206. Vieme (č. 175), že ak ∠A (obr. 203 alebo 204) pretínajú dva rovnobežné KL a BC, potom sa pomer ľubovoľných dvoch úsečiek na jednej strane tohto uhla rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich segmenty na druhej strane (napr. AK/KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL atď.). Ale vidíme, že na samotných paralelných segmentoch máme viac segmentov, a to KL a BC. Vzniká otázka, či je možné zvoliť dva segmenty AL, LC a AC ležiace na rovnakej strane nášho uhla A tak, aby sa ich pomer rovnal pomeru segmentov KL a BC.

Na tento účel najskôr prenesieme úsečku KL na priamku BC, pre ktorú potrebujeme zostrojiť LD || AB; potom BD = KL. Potom namiesto úsečiek KL a BC môžeme uvažovať úsečky BD a BC, ktoré sa nachádzajú na strane CB uhla C. Keďže sa ukázalo, že ∠C pretínajú dve rovnobežné priamky, a to priamky AB a LD , potom aplikovaním § 175 na uhol C zistíme

BD/BC = AL/AC alebo KL/BC = AL/AC.

Problém je vyriešený: podarilo sa nám nájsť dva segmenty AL a AC na strane AC tak, že ich pomer = KL/BC. Keď tiež vieme, že AK/AB = AL/AC, môžeme teraz napísať rovnosti:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Vzhľadom na tieto rovnosti sme dospeli k záveru, že spájajú strany dvoch získaných trojuholníkov, a to ∆AKL a ∆ABC. Vynára sa nová otázka: sú uhly týchto trojuholníkov nejakým spôsobom spojené?

Odpoveď na poslednú otázku je ľahké nájsť: ∠A naše trojuholníky majú spoločné, ∠K = ∠B, čo zodpovedá rovnobežke KL a BC a sečne AB, a ∠L = ∠C, čo zodpovedá rovnakej rovnobežke, ale so sečným AC.

Môžeme presunúť ∆AKL (Kap. 203) na iné miesto, alebo, čo je to isté, skonštruovať nový ∆A"K"L" rovnajúci sa ∆AKL, jeho strany a uhly sa budú rovnať stranám a uhlom ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

Potom dostaneme ∆A"K"L", čo je v rovnakom vzťahu s ∆ABC ako ∆AKL:
1) tieto trojuholníky majú rovnaké uhly: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) pre strany máme proporcie:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Treba poznamenať, že dve strany každého vzťahu nie sú náhodne spojené do jedného vzťahu - nemôžete napríklad písať A "L" / AB = A "K" / BC = K "L" / AC. Človek musí vedieť nájsť tie strany, ktoré by mali byť členmi jedného vzťahu. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je pomocou uhlov trojuholníkov: môžete si všimnúť, že strany každého vzťahu v rovnosti (1) ležia v trojuholníkoch proti rovnakým uhlom (A"K" proti ∠L a AB proti rovnakému uhlu C atď. .). Je zvyčajné nazývať strany, ktoré slúžia ako členovia toho istého vzťahu, podobnými (strana A „K“ je podobná strane AB, A „L“ – AC a K „L“ – BC) a podobné strany sú umiestnené v našich trojuholníkoch proti rovnakým uhlom .

Rovnosť (1) možno čítať v skrátených pojmoch:

Strany trojuholníka ∆A"K"L" sú úmerné podobným stranám ∆ABC.

Slovo "proporcionálne" znamená: pomer jednej dvojice podobných strán trojuholníkov A"K"L" a ABC sa rovná pomeru druhej dvojice a rovná sa pomeru tretej dvojice.

Trojuholníky, ktoré majú dva znaky uvedené vyššie, sa nazývajú podobné. Na označenie podobnosti trojuholníkov sa používa znak ~. Dostali sme: ∆AKL ~ ∆ABC a tiež ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

Teraz môžete nainštalovať:

Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak uhly jedného sú v pároch rovnaké ako uhly druhého a ich podobné strany sú úmerné.

Komentujte. Zoberme si z rovnosti (1) len jednu, napríklad A"K"/AB = A"L"/AC. Aplikovaním vlastnosti položky 178 tu dostaneme: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, t.j. pomer dvoch strán jedného trojuholníka sa rovná pomeru dvoch podobných strán iného trojuholníka podobného prvému.

207. Hlavným znakom podobnosti trojuholníkov. Podľa predchádzajúceho odseku môžeme zostrojiť nespočetnú množinu trojuholníkov podobných tomu danému: na to potrebujeme daný trojuholník pretnúť rôznymi priamkami rovnobežnými s jednou z jeho strán a potom, ak chcete, preniesť každý výsledný trojuholník na iné miesto v lietadle. Vo všetkých výsledných trojuholníkoch zostávajú uhly nezmenené a pomer ktorejkoľvek strany jednej k podobnej strane daného (škála podobnosti) sa mení. Preto vzniká myšlienka, či nestačí na podobnosť dvoch trojuholníkov len rovnosť ich uhlov.

Zostavme 2 trojuholníky: ∆ABC a ∆DEF (Graf 205) tak, aby ∠A = ∠E a ∠B = ∠D. Potom najskôr zistíme, že ∠C = ∠F (pretože súčet uhlov každého trojuholníka = 2d).

Vnútime ∆DEF na ∆ABC tak, aby sa napríklad bod E dostal do bodu A. Potom otáčaním okolo tohto bodu idú v dôsledku rovnosti ∠E = ∠A, ED a EF pozdĺž AB a AC; bočná DF musí zaberať takú polohu KL, aby ∠AKL = ∠D = ∠B a ∠ALK = ∠F = ∠C, t.j. aby KL || BC, pretože sa získajú rovnaké zodpovedajúce uhly.

Preto sme dospeli k záveru, že ∆DEF možno získať zostrojením predchádzajúcej časti a následne, že ∆DEF ~ ∆ABC. Ak teda dva uhly jedného trojuholníka sa rovnajú dvom uhlom druhého, potom sú tieto trojuholníky podobné.

208. Úloha. Zostrojte štvrtý úmerný trom daným segmentom.

Nech sú dané segmenty a, b a c (graf 206); je potrebné skonštruovať takýto 4. segment x, aby došlo k podielu a/b = c/x.

Postavíme dve ľubovoľné priamky AB a CD pretínajúce sa v bode O a z bodu O vyčleníme na jednu z nich úsečky prvého vzťahu: OA = a, OB = b (je možné v jednom alebo v rôznych smeroch od bod O) a na druhej priamke známy úsek druhého vzťahu OC = c. Potom spojíme priamkou konce tých segmentov, ktoré slúžia ako predchádzajúce členy našej proporcie (ak jeden z nich nebol známy, potom musíme spojiť konce segmentov, ktoré slúžia ako následné členy tejto proporcie); dostaneme priamku AC spájajúcu konce segmentov a a c. Potom cez bod B zostrojíme priamku BD || AC. Potom sa naučíme ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, ako vertikálne a ∠C = ∠D, ako vnútorné priečne ležiace, čo podľa predchádzajúceho odseku postačuje na podobnosť našich trojuholníkov). Máme teda (č. 206) proporcionalitu podobných strán:

OA/OB = OC/OD alebo a/b = c/OD,

z toho vyplýva, že požadovaný segment x = OD.

Ak by bolo potrebné splniť pomery x/c = a/b, potom by bolo potrebné spojiť body B a C a zostrojiť AL || BD; potom by segment OL bol požadovaný.

Poznámka . Ak zostrojíme segment x tak, že napríklad je splnený pomer x/c = a/b, potom žiadny iný segment x" tento podiel nesplní; ak x"> x, potom x"/c > x>c a teda x"/c > a/b, ak x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Ďalšie znaky podobnosti trojuholníkov. 1) Ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly medzi nimi sú rovnaké, potom sú tieto dva trojuholníky podobné.

Nech máme ∆ABC (Kap. 207); vezmime ľubovoľný segment ED a zostrojme podľa položky 208 segment x tak, aby nastala proporcia x/AC = ED/AB. Nakoniec zostrojíme ∆EDF tak, že jedna jeho strana je úsečka ED, druhá strana je úsečka EF = x a napokon ∠E = ∠A. Potom ∆EDF a ∆ABC súvisia takto:

1) ∠E = ∠A a 2) EF/AC = ED/AB.

Sú tieto trojuholníky podobné?

Aby sme odpovedali na túto otázku, stačí poznamenať, že trojuholník rovný ∆EDF môžeme zostrojiť iným, jednoduchším spôsobom. Aby sme to urobili, vyčleníme úsečku AK = ED na stranu AB a zostrojíme KL || BC; potom ∆AKL ~ ∆ABC (Sec. 197) a následne AL/AC = AK/AB.

Keďže AK = ED a keďže existuje len jeden spôsob (poznámka 208) ako splniť pomery x/AC = ED/AB, usudzujeme z toho, že EF = AL a že ∆AKL = ∆EDF. Preto ∆EDF môže byť superponované s ∆AKL a teda ∆EDF ~ ∆ABC. To odôvodňuje znak proporcionality uvedený na začiatku tohto odseku.

2) Ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky podobné.

Nech máme ∆ABC (Kap. 207); zoberme si segment ED a podľa položky 208 zostrojme ďalšie dva segmenty x a y tak, aby proporcie boli: x/AC = ED/AB a y/BC = ED/AB. Zostrojme teda trojuholník EDF (EF = x, DF = y) s tromi stranami ED, x a y.

Potom ∆EDF a ∆ABC súvisia takto:

1) EF/AC = ED/AB a 2) DF/BC = ED/AB

alebo v skratke:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Sú tieto trojuholníky podobné?

Na vyriešenie tohto problému si všimneme, že je možné zostrojiť trojuholník rovný ∆EDF iným, jednoduchším spôsobom.

Aby sme to urobili, vyčleníme úsečku AK = ED na stranu AB a zostrojíme KL || BC; potom (sek. 206) dostaneme ∆AKL ~ ∆ABC a následne,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Pretože segment AK = ED a keďže podľa poznámky k položke 208 možno zostrojiť iba jeden segment, ktorý spĺňa pomer x/AC = ED/AB, usúdime, že AL = EF; tiež zistíme, že KL = DF, z čoho vyplýva, že ∆EDF = ∆AKL a superpozíciou môžeme kombinovať ∆EDF s ∆AKL (niekedy môže byť potrebné otočiť ∆EDF na druhú stranu). Preto ∆EDF ~ ∆ABC.

To odôvodňuje uvedené znamenie.

Podobným spôsobom možno nájsť niekoľko ďalších znakov podobnosti, a to ako pre trojuholníky vo všeobecnosti, tak aj pre akékoľvek špeciálne trojuholníky. Napríklad, ak sú prepona a rameno jedného pravouhlého trojuholníka úmerné prepone a ramenu druhého, potom sú tieto trojuholníky podobné. Pri objasňovaní jej platnosti sa vychádza: 1) z poznámky k bodu 208 a 2) zo znamienka rovnosti pravouhlých trojuholníkov (bod 74, znak 4).

Poznámka . V niektorých z nasledujúcich úloh budete musieť nájsť pomery segmentov merané nejakou jednotkou. Ak napríklad segment x = 7½ riadku. slobodný a segment y = 3/10 riadku. slobodný (lineárna jednotka je rovnaká), potom na nájdenie pomeru segmentu x k segmentu y je potrebné vyjadriť segment x ako číslo, pričom segment y je jednotkou. Ak y = 3/10 riadku. jednotky, potom lin. slobodný = 10/3 * y a teda

x = (7½ * 10/3)y, odkiaľ x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

t.j. na superponovanie pomeru segmentov nameraných akoukoľvek jednotkou je potrebné nájsť pomer čísel vyjadrujúcich naše segmenty a pomer čísel, ako je známe z aritmetiky, sa zistí delením.

210. Cvičenia.

1. Sú dané 2 pravouhlé trojuholníky; ostrý uhol jedného z nich = 41° a ostrý uhol druhého = 49°. Zistite, či sú tieto trojuholníky podobné.

2. Dané ∆ABC a ∆KLM (Kap. 208) tak, že ∠B = ∠M a AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm. a MK = 10 dm. Sú tieto trojuholníky podobné? Ak sú podobné, vypočítajte stranu AC s vedomím, že strana KL = 5½ dm.

3. ∆ABC a ∆KLM sú dané (výkres 208) tak, že AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . Sú tieto trojuholníky podobné? Ako tu môžete nájsť podobnosti?

4. V trojuholníkoch ABC a KLM sú dané: AB = 16 dm., AC = 8 dm., BC = 20 dm., KL = 5 dm., MK = 10 dm. a ML = 12 dm. Sú tieto trojuholníky podobné? Ak nie sú podobné, ako by sa mala zmeniť strana ML, aby boli trojuholníky podobné?

5. Sú dané 2 podobné trojuholníky, pričom strany jedného z nich sú rovnaké. 10, 14 a 16 dm. a väčšia strana druhej = 20 dm. Nájdite ďalšie 2 strany druhého trojuholníka.

6. Daný trojuholník. Metódou podľa bodu 206 zostrojte ďalší trojuholník podobný danému trojuholníku tak, že každý pomer strán nového trojuholníka k podobnej strane druhého trojuholníka je = ¾.
Urobte rovnakú konštrukciu, ak by vyššie uvedený pomer mal byť 2½.

211. Pomery výšok a plôch podobných trojuholníkov. Nech máme ∆ABC ~ ∆DEF (graf 209). Preto máme: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) a ∠C = ∠F (1) a

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Zostrojme výšky BM a EN v našich trojuholníkoch, pustme kolmice na podobné strany; budeme tieto výšky nazývať podobnými. Potom ∆ABM ~ ∆DEN, keďže majú ∠A = ∠D na základe rovnosti (1) a ∠AMB = ∠DNE ako pravé uhly (BM ⊥ AC a EN ⊥ DF), a to stačí na to, aby boli naše trojuholníky podobné ( 207) a z ich podobnosti dostaneme:

Na základe rovnosti (2) môžeme pokračovať v poslednej rovnosti:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

tj pomer podobných výšok podobných trojuholníkov sa rovná pomeru podobných strán.

Zo série posledných rovnakých pomerov venujme pozornosť pomeru.

(Pomer podobných výšok = pomer základov).

212. V odseku 209 bolo uvedené, ako nájsť pomer dvoch segmentov meraných tou istou jednotkou. To isté platí pre nájdenie pomeru dvoch plôch meraných rovnakou štvorcovou jednotkou: tento pomer sa zistí vydelením čísel vyjadrujúcich naše plochy.

Pod označením napríklad AB budeme v tomto odseku a v mnohých prípadoch aj ďalej rozumieť číslo vyjadrujúce segment AB v ľubovoľných lineárnych jednotkách a pod označením "plocha ∆ABC" číslo vyjadrujúce plocha ∆ABC v štvorcových jednotkách. Pri analýze jednej otázky budú všetky segmenty považované za merané rovnakou lineárnou jednotkou a všetky oblasti - zodpovedajúcimi štvorcovými jednotkami.

Vieme (č. 201), že na meranie plochy trojuholníka v štvorcových jednotkách je potrebné zmerať jeho základňu a výšku so zodpovedajúcou lineárnou jednotkou a vziať polovicu súčinu výsledných čísel.
Teraz pomocou zápisu podľa vyššie uvedenej podmienky máme pre ∆ABC a ∆DEF (obr. 209)
oblasť ∆ABC = (AC * BM) / 2 a plocha ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Nájdite pomer plôch našich trojuholníkov delením

t.j. pomer plôch dvoch trojuholníkov sa rovná súčinu pomeru ich základní a pomeru ich výšok.

Vezmime teraz do úvahy, že máme do činenia s podobnými trojuholníkmi – uvažujeme, že ∆ABC ~ ∆DEF.

Potom z predchádzajúceho odseku máme:

Nahradením vo vzorci vyjadrujúcom pomer plôch trojuholníkov pomer výšok pomerom základní, ktorý sa mu rovná, dostaneme:

Môžeme tiež povedať, že tento pomer = (AB/DE) 2 . takze

pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine pomeru ich podobných strán.

Tento výsledok sa zhoduje s výsledkom uvedeným v § 160 (cvičenia 5, 6 a 7).

Cvičenie. Nájdite pomer plôch podobných trojuholníkov uvedených v odseku 210 (cvičenia 2, 3, 5 a 6).

213. Pomer plôch trojuholníkov, ktoré zvierajú rovnaký uhol. Nech v ∆ABC a ∆DEF (Kap. 210) máme ∠A = ∠D a ostatné uhly nie sú rovnaké. Potom naše trojuholníky nie sú podobné. Rovnako ako v predchádzajúcom odseku zostrojíme výšky BM a EN týchto trojuholníkov a zistíme delením pomeru ich plôch

BM/EN = AB/DE (2)

Teraz však už nie je možné nahradiť pomer výšok (BM / EN) pomerom základní (AC / DF), pretože tieto trojuholníky nie sú podobné. Pomocou (2) z (1) máme:

to znamená, že pomer plôch dvoch trojuholníkov s rovnakým uhlom sa rovná súčinu pomerov strán, ktoré tvoria tieto uhly.

Cvičenie. Daný trojuholník; zostrojte ďalší trojuholník tak, že jeden uhol zostane nezmenený a strany, ktoré tvoria tento uhol, sa zväčšia jeden 2-krát a druhý 3-krát. Ako sa zvýši jeho plocha? Odpoveď, ktorú možno ľahko nájsť výpočtom, je žiaduce vypočítať geometricky.

252. Pojem podobnosti trojuholníkov sa rozširuje aj na mnohouholníky. Nech je daný mnohouholník ABCDE (Kap. 245); vykonajte konštrukciu podobnú bodu 206. Zostrojte uhlopriečky AC a AD a výberom bodu K na strane AB medzi bodmi A a B alebo mimo úsečky AB zostrojte KL || BC, kým nepretne diagonálu AC, potom LM || CD ku križovatke s AD a nakoniec MN || DE ku križovatke s AE. Potom dostaneme polygón AKLMN, ktorý súvisí s ABCD nasledujúcimi závislosťami:

1) Uhly jedného mnohouholníka sú v pároch rovnaké ako uhly druhého: zdieľajú uhol A, ∠K = ∠B (ako zodpovedajúce), ∠KLM = ∠BCD, pretože ∠KLA = ∠BCA a ∠ALM = ∠ ACD atď.

2) Podobné strany týchto mnohouholníkov sú proporcionálne, t.j. pomer jedného páru podobných strán sa rovná pomeru druhého páru, rovný pomeru tretieho páru atď.

„Podobné“ strany tu treba chápať trochu inak ako trojuholníky: tu považujeme za podobné strany tie, ktoré sú uzavreté medzi rovnakými uhlami, napríklad BC a KL.

Platnosť tejto proporcionality sa javí takto:

∆AKL ~ ∆ABC, teda AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, teda AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, teda AM/AD = MN/DE = AN/AE

Vidíme, že medzi prvými tromi rovnakými pomermi a medzi druhými tromi rovnakými pomermi je jeden rovnaký AL/AC; aj posledné tri vzťahy sú spojené s predchádzajúcim vzťahom AM/AD. Preto preskočením pomerov uhlopriečok dostaneme:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Toto všetko zostáva, ako vidno, platné aj pre polygón s väčším počtom strán ako je ten náš.

Ak prenesieme polygón AKLMN na iné miesto v rovine, tak vyššie uvedené 2 vzťahy tohto mnohouholníka s ABCDE zostanú v platnosti; takéto polygóny sa nazývajú podobné. takze dva polygóny sa nazývajú podobné, ak sú uhly jedného rovnaké v pároch ako uhly druhého a ak sú ich podobné strany úmerné.

Vieme teda, ako vytvoriť polygón, ako je tento. Vybudovali sme AKLMN ~ ABCDE.

Vidíme tiež, že v polygónoch ABCDE a AKLMN sú diagonály zostavené z ich príslušných vrcholov a získajú sa dva rady podobných trojuholníkov: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD a ∆AMN ~ ∆ADE - tieto trojuholníky sú rovnako umiestnené v oboch polygónoch.

Vynára sa otázka, či táto posledná vlastnosť zostane platná, ak takýto mnohouholník zostrojíme iným spôsobom, ako sme použili tu.

253. Nech je mnohouholník A"B"C"D"E nejako zostrojený podobne ako mnohouholník ABCDE (Kap. 246), t.j.

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Otázka konca predchádzajúceho odseku je ekvivalentná inej: je možné uviesť tieto dva polygóny do takej polohy, aby sa napríklad bod A zhodoval s A a zvyšné vrcholy boli umiestnené v pároch na priamkach? idúce z tohto spoločného bodu a tak, že ich podobné strany alebo boli rovnobežné, alebo by strana jedného mnohouholníka bola umiestnená na strane druhého.

Poďme vyriešiť tento problém. Aby sme to urobili, vyčleníme úsečku AK = A"B" na stranu AB od bodu A a pomocou predchádzajúceho odseku zostrojíme mnohouholník AKLMN ~ ABCDE.

Zostáva zistiť, či sa polygón A"B"C"D"E" môže zhodovať s AKLMN, keď je superponovaný.

Máme: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Porovnaním týchto rovnosti s rovnosťami (2) a ak vezmeme do úvahy, že AK = A"B", ľahko získame KL = B"C", LM = C"D" atď., t.j. všetky strany mnohouholníkov A "B" C"D"E" a AKLMN sú v pároch rovnaké. Polygón A"B"C"D"E" položíme na AKLMN tak, že A" sa dostane do A a strana A"B" sa zhoduje s AK (postavili sme AK = A"B"); potom v dôsledku rovnosti uhlov B" a K pôjde strana B"C" pozdĺž KL, v dôsledku rovnosti strán KL a B"C" bude bod C" spadať do L, atď.

Takže A"B"C"D"E" sa zhoduje s AKLMN, a preto, ak zostrojíme uhlopriečky A"C" a A"D", dostaneme rad trojuholníkov podobných a rovnako umiestnených s ∆ABC, ∆ACD , atď.

Preto sme dospeli k záveru: Ak zo zodpovedajúcich vrcholov v podobných mnohouholníkoch postavíme uhlopriečky, dostaneme 2 rady podobných a rovnako vzdialených trojuholníkov.

Je ľahké vidieť platnosť opačného záveru: ak ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD a ∆A"D"E" ~ ∆ADE, potom polygón A "B"C"D "E" ~ mnohouholník ABCDE. Potom ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM a ∆A"D"E" = ∆AMN, čo znamená rovnosť mnohouholníkov A"B"C"D"E" a AKLMN a teda podobnosť A"B"C"D"E" a ABCDE.

254. Poloha (dva zodpovedajúce vrcholy sa spájajú v jednom bode, zvyšné vrcholy ležia v pároch na priamkach prechádzajúcich týmto bodom a podobné strany sú rovnobežné), do ktorej sa nám podarilo priviesť dva podobné polygóny, je konkrétnym prípadom inej všeobecnejšej polohy. dvoch podobných polygónov.

Nech máme KLMN ~ ABCD (Kap. 247). Vezmite ľubovoľný bod S a spojte ho so všetkými vrcholmi A, B, C a D prvého mnohouholníka. Pokúsime sa zostrojiť mnohouholník rovný mnohouholníku KLMN tak, aby jeho vrcholy ležali na priamkach SA, SB, SC a SD a strany boli rovnobežné so stranami mnohouholníka ABCD.

Aby sme to urobili, vyčleníme úsečku AP = KL na stranu AB (predpokladáme, že KL a AB sú podobné strany) a zostrojíme PB" || AS (bod P a čiara PB" nie sú na výkrese uvedené). Cez bod B", kde SB pretína PB" zostrojíme B"A" || AB. Potom A"B" = AP = KL, potom zostrojíme B"C" || BC, cez bod C", kde sa B"C" pretína s SC, nakreslite C"D" || CD a bod D", kde sa C"D" pretína s SD, spojte s A". Získajte polygón A"B"C „D“, ktoré, ako o chvíľu uvidíme, je podobné polygónu ABCD.

Od A"B" || AB, potom ∆SA"B" ~ ∆SAB, odkiaľ

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Od B"C" || BC, potom ∆SB"C" ~ ∆SBC, odkiaľ

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Od C"D" || CD, potom ∆SC"D" ~ ∆SCD, odkiaľ

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Z toho môžeme odvodiť, že SA "/SA \u003d SD" / SD, a teda ∆SA "D" ~ ∆SAD, pretože dve strany jednej sú úmerné dvom stranám druhej a uhly medzi nimi sú rovnaké (∠S obyčajný), - A "D " || AD a

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Z rovnosti vzťahov (1), (2), (3) a (4) ľahko získame:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Okrem toho ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B atď. ako uhly s rovnobežnými stranami. Preto A"B"C"D" ~ ABCD.

Ďalej je ľahké vidieť, že KLMN = A"B"C"D". V skutočnosti ∠K = ∠A, ale ∠A = ∠A", teda ∠K = ∠A"; aj ∠L = ∠B" atď. - uhly našich polygónov sú rovnaké. Okrem toho z podobnosti KLMN ~ ABCD dostaneme:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Porovnaním týchto rovnakých pomerov s rovnosťami (5) a vedomím, že A"B" = KL, zistíme: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Teraz je ľahké, ako sme to urobili vyššie, vidieť, že KLMN, keď sa prekryje, sa zarovná s A"B"C"D". Preto sa nám podarilo umiestniť tieto podobné mnohouholníky do takej polohy, že ich vrcholy sa nachádzajú v pároch na priamkach prechádzajúcich bodom S a ich podobné strany sú rovnobežné, o čo sme sa snažili.

Tiež si všimneme, že zodpovedajúce vrcholy v našich polygónoch nasledujú za sebou v rovnakom smere (pozri šípky pri polygónoch ABCD, KLMN a A "B" C "D") - v smere hodinových ručičiek.

Ak by vrcholy jedného mnohouholníka, zodpovedajúce po sebe nasledujúcim vrcholom druhého, nasledovali za sebou v opačnom smere, ako sú umiestnené v inom, potom by sme boli schopní umiestniť naše mnohouholníky tak, aby sa zodpovedajúce vrcholy nachádzali na opačných stranách bod S (pozri obr. 248).

Bod S, kde sa zbiehajú čiary spájajúce dvojice zodpovedajúcich vrcholov polygónov, sa nazýva centrum podobnosti; v prvom prípade (výkres 247), keď sú obidva zodpovedajúce vrcholy (napríklad A a A") umiestnené na rovnakej strane S, sa centrum podobnosti nazýva vonkajšie a v druhom prípade (výkres 248), keď zodpovedajúce vrcholy sa nachádzajú na opačných stranách bodu S, centrum podobnosti sa nazýva vnútorné... Ak sú podobné mnohouholníky usporiadané tak, že majú stred podobnosti, potom sa hovorí, že sú podobne umiestnené.

255. Ak dostaneme mnohouholník ABCD (Ch. 247 alebo 248), - tento mnohouholník nazveme pôvodný, - výberom ľubovoľného bodu S môžeme získať jeho obrazy podobné jemu v akejkoľvek mierke, - tento názov je nazývaný pomer ľubovoľného segmentu obrázka k zodpovedajúcemu segmentu v origináli (v danom polygóne). Tento vzťah sa nazýva aj koeficient podobnosti- označme ho k. Zatiaľ je pre nás koeficient podobnosti pomer strany obrázka k strane originálu, t.j.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

V budúcnosti tento koncept rozšírime na pomer dvoch ľubovoľných segmentov obrazu a originálu, ktoré sú si navzájom podobné.

Z rovnosti (1), (2), (3) a (4) predchádzajúceho odseku máme:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

teda pomer vzdialeností od stredu podobnosti zodpovedajúcich vrcholov obrazu a originálu = koeficient podobnosti.

Pod názvom obrazec (plochý) rozumieme súbor bodov a čiar rovín. Polygóny ABCD - je tam postava. Pridáme ešte jeden bod (náhodne vybraný) E - dostaneme nový útvar pozostávajúci z mnohouholníka ABCD a bodu E, - nájdeme obraz bodu E. Na tento účel zostrojíme priamku SE a nakreslíme segment SE na ňom tak, aby SE "/SE \u003d k (takýto segment sa dá ľahko zostaviť pomocou položky 214); tento segment môžeme odložiť v smere SE (obr. 247); alebo v opačnom smere (obr. 248). Výsledný bod E "je obrazom bodu E - inými slovami, bod E" a E sú zodpovedajúce body na našich dvoch podobných a podobne umiestnených obrazcoch.

Spojením bodu E napríklad s B a bodu E" s B" (B a B" sú tiež zodpovedajúce body), získame dva zodpovedajúce segmenty BE a B"E".

Je ľahké vidieť, že ∆SBE ~ ∆SB"E" (keďže ∠BSE = ∠B"SE a strany, ktoré tvoria tieto uhly, sú proporcionálne: SB"/SB = k a SE"/SE = k, teda SB " / SB = SE "/ SE), z toho vyplýva:

1) B"E" || BE a 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

t.j. segmenty zodpovedajúce si na obrázku a originál 1) sú navzájom rovnobežné a 2) ich pomer sa rovná koeficientu podobnosti .

Z toho vyplýva možnosť nasledujúcej konštrukcie na nájdenie bodu zodpovedajúceho bodu uvedenému v origináli, ak už máme jednu dvojicu zodpovedajúcich bodov a je známy stred podobnosti: majme dvojicu zodpovedajúcich bodov B a B " a je potrebné nájsť bod zodpovedajúci bodu E, - postavíme priamky SE a BE a cez B "postavíme priamku rovnobežnú s BE, jej priesečník E" s SE a zadáme požadovaný bod.

256. Zostrojme pre ľubovoľný obrazec, ktorého jeden bod je A (obr. 249), jeho obrazy, pričom dva ľubovoľné body S 1 a S 2 vezmime ako vonkajšie centrá podobnosti a čísla k 1 a k 2 ako koeficienty podobnosti. Nech bod A zodpovedá bodu A" na prvom obrázku a bod A"" zodpovedá rovnakému bodu na druhom obrázku.

K tomuto obrázku pridáme aj nejaký bod B ležiaci na priamke S 1 S 2 ; potom tento bod B zodpovedá na prvom obrázku bodu B" a na druhom obrázku bodu B"", navyše body B" a B"" musia ležať na tej istej priamke S 1 S 2 a priamkam AB, A"B. "a A""B"" musia byť rovnobežné a rovnako smerované.

Potom máme:

A"B"/AB = k1 a A""B""/AB = k2.

Odtiaľto nájdeme:

A"B"/A""B"" = k1/k2.

Spojte body A" a A"", nájdite priesečník S 3 čiar A""A" a S 2 S 1 . Potom z podobnosti trojuholníkov S 3 A"B" a S 2 A""B"" zistíme:

Spojením bodov A" a A"" nájdeme priesečník S 3 priamok A""A" a S 2 S 1 . Potom z podobnosti trojuholníkov S 3 A"B" a S 2 A""B"" zistíme:

S3B"/S3B"" = A"B"/A""B"" = k1/k2,

bod S 2 musí deliť segment B "B"" zvonka v pomere, ktorý sa rovná danému číslu k 1 / k 2. Vieme (č. 217), že existuje iba jeden bod, ktorý delí daný segment B " B "" v tomto ohľade externe. Ak vezmeme akýkoľvek iný bod C tohto obrázku a zostrojíme jeho obrazy C" a C"", potom spojením bodov C" a C"" a zobratím priesečníka ho opäť nazveme S 3, priamka C "C"" s čiarou S 1 S 2 dostaneme, že ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC a B"C" || BC, preto B"" C"" || B"C"), odkiaľ opäť zistíme, že S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2, t. j. nový bod S 3 sa zhoduje so starým. Preto je S 3 stredom podobnosti obrazcov (A"B"C"...) a (A""B""C""...) a navyše vonkajším, pretože smer, v ktorom zodpovedajú body za sebou na oboch obrázkoch sú rovnaké. Z toho usudzujeme, že útvary (A"B"C"...) a (A""B""C"""...) majú tiež vonkajší stred podobnosti a nachádza sa na rovnakej priamke s centrami S 1 a S 2 .

Ak je jedno zo stredov podobnosti S1 vonkajšie a druhé S2 je vnútorné (obr. 250), smery zodpovedajúcich segmentov sú nasledovné: A"B" je rovnaký ako smer AB, ale A" "B"" je opačný k smeru AB, - preto smer A ""B"" späť na A"B" a S3 je stred vnútornej podobnosti obrázkov (A"B"...) a (A ""B""...).

Ak vezmeme obe stredy podobnosti ako vnútorné (napríklad S 2 a S 3 na obr. 250), potom je ľahké vidieť, že tretie centrum podobnosti sa ukáže ako vonkajšie. Takže vo všeobecnosti:

Ak sú tri postavy podobne umiestnené v pároch, potom tri centrá podobnosti sú umiestnené na jednej priamke a buď všetky tri sú vonkajšie, alebo dve z nich sú vnútorné a jedno je vonkajšie.

257. .
Majme dva podobné polygóny ABCDEF a A"B"C"D"E"F" (Kap. 251). Nazvime koeficient podobnosti cez k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k atď.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

Pridaním týchto rovností po častiach a odstránením faktora k v druhej časti zo zátvorky dostaneme:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

to znamená, že pomer obvodov podobných trojuholníkov sa rovná pomeru podobných strán (alebo sa rovná koeficientu podobnosti).

Zvolíme si dva zodpovedajúce vrcholy, napríklad A a A" a zostrojíme cez ne prechádzajúce diagonály. Potom vieme: 1) (z položky 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C "D" atď. 2) (z položky 212) Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine pomeru ich podobných strán, preto

sq ∆A"B"C" / štvorec ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; štvorec ∆A"C"D" / štvorec ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2 atď.,

sq ∆A"B"C" = k 2 pl. ∆ABC; pl. ∆A"C"D" = k 2 pl. ∆ACD;
sq ∆A"D"E" = k 2 štvorcový ∆ADE ...

Sčítaním týchto rovností po častiach a odstránením spoločného činiteľa k 2 v druhej časti zo zátvorky dostaneme:

sq ∆A"B"C" + pl. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + ... = k 2 (m. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

sq A"B"C"D"E"F" / pl. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

tj pomer plôch podobných mnohouholníkov sa rovná druhej mocnine pomeru ich podobných strán (alebo sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti).

258. Dva pravidelné polygóny s rovnakým názvom sú vždy podobné. V skutočnosti sú uhly mnohouholníkov rovnakého mena rovnaké (č. 248), a keďže všetky strany každého z nich sú si navzájom rovné, je zrejmé, že pomer ktorejkoľvek strany jednej k akejkoľvek strane iné je konštantné číslo.

Ak do kružnice vpíšeme ľubovoľný pravidelný mnohouholník (obr. 252) a zostrojíme dotyčnice ku kružnici cez stredy oblúkov stiahnutých jej stranami, potom dostaneme okolo tejto kružnice opísaný pravidelný mnohouholník s rovnakým názvom. Nie je ťažké zistiť (necháme na tých, ktorí chcú), že výsledné dva pravidelné mnohouholníky sú podobne umiestnené a stred kruhu slúži ako ich vonkajší stred podobnosti, - vonkajší, pretože každá dvojica zodpovedajúcich bodov (napr. príklad A a A ") sa nachádza v rovnakom smere od stredu (ak má mnohouholník párny počet strán, potom stred kruhu možno považovať aj za vnútorný stred podobnosti, treba len predpokladať, že , napríklad bod A zodpovedá bodu A "").

259. Cvičenia.

1. Strany jedného päťuholníka sú 12, 14, 10, 8 a 16 dm. Nájdite strany ďalšieho päťuholníka podobného prvému, ak jeho obvod = 80 dm.

2. Súčet plôch dvoch podobných polygónov je 250 metrov štvorcových. dm. a pomer dvoch podobných strán = ¾. Vypočítajte plochu každého z nich.

3. Ukážte, že ak je do kružnice vpísaný pravidelný mnohouholník s nepárnym počtom strán a v jeho vrcholoch sú zostrojené dotyčnice ku kružnici, tak získame opísaný mnohouholník, ktorý sa nachádza podobne ako ten vpísaný - stred kružnice. slúži ako ich vnútorné centrum podobnosti.

4. Daný trojuholník; zostrojte ďalší trojuholník, podobne umiestnený ako prvý, tak, aby ťažisko prvého slúžilo ako vnútorné centrum podobnosti a aby koeficient podobnosti = ½. Pomocou toho zistíte, ako sú umiestnené výškové body, ťažisko a stred opísanej kružnice tohto trojuholníka.

5. Do tohto trojuholníka je vpísaný štvorec.

Nech ABC je daný trojuholník (Kap. 253) a DEFK požadovaný štvorec. Zostrojme ďalší štvorec MNPQ tak, že jedna strana MQ leží na strane AC trojuholníka a bod N leží na strane AB. Je ľahké vidieť, že štvorec MNPQ je podobne umiestnený s požadovaným štvorcom DEFK a ich vonkajším stredom podobnosti je bod A; preto bod F leží na priamke AP. Po nájdení bodu F je ľahké zostrojiť požadovaný štvorec.

6. Daný uhol a bod v ňom. Nájdite bod na jednej strane uhla, ktorý je rovnako vzdialený od daného bodu a od druhej strany.

Problém sa rieši rovnakým spôsobom.

7. Zostrojte trojuholník podľa jeho výšok.

Je ľahké získať, volaním strán trojuholníka cez a, b a c a zodpovedajúcich výšok cez h a , h b a h c , nasledujúci vzťah:

ah a = bh b = ch c , odkiaľ a: b = h b: ha a b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Je ľahké zostrojiť úsečku x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - konštrukcia 4. proporcionálnej), po ktorej zostrojíme trojuholník so stranami h b , ha a x. Tento trojuholník je podobný požadovanému trojuholníku, pretože a: h: c = h b: h a: x; zostáva zostrojiť trojuholník podobný tomu, ktorý je práve zostrojený tak, aby sa jedna jeho výška rovnala danej.

KAPITOLA VIII.

PROPORCIONALITA ČIAR. PODOBNOSŤ OBRAZOV.

§ 93. KONŠTRUKCIA PODOBNÝCH POSTAV.

1. Konštrukcia podobných trojuholníkov.

Už vieme, že na zostrojenie trojuholníka podobného danému stačí nakresliť priamku rovnobežnú so stranou trojuholníka z nejakého bodu na strane trojuholníka. Dostaneme trojuholník podobný tomuto (obr. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konštrukcia podobných polygónov.

Pri zostrojení mnohouholníka podobného danému môžeme postupovať takto: daný mnohouholník rozdelíme na trojuholníky uhlopriečkami nakreslenými z ktoréhokoľvek jeho vrcholov (obr. 383). Na niektorej strane daného mnohouholníka ABCDE, napríklad na strane AE, vezmeme nejaký bod E" a nakreslíme priamku rovnobežnú so stranou ED, až kým nepretína uhlopriečku AD, napríklad v bode D".

Z bodu D" nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou DC, kým nepretne uhlopriečku AC v bode C". Z bodu C" nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou CB, kým sa nepretína so stranou AB v bode B". Výsledný mnohouholník AB"C"D"E" je podobný danému mnohouholníku ABCDE.

Platnosť tohto tvrdenia sa preukazuje nezávisle.

Ak je potrebné postaviť polygón podobný danému polygónu so zadaným koeficientom podobnosti, potom sa počiatočný bod E“ vezme na stranu AE ​​alebo jeho pokračovanie podľa daného koeficientu podobnosti.

3. Nafotenie plánu pozemku.

a) Natáčanie plánu sa vykonáva pomocou špeciálneho zariadenia tzv kadička(dev. 384).

Menzula je štvorcová doska umiestnená na statíve. Pri kreslení plánu sa doska uvedie do vodorovnej polohy, ktorá sa kontroluje pomocou úrovne. Na kreslenie priamych čiar v požadovanom smere sa používa alidáda vybavená dioptriami. Každá dioptria má štrbinu, v ktorej sú vlasy natiahnuté, čo umožňuje presne nasmerovať alidádu správnym smerom. Na stupnici je gombíkmi pripevnený list bieleho papiera, na ktorom je nakreslený plán.

Na odstránenie plánu z pozemku ABCDE sa vo vnútri pozemku vyberie nejaký bod O tak, aby z neho boli viditeľné všetky vrcholy pozemku (obr. 385).

Pomocou vidličky s olovnicou (obr. 386) sa stupnica nastaví tak, aby bod O, vyznačený na hárku papiera, dopadol na bod O zvolený na mieste.

Potom sa z bodu O na list papiera pripojenom k ​​kadičke nakreslia lúče alidádou v smeroch k bodom A, B, C, D a E; merať vzdialenosti
OA, OB, OS, OD a OE a ležali na týchto lúčoch v akceptovaných segmentoch mierky
OA", OB", OS, OD" a OE".

Body A, B, C, D a E sú spojené. Vychádza polygón A "B" C "D" E, čo je pôdorys daného pozemku v akceptovanej mierke.

Nami opísaná metóda mierkového snímania sa nazýva polárna.

Existujú aj iné spôsoby streľby do lietadla pomocou mierky, o ktorých sa dočítate v špeciálnych návodoch na streľbu s mierkou.

Na každom pláne je zvyčajne uvedená mierka, podľa ktorej je možné určiť skutočné rozmery odstraňovanej plochy, ako aj jej plochu.

Plán tiež ukazuje smer svetových strán.

Praktická práca.

a) Vyrobte v školskej dielni najjednoduchší model v mierke a vytvorte plán malého pozemku.

b) Zameranie pôdorysu pozemku je možné vykonať pomocou astrolábu.

Predpokladajme, že je potrebné odstrániť plán pozemku ABCDE. Zoberme si jeden z vrcholov rezu, napríklad A, ako začiatočný a astrolábom odmerajte uhly pri vrchole A, t.j.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Potom pomocou meracej reťaze odmeriame vzdialenosti AE, AD, AC a AB. V závislosti od veľkosti pozemku a veľkosti listu papiera, na ktorom je plán aplikovaný, sa zvolí mierka pre kreslenie plánu.

V bode A, ktorý je braný ako vrchol mnohouholníka, zostrojíme tri uhly, respektíve rovné / 1, / 2 a / 3; potom na zvolenej mierke po stranách týchto rohov od bodu A "odložte segmenty A "E", A "D", A "C" a A "B". Spojením bodov A "a E", E "a D", D "a C, C" a B", B" a A", dostaneme mnohouholník A"B"C"D"E", podobný mnohouholníku ABCDE. Toto bude plán tento pozemok, zakreslený vo zvolenej mierke.

Pri riešení mnohých konštrukčných úloh sa používa metóda podobnosti, ktorej podstata je nasledovná: najprv sa zostrojí obrazec podobný danému, potom sa tento obrazec zväčšuje (zmenšuje) v požadovanom pomere (t.j. postavený), ktorý spĺňa podmienky problému.

Proces učenia sa, ako aplikovať podobnosť pri riešení konštrukčných problémov, by sa mal rozdeliť do štyroch etáp: prípravná, úvodná, formovanie zručností, zlepšovanie zručností. Každá etapa má svoj vlastný didaktický cieľ, ktorý sa dosiahne, keď študenti plnia špeciálne navrhnuté úlohy.

Didaktickým cieľom prípravnej fázy je formovanie zručností žiakov: zvýrazniť údaje, ktoré určujú tvar postavy, veľa párov postáv podobných navzájom; postavte postavu podľa údajov, ktoré definujú tvar; presuňte sa z postavenej figúry na požadovanú.

Po preštudovaní prvého znaku podobnosti trojuholníkov môžeme navrhnúť nasledujúcu množinu úlohy:

Zostrojte trojuholník s dvoma rohmi. Koľko riešení má problém? Aké prvky určujú tvar zostrojených trojuholníkov?

Pomenujte podobné trojuholníky na obrázku 35.

Známe sú tieto prvky trojuholníka: a) uhly 75 a 25; b) výška 1,5 cm; c) uhly 75 a 25, výška 1,5 cm Ktoré z týchto údajov určujú jediný údaj na obr.

Aké uhly určujú tvar trojuholníkov na obrázku 35?

Bude možné určiť rozmery jedného z trojuholníkov na obr. 35, ak budú známe nasledujúce údaje: a) uhly v základni trojuholníka; b) výška trojuholníka; c) boky a rohy na základni?

Sú trojuholníky ABC a ABC podobné na obrázku 36, ak ACAC? ak sú podobné, aký je ich koeficient podobnosti?

Podobným spôsobom je zostavený súbor úloh, ktoré sa žiakom predkladajú po preštudovaní 2. a 3. znaku podobnosti trojuholníkov. Pri prechode od tejto funkcie k ďalšej sa však otázky trochu skomplikujú, konkrétne: umiestnenie trojuholníkov na obrázkoch sa mení, vzďaľuje sa od štandardného, ​​mení sa množina prvkov, ktoré vymedzujú jedinú figúrku. Úlohy, môže byť napríklad:

1. Sú trojuholníky ABC a ABC podobné, ak:

a) AB=5 cm, BC=7 cm, B=30º, AB=10 cm, BC=14 cm, B=60º;

b) AB=5 cm, BC=7 cm, B=30º, AB=10 cm, BC=14 cm, H=30º;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB = 1,7 cm, BC = 3 cm, SA = 4,2 cm, AB = 34 cm, BC = 60 cm, SA = 84 cm.

2. V trojuholníku ABC s ostrým uhlom C sú nakreslené výšky AE a BD (obr. 37). Dokážte, že ABC je podobné EDC.

3. Dokážte, že obvody podobných trojuholníkov spolu súvisia ako zodpovedajúce strany.

Didaktickým zámerom úvodnej etapy je priblížiť študentom štruktúru stavebného procesu metódou podobnosti.

Vysvetlenie začína problémom.

Úloha. Zostrojte trojuholník daný dvoma danými uhlami a stredom osi dĺžky d nakresleným z vrcholu tretieho uhla.

Pri analýze úlohy so študentmi učiteľ ponúka úlohy - otázky, ktorých odpovede sú stručne zaznamenané na tabuli. Otázky môžu byť:

1. Aký údaj určuje tvar požadovaného trojuholníka?

2. Aké údaje určujú rozmery požadovaného trojuholníka?

3. Koľko trojuholníkov možno postaviť s dvoma rohmi? Aká bude konštrukčná forma všetkých zostrojených trojuholníkov?

4. Aký segment by mal byť nakreslený v trojuholníku podobnom želanému?

5. Ako postaviť požadovaný trojuholník?

Odpovede na otázky sú doplnené voľnou kresbou na tabuľu (obr. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) zostrojte osi uhla C v trojuholníku ABC,

c) konštrukcia СN=d, NCD;

d) nakreslite priamku cez bod N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - požadovaný: A=, B= (keďže ABC ABC o 1 prvok) a CN=d podľa konštrukcie. Didaktický účel javiska, ktorý tvorí schopnosť riešiť problémy uvažovaného typu, je jasný už z jeho názvu. Hlavnou formou činnosti v tejto fáze je individuálne vyhľadávanie. Končí sa súhrnným rozhovorom.

Tu je niekoľko príkladov úloh, ktoré možno v tejto fáze navrhnúť.

Úloha. Vo vnútri uhla AOB je daný bod F. Zostrojte bod M na strane OA, rovnako vzdialený od F a od strany OB

rozhodnutie.

1. Analýza. Obráťme sa na obrázok 39. Zostrojíme bod M, potom MF=MP. To znamená, že požadovaný bod M je stredom kruhu s polomerom MF so stredom M, ktorý sa dotýka strany OB v bode P.

Ak vezmeme ľubovoľný bod M na OA a pustíme MP na CB a nájdeme F priesečník kružnice so stredom M polomeru MP s priamkou OF, potom MFP bude podobný MFP. Z toho vyplýva požadovaná konštrukcia.

2. Stavebníctvo. Nakreslíme OF, vezmeme ľubovoľný bod M na CA a znížime MP na CB. Nakreslíme kružnicu s polomerom MP so stredom v bode M. Nech F je priesečník tejto kružnice s OF. Nakreslíme FM a potom nakreslíme priamku cez bod FFM. Bod M priesečníka tejto čiary s OA je požadovaný.

3. Dôkaz. Z vykonanej analýzy je to zrejmé.

4. Výskum. Problém má 2 riešenia. Vyplýva to zo skutočnosti, že kružnica sa pretína s OF v 2 bodoch.

Úloha. Zostrojte trojuholník s 2 rohmi a obvodom.

rozhodnutie.

1. Analýza. Nech a sú dané uhly a P je obvod požadovaného trojuholníka (obr. 40). Predpokladajme, že požadovaný trojuholník je zostrojený, potom ak uvažujeme akékoľvek ABC podobné požadovanému, pomer obvodu P ABC k obvodu P ABC sa rovná pomeru strán AC a AC.

2. Stavebníctvo. Zostrojme ABC podobné požadovanému. Na lúči AB odložte segmenty AD=P a AD=P, potom spojte bod D a C a nakreslite čiaru DC cez bod D. Nech C je priesečník priamky s lúčom AC. Nakreslite čiaru CB cez bod C a označte priesečník tejto čiary s AD, potom je ABC požadovaný.

3. Dôkaz. Je zrejmé, že ACD je podobné ako ACD. Pomer strán sa rovná pomeru obvodov podobných ABC a ABC, preto je požadovaný obvod ABC \u003d P, preto je ABC požadovaný.

4. Výskum. Od súčtu ľubovoľných dvoch uhlov trojuholníka<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Úloha. Dané AOB a bod M, ktorý sa nachádza vo vnútornej oblasti tohto rohu. Zostrojte kružnicu prechádzajúcu bodom A a dotýkajúcu sa strán uhla AOB.

rozhodnutie.

1. Analýza. Nech je dané AOB a bod M, ktorý sa nachádza vo vnútornej oblasti rohu (obr. 41).

Nakreslíme ďalší kruh dotýkajúci sa strán AOB. Nech M je priesečník kružnice s priamkou OM a uvažujme OMN a OMN (N a N stredov kružnice a).

Tieto trojuholníky sú podobné v dvoch uhloch, takže konštrukcia požadovaného kruhu môže byť vykonaná takto:

2. Stavebníctvo. Keďže stred požadovanej kružnice leží na osi AOB, nakreslíme os uhla. Ďalej tu vezmeme bod N a zostrojíme kružnicu so stredom N dotýkajúcim sa AOB. Potom nakreslíme priamku SM a označíme M - priesečník priamky s kružnicou (sú dva také body - M a M - jeden z nich vezmeme). Nakreslíme priamku MN a jej priamku cez bod M. Potom N je priesečník priamky s osou uhla a je stredom požadovanej kružnice a jej polomer sa rovná MN. Poďme ju prejsť.

3. Dôkaz. Konštrukciou je kruh podobný, O je stred podobnosti. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov OMN a OMN, takže keďže sa kruh dotýka strán uhla, potom sa kruh bude dotýkať aj strán uhla.

4. Výskum. Problém má dve riešenia, pretože OM sa pretína s kružnicou v dvoch bodoch M a M, z ktorých každý bude zodpovedať svojej vlastnej kružnici prechádzajúcej bodom M a dotýkajúcej sa strán AOB.

Didaktickým cieľom etapy, ktorá zlepšuje schopnosť riešiť problémy vyššie uvedeného typu, je prenesenie vytvorenej zručnosti do zložitejších problémov, najmä do nasledujúcich situácií: želaná postava zaujíma určitú pozíciu vo vzťahu k daným bodom, resp. línií, pričom eliminácia jednej z podmienok problému vedie k systému podobných alebo homotetických figúrok. Uveďme príklad takejto úlohy.

Úloha. Napíšte štvorec do daného trojuholníka tak, aby dva jeho vrcholy ležali na jednej strane trojuholníka a ďalšie dva na ďalších dvoch stranách.

Úlohy zodpovedajúce cieľom tejto etapy sú vylúčené z úloh povinnej úrovne. Preto sú ponúkané len úspešným študentom. V tejto fáze sa hlavná pozornosť venuje individuálnej vyhľadávacej činnosti študentov.

Spravidla sa dva trojuholníky považujú za podobné, ak majú rovnaký tvar, aj keď sú rôzne veľké, otočené alebo dokonca obrátene.

Matematické znázornenie dvoch podobných trojuholníkov A 1 B 1 C 1 a A 2 B 2 C 2 znázornených na obrázku je napísané takto:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva trojuholníky sú podobné, ak:

1. Každý uhol jedného trojuholníka sa rovná zodpovedajúcemu uhlu iného trojuholníka:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 a ∠C1 = ∠C2

2. Pomery strán jedného trojuholníka k príslušným stranám iného trojuholníka sú navzájom rovnaké:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Vzťahy dve strany jedného trojuholníka k zodpovedajúcim stranám iného trojuholníka sú si navzájom rovné a súčasne
uhly medzi týmito stranami sú rovnaké:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ a $\uhol A_1 = \uhol A_2$
alebo
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ a $\uhol B_1 = \uhol B_2$
alebo
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ a $\uhol C_1 = \uhol C_2$

Podobné trojuholníky by sa nemali zamieňať s rovnakými trojuholníkmi. Zhodné trojuholníky majú zodpovedajúce dĺžky strán. Takže pre rovnaké trojuholníky:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Z toho vyplýva, že všetky rovnaké trojuholníky sú podobné. Nie všetky podobné trojuholníky sú však rovnaké.

Hoci vyššie uvedený zápis ukazuje, že na to, aby sme zistili, či sú dva trojuholníky podobné alebo nie, potrebujeme poznať hodnoty troch uhlov alebo dĺžky troch strán každého trojuholníka, aby sme vyriešili problémy s podobnými trojuholníkmi, stačí poznať akékoľvek tri hodnoty z vyššie uvedeného pre každý trojuholník. Tieto hodnoty môžu byť v rôznych kombináciách:

1) tri uhly každého trojuholníka (dĺžky strán trojuholníkov nemusia byť známe).

Alebo aspoň 2 uhly jedného trojuholníka sa musia rovnať 2 uhlom iného trojuholníka.
Pretože ak sú 2 uhly rovnaké, bude rovnaký aj tretí uhol. (Hodnota tretieho uhla je 180 - uhol1 - uhol2)

2) dĺžky strán každého trojuholníka (netreba poznať uhly);

3) dĺžky dvoch strán a uhol medzi nimi.

Ďalej uvažujeme o riešení niektorých problémov s podobnými trojuholníkmi. Najprv sa pozrieme na problémy, ktoré možno vyriešiť priamym použitím vyššie uvedených pravidiel, a potom budeme diskutovať o niektorých praktických problémoch, ktoré možno vyriešiť pomocou metódy podobných trojuholníkov.

Praktické úlohy s podobnými trojuholníkmi

Príklad č. 1: Ukážte, že dva trojuholníky na obrázku nižšie sú podobné.

rozhodnutie:
Keďže dĺžky strán oboch trojuholníkov sú známe, možno tu použiť druhé pravidlo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Príklad č. 2: Ukážte, že dva dané trojuholníky sú podobné a nájdite dĺžky strán PQ a PR.

rozhodnutie:
∠A = ∠P a ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(pretože ∠C = 180 - ∠A - ∠B a ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Z toho vyplýva, že trojuholníky ∆ABC a ∆PQR sú podobné. teda:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \šípka doprava PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ a
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Pravá šípka PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Príklad č. 3: Určite dĺžku AB v tomto trojuholníku.

rozhodnutie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED a ∠A spoločné => trojuholníky ΔABC a ΔADE sú podobné.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Šípka doprava 2\krát AB = AB + 4 \Šípka doprava AB = 4$

Príklad č. 4: Určite dĺžku AD(x) geometrický obrazec na obrázku.

Trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, pretože AB || DE a majú spoločný horný roh C.
Vidíme, že jeden trojuholník je zmenšenou verziou druhého. Musíme to však dokázať matematicky.

AB || DE, CD || AC a BC || EÚ
∠BAC = ∠EDC a ∠ABC = ∠DEC

Na základe vyššie uvedeného a pri zohľadnení prítomnosti spoločného uhla C, môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné.

teda:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Šípka doprava CA = \frac(15 \krát 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktické príklady

Príklad č. 5: Továreň používa naklonený dopravný pás na prepravu produktov z úrovne 1 do úrovne 2, čo je 3 metre nad úrovňou 1, ako je znázornené na obrázku. Naklonený dopravník sa obsluhuje z jedného konca na úroveň 1 az druhého konca na pracovisko umiestnené vo vzdialenosti 8 metrov od prevádzkového bodu úrovne 1.

Továreň chce vylepšiť dopravník, aby sa dostal na novú úroveň, ktorá je 9 metrov nad úrovňou 1, pri zachovaní uhla dopravníka.

Určite vzdialenosť, v ktorej musíte nastaviť novú pracovnú stanicu, aby ste zabezpečili, že dopravník bude fungovať na svojom novom konci na úrovni 2. Vypočítajte tiež dodatočnú vzdialenosť, ktorú produkt prejde pri presune na novú úroveň.

rozhodnutie:

Najprv označme každý priesečník konkrétnym písmenom, ako je znázornené na obrázku.

Na základe úvah uvedených vyššie v predchádzajúcich príkladoch môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆ADE sú podobné. teda

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \šípka AB doprava = \frac(8 \krát 9)(3 ) = 24 miliónov $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Preto musí byť nový bod inštalovaný vo vzdialenosti 16 metrov od existujúceho bodu.

A keďže sa štruktúra skladá z pravouhlých trojuholníkov, môžeme vypočítať cestovnú vzdialenosť produktu takto:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobne $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
čo je vzdialenosť, ktorú produkt prejde v momente, keď dosiahne existujúcu úroveň.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Ide o ďalšiu vzdialenosť, ktorú musí produkt prejsť, aby dosiahol novú úroveň.

Príklad č. 6: Steve chce navštíviť svojho priateľa, ktorý sa nedávno presťahoval do nového domu. Cestná mapa, ako sa dostať do domu Steva a jeho priateľa, spolu so vzdialenosťami, ktoré Steve pozná, je zobrazená na obrázku. Pomôž Stevovi dostať sa do domu jeho priateľa najkratšou cestou.

rozhodnutie:

Cestovnú mapu možno znázorniť geometricky v nasledujúcej forme, ako je znázornené na obrázku.

Vidíme, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, preto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Vo vyhlásení o úlohe sa uvádza, že:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km a DE = 5 km

Pomocou týchto informácií môžeme vypočítať nasledujúce vzdialenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \krát CD)(BC) = \frac(13,13 \krát 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve sa môže dostať do domu svojho priateľa pomocou nasledujúcich trás:

A -> B -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Preto je cesta č. 3 najkratšia a môže byť ponúknutá Stevovi.

Príklad 7:
Trisha chce zmerať výšku domu, no nemá vhodné nástroje. Všimla si, že pred domom rastie strom a rozhodla sa využiť svoju vynaliezavosť a znalosti z geometrie získané v škole na určenie výšky budovy. Zmerala vzdialenosť od stromu k domu, výsledok bol 30 m. Potom sa postavila pred strom a začala cúvať, až kým nad vrcholom stromu nebolo vidieť hornú hranu budovy. Trisha označila miesto a zmerala vzdialenosť od neho k stromu. Táto vzdialenosť bola 5 m.

Výška stromu je 2,8 m a výška Trishiných očí je 1,6 m. Pomôžte Trishe určiť výšku budovy.

rozhodnutie:

Geometrické znázornenie problému je znázornené na obrázku.

Najprv použijeme podobnosť trojuholníkov ∆ABC a ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \krát AC$

$(2,8 – 1,6) \krát AC = 8 \Šípka doprava AC = \frac(8)(1,2) = 6,67 $

Potom môžeme použiť podobnosť trojuholníkov ∆ACB a ∆AFG alebo ∆ADE a ∆AFG. Vyberme si prvú možnosť.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \šípka vpravo H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$