Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ako hovorili starovekí filozofi: "Múdrosť je láska k poznaniu a láska je mierou všetkých vecí." „Measure“ v latinčine je „modulus“, z čoho pochádza slovo „modul“. A dnes budeme pracovať s rovnicami obsahujúcimi modul. Dúfam, že nám všetko vyjde a na konci hodiny zmúdrieme.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Pirogova Tatyana Nikolaevna, Taganrog, stredná škola č. 10.

Téma: "Riešenie rovníc s modulom a parametrom"

10. ročník, hodina výberového predmetu Vlastnosti funkcie.

Plán lekcie.

1. Motivácia.
2. Aktualizácia znalostí.
3. Riešenie lineárnej rovnice s modulom rôznymi spôsobmi.
4. Riešenie rovníc obsahujúcich modul pod modulom.
5. Výskumurčením závislosti počtu koreňov rovnice

| | x| - a |= in z hodnôt a a b.

1. Reflexia.

Počas vyučovania.

Motivácia. Ako hovorili starovekí filozofi: "Múdrosť je láska k poznaniu a láska je mierou všetkých vecí.""Zmerať" po latinsky -„modulus“, z ktorého toto slovo pochádza„modul“. A dnes budeme pracovať s rovnicami obsahujúcimi modul. Dúfam, že nám všetko vyjde a na konci hodiny zmúdrieme.

Aktualizácia znalostí.Poďme si teda pripomenúť, čo už o module vieme.

• Definícia modulu.Modulom reálneho čísla je samotné číslo, ak je nezáporné, a jeho opačné číslo, ak je záporné.

• Geometrický význam modulu.Modul reálneho čísla A sa rovná vzdialenosti od začiatku k bodu so súradnicou A na číselnom rade.

– 0 a

|– a | = | a | | a | X

• Geometrický význam modulov magnitúdy.Rozdiel modulov veľkosti| a - v | je vzdialenosť medzi bodmi so súradnicami a a c na číselnom rade

Tie. dĺžka segmentu [ a in]

1) Ak a b 2) Ak a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Ak a \u003d b, potom S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• Základné vlastnosti modulu

1. Modul čísla je nezáporné číslo, t.j.| x | ≥ 0 pre ľubovoľné x
2. Moduly opačných čísel sú rovnaké, t.j.| x | = |– x | pre ľubovoľné x
3. Druhá mocnina modulu sa rovná druhej mocnine výrazu podmodulu, t.j.| x | 2 = x 2 pre ľubovoľné x

4. Modul súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu modulovfaktory, t.j. | a b | = | a | · | b |

5. Ak je menovateľ zlomku nenulový, potom sa modul zlomku rovná podielu delenia modulu čitateľa modulom menovateľa, t.j. pre b ≠ 0

6. Pre rovnosť akýchkoľvek čísel a a b nerovnosti:

| | a | – | b | | ≤ | a+b | ≤ | a | + | b |

| | a | – | b | | ≤ | a-b | ≤ | a | + | b |

• Graf modulu y = | x | - pravý uhol s vrcholom v počiatku, ktorého strany sú osy 1. a 2. kvadrantu.
• Ako vykresliť grafy funkcií? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x - 3 | + 3, y = | x - 3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – a |

Príklad. vyriešiť rovnicu.

Metóda 1. Spôsob otvárania modulov medzerami.

Metóda 2. Priame rozšírenie modulu.

Ak je modul čísla 3, potom toto číslo je 3 alebo -3.

Metóda 3 . Použitie geometrického významu modulu.

Na číselnej osi je potrebné nájsť také hodnoty x, ktoré sú odstránené z 2 o vzdialenosť rovnajúcu sa 3.

Metóda 4. Umocnenie oboch strán rovnice.

Toto používa vlastnosť modulu

A skutočnosť, že obe strany rovnice sú nezáporné.

Metóda 5. Grafické riešenie rovnice.

Označiť. Zostavme si grafy funkcií a:

Úsečky priesečníkov grafov dávajú korene

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Samostatná práca

vyriešiť rovnice:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

Teraz pridajte k podmienkam ďalší modul a vyriešte rovnice:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(bez koreňov)

Koľko koreňov teda môže rovnica v tvare | | x | – a |= v? Od čoho to závisí?

Výskumná práca na danú tému

«Určenie závislosti počtu koreňov rovnice | | x | – a |= b od a do »

Budeme pracovať v skupinách s využitím analytických, grafických a geometrických metód riešenia.

Určme, za akých podmienok má táto rovnica 1 koreň, 2 korene, 3 korene, 4 korene a nemá žiadne korene.

1 skupina (podľa definície)

2 skupina (pomocou geometrického zmyslu modulu)

3 skupina (pomocou funkčných grafov)

A > 0
	1 skupina	2 skupina	3 skupina
žiadne korene	V c ≥ 0 c + a	V c ≥ 0 a + b	V c ≥ 0 V A
presne jeden koreň	b > 0 a b + a = 0	b > 0 a b + a = 0	c > 0 a c = - a
presne dva korene	b > 0 a b + a > 0 – v + a	b > 0 a b + a > 0 – v + a	v > 0 a v > | a |
presne tri korene	c > 0 a - c + a = 0	c > 0 a - c + a = 0	b > 0 a b = a
presne štyri korene	c > 0 a – c + a > 0	c > 0 a – c + a > 0	v > 0 a v A

Porovnajte výsledky, urobte všeobecný záver a zostavte všeobecnú schému.

Samozrejme, nie nevyhnutne táto schéma zapamätať si . Hlavným zameraním našej štúdie bolopozrite si túto závislosť pomocou rôznych metód, a teraz nám nebude ťažké zopakovať si úvahy pri riešení takýchto rovníc.

Riešenie úlohy s parametrom totiž vždy znamená nejaký výskum.

Riešenie rovníc s dvoma modulmi a parametrom.

1. Nájdite hodnoty p, x| - R - 3| = 7 má práve jeden koreň.

Riešenie: | | x| – (p + 3)| = 7

p + 3 = -7, p = -10. Alebo geometricky

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 podľa schémy má rovnica tohto tvaru práve jeden koreň, ak c \u003d - a, kde c \u003d 7, a \u003d p +3

2. Nájdite hodnoty R, pre každý z nich platí rovnica | | x| - R - 6| = 11 má práve dva korene.

Riešenie: | | x| – (p + 6)| = 11 geometricky

P + 6 - 11 p + 6 p + 6 + 11 p + 6-11 R p + 6 + 11 > 0, p > -17

11 11

podľa schémy má rovnica tohto tvaru práve dva korene, ak v + a > 0 a - v + a kde a = 11, a = p +6. -17 R 5.

3. Nájdite hodnoty R, pre každý z nich platí rovnica | | x| - 4 r | = 5 p -9 má presne štyri korene.

Riešenie: podľa schémy má rovnica tohto druhu práve štyri korene, ak

0p-9 p, p > a p

tie. 1 R 9.

odpoveď: 1 R 9.

4. . Nájdite hodnoty p, pre každý z nich platí rovnica | | x| – 2 r | = 5 p +2 nemá žiadne korene. Riešenie: 5 r +2 p +2 = 0 a –2 p > 0, alebo 5 p +2 > 0 a 5 p +2 R.

R p = –0,4 alebo p > –0,4 a p . odpoveď: p

5. Pri akých hodnotách parametra p rovnica | | x –4 | – 3| + 2 r = 0 má tri korene. Nájdite tie korene.

Transformujme rovnicu do tvaru:

| | x –4 | – 3|= – 2 r.

Podľa schémy má rovnica tohto druhu tri korene,

ak –2 р = 3>0,

Tie. p = -1,5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

odpoveď: na r = -1,5 rovnica má tri korene: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 \u003d 10.

Zhrnutie lekcie. Reflexia.

Povedz mi, čo by si vyzdvihol hlavné slová lekcie? (modul, parameter)

čo sme dnes robili? (Definícia modulu, geometrický význam modulu počtu a rozdielu čísel, vlastnosti modulu, rôzne spôsoby riešenia rovníc)

čo sme dnes robili?

Domáca úloha.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Odpoveď: 1; 2.

§6. Riešenie rovníc s modulmi a parametrami

Zvážte niekoľko rovníc, v ktorých je premenná x pod znamienkom modulu. Pripomeň si to

x , ak x ≥ 0,

x = − x ak x< 0.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu:

a) x-2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X = 1; d) x 2 -

6; e) 6 x 2 -

x+1

x - 1

a) Ak je modul čísla 3, potom toto číslo je buď 3 alebo (− 3 ),

t. j. x − 2 = 3, x = 5 alebo x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Z definície modulu vyplýva, že

x+1

X + 1, pre x + 1 ≥ 0,

t.j. pre x ≥ - 1 a

x+1

= − x − 1 pre x< − 1. Выражение

2x - 3

2x − 3, ak x ≥ 3

a rovná sa − 2 x + 3, ak x< 3 .

X< −1

rovnica

sa rovná

rovnica

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, čo znamená, že

x = 5. Ale číslo 5 nie je

spĺňa podmienku x< − 1, следовательно,

pri x< − 1 данное

rovnica nemá riešenia.

−1 ≤ x<

rovnica

sa rovná

rovnica

x + 1− (2x + 3) = 1, čo znamená, že x = 1;

číslo 1 vyhovuje-

žiadna podmienka − 1 ≤ x<

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

x ≥

rovnica

sa rovná

rovnica

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, ktoré má riešenie x = 3. A keďže číslo 3

spĺňa podmienku x ≥

potom je to riešenie rovnice.

x+2

c) Ak je čitateľ a menovateľ zlomku

mať rovnaké

x - 1

znamienka, potom je zlomok kladný, a ak je iný, potom je záporný, t.j.

x+2

x+2

Ak x ≤ − 2, ak x > 1,

x - 1

x - 1

x+2

Ak - 2< x < 1.

−1

Pre x ≤ − 2

ypre x > 1

pôvodná rovnica je ekvivalentná rovnici

x+2

X = 1, x + 2

X (x-1) = x-1, x 2 - x +3 = 0.

x - 1

Posledná rovnica nemá riešenia.

O − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x - 1

Poďme nájsť korene tejto rovnice:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

nerovnosti

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledovať-

Preto je toto číslo riešením rovnice.

x ≥ 0 dané

rovnica

sa rovná

rovnica

x2 - x -6 = 0,

ktorých korene sú čísla 3 a - 2. Číslo 3

spĺňa podmienku x > 0,

a číslo - 2 to nespĺňa

zákona teda len číslo 3 je riešením originálu

X< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice
		x ≥ − 1 dané	rovnica	sa rovná				rovnica
6 x 2 − x − 1 = 0, nájdite jeho korene: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Oba korene spĺňajú podmienku x ≥ − 1,					preto sú
sú riešenia tejto rovnice. O				X< − 1 данное уравнение
je ekvivalentná rovnici 6 x 2 + x + 1 = 0, ktorá nemá žiadne riešenia.
Nech sú dané výrazy f (x , a ) a g (x , a ),					závislý na zmene
X	a a.	Potom rovnica	f (x, a) = g (x, a)		ohľadom zmeny -

volá sa noah x rovnica s parametrom a. Riešiť rovnicu s parametrom znamená pre akúkoľvek prípustnú hodnotu parametra nájsť všetky riešenia tejto rovnice.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu pre všetky platné hodnoty parametra a :

a) os 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; b) (a - 3) x2 = a2 - 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Výraz 4 a 2		3 > 0 pre ľubovoľné a; pre a > − 2 máme
	a + 2
máme dve riešenia: x =			4a 2 + 3	a x = -	4a 2		Ak	a + 2< 0, то
			a + 2		a + 2

výraz 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Odpoveď: x = ±	4a 2 + 3	Pre a > − 2;	pre a ≤ − 2 neexistujú žiadne riešenia.
		a + 2
				potom x 2 = a + 3. Ak a + 3 = 0,
	b) Ak a = 3, potom x. Ak ≠ 3,
	tie. ak a = − 3,	potom rovnica má jedinečné riešenie x = 0.

či už a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 a a ≠ 3, potom má rovnica dve riešenia: x 1 = a + 3 a x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

a = 1 táto rovnica má tvar

4x − 1 = 0,

x=1

je jeho riešením. O

a ≠ 1 je táto rovnica

štvorec, jeho diskriminant D 1 je

(a + 1 ) 2 − (a − 1 ) (a − 2 ) = 5 a − 1.

Ak 5 a - 1< 0, т.е. a < 1 ,

potom táto rovnica nemá riešenia.

Ak a =

potom má rovnica jedinečné riešenie

a+1

x = -

a - 1

−1

Ak >

a ≠ 1,

potom táto rovnica má dve riešenia:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1) ±

1 at

a = 1; x=3

pre

; x=

5a - 1

a - 1

pre > 1

a > 1; pre< 1

rovnica nemá riešenia.

§7. Riešenie sústav rovníc. Riešenie problémov, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice

V tejto časti uvažujeme o systémoch, ktoré obsahujú rovnice druhého stupňa.

Príklad 1. Riešte sústavu rovníc

2x + 3 roky = 8

xy = 2.

V tomto systéme je rovnica 2 x + 3 y = 8 rovnicou prvého stupňa a rovnica xy = 2 je druhá. Tento systém riešime metódou

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

substitúcie. Z prvej rovnice systému vyjadríme x pomocou y a tento výraz dosadíme za x do druhej rovnice systému:

	8 − 3r	4 −
				y 4			y y = 2.

Posledná rovnica sa redukuje na kvadratickú rovnicu

8r − 3r 2 = 4, 3r 2 − 8r + 4 = 0.

Hľadanie jeho koreňov:

4 ± 4

4 ± 2

Y = 2, y

Z podmienky x = 4 −

dostaneme x = 1, x

Odpoveď: (1;2) a

Príklad 2. Riešte sústavu rovníc:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

Vynásobte obe strany druhej rovnice 2 a pridajte k prvej

systémová rovnica:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, odkiaľ
z toho vyplýva, že x + y = 9 alebo x + y = − 9.
Ak x + y = 9, potom	x = 9 − y . Tento výraz nahraďte x in
druhá rovnica systému:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y				4, x=4, x=5.
Z podmienky x + y = − 9 dostaneme riešenia (− 4; − 5) a (− 5; − 4 ) .
Odpoveď: (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) .
Príklad 3. Riešte sústavu rovníc:
		y=1
	X -
	x − y

Druhú rovnicu sústavy zapíšeme do tvaru

( x − y ) ( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

Pomocou rovnice x − y = 1 dostaneme: x + y = 5. Získame teda sústavu rovníc ekvivalentnú danej

	X -	y=1
		y=5.

Pridáme tieto rovnice a dostaneme: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
Dosadenie hodnoty x = 9 do prvej rovnice			systémy, prijímanie
máme 3 − y = 1, čo znamená, že y = 4.
Odpoveď: (9;4) .	(x + y) (x		Y −4 ) = −4,
Príklad 4. Vyriešte sústavu rovníc: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
Predstavme si nové premenné	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
systém sa redukuje na tvar (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Riešime rovnicu:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Túto hodnotu dosadíme za u do rovnice:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1 ± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Riešime dve sústavy rovníc:
	X + r = 2,
X + r = 2,
	A
xy = 10	xy = − 8.
Oba systémy riešime substitučnou metódou. Pre prvý systém máme:
X= 2 − r, ( 2 − r) r= 10, r2 − 2 r+ 10 = 0.

Výsledná kvadratická rovnica nemá riešenia. Pre druhý systém máme: X= 2 − r, (2 − r) r= − 8, r2 − 2 r− 8 = 0.

r= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, r1 = 4, r2 = − 2. PotomX1 = − 2 AX2 = 4. odpoveď: (− 2;4 ) A(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

vynásobíme 3, dostaneme:

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

Príklad 5 Vyriešte sústavu rovníc:

X 2 + 4 xy = 3,

r 2 + 3 xy = 2.

Od prvej rovnice vynásobenej 2, odčítajte druhú rovnicu,

2 X 2 − xy − 3 r 2 = 0.

Ak r= 0, potom a X= 0, ale pár čísel (0;0 ) nie je riešením pôvodného systému. Vo výslednej rovnici rozdelíme obe časti rovnice

vedenie na r2 ,

1 ± 5 , X = 2 r A X = − r .

−3

= 0,

r

Náhradník

význam

X =

3r

prvá rovnica

9 r2 + 6 r2 = 3, 11r2 = 4, r=

, X=

, X= −

Hodnotu dosadíme X= − r do prvej rovnice systému: r2 − 4 r2 = 3, − 3 r2 = 3.

Neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 9 Nájdite všetky hodnoty parametrov a, pre ktorú sústava rovníc

X 2 + ( r − 2 ) 2 = 1,

r = sekera 2 .

má aspoň jedno riešenie.

Tento systém sa nazýva systém s parametrom. Dajú sa riešiť analyticky, t.j. pomocou vzorcov, alebo môžete použiť takzvanú grafickú metódu.

Všimnite si, že prvá rovnica definuje kruh so stredom v bode (0;2 ) s polomerom 1. Druhá rovnica pre a≠ 0 definuje parabolu s vrcholom v počiatku.

Ak a 2

V prípade a) sa parabola dotýka kruhu. Z druhej rovnice systému

em čo X2 = r/ a,

nahradiť tieto hodnoty

X 2

do prvej rovnice:

1

+(r−2 )

= 1,

+ r

− 4 r+ 4 = 1, r

4 − ar+ 3

= 0.

V prípade tangencie, kvôli symetrii, existuje jedinečná hodnota r, takže diskriminant výslednej rovnice by mal byť

je 0. Od ordináty r dotykový bod je pozitívny a pretože

r = 2

− a

dostaneme

> 0; D

1 2

4 − a

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

dostaneme: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Ak a> 2 + 2 3 , potom parabola pretína kružnicu v 4 bodoch

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.5, 8 buniek. Matematika. Kvadratické rovnice

Preto má systém aspoň jedno riešenie, ak

a≥ 2 + 2 3 .

Príklad 10 Súčet druhých mocnín cifier nejakého prirodzeného dvojciferného čísla je 9 viac ako dvojnásobok súčinu týchto cifier. Po vydelení tohto dvojciferného čísla súčtom jeho číslic je podiel 4 a zvyšok 3. Nájdite toto dvojciferné číslo.

Nech je dvojciferné číslo 10 a+ b, Kde a A b sú číslice tohto čísla. Potom z prvej podmienky problému dostaneme: a2 + b2 = 9 + 2 ab, a z druhej podmienky dostaneme: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Riešime sústavu rovníc: 6 a− 3 b= 3.

Z druhej rovnice sústavy dostaneme

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Túto hodnotu nahradíme b do prvej rovnice systému:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

odpoveď: 47.

Príklad 11. Po zmiešaní dvoch roztokov, z ktorých jeden obsahoval 48 g a druhý 20 g bezvodého jodidu draselného, ​​sa získalo 200 g nového roztoku. Nájdite koncentráciu každého z počiatočných roztokov, ak koncentrácia prvého roztoku bola o 15 % väčšia ako koncentrácia druhého.

Označiť podľa X% je koncentrácia druhého roztoku a cez (X+ 15 ) % je koncentrácia prvého roztoku.

(X+ 15 )%			X %
I riešenie			II riešenie

V prvom roztoku je 48 g (X+ 15 ) % hmotnosti celého roztoku,

takže hmotnosť roztoku je X48 + 15 100. V druhom roztoku sa 20 g ko-

© 2011, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

10x - 5r - 3z = - 9,

6 x + 4 r - 5 z = - 1,3 x - 4 r - 6 z = - 23.

Vyrovnáme koeficienty na x v prvej a druhej rovnici, preto vynásobíme obe časti prvej rovnice 6 a druhú rovnicu 10, dostaneme:

60x - 30 r - 18z = - 54,60x + 40 r - 50z = - 10.

Od druhej rovnice výslednej sústavy odčítame prvú rovnicu

dostaneme: 70 r - 32 z = 44, 35 r - 16 z = 22.

Odčítaním tretej rovnice vynásobenej 2 od druhej rovnice pôvodnej sústavy dostaneme: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12r + 7z = 45.

Teraz riešime nový systém rovníc:

35r − 16z = 22,12r + 7z = 45.

K prvej rovnici nového systému, vynásobenej 7, pridáme druhú rovnicu vynásobenú 16, dostaneme:

35 7 r. + 12 16 r. = 22 7 + 45 16,

Teraz dosadíme y = 2, z = 3 do prvej rovnice pôvodnej sústavy

témy, dostaneme: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Odpoveď: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Riešenie systémov s parametrom a s modulmi

ax + 4y = 2a,

Zvážte sústavu rovníc

x + ay = a.

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

V tomto systéme v skutočnosti existujú tri premenné, a to: a , x , y . Neznáme sú x a y a a sa nazýva parameter. Pre každú hodnotu parametra a je potrebné nájsť riešenia (x , y ) tohto systému.

Ukážme si, ako sa takéto systémy riešia. Vyjadrime premennú x z druhej rovnice sústavy: x = a − ay . Túto hodnotu dosadíme za x do prvej rovnice systému, dostaneme:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a) y = a (2 − a) .

Ak a = 2, dostaneme rovnicu 0 y = 0. Tejto rovnici vyhovuje ľubovoľné číslo y a potom x = 2 − 2 y , teda pre a = 2 dvojica čísel (2 − 2 y ; y ) je riešením systému . Keďže y môže byť

ľubovoľné číslo, potom má sústava pre a = 2 nekonečne veľa riešení.

Ak a = − 2, potom dostaneme rovnicu 0 y = 8. Táto rovnica nemá riešenie.

Ak teraz a ≠ ± 2,				potom y =		a (2 - a)
						(2 − a ) (2 + a )		2 + a
x = a − ay = a −
				2 + a

Odpoveď: Pre a = 2 má systém nekonečne veľa riešení v tvare (2 − 2 y ; y ), kde y je ľubovoľné číslo;

pre a = − 2 systém nemá riešenia;
pre a ≠ ± 2 má systém jedinečné riešenie						. ▲
		2 + a		2 + a

Tento systém sme vyriešili a stanovili, pre aké hodnoty parametra a má systém jedno riešenie, kedy má nekonečne veľa riešení a pre aké hodnoty parametra a nemá riešenia.

Príklad 1. Riešte sústavu rovníc

© 2010, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

−3

y - 1

3x − 2r = 5.

Z druhej rovnice sústavy vyjadríme x pomocou y, dostaneme

2 roky + 5

túto hodnotu dosadíme za x do prvej rovnice sys-

témy, dostaneme:

2 roky + 5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

Výraz

y = -

y > -

; Ak

−5

= −y

výraz y − 1 = 0,

ak y = 1. Ak

y > 1, potom

y - 1

Y - 1 a

či y< 1, то

y - 1

1 − r.

Ak y ≥ 1, potom

y - 1

Y -1 a

dostaneme rovnicu:

-3 (r

− 1) = 3,

−3 r

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Číslo 2 > 1, teda dvojica (3;2) je re-

systému.

Nechaj teraz

5 ≤ r<1,

y - 1

- y;

nález

dostaneme

rovnica

3r-3

4 roky + 10

3r=6

13r=8

© 2010, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

(2 roky + 5) =

Ale menej ako

takže pár čísel

je riešením systému.

r< −

potom dostaneme rovnicu:

3r-3

4 roky-

3r=6

5 rokov =

28, y = 28.

význam

takže riešenia neexistujú.

Systém má teda dve riešenia (3;2) a 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Riešenie úloh pomocou sústav rovníc

Príklad 1. Auto ide z mesta do dediny za 2,5 hodiny. Ak zvýši rýchlosť o 20 km/h, tak za 2 hodiny prejde vzdialenosť o 15 km väčšiu ako je vzdialenosť z mesta do dediny. Nájdite túto vzdialenosť.

Označte S vzdialenosť medzi mestom a dedinou a V rýchlosť auta. Potom, aby sme našli S, získame systém dvoch rovníc

2,5 V = S

(V + 20)2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

do druhej rovnice:		S+202	S+15,		S = 25	S = 125.

Odpoveď: 125 km. ▲

Príklad 2. Súčet číslic dvojciferného čísla je 15. Ak tieto číslice zameníme, dostaneme číslo, ktoré je o 27 väčšie ako pôvodné. Nájdite tieto čísla.

Nech je dané číslo ab , t.j. počet desiatok je a a počet jednotiek je b. Z prvej podmienky úlohy máme: a + b = 15. Ak od čísla ba odčítame číslo ab, dostaneme 27, odtiaľ dostaneme druhú rovnicu: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

akademický rok 2010-2011 roč., č.3, 8 buniek. Matematika. Sústavy rovníc.

Vynásobením oboch strán rovnice číslom 20 dostaneme: x + 8 y = 840. Aby sme našli x a y, dostali sme sústavu rovníc

Odpoveď: 40 ton, 100 ton ▲

Príklad 4. Počítačový operátor pri práci so študentom spracuje úlohu za 2 hodiny a 24 minút. Ak bude operátor pracovať 2 hodiny a študent 1 hodinu, tak

deti dokončili 2 3 všetkých prác. Ako dlho to bude trvať operátorovi

ru a študent samostatne spracovať úlohu?

Označme všetku prácu ako 1, výkon operátora ako x a výkon študenta ako y . Berieme to do úvahy

2 hodiny 24 minút = 2 5 2 hodiny = 12 5 hodín.

Z prvej podmienky úlohy vyplýva, že (x+y ) 12 5 = 1. Z druhej podmienky úlohy vyplýva, že 2 x + y = 2 3 . Mám systém rovníc

(x+y)

2 x + y =

Tento systém riešime substitučnou metódou:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x=

; y=

© 2010, FZFTSH v MIPT. Zostavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

snímka 2

.

Riešenie rovníc s parametrami a modulmi, aplikácia vlastností funkcií v neočakávaných situáciách a zvládnutie geometrických techník riešenia úloh. Neštandardné rovnice Účel lekcie.

snímka 3

Absolútna hodnota alebo modul čísla a je číslo a ak a>0, číslo -a ak a 0 ׀ a ׀=( 0 ak a=0 -a ak a 0) je ekvivalentné dvojitej nerovnosti -a 0 Nerovnosť ׀ x ׀>a, (ak a>0) je ekvivalentná dvom nerovnostiam - Nerovnosť ׀ x׀>a, (ak a

snímka 4

Vyriešiť rovnicu s parametrami znamená uviesť, pri akých hodnotách parametrov existujú riešenia a aké sú. a) určiť súbor prípustných hodnôt neznámych a parametrov; b) pre každý prípustný systém hodnôt parametrov nájdite zodpovedajúce súbory riešení rovnice. Zopakovanie najdôležitejšieho teoretického materiálu na témy "Riešenie rovníc s parametrami"

snímka 5

1. Vyriešte rovnicu ׀ x-2 ׀ =5; Odpoveď 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Odpoveď na rozhodnutie je nie ׀ x-2 ׀ =x+5; ; Odpoveď je nie; 1,5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; Odpoveď je nie; -1,5; neexistuje žiadne riešenie; -1,5; ústne cvičenia.

snímka 6

2. Riešte rovnice=1; Odpoveď. Ak a=0, potom neexistuje riešenie, ak a=0, potom x=1/ a 1,3. Vyriešte rovnicu (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; potom rovnica nadobúda tvar Ox = 2 a nemá riešenie 2) a = 1; dostaneme Ox = O a x je samozrejme ľubovoľné. 1 3) ak a \u003d ± 1, potom x \u003d - a-1 odpoveď. Ak a \u003d -1, potom x je ľubovoľné; ak a \u003d 1, potom neexistuje riešenie 1, ak a \u003d ± 1, potom x \u003d - a-1

Snímka 7

2. Vyriešte rovnicu ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

Snímka 8

3 3 2 x y 0 1 Odpoveď: (-3; 2).

Snímka 9

2. Riešte rovnice ax=1;

Odpoveď. Ak a=0, potom neexistuje žiadne riešenie; ak a=0, potom x=1/ a 1,3. Vyriešte rovnicu (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; potom rovnica nadobúda tvar Ox = 2 a nemá riešenie 2) a = 1; dostaneme Ox = O a x je samozrejme ľubovoľné. 1 3) ak a \u003d ± 1, potom x \u003d - a-1 odpoveď. Ak a \u003d -1, potom x je ľubovoľné; ak a \u003d 1, potom neexistuje riešenie 1, ak a \u003d ± 1, potom x \u003d - a-1

Snímka 10

3 Zostrojte graf funkcie

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3