Žiaľ, nie všetci študenti a školáci poznajú a milujú algebru, ale každý si musí pripravovať domáce úlohy, riešiť testy a robiť skúšky. Pre mnohých je obzvlášť ťažké nájsť úlohy na vykresľovanie funkčných grafov: ak niekde niečomu nerozumiete, nedokončite to, vynecháte to, chyby sú nevyhnutné. Ale kto chce mať zlé známky?
Chceli by ste sa pridať do kohorty tailerov a porazených? Máte na to 2 spôsoby: sadnúť si k učebniciam a doplniť medzery vo vedomostiach, alebo využiť virtuálnu asistentku – službu na automatické vykresľovanie grafov funkcií podľa zadaných podmienok. S rozhodnutím alebo bez neho. Dnes vám niekoľko z nich predstavíme.
Najlepšie na Desmos.com je vysoko prispôsobiteľné rozhranie, interaktivita, možnosť rozložiť výsledky do tabuliek a uložiť vašu prácu v databáze zdrojov zadarmo bez časového obmedzenia. A nevýhodou je, že služba nie je úplne preložená do ruštiny.
Grafikus.ru
Grafikus.ru je ďalšia pozoruhodná grafická kalkulačka v ruskom jazyku. Navyše ich stavia nielen v dvojrozmernom, ale aj trojrozmernom priestore.
Tu je neúplný zoznam úloh, s ktorými sa táto služba úspešne vyrovná:
- Kreslenie 2D grafov jednoduchých funkcií: priamky, paraboly, hyperboly, trigonometrické, logaritmické atď.
- Kreslenie 2D-grafov parametrických funkcií: kružnice, špirály, Lissajousove obrazce a iné.
- Kreslenie 2D grafov v polárnych súradniciach.
- Konštrukcia 3D plôch jednoduchých funkcií.
- Konštrukcia 3D plôch parametrických funkcií.
Hotový výsledok sa otvorí v samostatnom okne. Používateľ má možnosť stiahnuť, vytlačiť a skopírovať odkaz naň. V druhom prípade sa budete musieť prihlásiť do služby pomocou tlačidiel sociálnych sietí.
Súradnicová rovina Grafikus.ru podporuje zmenu hraníc osí, ich označení, medzier mriežky, ako aj šírky a výšky samotnej roviny a veľkosti písma.
Najväčšou silou Grafikus.ru je schopnosť vytvárať 3D grafy. V opačnom prípade to nefunguje horšie a nie lepšie ako analógové zdroje.
Onlinecharts.ru
Online asistent Onlinecharts.ru nevytvára grafy, ale grafy takmer všetkých existujúcich typov. Počítajúc do toho:
- Lineárne.
- Stĺpcový.
- Kruhový.
- s plochami.
- Radiálne.
- XY grafov.
- bublina.
- Bod.
- Polárne býky.
- Pyramídy.
- Tachometre.
- Stĺpcovo-lineárne.
Zdroj je veľmi ľahko použiteľný. Vzhľad grafu (farba pozadia, mriežka, čiary, ukazovatele, tvar rohov, písma, priehľadnosť, špeciálne efekty atď.) je úplne definovaný používateľom. Údaje pre stavbu je možné zadať buď ručne, alebo ich importovať z tabuľky v súbore CSV uloženom v počítači. Hotový výsledok je k dispozícii na stiahnutie do počítača ako obrázok, súbor PDF, CSV alebo SVG, ako aj na uloženie online na hosting fotografií ImageShack.Us alebo na váš osobný účet Onlinecharts.ru. Prvú možnosť môžu využiť všetci, druhú len registrovaní.
1. Lineárna zlomková funkcia a jej graf
Funkcia tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy, sa nazýva zlomková racionálna funkcia.
Pravdepodobne už poznáte pojem racionálne čísla. Podobne racionálne funkcie sú funkcie, ktoré možno znázorniť ako podiel dvoch polynómov.
Ak je zlomková racionálna funkcia podielom dvoch lineárnych funkcií - polynómov prvého stupňa, t.j. funkcia zobrazenia
y = (ax + b) / (cx + d), potom sa nazýva zlomková lineárna.
Všimnite si, že vo funkcii y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inak sa funkcia stane lineárnou y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (inak funkcia je konštanta). Funkcia lineárnych zlomkov je definovaná pre všetky reálne čísla okrem x = -d/c. Grafy lineárnych zlomkových funkcií sa tvarom nelíšia od grafu, ktorý poznáte y = 1/x. Krivka, ktorá je grafom funkcie y = 1/x, sa nazýva hyperbola. Pri neobmedzenom náraste x v absolútnej hodnote funkcia y = 1/x donekonečna klesá v absolútnej hodnote a obe vetvy grafu sa približujú k osi x: pravá zhora a ľavá zdola. Čiary, ku ktorým sa približujú vetvy hyperboly, sa nazývajú jej asymptoty.
Príklad 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
rozhodnutie.
Vyberieme celú časť čísla: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunutie o 3 jednotkové segmenty doprava, natiahnutie pozdĺž osi Oy 7-krát a posunutie o 2 segmenty jednotky nahor.
Akýkoľvek zlomok y = (ax + b) / (cx + d) je možné zapísať rovnakým spôsobom, pričom sa zvýrazní „celá časť“. V dôsledku toho sú grafy všetkých lineárnych zlomkových funkcií hyperboly posunuté pozdĺž súradnicových osí rôznymi spôsobmi a natiahnuté pozdĺž osi Oy.
Na vykreslenie grafu ľubovoľnej lineárnej zlomkovej funkcie nie je vôbec potrebné transformovať zlomok, ktorý túto funkciu definuje. Keďže vieme, že graf je hyperbola, bude stačiť nájsť priamky, ku ktorým sa jeho vetvy približujú - hyperbola asymptoty x = -d/c a y = a/c.
Príklad 2
Nájdite asymptoty grafu funkcie y = (3x + 5)/(2x + 2).
rozhodnutie.
Funkcia nie je definovaná, pre x = -1. Čiara x = -1 teda slúži ako vertikálna asymptota. Aby sme našli horizontálnu asymptotu, zistime, k čomu sa približujú hodnoty funkcie y(x), keď argument x rastie v absolútnej hodnote.
Aby sme to dosiahli, vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ako x → ∞ zlomok smeruje k 3/2. Horizontálna asymptota je teda priamka y = 3/2.
Príklad 3
Nakreslite funkciu y = (2x + 1)/(x + 1).
rozhodnutie.
Vyberieme „celú časť“ zlomku:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunom o 1 jednotku doľava, symetrickým zobrazením vzhľadom na Ox a posunom o 2 jednotkové intervaly nahor pozdĺž osi Oy.
Doména definície D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rozsah hodnôt E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Priesečníky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje na každom z intervalov definičného oboru.
Odpoveď: obrázok 1.
2. Zlomkovo-racionálna funkcia
Uvažujme zlomkovú racionálnu funkciu tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy vyššieho stupňa ako prvý.
Príklady takýchto racionálnych funkcií:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) alebo y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ak je funkcia y = P(x) / Q(x) podielom dvoch polynómov stupňa vyššieho ako prvý, potom bude jej graf spravidla komplikovanejší a niekedy môže byť ťažké ho presne zostaviť. , so všetkými podrobnosťami. Často však stačí aplikovať techniky podobné tým, s ktorými sme sa už stretli vyššie.
Nech je zlomok vlastný (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + ...+
+ (M1x + N1) / (x2 + ptx + qt) m1 + ... + (Mm1 x + Nm1) / (x2 + ptx + qt).
Je zrejmé, že graf zlomkovej racionálnej funkcie možno získať ako súčet grafov elementárnych zlomkov.
Vykresľovanie zlomkových racionálnych funkcií
Zvážte niekoľko spôsobov, ako vykresliť zlomkovo-racionálnu funkciu.
Príklad 4
Nakreslite funkciu y = 1/x 2 .
rozhodnutie.
Graf funkcie y \u003d x 2 použijeme na vykreslenie grafu y \u003d 1 / x 2 a použijeme metódu „rozdelenia“ grafov.
Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rozsah hodnôt E(y) = (0; +∞).
Neexistujú žiadne priesečníky s osami. Funkcia je rovnomerná. Zvyšuje sa pre všetky x z intervalu (-∞; 0), znižuje sa pre x od 0 do +∞.
Odpoveď: obrázok 2.
Príklad 5
Nakreslite funkciu y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
rozhodnutie.
Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Tu sme použili techniku faktoringu, redukcie a redukcie na lineárnu funkciu.
Odpoveď: obrázok 3.
Príklad 6
Nakreslite funkciu y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
rozhodnutie.
Definičný obor je D(y) = R. Keďže funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Pred vykreslením výraz opäť transformujeme zvýraznením celej časti:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Všimnite si, že výber celočíselnej časti vo vzorci zlomkovo-racionálnej funkcie je jedným z hlavných pri vykresľovaní grafov.
Ak x → ±∞, potom y → 1, t.j. priamka y = 1 je vodorovná asymptota.
Odpoveď: obrázok 4.
Príklad 7
Uvažujme funkciu y = x/(x 2 + 1) a pokúste sa nájsť presne jej najväčšiu hodnotu, t.j. najvyšší bod v pravej polovici grafu. Na presné zostavenie tohto grafu dnešné znalosti nestačia. Je zrejmé, že naša krivka nemôže „vyliezť“ veľmi vysoko, od r menovateľ rýchlo začne „predbiehať“ čitateľa. Pozrime sa, či sa hodnota funkcie môže rovnať 1. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne skutočné korene. Náš predpoklad je teda nesprávny. Ak chcete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie, musíte zistiť, pre ktoré najväčšie A bude mať rovnica A \u003d x / (x 2 + 1) riešenie. Pôvodnú rovnicu nahraďme kvadratickou rovnicou: Ax 2 - x + A \u003d 0. Táto rovnica má riešenie, keď 1 - 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najväčšiu hodnotu A \u003d 1/2. 
Odpoveď: Obrázok 5, maximálne y(x) = ½.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vytvárať grafy funkcií?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
"Prirodzený logaritmus" - 0,1. prirodzené logaritmy. 4. "Logaritmické šípky". 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n, kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).
"Kvadratická funkcia" - 1 Definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcie 3 Grafy funkcií 4 Kvadratické nerovnice 5 Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravila Andrey Gerlitz, študentka 8. ročníka. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pri a > 0 pri a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Kvadratická funkcia a jej graf" - Rozhodnutie. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobudne tvar.
"Kvadratická funkcia triedy 8" - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie kvadratickej funkcie. X. -7. Nakreslite funkciu. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 škola Bovina TV -1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.
Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:
Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:
Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:
Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:
Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.
Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva doména platných hodnôt alebo ODZ, ktorú ste už dlho vedeli nájsť.
Funkčný rozsah sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).
Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.
Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré je hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.
Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický okolo osi y operačného zosilňovača.
Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.
Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x OX) sa vždy rovná nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.
Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.
Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:
Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre prípad k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratickej funkcie (Parabola)
Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:
Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X jeden ; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpajú všetky možné typy parabol):
kde:
- ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
- ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):
Y topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcového trinomu:
Grafy iných funkcií
výkonová funkcia
Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:
Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:
V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf môže mať dve základné možnosti:
Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína ich.
exponenciálna funkcia so základňou a zavolajte funkciu danú vzorcom:
a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):
logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:
Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:
Graf funkcií r = |X| nasledovne:
Grafy periodických (trigonometrických) funkcií
Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:
kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:
Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:
Graf funkcií r= čos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:
Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej poštou. O chybe môžete napísať aj na sociálnej sieti (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte aj údajnú chybu. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
