Metóda intervalov sa považuje za univerzálnu metódu riešenia nerovníc. Toto je najjednoduchší spôsob, ako ho použiť na riešenie kvadratických nerovností s jednou premennou. V tomto materiáli zvážime všetky aspekty použitia intervalovej metódy na riešenie kvadratických nerovností. Na uľahčenie asimilácie materiálu zvážime veľké množstvo príkladov rôzneho stupňa zložitosti.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritmus na aplikáciu intervalovej metódy
Uvažujme o algoritme aplikácie intervalovej metódy v upravenej verzii, ktorá je vhodná na riešenie kvadratických nerovností. Práve s touto verziou intervalovej metódy sa študenti zoznamujú s hodinami algebry. Nekomplikujme úlohu a my.
Prejdime k samotnému algoritmu.
Máme štvorcový trojčlen a x 2 + b x + c z ľavej strany štvorcovej nerovnosti. Z tejto trojčlenky nájdeme nuly.
Nakreslite súradnicovú čiaru v súradnicovom systéme. Vyznačíme si na ňom korienky. Pre uľahčenie môžeme zaviesť rôzne spôsoby označenia bodov pre prísne a neprísne nerovnosti. Dohodnime sa, že súradnice pri riešení striktnej nerovnosti označíme "prázdnymi" bodmi a obyčajnými bodmi - neprísnou. Označením bodov získame niekoľko medzier na súradnicovej osi.
Ak sme v prvom kroku našli nuly, potom určíme znamienka hodnôt trinomu pre každý zo získaných intervalov. Ak sme nedostali nuly, tak túto akciu vykonáme pre celý číselný rad. Medzery označíme znamienkami „+“ alebo „-“.
Dodatočne zavedieme tieňovanie v prípadoch, keď nerovnosti riešime znamienkami > alebo ≥ a< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Označením znamienok hodnôt trojčlenky a šrafovaním nad segmentmi získame geometrický obraz určitej číselnej množiny, ktorá je vlastne riešením nerovnosti. Stačí nám napísať odpoveď.
Zastavme sa podrobnejšie pri treťom kroku algoritmu, ktorý zahŕňa určenie znamienka medzery. Existuje niekoľko spôsobov, ako definovať znaky. Zvážme ich v poradí, počnúc najpresnejšími, aj keď nie najrýchlejšími. Táto metóda zahŕňa výpočet hodnôt trinomu v niekoľkých bodoch získaných intervalov.
Príklad 1
Vezmime si napríklad trojčlenku x 2 + 4 · x − 5 .
Korene tejto trojčlenky 1 a - 5 rozdeľujú súradnicovú os na tri intervaly (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) a (1 , + ∞) .
Začnime s intervalom (1 , + ∞) . Aby sme si túto úlohu zjednodušili, zoberme si x \u003d 2. Dostaneme 2 2 + 4 2 − 5 = 7 .
7 je kladné číslo. To znamená, že hodnoty tejto štvorcovej trojčlenky na intervale (1 , + ∞) sú kladné a možno ju označiť znamienkom „+“.
Na určenie znamienka intervalu (− 5 , 1) platí x = 0 . Máme 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 . Nad interval umiestnime znak "-".
Pre interval (− ∞ , − 5) vezmeme x = − 6 , dostaneme (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . Tento interval označíme znamienkom „+“.
Je oveľa rýchlejšie určiť znamenia, berúc do úvahy nasledujúce skutočnosti.
S pozitívnym diskriminantom dáva štvorcová trojčlenka s dvoma koreňmi striedanie znamienok svojich hodnôt v intervaloch, na ktoré je číselná os rozdelená koreňmi tejto trojčlenky. To znamená, že nemusíme definovať znamienka pre každý z intervalov. Stačí vykonať výpočty pre jeden a položiť znaky pre zvyšok, berúc do úvahy princíp striedania.
Ak chcete, môžete to urobiť bez výpočtov a vyvodiť závery o znamienkach z hodnoty vedúceho koeficientu. Ak a > 0 , tak dostaneme postupnosť znakov + , − , + , a ak a< 0 – то − , + , − .
Pre štvorcové trojčlenky s jednou odmocninou, keď je diskriminant nulový, dostaneme dve medzery na súradnicovej osi s rovnakými znamienkami. To znamená, že pre jeden z intervalov určíme znamienko a pre druhý nastavíme rovnaké.
Aj tu aplikujeme metódu určenia znamienka na základe hodnoty koeficientu a: ak a > 0 , potom bude + , + a ak a< 0 , то − , − .
Ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom sa znamienka jej hodnôt pre celú súradnicovú čiaru zhodujú so znamienkom vedúceho koeficientu a aj so znamienkom voľného členu c.
Napríklad, ak vezmeme štvorcový trojčlen - 4 x 2 - 7, nemá žiadne korene (jeho diskriminant je záporný). Koeficient na x 2 je záporné číslo - 4 a voľný termín - 7 je tiež záporný. To znamená, že na intervale (− ∞ , + ∞) sú jeho hodnoty záporné.
Zvážte príklady riešenia kvadratických nerovností pomocou vyššie uvedeného algoritmu.
Príklad 2
Vyriešte nerovnosť 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
rozhodnutie
Na vyriešenie nerovnosti používame intervalovú metódu. Aby sme to dosiahli, nájdeme korene štvorcového trinomu 8 · x 2 − 4 · x − 1 . Vzhľadom na to, že koeficient v x je párny, bude pre nás pohodlnejšie počítať nie diskriminant, ale štvrtú časť diskriminantu: D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12.
Diskriminant je väčší ako nula. To nám umožňuje nájsť dva odmocniny štvorcového trinomu: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 a x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Všimnite si tieto hodnoty na číselnej osi. Keďže rovnica nie je striktná, použijeme na grafe obyčajné body.
Teraz pomocou intervalovej metódy určíme znamienka troch získaných intervalov. Koeficient v x 2 sa rovná 8, to znamená, že je kladný, takže postupnosť znamienok bude + , − , + .
Keďže riešime nerovnosť so znamienkom ≥ , nakreslíme šrafovanie cez medzery so znamienkami plus: 
Analyticky zapíšme číselnú množinu podľa získaného grafického obrázku. Môžeme to urobiť dvoma spôsobmi:
odpoveď:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) alebo x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Príklad 3
Vyriešte kvadratickú nerovnosť - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
rozhodnutie
Najprv nájdime korene štvorcového trojčlenu z ľavej strany nerovnosti:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
Toto je prísna nerovnosť, preto na grafe používame „prázdny“ bod. So súradnicou 7.
Teraz musíme určiť znamienka na získaných intervaloch (− ∞ , 7) a (7 , + ∞) . Keďže diskriminant štvorcového trinomu je rovný nule a vodiaci koeficient je záporný, dáme znamienka − , − :
Keďže riešime podpísanú nerovnosť< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
V tomto prípade sú riešenia obidva intervaly (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
odpoveď:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 7 .
Príklad 4
Má kvadratická nerovnosť x 2 + x + 7< 0 решения?
rozhodnutie
Nájdite korene štvorcového trojčlenu z ľavej strany nerovnosti. Aby sme to dosiahli, nájdeme diskriminant: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminant je menší ako nula, takže neexistujú žiadne skutočné korene.
Grafický obrázok bude vyzerať ako číselná os bez vyznačených bodov.
Určme znamienko hodnôt štvorcového trinomu. V D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
V tomto prípade by sme mohli použiť šrafovanie cez medzery so znamienkom „-“. Ale my takéto medzery nemáme. Takže kresba vyzerá takto:
V dôsledku výpočtov sme dostali prázdnu množinu. To znamená, že táto kvadratická nerovnosť nemá riešenia.
odpoveď: nie
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Od staroveku bolo potrebné porovnávať hodnoty a množstvá pri riešení praktických problémov. Zároveň sa objavili také slová ako viac a menej, vyššie a nižšie, ľahšie a ťažšie, tichšie a hlasnejšie, lacnejšie a drahšie atď., ktoré označujú výsledky porovnávania homogénnych veličín.
Pojmy viac a menej vznikli v súvislosti s počítaním predmetov, meraním a porovnávaním veličín. Napríklad matematici starovekého Grécka vedeli, že strana akéhokoľvek trojuholníka je menšia ako súčet ostatných dvoch strán a že väčšia strana trojuholníka leží oproti väčšiemu uhla. Archimedes pri výpočte obvodu kruhu zistil, že obvod každého kruhu sa rovná trojnásobku priemeru s prebytkom, ktorý je menší ako sedmina priemeru, ale viac ako desať sedemdesiatich jedna prvého priemeru.
Symbolicky zapíšte vzťahy medzi číslami a veličinami pomocou znakov > a b. Príspevky, v ktorých sú dve čísla spojené jedným zo znakov: > (väčšie ako), S numerickými nerovnosťami ste sa stretli aj v základných ročníkoch. Viete, že nerovnosti môžu a nemusia byť pravdivé. Napríklad \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je platná číselná nerovnosť, 0,23 > 0,235 je neplatná číselná nerovnosť.
Nerovnosti, ktoré zahŕňajú neznáme, môžu byť pravdivé pre niektoré hodnoty neznámych a nepravdivé pre iné. Napríklad nerovnosť 2x+1>5 je pravdivá pre x = 3, ale nepravdivá pre x = -3. Pre nerovnosť s jednou neznámou si môžete nastaviť úlohu: vyriešte nerovnosť. Problémy riešenia nerovníc v praxi sú kladené a riešené nemenej často ako problémy riešenia rovníc. Napríklad mnohé ekonomické problémy sa redukujú na štúdium a riešenie systémov lineárnych nerovností. V mnohých odvetviach matematiky sú nerovnosti bežnejšie ako rovnice.
Niektoré nerovnosti slúžia ako jediný pomocný prostriedok na preukázanie alebo vyvrátenie existencie určitého objektu, napríklad koreňa rovnice.
Numerické nerovnosti
Môžete porovnávať celé čísla a desatinné čísla. Poznať pravidlá porovnávania obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi, ale rôznymi čitateľmi; s rovnakými čitateľmi, ale rôznymi menovateľmi. Tu sa dozviete, ako porovnať ľubovoľné dve čísla nájdením znamienka ich rozdielu.
Porovnávanie čísel je v praxi široko používané. Napríklad ekonóm porovnáva plánované ukazovatele so skutočnými, lekár porovnáva teplotu pacienta s normálom, sústružník porovnáva rozmery opracovaného dielu so štandardom. Vo všetkých takýchto prípadoch sa porovnávajú niektoré čísla. V dôsledku porovnávania čísel vznikajú číselné nerovnosti.
Definícia.Číslo a je väčšie ako číslo b, ak je rozdiel a-b kladný. Číslo a je menšie ako číslo b, ak je rozdiel a-b záporný.
Ak je a väčšie ako b, potom píšu: a > b; ak je a menšie ako b, tak píšu: a Nerovnosť a > b teda znamená, že rozdiel a - b je kladný, t.j. a - b > 0. Nerovnosť a Pre ľubovoľné dve čísla a a b z nasledujúcich troch vzťahov a > b, a = b, a Veta. Ak a > b a b > c, potom a > c.
Veta. Ak sa na obe strany nerovnosti pridá rovnaké číslo, znamienko nerovnosti sa nezmení.
Dôsledok. Akýkoľvek člen môže byť prenesený z jednej časti nerovnosti na druhú zmenou znamienka tohto termínu na opačný.
Veta. Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené rovnakým kladným číslom, potom sa znamienko nerovnosti nemení. Ak sa obe strany nerovnosti vynásobia rovnakým záporným číslom, znamienko nerovnosti sa zmení na opačné.
Dôsledok. Ak sú obe časti nerovnosti delené rovnakým kladným číslom, potom sa znamienko nerovnosti nemení. Ak sú obe časti nerovnosti delené rovnakým záporným číslom, potom sa znamienko nerovnosti zmení na opačné.
Viete, že číselné rovnosti možno pridávať a násobiť výraz po výraze. Ďalej sa dozviete, ako vykonávať podobné akcie s nerovnosťami. V praxi sa často využíva možnosť sčítania a násobenia nerovností člen po člen. Tieto akcie vám pomôžu vyriešiť problémy s vyhodnocovaním a porovnávaním hodnôt výrazov.
Pri riešení rôznych problémov je často potrebné sčítať alebo vynásobiť člen po člene ľavú a pravú časť nerovností. Niekedy sa hovorí, že nerovnosti sa pridávajú alebo násobia. Napríklad, ak turista prešiel prvý deň viac ako 20 km a druhý deň viac ako 25 km, potom možno tvrdiť, že za dva dni prešiel viac ako 45 km. Podobne, ak je dĺžka obdĺžnika menšia ako 13 cm a šírka je menšia ako 5 cm, potom možno tvrdiť, že plocha tohto obdĺžnika je menšia ako 65 cm2.
Pri zvažovaní týchto príkladov, nasledujúce vety o sčítaní a násobení nerovností:
Veta. Pri sčítaní nerovníc rovnakého znamienka dostaneme nerovnosť rovnakého znamienka: ak a > b a c > d, potom a + c > b + d.
Veta. Pri násobení nerovností rovnakého znamienka, pre ktoré sú ľavá a pravá časť kladné, dostaneme nerovnosť toho istého znamienka: ak a > b, c > d a a, b, c, d sú kladné čísla, potom ac > bd.
Nerovnice so znamienkom > (väčšie ako) a 1/2, 3/4 b, c Spolu s prísnymi nerovnosťami > a Rovnakým spôsobom nerovnosť \(a \geq b \) znamená, že číslo a je väčšie ako alebo rovné b, t.j. a nie menšie ako b.
Nerovnice obsahujúce znamienko \(\geq \) alebo znamienko \(\leq \) sa nazývajú neprísne. Napríklad \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nie sú striktné nerovnosti.
Všetky vlastnosti striktných nerovností sú platné aj pre neprísne nerovnosti. Navyše, ak pre striktné nerovnosti boli znamienka > považované za opačné a viete, že na vyriešenie množstva aplikovaných problémov musíte zostaviť matematický model vo forme rovnice alebo sústavy rovníc. Ďalej sa dozviete, že matematické modely na riešenie mnohých problémov sú nerovnice s neznámymi. Predstavíme si koncept riešenia nerovnice a ukážeme si, ako skontrolovať, či dané číslo je riešením konkrétnej nerovnosti.
Nerovnosti formy
Volá sa \(ax > b, \quad ax, kde a a b sú dané číslami a x je neznáme lineárne nerovnosti s jednou neznámou.
Definícia. Riešenie nerovnosti s jednou neznámou je hodnota neznámej, pre ktorú sa táto nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť. Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky jej riešenia alebo zistiť, že žiadne neexistujú.
Rovnice ste vyriešili tak, že ste ich zredukovali na najjednoduchšie rovnice. Podobne pri riešení nerovností má človek tendenciu ich pomocou vlastností redukovať do podoby najjednoduchších nerovností.
Riešenie nerovností druhého stupňa s jednou premennou
Nerovnosti formy
\(ax^2+bx+c >0 \) a \(ax^2+bx+c, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \) sa nazývajú nerovnosti druhého stupňa s jednou premennou.
Riešenie nerovnosti
\(ax^2+bx+c >0 \) alebo \(ax^2+bx+c \) možno považovať za hľadanie medzier, kde funkcia \(y= ax^2+bx+c \) nadobúda kladnú hodnotu alebo záporné hodnoty Na to stačí analyzovať, ako sa graf funkcie \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nachádza v rovine súradníc: kde smerujú vetvy paraboly - nahor alebo nadol , či parabola pretína os x a ak pretína, tak v akých bodoch.
Algoritmus na riešenie nerovností druhého stupňa s jednou premennou:
1) nájdite diskriminant štvorcového trojčlenu \(ax^2+bx+c\) a zistite, či má trojčlen korene;
2) ak má trojčlen korene, označte ich na osi x a cez označené body schematicky nakreslite parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor pri a > 0 alebo nadol pri a 0 alebo dole pri a 3) nájdite medzery na osi x, pre ktoré sú bodové paraboly umiestnené nad osou x (ak riešia nerovnosť \(ax^2+bx+c >0 \)) alebo pod osou x (ak riešia nerovnosť
\(ax^2+bx+c Riešenie nerovníc metódou intervalov
Zvážte funkciu
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Oblasťou tejto funkcie je množina všetkých čísel. Nuly funkcie sú čísla -2, 3, 5. Rozdeľujú definičný obor funkcie na intervaly \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) a \( (5; +\infty) \)
Poďme zistiť, aké sú znaky tejto funkcie v každom z uvedených intervalov.
Výraz (x + 2) (x - 3) (x - 5) je súčinom troch faktorov. Znamienko každého z týchto faktorov v uvažovaných intervaloch je uvedené v tabuľke:
Vo všeobecnosti nech je funkcia daná vzorcom
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kde x je premenná a x 1 , x 2 , ..., x n nie sú rovnaké čísla. Čísla x 1 , x 2 , ..., x n sú nuly funkcie. V každom z intervalov, do ktorých je definičný obor delený nulami funkcie, je zachované znamienko funkcie a pri prechode nulou sa mení jej znamienko.
Táto vlastnosť sa používa na riešenie nerovností formulára
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kde x 1 , x 2 , ..., x n nie sú rovnaké čísla
Uvažovaná metóda riešenie nerovníc sa nazýva metóda intervalov.
Uveďme príklady riešenia nerovníc intervalovou metódou.
Vyriešte nerovnosť:
\(x(0,5-x)(x+4) Je zrejmé, že nuly funkcie f(x) = x(0,5-x)(x+4) sú body \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Vynesieme nuly funkcie na reálnu os a vypočítame znamienko na každom intervale:
Vyberieme tie intervaly, na ktorých je funkcia menšia alebo rovná nule a zapíšeme odpoveď.
odpoveď:
\(x \v \left(-\infty; \; 1 \vpravo) \pohár \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Lekcia a prezentácia na tému: "Štvorcové nerovnice, príklady riešení"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Elektronická učebnica "Zrozumiteľná geometria" pre ročníky 7-9
Vzdelávací komplex 1C: "Geometria, 9. ročník"
Chlapci, už vieme, ako riešiť kvadratické rovnice. Teraz sa naučíme, ako riešiť kvadratické nerovnosti.
Štvorcová nerovnosť Takáto nerovnosť sa nazýva:
$ax^2+bx+c>0$.
Znamienko nerovnosti môže byť ľubovoľné, koeficienty a, b, c sú ľubovoľné čísla ($a≠0$).
Všetky pravidlá, ktoré sme definovali pre lineárne nerovnosti, fungujú aj tu. Zopakujte si tieto pravidlá aj vy!
Uveďme ďalšie dôležité pravidlo:
Ak má trojčlen $ax^2+bx+c$ záporný diskriminant, potom ak dosadíme ľubovoľnú hodnotu x, znamienko trojčlenu bude rovnaké ako znamienko y koeficientu a.
Príklady riešenia kvadratickej nerovnosti
možno vyriešiť vykreslením grafov alebo vykreslením intervalov. Pozrime sa na príklady riešení nerovností.Príklady.
1. Vyriešte nerovnosť: $x^2-2x-8
rozhodnutie:
Nájdite korene rovnice $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ a $x_2=-2$.
Zostavme si kvadratickú rovnicu. Os x sa pretína v bodoch 4 a -2. 2. Vyriešte nerovnosť: $5x-6 rozhodnutie: Zostavme graf kvadratickej rovnice, os x sa pretína v bodoch 2 a 3. 3. Vyriešte nerovnosť: $2^2+2x+1≥0$. rozhodnutie: 4. Vyriešte nerovnosť: $x^2+x-2 Tento článok obsahuje materiál na tému " riešenie štvorcových nerovností". Najprv je ukázané, čo sú to kvadratické nerovnosti s jednou premennou, je daný ich všeobecný tvar. A potom sa podrobne rozoberá, ako riešiť kvadratické nerovnosti. Sú znázornené hlavné prístupy k riešeniu: grafická metóda, metóda intervalov a zvýraznením štvorca binomu na ľavej strane nerovnosti. Uvádzajú sa riešenia typických príkladov. Navigácia na stránke. Prirodzene, skôr ako budeme hovoriť o riešení kvadratických nerovností, musíme jasne pochopiť, čo je to kvadratická nerovnosť. Inými slovami, musíte vedieť rozlíšiť štvorcové nerovnosti od nerovností iných typov podľa typu záznamu. Definícia.
Štvorcová nerovnosť je nerovnosť tvaru a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >môže existovať akýkoľvek iný znak nerovnosti ≤, >, ≥), kde a, b a c sú nejaké čísla a a≠0 a x je premenná (premennú možno označiť ľubovoľným iným písmenom). Okamžite dajme iný názov pre kvadratické nerovnosti - nerovnosť druhého stupňa. Tento názov sa vysvetľuje tým, že na ľavej strane nerovností a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». Niekedy tiež môžete počuť, že kvadratické nerovnosti sa nazývajú kvadratické nerovnosti. Nie je to celkom správne: definícia „kvadratického“ sa vzťahuje na funkcie dané rovnicami v tvare y=a x 2 +b x+c . Takže existujú kvadratické nerovnosti a kvadratické funkcie, ale nie kvadratické nerovnosti. Ukážme si niekoľko príkladov štvorcových nerovností: 5 x 2 −3 x+1>0 , tu a=5 , b=−3 a c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, koeficienty tejto kvadratickej nerovnosti sú a=−2,2 , b=−0,5 a c=−11 ; , v tomto prípade Všimnite si, že v definícii kvadratickej nerovnosti sa koeficient a v x 2 považuje za nenulový. Je to pochopiteľné, rovnosť koeficientu a na nulu vlastne „odstráni“ druhú mocninu a my sa budeme zaoberať lineárnou nerovnosťou tvaru b x + c>0 bez druhej mocniny premennej. Koeficienty b a c sa však môžu rovnať nule, a to samostatne aj súčasne. Tu sú príklady takýchto štvorcových nerovností: x 2 −5≥0 , tu je koeficient b pre premennú x rovný nule; −3 x 2 −0,6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 a b a c sú nula. Teraz si môžete lámať hlavu nad otázkou, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. V zásade sa na riešenie používajú tri hlavné metódy: Urobme si hneď výhradu, že spôsob riešenia kvadratických nerovníc, o ktorom začíname uvažovať, sa v školských učebniciach algebry nenazýva grafickým. V podstate však taký je. Navyše prvé zoznámenie s grafický spôsob riešenia nerovností zvyčajne začína, keď vyvstane otázka, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. Grafický spôsob riešenia kvadratických nerovností a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) je analyzovať graf kvadratickej funkcie y=a x 2 +b x+c, aby sa našli intervaly, v ktorých špecifikovaná funkcia nadobúda záporné, kladné, záporné alebo nezáporné hodnoty. Tieto intervaly tvoria riešenia kvadratických nerovníc a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0, ax2+bx+c≤0 a ax2+bx+c>0. Na riešenie štvorcových nerovností jednou premennou je okrem grafickej celkom pohodlná aj intervalová metóda, ktorá je sama o sebe veľmi všestranná a hodí sa na riešenie rôznych nielen štvorcových nerovností. Jeho teoretická stránka leží mimo kurzu algebry ročníkov 8, 9, keď sa učia riešiť kvadratické nerovnice. Preto sa tu nebudeme venovať teoretickému zdôvodneniu intervalovej metódy, ale zameriame sa na to, ako sa pomocou nej riešia kvadratické nerovnice. Podstata intervalovej metódy, vo vzťahu k riešeniu štvorcových nerovníc a x 2 +b x + c<0
(≤, >, ≥), spočíva v určení znamienok, ktoré majú hodnoty štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c na intervaloch, na ktoré je súradnicová os rozdelená nulami tejto trojčlenky (ak existujú). Medzery so znamienkom mínus tvoria riešenia kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 a pri riešení neprísnych nerovníc sa k uvedeným intervalom pripočítavajú body zodpovedajúce nulám trojčlenky. Môžete sa zoznámiť so všetkými podrobnosťami tejto metódy, jej algoritmom, pravidlami pre umiestňovanie značiek na intervaloch a zvážiť hotové riešenia pre typické príklady s ilustráciami uvedenými v materiáli článku, ktorý rieši kvadratické nerovnice intervalovou metódou. . Okrem grafickej metódy a intervalovej metódy existujú aj iné prístupy, ktoré umožňujú riešiť kvadratické nerovnice. A dostávame sa k jednej z nich, ktorá vychádza z kvadratúra dvojčlenky na ľavej strane kvadratickej nerovnosti. Princípom tejto metódy riešenia kvadratických nerovníc je vykonávať ekvivalentné transformácie nerovnosti , čo umožňuje prejsť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x−p) 2 A ako prebieha prechod k nerovnosti (x−p) 2 V praxi sa veľmi často musíme vysporiadať s nerovnicami, ktoré sa dajú redukovať pomocou ekvivalentných transformácií na kvadratické nerovnosti v tvare a x 2 +b x + c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Začnime s príkladmi najjednoduchších nerovností, ktoré sa dajú zredukovať na štvorcové. Niekedy na prechod ku kvadratickej nerovnosti stačí preusporiadať členy v tejto nerovnosti alebo ich preniesť z jednej časti do druhej. Napríklad, ak prenesieme všetky členy z pravej strany nerovnosti 5≤2 x−3 x 2 na ľavú stranu, dostaneme kvadratickú nerovnosť vo vyššie uvedenom tvare 3 x 2 −2 x+5≤0 . Ďalší príklad: preusporiadanie nerovnosti 5+0,6 x 2 −x na ľavej strane<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. V škole, na hodinách algebry, keď sa učia riešiť kvadratické nerovnice, sa súčasne zaoberajú riešenie racionálnych nerovností, zmenšenie na štvorec. Ich riešenie zahŕňa presun všetkých členov na ľavú stranu s následnou transformáciou tam vytvoreného výrazu do tvaru a x 2 +b x + c vykonaním . Zvážte príklad. Príklad. Nájdite súbor riešení nerovnosti 3 (x-1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.iracionálna nerovnosť Bibliografia. Stredná úroveň Aby sme prišli na to, ako riešiť kvadratické rovnice, musíme zistiť, čo je to kvadratická funkcia a aké má vlastnosti. Určite vás napadlo, prečo je vôbec kvadratická funkcia potrebná? Kde je použiteľný jeho graf (parabola)? Áno, stačí sa poobzerať okolo seba a všimnete si, že sa s tým stretávate každý deň v každodennom živote. Všimli ste si, ako na telesnej výchove letí hodená lopta? "V oblúku"? Najsprávnejšia odpoveď by bola „v parabole“! A po akej trajektórii sa prúd vo fontáne pohybuje? Áno, aj v parabole! A ako letí guľka alebo projektil? Presne tak, aj v parabole! Keď teda poznáme vlastnosti kvadratickej funkcie, bude možné vyriešiť mnohé praktické problémy. Napríklad, pod akým uhlom by sa mala loptička hádzať, aby sa dosiahol najväčší dosah? Alebo kde by projektil skončil, keby bol vystrelený pod určitým uhlom? atď. Takže, poďme na to. Napríklad, . Čo sú si tu rovní a? No, samozrejme, a! Čo ak, t.j. menej ako nula? No, samozrejme, sme „smutní“, čo znamená, že vetvy budú smerovať dole! Pozrime sa na graf. Tento obrázok znázorňuje graf funkcie. Keďže, t.j. menej ako nula, vetvy paraboly smerujú nadol. Okrem toho ste si už pravdepodobne všimli, že vetvy tejto paraboly pretínajú os, čo znamená, že rovnica má 2 korene a funkcia nadobúda kladné aj záporné hodnoty! Na samom začiatku, keď sme dávali definíciu kvadratickej funkcie, bolo povedané, že a sú nejaké čísla. Môžu sa rovnať nule? No, samozrejme, že môžu! Dokonca prezradím ešte väčšie tajomstvo (ktoré vôbec nie je tajomstvom, ale stojí za zmienku): na tieto čísla (a) vôbec nie sú kladené žiadne obmedzenia! Pozrime sa, čo sa stane s grafmi, ak a sú rovné nule. Ako vidíte, grafy uvažovaných funkcií (u) sa posunuli tak, že ich vrcholy sú teraz v bode so súradnicami, teda v priesečníku osí, a to neovplyvnilo smer vetiev. Môžeme teda konštatovať, že sú zodpovedné za „pohyb“ parabolového grafu pozdĺž súradnicového systému. Funkčný graf sa dotýka osi v bode. Takže rovnica má jeden koreň. Funkcia teda nadobúda hodnoty väčšie alebo rovné nule. Rovnakú logiku sledujeme aj pri grafe funkcie. V bode sa dotýka osi x. Takže rovnica má jeden koreň. Funkcia teda nadobúda hodnoty menšie alebo rovné nule, tj. Na určenie znamienka výrazu je teda prvou vecou, ktorú musíte urobiť, nájsť korene rovnice. Bude to pre nás veľmi užitočné. Pri riešení takýchto nerovností budeme potrebovať schopnosť určiť, kde je kvadratická funkcia väčšia, menšia alebo rovná nule. T.j.: Ak nerovnosti nie sú striktné (u), potom sú korene (súradnice priesečníkov paraboly s osou) zahrnuté do požadovaného číselného intervalu, so striktnými nerovnosťami sú vylúčené. To všetko je dosť formalizované, ale nezúfajte a nebojte sa! Teraz sa pozrime na príklady a všetko zapadne na svoje miesto. Pri riešení kvadratických nerovností sa budeme držať vyššie uvedeného algoritmu a nevyhnutne uspejeme! Mám to? Potom sa upevnite dopredu! Príklad: No podarilo sa? Ak máte nejaké ťažkosti, pochopte riešenia. rozhodnutie: Vypíšme intervaly zodpovedajúce znamienku " ", keďže znamienko nerovnosti je " ". Nerovnosť nie je striktná, takže korene sú zahrnuté v intervaloch: Napíšeme zodpovedajúcu kvadratickú rovnicu: Nájdite korene tejto kvadratickej rovnice: Schematicky označíme získané korene na osi a usporiadame značky: Vypíšme intervaly zodpovedajúce znamienku " ", keďže znamienko nerovnosti je " ". Nerovnosť je prísna, takže korene nie sú zahrnuté v intervaloch: Napíšeme zodpovedajúcu kvadratickú rovnicu: Nájdite korene tejto kvadratickej rovnice: táto rovnica má jeden koreň Schematicky označíme získané korene na osi a usporiadame značky: Vypíšme intervaly zodpovedajúce znamienku " ", keďže znamienko nerovnosti je " ". Každá funkcia nadobúda nezáporné hodnoty. Keďže nerovnosť nie je striktná, odpoveď je Napíšme zodpovedajúcu kvadratickú rovnicu: Nájdite korene tejto kvadratickej rovnice: Schematicky nakreslite graf paraboly a umiestnite znamienka: Vypíšme intervaly zodpovedajúce znamienku " ", keďže znamienko nerovnosti je " ". Pre akúkoľvek funkciu nadobúda kladné hodnoty, preto riešením nerovnosti bude interval: Predtým, ako sa budeme rozprávať o téme „štvorcových nerovností“, pripomeňme si, čo je to kvadratická funkcia a aký je jej graf. Inými slovami, toto polynóm druhého stupňa. Graf kvadratickej funkcie je parabola (pamätáte si, čo to je?). Jeho vetvy sú nasmerované nahor, ak "a) funkcia má iba kladné hodnoty pre všetkých a v druhom () - iba záporné: V prípade, že rovnica () má práve jeden koreň (napríklad ak je diskriminant nulový), znamená to, že graf sa dotýka osi: Potom, podobne ako v predchádzajúcom prípade, pre " . Koniec koncov, nedávno sme sa naučili určiť, kde je kvadratická funkcia väčšia ako nula a kde je menšia: Ak kvadratická nerovnosť nie je prísna, potom sú korene zahrnuté do číselného intervalu, ak sú prísne, nie sú. Ak je koreň len jeden, je to v poriadku, všade bude rovnaký znak. Ak neexistujú žiadne korene, všetko závisí iba od koeficientu: ak "25((x)^(2))-30x+9 odpovede: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Neexistujú žiadne korene, takže celý výraz na ľavej strane má znamienko koeficientu pred: kvadratickej funkcie je funkciou tvaru: Graf kvadratickej funkcie je parabola. Jeho vetvy smerujú nahor, ak a nadol, ak: Typy štvorcových nerovností: Všetky kvadratické nerovnosti sú redukované na tieto štyri typy: Algoritmus riešenia:
Naša štvorcová trojčlenka má hodnoty menšie ako nula, kde je graf funkcie umiestnený pod osou x.
Pri pohľade na graf funkcie dostaneme odpoveď: $x^2-2x-8 Odpoveď: $-2
Transformujme nerovnosť: $-x^2+5x-6 Nerovnosť vydelíme mínus jedna. Nezabudnime zmeniť znamienko: $x^2-5x+6>0$.
Nájdime korene trojčlenky: $x_1=2$ a $x_2=3$.
Naša štvorcová trojčlenka má hodnoty väčšie ako nula, kde je graf funkcie umiestnený nad osou x. Pri pohľade na graf funkcie dostaneme odpoveď: $5x-6
Nájdite korene našej trojčlenky, na to vypočítame diskriminant: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminant je menší ako nula. Využime pravidlo, ktoré sme zaviedli na začiatku. Znamienko nerovnosti bude rovnaké ako znamienko štvorcového koeficientu. V našom prípade je koeficient kladný, čo znamená, že naša rovnica bude kladná pre akúkoľvek hodnotu x.
Odpoveď: Pre všetky x je nerovnosť väčšia ako nula.
rozhodnutie:
Nájdeme korene trojčlenu a umiestnime ich na súradnicovú čiaru: $x_1=-2$ a $x_2=1$. 
Ak $x>1$ a $x Ak $x>-2$ a $x Odpoveď: $x>-2$ a $xÚlohy na riešenie kvadratických nerovností
Vyriešte nerovnosti:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0 $. Čo je to kvadratická nerovnosť?
.Ako vyriešiť kvadratické nerovnosti?
Graficky
intervalová metóda
Izoláciou štvorca dvojčlenu
, ≥), kde p a q sú nejaké čísla.
, ≥) a ako to riešiť, materiál článku vysvetľuje riešenie kvadratických nerovníc zvýraznením druhej mocniny dvojčlenu. Sú tam aj príklady riešenia kvadratických nerovníc týmto spôsobom a sú uvedené potrebné grafické ilustrácie.
Kvadratické nerovnosti
je ekvivalentná kvadratickej nerovnosti x 2 −6 x−9<0
, а logaritmická nerovnosť 
– nerovnosť x 2 +x−2≥0 .Štvorcové nerovnosti. Komplexný sprievodca (2019)
kvadratickej funkcie
Štvorcová nerovnosť
Algoritmus
Príklad:
1) Napíšme kvadratickú rovnicu zodpovedajúcu nerovnosti (jednoducho zmeňte znamienko nerovnosti na znamienko rovnosti "=").
2) Nájdite korene tejto rovnice.
3) Označte korene na osi a schematicky znázornite orientáciu vetiev paraboly ("hore" alebo "dole")
4) Na os umiestnime znamienka zodpovedajúce znamienku kvadratickej funkcie: kde je parabola nad osou, dáme "", a kde je nižšie - "".
5) Vypíšeme interval (y) zodpovedajúci "" alebo "", v závislosti od znamienka nerovnosti. Ak nerovnosť nie je prísna, korene sú zahrnuté do intervalu, ak je prísna, nie sú zahrnuté.
Štvorcové nerovnosti. STREDNÁ ÚROVEŇ
Kvadratická funkcia.
Kvadratická funkcia je funkciou formy
Štvorcové nerovnosti. STRUČNE O HLAVNOM
Algoritmus
Príklad:
1) Napíšme kvadratickú rovnicu zodpovedajúcu nerovnosti (jednoducho zmeňte znamienko nerovnosti na znamienko rovnosti "").
2) Nájdite korene tejto rovnice.
3) Označte korene na osi a schematicky znázornite orientáciu vetiev paraboly ("hore" alebo "dole")
4) Na os umiestnime znamienka zodpovedajúce znamienku kvadratickej funkcie: kde je parabola nad osou, dáme "", a kde je nižšie - "".
5) Vypíšeme interval (s) zodpovedajúci (s) "" alebo "", v závislosti od znamienka nerovnosti. Ak nerovnosť nie je prísna, korene sú zahrnuté do intervalu, ak je nerovnosť prísna, nie sú zahrnuté.
