Maticový determinant

Nájdenie determinantu matice je veľmi častým problémom vo vyššej matematike a algebre. Pri riešení zložitých sústav rovníc sa spravidla nezaobídeme bez hodnoty maticového determinantu. Cramerova metóda riešenia sústav rovníc je postavená na výpočte maticového determinantu. Pomocou definície determinátu sa zisťuje prítomnosť a jednoznačnosť riešenia sústav rovníc. Preto je ťažké preceňovať dôležitosť schopnosti správne a presne nájsť determinant matice v matematike. Metódy riešenia determinantov sú teoreticky dosť jednoduché, ale ako sa veľkosť matice zväčšuje, výpočty sú veľmi ťažkopádne a vyžadujú si veľkú starostlivosť a veľa času. V takýchto zložitých matematických výpočtoch je veľmi ľahké urobiť menšiu chybu alebo preklep, ktorý povedie k chybe v konečnej odpovedi. Preto aj keď nájdete maticový determinant nezávisle, je dôležité skontrolovať výsledok. To nám umožňuje sprístupniť našu službu Hľadanie determinantu matice online. Naša služba vždy poskytuje absolútne presný výsledok, ktorý neobsahuje žiadne chyby alebo preklepy. Nezávislé výpočty môžete odmietnuť, pretože z aplikovaného hľadiska nájdenie maticový determinant nemá vyučovací charakter, ale jednoducho vyžaduje veľa času a numerických výpočtov. Preto, ak vo svojej úlohe stanovenie maticového determinantu sú pomocné, vedľajšie kalkulácie, využite našu službu a nájsť maticový determinant online!

Všetky výpočty sa vykonávajú automaticky s najvyššou presnosťou a úplne zadarmo. Máme veľmi pohodlné rozhranie na zadávanie maticových prvkov. Hlavným rozdielom medzi našou službou a podobnými je však možnosť získania detailného riešenia. Naša služba na online výpočet determinantu matice vždy používa najjednoduchšiu a najkratšiu metódu a podrobne popisuje každý krok transformácií a zjednodušení. Získate tak nielen hodnotu maticového determinantu, konečný výsledok, ale celé podrobné riešenie.

Pojem determinantu je jedným z hlavných v kurze lineárnej algebry. Tento koncept je súčasťou LEN Štvorcových MATIC a tento článok je venovaný tomuto konceptu. Tu budeme hovoriť o determinantoch matíc, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla. V tomto prípade je determinantom reálne (alebo komplexné) číslo. Všetky ďalšie prezentácie budú odpoveďou na otázky, ako vypočítať determinant a aké vlastnosti má.

Najprv uvedieme definíciu determinantu štvorcovej matice rádu n x n ako súčet súčinov permutácií prvkov matice. Na základe tejto definície napíšeme vzorce na výpočet determinantov matíc prvého, druhého a tretieho rádu a podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých príkladov.

Ďalej prejdeme k vlastnostiam determinantu, ktoré sformulujeme vo forme viet bez dôkazu. Spôsob výpočtu determinantu sa získa jeho rozšírením na prvky riadku alebo stĺpca. Táto metóda redukuje výpočet determinantu matice rádu n na n na výpočet determinantov matíc rádu 3 na 3 alebo menej. Nezabudnite ukázať riešenia na niekoľkých príkladoch.

Na záver sa ešte zastavíme pri výpočte determinantu Gaussovou metódou. Táto metóda je vhodná na nájdenie determinantov matíc rádu väčších ako 3 x 3, pretože vyžaduje menšie výpočtové úsilie. Rozoberieme si aj riešenie príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia maticového determinantu, výpočet maticového determinantu podľa definície.

Pripomíname niekoľko pomocných pojmov.

Definícia.

Permutácia rádu č sa nazýva usporiadaná množina čísel, pozostávajúca z n prvkov.

Pre množinu obsahujúcu n prvkov existuje n! (n faktoriál) permutácií rádu n. Permutácie sa od seba líšia iba v poradí prvkov.

Uvažujme napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel: . Zapíšeme si všetky permutácie (celkovo je ich šesť, pretože ):

Definícia.

Inverzia v permutácii rádu č volá sa ľubovoľný pár indexov p a q, pre ktorý je p-tý prvok permutácie väčší ako q-tý.

V predchádzajúcom príklade je inverzia permutácie 4, 9, 7 p=2, q=3, pretože druhý prvok permutácie je 9 a je väčší ako tretí prvok, ktorý je 7 . Inverzia permutácie 9, 7, 4 budú tri páry: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) a p=2, q=3 (7>4).

Viac nás bude zaujímať počet inverzií v permutácii, než samotná inverzia.

Nech je štvorcová matica rádu n x n nad poľom reálnych (alebo komplexných) čísel. Dovoliť je množina všetkých permutácií rádu n množiny . Sada obsahuje n! permutácií. Označme k-tu permutáciu množiny ako a počet inverzií v k-tej permutácii ako .

Definícia.

Maticový determinant A existuje číslo, ktoré sa rovná .

Opíšme tento vzorec slovami. Determinant štvorcovej matice rádu n x n je súčet obsahujúci n! podmienky. Každý člen je súčinom n prvkov matice a každý súčin obsahuje prvok z každého riadka a z každého stĺpca matice A. Koeficient (-1) sa objaví pred k-tým členom, ak sú prvky matice A v súčine zoradené podľa čísla riadku a počet inverzií v k-tej permutácii množiny čísel stĺpcov je nepárny.

Determinant matice A sa zvyčajne označuje ako a používa sa aj det(A). Môžete tiež počuť, že determinant sa nazýva determinant.

takže, .

To ukazuje, že determinant matice prvého rádu je prvkom tejto matice.

Výpočet determinantu štvorcovej matice druhého rádu - vzorec a príklad.

vo všeobecnosti asi 2 krát 2.

V tomto prípade n=2, teda n!=2!=2.

.

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 2 x 2, má tvar .

Príklad.

objednať.

Riešenie.

V našom príklade. Aplikujeme výsledný vzorec :

Výpočet determinantu štvorcovej matice tretieho rádu - vzorec a príklad.

Nájdite determinant štvorcovej matice vo všeobecnosti asi 3 krát 3.

V tomto prípade n=3, teda n!=3!=6.

Usporiadajme vo forme tabuľky potrebné údaje na aplikáciu vzorca .

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3, má tvar

Podobne možno získať vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 4 x 4, 5 x 5 a vyššie. Budú pôsobiť veľmi objemne.

Príklad.

Vypočítajte determinant štvorcovej matice asi 3 na 3.

Riešenie.

V našom príklade

Výsledný vzorec použijeme na výpočet determinantu matice tretieho rádu:

Vzorce na výpočet determinantov štvorcových matíc druhého a tretieho rádu sa používajú veľmi často, preto odporúčame zapamätať si ich.

Vlastnosti maticového determinantu, výpočet maticového determinantu pomocou vlastností.

Na základe vyššie uvedenej definície platí nasledovné. vlastnosti determinantu matrice.

Determinant matice A sa rovná determinantu transponovanej matice A T , teda .

Príklad.

Uistite sa, že maticový determinant sa rovná determinantu transponovanej matice.

Riešenie.

Použime vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3:



Transponujeme maticu A:


Vypočítajte determinant transponovanej matice:



V skutočnosti sa determinant transponovanej matice rovná determinantu pôvodnej matice.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky aspoň jedného z riadkov (jednoho zo stĺpcov) nulové, determinant takejto matice sa rovná nule.

Príklad.

Skontrolujte, či je determinant matice poradie 3 x 3 je nula.

Riešenie.




Skutočne, determinant matice s nulovým stĺpcom je nula.

Ak prehodíte ľubovoľné dva riadky (stĺpce) v štvorcovej matici, tak determinant výslednej matice bude opačný ako pôvodný (teda znamienko sa zmení).

Príklad.

Dané dve štvorcové matice rádu 3 x 3 A . Ukážte, že ich determinanty sú opačné.

Riešenie.

Matrix B sa získa z matice A tak, že sa tretí riadok nahradí prvým a prvý tretím. Podľa uvažovanej vlastnosti sa determinanty takýchto matíc musia líšiť znamienkom. Overme si to výpočtom determinantov pomocou dobre známeho vzorca.



Naozaj,.

Ak sú aspoň dva riadky (dva stĺpce) rovnaké v štvorcovej matici, potom sa jej determinant rovná nule.

Príklad.

Ukážte, že maticový determinant rovná sa nule.

Riešenie.

V tejto matici sú druhý a tretí stĺpec rovnaké, takže podľa uvažovanej vlastnosti sa jej determinant musí rovnať nule. Poďme si to overiť.



V skutočnosti je determinant matice s dvoma rovnakými stĺpcami nula.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) vynásobené nejakým číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice, vynásobený k. Napríklad,



Príklad.

Dokážte, že maticový determinant sa rovná trojnásobku determinantu matice .

Riešenie.

Prvky prvého stĺpca matice B sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca matice A vynásobením číslom 3. Potom by na základe uvažovanej vlastnosti mala platiť rovnosť. Overme si to výpočtom determinantov matíc A a B.



Preto, , čo sa malo dokázať.

POZNÁMKA.

Nezamieňajte a nezamieňajte pojmy matica a determinant! Uvažovaná vlastnosť determinantu matice a operácia násobenia matice číslom nie sú ani zďaleka to isté.
, Ale .

Ak sú všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice súčtom s členov (s je prirodzené číslo väčšie ako jedna), potom sa determinant takejto matice bude rovnať súčtu s determinantov matíc získaných z pôvodný, ak ako prvky riadku (stĺpca) opúšťajú po jednom výraze. Napríklad,


Príklad.

Dokážte, že determinant matice sa rovná súčtu determinantov matíc .

Riešenie.

V našom príklade , teda vzhľadom na uvažovanú vlastnosť maticového determinantu, rovnosť . Skontrolujeme to výpočtom zodpovedajúcich determinantov matíc rádu 2 x 2 pomocou vzorca .


Zo získaných výsledkov je vidieť, že . Tým je dôkaz hotový.

Ak k prvkom niektorého riadku (stĺpca) matice pripočítame zodpovedajúce prvky iného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice.

Príklad.

Uistite sa, že ak prvky tretieho stĺpca matice pridajte zodpovedajúce prvky druhého stĺpca tejto matice vynásobené (-2) a pridajte zodpovedajúce prvky prvého stĺpca matice vynásobené ľubovoľným reálnym číslom, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinant pôvodnej matice.

Riešenie.

Ak vychádzame z uvažovanej vlastnosti determinantu, potom sa determinant matice získaný po všetkých transformáciách uvedených v úlohe bude rovnať determinantu matice A.

Najprv vypočítame determinant pôvodnej matice A:



Teraz vykonajte potrebné transformácie matice A.

Pridajme k prvkom tretieho stĺpca matice zodpovedajúce prvky druhého stĺpca matice, ktoré sme predtým vynásobili (-2) . Potom bude matica vyzerať takto:


K prvkom tretieho stĺpca výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky prvého stĺpca, vynásobené:


Vypočítajte determinant výslednej matice a uistite sa, že sa rovná determinantu matice A, teda -24:



Determinant štvorcovej matice je súčet súčinov prvkov ktoréhokoľvek riadka (stĺpca) podľa ich algebraické sčítania.



Tu je algebraický doplnok maticového prvku , .

Táto vlastnosť umožňuje počítať determinanty matíc rádu vyšších ako 3 x 3 ich redukciou na súčet niekoľkých determinantov rádových matíc o jeden nižší. Inými slovami, toto je opakujúci sa vzorec na výpočet determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Odporúčame si ho zapamätať pre jeho pomerne častú použiteľnosť.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad.

poradie 4 x 4, čím sa rozšíri

• podľa prvkov 3. riadku,
• prvkami 2. stĺpca.

Riešenie.

Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 3. riadku



Máme



Takže problém nájsť determinant matice rádu 4 x 4 bol zredukovaný na výpočet troch determinantov matíc rádu 3 x 3:



Nahradením získaných hodnôt dospejeme k výsledku:


Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 2. stĺpca


a my konáme rovnakým spôsobom.

Výpočet determinantov matíc tretieho rádu nebudeme podrobne popisovať.



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 4 na 4.

Riešenie.

Maticový determinant môžete rozložiť na prvky ľubovoľného stĺpca alebo ľubovoľného riadku, ale výhodnejšie je vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov, pretože to pomôže vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Rozšírme determinant o prvky prvého riadku:



Získané determinanty matíc rádu 3 x 3 vypočítame podľa nám známeho vzorca:



Nahradíme výsledky a získame požadovanú hodnotu


Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 5 krát 5.

Riešenie.

Štvrtý riadok matice má spomedzi všetkých riadkov a stĺpcov najväčší počet nulových prvkov, preto je vhodné rozšíriť determinant matice presne o prvky štvrtého riadku, pretože v tomto prípade potrebujeme menej výpočtov.



Získané determinanty matíc rádu 4 x 4 sme našli v predchádzajúcich príkladoch, takže použijeme hotové výsledky:



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 7 krát 7.

Riešenie.

Nemali by ste sa okamžite ponáhľať, aby ste rozložili determinant pomocou prvkov akéhokoľvek riadku alebo stĺpca. Ak sa pozriete pozorne na maticu, všimnete si, že prvky šiesteho riadku matice možno získať vynásobením zodpovedajúcich prvkov druhého riadku dvoma. To znamená, že ak k prvkom šiesteho riadku pripočítame zodpovedajúce prvky druhého riadku vynásobené (-2), potom sa determinant v dôsledku siedmej vlastnosti nezmení a šiesty riadok výslednej matice bude pozostávať z nuly. Determinant takejto matice sa druhou vlastnosťou rovná nule.

odpoveď:

Treba poznamenať, že uvažovaná vlastnosť umožňuje vypočítať determinanty matíc ľubovoľného rádu, je však potrebné vykonať veľa výpočtových operácií. Vo väčšine prípadov je výhodnejšie nájsť determinant matíc rádu vyšších ako tretí Gaussovou metódou, ktorú budeme uvažovať nižšie.

Súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice a algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) je rovný nule.


Príklad.

Ukážte, že súčet súčinov prvkov tretieho stĺpca matice na algebraických doplnkoch zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca sa rovná nule.

Riešenie.




Determinant súčinu štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu ich determinantov, tj. , kde m je prirodzené číslo väčšie ako jedna, A k , k=1,2,…,m sú štvorcové matice rovnakého rádu.

Príklad.

Uistite sa, že determinant súčinu dvoch matíc a rovná sa súčinu ich determinantov.

Riešenie.

Najprv nájdime súčin determinantov matíc A a B:


Teraz vykonajte násobenie matice a vypočítajte determinant výslednej matice:



teda , ktorý sa mal ukázať.

Výpočet maticového determinantu Gaussovou metódou.

Poďme si popísať podstatu tejto metódy. Pomocou elementárnych transformácií sa matica A zredukuje do takej podoby, že v prvom stĺpci sa všetky prvky okrem jedného stanú nulovými (to je možné vždy, ak je determinant matice A nenulový). Tento postup popíšeme trochu neskôr, ale teraz vysvetlíme, prečo sa to robí. Nulové prvky sa získajú, aby sa získalo čo najjednoduchšie rozšírenie determinantu na prvky prvého stĺpca. Po takejto transformácii matice A s prihliadnutím na ôsmu vlastnosť a získame

Kde - vedľajší (n-1)-tý rád, získaná z matice A vymazaním prvkov jej prvého riadku a prvého stĺpca.

S maticou, ktorej zodpovedá minor, sa vykoná rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci. A tak ďalej až do konečného výpočtu determinantu.

Teraz zostáva odpovedať na otázku: "Ako získať nulové prvky v prvom stĺpci"?

Poďme popísať algoritmus akcií.

Ak , potom sa prvky prvého riadku matice pridajú k príslušným prvkom k-tého riadku, v ktorom . (Ak sú bez výnimky všetky prvky prvého stĺpca matice A nulové, potom je jej determinant podľa druhej vlastnosti nulový a nie je potrebná žiadna Gaussova metóda). Po takejto transformácii sa "nový" prvok bude líšiť od nuly. Determinant "novej" matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Teraz máme maticu, ktorá má . Keď k prvkom druhého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , k prvkom tretieho riadku - zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené . A tak ďalej. Na záver, k prvkom n-tého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . Takže získame transformovanú maticu A, ktorej všetky prvky prvého stĺpca, okrem , budú nulové. Determinant výslednej matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Rozoberme si metódu pri riešení príkladu, aby to bolo jasnejšie.

Príklad.

Vypočítajte determinant matice rádu 5 krát 5 .

Riešenie.

Využime Gaussovu metódu. Transformujme maticu A tak, aby všetky prvky jej prvého stĺpca, okrem , boli nulové.

Keďže prvok je spočiatku , potom k prvkom prvého riadku matice pridáme zodpovedajúce prvky, napríklad druhý riadok, pretože:

Znak "~" znamená rovnocennosť.

Teraz pridáme k prvkom druhého radu zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené , na prvky tretieho riadku - zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené a postupujte podobne až po šiesty riadok:

Dostaneme

s matricou vykonáme rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci:

teda

Teraz vykonáme transformácie s maticou :

Komentujte.

V určitom štádiu transformácie matice Gaussovou metódou môže nastať situácia, keď sa všetky prvky niekoľkých posledných riadkov matice stanú nulovými. Toto bude hovoriť o rovnosti determinantu na nulu.

Zhrnúť.

Determinantom štvorcovej matice, ktorej prvkami sú čísla, je číslo. Zvažovali sme tri spôsoby výpočtu determinantu:

1. prostredníctvom súčtu súčinov kombinácií prvkov matrice;
2. prostredníctvom rozšírenia determinantu o prvky riadka alebo stĺpca matice;
3. metóda zmenšenia matice na hornú trojuholníkovú (Gaussovou metódou).

Získali sa vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 2 x 2 a 3 x 3 .

Analyzovali sme vlastnosti maticového determinantu. Niektoré z nich vám umožňujú rýchlo pochopiť, že determinant je nula.

Pri výpočte determinantov matíc rádu vyšších ako 3 x 3 je vhodné použiť Gaussovu metódu: vykonať elementárne transformácie matice a priviesť ju k hornej trojuholníkovej. Determinant takejto matice sa rovná súčinu všetkých prvkov na hlavnej diagonále.

Pripomeňme si Laplaceovu vetu:
Laplaceova veta:

Nech je ľubovoľne zvolených k riadkov (alebo k stĺpcov) v determinante d rádu n, . Potom súčet súčinov všetkých minoritných skupín k-teho rádu obsiahnutých vo vybraných riadkoch a ich algebraických doplnkov sa rovná determinantu d.

Na výpočet determinantov vo všeobecnom prípade sa k rovná 1. To znamená, v determinante d rádu n je riadok (alebo stĺpec) zvolený ľubovoľne. Potom sa súčet súčinov všetkých prvkov obsiahnutých vo vybranom riadku (alebo stĺpci) a ich algebraických doplnkov rovná determinantu d.

Príklad:
Vypočítajte determinant

Riešenie:

Vyberme si ľubovoľný riadok alebo stĺpec. Z dôvodu, ktorý sa ukáže o niečo neskôr, obmedzíme náš výber buď na tretí riadok alebo štvrtý stĺpec. A zastavte sa na treťom riadku.

Využime Laplaceovu vetu.

Prvý prvok vybraného riadku je 10, nachádza sa v treťom riadku a prvom stĺpci. Vypočítajme k nemu algebraický doplnok, t.j. nájdite determinant získaný vymazaním stĺpca a riadku, na ktorom tento prvok stojí (10) a zistite znamienko.

"plus, ak súčet čísel všetkých riadkov a stĺpcov, v ktorých sa nachádza vedľajšie M, je párny, a mínus, ak je tento súčet nepárny."
A zobrali sme vedľajšiu položku pozostávajúcu z jedného jediného prvku 10, ktorý je v prvom stĺpci tretieho riadku.

Takže:


Štvrtý člen tohto súčtu je 0, preto sa oplatí vybrať riadky alebo stĺpce s maximálnym počtom nulových prvkov.

odpoveď: -1228

Príklad:
Vypočítajte determinant:

Riešenie:
Vyberme si prvý stĺpec, pretože dva prvky v ňom sú rovné 0. Rozviňme determinant v prvom stĺpci.


Rozšírime každý z determinantov tretieho rádu o prvý a druhý riadok


Rozšírime každý z determinantov druhého rádu v prvom stĺpci


odpoveď: 48
komentár: pri riešení tejto úlohy neboli použité vzorce na výpočet determinantov 2. a 3. rádu. Použilo sa iba rozšírenie o riadok alebo stĺpec. Čo vedie k zníženiu poradia determinantov.

Výpočet determinantov n- poradie:

Pojem determinantu n- poradie

Pomocou tohto článku o determinantoch sa určite naučíte riešiť problémy, ako sú nasledujúce:

Vyriešte rovnicu:

a mnoho ďalších, ktoré učitelia tak radi vymýšľajú.

Maticový determinant alebo jednoducho determinant hrá dôležitú úlohu pri riešení sústav lineárnych rovníc. Vo všeobecnosti boli na tento účel vynájdené determinanty. Keďže sa často hovorí aj o „determinante matice“, spomenieme tu aj matice. Matrix je obdĺžniková tabuľka zložená z čísel, ktoré sa nedajú zameniť. Štvorcová matica je tabuľka, ktorá má rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Len štvorcová matica môže mať determinant.

Je ľahké pochopiť logiku písania determinantov podľa nasledujúcej schémy. Zoberme si sústavu dvoch rovníc s dvomi neznámymi, ktoré poznáte zo školy:

V determinante sú koeficienty pre neznáme postupne zapísané: v prvom riadku - z prvej rovnice, v druhom riadku - z druhej rovnice:

Napríklad, ak je daný systém rovníc

potom sa z koeficientov neznámych vytvorí nasledujúci determinant:

Povedzme teda, že máme štvorcovú tabuľku pozostávajúcu z čísel usporiadaných v n riadky (horizontálne riadky) a v n stĺpce (zvislé riadky). Pomocou týchto čísel podľa niektorých pravidiel, ktoré si preštudujeme nižšie, nájdu číslo, na ktoré zavolajú determinant n rádu a sú označené takto:

(1)

Volajú sa čísla prvkov determinant (1) (prvý index znamená číslo riadku, druhý - číslo stĺpca, na priesečníku ktorého je prvok; i = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). Poradie determinantu je počet jeho riadkov a stĺpcov.

Pomyselná priamka spájajúca prvky determinantu, pre ktorý sú oba indexy rovnaké, t.j. prvkov

volal hlavná uhlopriečka, druhá uhlopriečka je strane.

Výpočet determinantov druhého a tretieho rádu

Ukážme si, ako sa počítajú determinanty prvých troch rádov.

Prvým determinantom je samotný prvok t.j.

Druhým determinantom rádu je číslo získané takto:

, (2)

Súčin prvkov na hlavnej a vedľajšej diagonále, resp.

Rovnosť (2) ukazuje, že súčin prvkov hlavnej uhlopriečky sa berie s jej znamienkom a súčin prvkov vedľajšej diagonály sa berie s opačným znamienkom. .

Príklad 1 Vypočítajte determinanty druhého rádu:

Riešenie. Podľa vzorca (2) zistíme:

Tretí determinant rádu je číslo získané takto:

(3)

Je ťažké zapamätať si tento vzorec. Existuje však jednoduché pravidlo tzv trojuholníkové pravidlo , čo uľahčuje reprodukovanie výrazu (3). Prvky determinantu označíme bodmi, priamymi úsečkami spojíme tie z nich, ktoré dávajú súčin prvkov determinantu (obr. 1).

Vzorec (3) ukazuje, že súčin prvkov hlavnej uhlopriečky, ako aj prvkov umiestnených vo vrcholoch dvoch trojuholníkov, ktorých základne sú s ňou rovnobežné, sa berú so svojimi znamienkami; s opačnými - produkty prvkov sekundárnej diagonály, ako aj prvky umiestnené vo vrcholoch dvoch trojuholníkov, ktoré sú s ňou rovnobežné .

Na obr.1 je červenou farbou zvýraznená hlavná uhlopriečka a základne trojuholníkov k nej prislúchajúcich a vedľajšia uhlopriečka a základne trojuholníkov, ktoré jej zodpovedajú.

Pri výpočte determinantov je veľmi dôležité, ako na strednej škole, pamätať na to, že mínusové číslo vynásobené mínusovým číslom má za následok znamienko plus a znamienko plus vynásobené mínusovým číslom dáva číslo so znamienkom mínus.

Príklad 2 Vypočítajte determinant tretieho rádu:

Riešenie. Pomocou pravidla trojuholníkov dostaneme

Výpočet determinantov n- poradie

Riadkové alebo stĺpcové rozšírenie determinantu

Na výpočet determinantu n rádu, je potrebné poznať a používať nasledujúcu vetu.

Laplaceova veta. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného radu a ich algebraických doplnkov, t.j.

Definícia. Ak v determinante n poradie vybrať ľubovoľne p linky a p stĺpce ( p < n), potom prvky v priesečníku týchto riadkov a stĺpcov tvoria maticu poradia.

Determinant tejto matice je tzv maloletý pôvodný determinant. Zvážte napríklad determinant:

Zostavme maticu z riadkov a stĺpcov s párnymi číslami:

Determinant

volal maloletý determinant . Prijatý maloletý druhého poriadku. Je jasné, že z rôznych neplnoletých osôb prvého, druhého a tretieho rádu môžu byť skonštruované.

Ak vezmeme prvok a prečiarkneme riadok a stĺpec, na ktorého priesečníku stojí v determinante, dostaneme vedľajšiu, nazývanú vedľajšia prvok prvku, ktorú označíme:

.

Ak sa vedľajšia hodnota vynásobí , kde 3 + 2 je súčet čísel riadkov a stĺpcov, na ktorých priesečníku prvok stojí, výsledný súčin sa nazýva algebraické sčítanie prvok a je označený ,

Vo všeobecnosti bude vedľajšia časť prvku označovaná a algebraický doplnok ,

(4)

Vypočítajme napríklad algebraické doplnky prvkov a determinant tretieho rádu:

Podľa vzorca (4) dostaneme

Pri rozklade determinantu sa často využíva nasledujúca vlastnosť determinantu n- poradie:

ak sa súčin zodpovedajúcich prvkov iného riadka alebo stĺpca konštantným faktorom pripočíta k prvkom ľubovoľného riadka alebo stĺpca, potom sa hodnota determinantu nezmení.

Príklad 4

Predbežne odpočítajme prvky štvrtého radu od prvého a tretieho riadku, potom budeme mať

V štvrtom stĺpci získaného determinantu sú tri prvky nuly. Preto je výhodnejšie rozšíriť tento determinant o prvky štvrtého stĺpca, pretože prvé tri produkty budú nulové. Preto

Riešenie môžete skontrolovať pomocou online kalkulačka determinantov .

A nasledujúci príklad ukazuje, ako možno výpočet determinantu ľubovoľného (v tomto prípade štvrtého) rádu zredukovať na výpočet determinantu druhého rádu.

Príklad 5 Vypočítajte determinant:

Odčítajme prvky prvého riadku od tretieho riadku a pripočítajme prvky prvého riadku k prvkom štvrtého radu, potom budeme mať

V prvom stĺpci sú všetky prvky okrem prvého nulové. To znamená, že determinant už môže byť rozložený v prvom stĺpci. Ale naozaj nechceme počítať determinant tretieho rádu. Preto urobíme viac transformácií: k prvkom tretieho radu pridáme prvky druhého radu vynásobené 2 a od prvkov štvrtého radu odpočítame prvky druhého radu. Výsledkom je, že determinant, ktorý je algebraickým doplnkom, sa môže rozšíriť v prvom stĺpci a budeme musieť vypočítať iba determinant druhého rádu a nenechať sa zmiasť v znamienkach:

Uvedenie determinantu do trojuholníkového tvaru

Determinant, kde sú všetky prvky ležiace na jednej strane jednej z uhlopriečok rovné nule, sa nazýva trojuholníkový. Prípad vedľajšej uhlopriečky sa zmenší na prípad hlavnej uhlopriečky obrátením poradia riadkov alebo stĺpcov. Takýto determinant sa rovná súčinu prvkov hlavnej diagonály.

Na zmenšenie do trojuholníkového tvaru sa používa rovnaká vlastnosť determinantu n rádu, ktorý sme použili v predchádzajúcom odseku: ak k prvkom ľubovoľného riadka alebo stĺpca pripočítame súčin zodpovedajúcich prvkov iného riadka alebo stĺpca konštantným faktorom, potom sa hodnota determinantu nezmení.

Riešenie môžete skontrolovať pomocou online kalkulačka determinantov .

Vlastnosti určujúce n- poradie

V predchádzajúcich dvoch odsekoch sme už použili jednu z vlastností determinantu n- poradie. V niektorých prípadoch na zjednodušenie výpočtu determinantu môžete použiť ďalšie dôležité vlastnosti determinantu. Napríklad je možné redukovať determinant na súčet dvoch determinantov, z ktorých jeden alebo oba môžu byť vhodne rozšírené pozdĺž nejakého riadku alebo stĺpca. Existuje veľa prípadov takéhoto zjednodušenia a otázka použitia jednej alebo druhej vlastnosti determinantu by sa mala rozhodnúť individuálne.

1. Veta o rozklade:

Ľubovoľný determinant sa rovná súčtu párových súčinov prvkov ľubovoľného radu a ich algebraických doplnkov.

Pre ja- riadok:

alebo pre j-tý stĺpec:

Príklad 7.1. Vypočítajte determinant rozbalením prvkov prvého riadku:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Dekompozičná veta nám umožňuje nahradiť výpočet jedného determinantu n- výpočet objednávky n determinanty ( n- 1) poradie.

Pre zjednodušenie výpočtov je však vhodné použiť metódu „násobenia núl“ pre determinanty vysokých rádov, založenú na vlastnosti 6 časti 5. Jej myšlienkou je:

Najprv "vynásobte nuly" v niektorom riadku, t.j. získajte sériu, v ktorej sa iba jeden prvok nerovná nule, zvyšok sú nuly;

Potom rozviňte determinant o prvky tohto radu.

Preto na základe rozkladovej vety je pôvodný determinant rovný súčinu nenulového prvku a jeho algebraického doplnku.

Príklad 7.2. Vypočítajte determinant:

.

"násobenie núl" v prvom stĺpci.

Od druhého riadku odpočítame prvý vynásobený 2, od tretieho riadku odpočítame prvý vynásobený 3 a od štvrtého riadku odpočítame prvý vynásobený 4. Pri takýchto transformáciách sa hodnota determinantu nezmení.

Podľa vlastnosti 4 oddielu 5 môžeme vyňať znamienko determinantu z 1. stĺpca, z 2. stĺpca a z 3. stĺpca.

Dôsledok: Determinant s nulovým radom sa rovná nule.

2. Substitučná veta:

Súčet párových súčinov ľubovoľných čísel a algebraických doplnkov určitého radu determinantu sa rovná determinantu, ktorý sa získa z daného, ​​ak sú v ňom prvky tohto radu nahradené prevzatými číslami.

Pre -tý riadok:

1. Zrušovacia veta:

Súčet párových súčinov prvkov ľubovoľného radu a algebraických doplnkov paralelného radu sa rovná nule.

Substitučnou vetou totiž získame determinant, pre ktorý k-tý riadok obsahuje rovnaké prvky ako v i-tý riadok

Ale podľa vlastnosti 3 oddielu 5 sa takýto determinant rovná nule.

Dekompozičnú vetu a jej dôsledky možno teda zapísať takto:

8. Všeobecné informácie o matrikách. Základné definície.

Definícia 8.1 . Matrix nazývame nasledujúcu obdĺžnikovú tabuľku:

Používajú sa aj tieto maticové označenia: , alebo alebo .

Riadky a stĺpce matice sú pomenované riadkov.

Hodnota sa volá veľkosť matice.

Ak v matici vymeníme riadky a stĺpce, dostaneme maticu tzv transponované. Matica transponovaná s , zvyčajne sa označuje symbolom .

Napríklad:

Definícia 8.2. Dve matrice A A B volal rovný, Ak

1) obe matice sú rovnako veľké, t.j. A ;

2) všetky im zodpovedajúce prvky sú rovnaké, t.j.

Potom . (8.2)

Tu je jedna maticová rovnosť (8.2) ekvivalentná skalárnym rovnostiam (8.1).

9. Odrody matríc.

1) Volá sa matica, ktorej všetky prvky sú rovné nule nulová matica:

2) Ak matica pozostáva iba z jedného riadku, potom sa volá riadková matica, Napríklad . Podobne sa nazýva matica, ktorá má iba jeden stĺpec stĺpcová matica, Napríklad .

Transpozícia transformuje stĺpcovú maticu na riadkovú maticu a naopak.

3) Ak m=n, potom sa zavolá matica štvorcová matica n-tého rádu.

Uhlopriečka členov štvorcovej matice prechádzajúca z ľavého horného rohu do jej pravého dolného rohu sa nazýva Hlavná. Druhá uhlopriečka jej členov, smerujúca z ľavého dolného rohu do pravého horného rohu, sa nazýva strane.

Pre štvorcovú maticu možno vypočítať determinant det(A).