odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu a definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Vezmite dva logaritmy s rovnakým základom: log x a prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Existuje teda rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä - rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš? Dobre. Teraz na 10 - 20 minút:

1. Pochopiť čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich ešte nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Okrem toho budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a to, ako sa číslo zvyšuje na mocninu ...

Cítim, že pochybuješ... No, nechaj si čas! Choď!

Najprv si v duchu vyriešte nasledujúcu rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Ťažiskom tohto článku je logaritmus. Tu uvedieme definíciu logaritmu, ukážeme akceptovaný zápis, uvedieme príklady logaritmov a porozprávame sa o prirodzených a desiatkových logaritmoch. Potom zvážte základnú logaritmickú identitu.

Navigácia na stránke.

Definícia logaritmu

Koncept logaritmu vzniká pri riešení problému v istom zmysle inverznom, keď potrebujete nájsť exponent zo známej hodnoty stupňa a známeho základu.

Ale dosť preambuly, je čas odpovedať na otázku „čo je to logaritmus“? Uveďme vhodnú definíciu.

Definícia.

Logaritmus b na základ a, kde a>0 , a≠1 a b>0 je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.

V tejto fáze si všimneme, že hovorené slovo „logaritmus“ by malo okamžite vyvolať dve nasledujúce otázky: „aké číslo“ a „na akom základe“. Inými slovami, jednoducho neexistuje žiadny logaritmus, ale existuje iba logaritmus čísla v nejakom základe.

Hneď predstavíme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a sa zvyčajne označuje ako log a b. Logaritmus čísla b k základu e a logaritmus k základu 10 majú svoje vlastné špeciálne označenia lnb a lgb, to znamená, že nepíšu log e b , ale lnb a nie log 10 b , ale lgb .

Teraz si môžete priniesť: .
A záznamy nedáva zmysel, pretože v prvom z nich je záporné číslo pod znamienkom logaritmu, v druhom - záporné číslo v základe a v treťom - záporné číslo pod znamienkom logaritmu a jednotka v základni.

Teraz si pohovorme o pravidlá čítania logaritmov. Záznam ab sa číta ako "logaritmus b na základ a". Napríklad log 2 3 je logaritmus troch k základu 2 a je to logaritmus dvoch celých čísel dvoch základných tretín druhej odmocniny z piatich. Logaritmus k základu e sa nazýva prirodzený logaritmus a zápis lnb sa číta ako "prirodzený logaritmus b". Napríklad ln7 je prirodzený logaritmus čísla sedem a budeme ho čítať ako prirodzený logaritmus čísla pí. Logaritmus na základ 10 má tiež špeciálny názov - desiatkový logaritmus a zápis lgb sa číta ako "desiatkový logaritmus b". Napríklad lg1 je desiatkový logaritmus jednej a lg2,75 je desiatkový logaritmus dvoch bodiek sedemdesiatpäť stotín.

Oplatí sa venovať osobitnú pozornosť podmienkam a>0, a≠1 a b>0, za ktorých je daná definícia logaritmu. Vysvetlíme, odkiaľ tieto obmedzenia pochádzajú. K tomu nám pomôže rovnosť tvaru s názvom , ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.

Začnime s a≠1 . Keďže jedna sa rovná jednej akejkoľvek mocnine, potom rovnosť môže platiť iba pre b=1, ale log 1 1 môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, akceptuje sa a≠1.

Doložme účelnosť podmienky a>0 . S a=0 by sme podľa definície logaritmu mali rovnosť , čo je možné len s b=0 . Ale potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Tejto nejednoznačnosti sa dá vyhnúť podmienkou a≠0 . A pre a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nakoniec podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0 , keďže , a hodnota stupňa s kladnou bázou a je vždy kladná.

Na záver tohto odseku hovoríme, že vyjadrená definícia logaritmu vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, keď je číslo pod znakom logaritmu určitým stupňom základne. Definícia logaritmu nám skutočne umožňuje tvrdiť, že ak b=a p , potom sa logaritmus čísla b k základu a rovná p . To znamená, že log rovnosti a a p = p je pravdivý. Napríklad vieme, že 2 3 = 8 , potom log 2 8 = 3 . Viac si o tom povieme v článku.

Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dať demonštráciu príklady riešenia.

Samy o sebe implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie si najprv pripomenieme všetky vlastnosti:

Teraz, na základe týchto vzorcov (vlastností), ukážeme príklady riešenia logaritmov.

Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.

Logaritmus kladné číslo b v základe a (označené ako log a b) je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sme dostali b, pričom b > 0, a > 0 a 1.

Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.

Logaritmy, príklady:

log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8

log 7 49 = 2 pretože 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5

Desatinný logaritmus je obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.

log 10 100 = 2 pretože 102 = 100

prirodzený logaritmus- tiež obvyklý logaritmus logaritmus, ale so základom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionálne číslo). Označované ako ln.

Je vhodné si zapamätať vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s ​​príkladmi.

• Základná logaritmická identita
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vlastnosti stupňa logaritmovateľného čísla a základu logaritmu

  Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b

  Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prechod na nový základ
  log a b = log c b / log c a,

  ak c = b, dostaneme log b b = 1

  potom log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Ako vidíte, logaritmické vzorce nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme zvážili príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Príklady riešenia logaritmických rovníc podrobnejšie zvážime v článku: "". Nenechajte si ujsť!

Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.

Poznámka: rozhodol som sa získať vzdelanie v inej triede štúdiom v zahraničí ako voliteľnú možnosť.

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážte, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobným riešením.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné rýchlo a jednoducho vykonať nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c , odkiaľ je podľa definície logaritmu číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu teda podľa definície vedie k nájdeniu takého čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhľadom na informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znamienkom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme si príklady.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5,3.

rozhodnutie.

Definícia logaritmu nám umožňuje hneď povedať, že log 2 2 −3 = −3 . V skutočnosti sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je uvedené ako mocnina základu logaritmu, potom musíte dôkladne zvážiť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Toto znázornenie je často celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu s mocninou 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

rozhodnutie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). teda .

Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť , z čoho sme dospeli k záveru, že . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto:

odpoveď:

log 5 25=2 , a .

Keď je dostatočne veľké prirodzené číslo pod znamienkom logaritmu, nezaškodí ho rozložiť na prvočísla. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

rozhodnutie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1=log a a 0 =0 a log a a=log a a 1 =1 . To znamená, že keď číslo 1 alebo číslo a je pod znamienkom logaritmu, rovná sa základu logaritmu, potom sú v týchto prípadoch logaritmy 0 a 1.

Príklad.

Aké sú logaritmy a lg10?

rozhodnutie.

Od , to vyplýva z definície logaritmu .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1 .

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p , čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Zvážte príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus .

rozhodnutie.

odpoveď:

.

Pri výpočte sa využívajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odstavcoch.

Hľadanie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme využitia vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre objasnenie si uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963 , potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie však musíte použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby ste vypočítali pôvodný logaritmus z hľadiska daných.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 k základu 60, ak je známe, že log 60 2=a a log 60 5=b .

rozhodnutie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27=3 3 a pôvodný logaritmus možno vďaka vlastnosti logaritmu stupňa prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako možno log 60 3 vyjadriť pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu vám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b) = 3-6 a-3 b.

odpoveď:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne z pôvodného logaritmu podľa prechodového vzorca prechádzajú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú vypočítať ich hodnoty s určitým stupňom presnosti. V ďalšej časti si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky, ich použitie

Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky. Najčastejšie sa používa základná tabuľka 2 logaritmov, tabuľka prirodzených logaritmov a tabuľka desiatkových logaritmov. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov so základom desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desaťtisícinu nájsť hodnoty dekadických logaritmov čísel od 1,000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov rozoberieme na konkrétnom príklade - je to jasnejšie. Poďme nájsť lg1,256 .

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, teda nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslo 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslo 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách tabuľky logaritmov na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desatinného logaritmu až po štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, a tiež prekročiť limity od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332 . Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332 10 2 . Potom by sa mantisa mala zaokrúhliť na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, pričom pôvodný dekadický logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Teraz použite vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. teda .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. – 11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).