Na riešenie diferenciálnych rovníc je potrebné poznať hodnotu závislej premennej a jej derivátov pre určité hodnoty nezávislej premennej. Ak sú pre jednu hodnotu neznámej špecifikované ďalšie podmienky, t.j. nezávislá premenná., potom sa takýto problém nazýva Cauchyho problém. Ak sú počiatočné podmienky špecifikované pre dve alebo viac hodnôt nezávislej premennej, potom sa problém nazýva problém hraničnej hodnoty. Pri riešení diferenciálnych rovníc rôznych typov sa funkcia, ktorej hodnoty je potrebné určiť, vypočíta vo forme tabuľky.

Klasifikácia numerických metód riešenia diferenciálov. Lv. Typy.

Cauchyho problém – jednokrokový: Eulerove metódy, Runge-Kuttovy metódy; – viackroková: Hlavná metóda, Adamsova metóda. Boundary problem – metóda redukcie hraničného problému na Cauchyho problém; – metóda konečných rozdielov.

Pri riešení Cauchyho problému treba špecifikovať rozdiel. ur. rád n alebo systém dif. ur. prvého rádu n rovníc a n dodatočných podmienok na jeho riešenie. Pre rovnakú hodnotu nezávislej premennej musia byť špecifikované ďalšie podmienky. Pri riešení okrajovej úlohy treba špecifikovať rovnice. n-tý rád alebo systém n rovníc a n dodatočných podmienok pre dve alebo viac hodnôt nezávislej premennej. Pri riešení Cauchyho úlohy sa požadovaná funkcia určí diskrétne vo forme tabuľky s určitým špecifikovaným krokom . Pri určovaní každej ďalšej hodnoty môžete použiť informácie o jednom predchádzajúcom bode. V tomto prípade sa metódy nazývajú jednokrokové, alebo môžete použiť informácie o niekoľkých predchádzajúcich bodoch - viackrokové metódy.

Obyčajné diferenciálne rovnice. Cauchy problém. Jednokrokové metódy. Eulerova metóda.

Dané: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0, y( x 0) = yo. Je známe: f(x,y), x 0 , y 0 . Určte diskrétne riešenie: x i , y i , i=0,1,…,n. Eulerova metóda je založená na expanzii funkcie v Taylorovom rade v okolí bodu x 0 . Okolie je opísané v kroku h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+...+ (1). Eulerova metóda berie do úvahy iba dva členy Taylorovho radu. Uveďme si nejaký zápis. Eulerov vzorec bude mať tvar: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i + h

Vzorec (2) je vzorec jednoduchej Eulerovej metódy.

Geometrická interpretácia Eulerovho vzorca

Na získanie numerického riešenia sa používa dotyčnica prechádzajúca rovnicou. dotyčnica: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 = y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), pretože

x-x 0 = h, potom y 1 = y 0 + hf (x 0, y 0), f(x 0, y 0) = tg £.

Modifikovaná Eulerova metóda

Dané: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Je známe: f(x,y), x 0 , y 0 . Určte: závislosť y od x v tvare tabuľkovej diskrétnej funkcie: x i, y i, i=0,1,…,n.

Geometrická interpretácia

1) vypočítajte dotyčnicu uhla sklonu v počiatočnom bode

tg £=y(xn,yn)=f(xn,yn)

2) Vypočítajte hodnotu  y n+1 on

koniec kroku podľa Eulerovho vzorca

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Vypočítajte tangens uhla sklonu

dotyčnica v bode n+1: tg £=y(x n+1,  y n+1)=f(x n+1,  y n+1) 4) Vypočítajte aritmetický priemer uhlov

sklon: tg £=½. 5) Pomocou tangenty uhla sklonu prepočítame hodnotu funkcie v bode n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – vzorec modifikovanej Eulerovej metódy. Dá sa ukázať, že výsledná f-la zodpovedá expanzii f-i v Taylorovom rade vrátane členov (do h 2). Modifikovaná metóda Eilnra, na rozdiel od jednoduchej, je metódou presnosti druhého rádu, pretože chyba je úmerná h 2.

Uvažujeme len o riešení Cauchyho problému. Do tvaru treba previesť sústavu diferenciálnych rovníc alebo jednu rovnicu

Kde ,
–n-rozmerné vektory; r– neznáma vektorová funkcia; X- nezávislý argument,
. Najmä ak n= 1, potom sa systém zmení na jednu diferenciálnu rovnicu. Počiatočné podmienky sú nastavené takto:
, Kde
.

Ak
v blízkosti bodu
je spojitý a má spojité parciálne derivácie vzhľadom na r, potom veta o existencii a jedinečnosti zaručuje, že existuje iba jedna spojitá vektorová funkcia
, definované v niektoré susedstve bodu , splnenie rovnice (7) a podmienky
.

Venujme pozornosť skutočnosti, že okolie bodu , kde je určené riešenie, môže byť veľmi malé. Pri približovaní sa k hranici tohto okolia môže ísť riešenie do nekonečna, oscilovať s nekonečne sa zvyšujúcou frekvenciou, vo všeobecnosti sa správať tak zle, že sa v ňom nedá pokračovať za hranicu okolia. V súlade s tým takéto riešenie nemožno sledovať numerickými metódami na väčšom segmente, ak je to špecifikované vo vyhlásení problému.

Riešenie Cauchyho problému na [ a; b] je funkcia. V numerických metódach je funkcia nahradená tabuľkou (tabuľka 1).

stôl 1

Tu
,
. Vzdialenosť medzi susednými uzlami tabuľky sa zvyčajne považuje za konštantnú:
,
.

Existujú tabuľky s variabilnými krokmi. Krok tabuľky je určený požiadavkami inžinierskeho problému a nepripojený s presnosťou nájdenia riešenia.

Ak r je vektor, potom tabuľka hodnôt riešenia bude mať formu tabuľky. 2.

Tabuľka 2

V systéme MATHCAD sa namiesto tabuľky používa matica, ktorá sa transponuje vzhľadom na zadanú tabuľku.

Vyriešte Cauchyho problém s presnosťou ε znamená získať hodnoty v zadanej tabuľke (čísla alebo vektory),
, také že
, Kde
- presné riešenie. Je možné, že riešenie segmentu špecifikovaného v probléme nepokračuje. Potom musíte odpovedať, že problém sa nedá vyriešiť na celom segmente a musíte nájsť riešenie na segmente, kde existuje, aby bol tento segment čo najväčší.

Malo by sa pamätať na to, že presné riešenie
nevieme (prečo inak používať numerickú metódu?). stupeň
musí byť odôvodnené na inom základe. Spravidla nie je možné získať 100% záruku, že sa posúdenie vykonáva. Preto sa na odhad hodnoty používajú algoritmy
, ktoré sa osvedčili pri väčšine inžinierskych úloh.

Všeobecný princíp riešenia Cauchyho problému je nasledovný. Úsečka [ a; b] je rozdelená do niekoľkých segmentov integračnými uzlami. Počet uzlov k nemusí zodpovedať počtu uzlov m konečná tabuľka rozhodovacích hodnôt (tabuľky 1, 2). zvyčajne k > m. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že vzdialenosť medzi uzlami je konštantná,
;h nazývaný integračný krok. Potom, podľa určitých algoritmov, poznať hodnoty pri i < s, vypočítajte hodnotu . Čím menší je krok h, tým je hodnota nižšia sa bude líšiť od hodnoty presného riešenia
. Krok h v tejto partícii je už určená nie požiadavkami inžinierskeho problému, ale požadovanou presnosťou riešenia Cauchyho problému. Okrem toho musí byť vybraný tak, aby v jednom kroku stôl. 1, 2 sa zmestia na celý počet krokov h. V tomto prípade hodnoty r, získané ako výsledok výpočtov s krokmi h v bodoch
, sa v tabuľke používajú primerane. 1 alebo 2.

Najjednoduchším algoritmom na riešenie Cauchyho úlohy pre rovnicu (7) je Eulerova metóda. Výpočtový vzorec je:

(8)

Pozrime sa, ako sa posudzuje presnosť nájdeného riešenia. Predstierajme to
je presným riešením Cauchyho problému a tiež toho
, aj keď to takmer vždy neplatí. Kde je potom konštanta C závisí od funkcie
v blízkosti bodu
. Takto pri jednom kroku integrácie (hľadania riešenia) dostaneme chybu v poradí . Pretože treba podniknúť kroky
, potom je prirodzené očakávať, že totálna chyba v poslednom bode
všetko bude v poriadku
, t.j. objednať h. Preto sa Eulerova metóda nazýva metóda prvého poriadku, t.j. chyba má poradie prvej mocniny kroku h. V skutočnosti možno v jednom kroku integrácie odôvodniť nasledujúci odhad. Nechaj
– presné riešenie Cauchyho úlohy s počiatočnou podmienkou
. To je jasné
sa nezhoduje s požadovaným presným riešením
pôvodný Cauchyho problém rovnice (7). Avšak pri malom h a "dobrá" funkcia
tieto dve presné riešenia sa budú len málo líšiť. Taylorov vzorec zvyšku to zabezpečuje
, to spôsobí chybu integračného kroku. Konečná chyba pozostáva nielen z chýb v každom integračnom kroku, ale aj z odchýlok požadovaného presného riešenia
z presných riešení
,
a tieto odchýlky môžu byť veľmi veľké. Avšak konečný odhad chyby v Eulerovej metóde pre „dobrú“ funkciu
stále vyzerá
,
.

Pri aplikácii Eulerovej metódy výpočet prebieha nasledovne. Podľa špecifikovanej presnosti ε určiť približný krok
. Určenie počtu krokov
a opäť približne zvoľte krok
. Potom ho opäť upravíme smerom nadol tak, aby pri každom kroku bol stôl. 1 alebo 2 sa zmestia na celý počet integračných krokov. Dostávame krok h. Podľa vzorca (8), vedieť A , nájdeme. Podľa nájdenej hodnoty A
nachádzame tak ďalej.

Výsledný výsledok nemusí a vo všeobecnosti nebude mať požadovanú presnosť. Preto znížime krok na polovicu a opäť aplikujeme Eulerovu metódu. Porovnávame výsledky prvej aplikácie metódy a druhej v identické bodov . Ak sú všetky nezrovnalosti menšie ako špecifikovaná presnosť, potom posledný výsledok výpočtu možno považovať za odpoveď na problém. Ak nie, znížime krok opäť na polovicu a znova použijeme Eulerovu metódu. Teraz porovnáme výsledky poslednej a predposlednej aplikácie metódy atď.

Eulerova metóda sa používa pomerne zriedkavo vzhľadom na to, že na dosiahnutie danej presnosti ε je potrebný veľký počet krokov v poradí
. Ak však
má diskontinuity alebo nespojité deriváty, potom metódy vyššieho rádu vyvolajú rovnakú chybu ako Eulerova metóda. To znamená, že bude potrebné rovnaké množstvo výpočtov ako pri Eulerovej metóde.

Z metód vyššieho rádu sa najčastejšie používa metóda štvrtého rádu Runge–Kutta. V ňom sa výpočty vykonávajú podľa vzorcov

Táto metóda za prítomnosti spojitých štvrtých derivácií funkcie
dáva chybu v jednom kroku objednávky , t.j. vo vyššie uvedenom zápise,
. Vo všeobecnosti, na integračnom intervale, za predpokladu, že presné riešenie je určené na tomto intervale, bude integračná chyba rádovo .

Výber integračného kroku prebieha rovnakým spôsobom, ako je opísané v Eulerovej metóde, s tým rozdielom, že počiatočná približná hodnota kroku je vybraná zo vzťahu
, t.j.
.

Väčšina programov používaných na riešenie diferenciálnych rovníc používa automatický výber krokov. Podstatou je toto. Nech je už vypočítaná hodnota . Hodnota sa vypočíta
v prírastkoch h, zvolený počas výpočtu . Potom sa vykonajú dva integračné kroky s krokom , t.j. je pridaný ďalší uzol
v strede medzi uzlami A
. Vypočítajú sa dve hodnoty
A
v uzloch
A
. Hodnota sa vypočíta
, Kde p– poradie metódy. Ak δ je menšia ako presnosť špecifikovaná používateľom, potom sa predpokladá
. Ak nie, vyberte nový krok h rovnaké a zopakujte kontrolu presnosti. Ak pri prvej kontrole δ je oveľa menšia ako špecifikovaná presnosť, potom sa vykoná pokus o zvýšenie kroku. Na tento účel sa počíta
v uzle
v prírastkoch h z uzla
a vypočíta sa
v krokoch po 2 h z uzla . Hodnota sa vypočíta
. Ak je menšia ako špecifikovaná presnosť, potom krok 2 h za prijateľné. V tomto prípade je priradený nový krok
,
,
. Ak väčšiu presnosť, potom krok zostane rovnaký.

Treba brať do úvahy, že programy s automatickým výberom integračného kroku dosahujú špecifikovanú presnosť len pri vykonaní jedného kroku. K tomu dochádza v dôsledku presnosti aproximácie roztoku prechádzajúceho bodom
, t.j. aproximácia riešenia
. Takéto programy nezohľadňujú, koľko je riešenie
sa líši od požadovaného riešenia
. Preto nie je zaručené, že špecifikovaná presnosť bude dosiahnutá počas celého integračného intervalu.

Popísané metódy Euler a Runge–Kutta patria do skupiny jednokrokových metód. To znamená počítať
v bode
stačí poznať význam v uzle . Je prirodzené očakávať, že ak sa použije viac informácií o rozhodnutí, bude sa brať do úvahy niekoľko predchádzajúcich hodnôt rozhodnutia
,
atď., potom nová hodnota
bude možné zistiť presnejšie. Táto stratégia sa používa vo viacstupňových metódach. Na ich opis uvádzame notáciu
.

Predstaviteľmi viackrokových metód sú metódy Adams-Bashforth:

Metóda k-tá objednávka dáva chybu lokálnej objednávky
alebo globálny – poriadok .

Tieto metódy patria do skupiny extrapolačných metód, t.j. nový význam je jasne vyjadrený prostredníctvom predchádzajúcich. Ďalším typom sú interpolačné metódy. V nich musíte v každom kroku vyriešiť nelineárnu rovnicu pre novú hodnotu . Zoberme si Adams-Moulton metódy ako príklad:

Ak chcete použiť tieto metódy, musíte na začiatku počítania poznať niekoľko hodnôt
(ich počet závisí od poradia metódy). Tieto hodnoty je potrebné získať inými metódami, napríklad metódou Runge–Kutta s malým krokom (na zvýšenie presnosti). Interpolačné metódy sa v mnohých prípadoch ukazujú ako stabilnejšie a umožňujú podniknúť väčšie kroky ako extrapolačné metódy.

Aby sa v každom kroku interpolačných metód neriešila nelineárna rovnica, používajú sa Adamsove prediktorovo-korekčné metódy. Pointa je, že metóda extrapolácie sa najskôr aplikuje na krok a výslednú hodnotu
sa dosadí na pravú stranu interpolačnej metódy. Napríklad v metóde druhého rádu

Numerické riešenie diferenciálnych rovníc

Mnohé problémy vo vede a technike sa týkajú riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc (ODR). ODR sú tie rovnice, ktoré obsahujú jednu alebo viac derivácií požadovanej funkcie. Vo všeobecnosti možno ODE zapísať takto:

Kde x je nezávislá premenná, je i-tá derivácia požadovanej funkcie. n je poradie rovnice. Všeobecné riešenie ODR n-tého rádu obsahuje n ľubovoľných konštánt, t.j. všeobecné riešenie má tvar .

Pre výber jedného riešenia je potrebné nastaviť n ďalších podmienok. V závislosti od spôsobu špecifikovania dodatočných podmienok existujú dva rôzne typy problémov: Cauchyho problém a hraničný problém. Ak sú v jednom bode špecifikované ďalšie podmienky, potom sa takýto problém nazýva Cauchyho problém. Ďalšie podmienky v Cauchyho probléme sa nazývajú počiatočné podmienky. Ak sú vo viacerých bodoch uvedené dodatočné podmienky, t.j. pre rôzne hodnoty nezávislej premennej sa takýto problém nazýva problém hraničnej hodnoty. Samotné dodatočné podmienky sa nazývajú okrajové alebo okrajové podmienky.

Je jasné, že keď n=1 môžeme hovoriť len o Cauchyho probléme.

Príklady nastavenia Cauchyho problému:

Príklady hraničných úloh:

Analyticky je možné takéto úlohy riešiť len pre niektoré špeciálne typy rovníc.

Numerické metódy riešenia Cauchyho problému pre ODR prvého rádu

Formulácia problému. Nájdite riešenie ODE prvého rádu

Na poskytnutom segmente

Pri hľadaní približného riešenia budeme predpokladať, že výpočty sa vykonávajú s vypočítaným krokom, uzly výpočtu sú intervalové body [ X 0 , X n ].

Cieľom je postaviť stôl

X i				X n
r i				r n

tie. V uzloch mriežky sa hľadajú približné hodnoty y.

Integráciou rovnice na intervale dostaneme

Úplne prirodzeným (ale nie jediným) spôsobom, ako získať numerické riešenie, je nahradiť integrál v ňom nejakým kvadratúrnym vzorcom numerickej integrácie. Ak použijeme najjednoduchší vzorec pre ľavé obdĺžniky prvého rádu

,

potom dostaneme explicitný Eulerov vzorec:

Postup platby:

Vedieť, nájdeme, potom atď.

Geometrická interpretácia Eulerovej metódy:

Využitie toho, čo je podstatou X 0 riešenie je známe r(X 0)= y 0 a hodnotu jej derivácie môžeme zapísať rovnicu dotyčnice ku grafu požadovanej funkcie v bode:. S dostatočne malým krokom h ordináta tejto dotyčnice získaná dosadením na pravú stranu hodnoty by sa mala len málo líšiť od ordináty r(X 1) riešenia r(X) Cauchy problémy. Preto priesečník dotyčnice s priamkou X = X 1 možno približne považovať za nový východiskový bod. Cez tento bod opäť nakreslíme priamku, ktorá približne odráža správanie dotyčnice k bodu. Nahradením tu (t.j. priesečník s čiarou X = X 2), získame približnú hodnotu r(X) v bode X 2: atď. V dôsledku toho pre i-tým bodom získame Eulerov vzorec.

Explicitná Eulerova metóda má presnosť alebo aproximáciu prvého poriadku.

Ak použijete správny obdĺžnikový vzorec: , potom sa dostávame k metóde

Táto metóda sa nazýva implicitná Eulerova metóda, keďže výpočet neznámej hodnoty zo známej hodnoty vyžaduje riešenie rovnice, ktorá je vo všeobecnosti nelineárna.

Implicitná Eulerova metóda má presnosť alebo aproximáciu prvého poriadku.

Pri tejto metóde sa výpočet skladá z dvoch etáp:

Táto schéma sa nazýva aj metóda prediktor-korektor (prediktívna-korekčná). V prvej fáze je približná hodnota predikovaná s nízkou presnosťou (h) a v druhej fáze je táto predpoveď korigovaná tak, aby výsledná hodnota mala presnosť druhého rádu.

Metódy Runge-Kutta: myšlienka vytvorenia explicitných metód Runge-Kutta p-tého rádu je získať aproximácie k hodnotám r(X i+1) podľa vzorca formulára

…………………………………………….

Tu a n , b nj , p n, – niektoré pevné čísla (parametre).

Pri konštrukcii metód Runge–Kutta sa parametre funkcie ( a n , b nj , p n) sa vyberajú tak, aby sa získalo požadované poradie aproximácie.

Runge-Kutta schéma štvrtého rádu presnosti:

Príklad. Vyriešte Cauchyho problém:

Zvážte tri metódy: explicitnú Eulerovu metódu, modifikovanú Eulerovu metódu, Runge-Kuttovu metódu.

Presné riešenie:

Výpočtové vzorce používajúce explicitnú Eulerovu metódu pre tento príklad:

Výpočtové vzorce modifikovanej Eulerovej metódy:

Výpočtové vzorce pre metódu Runge–Kutta:

y1 – Eulerova metóda, y2 – modifikovaná Eulerova metóda, y3 – Runge Kuttaova metóda.

Je vidieť, že najpresnejšia je metóda Runge–Kutta.

Numerické metódy riešenia systémov ODR prvého rádu

Uvažované metódy možno použiť aj na riešenie systémov diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Ukážme si to na prípade systému dvoch rovníc prvého rádu:

Explicitná Eulerova metóda:

Modifikovaná Eulerova metóda:

Runge-Kutta schéma štvrtého rádu presnosti:

Cauchyho úlohy pre rovnice vyššieho rádu sú tiež redukované na riešenie systémov rovníc ODR. Napríklad zvážte Cauchyho úloha pre rovnicu druhého rádu

Predstavme si druhú neznámu funkciu. Potom je problém Cauchy nahradený nasledujúcim:

Tie. v zmysle predchádzajúceho problému: .

Príklad. Nájdite riešenie Cauchyho problému:

Na segmente.

Presné riešenie:

naozaj:

Úlohu riešme explicitnou Eulerovou metódou upravenou Eulerovou a Runge-Kuttovou metódou s krokom h=0,2.

Predstavme si funkciu.

Potom získame nasledujúci Cauchyho problém pre systém dvoch ODR prvého rádu:

Explicitná Eulerova metóda:

Modifikovaná Eulerova metóda:

Metóda Runge-Kutta:

Eulerov obvod:

Modifikovaná Eulerova metóda:

Schéma Runge - Kutta:

Max (teória y-y) = 4*10-5

Metóda konečných rozdielov na riešenie okrajových úloh pre ODR

Formulácia problému: nájsť riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice

splnenie okrajových podmienok:. (2)

Veta. Nechaj . Potom je tu jedinečné riešenie problému.

Tento problém sa redukuje napríklad na problém určenia priehybov nosníka, ktorý je na svojich koncoch zavesený.

Hlavné fázy metódy konečných rozdielov:

1) oblasť nepretržitej zmeny argumentu () je nahradená diskrétnou množinou bodov nazývaných uzly: .

2) Požadovaná funkcia spojitého argumentu x je približne nahradená funkciou diskrétneho argumentu na danej mriežke, t.j. . Funkcia sa nazýva mriežková funkcia.

3) Pôvodná diferenciálna rovnica je nahradená diferenčnou rovnicou vzhľadom na funkciu mriežky. Toto nahradenie sa nazýva rozdielová aproximácia.

Riešenie diferenciálnej rovnice teda spočíva v hľadaní hodnôt funkcie mriežky v uzloch mriežky, ktoré sa nachádzajú pri riešení algebraických rovníc.

Aproximácia derivátov.

Na aproximáciu (nahradenie) prvej derivácie môžete použiť vzorce:

- derivácia pravého rozdielu,

- derivácia ľavého rozdielu,

Derivácia centrálnej diferencie.

to znamená, že existuje veľa možných spôsobov aproximácie derivácie.

Všetky tieto definície vyplývajú z konceptu derivátu ako limitu: .

Na základe diferenčnej aproximácie prvej derivácie môžeme zostrojiť diferenčnú aproximáciu druhej derivácie:

Podobne môžeme získať aproximácie derivátov vyššieho rádu.

Definícia. Aproximačná chyba n-tej derivácie je rozdiel: .

Na určenie poradia aproximácie sa používa rozšírenie Taylorovho radu.

Uvažujme pravostrannú aproximáciu rozdielu prvej derivácie:

Tie. správna derivácia rozdielu má najprv h poradie aproximácie.

To isté platí pre deriváciu ľavého rozdielu.

Centrálna derivácia rozdielu má aproximácia druhého rádu.

Aproximácia druhej derivácie podľa vzorca (3) má tiež druhý rád aproximácie.

Na aproximáciu diferenciálnej rovnice je potrebné nahradiť všetky jej derivácie ich aproximáciami. Uvažujme problém (1), (2) a nahraďme deriváty v (1):

V dôsledku toho dostaneme:

(4)

Poradie aproximácie pôvodného problému je 2, pretože druhý a prvý derivát sú nahradené poradím 2 a zvyšok - presne.

Takže namiesto diferenciálnych rovníc (1), (2) sa získa systém lineárnych rovníc na určenie v uzloch siete.

Diagram môže byť reprezentovaný ako:

t.j. dostali sme systém lineárnych rovníc s maticou:

Táto matica je tridiagonálna, t.j. všetky prvky, ktoré sa nenachádzajú na hlavnej uhlopriečke a dve uhlopriečky k nej susediace, sa rovnajú nule.

Riešením výslednej sústavy rovníc získame riešenie pôvodného problému.

Úvod

Pri riešení vedeckých a inžinierskych problémov je často potrebné matematicky popísať nejaký dynamický systém. Najlepšie je to urobiť vo forme diferenciálnych rovníc ( DU) alebo sústavy diferenciálnych rovníc. Najčastejšie tento problém vzniká pri riešení úloh súvisiacich s modelovaním kinetiky chemických reakcií a rôznych prenosových javov (teplo, hmotnosť, hybnosť) - prenos tepla, miešanie, sušenie, adsorpcia, pri popise pohybu makro- a mikročastíc.

V niektorých prípadoch môže byť diferenciálna rovnica transformovaná do formy, v ktorej je najvyššia derivácia vyjadrená explicitne. Táto forma zápisu sa nazýva rovnica vyriešená vzhľadom na najvyššiu deriváciu (v tomto prípade najvyššia derivácia chýba na pravej strane rovnice):

Riešením obyčajnej diferenciálnej rovnice je funkcia y(x), ktorá pre ľubovoľné x spĺňa túto rovnicu v určitom konečnom alebo nekonečnom intervale. Proces riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrácia diferenciálnej rovnice.

Historicky prvým a najjednoduchším spôsobom, ako numericky vyriešiť Cauchyho problém pre ODR prvého rádu, je Eulerova metóda. Je založená na aproximácii derivácie pomerom konečných prírastkov závislých (y) a nezávislých (x) premenných medzi uzlami rovnomernej siete:

kde y i+1 je požadovaná hodnota funkcie v bode x i+1.

Presnosť Eulerovej metódy sa dá zlepšiť, ak sa na aproximáciu integrálu použije presnejší integračný vzorec - lichobežníkový vzorec.

Ukázalo sa, že tento vzorec je implicitný vzhľadom na y i+1 (táto hodnota je na ľavej aj pravej strane výrazu), to znamená, že je to rovnica vzhľadom na y i+1, ktorú možno vyriešiť, napríklad numericky pomocou nejakej iteračnej metódy (v takejto forme ju možno považovať za iteračnú formulu jednoduchej iteračnej metódy).

Zloženie seminárnej práce: Práca sa skladá z troch častí. Prvá časť obsahuje stručný popis metód. V druhej časti formulácia a riešenie problému. V tretej časti - implementácia softvéru v počítačovom jazyku

Cieľ predmetu: štúdium dvoch metód riešenia diferenciálnych rovníc - Euler-Cauchyho metóda a vylepšená Eulerova metóda.

1. Teoretická časť

Numerická diferenciácia

Diferenciálna rovnica je rovnica obsahujúca jednu alebo viac derivácií. V závislosti od počtu nezávislých premenných sa diferenciálne rovnice delia do dvoch kategórií.

Obyčajné diferenciálne rovnice (ODR)

Parciálne diferenciálne rovnice.

Obyčajné diferenciálne rovnice sú také rovnice, ktoré obsahujú jednu alebo viac derivácií požadovanej funkcie. Môžu byť napísané ako

nezávislá premenná

Najvyšší rád zahrnutý v rovnici (1) sa nazýva rád diferenciálnej rovnice.

Najjednoduchšia (lineárna) ODR je rovnica (1) poriadku vyriešená vzhľadom na deriváciu

Riešením diferenciálnej rovnice (1) je každá funkcia, ktorá ju po dosadení do rovnice zmení na identitu.

Hlavný problém spojený s lineárnou ODE je známy ako problém Kasha:

Nájdite riešenie rovnice (2) vo forme funkcie spĺňajúcej počiatočnú podmienku (3)

Geometricky to znamená, že je potrebné nájsť integrálnu krivku prechádzajúcu bodom ), keď je splnená rovnosť (2).

Numerický z hľadiska problému Kasha znamená: je potrebné zostaviť tabuľku funkčných hodnôt, ktoré spĺňajú rovnicu (2) a počiatočnú podmienku (3) na segmente s určitým krokom. Zvyčajne sa predpokladá, že počiatočná podmienka je špecifikovaná na ľavom konci segmentu.

Najjednoduchšou numerickou metódou riešenia diferenciálnej rovnice je Eulerova metóda. Je založená na myšlienke grafickej konštrukcie riešenia diferenciálnej rovnice, ale táto metóda poskytuje aj spôsob, ako nájsť požadovanú funkciu v číselnej forme alebo v tabuľke.

Nech je daná rovnica (2) s počiatočnou podmienkou, to znamená, že problém Kasha bol položený. Najprv vyriešme nasledujúci problém. Nájdite najjednoduchším spôsobom približnú hodnotu riešenia v určitom bode, kde je pomerne malý krok. Rovnica (2) spolu s počiatočnou podmienkou (3) špecifikuje smer dotyčnice požadovanej integrálnej krivky v bode so súradnicami

Dotyková rovnica má tvar

Pohybom pozdĺž tejto dotyčnice získame približnú hodnotu riešenia v bode:

Po približnom riešení v bode môžete zopakovať vyššie opísaný postup: zostrojte priamku prechádzajúcu týmto bodom s uhlovým koeficientom a z nej nájdite približnú hodnotu riešenia v bode.

. Všimnite si, že táto čiara nie je dotyčnicou k skutočnej integrálnej krivke, pretože bod nemáme k dispozícii, ale ak je dostatočne malý, výsledné približné hodnoty sa budú blížiť presným hodnotám riešenia.

Pokračovaním v tejto myšlienke zostavme systém rovnako rozmiestnených bodov

Získanie tabuľky hodnôt požadovanej funkcie

Eulerova metóda pozostáva z cyklického nanášania vzorca

Obrázok 1. Grafická interpretácia Eulerovej metódy

Metódy numerickej integrácie diferenciálnych rovníc, v ktorých sa riešenia získavajú z jedného uzla do druhého, sa nazývajú postupné. Eulerova metóda je najjednoduchším predstaviteľom postupných metód. Charakteristickým znakom každej metódy krok za krokom je, že počnúc druhým krokom je počiatočná hodnota vo vzorci (5) sama o sebe približná, to znamená, že chyba v každom nasledujúcom kroku sa systematicky zvyšuje. Najpoužívanejšou metódou na posúdenie presnosti postupných metód na približné numerické riešenie ODR je metóda prechodu daného úseku dvakrát s krokom a s krokom.

1.1 Vylepšená Eulerova metóda

Hlavná myšlienka tejto metódy: ďalšia hodnota vypočítaná podľa vzorca (5) bude presnejšia, ak sa nevypočíta hodnota derivácie, to znamená uhlový koeficient priamky nahrádzajúcej integrálnu krivku na segmente. pozdĺž ľavého okraja (to znamená v bode), ale v strede segmentu. Ale keďže hodnota derivácie medzi bodmi nie je vypočítaná, prejdeme k dvojitým úsekom so stredom, v ktorom je bod, a rovnica priamky má tvar:

A vzorec (5) má formu

Vzorec (7) sa používa iba pre , preto sa z neho nedajú získať hodnoty, preto sa zisťujú pomocou Eulerovej metódy a na získanie presnejšieho výsledku to robia: od začiatku pomocou vzorca (5) nájdu hodnotu

(8)

V bode a potom nájdený podľa vzorca (7) s krokmi

(9)

Po nájdení ďalších výpočtov na vyrobené podľa vzorca (7)

Laboratórium 1

Numerické metódy riešenia

obyčajné diferenciálne rovnice (4 hodiny)

Pri riešení mnohých fyzikálnych a geometrických problémov treba hľadať neznámu funkciu na základe daného vzťahu medzi neznámou funkciou, jej deriváciami a nezávislými premennými. Tento pomer sa nazýva Diferenciálnej rovnice , a nájdenie funkcie, ktorá vyhovuje diferenciálnej rovnici, sa nazýva riešenie diferenciálnej rovnice.

Obyčajná diferenciálna rovnica nazývaná rovnosť

, (1)

v ktorom

je nezávislá premenná, ktorá sa mení v určitom segmente, a - neznáma funkcia r ( X ) a jej prvá n deriváty. volal poradie rovnice .

Úlohou je nájsť funkciu y, ktorá spĺňa rovnosť (1). Navyše, bez toho, aby sme to osobitne určovali, budeme predpokladať, že požadované riešenie má ten či onen stupeň hladkosti potrebný na konštrukciu a „legálne“ uplatnenie tej či onej metódy.

Existujú dva typy obyčajných diferenciálnych rovníc

Rovnice bez počiatočných podmienok

Rovnice s počiatočnými podmienkami.

Rovnice bez počiatočných podmienok sú rovnice tvaru (1).

Rovnica s počiatočnými podmienkami je rovnica tvaru (1), v ktorej je potrebné takúto funkciu nájsť

, ktorý pre niektorých spĺňa tieto podmienky: ,

tie. v bode

funkcia a jej prvé derivácie nadobúdajú vopred určené hodnoty.

Cauchy problémy

Pri štúdiu metód riešenia diferenciálnych rovníc pomocou približných metód Hlavná úloha počíta Cauchy problém.

Zoberme si najobľúbenejšiu metódu riešenia Cauchyho problému - metódu Runge-Kutta. Táto metóda vám umožňuje zostaviť vzorce na výpočet približného riešenia takmer akéhokoľvek rádu presnosti.

Odvoďme vzorce Rungeovej-Kuttovej metódy presnosti druhého rádu. Aby sme to dosiahli, predstavujeme riešenie ako časť Taylorovho radu, pričom zahodíme výrazy s rádom vyšším ako druhý. Potom približná hodnota požadovanej funkcie v bode X 1 možno napísať ako:

(2)

Druhá derivácia r "( X 0 ) možno vyjadriť pomocou derivácie funkcie f ( X , r ) , avšak v metóde Runge-Kutta sa namiesto derivácie používa rozdiel

výberom hodnôt parametrov podľa toho

Potom (2) možno prepísať ako:

r 1 = r 0 + h [ β f ( X 0 , r 0 ) + α f ( X 0 + γh , r 0 + δh )], (3)

Kde α , β , γ A δ - niektoré parametre.

Ak vezmeme do úvahy pravú stranu (3) ako funkciu argumentu h , rozložme si to na stupne h :

r 1 = r 0 +( α + β ) h f ( X 0 , r 0 ) + ah 2 [ γ f x ( X 0 , r 0 ) + δ f y ( X 0 , r 0 )],

a vyberte parametre α , β , γ A δ takže toto rozšírenie je blízko k (2). Z toho vyplýva

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( X 0 , r 0 ).

Pomocou týchto rovníc vyjadrujeme β , γ A δ cez parametre α , dostaneme

r 1 = r 0 + h [(1 - α ) f ( X 0 , r 0 ) + α f ( X 0 +, r 0 + f ( X 0 , r 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Teraz, ak namiesto ( X 0 , r 0 ) v (4) nahradiť ( X 1 , r 1 ), dostaneme vzorec na výpočet r 2 – približná hodnota požadovanej funkcie v bode X 2 .

Vo všeobecnom prípade sa metóda Runge-Kutta aplikuje na ľubovoľné rozdelenie segmentu [ X 0 , X ] na nčasti, t.j. s premenlivou výškou tónu

x 0, x 1, ..., x n; h i = x i+1 – x i, x n = X. (5)

možnosti α sú zvolené rovné 1 alebo 0,5. Na záver si zapíšme výpočtové vzorce metódy Runge-Kutta druhého rádu s premenlivými krokmi pre α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

A α =0,5:

y i+1 = y i + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Najpoužívanejšie vzorce metódy Runge-Kutta sú vzorce štvrtého rádu presnosti:

y i+1 = y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k1 = f(xi, yi), k2 = f(xi + , y i + k 1), (7)

k3 = f(x i + , y i + k2), k4 = f(xi +h, yi +hk3).

Pre metódu Runge-Kutta je na odhad chyby použiteľné pravidlo Runge. Nechaj r ( X ; h ) – približná hodnota riešenia v bode X , získaná vzorcami (6.1), (6.2) alebo (7) s krokom h , A p – poradie presnosti zodpovedajúceho vzorca. Potom chyba R ( h ) hodnoty r ( X ; h ) možno odhadnúť pomocou približnej hodnoty r ( X ; 2 h ) riešenia v určitom bode X , získané v prírastkoch 2 h :

(8)

Kde p =2 pre vzorce (6.1) a (6.2) a p =4 pre (7).