porovnaním hodnôt parametra t získame kanonické rovnice priamky v priestore:

Definícia. Smerové kosínusy priamky sú smerové kosínusy vektora, ktoré možno vypočítať podľa vzorcov:

Odtiaľ dostaneme: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Čísla m, n, p sa nazývajú sklon priamky. Keďže je nenulový vektor, m, n a p sa nemôžu rovnať nule súčasne, ale jedno alebo dve z týchto čísel sa môžu rovnať nule. V tomto prípade by sa v rovnici priamky mali zodpovedajúce čitateľa rovnať nule.

45 Rovnica priamky v priestore prechádzajúcej cez dva rôzne dané body.

Analytická geometria

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body.

Na rovine nech sú dané M1(x1y1) a M2(x2y2). Zostavme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej týmito dvoma bodmi, ako smerový vektor S berieme M1M2

trojka.

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body (x1 y1) a (x2, y2)

Prejdime teraz k rovniciam priamky a roviny v priestore.

Analytická geometria v 3-rozmernom priestore

Podobne ako v dvojrozmernom prípade, každá rovnica prvého stupňa vzhľadom na tri premenné x, y, z je rovnicou roviny v priestore Оxyz rovín. Kanonická rovnica roviny prechádzajúcej bodom M(x0,y0,z0) s normálou N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – čo je táto rovnica?

Hodnoty x-x0, y-y0 a z-z0 sú rozdiely medzi súradnicami aktuálneho bodu a pevného bodu. Preto vektor a (x-x 0, y-y0, z-z0) je vektor ležiaci v opísanej rovine a vektor N je vektor kolmý na rovinu, čo znamená, že sú na seba kolmé.

Potom sa ich skalárny súčin musí rovnať nule.

V súradnicovom tvare (N,a)=0 vyzerá takto:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

V priestore sa rozlišujú pravé a ľavé trojice vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c sa nazýva pravá, ak sa z ich spoločného pôvodu zdá, že prechod koncov vektorov a, b, c v určenom poradí ide v smere hodinových ručičiek. V opačnom prípade zostanú a,b,c.

46 Uhol medzi čiarami v priestore

Uhol medzi priamymi čiarami v priestore je ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamymi čiarami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore dané dve rovné čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi čiarami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a. Pretože potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:

Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, t.j. l1 je rovnobežná s l2 práve vtedy, ak je rovnobežná .

Dve čiary sú kolmé práve vtedy, ak súčet súčinov zodpovedajúcich koeficientov je rovný nule: .

Nájdite rovnice priamky prechádzajúcej bodom М1(1;2;3) rovnobežným s priamkou l1:

Keďže požadovaná priamka l je rovnobežná s l1, potom ako smerový vektor požadovanej priamky l môžeme vziať smerový vektor priamky l1.