Lekcia a prezentácia na témy: "Arxine. Tabuľka Arcsine. Vzorec y=arcsin(x)"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre stupeň 10 od 1C
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Conštruktor 6.1"
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre

Čo budeme študovať:
1. Čo je arcsínus?
2. Označenie arcsínusu.
3. Trochu histórie.
4. Definícia.

6. Príklady.

čo je arcsínus?

Chlapci, už sme sa naučili riešiť rovnice pre kosínus, teraz sa poďme naučiť, ako riešiť podobné rovnice pre sínus. Uvažujme sin(x)= √3/2. Na vyriešenie tejto rovnice musíte postaviť priamku y= √3/2 a uvidíte: v ktorých bodoch pretína číselný kruh. Je vidieť, že priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch F a G. Tieto body budú riešením našej rovnice. Premenujte F na x1 a G na x2. Už sme našli riešenie tejto rovnice a dostali sme: x1= π/3 + 2πk,
a x2= 2π/3 + 2πk.

Riešenie tejto rovnice je celkom jednoduché, ale ako vyriešiť napríklad rovnicu
sin(x)=5/6. Je zrejmé, že táto rovnica bude mať tiež dva korene, ale aké hodnoty budú zodpovedať riešeniu v číselnom kruhu? Pozrime sa bližšie na našu rovnicu sin(x)=5/6.
Riešením našej rovnice budú dva body: F= x1 + 2πk a G= x2 ​​​​+ 2πk,
kde x1 je dĺžka oblúka AF, x2 je dĺžka oblúka AG.
Poznámka: x2= π - x1, pretože AF = AC - FC, ale FC = AG, AF = AC - AG = π - x1.
Ale čo sú tieto bodky?

Tvárou v tvár podobnej situácii prišli matematici s novým symbolom - arcsin (x). Číta sa to ako arcsínus.

Potom bude riešenie našej rovnice napísané takto: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

A všeobecné riešenie: x= arcsin(5/6) + 2πk a x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arkussínus je uhol (dĺžka oblúka AF, AG) sínus, ktorý sa rovná 5/6.

Trochu histórie arcsine

História vzniku nášho symbolu je úplne rovnaká ako história arccos. Prvýkrát sa symbol arcsinu objavuje v dielach matematika Scherfera a slávneho francúzskeho vedca J.L. Lagrange. O niečo skôr sa konceptom arcsínusu zaoberal D. Bernuli, hoci ho zapísal s inými symbolmi.

Tieto symboly sa stali všeobecne akceptovanými až koncom 18. storočia. Predpona „arc“ pochádza z latinského „arcus“ (luk, oblúk). To je celkom v súlade s významom tohto konceptu: arcsin x je uhol (alebo môžete povedať oblúk), ktorého sínus sa rovná x.

Definícia arcsínusu

Ak |а|≤ 1, potom arcsin(a) je také číslo z intervalu [- π/2; π/2], ktorého sínus je a.

Ak |a|≤ 1, potom rovnica sin(x)= a má riešenie: x= arcsin(a) + 2πk a
x= π - arcsin(a) + 2πk

Poďme prepísať:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Chlapci, pozrite sa pozorne na naše dve riešenia. Čo si myslíte: možno ich napísať všeobecným vzorcom? Všimnite si, že ak je pred arcsínusom znamienko plus, potom sa π vynásobí párnym číslom 2πk, a ak je znamienko mínus, potom je násobiteľ nepárny 2k+1.
S ohľadom na to napíšeme všeobecný vzorec riešenia pre rovnicu sin(x)=a:

Existujú tri prípady, v ktorých sa dáva prednosť písaniu riešení jednoduchším spôsobom:

sin(x)=0, potom x= πk,

sin(x)=1, potom x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, potom x= -π/2 + 2πk.

Pre ľubovoľné -1 ≤ a ≤ 1 platí nasledujúca rovnosť: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Napíšme tabuľku kosínusových hodnôt opačne a získajme tabuľku pre arcsínus.

Príklady

1. Vypočítajte: arcsin(√3/2).
Riešenie: Nech arcsin(√3/2)= x, potom sin(x)= √3/2. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na hodnoty sínusu v tabuľke: x= π/3, pretože sin(π/3)= √3/2 a –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Odpoveď: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Vypočítajte: arcsin(-1/2).
Riešenie: Nech arcsin(-1/2)= x, potom sin(x)= -1/2. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na hodnoty sínusu v tabuľke: x= -π/6, pretože sin(-π/6)= -1/2 a -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Odpoveď: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Vypočítajte: arcsin(0).
Riešenie: Nech arcsin(0)= x, potom sin(x)= 0. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na hodnoty sínusu v tabuľke: znamená to x = 0, pretože sin(0)= 0 a - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Odpoveď: arcsin(0)=0.

4. Vyriešte rovnicu: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk a x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pozrime sa na hodnotu v tabuľke: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Odpoveď: x= -π/4 + 2πk a x= 5π/4 + 2πk.

5. Vyriešte rovnicu: sin(x) = 0.
Riešenie: Použime definíciu, potom bude riešenie napísané v tvare:
x= arcsin(0) + 2πk a x= π - arcsin(0) + 2πk. Pozrime sa na hodnotu v tabuľke: arcsin(0)= 0.
Odpoveď: x= 2πk a x= π + 2πk

6. Vyriešte rovnicu: sin(x) = 3/5.
Riešenie: Použime definíciu, potom bude riešenie napísané v tvare:
x= arcsin(3/5) + 2πk a x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Odpoveď: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Vyriešte nerovnosť sin(x) Riešenie: Sínus je ordináta bodu číselného kruhu. Takže: musíme nájsť také body, ktorých ordináta je menšia ako 0,7. Nakreslíme priamku y=0,7. Pretína číselný kruh v dvoch bodoch. Nerovnosť y Potom riešenie nerovnosti bude: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Problémy na arcsínus pre nezávislé riešenie

1) Vypočítajte: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Vyriešte rovnicu: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Vyriešte nerovnosť: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Už skôr podľa programu žiaci získali predstavu o riešení goniometrických rovníc, zoznámili sa s pojmami arckosínus a arcsínus, príklady riešenia rovníc cos t = a a sin t = a. V tomto videonávode sa budeme zaoberať riešením rovníc tg x = a a ctg x = a.

Na začiatku štúdia tejto témy zvážte rovnice tg x = 3 a tg x = - 3. Ak rovnicu tg x = 3 vyriešime pomocou grafu, uvidíme, že priesečník grafov funkcií y = tg x a y = 3 má nekonečný počet riešení, kde x = x 1 + πk. Hodnota x 1 je súradnica x priesečníka grafov funkcií y = tg x a y = 3. Autor uvádza pojem arkustangens: arctg 3 je číslo, ktorého tg je 3 a toto číslo patrí interval od -π/2 do π/2. Pomocou konceptu arctangens možno riešenie rovnice tan x = 3 zapísať ako x = arctan 3 + πk.

Analogicky je vyriešená rovnica tg x \u003d - 3. Podľa zostrojených grafov funkcií y \u003d tg x a y \u003d - 3 možno vidieť, že priesečníky grafov, a teda aj riešenia rovníc, bude x \u003d x 2 + πk. Pomocou arkustangens možno riešenie zapísať ako x = arctan (- 3) + πk. Na nasledujúcom obrázku vidíme, že arctg (- 3) = - arctg 3.

Všeobecná definícia arkustangensu je nasledovná: arkustangens a je také číslo z intervalu od -π / 2 do π / 2, ktorého dotyčnica je a. Potom riešením rovnice tg x = a je x = arctg a + πk.

Autor uvádza príklad 1. Nájdite riešenie výrazu arctg Zavedieme si zápis: arkustangens čísla je x, potom tg x sa bude rovnať danému číslu, kde x patrí segmentu od -π/ 2 až π/2. Rovnako ako v príkladoch v predchádzajúcich témach použijeme tabuľku hodnôt. Podľa tejto tabuľky tangens tohto čísla zodpovedá hodnote x = π/3. Zapíšeme riešenie rovnice arkustangens daného čísla rovného π / 3, π / 3 tiež patrí do intervalu od -π / 2 do π / 2.

Príklad 2 - Vypočítajte arkus tangens záporného čísla. Pomocou rovnosti arctg (- a) = - arctg a zadajte hodnotu x. Podobne ako v príklade 2 zapíšeme hodnotu x, ktorá patrí do intervalu od -π/2 do π/2. Podľa tabuľky hodnôt zistíme, že x = π/3, teda -- tg x = - π/3. Odpoveď na rovnicu je - π/3.

Uvažujme príklad 3. Vyriešme rovnicu tan x = 1. Napíšme, že x = arctan 1 + πk. V tabuľke hodnota tg 1 zodpovedá hodnote x \u003d π / 4, teda arctg 1 \u003d π / 4. Túto hodnotu dosaďte do pôvodného vzorca x a zapíšte odpoveď x = π/4 + πk.

Príklad 4: vypočítajte tg x = - 4,1. V tomto prípade x = arctg (- 4,1) + πk. Pretože v tomto prípade nie je možné nájsť hodnotu arctg, odpoveď bude vyzerať ako x = arctg (- 4,1) + πk.

Príklad 5 uvažuje s riešením nerovnice tg x > 1. Na jej vyriešenie nakreslíme grafy funkcií y = tg x a y = 1. Ako je možné vidieť na obrázku, tieto grafy sa pretínajú v bodoch x = π. /4 + πk. Pretože v tomto prípade tg x > 1, na grafe vyberieme oblasť tangentoidu, ktorý je nad grafom y = 1, kde x patrí do intervalu od π/4 do π/2. Odpoveď zapíšeme ako π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Ďalej zvážte rovnicu ctg x = a. Na obrázku sú znázornené grafy funkcií y = ctg x, y = a, y = - a, ktoré majú veľa priesečníkov. Riešenia možno zapísať ako x = x 1 + πk, kde x 1 = arcctg a a x = x 2 + πk, kde x 2 = arcctg (- a). Je potrebné poznamenať, že x 2 \u003d π - x 1. Z toho vyplýva rovnosť arcctg (- a) = π - arcctg a. Ďalej je uvedená definícia oblúkového kotangensu: oblúkový kotangens a je také číslo z intervalu od 0 do π, ktorého kotangens sa rovná a. Riešenie rovnice сtg x = a je napísané ako: x = arcctg a + πk.

Na konci video lekcie je urobený ďalší dôležitý záver - výraz ctg x = a možno zapísať ako tg x = 1/a za predpokladu, že a sa nerovná nule.

INTERPRETÁCIA TEXTU:

Zvážte riešenie rovníc tg x \u003d 3 a tg x \u003d - 3. Po grafickom vyriešení prvej rovnice vidíme, že grafy funkcií y \u003d tg x a y \u003d 3 majú nekonečne veľa priesečníkov, úsečky, ktorých píšeme v tvare

x \u003d x 1 + πk, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d 3 s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 1), pre ktorú bolo označenie vynájdené

arctan 3 (oblúkový tangens troch).

Ako rozumieť arctg 3?

Ide o číslo, ktorého dotyčnica je 3 a toto číslo patrí do intervalu (-;). Potom môžu byť všetky korene rovnice tg x \u003d 3 zapísané vzorcom x \u003d arctan 3 + πk.

Podobne je možné riešenie rovnice tg x \u003d - 3 zapísať ako x \u003d x 2 + πk, kde x 2 je úsečka priesečníka priamky y \u003d - 3 s hlavnou vetvou čiary tangentoida (obr. 1), pre ktorú je označenie arctg (- 3) (arct tangens mínus tri). Potom je možné všetky korene rovnice zapísať vzorcom: x \u003d arctg (-3) + πk. Obrázok ukazuje, že arctg(- 3)= - arctg 3.

Sformulujme definíciu arkus tangens. Arkustangens a je také číslo z intervalu (-;), ktorého dotyčnica sa rovná a.

Často sa používa rovnosť: arctg(-a) = -arctg a, ktorá platí pre ľubovoľné a.

Keď poznáme definíciu arkustangensu, vyvodíme všeobecný záver o riešení rovnice

tg x \u003d a: rovnica tg x \u003d a má riešenie x \u003d arctg a + πk.

Zvážte príklady.

PRÍKLAD 1. Vypočítajte arctg.

rozhodnutie. Nech arctg = x, potom tgx = a xϵ (-;). Zobraz tabuľku hodnôt Preto x =, pretože tg = a ϵ (- ;).

Takže arctg =.

PRÍKLAD 2 Vypočítajte arctan (-).

rozhodnutie. Pomocou rovnosti arctg (- a) \u003d - arctg a píšeme:

arctg(-) = - arctg . Nech - arctg = x, potom - tgx = a xϵ (-;). Preto x =, keďže tg = a ϵ (- ;). Zobraziť tabuľku hodnôt

Takže - arctg=- tgх= - .

PRÍKLAD 3. Riešte rovnicu tgх = 1.

1. Zapíšme si vzorec riešenia: x = arctg 1 + πk.

2. Nájdite hodnotu arkus tangentu

keďže tg = . Zobraziť tabuľku hodnôt

Takže arctg1= .

3. Nájdenú hodnotu vložte do vzorca riešenia:

PRÍKLAD 4. Vyriešte rovnicu tgx \u003d - 4.1 (tangens x sa rovná mínus štyrom bodom jedna desatina).

rozhodnutie. Zapíšme si vzorec riešenia: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Hodnotu arkustangens nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme tak.

PRÍKLAD 5. Vyriešte nerovnosť tgх 1.

rozhodnutie. Urobme to graficky.

1. Zostavme tangentoid

y \u003d tgx a priamka y \u003d 1 (obr. 2). Pretínajú sa v bodoch tvaru x = + πk.

2. Vyberte interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentoidu umiestnená nad priamkou y \u003d 1, pretože podľa podmienky tgх 1. Toto je interval (;).

3. Využívame periodicitu funkcie.

Vlastnosť 2. y \u003d tg x - periodická funkcia so základnou periódou π.

Berúc do úvahy periodicitu funkcie y \u003d tgx, napíšeme odpoveď:

(;). Odpoveď možno napísať ako dvojitú nerovnosť:

Prejdime k rovnici ctg x \u003d a. Uveďme si grafické znázornenie riešenia rovnice pre kladné a záporné a (obr. 3).

Grafy funkcií y \u003d ctg x a y \u003d a a

y=ctg x a y=-a

majú nekonečne veľa spoločných bodov, ktorých úsečky majú tvar:

x \u003d x 1 +, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y \u003d a s hlavnou vetvou tangentoidu a

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky

y \u003d - ale s hlavnou vetvou tangentoidu a x 2 \u003d arcсtg (- a).

Upozorňujeme, že x 2 \u003d π - x 1. Zapíšeme si teda dôležitú rovnicu:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulujme definíciu: oblúk kotangens a je také číslo z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a.

Riešenie rovnice ctg x \u003d a je napísané ako: x \u003d arcсtg a +.

Všimnite si, že rovnicu ctg x = a možno previesť do tvaru

tg x = okrem prípadov, keď a = 0.

Čo je arczín, arkkozín? Čo je arkus tangens, arkus tangens?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

K pojmom arcsínus, arkozínus, arktangens, arkkotangens študentská populácia je opatrná. Nerozumie týmto pojmom, a preto neverí tejto slávnej rodine.) Ale márne. Sú to veľmi jednoduché koncepty. Ktoré, mimochodom, značne uľahčujú život znalému človeku pri riešení goniometrických rovníc!

Máte zmätok v jednoduchosti? Márne.) Práve tu a teraz sa o tom presvedčíš.

Samozrejme, pre pochopenie by bolo fajn vedieť, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Áno, ich tabuľkové hodnoty pre niektoré uhly ... Aspoň v najvšeobecnejších podmienkach. Potom ani tu nebudú žiadne problémy.

Takže sme prekvapení, ale pamätajte: arksínus, arkozínus, arktangens a arctangens sú len niektoré uhly. Nie viac nie menej. Je tam uhol, povedzme 30°. A je tu uhol arcsin0.4. Alebo arctg(-1,3). Existujú všetky druhy uhlov.) Uhly môžete jednoducho písať rôznymi spôsobmi. Uhol môžete zapísať v stupňoch alebo radiánoch. Alebo môžete - cez jeho sínus, kosínus, tangens a kotangens ...

Čo znamená výraz

arcsin 0,4?

Toto je uhol, ktorého sínus je 0,4! Áno áno. Toto je význam arcsínusu. Opakujem konkrétne: arcsin 0,4 je uhol, ktorého sínus je 0,4.

A to je všetko.

Aby som si túto jednoduchú myšlienku udržal v hlave ešte dlho, uvediem dokonca rozpis tohto hrozného termínu - arcsínus:

oblúk hriech 0,4
injekcia, ktorých sínus rovná sa 0,4

Ako sa píše, tak sa počúva.) Skoro. Predpona oblúk znamená oblúk(slov arch viete?), pretože starí ľudia používali namiesto rohov oblúky, ale to nič nemení na podstate veci. Pamätajte na toto základné dekódovanie matematického pojmu! Navyše, pre arkus-kosínus, arkus tangens a arkus tangens sa dekódovanie líši iba v názve funkcie.

Čo je arccos 0,8?
Toto je uhol, ktorého kosínus je 0,8.

Čo je arctan(-1,3)?
Toto je uhol, ktorého dotyčnica je -1,3.

Čo je arcctg 12?
Toto je uhol, ktorého kotangens je 12.

Takéto elementárne dekódovanie mimochodom umožňuje vyhnúť sa epickým chybám.) Napríklad výraz arccos1,8 vyzerá celkom solídne. Začnime dekódovať: arccos1,8 je uhol, ktorého kosínus sa rovná 1,8... Hop-hop!? 1.8!? Kosínus nemôže byť väčší ako jedna!

Správny. Výraz arccos1,8 nedáva zmysel. A napísanie takéhoto výrazu do nejakej odpovede overovateľa veľmi pobaví.)

Elementárne, ako vidíte.) Každý uhol má svoj vlastný osobný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju tangentu a kotangens. Preto, keď poznáte goniometrickú funkciu, môžete zapísať samotný uhol. Na to sú určené arkzíny, arkozíny, arktangens a arkkotangens. Ďalej nazvem celú túto rodinu zdrobneninou - oblúky. písať menej.)

Pozor! Elementárne verbálne a pri vedomí dešifrovanie oblúkov vám umožňuje pokojne a s istotou riešiť rôzne úlohy. A v nezvyčajnéúlohy šetrí len ona.

Je možné prejsť z oblúkov na bežné stupne alebo radiány?- Počujem opatrnú otázku.)

Prečo nie!? ľahko. Môžete ísť tam a späť. Navyše je to niekedy potrebné urobiť. Oblúky sú jednoduchá vec, ale bez nich je to akosi pokojnejšie, však?)

Napríklad: čo je arcsin 0,5?

Pozrime sa na dešifrovanie: arcsin 0,5 je uhol, ktorého sínus je 0,5. Teraz zapnite hlavu (alebo Google) a zapamätajte si, ktorý uhol má sínus 0,5? Sínus je 0,5 r uhol 30 stupňov. To je všetko: arcsin 0,5 je uhol 30°. Pokojne môžete napísať:

arcsin 0,5 = 30°

Alebo, presnejšie, z hľadiska radiánov:

To je všetko, môžete zabudnúť na arcsínus a pracovať ďalej s obvyklými stupňami alebo radiánmi.

Ak ste si uvedomili čo je arcsínus, arkkozín ... Čo je arkustangens, arkustangens ... Potom si ľahko poradíte napríklad s takouto príšerou.)

Neznalý človek zdesene cúvne, áno...) A znalý zapamätajte si dešifrovanie: arcsínus je uhol, ktorého sínus je ... No a tak ďalej. Ak znalý človek pozná aj tabuľku sínusov ... Tabuľku kosínusov. Tabuľka tangens a kotangens, potom nie sú žiadne problémy!

Stačí zvážiť, že:

rozlúštim, t.j. preložte vzorec do slov: uhol, ktorého dotyčnica je 1 (arctg1) je uhol 45°. Alebo, čo je to isté, Pi/4. Podobne:

a to je všetko... Všetky oblúky nahradíme hodnotami v radiánoch, všetko sa zníži, zostáva vypočítať, koľko bude 1 + 1. Bude to 2.) Ktorá je správna odpoveď.

Takto môžete (a mali by ste) prejsť z arcsínusov, arkozínusov, arktangens a arctangens k obyčajným stupňom a radiánom. To výrazne zjednodušuje desivé príklady!

Často sú v takýchto príkladoch vnútri oblúky negatívne hodnoty. Napríklad arctg(-1,3), alebo napríklad arccos(-0,8)... To nie je problém. Tu je niekoľko jednoduchých vzorcov na prechod od negatívneho k pozitívnemu:

Povedzme, že potrebujete určiť hodnotu výrazu:

Môžete to vyriešiť pomocou trigonometrického kruhu, ale nechcete ho kresliť. No dobre. Ide od negatívne hodnoty vo vnútri oblúkového kosínusu na pozitívne podľa druhého vzorca:

Už vo vnútri arkozínu napravo pozitívne význam. Čo

len musíš vedieť. Zostáva nahradiť radiány namiesto kosínusu oblúka a vypočítať odpoveď:

To je všetko.

Obmedzenia týkajúce sa arcsínusu, arkkozínu, arctangensu, arckotangensu.

Je problém s príkladmi 7 - 9? Áno, je tam nejaký trik.)

Všetky tieto príklady, od 1. do 9., sú starostlivo roztriedené na poličkách v sekcii 555. Čo, ako a prečo. So všetkými tajnými pascami a trikmi. Plus spôsoby, ako dramaticky zjednodušiť riešenie. Mimochodom, táto časť obsahuje množstvo užitočných informácií a praktických rád o trigonometrii vo všeobecnosti. A nielen v trigonometrii. Veľa pomáha.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Arkustangens (y = arctg x) je inverzná funkcia dotyčnice (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Arkus tangens je označený takto:
.

Graf funkcie oblúkovej tangenty

Graf funkcie y = arctg x

Arkustangens sa získa z dotyčnicového grafu zámenou úsečky a osi y. Aby sa eliminovala nejednoznačnosť, množina hodnôt je obmedzená intervalom, na ktorom je funkcia monotónna. Táto definícia sa nazýva hlavná hodnota arkus tangentu.

Arc tangens, arcctg

Arkustangens (y = arcctg x) je inverzná funkcia kotangensu (x = ctg y). Má rozsah a súbor hodnôt.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Arkus tangens je označený takto:
.

Graf funkcie kotangens oblúka

Graf funkcie y = arcctg x

Graf arkus tangentu sa získa z grafu kotangensu zámenou úsečky a osi y. Na odstránenie nejednoznačnosti je rozsah hodnôt obmedzený na interval, v ktorom je funkcia monotónna. Takáto definícia sa nazýva hlavná hodnota arkus tangentu.

Parita

Funkcia arkustangens je nepárna:
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

Oblúková kotangens funkcia nie je párna ani nepárna:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Vlastnosti - extrémy, zvýšenie, zníženie

Arkustangens a arkotangens sú spojité na svojom doméne, teda pre všetky x. (pozri dôkaz o kontinuite). Hlavné vlastnosti arkustangens a arkotangens sú uvedené v tabuľke.

	y= arctg x	y= arcctg x
Rozsah a kontinuita	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Veľa hodnôt
Stúpajúci klesajúci	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Najvyššie, najnižšie	nie	nie
Nuly, y= 0	x= 0	nie
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Tabuľka oblúkových dotyčníc a oblúkových dotyčníc

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty oblúkových dotyčníc a oblúkových dotyčníc v stupňoch a radiánoch pre niektoré hodnoty argumentu.

X	arctg x		arcctg x
	stupeň	rád.	stupeň	rád.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135 °C
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Vzorce

Vzorce súčtu a rozdielu

pri

pri

pri

pri

pri

pri

Výrazy v zmysle logaritmu, komplexné čísla

,
.

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

Deriváty

Pozri Odvodenie derivátov arkustangens a arkotangens >> >

Deriváty vyšších rádov:
Nechať byť. Potom môže byť n-tá derivácia arkustangens reprezentovaná jedným z nasledujúcich spôsobov:
;
.
Symbol znamená imaginárnu časť nasledujúceho výrazu.

Pozri Odvodenie derivácií vyššieho rádu arkustangens a arkustangens > > >
Sú tam uvedené aj vzorce pre deriváty prvých piatich rádov.

Podobne pre arkus tangens. Nechať byť. Potom
;
.

Integrály

Urobíme substitúciu x = tg t a integrovať po častiach:
;
;
;

Arkus tangens vyjadrujeme prostredníctvom arkus tangens:
.

Rozšírenie výkonového radu

Pre |x| ≤ 1 prebieha nasledujúci rozklad:
;
.

Inverzné funkcie

Prevrátené hodnoty arkustangens a arkotangens sú tangens a kotangens, v tomto poradí.

Nasledujúce vzorce sú platné v celej oblasti definície:
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

Nasledujúce vzorce sú platné len pre množinu hodnôt arkus tangens a arkus tangens:
arctg(tg x) = x pri
arcctg(ctg x) = x v .

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.