Galaeva Ekaterina, študentka 11. ročníka strednej školy MAOU č. 149, Nižný Novgorod
Práca má aplikovaný aj výskumný charakter. Pre úplnosť boli posúdené tieto otázky:
– Ako sa prejavujú vlastnosti funkcie pri riešení rovníc a nerovníc?
– Aké rovnice a nerovnice sa riešia prostredníctvom definície vlastností definičného oboru, množiny hodnôt, invariantnosti?
- Aký je algoritmus riešenia?
- Zohľadnili sa úlohy s parametrom navrhnutým v materiáloch KIM pri príprave na skúšku.
Jekaterina vo svojej práci skúmala širokú škálu úloh a systematizovala ich podľa vzhľadu.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Vyriešte nerovnosť Riešenie. Funkcia f (x) = monotónne narastá na celej reálnej čiare a funkcia g (x) = monotónne klesá v celom definičnom obore. Preto je splnená nerovnosť f (x) > g (x), ak x >
Ďakujem za tvoju pozornosť!
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Aplikácia vlastností funkcií pri riešení rovníc a nerovníc Dokončili prácu: Galaeva Ekaterina MBOU stredná škola č. 149 Moskovského okresu Žiaci 11 "A" triedy Vedúci: Fadeeva I. A. Učiteľka matematiky
Hlavné smery: Štúdium vlastností funkcie: monotónnosť, ohraničenosť, definičný obor a invariantnosť Naučiť sa hlavné výroky, ktoré sa najčastejšie používajú pri riešení rovníc, nerovníc a systémov Riešenie úloh z materiálov KIM na prípravu na skúšku
Monotónnosť Funkcia sa zvyšuje, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia je klesajúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2
Výrok 1. Ak je funkcia y \u003d f (x) monotónna, potom rovnica f (x) \u003d c má najviac jeden koreň. x =2 f(x) = - monotónne klesajúce, takže iné riešenia neexistujú. Odpoveď: x=2
Výrok 2. Ak funkcia y \u003d f (x) monotónne rastie a funkcia y \u003d g (x) monotónne klesá, potom rovnica f (x) \u003d g (x) má najviac jeden koreň. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x je monotónne klesajúce a funkcia f (x) \u003d log (x + 11) + 1 monotónne stúpa na doméne, čo znamená, že rovnica f (x ) = g (x) má najviac jeden koreň. Výberom určíme, že x \u003d -1. Vyššie uvedené tvrdenie potvrdzuje jedinečnosť riešenia.
a) f (x) ≤ g (x) vtedy a len vtedy, ak x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) vtedy a len vtedy, ak x ϵ [x 0; +∞). Vizuálny význam tohto tvrdenia je zrejmý. Tvrdenie 3. Ak funkcia y \u003d f (x) monotónne rastie na celej reálnej čiare, funkcia y \u003d g (x) je monotónne klesajúca na celej skutočnej čiare a f (x 0) \u003d g (x 0), potom sú nasledujúce tvrdenia pravdivé:
Vyriešte nerovnosť Riešenie. Funkcia f (x) = monotónne narastá na celej reálnej čiare a funkcia g (x) = monotónne klesá v celom definičnom obore. Preto je splnená nerovnosť f (x) > g (x), ak x > 2. Pridajme definičný obor nerovnosti. Tak dostaneme systém Odpoveď: (2; 5).
Výrok 4. Ak funkcia y \u003d f (x) monotónne rastie, potom rovnice f (x) \u003d x a f (f (x)) \u003d x majú rovnakú množinu koreňov, bez ohľadu na počet investície. Dôsledok. Ak n je prirodzené číslo a funkcia y \u003d f (x) monotónne rastie, potom rovnice f (x) \u003d x a n krát majú rovnakú množinu koreňov.
Vyriešte rovnicu. Odpoveď: Rozhodnutie. Pre x ≥1 nie je pravá strana rovnice menšia ako 1 a ľavá strana je menšia ako 1. Preto, ak má rovnica korene, potom ktorýkoľvek z nich je menší ako 1. Pre x ≤0 je pravá strana rovnice je nekladná a ľavá strana je kladná, pretože . Akýkoľvek koreň tejto rovnice teda patrí do intervalu (0; 1) Vynásobením oboch strán tejto rovnice x a delením čitateľa a menovateľa ľavej strany x dostaneme
Kde = . Označením cez t, kde t 0, dostaneme rovnicu = t. Uvažujme funkciu f (t)= 1+ rastúcu na svojom definičnom obore. Výsledná rovnica môže byť napísaná ako f (f (f (f (t)))) = t a v dôsledku tvrdenia 4 má rovnakú množinu riešení ako rovnica f (t) = t, t.j. rovnica 1 + = t, odkiaľ. Jediný kladný koreň tejto kvadratickej rovnice je . Takže, kde, t.j. , alebo. odpoveď:
Výrok 1. Ak max f (x) = c a min g (x) = c, potom rovnica f (x) = g (x) má rovnakú množinu riešení ako sústava Ohraničenosť Maximálna hodnota ľavej strany je 1 a minimálna hodnota na pravej strane 1 , čo znamená, že riešenie rovnice môžeme zredukovať na sústavu rovníc: , z druhej rovnice nájdeme možného kandidáta x=0 a uistíme sa, že ide o riešenie prvej rovnice. Odpoveď: x=1.
Vyriešte rovnicu Riešenie. Keďže sin3x≤1 a cos4x≤1, ľavá strana tejto rovnice nepresahuje 7. Môže sa rovnať 7 práve vtedy, ak odkiaľ k , n ϵ Z . Zostáva zistiť, či existujú také celé čísla k a n, pre ktoré má druhý systém riešenia. odpoveď: Z
V problémoch s neznámym x a parametrom a sa doménou definície rozumie množina všetkých usporiadaných dvojíc čísel (x ; a), z ktorých každá je taká, že po dosadení zodpovedajúcich hodnôt x a a do všetkých vzťahov zahrnuté do problému, budú určené. Príklad 1. Pre každú hodnotu parametra a vyriešte nerovnosť Riešenie. Nájdime doménu definície tejto nerovnosti. Z čoho je zrejmé, že systém nemá riešenia. To znamená, že definičný obor nerovnice neobsahuje žiadne dvojice čísel x a a, a preto nerovnica nemá riešenia. Rozsah Odpoveď:
Invariantnosť, t.j. invariantnosť rovnice alebo nerovnosť vzhľadom na nahradenie premennej nejakým algebraickým vyjadrením tejto premennej. Najjednoduchším príkladom invariancie je parita: ak je párna funkcia, potom rovnica je invariantná pri zmene x a – x, pretože = 0. Invariant
Nájdite korene rovnice. rozhodnutie. Upozorňujeme, že pár je pri výmene invariantný. Nahradením v rovnosti dostaneme. Vynásobením oboch strán tejto rovnosti číslom 2 a odčítaním členu rovnosti po člene od výslednej rovnosti nájdeme číslo 3, odkiaľ. Teraz zostáva vyriešiť rovnicu, odkiaľ sú korene rovnice čísla. Odpoveď: .
Nájdite všetky hodnoty a, pre každú z nich má rovnica viac ako tri rôzne riešenia. Riešenie problémov s parametrom vlastnosti Monotónnosť
|x|= kladné X= |x|= Aby existovali dva korene, čitateľ musí byť kladný. Preto, keď sa korene prvej a druhej rovnice zhodujú, čo nespĺňa požiadavku podmienky: prítomnosť viac ako troch koreňov. Odpoveď: .
Nájdite všetky hodnoty a, z ktorých má rovnica dva korene. Transformujme rovnicu do tvaru A uvažujme funkciu f(x)= definovanú a spojitú na celej reálnej čiare. Grafom tejto funkcie je prerušovaná čiara, pozostávajúca z úsečiek a lúčov, ktorých každý článok je súčasťou priamky v tvare y= kt+l . f(x)= Pre akékoľvek rozšírenie modulu prvého výrazu k nepresiahne 8, takže nárast a pokles funkcie f(x) bude závisieť od rozšírenia druhého modulu. Pri x sa f(x) zníži a pri x sa zvýši. To znamená, že pri x=3 bude mať funkcia najväčšiu hodnotu. Aby rovnica mala dva korene, je potrebné, aby f(3) bola vlastnosť monotónnosti
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Odpoveď: a
Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich, pre akúkoľvek reálnu hodnotu x, je nerovnosť splnená Prepíšme nerovnosť do tvaru, zaveďme novú premennú t = a uvažujme funkciu f (t) = , definované a súvislé na celej skutočnej čiare. Graf tejto funkcie je prerušovaná čiara, pozostávajúca z úsečiek a lúčov, z ktorých každý článok je súčasťou priamky, kde
Pretože potom t ϵ [-1; jeden]. Kvôli monotónnemu poklesu funkcie y = f (t) stačí skontrolovať ľavú hranu tohto segmentu. Z. A je pravdivé Znamená, že je možné len vtedy, ak čísla u a v majú rovnaké znamienko alebo sa ktorékoľvek z nich rovná nule. , = () () 0. Rozložením štvorcových trojčlenov dostaneme nerovnosť (, z ktorej zistíme, že a ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Odpoveď: (-∞ -1]U(2)U
