Prečítajte si „potešenie z x“ online. Steven Strogatz - Pleasure of X

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Radosť z X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Štefan Strogatz

Potešenie z X

Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete

Informácie od vydavateľa

Prvýkrát publikované v ruštine

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Potešenie z X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Stephen Strogatz; pruhu z angličtiny - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Táto kniha môže radikálne zmeniť váš postoj k matematike. Pozostáva z krátkych kapitol, v každej objavíte niečo nové. Dozviete sa, aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo vás, pochopíte krásu geometrie, zoznámite sa s gráciou integrálneho počtu, presvedčíte sa o dôležitosti štatistiky a prídete do kontaktu s nekonečnom. . Autor vysvetľuje základné matematické myšlienky jednoducho a elegantne s brilantnými príkladmi, ktorým rozumie každý.

Všetky práva vyhradené.

Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

Predslov

Mám kamaráta, ktorý je napriek svojmu remeslu (je umelec) zapálený pre vedu. Vždy, keď sa stretneme, nadšene rozpráva o najnovšom vývoji v psychológii alebo kvantovej mechanike. No len čo sa začneme baviť o matematike, cíti chvenie v kolenách, čo ho veľmi rozruší. Sťažuje sa, že tieto zvláštne matematické symboly nielenže vzdorujú jeho chápaniu, ale niekedy ich ani nevie vysloviť.

V skutočnosti je dôvod jeho odmietania matematiky oveľa hlbší. Nebude mať potuchy, čo matematici vo všeobecnosti robia a čo tým myslia, keď hovoria, že daný dôkaz je elegantný. Niekedy si robíme srandu, že si musím len sadnúť a začať ho učiť od úplných základov, doslova 1 + 1 = 2, a ísť tak hlboko do matematiky, ako len môže.

A hoci sa tento nápad zdá šialený, práve toto sa pokúsim v tejto knihe zrealizovať. Prevediem vás všetkými hlavnými odvetviami vedy, od aritmetiky až po vyššiu matematiku, aby ju konečne využili tí, ktorí chceli druhú šancu. A tentoraz nebudete musieť sedieť pri stole. Táto kniha z vás neurobí odborníka na matematiku. Pomôže vám to však pochopiť, čo táto disciplína študuje a prečo je taká fascinujúca pre tých, ktorí jej rozumejú.

Preskúmame, ako môžu slam dunks Michaela Jordana pomôcť vysvetliť základný počet. Ukážem vám jednoduchý a úžasný spôsob, ako pochopiť základnú vetu euklidovskej geometrie – Pytagorovu vetu. Pokúsime sa prísť na koreň niektorých životných záhad, veľkých aj malých: zabil Jay Simpson svoju manželku? ako premiestniť matrac tak, aby vydržal čo najdlhšie; koľko partnerov treba pred uzavretím manželstva vystriedať – a uvidíme, prečo sú niektoré nekonečná väčšie ako iné.

Matematika je všade, len sa ju treba naučiť rozoznávať. Môžete vidieť sínusoidu na chrbte zebry, počuť ozveny Euklidových teorémov v Deklarácii nezávislosti; čo poviem, aj v suchých správach, ktoré predchádzali prvej svetovej vojne, sú záporné čísla. Môžete tiež vidieť, ako nové oblasti matematiky ovplyvňujú náš dnešný život, napríklad keď hľadáme reštaurácie pomocou počítača alebo sa snažíme aspoň pochopiť, alebo ešte lepšie prežiť desivé výkyvy na burze.

Séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“ sa objavila na internete koncom januára 2010. V reakcii na ich zverejnenie prichádzali listy a komentáre od čitateľov všetkých vekových kategórií, vrátane mnohých študentov a učiteľov. Boli aj jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz mali pocit, že im niečo uniklo O super a chcel by som to skúsiť znova. Potešila ma najmä vďačnosť od rodičov, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, zanietení obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, s výnimkou tých chvíľ, keď medzi sebou súperili o ponúkanie najrôznejších odporúčaní na zlepšenie môjho duchovného dieťaťa.

Napriek všeobecnému presvedčeniu je v spoločnosti jasný záujem o matematiku, hoci sa tomuto fenoménu venuje malá pozornosť. Všetko, o čom počujeme, je strach z matematiky, no mnohí by sa radi pokúsili jej lepšie porozumieť. A keď sa to stane, bude ťažké ich odtrhnúť.

Táto kniha vám predstaví najkomplexnejšie a najpokročilejšie myšlienky zo sveta matematiky. Kapitoly sú malé, ľahko sa čítajú a nie sú na sebe nijako zvlášť závislé. Medzi nimi sú tie, ktoré sú zahrnuté v prvej sérii článkov v New York Times. Takže, akonáhle pocítite mierny matematický hlad, neváhajte a pustite sa do ďalšej kapitoly. Ak chcete problematike, ktorá vás zaujíma, porozumieť podrobnejšie, tak na konci knihy sú poznámky s ďalšími informáciami a odporúčania, čo si o nej ešte môžete prečítať.

Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím študijných tém.

I. časť Čísla začína našu púť s počtami v materskej a základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a aké magicky účinné sú pri opise sveta okolo nás.

Časť II, „Pomery“, presúva pozornosť od samotných čísel na vzťahy medzi nimi. Tieto myšlienky sú jadrom algebry a sú prvými nástrojmi na opis toho, ako jedna vec ovplyvňuje druhú, ukazujúci vzťah príčiny a následku rôznych vecí: ponuky a dopytu, stimulov a odozvy – skrátka všetkých druhov vzťahy, vďaka ktorým je svet taký bohatý a pestrý.

Časť III „Obrázky“ nehovorí o číslach a symboloch, ale o číslach a priestore - doméne geometrie a trigonometrie. Tieto témy spolu s popisom všetkých pozorovateľných objektov prostredníctvom tvarov, logického uvažovania a dôkazov posúvajú matematiku na novú úroveň presnosti.

V časti IV, Čas na zmenu, sa pozrieme na kalkul, najvzrušujúcejšie a najrozmanitejšie odvetvie matematiky. Kalkulus umožňuje predpovedať trajektóriu planét, cykly prílivu a odlivu a umožňuje pochopiť a opísať všetky periodicky sa meniace procesy a javy vo Vesmíre a v nás. Dôležité miesto v tejto časti má štúdium nekonečna, ktorého upokojenie sa stalo prelomom, ktorý umožnil fungovanie výpočtov. Výpočtová technika pomohla vyriešiť mnohé problémy, ktoré vznikli v starovekom svete, a to nakoniec viedlo k revolúcii vo vede a modernom svete.

Časť V, „Mnohé tváre údajov“, sa zaoberá pravdepodobnosťou, štatistikou, sieťami a vedou o údajoch – stále relatívne novými oblasťami, ktoré vznikli z menej vždy usporiadaných aspektov nášho života, ako sú príležitosti a šťastie, neistota, riziko. , variabilita, chaos, vzájomná závislosť. Pomocou správnych nástrojov matematiky a vhodných typov údajov sa naučíme odhaľovať vzory v toku náhodnosti.

Na konci našej cesty v časti VI „Hranice možného“ sa priblížime k hraniciam matematického poznania, k hranici medzi tým, čo je už známe, a tým, čo je zatiaľ neuchopiteľné a neznáme. Opäť si prejdeme témy v už známom poradí: čísla, pomery, čísla, zmeny a nekonečno – no zároveň sa na každú z nich pozrieme hlbšie, v jej modernej inkarnácii.

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Radosť X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Štefan Strogatz

Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete

Informácie od vydavateľa

Prvýkrát publikované v ruštine

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

The Pleasure of X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Steven Strogatz; pruhu z angličtiny - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Všetky práva vyhradené.

Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

Predslov

Séria 15 článkov pod všeobecným názvom „Základy matematiky“ sa objavila na internete koncom januára 2010. V reakcii na ich zverejnenie prichádzali listy a komentáre od čitateľov všetkých vekových kategórií, vrátane mnohých študentov a učiteľov. Boli aj jednoducho zvedaví ľudia, ktorí z jedného alebo druhého dôvodu „zablúdili“ v chápaní matematickej vedy; teraz mali pocit, že vynechali niečo, čo stálo za to, a chceli by to skúsiť znova. Potešila ma najmä vďačnosť od rodičov, že s mojou pomocou dokázali svojim deťom vysvetliť matematiku a oni sami jej začali lepšie rozumieť. Zdalo sa, že aj moji kolegovia a súdruhovia, zanietení obdivovatelia tejto vedy, radi čítali články, s výnimkou tých chvíľ, keď medzi sebou súperili o ponúkanie najrôznejších odporúčaní na zlepšenie môjho duchovného dieťaťa.

Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím študijných tém.

I. časť Čísla začína našu púť s počtami v materskej a základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a aké magicky účinné sú pri opise sveta okolo nás.

Dúfam, že všetky myšlienky opísané v tejto knihe sa vám budú zdať fascinujúce a prinútia vás viackrát zvolať: „Wow!“ Vždy však treba niekde začať, takže začnime jednoduchou, no fascinujúcou činnosťou, akou je počítanie.

1. Základy čísel: Pridanie rýb

Najlepšia ukážka číselných konceptov, akú som kedy videl (najjasnejšie a najzábavnejšie vysvetlenie toho, čo sú čísla a prečo ich potrebujeme), bola v epizóde populárnej detskej relácie Sezamová ulica s názvom 123: Counting Together “(123 Counter with Me). X...

Aké užitočné sú čísla na štúdium sveta okolo nás, aká je krása geometrie, aké elegantné sú integrálne čísla a aká dôležitá je štatistika? O tom všetkom hovorí Steven Strogatz vo svojej knihe The Pleasure of X. Autor jednoducho a elegantne vysvetľuje základné matematické myšlienky a uvádza príklady, ktorým každý rozumie. stránka publikuje jednu z kapitol knihy, ktorú vydali Mann, Ivanov a Ferber.

Štatistika sa zrazu stala trendovou oblasťou. S príchodom internetu, elektronického obchodu, sociálnych sietí, projektu ľudského genómu a rozvoja digitálnej kultúry všeobecne sa svet zavalil údajmi. Obchodníci skúmajú naše chute a zvyky. Spravodajské agentúry zhromažďujú informácie o našej polohe, e-maily a telefónne hovory. Športoví štatistici žonglujú s číslami, aby sa rozhodli, ktorých hráčov kúpiť, koho draftovať a koho postaviť na lavičku. Každý sa snaží pospájať bodky do grafu a objaviť vzor v neprehľadnej zbierke údajov.

Nie je prekvapujúce, že tieto trendy sa premietajú aj do vyučovania. „Pozrime sa na štatistiky,“ nabáda Greg Mankiw, ekonóm z Harvardskej univerzity, v stĺpci New York Times.

„Učebné osnovy matematiky na strednej škole trávia príliš veľa času tradičnými témami, ako je euklidovská geometria a trigonometria. Tieto duševné cvičenia, užitočné pre bežného človeka, sú však v každodennom živote málo použiteľné. Študentom by veľmi prospelo, keby sa dozvedeli viac o pravdepodobnosti a štatistike.“ David Brooks ide ešte ďalej. Vo svojom článku o odboroch, ktoré si zaslúžia pozornosť na získanie slušného vzdelania, píše: „Zober si štatistiku. Uvidíte, ukáže sa, že vedieť, čo je štandardná odchýlka, bude pre vás v živote veľmi užitočné.“

Je to celkom pravdepodobné a je to tiež dobrý nápad pochopiť, čo je distribúcia. Toto je prvá vec, o ktorej chcem hovoriť. A rád by som sa na to zameral, pretože toto je jedna z hlavných lekcií štatistiky: veci sa zdajú byť beznádejne náhodné a nepredvídateľné, keď sa na ne pozeráme jednotlivo, ale spolu odhaľujú vzorec a predvídateľnosť.

Možno ste videli ukážku tohto princípu vo vedeckom múzeu (ak nie, videá nájdete online). Typickým exponátom je mašinka nazývaná Galtonova doska, ktorá trochu pripomína hrací automat bez plutvy. V jeho vnútri sú rovnomerné rady špendlíkov v pravidelných rozostupoch.

Galtonova doska

Experiment začína stovkami loptičiek vypustených do hornej časti Galtonovej dosky. Keď padnú, narážajú na kolíky a je rovnako pravdepodobné, že sa odrazia doprava alebo doľava, a potom sa rozložia na spodok dosky a spadnú do priehradiek rovnakej šírky. Výška stĺpca loptičiek ukazuje, aká je pravdepodobnosť, že loptička skončí na danom mieste. Väčšina guličiek je umiestnená približne v strede, po stranách je ich menej, na okrajoch ešte menej.

Vo všeobecnosti je obraz mimoriadne predvídateľný: loptičky vždy tvoria rozloženie v tvare zvona, hoci nie je možné predpovedať, kde každá jednotlivá guľa skončí.

Ako sa jednotlivé nehody menia na všeobecné vzorce? Ale takto funguje náhoda. Stredný stĺpec obsahuje najviac loptičiek, pretože mnohé z nich pred zvalením spravia približne rovnaký počet skokov doprava a doľava a v dôsledku toho skončia niekde v strede. Niekoľko osamelých loptičiek umiestnených na okrajoch tvorí chvosty distribúcie - sú to tie loptičky, ktoré sa pri zrážke s kolíkmi odrazili vždy rovnakým smerom. Takéto odrazy sú nepravdepodobné, a preto je na okrajoch tak málo loptičiek.

Rovnako ako umiestnenie každej gule je určené súčtom mnohých náhodných udalostí, mnohé javy v tomto svete sú výsledkom mnohých malých okolností a tiež sa riadia krivkou v tvare zvona. Na tomto princípe fungujú poisťovne. Dokážu presne odhadnúť počet svojich klientov, ktorí ročne zomrú. Nevedia však, kto presne bude mať tentokrát smolu.

Alebo si vezmite napríklad výšku človeka. Závisí to od nespočetných nehôd súvisiacich s genetikou, biochémiou, výživou a životným prostredím. Preto je veľká šanca, že keď sa zohľadnia spolu, výšky dospelých mužov a žien vytvoria krivku v tvare zvona.

V blogovom príspevku s názvom „Misthings People Tell About Themselves Online“ štatistická služba zo zoznamky OkCupid nedávno zverejnila graf rastu svojich klientov, respektíve ich vlastných hodnôt. Zistilo sa, že rýchlosti rastu oboch pohlaví podľa očakávania tvoria krivku v tvare zvona. Prekvapivé však je, že obe distribúcie boli od očakávaných hodnôt posunuté asi o dva palce doprava.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

Takže buď sú zákazníci, ktorých opýta OkCupid, vyšší ako priemer, alebo pri popisovaní online pridajú k svojej výške niekoľko centimetrov navyše.

Idealizovanou verziou takýchto zvonových kriviek je to, čo matematici nazývajú normálne rozdelenie. Ide o jeden z najdôležitejších pojmov v štatistike, ktorý má teoretický základ. Dá sa dokázať, že k normálnemu rozdeleniu dochádza, keď sa sčíta veľké množstvo malých náhodných faktorov, pričom každý z nich pôsobí nezávisle od ostatných. A veľa udalostí sa deje týmto spôsobom.

Ale nie všetky. A toto je druhý bod, na ktorý by som rád upozornil. Normálne rozdelenie nie je také všadeprítomné, ako sa zdá. Počas stoviek rokov a najmä v posledných desaťročiach vedci a štatistici zaznamenali existenciu mnohých javov, ktoré sa odchyľujú od tejto krivky a riadia sa vlastným harmonogramom. Je zvláštne, že takéto typy distribúcií sa prakticky neuvádzajú v učebniciach o elementárnej štatistike, a ak sa nájdu, zvyčajne sa považujú za nejaký druh patológie.

Toto je zvláštne. Pokúsim sa vysvetliť, že mnohé fenomény moderného života sa stanú zmysluplnejšími, ak pochopíme tieto „patologické“ rozdelenia. Toto je nový normál. Vezmite si napríklad rozdelenie veľkostí miest v Spojených štátoch. Namiesto zhlukovania sa okolo nejakej priemernej zvonovej krivky je veľká väčšina miest malá, a preto sa zhlukujú na ľavej strane grafu.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

A čím je počet obyvateľov mesta väčší, tým sú takéto mestá menej bežné. Inými slovami, v súhrne bude distribúcia viac krivka v tvare L ako krivka v tvare zvona.

A to nie je prekvapujúce. Každý vie, že megamiest je oveľa menej ako malých miest. Aj keď to nie je také zrejmé, veľkosti miest majú pekné jednoduché rozdelenie - keď sa na ne pozriete v logaritmickej mierke.

Budeme predpokladať, že rozdiel medzi dvoma mestami je rovnaký, ak sa ich počet obyvateľov líši rovnakým počtom krát (rovnako ako akékoľvek dva klavírne klávesy oddelené oktávou sa vždy líšia o polovicu vo frekvencii). A urobme to isté na zvislej osi.

Strogatz S. Pleasure from H. - M.: Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

Údaje teraz ležia na krivke, ktorá je takmer dokonalou priamkou. Na základe vlastností logaritmov je ľahké odvodiť, že pôvodná krivka v tvare písmena L je závislosť mocninového zákona, ktorá je opísaná funkciou tvaru

kde x je počet obyvateľov mesta, y je počet miest tejto veľkosti, c je konštanta a exponent a (mocninový exponent) určuje záporný sklon priamky.

Rozvody výkonu majú z pohľadu tradičnej štatistiky niektoré nelogické vlastnosti. Napríklad na rozdiel od normálneho rozdelenia sa ich režimy, mediány a priemery nezhodujú v dôsledku šikmého, asymetrického tvaru kriviek v tvare písmena L.

Prezident Bush z toho veľmi profitoval, keď v roku 2003 povedal, že zníženie daní ušetrilo každej rodine v priemere 1 586 dolárov. Hoci je to matematicky správne, využil priemerný odpočet, pod ktorým sa skrývali obrovské odpočty v stovkách tisíc dolárov, ktoré dostalo najbohatších 0,1 % obyvateľov krajiny. Je známe, že chvost na pravej strane rozdelenia príjmov sa riadi mocenským zákonom a v takejto situácii je použitie priemeru zavádzajúce, pretože je ďaleko od jeho skutočnej hodnoty. V skutočnosti väčšina rodín dostala späť menej ako 650 dolárov. V tomto rozdelení je medián výrazne nižší ako priemer.

Tento príklad demonštruje kľúčovú vlastnosť rozdelenia mocninného zákona: majú ťažké chvosty v porovnaní aspoň s malými tekutými chvostmi normálneho rozdelenia. Veľké chvosty, ako je tento, aj keď sú zriedkavé, sú v distribúcii údajov bežnejšie ako bežné krivky v tvare zvona.

V čierny pondelok 19. októbra 1987 klesol Dow Jones Industrial Average o 22 %. V porovnaní s obvyklou mierou volatility na akciovom trhu tento pokles predstavoval viac ako dvadsať štandardných odchýlok. Podľa tradičnej štatistiky (ktorá používa normálne rozdelenie) je takáto udalosť takmer nemožná: jej pravdepodobnosť je menšia ako jedna ku 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10. mocnina). To sa však stalo – pretože kolísanie cien na akciovom trhu neprebiehalo podľa normálneho rozdelenia.

Na ich popis sú vhodnejšie distribúcie s ťažkým chvostom. Stáva sa to pri zemetraseniach, požiaroch a záplavách, čo poisťovniam sťažuje riadenie rizík.

Rovnaký matematický model popisuje počet obetí vojen a teroristických útokov, ako aj iné, oveľa mierumilovnejšie veci, ako napríklad počet slov v románe alebo počet sexuálnych partnerov, ktorých má človek.

Hoci prídavné mená používané na opis dlhých chvostov ich nevykresľujú vo veľmi priaznivom svetle, chvostoskoky nosia svoje chvosty hrdo. Tučný, ťažký a dlhý? Áno, je. Ale v tomto prípade mi ukáž, ktorý z nich je normálny?

Radosť z X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Všetky práva vyhradené. Žiadna časť elektronickej verzie tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme alebo akýmikoľvek prostriedkami, vrátane zverejňovania na internete alebo v podnikových sieťach, na súkromné alebo verejné použitie bez písomného súhlasu vlastníka autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

* * *

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Predslov

Aby sme si ujasnili, čo myslím životom čísel a ich správaním, ktoré nemôžeme kontrolovať, vráťme sa do hotela Furry Paws. Predpokladajme, že Humphrey sa práve chystal odovzdať objednávku, no potom mu nečakane zavolali tučniaky z inej miestnosti a tiež požiadali o rovnaké množstvo rýb. Koľkokrát musí Humphrey zakričať slovo „ryba“ po prijatí dvoch objednávok? Ak by sa o číslach nič nenaučil, musel by kričať toľkokrát, koľko je tučniakov v oboch izbách. Alebo pomocou čísel mohol kuchárovi vysvetliť, že na jedno číslo potrebuje šesť rýb a na druhé šesť. Čo však skutočne potrebuje, je nový koncept: pridanie. Keď to zvládne, hrdo povie, že potrebuje šesť plus šesť (alebo, ak je pozér, dvanásť) rýb.

Ide o rovnaký tvorivý proces, ako keď sme prvýkrát vymýšľali čísla. Rovnako ako čísla uľahčujú počítanie ako uvádzanie po jednom, sčítanie uľahčuje výpočet akejkoľvek sumy. Zároveň sa ten, kto robí výpočet, rozvíja ako matematik. Vedecky možno túto myšlienku formulovať nasledovne: používanie správnych abstrakcií vedie k hlbšiemu vhľadu do podstaty problematiky a väčšej sile pri jej riešení.

Čoskoro si možno aj Humphrey uvedomí, že teraz vie vždy počítať.

Avšak aj napriek takejto nekonečnej perspektíve má naša kreativita vždy nejaké obmedzenia. Môžeme sa rozhodnúť, čo myslíme 6 a +, ale keď to urobíme, výsledky výrazov ako 6 + 6 sú mimo našu kontrolu. Tu nám logika nedá na výber. V tomto zmysle matematika vždy zahŕňa vynález, tak a otvorenie: my vymyslieť koncept, ale OTVORENÉ ich dôsledky. Ako objasnia nasledujúce kapitoly, naša sloboda v matematike spočíva v schopnosti klásť otázky a vytrvalo hľadať odpovede bez toho, aby sme si ich museli sami vymýšľať.

2. Kamenná aritmetika

Ako každý jav v živote, aj aritmetika má dve stránky: formálnu a zábavnú (alebo hravú).

Formálnu časť sme študovali v škole. Tam nám vysvetlili, ako pracovať so stĺpcami čísel, ich sčítavanie a odčítavanie, ako ich chrúmať pri výpočtoch v tabuľkách pri vypĺňaní daňových priznaní a príprave výročných správ. Táto stránka aritmetiky sa mnohým zdá z praktického hľadiska dôležitá, ale úplne neradostná.

So zábavnou stránkou aritmetiky sa môžete zoznámiť iba v procese štúdia vyššej matematiky {3}. Je to však prirodzené ako detská zvedavosť {4}.

V eseji „The Mathematician's Lament“ Paul Lockhart navrhuje študovať čísla na konkrétnejších príkladoch ako zvyčajne: žiada nás, aby sme ich považovali za množstvo kameňov. Napríklad číslo 6 zodpovedá nasledujúcej skupine kamienkov:

Je nepravdepodobné, že tu uvidíte niečo neobvyklé. Ako to je. Kým s číslami nezačneme manipulovať, vyzerajú takmer rovnako. Hra začína, keď dostaneme úlohu.

Pozrime sa napríklad na sady, ktoré obsahujú od 1 do 10 kameňov a skúsme z nich poskladať štvorce. Dá sa to urobiť len s dvoma sadami 4 a 9 kameňov, pretože 4 = 2 × 2 a 9 = 3 × 3. Tieto čísla získame odmocnením nejakého iného čísla (t. j. usporiadaním kameňov do štvorca).

Tu je problém, ktorý má väčší počet riešení: musíte zistiť, ktoré sady vytvoria obdĺžnik, ak kamene usporiadate do dvoch radov s rovnakým počtom prvkov. Tu sú vhodné sady 2, 4, 6, 8 alebo 10 kameňov; číslo musí byť párne. Ak sa pokúsime usporiadať zostávajúce sady s nepárnym počtom kameňov do dvoch radov, vždy dostaneme kameň navyše.

Ale pre tieto trápne čísla nie je všetko stratené! Ak vezmete dve takéto sady, extra prvky nájdu pár a súčet bude párny: nepárne číslo + nepárne číslo = párne číslo.

Ak tieto pravidlá rozšírime na čísla po 10 a predpokladáme, že počet riadkov v obdĺžniku môže byť viac ako dva, potom niektoré nepárne čísla umožnia pridanie takýchto obdĺžnikov. Napríklad číslo 15 môže tvoriť obdĺžnik 3 × 5.

Preto, aj keď je 15 nepochybne nepárne číslo, je to zložené číslo a možno ho znázorniť ako tri rady po piatich kameňoch. Podobne každý záznam v násobilke vytvorí svoju vlastnú obdĺžnikovú skupinu kamienkov.

Ale niektoré čísla, ako napríklad 2, 3, 5 a 7, sú úplne beznádejné. Nemôžete z nich nič rozložiť, iba ich usporiadať vo forme jednoduchej čiary (jeden riadok). Títo zvláštni tvrdohlaví ľudia sú slávnymi prvočíslami.

Vidíme teda, že čísla môžu mať zvláštne štruktúry, ktoré im dávajú určitý charakter. Aby ste však pochopili celý rozsah ich správania, musíte ustúpiť od jednotlivých čísel a sledovať, čo sa deje počas ich interakcie.

Napríklad namiesto sčítania iba dvoch nepárnych čísel spočítajme všetky možné postupnosti nepárnych čísel, počnúc 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Prekvapivo sa tieto sumy vždy ukážu ako dokonalé štvorce. (Už sme povedali, že 4 a 9 môžu byť reprezentované ako štvorce a pre 16 = 4 × 4 a 25 = 5 × 5 to platí tiež.) Rýchly výpočet ukazuje, že toto pravidlo platí aj pre väčšie nepárne čísla a zrejme , má tendenciu k nekonečnu. Aké je však spojenie medzi nepárnymi číslami s ich „extra“ kameňmi a klasicky symetrickými číslami, ktoré tvoria štvorce? Správnym umiestnením kamienkov to môžeme dať najavo, čo je znakom elegantného dôkazu. {5}

Kľúčom k tomu je pozorovanie, že nepárne čísla môžu byť reprezentované ako rovnostranné uhly, ktorých postupné prekrývanie tvorí štvorec!

Podobný spôsob uvažovania predstavuje ďalšia nedávno vydaná kniha. Pôvabný román Yoko Ogawa Housekeeper a profesor rozpráva príbeh bystrej, no nevzdelanej mladej ženy a jej desaťročného syna. Žena bola najatá, aby sa starala o staršieho matematika, ktorého krátkodobá pamäť v dôsledku traumatického poranenia mozgu uchováva len informácie o posledných 80 minútach jeho života. Stratený v prítomnosti, sám vo svojej špinavej chalúpke, len s číslami, sa profesor pokúša komunikovať s gazdinou jediným spôsobom, ktorý pozná: pýta sa jej na veľkosť topánok alebo dátum narodenia a hovorí s ňou o jej výdavkoch. Profesor si mimoriadne obľúbi aj syna hospodárky, ktorého volá Ruth (Root), pretože chlapec má navrchu plochú hlavu, čo mu pripomína matematický zápis pre druhú odmocninu √.

Jedného dňa zadá profesor chlapcovi jednoduchú úlohu – nájsť súčet všetkých čísel od 1 do 10. Potom, čo Ruth opatrne spočíta všetky čísla a vráti sa s odpoveďou (55), profesor ho požiada, aby hľadal jednoduchší spôsob. Podarí sa mu nájsť odpoveď? bez obyčajné sčítanie čísel? Ruth kope do stoličky a kričí: "To nie je fér!"

Postupne sa do sveta čísel dostáva aj domáca a potajomky sa tento problém snaží vyriešiť sama. „Nechápem, prečo ma tak zaujíma detské puzzle, ktoré nemá praktické využitie,“ hovorí. „Najprv som chcel potešiť profesora, ale postupne sa táto hodina zmenila na bitku medzi mnou a číslami. Keď som sa ráno zobudil, už na mňa čakala rovnica:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Túto knihu dobre dopĺňa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexibilné vedomie

Carol Dweck

Fyzika akciového trhu

James Weatherall

Radosť z X

Prehliadka matematiky so sprievodcom, od jednej do nekonečna

Štefan Strogatz

Potešenie z X

Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete

Informácie od vydavateľa

Prvýkrát publikované v ruštine

Publikované so súhlasom Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Potešenie z X. Fascinujúca cesta do sveta matematiky od jedného z najlepších učiteľov na svete / Stephen Strogatz; pruhu z angličtiny - M.: Mann, Ivanov a Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Všetky práva vyhradené.

Žiadna časť tejto knihy nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme bez písomného súhlasu držiteľov autorských práv.

Právnu podporu vydavateľstvu poskytuje advokátska kancelária Vegas-Lex.

Predslov

Pre pohodlie čitateľov, ktorí preferujú postupný prístup, som materiál rozdelil do šiestich častí v súlade s tradičným poradím študijných tém.

I. časť Čísla začína našu púť s počtami v materskej a základnej škole. Ukazuje, aké užitočné môžu byť čísla a aké magicky účinné sú pri opise sveta okolo nás.

Portál pre školákov. Vlastná príprava

* * *

Túto knihu dobre dopĺňa:

Predslov

2. Kamenná aritmetika

SÚVISIACE ČLÁNKY