Príklady riešenia úloh na tému „Náhodné premenné“.

Úloha 1 . V lotérii je vydaných 100 tiketov. Hralo sa o jednu výhru 50 USD. a desať výhier po 10 dolárov. Nájdite zákon rozdelenia hodnoty X - náklady na možný zisk.

rozhodnutie. Možné hodnoty X: x 1 = 0; X 2 = 10 a x 3 = 50. Keďže je 89 „prázdnych“ lístkov, potom p 1 = 0,89, pravdepodobnosť výhry je 10 c.u. (10 lístkov) – str 2 = 0,10 a za výhru 50 c.u. –p 3 = 0,01. takto:

	0,89	0,10	0,01

Jednoduché ovládanie:.

Úloha 2. Pravdepodobnosť, že sa kupujúci s reklamou produktu vopred oboznámil, je 0,6 (p = 0,6). Selektívnu kontrolu kvality inzercie vykonáva anketovanie kupujúcich pred prvým, ktorý si inzerát vopred preštudoval. Urobte sériu distribúcie počtu opýtaných kupujúcich.

rozhodnutie. Podľa podmienky úlohy p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Nahradením týchto hodnôt dostaneme: a zostavte distribučnú sériu:

pi		0,24

Úloha 3. Počítač pozostáva z troch nezávisle fungujúcich prvkov: systémovej jednotky, monitora a klávesnice. Pri jedinom prudkom zvýšení napätia je pravdepodobnosť zlyhania každého prvku 0,1. Na základe Bernoulliho rozdelenia zostavte distribučný zákon pre počet zlyhaných prvkov pri prepätí v sieti.

rozhodnutie. Zvážte Bernoulliho distribúcia(alebo binomický): pravdepodobnosť, že v n testy, udalosť A sa objaví presne k raz: alebo:

	q n					p n

AT vráťme sa k úlohe.

Možné hodnoty X (počet porúch):

x 0 = 0 - žiadny z prvkov zlyhal;

x 1 =1 - porucha jedného prvku;

x 2 =2 - porucha dvoch prvkov;

x 3 =3 - porucha všetkých prvkov.

Keďže podľa podmienky p = 0,1, potom q = 1 – p = 0,9. Pomocou Bernoulliho vzorca dostaneme

, ,

, .

Kontrola: .

Preto požadovaný distribučný zákon:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Úloha 4. Vyrobených 5000 nábojov. Pravdepodobnosť, že jedna kazeta je chybná . Aká je pravdepodobnosť, že v celej dávke budú práve 3 chybné kazety?

rozhodnutie. Použiteľné Poissonova distribúcia: toto rozdelenie sa používa na určenie pravdepodobnosti, že pri veľmi veľkej

počet pokusov (hromadných pokusov), v každom z nich je pravdepodobnosť udalosti A veľmi malá, udalosť A nastane k-krát: , kde .

Tu n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Nájdeme , potom požadovanú pravdepodobnosť: .

Úloha 5. Pri streľbe pred prvým zásahom s pravdepodobnosťou zasiahnutia p = 0,6 pre výstrel, musíte nájsť pravdepodobnosť, že k zásahu dôjde pri treťom výstrele.

rozhodnutie. Aplikujme geometrickú distribúciu: urobme nezávislé pokusy, v ktorých každý jav A má pravdepodobnosť výskytu p (a nevýskyt q = 1 - p). Pokusy sa skončia hneď, ako nastane udalosť A.

Za takýchto podmienok je pravdepodobnosť, že udalosť A nastane pri k-tom teste, určená vzorcom: . Tu p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Preto .

Úloha 6. Nech je daný zákon rozdelenia náhodnej premennej X:

Nájdite matematické očakávanie.

rozhodnutie. .

Všimnite si, že pravdepodobnostný význam matematického očakávania je priemerná hodnota náhodnej premennej.

Úloha 7. Nájdite rozptyl náhodnej premennej X s nasledujúcim distribučným zákonom:

rozhodnutie. Tu .

Zákon rozdelenia štvorca X 2 :

X 2

Požadovaná odchýlka: .

Disperzia charakterizuje mieru odchýlky (rozptylu) náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

Úloha 8. Nech je náhodná premenná daná rozdelením:

			10 m

Nájdite jeho číselné charakteristiky.

Riešenie: m, m 2 ,

M 2 , m.

O náhodnej premennej X sa dá povedať buď - jej matematické očakávanie je 6,4 m s rozptylom 13,04 m 2 , alebo - jeho matematický predpoklad je 6,4 m s odchýlkou ​​m. Druhá formulácia je samozrejme jasnejšia.

Úloha 9. Náhodná hodnota X dané distribučnou funkciou:
.

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu hodnota X nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale .

rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu z daného intervalu, sa rovná prírastku integrálnej funkcie v tomto intervale, t.j. . V našom prípade a teda

.

Úloha 10. Diskrétna náhodná premenná X podľa distribučného zákona:

Funkcia nájsť distribúciu F(x ) a zostavte jeho graf.

rozhodnutie. Od distribučnej funkcie

pre , potom

v ;

v ;

v ;

v ;

Príslušný graf:

Úloha 11. Spojitá náhodná premenná X dané diferenciálnou distribučnou funkciou: .

Nájdite pravdepodobnosť zásahu X do intervalu

rozhodnutie. Všimnite si, že toto je špeciálny prípad zákona o exponenciálnom rozdelení.

Použime vzorec: .

Úloha 12. Nájdite číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej X dané distribučným zákonom:

	–5
	X 2 : x2 . , kde je Laplaceova funkcia. Hodnoty tejto funkcie sa nachádzajú pomocou tabuľky. V našom prípade: . Podľa tabuľky zistíme:, teda:

Definícia.Rozptyl (rozptyl) Diskrétna náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania:

Príklad. Pre vyššie uvedený príklad nájdeme

Matematické očakávanie náhodnej premennej je:

Možné hodnoty štvorcovej odchýlky:

; ;

Disperzia je:

V praxi je však tento spôsob výpočtu rozptylu nepohodlný, pretože vedie k ťažkopádnym výpočtom pre veľký počet hodnôt náhodnej premennej. Preto sa používa iná metóda.

Výpočet rozptylu

Veta. Rozptyl sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a druhou mocninou jej matematického očakávania:

Dôkaz. Berúc do úvahy skutočnosť, že matematické očakávanie a druhá mocnina matematického očakávania sú konštantné hodnoty, môžeme napísať:

Aplikujme tento vzorec na príklad vyššie:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Vlastnosti disperzie

1) Disperzia konštantnej hodnoty je nula:

2) Konštantný faktor možno odstrániť zo znamienka rozptylu jeho umocnením:

.

3) Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných:

4) Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných:

Platnosť tejto rovnosti vyplýva z vlastnosti 2.

Veta. Rozptyl počtu výskytov udalosti A v n nezávislých pokusoch, z ktorých v každom je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná, sa rovná súčinu počtu pokusov pravdepodobnosti výskytu a pravdepodobnosti udalosti. nevyskytuje sa v každom pokuse:

Príklad. Závod vyrába 96 % prvotriednych výrobkov a 4 % druhotriednych výrobkov. 1000 položiek je vybraných náhodne. Nechať byť X- počet výrobkov prvej triedy v tejto vzorke. Nájdite zákon rozdelenia, matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej.

Distribučný zákon teda možno považovať za binomický.

Príklad. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej X– počet výskytov udalosti ALE v dvoch nezávislých pokusoch, ak sú pravdepodobnosti výskytu tejto udalosti v každom pokuse rovnaké a je známe, že

Pretože náhodná hodnota X rozdelené podľa binomického zákona, teda

Príklad. Nezávislé testy sa vykonávajú s rovnakou pravdepodobnosťou výskytu udalosti ALE v každom teste. Nájdite pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE ak je rozptyl počtu výskytov udalosti v troch nezávislých pokusoch 0,63.

Podľa disperzného vzorca binomického zákona dostaneme:

;

Príklad. Testuje sa zariadenie pozostávajúce zo štyroch nezávisle fungujúcich zariadení. Pravdepodobnosti zlyhania každého zo zariadení sú rovnaké, resp ; ; . Nájdite matematické očakávanie a rozptyl počtu zlyhaných zariadení.

Ak vezmeme počet zlyhaných zariadení ako náhodnú premennú, vidíme, že táto náhodná premenná môže nadobudnúť hodnoty 0, 1, 2, 3 alebo 4.

Na zostavenie distribučného zákona pre túto náhodnú premennú je potrebné určiť zodpovedajúce pravdepodobnosti. Prijmime .

1) Ani jedno zariadenie nezlyhalo:

2) Jedno zo zariadení zlyhalo.

Náhodná premenná Nazýva sa veličina, ktorá v dôsledku testov vykonaných za rovnakých podmienok nadobúda rôzne, všeobecne povedané, hodnoty v závislosti od náhodných faktorov, ktoré sa nezohľadňujú. Príklady náhodných premenných: počet bodov padnutých na kocke, počet chybných produktov v dávke, odchýlka bodu dopadu strely od cieľa, doba prevádzkyschopnosti zariadenia atď.. Rozlišujte medzi diskrétnymi a spojitými náhodnými premennými . Diskrétne Nazýva sa náhodná premenná, ktorej možné hodnoty tvoria spočítateľnú množinu, konečnú alebo nekonečnú (t. j. množinu, ktorej prvky možno očíslovať).

Nepretržitý Volá sa náhodná premenná, ktorej možné hodnoty priebežne vypĺňajú nejaký konečný alebo nekonečný interval číselnej osi. Počet hodnôt spojitej náhodnej premennej je vždy nekonečný.

Náhodné premenné budú označené veľkými písmenami na konci latinskej abecedy: X, Y, . ; hodnoty náhodnej premennej - malými písmenami: X, r. . teda X Označuje celú množinu možných hodnôt náhodnej premennej a X - Nejaký konkrétny význam.

distribučný zákon Diskrétna náhodná premenná je zhoda daná v akejkoľvek forme medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich pravdepodobnosťami.

Nechajte možné hodnoty náhodnej premennej X sú . Náhodná premenná nadobudne ako výsledok testu jednu z týchto hodnôt, t.j. Vyskytne sa jedna udalosť z celej skupiny párovo nekompatibilných udalostí.

Nech sú známe aj pravdepodobnosti týchto udalostí:

Zákon distribúcie náhodnej premennej X Dá sa zapísať vo forme tabuľky tzv Blízko distribúcie Diskrétna náhodná premenná:

náhodné premenné. Diskrétna náhodná premenná.
Očakávaná hodnota

Druhá časť o teória pravdepodobnosti oddaný náhodné premenné , ktorý nás nenápadne sprevádzal doslova v každom článku na danú tému. A nastal čas jasne formulovať, čo to je:

Náhodný volal hodnotu, ktorý v dôsledku testu odoberie jeden a len jedenčíselná hodnota, ktorá závisí od náhodných faktorov a nie je vopred predvídateľná.

Náhodné premenné sú zvyčajne určiť cez * a ich hodnoty v zodpovedajúcich malých písmenách s dolnými indexmi, napríklad .

* Niekedy sa používajú aj grécke písmená

Našli sme príklad na prvá lekcia teórie pravdepodobnosti, kde sme v skutočnosti zvažovali nasledujúcu náhodnú premennú:

- počet bodov, ktoré vypadnú po hode kockou.

Výsledkom tohto testu bude jeden jediný línia, ktorá nie je predvídateľná (triky sa neberú do úvahy); v tomto prípade môže náhodná premenná nadobudnúť jednu z nasledujúcich hodnôt:

- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je celkom jasné, že toto číslo nie je vopred známe a v nasledujúcich desiatich narodených deťoch môžu byť:

Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.

A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:

- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).

Ani majster športu to nevie predpovedať 🙂

Aké sú však vaše hypotézy?

Tak skoro ako súbor reálnych čísel nekonečné, potom môže náhodná premenná nadobudnúť nekonečne veľa hodnoty z nejakého intervalu. A to je jeho zásadný rozdiel od predchádzajúcich príkladov.

teda je vhodné rozdeliť náhodné premenné do 2 veľkých skupín:

1) Diskrétne (prerušovaný) náhodná premenná – naberá samostatne brané, izolované hodnoty. Počet týchto hodnôt určite alebo nekonečné, ale spočítateľné.

... boli nakreslené nezrozumiteľné výrazy? Naliehavo opakujte základy algebry!

2) Spojitá náhodná veličina – berie všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.

Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- Toto zhoda medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Termín je celkom bežný riadok distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a preto sa budem držať „zákona“.

A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo ak je napísané zložené:

Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov na kocke má nasledujúci tvar:

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobudnúť iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:

Niektoré hry majú nasledujúci zákon o distribúcii výplat:

...asi už dlho snívate o takýchto úlohách 🙂 Prezradím vám tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.

rozhodnutie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhaľujeme „partizána“:

– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.

Kontrola: čo sa musíte uistiť.

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, keď zákon o rozdeľovaní treba zostaviť samostatne. Na toto použitie klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace / sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:

V krabici je 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 je výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - veľkosť výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket z krabice.

rozhodnutie: ako ste si všimli, je zvykom umiestňovať hodnoty náhodnej premennej vzostupné poradie. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.

Celkovo je takýchto lístkov 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket nevyhrá.

Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

A pre :

Kontrola: - a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!

Odpoveď: požadovaný zákon o rozdeľovaní výplat:

Nasledujúca úloha pre nezávislé rozhodnutie:

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Vytvorte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.

... vedela som, že ti chýba 🙂 Spomíname vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Zákon o rozdelení úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich. číselné charakteristiky .

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Zjednodušene povedané, toto priemerná očakávaná hodnota s opakovaným testovaním. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou, resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:

alebo v zloženom tvare:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov, ktoré padne na kocke:

Aký je pravdepodobnostný význam získaného výsledku? Ak hodíte kockou dostatočne veľakrát, potom priemerný poklesnuté body sa budú blížiť k 3,5 – a čím viac testov vykonáte, tým bližšie. V skutočnosti som už o tomto efekte podrobne hovoril v lekcii o štatistická pravdepodobnosť.

Teraz si pripomeňme našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... kto má nejaké dojmy? Takže nemôžete povedať „offhand“! Ale túto otázku možno ľahko zodpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer pravdepodobnosť výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.

Neverte dojmom – dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nás to nevyhnutne zruinuje. A taketo hry by som ti neradil 🙂 No snad jedine pre zábavu.

Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie NIE JE NÁHODNÁ hodnota.

Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na červenú. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny – jej výplatu. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na kopejky. Koľko priemer prehráva hráč za každú stovku stávok?

Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade vypadnutia „červenej“ dostane hráč dvojitú stávku, inak ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť svoje vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože je isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Iba zmeny zo systému na systém disperzia, o ktorej sa dozvieme v 2. časti lekcie.

Predtým však bude užitočné natiahnuť prsty na klávesy kalkulačky:

Náhodná premenná je daná vlastným zákonom rozdelenia pravdepodobnosti:

Zistite, či je to známe. Spustite kontrolu.

Potom prejdeme k štúdiu disperzia diskrétnej náhodnej premennej a ak je to možné, PRÁVE TERAZ!!- aby sa nestratila niť témy.

Riešenia a odpovede:

Príklad 3 rozhodnutie: podľa podmienky - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa. potom:
je pravdepodobnosť neúspechu.

Urobme - zákon rozloženia zásahov pri dvoch výstreloch:

- ani jeden zásah. Autor: teorém o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

- jeden úder. Autor: vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení nezávislých udalostí:

- dva zásahy. Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Kontrola: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Odpoveď :

Poznámka : bolo možné použiť označenia - to nie je dôležité.

Príklad 4 rozhodnutie: hráč vyhráva 100 rubľov v 18 prípadoch z 37, a preto zákon o rozdelení jeho výhier má nasledujúcu podobu:

Vypočítajme matematické očakávanie:

Za každých sto vsadených hráčov tak hráč stratí v priemere 2,7 rubľov.

Príklad 5 rozhodnutie: podľa definície matematického očakávania:

Vymeňme časti a urobme zjednodušenia:

takto:

Skontrolujme to:

, ktorá mala byť overená.

Odpoveď :

(Prejsť na hlavnú stránku)

Kvalitná práca bez plagiátorstva - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Diskrétne náhodné premenné

Náhodná premenná nazýva sa premenná, ktorá v dôsledku každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných príčin. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Podľa typu môžu byť náhodné premenné diskrétne a nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- je to taká náhodná premenná, ktorej hodnoty môžu byť len spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Počítateľnosť znamená, že hodnoty náhodnej premennej je možné vyčísliť.

Príklad 1 . Uveďme príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet erbov, ktoré vypadli pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

c) počet lodí, ktoré dorazili na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do ústredne (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej. Spravidla je táto korešpondencia špecifikovaná pomocou tabuľky, v ktorej prvom riadku sú uvedené hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a v druhom riadku sú pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám $ p_1,\bodky,\ p_n$.

$\začiatok
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú premennú $X$:

$\začiatok
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Komentujte. Keďže udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ tvoria ucelenú skupinu udalostí v zákone rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej $X$, súčet pravdepodobností sa musí rovnať jednej, t.j. $\súčet

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie náhodnej premennej určuje jeho "centrálnu" hodnotu. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\ x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\ p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, t.j.: $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_ $. V anglickej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou a najväčšou hodnotou náhodnej premennej $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo (3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo (X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo (2X\vpravo)-M\vľavo (9\vpravo)=2M\vľavo (X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch skupinách študentov vyšlo priemerné skóre na skúške z teórie pravdepodobnosti na 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti a v druhej skupine iba študenti C a vynikajúci študenti. Preto je potrebná taká číselná charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej$X$ je:

V anglickej literatúre sa používa zápis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta podľa vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Vlastnosti disperzie$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Disperzia je vždy väčšia alebo rovná nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Disperzia z konštanty sa rovná nule, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor je možné odobrať zo znamienka rozptylu za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo (X\vpravo)+D\vľavo (Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nemožno špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

distribučná funkcia náhodná premenná $X$ je funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, t.j. $F\left(x\ vpravo)$ )=P\vľavo(X 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo( X=3 \vpravo)+P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo (X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Graf distribučnej funkcie $F\left(x\right)$:

Základné zákony distribúcie

1. Zákon binomického rozdelenia.

Zákon binomického rozdelenia popisuje pravdepodobnosť výskytu udalosti A m-krát v n nezávislých pokusoch za predpokladu, že pravdepodobnosť p výskytu javu A v každom pokuse je konštantná.

Napríklad obchodné oddelenie železiarstva dostane v priemere jednu objednávku na nákup televízorov za 10 hovorov. Napíšte zákon o rozdelení pravdepodobnosti pre nákup m televízorov. Zostrojte mnohouholník rozdelenia pravdepodobnosti.

V tabuľke m je počet prijatých objednávok spoločnosti na nákup televízora. C n m je počet kombinácií m TV podľa n, p je pravdepodobnosť výskytu udalosti A, t.j. objednanie TV, q je pravdepodobnosť, že udalosť A nenastane, t.j. neobjednanie TV, P m,n je pravdepodobnosť objednania m TV z n. Obrázok 1 znázorňuje mnohouholník rozdelenia pravdepodobnosti.

2.Geometrické rozdelenie.

Geometrické rozdelenie náhodnej premennej má nasledujúci tvar:

P m je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v pokuse číslo m.
p je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom pokuse.
q = 1 - p

Príklad. Spoločnosť na opravu domácich spotrebičov dostala sériu 10 náhradných jednotiek pre práčky. Existujú prípady, keď dávka obsahuje 1 chybný blok. Kontrola sa vykonáva, kým sa nenájde chybný blok. Na počet kontrolovaných blokov je potrebné vypracovať distribučný zákon. Pravdepodobnosť, že blok môže byť chybný, je 0,1. Zostrojte mnohouholník rozdelenia pravdepodobnosti.

Z tabuľky je vidieť, že s nárastom čísla m sa znižuje pravdepodobnosť, že bude detekovaný chybný blok. Posledný riadok (m=10) kombinuje dve pravdepodobnosti: 1 - že sa desiaty blok ukázal ako chybný - 0,038742049, 2 - že všetky kontrolované bloky sa ukázali byť prevádzkyschopné - 0,34867844. Keďže pravdepodobnosť zlyhania bloku je relatívne nízka (p=0,1), pravdepodobnosť poslednej udalosti Pm (10 testovaných blokov) je relatívne vysoká. Obr.2.

3. Hypergeometrické rozdelenie.

Hypergeometrické rozdelenie náhodnej premennej má nasledujúci tvar:

Napríklad na zostavenie zákona o rozdelení 7 uhádnutých čísel zo 49. V tomto príklade boli odstránené celkové čísla N=49, n=7 čísel, M sú celkové čísla, ktoré majú danú vlastnosť, t.j. správne uhádnuté čísla, m je počet správne uhádnutých čísel medzi stiahnutými.

Tabuľka ukazuje, že pravdepodobnosť uhádnutia jedného čísla m=1 je vyššia, ako keď m=0. Potom však pravdepodobnosť začne rapídne klesať. Pravdepodobnosť uhádnutia 4 čísel je teda už menšia ako 0,005 a 5 je zanedbateľná.

4. Poissonov zákon rozdelenia.

Náhodná premenná X má Poissonovo rozdelenie, ak má zákon rozdelenia tvar:

Np = konšt
n je počet pokusov smerujúcich k nekonečnu
p je pravdepodobnosť výskytu udalosti s tendenciou k nule
m je počet výskytov udalosti A

Napríklad televízna spoločnosť prijme v priemere asi 100 hovorov denne. Pravdepodobnosť objednania televízora značky A je 0,08; B - 0,06 a C - 0,04. Zostavte zákon o rozdelení objednávok na nákup televízorov značiek A, B a C. Zostrojte polygón rozdelenia pravdepodobnosti.

Z podmienky máme: m=100, ? 1 = 8, ? 2 = 6, ? 3 = 4 (?10)

(tabuľka nie je úplná)

Ak je n dostatočne veľké na to, aby išlo do nekonečna a p ide na nulu, takže súčin np ide do konštantného čísla, potom je tento zákon aproximáciou zákona o binomickom rozdelení. Z grafu je vidieť, že čím väčšia je pravdepodobnosť p, tým je krivka bližšie k osi m, t.j. jemnejší. (obr. 4)

Treba si uvedomiť, že binomické, geometrické, hypergeometrické a Poissonove zákony rozdelenia vyjadrujú rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

5. Zákon o jednotnej distribúcii.

Ak je hustota pravdepodobnosti? (x) konštantná hodnota na určitom intervale, potom sa distribučný zákon nazýva rovnomerný. Obrázok 5 znázorňuje grafy funkcie rozdelenia pravdepodobnosti a hustoty pravdepodobnosti zákona o rovnomernom rozdelení.

6. Zákon normálneho rozdelenia (Gaussov zákon).

Medzi zákonmi rozdelenia spojitých náhodných veličín je najbežnejší zákon normálneho rozdelenia. Náhodná premenná je rozdelená podľa zákona normálneho rozdelenia, ak jej hustota pravdepodobnosti má tvar:

kde
a je matematické očakávanie náhodnej premennej
? — štandardná odchýlka

Graf hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej so zákonom normálneho rozdelenia je symetrický vzhľadom na priamku x=a, t.j. x sa rovná matematickému očakávaniu. Ak teda x=a, krivka má maximum rovné:

Keď sa zmení hodnota matematického očakávania, krivka sa posunie pozdĺž osi Ox. Z grafu (obr. 6) vyplýva, že pri x=3 má krivka maximum, pretože matematické očakávanie je 3. Ak má matematické očakávanie inú hodnotu, napríklad a=6, potom bude mať krivka maximum pri x=6. Keď už hovoríme o štandardnej odchýlke, ako môžete vidieť z grafu, čím väčšia je štandardná odchýlka, tým menšia je maximálna hodnota hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej.

Funkcia, ktorá vyjadruje rozdelenie náhodnej premennej na intervale (-?, x) a má zákon normálneho rozdelenia, je vyjadrená pomocou Laplaceovej funkcie podľa nasledujúceho vzorca:

Tie. pravdepodobnosť náhodnej premennej X pozostáva z dvoch častí: pravdepodobnosti, kde x nadobúda hodnoty od mínus nekonečna do a, rovné 0,5, a druhá časť je od a po x. (Obr.7)

Učiť sa spolu

Užitočné materiály pre študentov, diplomové a semestrálne práce na objednávku

Poučenie: zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej je zhoda medzi možnými hodnotami a ich pravdepodobnosťami. Dá sa špecifikovať tabuľkovo, graficky a analyticky.

O tom, čo je náhodná premenná, sa hovorí v tejto lekcii.

Pri tabuľkovom spôsobe nastavenia obsahuje prvý riadok tabuľky možné hodnoty a druhý ich pravdepodobnosti, tj.

Toto množstvo sa nazýva distribučný rad. diskrétna náhodná premenná.

X=x1, X=x2, X=xn tvoria kompletnú skupinu, keďže v jednom pokuse bude mať náhodná premenná len jednu možnú hodnotu. Preto sa súčet ich pravdepodobností rovná jednej, teda p1 + p2 + pn = 1 resp.

Ak je množina hodnôt X nekonečná, potom Príklad 1. V peňažnej lotérii je vydaných 100 tiketov. Hrá sa jedna výhra 1000 rubľov a 10 zo 100 rubľov. Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej X - cenu možnej výhry pre majiteľa jedného tiketu lotérie.

Požadovaný distribučný zákon má tvar:

Kontrola; 0,01 + 0,1 + 0,89 = 1.
Pomocou grafickej metódy nastavenia distribučného zákona sú body postavené na súradnicovej rovine (Xi: Pi) a potom sú spojené priamymi úsečkami. Výsledná prerušovaná čiara sa nazýva distribučný polygón. Napríklad 1 je distribučný polygón znázornený na obrázku 1.

V analytickej metóde stanovenia distribučného zákona je uvedený vzorec, ktorý spája pravdepodobnosti náhodnej premennej s jej možnými hodnotami.

Príklady diskrétnych distribúcií

Binomické rozdelenie

Nech sa urobí n pokusov, v každom z nich udalosť A nastane s konštantnou pravdepodobnosťou p, teda nenastane s konštantnou pravdepodobnosťou q = 1- p. Zvážte náhodnú premennú X- počet výskytov udalosti A v týchto n pokusoch. Možné hodnoty X sú x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Pravdepodobnosť týchto možných

Zákon distribúcie diskrétnej náhodnej premennej sa nazýva Windows XP Word 2003 Excel 2003 Zákon distribúcie diskrétnych náhodných premenných Zákon distribúcie diskrétnej náhodnej premennej je akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a […]

Organizácia LLC "BYTOVÁ A STAVEBNÁ EXPERTIZA" Zaradená do registra malých a stredných podnikateľov: od 8. 1. 2016 ako mikropodnik Sídlo spoločnosti: 150047, KRAJ YAROSLAVSKAYA, YAROSLAVL G, BELINSKOGO UL, DOM 51 29 OKFS: 16 – Súkromný majetok OKOGU: 4210014 – Organizácie založené […]

Dôchodok pre osoby so zdravotným postihnutím druhej skupiny v roku 2018 v Ruskej federácii Pridelenie akejkoľvek formy zdravotného postihnutia v Ruskej federácii sa vyskytuje iba na základe zdravotných a sociálnych ukazovateľov. Zdravotné postihnutie druhej kategórie je priradené ľuďom, ktorí sú považovaní za zdravotne postihnutých, ale nepotrebujú stálu starostlivosť. Takíto občania majú nárok na […]

Monogénna dedičnosť vlastností. Autozomálna a na pohlavie viazaná dedičnosť Vzhľadom na to, že karyotyp organizmu je diploidný súbor chromozómov, väčšinu génov v somatických bunkách predstavujú alelické páry. Alelické gény umiestnené v zodpovedajúcich oblastiach homológnych chromozómov, interagujúce […]

Dôkaz Typy dôkazov Algoritmus sporu pre logickú analýzu argumentácie 1. Zvýraznite tézu v texte 2. Zvýraznite argumenty, zistite ich spoľahlivosť 3. Zvýraznite formu argumentácie, stanovte prísnosť logického spojenia argumentov a tézy 4 Uveďte záver o povahe argumentácie, […]

Vyhláška Ministerstva dopravy Ruskej federácie N 124, Ministerstva spravodlivosti Ruskej federácie N 315, Ministerstva vnútra Ruskej federácie N 817, Ministerstva zdravotníctva a sociálneho rozvoja Ruskej federácie N 714 zo dňa. 10.10.2006 „O schválení podmienok a postupu odbornej certifikácie odborníkov-technikov, ktorí vykonávajú nezávislé technické skúšanie vozidiel, vrátane požiadaviek na odborníkov TECHNIKOV“ Registrovaná […]

Legislatívny základ Ruskej federácie Bezplatná konzultácia Federálna legislatíva …]

Organizácia OJSC "NEFTEL" Adresa: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Sídlo sídla: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Zmiešané ruské vlastníctvo s podielom na vlastníctve zakladajúcich subjektov Ruska Federation OKOGU: 4210014 – Organizácie založené právnickými osobami alebo občanmi alebo právnickými osobami a […]

Ako je známe, náhodná premenná sa nazýva premenná, ktorá môže nadobudnúť určité hodnoty v závislosti od prípadu. Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy (X, Y, Z) a ich hodnoty sú označené zodpovedajúcimi malými písmenami (x, y, z). Náhodné veličiny sa delia na nespojité (diskrétne) a spojité.

Diskrétna náhodná premenná je náhodná premenná, ktorá má iba konečnú alebo nekonečnú (počítateľnú) množinu hodnôt s určitými nenulovými pravdepodobnosťami.

Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej je funkcia, ktorá spája hodnoty náhodnej premennej s ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Distribučný zákon možno špecifikovať jedným z nasledujúcich spôsobov.

1 . Distribučný zákon môže byť daný tabuľkou:

kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….

v) cez distribučná funkcia F(x) , ktorý určuje pre každú hodnotu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, t.j. F(x) = P(X< x).

Vlastnosti funkcie F(x)

3 . Rozdeľovací zákon je možné nastaviť graficky – distribučný polygón (polygón) (pozri úlohu 3).

Upozorňujeme, že na vyriešenie niektorých problémov nie je potrebné poznať distribučný zákon. V niektorých prípadoch stačí poznať jedno alebo viac čísel, ktoré odrážajú najdôležitejšie znaky distribučného zákona. Môže to byť číslo, ktoré má význam „priemernej hodnoty“ náhodnej veličiny, alebo číslo, ktoré zobrazuje priemernú veľkosť odchýlky náhodnej veličiny od jej priemernej hodnoty. Čísla tohto druhu sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.

Základné číselné charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej :

• Matematické očakávanie (stredná hodnota) diskrétnej náhodnej premennej M(X) = Σ x i p i.
  Pre binomické rozdelenie M(X)=np, pre Poissonovo rozdelenie M(X)=λ
• Disperzia diskrétna náhodná premenná D(X)=M2 alebo D(X) = M(X2) - 2. Rozdiel X–M(X) sa nazýva odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania.
  Pre binomické rozdelenie D(X)=npq, pre Poissonovo rozdelenie D(X)=λ
• Smerodajná odchýlka (štandardná odchýlka) σ(X)=√D(X).

Príklady riešenia úloh na tému "Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej"

Úloha 1.

Bolo vydaných 1 000 losov: 5 z nich vyhráva 500 rubľov, 10 - 100 rubľov, 20 - 50 rubľov, 50 - 10 rubľov. Určte zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X - výhry na tikete.

rozhodnutie. Podľa stavu problému sú možné nasledujúce hodnoty náhodnej premennej X: 0, 10, 50, 100 a 500.

Počet tiketov bez výhry je 1000 - (5+10+20+50) = 915, potom P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobne nájdeme všetky ostatné pravdepodobnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X = 500) = 5/1000 = 0,005. Výsledný zákon uvádzame vo forme tabuľky:

Nájdite matematické očakávanie X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Úloha 3.

Zariadenie sa skladá z troch samostatne fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého prvku v jednom experimente je 0,1. Zostavte distribučný zákon pre počet neúspešných prvkov v jednom experimente, vytvorte distribučný polygón. Nájdite distribučnú funkciu F(x) a nakreslite ju. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku diskrétnej náhodnej premennej.

rozhodnutie. 1. Diskrétna náhodná premenná X=(počet neúspešných prvkov v jednom experimente) má tieto možné hodnoty: x 1 =0 (žiadny z prvkov zariadenia zlyhal), x 2 =1 (zlyhal jeden prvok), x 3 =2 ( dva prvky zlyhali) a x 4 \u003d 3 (zlyhali tri prvky).

Poruchy prvkov sú na sebe nezávislé, pravdepodobnosti zlyhania každého prvku sú navzájom rovnaké, preto platí Bernoulliho vzorec . Vzhľadom na to, že pomocou podmienky n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 určíme pravdepodobnosti hodnôt:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kontrola: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Požadovaný zákon binomického rozdelenia X má teda tvar:

Na osi x vynesieme možné hodnoty x i a na zvislú os zodpovedajúce pravdepodobnosti р i. Zostrojme body M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spojením týchto bodov s úsečkami získame požadovaný distribučný polygón.

3. Nájdite distribučnú funkciu F(x) = P(X

Pre x ≤ 0 máme F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pre x > 3 bude F(x) = 1, pretože udalosť je istá.

Graf funkcie F(x)

4. Pre binomické rozdelenie X:
- matematické očakávanie М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzia D(X) = npq = 3 x 0,1 x 0,9 = 0,27;
- smerodajná odchýlka σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.