Rovnosť a podobnosť.Homothety - transformácia, v ktorej každý bod M (rovina alebo priestor) je priradený bod M“, ležiaci na OM (obr. 5.16), a pomer OM":OM= A rovnaké pre všetky body okrem O. pevný bod O sa nazýva centrum homothety. Postoj OM": OM považovať za pozitívne, ak M" a M ležať na jednej straneó, negatívne - na opačných stranách. číslo X sa nazýva koeficient homothety. o X< Rovnomernosť 0 sa nazýva inverzná. oλ = - 1 homoteita sa stáva transformáciou symetrie okolo bodu O. Pri homotete, priama čiara prechádza do priamky, rovnobežné čiary a roviny sú zachované, uhly (lineárne a dihedrálne) sú zachované, každý obrazec prechádza do nej podobné (obr. 5.17).

Opak je tiež pravdou. Rovnomernosť možno definovať ako afinnú transformáciu, pri ktorej priamky spájajúce zodpovedajúce body prechádzajú cez jeden bod – stred homoteity. Homothety sa používa na zväčšovanie obrázkov (projekčná lampa, kino).

Stredová a zrkadlová symetria.Symetria (v širšom zmysle) je vlastnosť geometrického útvaru Ф, charakterizujúca určitú správnosť jeho tvaru, jeho nemennosť pri pôsobení pohybov a odrazov. Obrazec Ф má symetriu (symetrickú), ak existujú neidentické ortogonálne transformácie, ktoré tento obrazec preberajú do seba. Množina všetkých ortogonálnych transformácií, ktoré kombinujú obrazec Ф so sebou samým, je skupinou tohto obrazca. Čiže plochá postava (obr. 5.18) s bodkou M, transformácia-

Xia v sebe so zrkadlom odraz, symetrický okolo priamej osi AB. Tu skupinu symetrie tvoria dva prvky – bod M prevedené na M".

Ak je číslo Ф v rovine také, že sa otáča okolo nejakého bodu O cez uhol 360°/n, kde n > 2 je celé číslo, transformujte ho do seba, potom má obrazec Ф symetriu n-tého rádu vzhľadom na bod O - stred súmernosti. Príkladom takýchto útvarov sú pravidelné mnohouholníky, napríklad v tvare hviezdy (obr. 5.19), ktoré majú okolo stredu symetriu ôsmeho rádu. Skupina symetrie je tu takzvaná cyklická skupina n-tého rádu. Kruh má symetriu nekonečného poriadku (pretože sa sám so sebou spája otáčaním o akýkoľvek uhol).

Najjednoduchším typom priestorovej symetrie je stredová symetria (inverzia). V tomto prípade s ohľadom na bod O obrazec Ф sa spája sám so sebou po postupných odrazoch od troch vzájomne kolmých rovín, t.j. O - stred úsečky spájajúcej symetrické body F. Takže pre kocku (obr. 5.20) bod O je stredom symetrie. bodov Kocka M a M".

KAPITOLA TRETIA

POLYHEDRALY

V. KONCEPCIA SYMETRIE PRIESTOROVÝCH OBRAZOV

99. Stredová súmernosť. Dve postavy sa nazývajú symetrické vzhľadom na ľubovoľný bod O v priestore, ak každý bod A jedného obrázku zodpovedá bodu A na druhom obrázku, ktorý sa nachádza na priamke OA na druhej strane bodu O, vo vzdialenosti rovnajúcej sa vzdialenosť bodu A od bodu O (obr. 114) Bod O sa nazýva stred symetrie postavy.

Príklad takýchto symetrických obrazcov v priestore sme už videli (§ 53), keď sme pokračovaním za vrchol hrán a plôch mnohostenného uhla získali mnohostenný uhol symetrický k danému. Zodpovedajúce segmenty a uhly, ktoré sú súčasťou dvoch symetrických útvarov, sú si navzájom rovné. Postavy ako celok však nemožno nazvať rovnocenné: nemožno ich navzájom kombinovať, pretože poradie usporiadania častí na jednom obrázku je iné ako na druhom, ako sme videli na príklade symetrických polyedrických uhlov. .

V niektorých prípadoch je možné kombinovať symetrické postavy, ale zároveň sa ich nekonzistentné časti zhodujú. Zoberme si napríklad pravý trojstenný uhol (obr. 115) s vrcholom v bode O a hranami OX, OY, OZ.

Zostrojme preň symetrický uhol OX"Y"Z". Uhol OXYZ možno kombinovať s OX"Y"Z" tak, že hrana OX sa zhoduje s OY" a hrana OY s OX". Ak spojíme zodpovedajúce hrany OX s OX" a OY s OY", potom budú hrany OZ a OZ nasmerované v opačných smeroch.

Ak symetrické obrazce spolu tvoria jedno geometrické teleso, potom hovoria, že toto geometrické teleso má stred symetrie. Ak má teda dané teleso stred symetrie, potom každý bod patriaci tomuto telesu zodpovedá symetrickému bodu, ktorý tiež patrí tomuto telesu. Z geometrických telies, o ktorých sme uvažovali, má napríklad stred súmernosti: 1) hranol, 2) hranol, ktorý má v základni pravidelný mnohouholník s párnym počtom strán.

Pravidelný štvorsten nemá stred symetrie.

100. Symetria vzhľadom na rovinu. Dva priestorové útvary sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu P, ak každý bod A na jednom obrázku zodpovedá inému bodu A" a úsečka AA" je kolmá na rovinu P a je rozdelená na polovicu v priesečníku s touto rovinou. .

Veta. Akékoľvek dva zodpovedajúce segmenty v dvoch symetrických obrazcoch sú si navzájom rovné.

Nech sú dané dva obrazce, ktoré sú symetrické vzhľadom na rovinu P. Vyberme dva body A a B prvého obrazca, nech A "a B" sú im zodpovedajúce body druhého obrazca (obr. 116, obrázky nie sú zobrazené na výkrese).

Nech je ďalej C priesečník úsečky AA "s rovinou P, D - priesečník úsečky BB" s tou istou rovinou. Spojením bodov C a D priamou úsečkou dostaneme dva štvoruholníky ABDC a A "B" DC. Keďže AC \u003d A "C, BD \u003d B" D a
/ ACD= / ACD, / BDC= / V "DC, ako pravé uhly, potom sú tieto štvoruholníky rovnaké (čo sa dá ľahko overiť superpozíciou). Preto AB \u003d AB" Z tejto vety priamo vyplýva, že zodpovedajúce rovinné a dihedrálne uhly dvoch obrázkov sú symetrické vzhľadom na rovina sa rovnajú medzi sebou Napriek tomu nie je možné spojiť tieto dva obrázky tak, aby sa ich zodpovedajúce časti spojili, pretože poradie dielov na jednom obrázku je opačné ako na druhom (toto bude dokázané nižšie, § 102 dva obrazce, ktoré sú symetrické vzhľadom na rovinu, sú: akýkoľvek predmet a jeho odraz v rovinnom zrkadle, akýkoľvek obrazec, ktorý je symetrický so svojím zrkadlovým odrazom vzhľadom na rovinu zrkadla.

Ak možno ľubovoľné geometrické teleso rozdeliť na dve časti symetrické vzhľadom na nejakú rovinu, potom sa táto rovina nazýva rovina symetrie tohto telesa.

Geometrické telesá s rovinou symetrie sú v prírode a v každodennom živote mimoriadne bežné. Ľudské a zvieracie telo má rovinu symetrie, ktorá ho rozdeľuje na pravú a ľavú časť.

Na tomto príklade je obzvlášť zrejmé, že symetrické postavy nemožno kombinovať. Ruky pravej a ľavej ruky sú teda symetrické, ale nedajú sa kombinovať, čo možno vidieť aspoň z toho, že do tej istej rukavice nepasuje pravá aj ľavá ruka. Veľké množstvo predmetov pre domácnosť má rovinu symetrie: stolička, jedálenský stôl, knižnica, pohovka atď. Niektoré, ako napríklad jedálenský stôl, majú dokonca nie jednu, ale dve roviny symetrie (obr. 117). .

Zvyčajne sa pri zvažovaní objektu, ktorý má rovinu symetrie, snažíme zaujať voči nemu takú polohu, aby sa rovina symetrie nášho tela alebo aspoň hlavy zhodovala s rovinou symetrie samotného objektu. V tomto prípade. symetrický tvar objektu sa stáva obzvlášť viditeľným.

101. Symetria okolo osi. Os symetrie druhého rádu. Dve postavy sa nazývajú symetrické okolo osi l (os je priamka), ak každý bod A prvého obrázka zodpovedá bodu A „druhého obrázku, takže úsečka AA“ je kolmá na os l. , sa s ňou pretína a v priesečníku je rozdelená na polovicu. Samotná os l sa nazýva os symetrie druhého rádu.

Z tejto definície priamo vyplýva, že ak dve geometrické telesá symetrické okolo osi pretína rovina kolmá na túto os, potom v reze získame dva ploché obrazce, symetrické vzhľadom na priesečník roviny s os symetrie telies.

Z toho je ďalej ľahké odvodiť, že dve telesá symetrické okolo osi možno navzájom kombinovať otočením jedného z nich o 180° okolo osi symetrie. Naozaj si predstavte všetky možné roviny kolmé na os symetrie.

Každá takáto rovina pretínajúca obe telesá obsahuje obrazce, ktoré sú symetrické vzhľadom na bod stretnutia roviny s osou symetrie telies. Ak necháme rovinu rezu samovoľne posúvať, otočíme ju okolo osi symetrie tela o 180°, potom sa prvý údaj zhoduje s druhým.

To platí pre akúkoľvek rovinu rezu. Otočenie všetkých častí tela o 180° je ekvivalentné otočeniu celého tela o 180° okolo osi symetrie. Tu nasleduje platnosť nášho tvrdenia.

Ak sa po otočení priestorového útvaru okolo určitej priamky o 180° zhoduje sám so sebou, potom hovoria, že útvar má túto priamku ako svoju os symetrie druhého rádu.

Názov „os symetrie druhého rádu“ sa vysvetľuje tým, že pri úplnej rotácii okolo tejto osi teleso pri rotácii dvakrát zaujme polohu, ktorá sa zhoduje s tou pôvodnou (počítajúc tú pôvodnú). Príklady geometrických telies s osou symetrie druhého rádu sú:
1) pravidelná pyramída s párnym počtom bočných plôch; jeho osou symetrie je jeho výška;
2) pravouhlý rovnobežnosten; má tri osi symetrie: priame čiary spájajúce stredy jej protiľahlých plôch;
3) pravidelný hranol s párnym počtom bočných plôch. Osou jeho symetrie je každá priamka spájajúca stredy ľubovoľného páru jeho protiľahlých plôch (bočné strany a dve základne hranola). Ak je počet bočných plôch hranola 2 k, potom bude počet takýchto osí symetrie k+ 1. Okrem toho každá priamka spájajúca stredy jej protiľahlých bočných hrán slúži ako os symetrie pre takýto hranol. Hranol má takéto osi symetrie.

Takže správne 2 k- fazetový hranol má 2 k+1 osi, symetria.

102. Závislosť medzi rôznymi typmi symetrie v priestore. Medzi rôznymi typmi symetrie v priestore – osovou, rovinnou a stredovou – existuje vzťah, vyjadrený nasledujúcou vetou.

Veta. Ak je obrazec F symetrický s obrazcom F "vzhľadom na rovinu P a zároveň symetrický s obrazcom F" vzhľadom na bod O ležiaci v rovine P, potom obrazce F "a F" sú symetrické. vzhľadom na os prechádzajúcu bodom O a kolmú na rovinu R.

Zoberme si nejaký bod A na obrázku F (obr. 118). Zodpovedá bodu A "obrázku F" a bodu A "obrázku F" (samotné obrázky F, F" a F" nie sú na obrázku znázornené).

Nech B je priesečník úsečky AA "s rovinou P. Narysujme rovinu cez body A, A" a O. Táto rovina bude kolmá na rovinu P, pretože prechádza priamkou AA "kolmou na túto rovinu. V rovine AA" O nakreslíme priamku OH kolmú na OB. Táto priamka OH bude tiež kolmá na rovinu P. Ďalej nech C je priesečník priamok A"A" a OH.

V trojuholníku AA "A" "úsek BO spája stredy strán AA" a AA", teda BO || A"A", ale BO_|_OH, čo znamená A"A"_|_OH. Ďalej od r. O je stredná strana AA" a CO || AA", potom A"C \u003d A"C. Z toho vyvodíme, že body A" a A" sú symetrické okolo osi OH. To isté platí pre všetky ostatné body obrázku. Naša veta je teda dokázaná Priamo z tejto vety vyplýva, že dva útvary symetrické podľa roviny nemožno spojiť tak, aby sa ich príslušné časti spojili. Útvar F „je spojený s F“ otočením okolo osi OH o 180°. F "a F nemožno kombinovať ako symetrické vzhľadom na bod, preto nemožno kombinovať ani čísla F a F".

103. Osi symetrie vyšších rádov. Obrazec s osou symetrie je zarovnaný sám so sebou po otočení okolo osi symetrie o uhol 180°. Existujú však prípady, keď sa postava zhoduje s počiatočnou polohou po otočení okolo niektorej osi o uhol menší ako 180°. Ak teda telo urobí úplnú rotáciu okolo tejto osi, potom sa v procese rotácie niekoľkokrát spojí so svojou pôvodnou polohou. Takáto os rotácie sa nazýva os symetrie vyššieho rádu a počet polôh tela, ktoré sa zhodujú s originálom, sa nazýva poradie osi symetrie. Táto os sa nemusí zhodovať s osou symetrie druhého rádu. Pravidelná trojuholníková pyramída teda nemá os symetrie druhého rádu, ale jej výška slúži ako os symetrie tretieho rádu. Po otočení tejto pyramídy okolo výšky pod uhlom 120° sa totiž spojí sama so sebou (obr. 119).

Keď sa pyramída otáča okolo výšky, môže zaujať tri polohy, ktoré sa zhodujú s pôvodnou, pričom sa počíta aj s tou pôvodnou. Je ľahké vidieť, že každá os symetrie párneho rádu je zároveň osou symetrie druhého rádu.

Príklady osí symetrie vyšších rádov:

1) Správne n-uhoľná pyramída má os súmernosti n- poradie. Táto os je výška pyramídy.

2) Správne n-uhoľný hranol má os súmernosti n- poradie. Táto os je priamka spájajúca stredy podstav hranola.

104. Súmernosť kocky. Ako pre každý rovnobežnosten, priesečník uhlopriečok kocky je stredom jej symetrie.

Kocka má deväť rovín symetrie: šesť diagonálnych rovín a tri roviny prechádzajúce stredmi každej zo štyroch jej rovnobežných hrán.

Kocka má deväť osí symetrie druhého rádu: šesť priamych čiar spájajúcich stredy jej protiľahlých hrán a tri priame čiary spájajúce stredy protiľahlých plôch (obr. 120).

Tieto posledné riadky sú osami symetrie štvrtého rádu. Kocka má navyše štyri osi súmernosti tretieho rádu, ktorými sú jej uhlopriečky. Uhlopriečka kocky AG (obr. 120) je očividne rovnako naklonená k hranám AB, AD a AE a tieto hrany sú navzájom rovnako naklonené. Ak spojíme body B, D a E, dostaneme pravidelný trojuholníkový ihlan ADBE, ktorému ako výška slúži uhlopriečka kocky AG. Keď sa táto pyramída pri otáčaní okolo výšky zarovná sama so sebou, celá kocka sa zarovná do svojej pôvodnej polohy. Je ľahké vidieť, že kocka nemá žiadne iné osi symetrie. Pozrime sa, koľko rôznych spôsobov môže kocka do seba zapadnúť. Otáčanie okolo bežnej osi symetrie dáva kocke jednu polohu odlišnú od pôvodnej, v ktorej je kocka ako celok zarovnaná sama so sebou.

Rotácia okolo osi 3. rádu poskytuje dve takéto polohy a rotácia okolo osi 4. rádu dáva tri takéto polohy. Keďže kocka má šesť osí druhého rádu (sú to obyčajné osi súmernosti), štyri osi tretieho rádu a tri osi štvrtého rádu, je 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 polôh kocky, odlišný od originálu, pri ktorom je kombinovaný so sebou samým.

Je ľahké priamo overiť, že všetky tieto polohy sa navzájom líšia, ako aj od počiatočnej polohy kocky. Spolu s originálnou pozíciou tvoria 24 spôsobov, ako spojiť kocku so sebou.

Definícia symetrie;

• Definícia symetrie;

• Stredová symetria;

• Osová súmernosť;

• Symetria okolo roviny;

• rotačná symetria;

• Zrkadlová symetria;

• Symetria podobnosti;

• Symetria rastlín;

• Zvieracia symetria;

• Symetria v architektúre;

• Je človek symetrická bytosť?

• Symetria slov a čísel;

SYMMETRY

• SYMMETRY- proporcionalita, zhodnosť v usporiadaní častí niečoho na opačných stranách bodu, priamky alebo roviny.

• (Vysvetľujúci slovník Ozhegov)

• Geometrický objekt sa teda považuje za symetrický, ak s ním môžete niečo urobiť, po čom zostane nezmenené.

O O O volal stred symetrie postavy.

• Obrázok sa nazýva symetrický vzhľadom na bod O, ak pre každý bod obrázku je bod symetrický vzhľadom na bod O patrí tiež k tejto postave. Bodka O volal stred symetrie postavy.

kruh a rovnobežník stred kruhu ). Rozvrh nepárna funkcia

Príklady obrázkov, ktoré majú stredovú symetriu, sú kruh a rovnobežník. Stred symetrie kruhu je stred kruhu, a stred symetrie rovnobežníka je priesečník jeho uhlopriečok. Každá čiara má tiež stredovú symetriu ( každý bod priamky je jej stredom symetrie). Rozvrh nepárna funkcia symetrické podľa pôvodu.

• Príkladom postavy, ktorá nemá stred symetrie, je ľubovoľný trojuholník.

a a a volal os symetrie postavy.

• Obrázok sa nazýva symetrický vzhľadom na priamku a, ak pre každý bod obrázku je bod symetrický vzhľadom na priamku a patrí tiež k tejto postave. Rovno a volal os symetrie postavy.

V rozvinutom rohu jedna os symetrie osi uhla jedna os symetrie tri osi symetrie na dvoch osiach symetrie, a námestie štyri osi symetrie vzhľadom na os y.

V rozvinutom rohu jedna os symetrie- čiara, na ktorej sa nachádza osi uhla. Rovnoramenný trojuholník má tiež jedna os symetrie, a rovnostranný trojuholník tri osi symetrie. Obdĺžnik a kosoštvorec, ktoré nie sú štvorce, majú na dvoch osiach symetrie, a námestie štyri osi symetrie. Kruh ich má nekonečne veľa. Graf párnej funkcie je pri vykreslení symetrický vzhľadom na os y.

• Existujú postavy, ktoré nemajú žiadnu os symetrie. Tieto čísla zahŕňajú rovnobežník, okrem obdĺžnika, Rôznostranný trojuholník.

bodov ALE a A1 a a AA1 a kolmý a počíta symetrický sám k sebe

bodov ALE a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu a(rovina symetrie), ak je rovina a prechádza stredom segmentu AA1 a kolmý do tohto segmentu. Každý bod roviny a počíta symetrický sám k sebe. Dva obrazce sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu (alebo zrkadlovo symetrické vzhľadom na), ak pozostávajú z párovo symetrických bodov. To znamená, že pre každý bod jedného obrazca leží (relatívne) symetrický bod k nemu v inom obrazci.

Telo (alebo postava) má rotačná symetria, ak pri otáčaní pod uhlom 360º/n, kde n je celé číslo plne kompatibilné

• Telo (alebo postava) má rotačná symetria, ak pri otáčaní pod uhlom 360º/n, kde n je celé číslo, o nejakej priamke AB (os symetrie) to plne kompatibilné s jeho pôvodnou polohou.

• Radiálna symetria- forma symetrie, ktorá sa zachováva, keď sa predmet otáča okolo určitého bodu alebo priamky. Často sa tento bod zhoduje s ťažiskom objektu, teda bodom, v ktorom pretína nekonečné množstvo osí symetrie. Takéto predmety môžu byť kruh, guľa, valec alebo kužeľ.

Zrkadlová symetria spája ľubovoľný

Zrkadlová symetria spája ľubovoľný objekt a jeho odraz v rovinnom zrkadle. Jedna postava (alebo telo) sa považuje za zrkadlovo symetrickú k druhej, ak spolu tvoria zrkadlovo symetrickú postavu (alebo telo). Symetricky zrkadlené figúry sa pri všetkej podobnosti navzájom výrazne líšia. Dve zrkadlovo symetrické ploché figúrky sa dajú vždy na seba položiť. Na to je však potrebné odstrániť jednu z nich (alebo obe) z ich spoločnej roviny.

Symetria podobnosti hniezdiace bábiky.

• Symetria podobnosti sú zvláštnymi analógmi predchádzajúcich symetrií, s jediným rozdielom, s ktorým sú spojené súčasné zníženie alebo zvýšenie v podobných častiach postavy a vzdialenosti medzi nimi. Najjednoduchším príkladom takejto symetrie je hniezdiace bábiky.

• Postavy môžu mať niekedy rôzne typy symetrie. Napríklad niektoré písmená majú rotačnú a zrkadlovú symetriu: F, H, M, O, ALE.

• Existuje mnoho iných druhov symetrií, ktoré sú svojou povahou abstraktné. Napríklad:

• Permutačná symetria, ktorá spočíva v tom, že ak sú identické častice zamenené, nenastanú žiadne zmeny;

• Meracie symetrie pripojený so zoomom. V neživej prírode vzniká symetria predovšetkým v takom prírodnom jave, akým je kryštály ktoré tvoria takmer všetky pevné látky. Je to ona, ktorá určuje ich vlastnosti. Najzrejmejším príkladom krásy a dokonalosti kryštálov je dobre známy snehová vločka.

So symetriou sa stretávame všade: v prírode, technike, umení, vede. Pojem symetria prechádza celou stáročnou históriou ľudskej tvorivosti. Princípy symetrie zohrávajú dôležitú úlohu vo fyzike a matematike, chémii a biológii, inžinierstve a architektúre, maliarstve a sochárstve, poézii a hudbe. Prírodné zákony sa tiež riadia princípmi symetrie.

os symetrie.

• Mnohé kvety majú zaujímavú vlastnosť: možno ich otáčať tak, že každý okvetný lístok zaujme pozíciu svojho suseda, pričom kvet je zarovnaný sám so sebou. Táto kvetina má os symetrie.

• Skrutková symetria pozorované pri usporiadaní listov na stonkách väčšiny rastlín. Listy, ktoré sú umiestnené ako skrutka pozdĺž stonky, sa zdajú byť roztiahnuté vo všetkých smeroch a navzájom sa nezakrývajú pred svetlom, ktoré je nevyhnutné pre život rastlín.

• Obojstranná symetria rastlinné orgány majú napríklad aj stonky mnohých kaktusov. Často sa vyskytuje v botanike radiálne symetricky postavené kvety.

deliaca čiara.

• Symetria u zvierat sa chápe ako zhoda veľkosti, tvaru a tvaru, ako aj relatívne umiestnenie častí tela umiestnených na opačných stranách. deliaca čiara.

• Hlavné typy symetrie sú radiálne(žiarenie) - majú ho ostnokožce, koelenteráty, medúzy atď .; alebo bilaterálne(obojstranné) - môžeme povedať, že každé zviera (či už je to hmyz, ryba alebo vták) pozostáva z dvoch polovíc- vpravo a vľavo.

• sférická symetria vyskytuje sa u rádiolárií a slnečníc. Akákoľvek rovina pretiahnutá stredom rozdeľuje zviera na rovnaké polovice.

• Symetria štruktúry je spojená s organizáciou jej funkcií. Priemet roviny symetrie - osi budovy - zvyčajne určuje umiestnenie hlavného vstupu a začiatku hlavných dopravných prúdov.

• Každý detail v symetrickom systéme existuje ako doppelgänger svojej povinnej dvojice nachádza na druhej strane osi, a preto ho možno považovať len za súčasť celku.

• Najčastejšie v architektúre zrkadlová symetria. Sú mu podriadené budovy starovekého Egypta a chrámy starovekého Grécka, amfiteátre, kúpele, baziliky a víťazné oblúky Rimanov, paláce a kostoly renesancie, ako aj početné stavby modernej architektúry.

akcenty

• Aby lepšie odrážali symetriu na štruktúrach sú umiestnené akcenty- obzvlášť významné prvky (kupoly, veže, stany, hlavné vchody a schody, balkóny a arkiery).

• Na navrhovanie dekorácie architektúry sa používa ornament - rytmicky sa opakujúci vzor založený na symetrickom zložení jeho prvkov a vyjadrený líniou, farbou alebo reliéfom. Historicky sa niekoľko typov ozdôb vyvinulo na základe dvoch zdrojov - prírodných foriem a geometrických útvarov.

• Ale architekt je v prvom rade umelec. A preto sa často používajú aj tie „klasické“ štýly nesúmernosť– nuansovaná odchýlka od čistej symetrie, príp asymetria- zámerne asymetrická konštrukcia.

• Nikto nebude pochybovať o tom, že navonok je človek stavaný symetricky: ľavá ruka vždy zodpovedá pravej a obe ruky sú úplne rovnaké. Ale podobnosť medzi našimi rukami, ušami, očami a inými časťami tela je rovnaká ako medzi objektom a jeho odrazom v zrkadle.

správny jeho polovicu hrubé črty charakteristické pre mužské pohlavie. Ľavá polovica

Ukázali to početné merania parametrov tváre u mužov a žien správny jeho polovicu v porovnaní s ľavou má výraznejšie priečne rozmery, čo dodáva tvári viac hrubé črty charakteristické pre mužské pohlavie. Ľavá polovica tvár má výraznejšie pozdĺžne rozmery, čo jej dáva hladké línie a ženskosť. Táto skutočnosť vysvetľuje prevládajúcu túžbu žien pózovať pre umelcov na ľavej strane tváre a mužov - na pravej strane.

Palindróm

• Palindróm(z gr. Palindromos - running back) - to je nejaký objekt, v ktorom je špecifikovaná symetria komponentov od začiatku do konca a od konca po začiatok. Napríklad fráza alebo text.

• Priamy text palindrómu, ktorý sa číta podľa normálneho smeru čítania v tomto písme (zvyčajne zľava doprava), sa nazýva dopredu, spätne - mušľový chodec alebo obrátene(sprava doľava). Niektoré čísla majú tiež symetriu.

Takže, pokiaľ ide o geometriu: existujú tri hlavné typy symetrie.

Po prvé, stredová symetria (alebo symetria okolo bodu) - ide o transformáciu roviny (alebo priestoru), v ktorej jediný bod (bod O - stred symetrie) zostáva na svojom mieste, zatiaľ čo ostatné body menia svoju polohu: namiesto bodu A dostaneme bod A1 tak, že bod O je stredom segmentu AA1. Na zostrojenie útvaru Ф1, symetrického k útvaru Ф vzhľadom na bod O, je potrebné nakresliť lúč cez každý bod obrázku Ф prechádzajúci bodom O (stred symetrie) a na tento lúč umiestniť stranou bodu symetrického s bodom vybraným vzhľadom na bod O. Takto zostrojená množina bodov poskytne údaj F1.

Veľmi zaujímavé sú obrazce, ktoré majú stred symetrie: pri symetrii okolo bodu O sa akýkoľvek bod obrazca F opäť premení na nejaký bod obrazca F. Takýchto obrazcov je v geometrii veľa. Napríklad: úsečka (stred úsečky je stredom symetrie), priamka (ktorýkoľvek z jej bodov je stredom jej symetrie), kružnica (stred kružnice je stredom symetrie), obdĺžnik (priesečník jeho uhlopriečok je stredom symetrie). V živej a neživej prírode je veľa centrálne symetrických objektov (komunikácia študentov). Často ľudia sami vytvárajú predmety, ktoré majú stred symetrierii (príklady z vyšívania, príklady zo strojárstva, príklady z architektúry a mnohé iné príklady).

po druhé, osová symetria (alebo symetria okolo priamky) - ide o transformáciu roviny (alebo priestoru), v ktorej zostanú na svojom mieste len body priamky p (táto priamka je osou symetrie), kým ostatné body zmenia svoju polohu: namiesto bodu B , dostaneme taký bod B1, že priamka p je odvesna na úsečku BB1. Na zostrojenie obrazca Φ1 symetrického k obrazcu Φ vzhľadom na priamku p je potrebné, aby každý bod obrazca Φ zostrojil bod symetrický vzhľadom na priamku p. Množina všetkých týchto zostrojených bodov dáva požadovaný údaj Ф1. Existuje veľa geometrických tvarov, ktoré majú os symetrie.

Obdĺžnik má dva, štvorec štyri, kruh má ľubovoľnú priamku prechádzajúcu jeho stredom. Ak sa pozriete pozorne na písmená abecedy, potom medzi nimi nájdete tie, ktoré majú horizontálnu alebo vertikálnu a niekedy obe osi symetrie. Objekty s osami symetrie sú v živej a neživej prírode pomerne bežné (žiacke správy). Pri svojej činnosti človek vytvára veľa predmetov (napríklad ornamentov), ​​ktoré majú niekoľko osí symetrie.

______________________________________________________________________________________________________

po tretie, rovinná (zrkadlová) symetria (alebo symetria okolo roviny) - ide o transformáciu priestoru, pri ktorej si len body jednej roviny zachovávajú svoju polohu (α-rovina symetrie), zvyšné body priestoru menia svoju polohu: namiesto bodu C sa získa taký bod C1, že rovina α prechádza stredom segmentu CC1, kolmo naň.

Na zostrojenie útvaru Ф1, súmerného k útvaru Ф vzhľadom na rovinu α, je potrebné, aby každý bod útvaru Ф postavil body súmerné vzhľadom na α, tvoria vo svojej množine útvar Ф1.

Najčastejšie sa vo svete vecí a predmetov okolo nás stretávame s trojrozmernými telesami. A niektoré z týchto telies majú roviny symetrie, niekedy dokonca niekoľko. A človek sám pri svojej činnosti (stavba, vyšívanie, modelovanie, ...) vytvára objekty s rovinami symetrie.

Stojí za zmienku, že spolu s tromi uvedenými typmi symetrie existujú (v architektúre)prenosný a otočný, čo sú v geometrii kompozície viacerých pohybov.

Symetria je spojená s harmóniou a poriadkom. A nie nadarmo. Pretože na otázku, čo je symetria, existuje odpoveď v podobe doslovného prekladu zo starogréčtiny. A ukazuje sa, že to znamená proporcionalitu a nemennosť. A čo môže byť usporiadanejšie ako striktná definícia miesta? A čo možno nazvať harmonickejším ako niečo, čo presne zodpovedá veľkosti?

Čo znamená symetria v rôznych vedách?

Biológia. V ňom je dôležitou zložkou symetrie to, že zvieratá a rastliny majú pravidelne usporiadané časti. Navyše v tejto vede neexistuje prísna symetria. Vždy je tam nejaká asymetria. Pripúšťa, že časti celku sa nezhodujú s absolútnou presnosťou.

Chémia. Molekuly látky majú vo svojom usporiadaní určitú pravidelnosť. Práve ich symetria vysvetľuje mnohé vlastnosti materiálov v kryštalografii a iných odvetviach chémie.

fyzika. Sústava telies a zmeny v nej sú opísané pomocou rovníc. Obsahujú symetrické komponenty, čo celé riešenie zjednodušuje. To sa robí hľadaním konzervovaných množstiev.

Matematika. V ňom je uvedené hlavné vysvetlenie toho, čo je symetria. Okrem toho sa mu pripisuje väčší význam v geometrii. Symetria je tu schopnosť zobrazovať postavy a telá. V užšom zmysle ide len o zrkadlový obraz.

Ako rôzne slovníky definujú symetriu?

V ktorejkoľvek z nich sa pozrieme na slovo „proporcionalita“ všade. U Dahla možno vidieť aj taký výklad ako uniformita a uniformita. Inými slovami, symetrický znamená to isté. Tiež hovorí, že je to nudné, zaujímavejšie je to, v čom to nie je.

Na otázku, čo je to symetria, Ozhegovov slovník už hovorí o rovnakom postavení častí vzhľadom na bod, čiaru alebo rovinu.

Ušakovov slovník tiež spomína proporcionalitu, ako aj úplnú zhodu dvoch častí celku navzájom.

Kedy ľudia hovoria o asymetrii?

Predpona „a“ neguje význam hlavného podstatného mena. Asymetria teda znamená, že usporiadanie prvkov nie je vhodné pre určitý vzor. Nie je v ňom žiadna nemennosť.

Tento výraz sa používa v situáciách, keď dve polovice položky nie sú dokonale zladené. Väčšinou sa na seba nepodobajú.

Vo voľnej prírode hrá asymetria dôležitú úlohu. A môže to byť užitočné aj škodlivé. Napríklad srdce je umiestnené v ľavej polovici hrudníka. Vďaka tomu sú ľavé pľúca výrazne menšie. Ale je to nevyhnutné.

O stredovej a osovej súmernosti

V matematike existujú tieto typy:

• centrálne, to znamená, že sa vykonáva vzhľadom na jeden bod;
• axiálne, ktoré sa pozoruje v blízkosti priamky;
• zrkadlový, je založený na odrazoch;
• prenosová symetria.

Aká je os a stred symetrie? Toto je bod alebo čiara, ku ktorej môže ktorýkoľvek bod tela nájsť iný. Navyše také, že vzdialenosť od originálu k výslednému je polovičná o os alebo stred symetrie. Počas pohybu týchto bodov opisujú rovnaké trajektórie.

Najjednoduchšie je pochopiť, čo je symetria okolo osi na príklade. Papier zošita by mal byť zložený na polovicu. Čiara ohybu bude osou symetrie. Ak k nej nakreslíme kolmú čiaru, tak všetky body na nej budú mať body ležiace v rovnakej vzdialenosti na druhej strane osi.

V situáciách, keď potrebujete nájsť stred symetrie, musíte urobiť nasledovné. Ak existujú dve postavy, nájdite pre ne rovnaké body a spojte ich segmentom. Potom rozdeľte na polovicu. Keď je figúrka jedna, potom môže pomôcť znalosť jej vlastností. Tento stred sa často zhoduje s priesečníkom uhlopriečok alebo výšok.

Aké tvary sú symetrické?

Geometrické útvary môžu mať osovú alebo stredovú symetriu. Ale to nie je podmienkou, je veľa predmetov, ktoré to vôbec nemajú. Napríklad rovnobežník má stred, ale nemá os. A nerovnomerné lichobežníky a trojuholníky nemajú vôbec žiadnu symetriu.

Ak vezmeme do úvahy stredovú symetriu, existuje pomerne veľa postáv, ktoré ju majú. Ide o úsečku a kružnicu, rovnobežník a všetky pravidelné mnohouholníky s počtom strán, ktoré sú deliteľné dvomi.

Stred symetrie úsečky (tiež kružnice) je jej stredom, pričom pre rovnobežník sa zhoduje s priesečníkom uhlopriečok. Zatiaľ čo pri bežných mnohouholníkoch sa tento bod zhoduje aj so stredom obrázku.

Ak sa dá na obrázku nakresliť priamka, pozdĺž ktorej sa dá zložiť, a obe polovice sa zhodujú, potom to (priamka) bude osou symetrie. Zaujímavé je, koľko osí symetrie majú rôzne postavy.

Napríklad ostrý alebo tupý uhol má iba jednu os, ktorá je jeho osou.

Ak potrebujete nájsť os v rovnoramennom trojuholníku, musíte nakresliť výšku k jeho základni. Čiara bude osou symetrie. A len jeden. A v rovnostrannom budú tri naraz. Okrem toho má trojuholník aj stredovú symetriu vzhľadom na priesečník výšok.

Kruh môže mať nekonečný počet osí symetrie. Túto úlohu môže plniť akákoľvek priamka, ktorá prechádza jeho stredom.

Obdĺžnik a kosoštvorec majú dve osi súmernosti. V prvom prechádzajú stredom strán a v druhom sa zhodujú s uhlopriečkami.

Štvorec spája predchádzajúce dve postavy a má 4 osi súmernosti naraz. Sú rovnaké ako v prípade kosoštvorca a obdĺžnika.