Poučenie

Spôsob pridávania.
Musíte napísať dva presne pod seba:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Do ľubovoľne zvolenej (zo sústavy) rovnice vložte namiesto už nájdenej „hry“ číslo 11 a vypočítajte druhú neznámu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odpoveď tohto systému rovníc: x=116, y=11.

Grafický spôsob.
Spočíva v praktickom nájdení súradníc bodu, v ktorom sú priamky matematicky zapísané v sústave rovníc. Mali by ste nakresliť grafy oboch čiar oddelene v rovnakom súradnicovom systéme. Celkový pohľad: - y \u003d kx + b. Na zostrojenie priamky stačí nájsť súradnice dvoch bodov a x je zvolené ľubovoľne.
Nech je daný systém: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Rovná čiara je zostavená podľa prvej, pre pohodlie je potrebné zapísať: y \u003d 2x-4. Vymyslite (jednoduchšie) hodnoty pre x, dosaďte ho do rovnice, vyriešte, nájdite y. Získajú sa dva body, pozdĺž ktorých je postavená priamka. (pozri obrázok.)
x 0 1

y-4-2
Rovná čiara je vytvorená podľa druhej rovnice: y \u003d -3x + 1.
Tiež postaviť linku. (pozri obrázok.)

1-5
Nájdite súradnice priesečníka dvoch zostrojených priamok na grafe (ak sa priamky nepretínajú, tak sústava rovníc nemá - teda).

Podobné videá

Užitočné rady

Ak je rovnaký systém rovníc vyriešený tromi rôznymi spôsobmi, odpoveď bude rovnaká (ak je riešenie správne).

Zdroje:

• Algebra ročník 8
• vyriešte rovnicu s dvoma neznámymi online
• Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc s dvojkou

systém rovnice je zbierka matematických záznamov, z ktorých každý obsahuje určitý počet premenných. Existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť.

Budete potrebovať

• -Pravítko a ceruzka;
• - kalkulačka.

Poučenie

Uvažujme postupnosť riešenia sústavy, ktorá pozostáva z lineárnych rovníc v tvare: a1x + b1y = c1 a a2x + b2y = c2. Kde x a y sú neznáme premenné a b,c sú voľné členy. Pri aplikácii tejto metódy je každý systém súradnicami bodov zodpovedajúcich každej rovnici. Najprv v každom prípade vyjadrite jednu premennú z hľadiska druhej. Potom nastavte premennú x na ľubovoľný počet hodnôt. Stačia dve. Zapojte do rovnice a nájdite y. Zostavte súradnicový systém, označte na ňom získané body a nakreslite cez ne priamku. Podobné výpočty sa musia vykonať pre ostatné časti systému.

Systém má unikátne riešenie, ak sa zostrojené čiary pretínajú a majú jeden spoločný bod. Je nekonzistentné, ak sú navzájom rovnobežné. A má nekonečne veľa riešení, keď línie navzájom splývajú.

Táto metóda sa považuje za veľmi jasnú. Hlavnou nevýhodou je, že vypočítané neznáme majú približné hodnoty. Presnejší výsledok poskytujú takzvané algebraické metódy.

Každé riešenie systému rovníc stojí za kontrolu. Za týmto účelom nahraďte získané hodnoty namiesto premenných. Aj jeho riešenie môžete nájsť niekoľkými spôsobmi. Ak je riešenie systému správne, tak by mali všetci dopadnúť rovnako.

Často existujú rovnice, v ktorých je jeden z členov neznámy. Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte si zapamätať a vykonať určitý súbor akcií s týmito číslami.

Budete potrebovať

• - papier;
• - Pero alebo ceruzka.

Poučenie

Predstavte si, že máte pred sebou 8 králikov a máte len 5 mrkiev. Myslite na to, že musíte kúpiť viac mrkvy, aby každý králik dostal mrkvu.

Predstavme si tento problém vo forme rovnice: 5 + x = 8. Dosaďte x za číslo 3. Skutočne, 5 + 3 = 8.

Keď ste nahradili číslom x, robili ste rovnakú operáciu ako odčítanie 5 od 8. Aby ste teda našli neznámyčlen, odčítaj známy člen od súčtu.

Povedzme, že máte 20 králikov a iba 5 mrkiev. Poďme skladať. Rovnica je rovnosť, ktorá platí iba pre určité hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Písmená, ktorých hodnoty chcete nájsť, sa nazývajú. Napíšte rovnicu s jednou neznámou, nazvite ju x. Pri riešení našej úlohy o králikoch získame nasledujúcu rovnicu: 5 + x = 20.

Nájdime rozdiel medzi 20 a 5. Pri odčítaní sa zníži číslo, od ktorého sa odpočítava. Číslo, ktoré sa odpočíta, sa nazýva a konečný výsledok sa nazýva rozdiel. Takže x = 20 - 5; x = 15. Potrebujete kúpiť 15 mrkvy pre králiky.

Vykonajte kontrolu: 5 + 15 = 20. Rovnica je správna. Samozrejme, ak ide o také jednoduché , kontrola nie je potrebná. Pokiaľ však ide o rovnice s trojciferným, štvorciferným a tak ďalej, je nevyhnutné vykonať kontrolu, aby ste si boli úplne istí výsledkom svojej práce.

Podobné videá

Užitočné rady

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Tip 4: Ako vyriešiť sústavu troch rovníc s tromi neznámymi

Systém troch rovníc s tromi neznámymi nemusí mať riešenia, napriek dostatočnému počtu rovníc. Môžete to skúsiť vyriešiť pomocou substitučnej metódy alebo pomocou Cramerovej metódy. Cramerova metóda okrem riešenia systému umožňuje pred nájdením hodnôt neznámych vyhodnotiť, či je systém riešiteľný.

Poučenie

Substitučná metóda spočíva v postupnom postupe od jednej neznámej cez dve ďalšie a v dosadení získaného výsledku do rovníc sústavy. Nech je daný systém troch rovníc vo všeobecnom tvare:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Vyjadrite x z prvej rovnice: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - a dosaďte do druhej a tretej rovnice, potom vyjadrite y z druhej rovnice a dosaďte do tretej. Prostredníctvom koeficientov rovníc systému získate lineárny výraz pre z. Teraz sa vráťte "späť": vložte z do druhej rovnice a nájdite y, potom vložte z a y do prvej rovnice a nájdite x. Proces je vo všeobecnosti znázornený na obrázku, kým sa nenájde z. Ďalej bude záznam vo všeobecnej forme príliš ťažkopádny, v praxi pri nahradení celkom ľahko nájdete všetky tri neznáme.

Cramerova metóda spočíva v zostavení matice systému a výpočte determinantu tejto matice, ako aj troch ďalších pomocných matíc. Matica systému je zložená z koeficientov na neznámych členoch rovníc. Stĺpec obsahujúci čísla na pravej strane rovníc, stĺpec na pravej strane. V systéme sa nepoužíva, ale používa sa pri riešení systému.

Podobné videá

Poznámka

Všetky rovnice v systéme musia poskytovať dodatočné informácie nezávislé od ostatných rovníc. V opačnom prípade bude systém podurčený a nebude možné nájsť jednoznačné riešenie.

Užitočné rady

Po vyriešení sústavy rovníc dosaďte nájdené hodnoty do pôvodnej sústavy a skontrolujte, či vyhovujú všetkým rovniciam.

Sám od seba rovnica s tromi neznámy má veľa riešení, preto sa najčastejšie dopĺňa o ďalšie dve rovnice alebo podmienky. Od toho, aké sú prvotné údaje, bude do značnej miery závisieť priebeh rozhodovania.

Budete potrebovať

• - sústava troch rovníc s tromi neznámymi.

Poučenie

Ak majú dva z troch systémov iba dve z troch neznámych, skúste niektoré premenné vyjadriť v zmysle ostatných a zapojte ich do rovnica s tromi neznámy. Vaším cieľom je zmeniť to na normálne rovnica s neznámym. Ak je toto , ďalšie riešenie je celkom jednoduché - dosaďte nájdenú hodnotu do iných rovníc a nájdite všetky ostatné neznáme.

Niektoré sústavy rovníc možno od jednej rovnice odčítať druhou. Pozrite sa, či je možné vynásobiť jednu z alebo premennú tak, aby sa znížili dve neznáme naraz. Ak existuje takáto príležitosť, využite ju, s najväčšou pravdepodobnosťou nebude následné rozhodnutie ťažké. Nezabudnite, že pri násobení číslom musíte vynásobiť ľavú aj pravú stranu. Podobne pri odčítaní rovníc nezabúdajte, že treba odčítať aj pravú stranu.

Ak predchádzajúce metódy nepomohli, použite všeobecnú metódu na riešenie akýchkoľvek rovníc s tromi neznámy. Za týmto účelom prepíšte rovnice v tvare a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Teraz vytvorte maticu koeficientov v x (A), maticu neznámych (X) a maticu voľných (B). Venujte pozornosť, vynásobením matice koeficientov maticou neznámych získate maticu, maticu voľných členov, to znamená A * X \u003d B.

Nájdite maticu A s mocninou (-1) po nájdení , všimnite si, že by sa nemala rovnať nule. Potom vynásobte výslednú maticu maticou B, ako výsledok dostanete požadovanú maticu X, ktorá označuje všetky hodnoty.

Riešenie systému troch rovníc môžete nájsť aj pomocou Cramerovej metódy. Na tento účel nájdite determinant tretieho rádu ∆ zodpovedajúci matici systému. Potom postupne nájdite tri ďalšie determinanty ∆1, ∆2 a ∆3, pričom nahraďte hodnoty voľných členov namiesto hodnôt zodpovedajúcich stĺpcov. Teraz nájdite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Zdroje:

• riešenia rovníc s tromi neznámymi

Začnite riešiť sústavu rovníc a zistite, aké sú tieto rovnice. Metódy riešenia lineárnych rovníc sú dobre preštudované. Nelineárne rovnice sa najčastejšie neriešia. Existuje len jeden špeciálny prípad, z ktorých každý je prakticky individuálny. Preto by sa štúdium metód riešenia malo začať lineárnymi rovnicami. Takéto rovnice je možné riešiť aj čisto algoritmicky.

Poučenie

Začnite proces učenia sa tým, že sa naučíte riešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi X a Y elimináciou. a11*X+a12*Y=bl (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Koeficienty rovníc sú označené indexmi označujúcimi ich umiestnenie. Takže koeficient a21 zdôrazňuje skutočnosť, že je na prvom mieste zapísaný v druhej rovnici. Vo všeobecne akceptovanom spôsobe zápisu je systém napísaný rovnicami umiestnenými pod sebou, spoločne označenými zloženými zátvorkami vpravo alebo vľavo (podrobnejšie pozri obr. 1a).

Číslovanie rovníc je ľubovoľné. Vyberte tú najjednoduchšiu, napríklad takú, v ktorej jednej z premenných predchádza faktor 1 alebo aspoň celé číslo. Ak je toto rovnica (1), potom ďalej vyjadrite, povedzme, neznámu Y pomocou X (prípad eliminácie Y). Ak to chcete urobiť, transformujte (1) na tvar a12*Y=b1-a11*X (alebo a11*X=b1-a12*Y, ak je X vylúčené)) a potom Y=(b1-a11*X)/a12 . Dosadením posledného do rovnice (2) zapíšte a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Vyriešte túto rovnicu pre X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) alebo X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Pomocou nájdeného vzťahu medzi Y a X nakoniec získajte druhú neznámu Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Ak by bol systém uvedený s konkrétnymi číselnými koeficientmi, výpočty by boli menej ťažkopádne. Na druhej strane, všeobecné riešenie umožňuje zvážiť skutočnosť, že pre nájdené neznáme sú úplne rovnaké. Áno, a v čitateľoch sú viditeľné niektoré vzory ich konštrukcie. Ak by bol rozmer sústavy rovníc väčší ako dva, potom by eliminačná metóda viedla k veľmi ťažkopádnym výpočtom. Aby sa im zabránilo, boli vyvinuté čisto algoritmické riešenia. Najjednoduchší z nich je Cramerov algoritmus (Cramerove vzorce). Mal by sa naučiť všeobecný systém rovníc n rovníc.

Sústava n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi má tvar (pozri obr. 1a). V ňom aij sú koeficienty systému,
хj – neznáme, bi – voľné členy (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takýto systém možno kompaktne zapísať v maticovom tvare AX=B. Tu je A matica koeficientov systému, X je stĺpcová matica neznámych, B je stĺpcová matica voľných členov (pozri obr. 1b). Podľa Cramerovej metódy každá neznáma xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinant ∆ matice koeficientov sa nazýva hlavný determinant a ∆i sa nazýva pomocný. Pre každú neznámu sa nájde pomocný determinant nahradením i-tého stĺpca hlavného determinantu stĺpcom voľných členov. Cramerova metóda pre prípad systémov druhého a tretieho rádu je podrobne znázornená na obr. 2.

Systém je spojenie dvoch alebo viacerých rovností, z ktorých každá má dve alebo viac neznámych. Existujú dva hlavné spôsoby riešenia sústav lineárnych rovníc, ktoré sa používajú v školských osnovách. Jedna z nich sa nazýva metóda, druhá je metóda sčítania.

Štandardný tvar sústavy dvoch rovníc

V štandardnej forme je prvá rovnica a1*x+b1*y=c1, druhá rovnica je a2*x+b2*y=c2 atď. Napríklad v prípade dvoch častí systému v oboch sú uvedené a1, a2, b1, b2, c1, c2 niektoré číselné koeficienty uvedené v špecifických rovniciach. Na druhej strane, x a y sú neznáme, ktorých hodnoty je potrebné určiť. Požadované hodnoty premenia obe rovnice súčasne na skutočné rovnosti.

Riešenie sústavy adičnou metódou

Ak chcete vyriešiť systém, teda nájsť tie hodnoty x a y, ktoré ich premenia na skutočné rovnosti, musíte urobiť niekoľko jednoduchých krokov. Prvým z nich je transformovať ktorúkoľvek z rovníc takým spôsobom, aby sa číselné koeficienty pre premennú x alebo y v oboch rovniciach zhodovali v absolútnej hodnote, ale líšili sa v znamienku.

Napríklad nech je daný systém pozostávajúci z dvoch rovníc. Prvý z nich má tvar 2x+4y=8, druhý má tvar 6x+2y=6. Jednou z možností dokončenia úlohy je vynásobenie druhej rovnice koeficientom -2, čím sa dostane do tvaru -12x-4y=-12. Správna voľba koeficientu je jednou z kľúčových úloh v procese riešenia sústavy sčítacou metódou, keďže určuje celý ďalší priebeh postupu pri hľadaní neznámych.

Teraz je potrebné pridať dve rovnice systému. Je zrejmé, že vzájomná deštrukcia premenných s rovnakou hodnotou, ale opačným znamienkovým koeficientom to povedie k tvaru -10x=-4. Potom je potrebné vyriešiť túto jednoduchú rovnicu, z ktorej jednoznačne vyplýva, že x=0,4.

Posledným krokom v procese riešenia je substitúcia nájdenej hodnoty jednej z premenných do niektorej z počiatočných rovníc dostupných v systéme. Napríklad dosadením x=0,4 do prvej rovnice získate výraz 2*0,4+4y=8, z čoho y=1,8. Takže x = 0,4 a y = 1,8 sú korene systému znázorneného v príklade.

Aby ste sa uistili, že korene boli nájdené správne, je užitočné skontrolovať dosadením nájdených hodnôt do druhej rovnice systému. Napríklad v tomto prípade sa získa rovnosť v tvare 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, čo je správne.

Podobné videá

Lineárna rovnica s dvoma premennými má všeobecný tvar ax + by + c = 0. V nej sú a, b a c koeficienty - nejaké čísla; a x a y sú premenné - neznáme čísla, ktoré treba nájsť.

Riešením lineárnej rovnice s dvoma premennými je dvojica čísel x a y, pre ktoré ax + by + c = 0 je skutočná rovnosť.

Konkrétna lineárna rovnica s dvoma premennými (napríklad 3x + 2y - 1 = 0) má množinu riešení, teda množinu dvojíc čísel, pre ktoré platí rovnica. Lineárna rovnica s dvoma premennými sa transformuje na lineárnu funkciu v tvare y = kx + m, čo je priamka na rovine súradníc. Súradnice všetkých bodov ležiacich na tejto priamke sú riešeniami lineárnej rovnice v dvoch premenných.

Ak sú dané dve lineárne rovnice v tvare ax + by + c = 0 a je potrebné nájsť také hodnoty x a y, pre ktoré budú mať obe riešenia, potom hovoria, že je potrebné vyriešiť sústavu rovníc. Systém rovníc je napísaný pod spoločnou zloženou zátvorkou. Príklad:

Systém rovníc nemôže mať riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi zodpovedajúcich lineárnych funkcií, nepretínajú (to znamená, že sú navzájom rovnobežné). Aby sme dospeli k záveru, že riešenie neexistuje, stačí transformovať obe lineárne rovnice s dvoma premennými do tvaru y = kx + m. Ak k je rovnaké číslo v oboch rovniciach, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak sa ukáže, že systém rovníc pozostáva z dvoch rovnakých rovníc (čo nemusí byť zrejmé hneď, ale po transformáciách), potom má nekonečný počet riešení. V tomto prípade hovoríme o neistote.

Vo všetkých ostatných prípadoch má systém jedno riešenie. Tento záver možno vyvodiť zo skutočnosti, že akékoľvek dve nerovnobežné čiary sa môžu pretínať iba v jednom bode. Je to tento priesečník, ktorý bude ležať na prvom aj druhom riadku, to znamená, že bude riešením prvej aj druhej rovnice. Preto byť riešením sústavy rovníc. Je však potrebné stanoviť situácie, kedy sú na hodnoty x a y kladené určité obmedzenia (zvyčajne stavom problému). Napríklad x > 0, y > 0. V tomto prípade, aj keď sústava rovníc má riešenie, ale nespĺňa podmienku, potom sa usúdi, že sústava rovníc nemá za daných podmienok riešenia.

Existujú tri spôsoby riešenia systému rovníc:

1. spôsob výberu. Väčšinou je to veľmi ťažké.
2. Grafická metóda. Keď sú na súradnicovej rovine nakreslené dve čiary (grafy funkcií zodpovedajúcich rovníc) a nájde sa ich priesečník. Táto metóda môže poskytnúť nepresné výsledky, ak súradnice priesečníka sú zlomkové čísla.
3. Algebraické metódy. Sú všestranné a spoľahlivé.

Pojem lineárna rovnica o dvoch neznámych už poznáme. Rovnice môžu byť prítomné v jednej úlohe jednotlivo aj vo viacerých rovniciach naraz. V takýchto prípadoch sa rovnice spájajú do sústavy rovníc.

Čo je to sústava lineárnych rovníc

Systém rovníc sú dve alebo viac rovníc, pre ktoré je potrebné nájsť všetky ich spoločné riešenia. Na napísanie systému rovníc sa zvyčajne zapisujú do stĺpca a nakreslia jednu spoločnú zloženú zátvorku. Systém lineárnych rovníc je napísaný nižšie.

(4x + 3r = 6
(2x + y = 4

Tento záznam znamená, že je daný systém dvoch rovníc s dvoma premennými. Ak by v systéme boli tri rovnice, potom by to bol systém troch rovníc. A tak pre ľubovoľný počet rovníc.

Ak sú všetky rovnice prítomné v systéme lineárne, potom hovoria, že je daný systém lineárnych rovníc. Vo vyššie uvedenom príklade je práve prezentovaný systém dvoch lineárnych rovníc. Ako je uvedené vyššie, systém môže mať všeobecné riešenia. Pojem „všeobecné riešenie“ rozoberieme nižšie.

Aké je riešenie?

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi je dvojica čísel (x, y) taká, že ak sa tieto čísla dosadia do rovníc sústavy, každá z rovníc sústavy sa zmení na skutočnú rovnosť.

Napríklad máme systém dvoch lineárnych rovníc. Riešením prvej rovnice budú všetky dvojice čísel, ktoré vyhovujú tejto rovnici.

Pre druhú rovnicu budú riešením dvojice čísel, ktoré vyhovujú tejto rovnici. Ak existuje taká dvojica čísel, ktorá vyhovuje prvej aj druhej rovnici, potom táto dvojica čísel bude riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Grafické riešenie

Graficky sú riešením lineárnej rovnice všetky body nejakej priamky v rovine.

Pre sústavu lineárnych rovníc budeme mať niekoľko riadkov (podľa počtu rovníc). A riešením sústavy rovníc bude bod, v ktorom sa pretínajú VŠETKY priamky. Ak takýto bod neexistuje, systém nebude mať žiadne riešenia. Bod, v ktorom sa všetky čiary pretínajú, patrí každej z týchto čiar, preto sa riešenie nazýva všeobecné.

Mimochodom, vykreslenie rovníc sústavy a nájdenie ich spoločného bodu je jedným zo spôsobov riešenia sústavy rovníc. Táto metóda sa nazýva grafická.

Iné spôsoby riešenia lineárnych rovníc

Existujú aj iné spôsoby riešenia sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými. Základné metódy riešenia sústav lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6+20+5r=1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto musíme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, tam dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvé miesto je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítame druhú, aby sme sa zbavili premennej x.. Riešime lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Žiadne srandovanie.

Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné sa dajú označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili vyššie substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku dosaďte postupne každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Postupne nahraďte každú z nájdených hodnôt y do vzorca x \u003d 5 - Zy. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde sa s ňou riešili sústavy lineárnych rovníc. Pripomíname si podstatu metódy v nasledujúcom príklade.

Príklad 2 Vyriešte sústavu rovníc

Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodnej sústavy bola rovnica, ktorá je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica danej sústavy. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad tú druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Dosadením tohto výrazu namiesto y do prvej rovnice systému dostaneme

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa zoznámili na kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy riešenia sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc

Zaveďme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Vyriešme túto rovnicu vzhľadom na premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, alebo
Pomocou metódy zavedenia novej premennej sme teda mohli prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne zložitá, „stratifikovať“ do dvoch jednoduchších rovníc:

x = 2 y; y - 2x.

Čo bude ďalej? A potom sa každá z dvoch získaných jednoduchých rovníc musí postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si ešte nepamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:

Je potrebné nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Získajte

Pretože x \u003d 2y, nájdeme x 1 \u003d 2, respektíve x 2 \u003d 2. Získajú sa teda dve riešenia pre daný systém: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto y výraz 2x. Získajte

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc nemá riešenia. Do odpovede by teda mali byť zahrnuté len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Potom sa to naučíme

To nám umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a \u003d 1, potom z rovnice a + 6 \u003d 2 nájdeme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Pre premenné a a b teda máme jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Na vyriešenie tohto systému použijeme metódu algebraického sčítania:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:

Túto časť ukončíme krátkou, ale dosť serióznou teoretickou diskusiou. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, štvorcových, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. A teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.

Metóda grafického riešenia sústav rovníc je konštrukcia grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v tomto systéme a sú v rovnakej súradnicovej rovine, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečník bodov týchto grafov. . Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že je bežné, že grafický systém rovníc má buď jediné správne riešenie, alebo nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia vôbec.

Teraz sa pozrime bližšie na každé z týchto riešení. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus riešenia sústavy dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:

Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude nakreslenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie s príkladom. Dostali sme systém rovníc, ktoré treba vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv zostavíme graf tejto rovnice: x2+y2=9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom bude zostrojenie rovnice ako: y = x - 3.

V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.

A čo získame ako výsledok?

Čísla (3;0) a (0;−3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou tohto riešenia sú čísla: (3;0) a (0;−3).