Krátky úryvok zo začiatku knihy(strojové rozpoznávanie)
M.L.KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNKCIE
INTEGROVANÝ
PREMENNÝ
PREVÁDZKA
kalkul
TEÓRIA
UDRŽATEĽNOSŤ
VYBRANÉ KAPITOLY
VYŠŠIA MATEMATIKA
PRE INŽINIEROV
A ŠTUDENTOV
ÚLOHY A CVIČENIA
M. L. KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNKCIE
INTEGROVANÝ
PREMENNÝ
PREVÁDZKA
kalkul
TEÓRIA
UDRŽATEĽNOSŤ
DRUHÉ VYDANIE, UPRAVENÉ A DOPLNENÉ
Schválené ministerstvom vyšších a stredných škôl
špeciálne školstvo ZSSR
ako učebná pomôcka
pre študentov vysokých technických škôl
MOSKVA "NAUKA"
HLAVNÉ VYDANIE
FYZIKÁLNE A MATEMATICKÉ L
1981
22.161.5
K 78
MDT 517,531
Kras n o v M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
Funkcie komplexnej premennej. operačný počet. Theo-
Teória udržateľnosti: Učebnica, 2. vydanie, prepracovaná. a dodatočné -M.:
Veda. Hlavné vydanie fyzikálnej a matematickej literatúry, 1981.
Rovnako ako ostatné knihy vydané v sérii „Vybrané kapitoly z vysokých
vyššej matematiky pre inžinierov a študentov technických univerzít“, túto knihu
určené najmä pre študentov technických vysokých škôl, ale
môže byť tiež užitočný pre inžiniera, ktorý chce obnoviť
v pamäti časti matematiky uvedené v názve knihy.
V tomto vydaní v porovnaní s predchádzajúcim vydaným v r
1971 boli rozšírené odseky týkajúce sa harmonických funkcií
funkcie, zvyšky a ich aplikácie na výpočet niektorých integrálov
integrály, konformné zobrazenia. Pribudli aj cvičenia.
teoretický charakter.
Na začiatku každej časti potrebné teoretické
teoretické informácie (definície, vety, vzorce), ako aj pod-
typické úlohy a príklady sú podrobne analyzované.
Kniha obsahuje viac ako 1000 príkladov a úloh pre seba
nezávislé rozhodnutie. Takmer všetky úlohy sú vybavené odpoveďami a v počte
prípadoch sú uvedené pokyny na riešenie.
Ryža. 71. Biblia. 19 titulov
„20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 fyzikálnych a matematických
053 @2)-81 Literatúra, 1981
OBSAH
Predslov 5
Kapitola I. Funkcie komplexnej premennej 7
§ K Komplexné čísla a úkony na nich 7
§ 2. Funkcie komplexnej premennej. ... # ...", osemnásť
§ 3. Limita postupnosti komplexných čísel. Limit
a spojitosť funkcie komplexnej premennej. . 25
§ 4. Diferenciácia funkcií komplexnej premennej
premenlivý. Cauchy-Riemannove podmienky # . t . , 32
§ 5. Integrácia funkcií komplexnej premennej. .42
§ 6. Cauchyho integrálny vzorec 50
§ 7. Séria v komplexnej oblasti, 56
§ 8. Nuly funkcie. Izolované singulárne body 72
| 9. Zvyšky funkcií 79
§ 10. Cauchyho reziduálna veta. Uplatňovanie zrážok na vás -
výpočet určitých integrálov. Zhrnutie ne
niektoré série pomocou zvyškov 85
§ 11. Logaritmický zvyšok. argumentačný princíp. Veta
Rush # . , # . 106
§ 12. Konformné zobrazenia 115
§ 13. Komplexný potenciál. Jeho hydrodynamický
čo znamená 142
Kapitola II. Operačný počet 147
§ 14. Hľadanie obrazov a originálov 147
§ 15. Riešenie Cauchyho úlohy pre obyčajnú lineárnu
diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi
kurz 173
§ 16. Duhamelov integrál 185
§ 17. Riešenie sústav lineárnych diferenciálnych rovníc
rovnice operačnou metódou 188
§ 18. Riešenie Volterrových integrálnych rovníc s jadrami
špeciálny typ 192
§ 19. Oneskorené diferenciálne rovnice
argument. . . . a#198
§ 20. Riešenie niektorých úloh matematickej fyziky. . , 201
§ 21. Diskrétna Laplaceova transformácia 204
Kapitola III. Teória stability. , . 218
§ 22. Pojem stability riešenia systému diferenciálu
diferenciálne rovnice. Najjednoduchšie typy odpočívadiel 218
4 OBSAH
§ 23. Ljapunov druhý spôsob 225
§ 24. Výskum stability v prvej aproximácii
priblížiť sa 229
§ 25. Asymptotická stabilita vo veľ. Udržateľnosť
podľa Lagrangea 234
§ 26. Routhovo-Hurwitzovo kritérium. 237
§ 27. Kritérium geometrickej stability (Mi-
Michajlov), . . , 240
§ 28. D-priečky 243
§ 29. Stabilita riešení diferenčných rovníc 250
Odpovede 259
Dodatok 300
Literatúra 303
PREDSLOV
V tomto vydaní bol revidovaný celý text
a urobili nejaké doplnky. Zväčšená časť venovaná
venovaný teórii rezíduí a jej aplikáciám (najmä
zaviedol pojem rezíduum s ohľadom na nekonečne vzdialené
vzdialený bod, aplikácia rezíduí na súčet niekt
niektoré riadky). Počet úloh na použitie operačných
operačného počtu k štúdiu nejakého špeciálneho
špeciálne funkcie (gama funkcie, Besselove funkcie atď.),
ako aj počet úloh pre obraz daných funkcií
graficky. Odsek venovaný
venované konformným mapovaniam. Zvýšené množstvo
príklady diskutované v texte. Opravené zaznamenané
nepresnosti a preklepy; niektoré úlohy, ktoré majú
ťažkopádne riešenia nahrádzajú jednoduchšie.
Pri príprave druhého vydania knihy podstatné
pomoc s ich radami a pripomienkami nám poskytol
Vedúci katedry matematiky Moskovského inštitútu
ocele a zliatin Profesor V. A. Trenogiy a docent tohto
oddelenie M. I. Orlov. Považujeme to za príjemnú povinnosť
vyjadrite im našu hlbokú vďaku.
Zohľadnili sme pripomienky a želania Katedry aplikovanej
matematici Kyjevského stavebného inštitútu
(prednosta katedry docent A. E. Zhuravel), ako aj
komentáre súdruhov B. Tkačeva (Krasnodar) a
B. L. Tsavo (Sukhumi). Všetkým z nich vyjadrujeme naše
vďačnosť.
0 PREDSLOV
Sme vďační profesorom M.I. Vishikovi,
F. I. Karpelevič, A. F. Leontiev a S. I. Pokhozhaev
za vašu neustálu pozornosť a podporu našej práce.
Všetky pripomienky a návrhy na zlepšenie knihy problémov
budú prijaté s vďakou.
Autori
KAPITOLA I
FUNKCIE INTEGROVANÉHO
PREMENNÝ
§ 1. Komplexné čísla a úkony na nich
Komplexné číslo r je vyjadrením tvaru
(algebraický tvar komplexného čísla), kde x a y sú ľubovoľné akcie
reálne čísla, a i je imaginárna jednotka, ktorá spĺňa podmienku
12 \u003d -1, Čísla x a y sa nazývajú reálne a
imaginárne časti komplexného čísla
čísla r a sú označené
Komplexné číslo z=zx - iy
nazývaný konjugovaný komplex
komplexné číslo r=n: + n/.
Komplexné čísla ch =Xj + iy%
a r2*= #2 + 4/2 sa považujú za rovnaké
vtedy a len vtedy, ak xr = x21
Komplexné číslo 2 =
znázornené v rovine XOY
bod M so súradnicami (dz, y)
alebo vektor, ktorého začiatok Obr* *
je v bode O @, 0) a na konci
v bode M (x, y) (obr. 1). Dĺžka p vektora OM sa nazýva modul
komplexné číslo a označuje sa |r|, takže p = | r\=Vx"2+y2>
Uhol φ, ktorý zviera vektor OM s osou OX, sa nazýva argument
argument komplexného čísla r a označuje sa
nie jednoznačne, ale až po člen, ktorý je násobkom 2n:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
kde arg2 je hlavná hodnota Arg2 určená podmienkami
a
A)
arctg - ak x *> 0,
jt -f *rctg - ak x - i Jr arctg ■ ak x i / 2, ak x - 0, y > 0,
- i/2, ak x r» 0, y 8 FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNE [CH. ja
Vyskytujú sa tieto vzťahy:
ig (Arg z) - ^~, sin (Arg z)
cos(Arg g) a
Dve komplexné čísla r a r2 sú rovnaké vtedy a len vtedy
keď sú ich moduly rovnaké a ich argumenty sú rovnaké alebo rôzne
líšia sa násobkom 2n:
(L«0, ±lt ±2t .«.)
Nech dve komplexné čísla zlwcl + ylt 22+y2
I. Súčet zt + z2 komplexných čísel r a r% je komplex
komplexné číslo
2. Rozdiel z^-z% komplexných čísel zx a z2 sa nazýva com-
komplexné číslo
3. Súčin ztz2 komplexných čísel z1 a z2 sa nazýva com-
komplexné číslo
Z definície súčinu komplexných čísel najmä
z toho vyplýva
2
4. Súkromné ~ z delenia komplexného čísla 2i komplexom
komplexný
Komplexné číslo rm > 0 je komplexné číslo r také, že
spĺňa rovnicu
V tomto prípade bol použitý vzorec r^1
Vzorec B) možno napísať ako
V
Reálna časť Re r a imaginárna časť komplexu
čísla z sú vyjadrené ako konjugované komplexné čísla takto:
nasledujúcim spôsobom:
Príklad 1. Ukážte, že zx -\~z2 == -i + 2,2.
Dôkaz. Podľa definície máme
ij komplexné čísla a operácie s nimi
1. Dokážte nasledujúce vzťahy:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
Príklad 2. Nájdite reálne riešenia rovnice
rozhodnutie. Vyberme skutočnú hodnotu na ľavej strane rovnice
a imaginárna časť: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Preto podľa
definíciu rovnosti dvoch komplexných čísel získame
Pri riešení tohto systému nájdeme
Nájdite skutočné riešenia rovníc:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, kde i, b sú dané akcie
reálne čísla, \a\f\b\.
5. Predstavte komplexné číslo (aribp + (a _ .^t
v algebraickej forme.
6. Dokážte, že -- - ~*~iX = i (x je skutočné).
x-iY 1 -\-x~
7. Vyjadrite x a y ako „u, ak + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v sú reálne čísla).
8. Nájdite vyhovujúce všetky komplexné čísla
podmienka 2 = z2.
Príklad 3: Nájdite modul a argument komplexného čísla
g * \u003d - hriech - -icos-g-.
rozhodnutie. Máme
= -sin-l o o
Hlavnou hodnotou argumentu podľa A) bude
argz--i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg i tg d \u003d - i + - i \u003d - l.
\ OOO
10 FUNKCIÍ KOMPLEXNEJ PREMENNEJ [CH. ja
teda
Argz "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. V nasledujúcich úlohách nájdite modul a hlavnú hodnotu
hodnota argumentu komplexných čísel:
a) r-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) r = - 7 - i\ d) r = - cos | + hreším ?-;
e) d = 4 až 3/; e) g \u003d cos a - t sin a
Akékoľvek komplexné číslo z - x + iy (r^FO) možno zapísať tromi
trigonometrická forma
Príklad 4. Napíšte v goniometrickom tvare komplex
číslo
rozhodnutie. Máme
teda
Príklad 5. Nájdite skutočné korene rovnice
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
rozhodnutie. Táto rovnica nemá korene. Naozaj,
táto rovnica je ekvivalentná nasledujúcemu: cos*= 1/2, sin* = 3/4. podľa-
Posledné rovnice sú nekonzistentné, pretože cos2 x + sin2 x» 13/16, čo
nemožné pre akúkoľvek hodnotu x.
Akékoľvek komplexné číslo g Ф 0 možno zapísať exponenciálne
formulár
*Ф kde р = |г|, cp=*Argz.
Príklad 6. Nájdite všetky komplexné čísla z^O vyhovujúce
splnenie podmienky 2n"" 1,
rozhodnutie. Nech r =* re*F. Potom z "= re~(h>.
Podľa stavu
alebo
KOMPLEXNÉ ČÍSLA A AKCIE NA NICH II
2 libier
kde pl-2 = 1, t. j. p = 1 a tf = 2&i, t. j. 2, ..., 1-1). teda
.2nk
n
(jfe "0, ja, 2, ..., f-!).
10. Nasledujúce komplexné čísla predstavujú r tri-
trigonometrický tvar:
a) -2; b) 21; v) -
d) 1-sina + icosa
D> l + cosa-i keďže \ a e) -2; g) i; h) -f; i) -1 -/
j) sin a - tcosa E Nech sú komplexné čísla rx a r2 dané v trigonometrii
tvar r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
Ich produkt sa nachádza podľa vzorca
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
t.j. keď sa násobia komplexné čísla, násobia sa ich moduly,
a argumenty sa sčítajú:
Arg (Z&) na Arg 2j + Arg r2.
Podiel dvoch komplexných čísel rx u2 ^ 0 nájdeme okrem vzorca
vzorec
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sin (f1 "~ f2I"
r3 ra
t.j.
Zvyšovanie komplexného čísla
r \u003d p (cos f + i sin f)
prirodzený výkon n je produkovaný vzorcom
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
t.j.
Odtiaľ pochádza De Moivreov vzorec.
(cos f + i sin f)l \u003d\u003d cos Lf + i sin /gf.
12 FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNE [CH. jeden
Vlastnosti modulu komplexného čísla
1. |*|H*|; 2- "-|z|";
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \r*\^\r\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Príklad 7. Vypočítajte (-■ 1 +1 Kz) §v.
rozhodnutie. Predstavme si číslo r \u003d -1 -f - * Yb v trigonometrii
trigonometrická forma
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | sin ~~ "V
Funkcie komplexnej premennej. Problémy a príklady s podrobným riešením. Krasnov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.
3. vydanie, rev. - M.: 2003. - 208 s.
V tomto návode autori navrhujú úlohy z hlavných častí teórie funkcií komplexnej premennej. Na začiatku každej časti sú uvedené potrebné teoretické informácie (definície, vety, vzorce) a podrobne je rozobratých asi 150 typických problémov a príkladov.
Kniha obsahuje vyše 500 úloh a príkladov na samostatné riešenie. Takmer všetky úlohy sú vybavené odpoveďami a v niektorých prípadoch aj návodom na riešenie.
Kniha je určená najmä študentom technických univerzít s matematickou prípravou, ale môže byť užitočná aj pre inžiniera, ktorý si chce pripomenúť úseky matematiky súvisiace s teóriou funkcií komplexnej premennej.
formát: pdf
Veľkosť: 15,2 MB
Stiahnuť ▼: drive.google
OBSAH
Kapitola 1 Komplexné funkcie premenných 3
§ 1. Komplexné čísla a akcie na nich 3
§ 2. Funkcie komplexnej premennej 14
§ 3. Limita postupnosti komplexných čísel. Limita a spojitosť funkcie komplexnej premennej 22
§ 4, Diferenciácia funkcií komplexnej premennej. Cauchy-Riemannove podmienky 29
Kapitola 2. Integrácia. Riadky. Nekonečné diela. 40
§ 5. Integrácia funkcií komplexnej premennej .... 40
§ 6. Cauchyho integrálny vzorec 48
§ 7. Séria v komplexnej oblasti 53
§ 8. Nekonečné produkty a ich aplikácia na analytické funkcie 70
1°. Nekonečné práce 70
2°. Rozklad niektorých funkcií na nekonečné súčiny 75
Kapitola 3. Zvyšky funkcií. . 78
§ 9. Nuly funkcie. Izolované singulárne body 78
1°. Funkcia nuly 78
2°. Izolované singulárne body 80
§ 10. Zvyšky funkcií 85
§ 11. Cauchyho reziduálna veta. Aplikácia zvyškov na výpočet určitých integrálov. Sumácia niektorých radov pomocou zvyškov .... 92
1°. Cauchyova veta o zvyšku 92
2°. Aplikácia zvyškov na výpočet určitých integrálov 98
3°. Sumarizácia niektorých radov pomocou zvyškov. . 109
§ 12. Logaritmický zvyšok. argumentačný princíp. Roucheova veta 113
Kapitola 4, Konformné mapovania. 123
§ 13. Konformné zobrazenia 123
1°. Koncept konformného mapovania 123
1 2°. Všeobecné teorémy teórie konformných zobrazení...125
3°. Konformné zobrazenia implementované lineárnou funkciou w - az + b, funkciou w - \ a lineárnou zlomkovou funkciou w = ffjj . . 127
4°. Konformné mapovania realizované základnými elementárnymi funkciami 138
§štrnásť. Polygónová transformácia. Christoffel-Schwarz integrál. 150
Dodatok 1 . . . . 159
§pätnásť. Komplexný potenciál. Jeho hydrodynamický význam. . 159
Príloha 2 164
Odpovede........... 186
| 1 | Operačný počet | ||
| § jeden. | Hľadanie obrázkov a originálov | ||
| § 2. | Riešenie Cauchyho úlohy pre obyčajné lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi | ||
| § 3. | Duhamelov integrál | ||
| § 4. | Riešenie sústav lineárnych diferenciálnych rovníc operačnou metódou | ||
| § 5. | Riešenie Volterrových integrálnych rovníc s jadrami špeciálneho tvaru | ||
| §6. | Oneskorenie diferenciálnych rovníc | ||
| § 7. | Riešenie niektorých úloh matematickej fyziky | ||
| § osem. | Diskrétna Laplaceova transformácia | ||
| § deväť. | Fourierova transformácia | ||
| 1. Riešenie Cauchyho úlohy pre rovnicu tepla | |||
| 2. Cauchyho problém pre jednorozmernú vlnovú rovnicu | |||
| § desať. | Kosínusová a sínusová Fourierova transformácia | ||
| § jedenásty. | Zovšeobecnené funkcie. Fourierova transformácia zovšeobecnených funkcií | ||
| 2 | Teória udržateľnosti | ||
| § 12. | Pojem stability riešenia sústavy diferenciálnych rovníc. Najjednoduchšie typy odpočívadiel | ||
| § trinásty. | Ljapunovova druhá metóda | ||
| § štrnásty. | Prvá aproximačná štúdia stability | ||
| § pätnásť. | Asymptotická stabilita vo všeobecnosti. Lagrangeova stabilita | ||
| § šestnásť. | Routh--Hurwitzovo kritérium | ||
| § 17. | Kritérium geometrickej stability (Michajlovovo kritérium) | ||
| § osemnásť. | D- priečky | ||
| Koncept D- rozdeľovanie | |||
| § devätnásty. | |||
| 1o. | Riešenie homogénnych lineárnych diferenčných rovníc s konštantnými koeficientmi | ||
| 2o. | Riešenie nehomogénnych lineárnych diferenčných rovníc s konštantnými koeficientmi | ||
| 3o. | Stabilita riešení diferenčných rovníc | ||
| Odpovede | |||
| Dodatok | |||
Oblasť záujmu: diferenciálne rovnice. Kiselev Alexander Ivanovič
Oblasť záujmu: teória funkcií. Makarenko Grigorij Ivanovič
Oblasť záujmu: diferenciálne rovnice. Šikin Jevgenij Viktorovič
Výskumné záujmy: geometrické metódy na štúdium diferenciálnych rovníc, výpočtová geometria, počítačová grafika.
Prečítal kurzy prednášok „Lineárna algebra a analytická geometria“, „Teória funkcií komplexnej premennej“, „Problém izometrickej imerzie a Monge-ampérových rovníc“, „Geometrické splajny“, „Geometrické metódy v problémoch vyhľadávania“, „ Počítačová grafika".
Krasnov Michail Leontievič
Kiseljov Alexander Ivanovič
Oblasti záujmu: Teória funkcií.
Makarenko Grigorij Ivanovič
Oblasti záujmu: Diferenciálne rovnice.
Šikin Jevgenij Viktorovič
Oblasti záujmu: Diferenciálna geometria.
Funkcie komplexnej premennej. Komplexné čísla a akcie Sekcia: Problémy a riešenia pre TViMS. Študijná príručka pre. Sekcia M teórie komplexných-premenných funkcií. vektora OM sa nazýva modul komplexného čísla a označuje sa . premenné w a y. Knižnica > Knihy o matematike > Funkcie komplexnej premennej M.: IL, 1963 (djvu); Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Funkcie. Názov: Funkcie komplexnej premennej: Úlohy a príklady s podrobným riešením.
Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funkcie komplexnej premennej. Limita a spojitosť funkcie komplexnej premennej. Odpovede. Pre stiahnutie tohto súboru sa zaregistrujte a / alebo. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Funkcie komplexnej premennej. operačný počet. Teória stability.
Funkcie komplexnej premennej. Diferenciácia funkcií komplexnej premennej. Cauchy-Riemannove podmienky. Tento článok otvára sériu lekcií, v ktorých zvážim typické problémy súvisiace s teóriou funkcií komplexnej premennej. Na úspešné zvládnutie príkladov musíte mať základné znalosti o komplexných číslach. Na upevnenie a zopakovanie učiva stačí navštíviť stránku Komplexné čísla pre figuríny.
Riešenie funkcie komplexnej premennej Krasnov Kiselev Makarenko
Budete tiež potrebovať zručnosti pri hľadaní parciálnych derivátov druhého rádu. Tu sú, tieto parciálne deriváty ... aj teraz som bol trochu prekvapený, ako často sa vyskytujú .... Téma, ktorú začíname analyzovať, nie je obzvlášť náročná a vo funkciách komplexnej premennej je v zásade všetko jasné a dostupné. Hlavné je dodržať základné pravidlo, ktoré som empiricky odvodil. Pokračuj v čítaní.
Riešenie funkcie komplexnej premennej Krasnov Kiselev Makarenko 1981
Pojem funkcie komplexnej premennej. Najprv si obnovme vedomosti o školskej funkcii jednej premennej: Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie. Prirodzene, „x“ a „y“ sú reálne čísla. V zložitom prípade je funkčná závislosť daná rovnakým spôsobom: Jednoznačná funkcia komplexnej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej komplexnej hodnote nezávislej premennej (z definičného oboru) zodpovedá jedna a len jedna komplexná hodnota funkcie.
Teoreticky sa uvažuje aj o viachodnotových a niektorých ďalších typoch funkcií, no pre jednoduchosť sa zameriam na jednu definíciu. Aká je funkcia komplexnej premennej.
Hlavným rozdielom je, že čísla sú zložité. Nie som ironický. Z takýchto otázok často upadnú do stuporov, na konci článku poviem skvelý príbeh. V lekcii Komplexné čísla pre figuríny sme zvažovali komplexné číslo vo formulári. Pretože teraz sa písmeno "Z" stalo premennou. potom ho budeme označovať takto: , pričom „x“ a „y“ môžu nadobúdať rôzne reálne hodnoty.
Zhruba povedané, funkcia komplexnej premennej závisí od premenných a, ktoré nadobúdajú „zvyčajné“ hodnoty. Z tejto skutočnosti logicky vyplýva nasledujúci bod: Reálna a imaginárna časť funkcie komplexnej premennej. Funkciu komplexnej premennej možno zapísať ako:
Kde a sú dve funkcie dvoch reálnych premenných. Funkcia sa nazýva reálna časť funkcie. Funkcia sa nazýva imaginárna časť funkcie. To znamená, že funkcia komplexnej premennej závisí od dvoch reálnych funkcií a.
Aby sme si všetko konečne objasnili, pozrime sa na praktické príklady: Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Riešenie: Nezávislá premenná „z“, ako si pamätáte, sa zapisuje v tvare, teda:. (1) Nahradená pôvodnou funkciou. (2) Pre prvý člen bol použitý skrátený násobiaci vzorec.
V termíne sa otvorili zátvorky. (3) Opatrne zarovnané, nezabúdajme na to. (4) Preusporiadanie pojmov: najprv prepíšeme pojmy, kde neexistuje imaginárna jednotka (prvá skupina), potom prepíšeme pojmy, kde existuje (druhá skupina). Treba poznamenať, že nie je potrebné prehadzovať pojmy a tento krok je možné preskočiť (v skutočnosti ho vykonáte ústne). (5) Druhá skupina je vyňatá zo zátvoriek.
V dôsledku toho bola naša funkcia prezentovaná vo forme. je skutočnou súčasťou funkcie. je imaginárna časť funkcie.
Aké sú tieto funkcie? Najbežnejšie funkcie dvoch premenných, z ktorých možno nájsť také populárne parciálne derivácie. Bez milosti - nájdeme. Ale o niečo neskôr.
Algoritmus riešeného problému možno v stručnosti napísať takto: dosadíme do pôvodnej funkcie, vykonáme zjednodušenia a všetky pojmy rozdelíme do dvoch skupín - bez imaginárnej jednotky (reálna časť) a s imaginárnou jednotkou (imaginárna časť). Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Toto je príklad „urob si sám“.
Predtým, ako sa vrhnete do boja v zložitom lietadle s nahou dámou, dovoľte mi dať vám najdôležitejšiu radu na túto tému: BUĎ OPATRNÝ! Treba si dávať pozor, samozrejme, všade, ale v komplexných číslach by ste si mali dávať pozor viac ako kedykoľvek predtým! Pamätajte, že opatrne roztiahnite zátvorky, nič nestrácajte. Podľa mojich pozorovaní je najčastejšou chybou strata znamienka. Neponáhľaj sa.
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Aby sme si uľahčili život, venujme pozornosť niekoľkým užitočným vzorcom. V príklade 1 sa zistilo, že. Teraz kocka. Pomocou skráteného vzorca násobenia odvodíme:
Cauchy-Riemannove podmienky. Mám dve správy: dobrú a zlú. Začnem dobrým. Pre funkciu komplexnej premennej platia pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií.
Derivácia sa teda berie úplne rovnako ako v prípade funkcie reálnej premennej. Zlou správou je, že pre mnohé funkcie komplexnej premennej neexistuje žiadna derivácia a je potrebné zistiť, či je konkrétna funkcia diferencovateľná.
A „zistenie“, ako sa vaše srdce cíti, je spojené s ďalšími problémami. Zvážte funkciu komplexnej premennej. Aby bola táto funkcia diferencovateľná, je potrebné a postačujúce, aby: 1) Že existujú parciálne derivácie prvého rádu.
Na tieto zápisy hneď zabudnite, keďže v teórii funkcie komplexnej premennej sa tradične používa iná verzia zápisu:. 2) Splniť takzvané Cauchy-Riemannove podmienky:. Len v tomto prípade bude derivát existovať. Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann.
Ak sú splnené Cauchyho-Riemannove podmienky, nájdite deriváciu funkcie. Riešenie je rozdelené do troch po sebe nasledujúcich krokov: 1) Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Táto úloha bola analyzovaná v predchádzajúcich príkladoch, takže ju zapíšem bez komentára:
Takto:. je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie. Zastavím sa ešte pri jednom technickom bode: v akom poradí by mali byť pojmy napísané v skutočnej a vymyslenej časti? Áno, v podstate je to jedno. Napríklad skutočná časť môže byť napísaná takto: a imaginárna časť takto:. 3) Skontrolujme plnenie Cauchy-Riemannových podmienok. Sú dve.
Začnime kontrolou stavu. Nájdeme parciálne derivácie:. Podmienka je teda splnená. Dobrou správou nepochybne je, že parciálne deriváty sú takmer vždy veľmi jednoduché. Kontrolujeme splnenie druhej podmienky: Ukázalo sa to isté, ale s opačnými znamienkami, to znamená, že podmienka je tiež splnená.
Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná. 3) Nájdite deriváciu funkcie. Derivát je tiež veľmi jednoduchý a nachádza sa podľa obvyklých pravidiel: Imaginárna jednotka v diferenciácii sa považuje za konštantu. Odpoveď: - reálna časť, - imaginárna časť. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Existujú ešte dva spôsoby, ako nájsť deriváciu, používajú sa, samozrejme, menej často, ale informácie budú užitočné pre pochopenie druhej lekcie - Ako nájsť funkciu komplexnej premennej.
Derivát možno nájsť pomocou vzorca: V tomto prípade:. Je potrebné vyriešiť inverznú úlohu - vo výslednom výraze je potrebné izolovať.
Aby to bolo možné urobiť, je potrebné v podmienkach a vyňať zo zátvoriek:. Opačná akcia, ako si mnohí všimli, je o niečo zložitejšia, na overenie je vždy lepšie vziať výraz a na návrh alebo verbálne otvoriť zátvorky späť, aby ste sa uistili, že to dopadne presne. Zrkadlový vzorec na nájdenie derivácie:. V tomto prípade: , takže:. Určite reálnu a imaginárnu časť funkcie.
Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Ak sú splnené Cauchyho-Riemannove podmienky, nájdite deriváciu funkcie. Krátke riešenie a približná ukážka dokončovania na konci hodiny. Sú Cauchy-Riemannove podmienky vždy splnené? Teoreticky sa častejšie nenapĺňajú, ako sú. Ale v praktických príkladoch si nepamätám prípad, že by neboli vykonané =) Ak teda vaše parciálne deriváty „nekonvergovali“, potom s veľmi vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že ste niekde urobili chybu. Poďme si skomplikovať naše funkcie: Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie.
Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte. Riešenie: Algoritmus riešenia je úplne zachovaný, ale na konci je pridaný nový módny trend: nájdenie derivácie v bode. Pre kocku už bol odvodený požadovaný vzorec: Definujme skutočnú a imaginárnu časť tejto funkcie: Pozor a ešte raz pozornosť. Takto:.
je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Kontrola druhej podmienky:. Ukázalo sa to isté, ale s opačnými znamienkami, to znamená, že podmienka je tiež splnená. Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná:.
Vypočítajte hodnotu derivácie v požadovanom bode:. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Funkcie s kockami sú bežné, takže príklad na opravu:. Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie.
Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte.
Rozhodnutie a vzorová úprava na konci hodiny. V teórii komplexnej analýzy sú definované aj ďalšie funkcie komplexného argumentu: exponenciálna, sínusová, kosínusová atď. Tieto funkcie majú nezvyčajné až bizarné vlastnosti – a to je naozaj zaujímavé! Naozaj vám to chcem povedať, ale tu sa to stalo, nie referenčná kniha alebo učebnica, ale riešenie, takže zvážim rovnakú úlohu s niektorými bežnými funkciami. Najprv o takzvaných Eulerových vzorcoch:
Eulerove vzorce. Pre akékoľvek reálne číslo platia nasledujúce vzorce: Môžete si ho tiež skopírovať do poznámkového bloku ako referenciu.
Presne povedané, existuje iba jeden vzorec, ale zvyčajne pre pohodlie píšu aj špeciálny prípad s mínusom v ukazovateli. Parameter nemusí byť jedno písmeno, môže to byť zložitý výraz, funkcia, dôležité je len to, aby naberali len reálne hodnoty. V skutočnosti to uvidíme hneď teraz: Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Nájdite derivát.
Riešenie: Všeobecná línia strany zostáva neotrasiteľná – je potrebné oddeliť skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Nižšie uvediem podrobné riešenie a komentujem každý krok: Odvtedy: (1) Nahradiť „z“. (2) Po dosadení je potrebné v exponente najskôr oddeliť reálnu a imaginárnu časť. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky. (3) Zoskupíme imaginárnu časť ukazovateľa, pričom imaginárnu jednotku dáme zo zátvoriek.
(4) Využite školské akcie so schopnosťami. (5) Pre násobiteľ používame Eulerov vzorec, zatiaľ čo. (6) Rozbaľte zátvorky, ako výsledok:. je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie. Ďalšie úkony sú štandardné, preverme si splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Čiastkové deriváty opäť nie sú veľmi zložité, no pre každého hasiča ich namaľoval čo najpodrobnejšie.
Pozrime sa na druhú podmienku: Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, nájdeme deriváciu:. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Pre druhý Eulerov vzorec je úloha pre nezávislé riešenie: Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie Cauchy-Riemannových podmienok, nájdite derivát.
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. ! Pozor! Znamienko mínus v Eulerovom vzorci sa vzťahuje na imaginárnu časť, tzn. Nemôžete stratiť mínus. Priamo z Eulerových vzorcov možno odvodiť vzorec na rozšírenie sínusu a kosínusu na reálne a imaginárne časti. Samotný záver je dosť nudný, tu je mimochodom v mojej učebnici pred očami (Bohan, Matematická analýza, zväzok 2). Preto okamžite dám hotový výsledok, ktorý je opäť užitočné prepísať do mojej referenčnej knihy:
Parametre „alfa“ a „beta“ nadobúdajú iba reálne hodnoty, vrátane môže ísť o komplexné výrazy, funkcie reálnej premennej. Okrem toho boli vo vzorci nakreslené hyperbolické funkcie, ktoré sa pri derivácii menia jedna na druhú, nie náhodou som ich zaradil do tabuľky derivácií. Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Nech je to tak, derivát nenájdeme.
Riešenie: Algoritmus riešenia je veľmi podobný predchádzajúcim dvom príkladom, ale sú tu veľmi dôležité body, preto sa k úvodnej fáze vyjadrím krok za krokom: Odvtedy: 1) Nahrádzame namiesto „z“. (2) Najprv vyberte skutočnú a imaginárnu časť vnútri sínusu. Na tento účel otvorte zátvorky. (3) V tomto prípade použijeme vzorec.
(4) Používame paritu hyperbolického kosínusu. a zvláštnosť hyperbolického sínusu.
Hyperbolika, aj keď nie z tohto sveta, ale v mnohom pripomína podobné goniometrické funkcie. je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie.
Pozor! Znamienko mínus odkazuje na imaginárnu časť a v žiadnom prípade by sme ju nemali stratiť! Pre vizuálnu ilustráciu možno vyššie získaný výsledok prepísať takto: Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.
S kosínom, dámy a páni, riešime to sami: Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Schválne som vychytal zložitejšie príklady, pretože niečo ako lúpané arašidy zvládne každý. Zároveň si trénujte pozornosť! Luskáčik na konci hodiny.
No a na záver zvážim ďalší zaujímavý príklad, keď je komplexný argument v menovateli. Párkrát sme sa stretli v praxi, poďme analyzovať niečo jednoduché. Ach, starnem... Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie.
Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Riešenie: Opäť je potrebné oddeliť reálnu a imaginárnu časť funkcie. Vynára sa otázka, čo robiť, keď je v menovateli „Z“. Všetko je jednoduché - pomôže štandardná metóda vynásobenia čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom. už to bolo použité v príkladoch lekcie Komplexné čísla pre figuríny. Spomeňme si na školský vzorec. Už máme v menovateli, takže to bude konjugovaný výraz.
Čitateľ a menovateľ teda musíte vynásobiť:. To je všetko a báli ste sa: je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie. Opakujem po tretíkrát - nestratiť mínus imaginárnej časti. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok.
Musím povedať, že parciálne derivácie tu nie sú také oh-hoo, ale nie od najjednoduchšieho:. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Ako epilóg krátky príbeh o strnulosti alebo o tom, aké otázky učiteľov sú najťažšie. Najťažšie otázky, napodiv, sú tie, ktoré majú jasné odpovede.
A príbeh je takýto: človek robí skúšku z algebry, predmetom lístka je „Dôsledok základnej vety algebry“. Skúšajúci počúva, počúva a potom sa zrazu pýta: "Odkiaľ to pochádza?". Tu to bol stupor, tak stupor. Celé publikum už bolo vydesené, ale študent nepovedal správnu odpoveď: „zo základnej vety algebry“.
Pamätám si históriu z osobnej skúsenosti, prechádzam fyzikou, niečo o tlaku kvapaliny, ktorú si už nepamätám, ale kresba zostala v mojej pamäti navždy - zakrivená rúrka, cez ktorú pretekala kvapalina. Na lístok som odpovedal „výborne“ a dokonca aj ja sám som pochopil, čo som odpovedal. A nakoniec sa učiteľ pýta: "Kde je tu súčasná trubica?".
Tento výkres som krútil a otáčal zakrivenou rúrkou asi päť minút, vyjadril najdivokejšie verzie, pílil rúru, nakreslil nejaké projekcie. A odpoveď bola jednoduchá, súčasná trubica je celá rúra. Dobre sme vyložili, vidíme sa na lekcii Ako nájsť funkciu komplexnej premennej? Existuje inverzný problém.
To samozrejmé je niekedy najťažšie, prajem každému, aby nespomalil. Riešenia a odpovede:.
Príklad 2: Riešenie: pretože, potom:. Odpoveď: - reálna časť, - imaginárna časť. Príklad 4: Riešenie: Odvtedy:. Takto:. je skutočnou súčasťou funkcie;
je imaginárna časť funkcie. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Podmienka je splnená. Podmienka je tiež splnená. Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, nájdeme deriváciu:. Odpoveď: - reálna časť, - imaginárna časť. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.
Príklad 6: Riešenie: Určte reálnu a imaginárnu časť tejto funkcie. Takto:. je skutočnou súčasťou funkcie; je imaginárna časť funkcie. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.
Príklad 8: Riešenie: Odvtedy:. Takto:. je skutočnou súčasťou funkcie;
je imaginárna časť funkcie. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, nájdeme deriváciu:. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Príklad 10: Riešenie: Odvtedy:. Takto:. je skutočnou súčasťou funkcie;
je imaginárna časť funkcie. Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:. Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené. Odpoveď: , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.
Knižnica Mat. fóraKnižnica > Knihy o matematike > Funkcie komplexných premenných
Funkcie komplexných premenných
- Aizenberg L.A., Yuzhakov A.P. Integrálne reprezentácie a zvyšky v multidimenzionálnej komplexnej analýze. Nsb.: Nauka, 1979 (djvu)
- Alfopc L. Prednášky o kvázikonformných zobrazeniach. M.: Mir, 1969 (djvu)
- Alfors L., Bers L. Riemannovské povrchové priestory a kvázikonformné zobrazenia. M.: IL, 1961 (djvu)
- Angileyko I.M., Kozlová R.V. Problémy teórie funkcií komplexnej premennej. Mn.: Vyš. škola, 1976 (djvu)
- Aramanovich I.G., Lunts G.L., Elsgolts L.E. Funkcie komplexnej premennej. operačný počet. Teória stability (2. vydanie). Moskva: Nauka, 1968 (djvu)
- Avdeev N.Ya. Úloha-workshop z kurzu teórie funkcií komplexnej premennej. M.: Uchpedgiz, 1959 (djvu)
- Belinský P.P. Všeobecné vlastnosti kvázikonformných zobrazení. Nsb.: Nauka, 1974 (djvu)
- Biberbach L. Analytické pokračovanie. Moskva: Nauka, 1967 (djvu)
- Bitsadze A.V. Základy teórie analytických funkcií komplexnej premennej. Moskva: Nauka, 1969 (djvu)
- Bochner S., Martin W.T. Funkcie viacerých komplexných premenných. M.: IL, 1951 (djvu)
- Bremerman G. Distribúcie, komplexné premenné a Fourierove transformácie M.: Mir, 1968 (djvu)
- Valiron J. Analytické funkcie. M.: GITTL, 1957 (djvu)
- Wiener N., Paley R. Fourierova transformácia v komplexnej doméne. Moskva: Nauka, 1964 (djvu)
- Wittich G. Najnovší výskum jednohodnotových analytických funkcií. Moskva: Fizmatlit, 1960 (djvu)
- Vladimirov V.S. Metódy teórie funkcií viacerých komplexných premenných. Moskva: Nauka, 1964 (djvu)
- Volkovysky L.I. Kvázikonformné zobrazenia. Ľvov: Ľvov. univerzita, 1954 (djvu)
- Wu H. Teória ekvipartície pre holomorfné krivky. M.: Mir, 1973 (djvu)
- Jenkins J. Univalentné funkcie a konformné zobrazenia. M.: IL, 1962 (djvu)
- Gunning R., Rossi H. Analytické funkcie mnohých komplexných premenných. M.: Mir, 1969 (djvu)
- Gakhov F.D. Hraničné úlohy. M.: GIFML, 1958 (djvu)
- Gakhov F.D. Hraničné problémy (2. vydanie). M.: GIFML, 1963 (djvu)
- Gakhov F.D. Hraničné problémy (3. vydanie). Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
- Golubev V.V. Jednohodnotové analytické funkcie sú automorfné funkcie. Moskva: Fizmatlit, 1961 (djvu)
- Goluzin G.M. Geometrická teória funkcií komplexnej premennej (2. vydanie). Moskva: Nauka, 1966 (djvu)
- Gončarov V.L. Teória funkcie komplexnej premennej. M.: Uchpedgiz, 1955 (djvu)
- Gurvits A., Courant R. Teória funkcií. Moskva: Nauka, 1968 (djvu)
- Demidov A.S. Helmholtz-Kirchhoffova metóda (GK-metóda). EqWorld, 19.09.2007 (pdf)
- Evgrafov M.A. (ed.) Zbierka problémov v teórii analytických funkcií (2. vydanie). M.: Nauka, 1972 (djvu)
- Siegel K. Automorfné funkcie viacerých komplexných premenných. M.: IL, 1954 (djvu)
- Carathéodory K. Konformné mapovanie. M.-L.: ONTI, 1934 (djvu)
- Kartan A. Elementárna teória funkcií komplexných premenných. M.: IL, 1963 (djvu)
- Koppepfels V., Shtalman F. Prax konformných zobrazení. M.: IL, 1963 (djvu)
- Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Funkcie komplexnej premennej. operačný počet. Teória stability. Moskva: Nauka, 1971 (djvu)
- Krushkal S.L., Apanasov B.N., Gusevsky N.A. Uniformizácia a kleinovské skupiny. Zbierka: NGU, 1979 (djvu)
- Courant R. Geometrická teória funkcií komplexnej premennej. L.-M.: ONTI, 1934 (djvu)
- Princíp Courant R. Dirichlet, konformné zobrazenia a minimálne plochy. M.: IL, 1953 (djvu)
- Lavrentiev M.A. Konformné zobrazenia s aplikáciami na niektoré otázky v mechanike. M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
- Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej. Moskva: Nauka, 1965 (djvu)
- Levin B.Ya. Rozdelenie koreňov celých funkcií. M.: GITTL, 1956 (djvu)
- Leontiev A.F. Rad vystavovateľov. M.: Nauka, 1976 (djvu)
- Malgrange B. Prednášky o teórii funkcií viacerých komplexných premenných. Moskva: Nauka, 1969 (djvu)
- Mandelbroit S. Kvazianalytické triedy funkcií. L.-M.: ONTI, 1937 (djvu)
- Markushevich A.I. Eseje o histórii teórie analytických funkcií. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
- Milin I.M. Univalentné funkcie a ortonormálne systémy. Moskva: Nauka, 1971 (djvu)
- Milnor J. Singulárne body zložitých hyperpovrchov. M.: Mir, 1971 (djvu)
- Monakhov V.N., Semenko E.V. Problémy okrajových hodnôt a pseudodiferenciálne operátory na Riemannových plochách. Moskva: Fizmatlit, 2003 (djvu)
- Montel P. Normálne rodiny analytických funkcií. M.-L.: ONTI, 1936 (djvu)
- Mors M. Topologické metódy teórie funkcií komplexnej premennej. M.: IL, 1951 (djvu)
- Narasimhan R. Analýza skutočných a komplexných variet. M.: Mir, 1971 (djvu)
- Nevanlinna R. Jednohodnotové analytické funkcie. M.-L.: GITTL, 1941 (djvu)
- Petrenko V.P. Rast meromorfných funkcií. Charkov: KhSU, škola Vishcha, 1978 (djvu)
- Privalov I.I. Hraničné vlastnosti analytických funkcií (2. vydanie). M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
- Privalov I.I. subharmonické funkcie. M.-L.: GRTTL, 1937 (djvu)
- Rudin W. Teória funkcií v polykruhu. M.: Mir, 1974 (djvu)
- Sveshnikov A.G., Tichonov A.N. Teória funkcií komplexnej premennej. Moskva: Nauka, 1967 (djvu)
- Springer J. Úvod do teórie Riemannových plôch. M.: IL, 1960
