Bernoulliho vzorec- vzorec v teórii pravdepodobnosti, ktorý umožňuje nájsť pravdepodobnosť výskytu udalosti A (\displaystyle A) v nezávislých testoch. Bernoulliho vzorec vám umožňuje zbaviť sa veľkého množstva výpočtov – sčítania a násobenia pravdepodobností – s dostatočne veľkým počtom testov. Pomenovaný podľa vynikajúceho švajčiarskeho matematika Jacoba Bernoulliho, ktorý tento vzorec odvodil.
Encyklopedický YouTube
1 / 3
✪ Teória pravdepodobnosti. 22. Bernoulliho vzorec. Riešenie problémov
✪ Bernoulliho vzorec
✪ 20 Opakujte testy Formula Bernoulli
titulky
Znenie
Veta. Ak pravdepodobnosť p (\displaystyle p) udalosť A (\displaystyle A) je konštantná v každom pokuse, potom pravdepodobnosť P k , n (\displaystyle P_(k,n))že udalosť A (\displaystyle A) príde presne k (\displaystyle k) raz n (\displaystyle n) nezávislé testy sa rovná: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), kde q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Dôkaz
Nech sa drží n (\displaystyle n) nezávislé testy a je známe, že výsledkom každého testu je event A (\displaystyle A) prichádza s pravdepodobnosťou P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p) a preto sa nevyskytuje s pravdepodobnosťou P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Dovoľte, aby aj v priebehu testov pravdepodobnosti p (\displaystyle p) a q (\displaystyle q) zostávajú nezmenené. Aká je pravdepodobnosť, že v dôsledku n (\displaystyle n) nezávislý test, event A (\displaystyle A) príde presne k (\displaystyle k) raz?
Ukazuje sa, že je možné presne vypočítať počet „úspešných“ kombinácií výsledkov testov, pre ktoré udalosť A (\displaystyle A) prichádza k (\displaystyle k) raz n (\displaystyle n) nezávislých skúšok, je presne taký počet kombinácií n (\displaystyle n) na k (\displaystyle k) :
Cn (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
Zároveň, keďže všetky štúdie sú nezávislé a ich výsledky sú nezlučiteľné (príp A (\displaystyle A) buď nastane alebo nie), potom pravdepodobnosť získania „úspešnej“ kombinácie je presne: .
Nakoniec, aby sa zistila pravdepodobnosť, že n (\displaystyle n) nezávislé testovacie podujatie A (\displaystyle A) príde presne k (\displaystyle k) musíte spočítať pravdepodobnosť získania všetkých „úspešných“ kombinácií. Pravdepodobnosť získania všetkých „úspešných“ kombinácií je rovnaká a rovnaká p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), počet „úspešných“ kombinácií je C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), takže konečne dostaneme:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Posledný výraz nie je nič iné ako Bernoulliho vzorec. Je tiež užitočné poznamenať, že vzhľadom na úplnosť skupiny udalostí bude platiť:
∑ k = 0 n (P k, n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
Pri praktickej aplikácii teórie pravdepodobnosti sa často stretávame s problémami, pri ktorých sa rovnaký experiment alebo podobné experimenty opakujú viackrát. V dôsledku každej skúsenosti sa môže, ale nemusí objaviť udalosť. ALE, a nás nezaujíma výsledok každého jednotlivého experimentu, ale celkový vzhľad diania ALE ako výsledok série experimentov. Ak je napríklad vypálená skupina výstrelov na rovnaký cieľ, nezaujíma nás výsledok každého výstrelu, ale celkový počet zásahov. Takéto problémy sa riešia celkom jednoducho, ak sú experimenty nezávislý.
Definícia. Štúdie, ktoré sú nezávislé od udalosti A, sú tie, v ktorých je pravdepodobnosť udalosti A v každej štúdii nezávislá od výsledkov iných štúdií.
Príklad. Niekoľko po sebe idúcich vytiahnutí karty z balíčka sú nezávislé experimenty za predpokladu, že vytiahnutá karta sa zakaždým vráti do balíčka a karty sa zamiešajú; inak sú to závislé skúsenosti.
Príklad. Niekoľko výstrelov je nezávislými experimentmi iba vtedy, ak sa pred každým výstrelom znova zameria; v prípade, keď sa mierenie vykonáva raz pred celou streľbou alebo sa vykonáva nepretržite počas streľby (výstrel dávkou, bombardovanie v sérii), sú výstrely závislými experimentmi.
Nezávislé testy sa môžu vykonávať za rovnakých alebo odlišných podmienok. V prvom prípade pravdepodobnosť udalosti ALE vo všetkých pokusoch rovnaká, v druhom prípade pravdepodobnosť udalosti ALE sa líši od skúsenosti k skúsenosti. Prvý prípad je spojený s mnohými problémami teórie spoľahlivosti, teórie streľby a vedie k tzv Bernoulliho schéma, ktorá je nasledovná:
1) postupnosť sa vykoná n nezávislé pokusy, v každom z nich je event ALE môže alebo nemusí sa objaviť;
2) pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE v každom teste je konštantná a rovná sa , ako aj pravdepodobnosť jej nevyskytnutia 
.
Bernoulliho vzorec na zistenie pravdepodobnosti výskytu udalosti A k raz n nezávislé pokusy, v každom z nich je event ALE sa objaví s pravdepodobnosťou p:
. (1)
Poznámka 1. S pribúdajúcimi n a k aplikácia Bernoulliho vzorca je spojená s výpočtovými ťažkosťami, preto sa vzorec (1) používa hlavne vtedy, ak k nepresahuje 5 a n nie skvelé.
Poznámka 2. Vzhľadom na to, že pravdepodobnosti vo forme sú členmi binomického rozvoja, rozdelenie pravdepodobnosti tvaru (1) je tzv. binomický distribúcia.
Príklad. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Nájdite pravdepodobnosť piatich zásahov so šiestimi výstrelmi.
rozhodnutie. Odvtedy 
, okrem toho a . Pomocou Bernoulliho vzorca dostaneme:
Príklad. Na ten istý cieľ sa strieľajú štyri nezávislé výstrely z rôznych vzdialeností. Pravdepodobnosť zásahu týchto výstrelov je nasledovná:
Nájdite pravdepodobnosti žiadneho, jedného, dvoch, troch a štyroch zásahov:
rozhodnutie. Vytvoríme funkciu generovania:
Príklad. Päť nezávislých výstrelov je vypálených na cieľ s pravdepodobnosťou zásahu 0,2. Na zničenie cieľa stačia tri zásahy. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ bude zničený.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť zničenia cieľa sa vypočíta podľa vzorca:
Príklad. Na cieľ sa strieľa desať nezávislých výstrelov, pravdepodobnosť zasiahnutia jedným výstrelom je 0,1. Jeden zásah stačí na zasiahnutie cieľa. Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu sa vypočíta podľa vzorca:
3. Lokálna Moivre-Laplaceova veta
V aplikáciách je často potrebné vypočítať pravdepodobnosti rôznych udalostí súvisiacich s počtom výskytov udalosti v n testy Bernoulliho schémy pri veľkých hodnotách n. V tomto prípade sú výpočty podľa vzorca (1) ťažké. Ťažkosti sa zvyšujú, keď je potrebné tieto pravdepodobnosti sčítať. Ťažkosti pri výpočtoch vznikajú aj pri malých hodnotách p alebo q.
Laplace získal dôležitý približný vzorec pre pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE presne tak m krát, ak je dostatočne veľký počet, teda kedy .
Miestna de Moivre-Laplaceova veta. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od nuly a jednej, , hodnota je ohraničená rovnomerne v m a n, potom je pravdepodobnosť výskytu udalosti A presne m krát v n nezávislých pokusoch približne rovná
Nech sa vykoná n pokusov vzhľadom na udalosť A. Uveďme si nasledujúce udalosti: Аk -- udalosť А bola realizovaná počas k-tého testu, $ k=1,2,\bodky , n$. Potom $\bar(A)_(k) $ je opačná udalosť (udalosť A nenastala počas k-teho pokusu, $k=1,2,\bodky, n$).
Čo sú to rovesnícke a nezávislé skúšky
Definícia
Testy sa volajú rovnakého typu vzhľadom na udalosť A, ak sú pravdepodobnosti udalostí $A1, A2, \dots, An$ rovnaké: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (t. j. pravdepodobnosť výskytu udalosti A v jednom pokuse je konštantná vo všetkých pokusoch).
Je zrejmé, že v tomto prípade sa zhodujú aj pravdepodobnosti opačných udalostí: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Definícia
Pokusy sa nazývajú nezávislé vzhľadom na udalosť A, ak sú udalosti $A1, A2, \dots, An$ nezávislé.
V tomto prípade
V tomto prípade je rovnosť zachovaná, keď je ľubovoľná udalosť Ak nahradená $\bar(A)_(k) $.
Nech sa vykoná séria n podobných nezávislých pokusov s ohľadom na udalosť A. Nosíme zápis: p - pravdepodobnosť udalosti A v jednom teste; q je pravdepodobnosť opačnej udalosti. Teda P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ pre ľubovoľné k a p+q=1.
Pravdepodobnosť, že v sérii n pokusov nastane udalosť A presne k-krát (0 ≤ k ≤ n), sa vypočíta podľa vzorca:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Rovnosť (1) sa nazýva Bernoulliho vzorec.
Pravdepodobnosť, že v sérii n nezávislých pokusov rovnakého typu udalosť A nastane aspoň k1-krát a maximálne k2-krát, sa vypočíta podľa vzorca:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Aplikácia Bernoulliho vzorca pre veľké hodnoty n vedie k ťažkopádnym výpočtom, takže v týchto prípadoch je lepšie použiť iné vzorce - asymptotické.
Zovšeobecnenie Bernoulliho schémy
Zvážte zovšeobecnenie Bernoulliho schémy. Ak v sérii n nezávislých pokusov, z ktorých každý má m párovo nekompatibilné a možné výsledky Ak so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami Рk= рk(Аk). Potom platí vzorec polynomického rozdelenia:
Príklad 1
Pravdepodobnosť nákazy chrípkou počas epidémie je 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že zo 6 zamestnancov spoločnosti ochorie
- presne 4 zamestnanci;
- nie viac ako 4 zamestnancov.
rozhodnutie. 1) Je zrejmé, že na vyriešenie tohto problému je použiteľný Bernoulliho vzorec, kde n=6; k = 4; p = 0,4; q = 1 - p = 0,6. Použitím vzorca (1) dostaneme: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \približne 0,138$.
Na vyriešenie tohto problému je použiteľný vzorec (2), kde k1=0 a k2=4. Máme:
\[\begin(pole)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ približne 0,959.) \end(pole)\]
Je potrebné poznamenať, že táto úloha sa ľahšie rieši pomocou opačnej udalosti – ochorelo viac ako 4 zamestnancov. Potom, ak vezmeme do úvahy vzorec (7) o pravdepodobnosti opačných udalostí, dostaneme:
Odpoveď: $\ 0,959 $.
Príklad 2
Urna obsahuje 20 bielych a 10 čiernych loptičiek. Vyberú sa 4 loptičky a každá vytiahnutá loptička sa vráti do urny pred vytiahnutím ďalšej a loptičky v urne sa zmiešajú. Nájdite pravdepodobnosť, že zo štyroch vytiahnutých guľôčok budú 2 biele gule na obrázku 1.
Obrázok 1.
rozhodnutie. Nech je udalosť A taká, že sa vyžrebuje biela guľa. Potom pravdepodobnosti $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Podľa Bernoulliho vzorca je požadovaná pravdepodobnosť $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \vpravo)^(2) =\frac(8)(27) $.
Odpoveď: $\frac(8)(27) $.
Príklad 3
Určte pravdepodobnosť, že rodina s 5 deťmi nebude mať viac ako 3 dievčatá. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je rovnaká.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť mať dievča $\čiastočná =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-pravdepodobnosť mať chlapca. V rodine nie sú viac ako tri dievčatá, čo znamená, že sa narodilo buď jedno, alebo dve, alebo tri dievčatá, alebo všetci chlapci v rodine.
Nájdite pravdepodobnosť, že v rodine nie sú žiadne dievčatá, narodilo sa jedno, dve alebo tri dievčatá: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Požadovaná pravdepodobnosť je teda $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Odpoveď: $\frac(13)(16)$.
Príklad 4
Prvý strelec jednou ranou môže zasiahnuť prvú desiatku s pravdepodobnosťou 0,6, deviatak s pravdepodobnosťou 0,3 a ôsmy s pravdepodobnosťou 0,1. Aká je pravdepodobnosť, že s 10 strelami zasiahne desať šesťkrát, deväť trikrát a osem osemkrát?
n experimentov sa vykonáva podľa Bernoulliho schémy s pravdepodobnosťou úspechu p. Nech X je počet úspechov. Náhodná premenná X má rozsah (0,1,2,...,n). Pravdepodobnosti týchto hodnôt možno nájsť podľa vzorca: , kde C m n je počet kombinácií od n do m. 
Distribučná séria má tvar:
| X | 0 | 1 | ... | m | n |
| p | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | Cmnpm(1-p)n-m | p n |
Pridelenie služby. Na vykreslenie sa používa online kalkulačka binomický distribučný rad a výpočet všetkých charakteristík radu: matematické očakávanie, rozptyl a smerodajná odchýlka. Správa s rozhodnutím sa vyhotovuje vo formáte Word (príklad).
Video návod
Bernoulliho testovacia schéma
Numerické charakteristiky náhodnej premennej rozloženej podľa binomického zákona
Matematické očakávanie náhodnej premennej X, rozdelené podľa binomického zákona.M[X] = np
Disperzia náhodnej premennej X, rozdelená podľa binomického zákona.
D[X]=npq
Príklad č. 1. Výrobok môže byť chybný s pravdepodobnosťou p = 0,3 každý. Z dávky sa vyberú tri položky. X je počet chybných dielov spomedzi vybraných. Nájdite (všetky odpovede zadajte vo forme desatinných zlomkov): a) distribučný rad X; b) distribučná funkcia F(x) .
rozhodnutie. Náhodná premenná X má rozsah (0,1,2,3).
Poďme nájsť distribučnú sériu X.
P3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P3 (1) = np (1-p) n-1 = 3 (1-0,3) 3-1 = 0,44
P3(3) = pn = 0,33 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Matematické očakávanie nájdeme podľa vzorca M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Vyšetrenie: m = ∑ x i pi.
Matematické očakávanie M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Disperzia sa zistí podľa vzorca D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Vyšetrenie: d = ∑x2 i p i - M[x]2.
Disperzia D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Smerodajná odchýlka σ(x).
Distribučná funkcia F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v jednom pokuse je 0,6. Robí sa 5 testov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej X - počet výskytov udalosti.
- Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny X počtu zásahov štyrmi ranami, ak pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8.
- Mincou sa hodí 7-krát. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl počtu výskytov erbu. Poznámka: tu je pravdepodobnosť výskytu erbu p = 1/2 (pretože minca má dve strany).
Príklad č. 2. Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v jedinom pokuse je 0,6. Aplikovaním Bernoulliho vety určte počet nezávislých pokusov, od ktorých je pravdepodobnosť odchýlky frekvencie udalosti od jej pravdepodobnosti v absolútnej hodnote menšia ako 0,1 , väčšia ako 0,97 . (Odpoveď: 801)
Príklad č. 3. Žiaci vykonávajú testy na hodine informatiky. Práca pozostáva z troch úloh. Ak chcete získať dobrú známku, musíte nájsť správne odpovede aspoň na dva problémy. Každá úloha má 5 odpovedí, z ktorých iba jedna je správna. Žiak si náhodne vyberie odpoveď. Aká je pravdepodobnosť, že dostane dobrú známku?
rozhodnutie. Pravdepodobnosť správneho zodpovedania otázky: p=1/5=0,2; n=3.
Tieto údaje je potrebné zadať do kalkulačky. Odpoveď nájdete v P(2)+P(3).
Príklad č. 4. Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ jednou ranou, je (m+n)/(m+n+2) . Vystrelí sa n + 4 výstrely. Nájdite pravdepodobnosť, že minul viac ako dvakrát.
Poznámka. Pravdepodobnosť, že nezmešká viac ako dvakrát, zahŕňa tieto udalosti: nikdy neminie P(4), raz netrafí P(3), nepustí dvakrát P(2).
Príklad číslo 5. Určte rozdelenie pravdepodobnosti počtu zlyhaných lietadiel, ak lietajú 4 lietadlá. Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky lietadla Р=0,99. Počet lietadiel, ktoré zlyhali v každom nálete, je rozdelený podľa binomického zákona.
Ak sa vykoná niekoľko pokusov a pravdepodobnosť udalosti A v každom pokuse nezávisí od výsledkov iných pokusov, potom sa takéto pokusy nazývajú nezávislý vo vzťahu k udalosti A .
V rôznych nezávislých skúškach môže mať udalosť A buď rôzne pravdepodobnosti, alebo rovnakú pravdepodobnosť. Ďalej budeme uvažovať len také nezávislé pokusy, v ktorých má udalosť A rovnakú pravdepodobnosť.
Nižšie používame koncept komplexný udalosti, pochopenie tým spojenie viacerých samostatných udalostí, ktoré sú tzv jednoduché .
Nech sa vyrába n nezávislé pokusy, v každom z ktorých udalosť A môže alebo nemusí nastať. Zhodneme sa na predpoklade, že pravdepodobnosť udalosti A v každom pokuse je rovnaká, teda rovná sa R . Preto je pravdepodobnosť, že sa udalosť A v každom pokuse nevyskytne, tiež konštantná a rovná q = 1 - p .
Dajme si za úlohu vypočítať pravdepodobnosť, že n testy, udalosť A nastane presne k krát, a preto sa neuskutoční n-k raz. Je dôležité zdôrazniť, že sa nevyžaduje, aby sa udalosť A presne opakovala k krát v určitom poradí.
Napríklad, ak hovoríme o výskyte udalosti ALE trikrát v štyroch pokusoch sú možné tieto zložité udalosti: AAA, AAA, AAA, AAA. Nahrávanie AAA znamená, že v prvom, druhom a treťom pokuse event ALE prišiel, ale v štvrtom teste sa to už neobjavilo, t.j. stal sa opak ALE; ostatné položky majú zodpovedajúci význam.
Označte požadovanú pravdepodobnosť R p (k) . Napríklad symbol R 5 (3) znamená pravdepodobnosť, že v piatich pokusoch sa udalosť vyskytne presne 3-krát, a teda nenastane 2-krát.
Problém možno vyriešiť pomocou takzvaného Bernoulliho vzorca.
Odvodenie Bernoulliho vzorca. Pravdepodobnosť jedného zloženého deja spočívajúceho v tom, že v P testovacie podujatie ALE príde k raz a nepríde n - k krát sa podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí rovná p k q n - k . Takýchto zložitých udalostí môže byť toľko, koľko je ich kombinácií P prvky podľa k prvky, t.j. C n k .
Od týchto zložitých udalostí nezlučiteľné, potom podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí požadovaná pravdepodobnosť sa rovná súčtu pravdepodobností všetkých možných komplexných udalostí. Keďže pravdepodobnosti všetkých týchto komplexných udalostí sú rovnaké, požadovaná pravdepodobnosť (výskytu k časy udalostí ALE v P testy) sa rovná pravdepodobnosti jednej komplexnej udalosti vynásobenej ich počtom:
Výsledný vzorec sa nazýva Bernoulliho vzorec .
Príklad 1. Pravdepodobnosť, že spotreba elektriny počas jedného dňa neprekročí stanovenú normu, sa rovná p = 0,75 . Nájdite pravdepodobnosť, že v nasledujúcich 6 dňoch spotreba elektriny počas 4 dní neprekročí normu.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť bežnej spotreby elektrickej energie počas každého zo 6 dní je konštantná a rovná sa p = 0,75 . Pravdepodobnosť nadmerného výdaja elektriny každý deň je preto tiež konštantná a rovná q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Požadovaná pravdepodobnosť podľa Bernoulliho vzorca sa rovná:
