Geometria je veľmi mnohostranná veda. Rozvíja logiku, predstavivosť a inteligenciu. Samozrejme, pre svoju zložitosť a obrovské množstvo teorémov a axióm sa školákom nie vždy páči. Okrem toho je potrebné neustále dokazovať svoje závery pomocou všeobecne uznávaných noriem a pravidiel.

Priľahlé a vertikálne uhly sú neoddeliteľnou súčasťou geometrie. Určite ich mnohí školáci jednoducho zbožňujú z toho dôvodu, že ich vlastnosti sú jasné a ľahko dokázateľné.

Tvorba rohov

Akýkoľvek uhol je vytvorený priesečníkom dvoch čiar alebo nakreslením dvoch lúčov z jedného bodu. Môžu sa nazývať jedno písmeno alebo tri, ktoré postupne označujú body konštrukcie rohu.

Uhly sa merajú v stupňoch a môžu sa (v závislosti od ich hodnoty) nazývať inak. Existuje teda pravý uhol, ostrý, tupý a nasadený. Každému z názvov zodpovedá určitá miera stupňa alebo jej interval.

Ostrý uhol je uhol, ktorého veľkosť nepresahuje 90 stupňov.

Tupý uhol je uhol väčší ako 90 stupňov.

Uhol sa nazýva pravý, keď je jeho miera 90.

V prípade, že je tvorená jednou súvislou priamkou a jej miera stupňov je 180, nazýva sa rozmiestnená.

Uhly, ktoré majú spoločnú stranu, ktorej druhá strana na seba nadväzuje, sa nazývajú susedné. Môžu byť ostré alebo tupé. Priesečník priamky tvorí susedné uhly. Ich vlastnosti sú nasledovné:

1. Súčet takýchto uhlov sa bude rovnať 180 stupňom (existuje veta, ktorá to dokazuje). Preto sa jeden z nich dá ľahko vypočítať, ak je známy druhý.
2. Z prvého bodu vyplýva, že susedné uhly nemôžu tvoriť dva tupé alebo dva ostré uhly.

Vďaka týmto vlastnostiam sa dá vždy vypočítať miera uhla vzhľadom na hodnotu iného uhla alebo aspoň pomer medzi nimi.

Vertikálne uhly

Uhly, ktorých strany sú vzájomným pokračovaním, sa nazývajú vertikálne. Ako taký pár môže pôsobiť ktorákoľvek z ich odrôd. Vertikálne uhly sú vždy rovnaké.

Vznikajú pri pretínaní čiar. Spolu s nimi sú vždy prítomné susedné rohy. Uhol môže byť priľahlý pre jednu a vertikálny pre druhú.

Pri prechode ľubovoľnou čiarou sa zvažuje aj niekoľko ďalších typov uhlov. Takáto čiara sa nazýva sečna a tvorí zodpovedajúce, jednostranné a priečne ležiace uhly. Navzájom sú si rovní. Možno ich vidieť vo svetle vlastností, ktoré majú vertikálne a susedné uhly.

Téma rohov sa teda zdá byť celkom jednoduchá a zrozumiteľná. Všetky ich vlastnosti sa dajú ľahko zapamätať a dokázať. Riešenie problémov nie je ťažké, pokiaľ uhly zodpovedajú číselnej hodnote. Už ďalej, keď sa začne štúdium hriechu a cos, budete si musieť zapamätať mnoho zložitých vzorcov, ich záverov a dôsledkov. Dovtedy si môžete užiť len jednoduché hádanky, v ktorých musíte nájsť priľahlé rohy.

KAPITOLA I.

ZÁKLADNÉ POJMY.

§jedenásť. PRIDAJÚCE A VERTIKÁLNE UHLY.

1. Priľahlé rohy.

Ak budeme pokračovať stranou niektorého rohu za jeho vrchol, dostaneme dva rohy (obr. 72): / Slnko a / SVD, v ktorom je jedna strana BC spoločná a ďalšie dve AB a BD tvoria priamku.

Dva uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a ďalšie dva tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly možno získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neležiacej na danej priamke), získame susedné uhly.
Napríklad, / ADF a / FDВ - priľahlé rohy (obr. 73).

Priľahlé rohy môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže umma dvoch susedných uhlov je 2d.

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme hodnotu jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť hodnotu druhého susedného uhla.

Napríklad, ak jeden zo susedných uhlov je 3/5 d, potom sa druhý uhol bude rovnať:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla.

Nechať byť / 1 = 7 / 8 d(obr. 76). Susedí s ním / 2 sa bude rovnať 2 d- 7 / 8 d t.j. 1 1/8 d.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú / 3 a / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(obr. 77).

To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastnosti zvislých uhlov je potrebné overiť zdôvodnením, dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

/ +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(keďže súčet susedných uhlov je 2 d).

/ +/ c = / b +/ c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa rovná 2 d a jeho pravá strana sa tiež rovná 2 d).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol s.

Ak od rovnakých hodnôt odpočítame rovnako, zostane rovnako. Výsledkom bude: / a = / b t.j. vertikálne uhly sú si navzájom rovné.

Pri zvažovaní otázky vertikálnych uhlov sme najprv vysvetlili, ktoré uhly sa nazývajú vertikálne, t.j. dali sme definícia zvislé rohy.

Potom sme si urobili úsudok (výrok) o rovnosti vertikálnych uhlov a o platnosti tohto úsudku sme sa presvedčili dôkazom. Takéto rozsudky, ktorých platnosť musí byť preukázaná, sa nazývajú teorémy. V tejto časti sme teda uviedli definíciu vertikálnych uhlov a tiež uviedli a dokázali vetu o ich vlastnosti.

V budúcnosti sa pri štúdiu geometrie budeme musieť neustále stretávať s definíciami a dôkazmi viet.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 / 1, / 2, / 3 a / 4 sú umiestnené na rovnakej strane priamky a majú spoločný vrchol na tejto priamke. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na výkrese 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 majú spoločný vrch. V súhrne tieto uhly tvoria celý uhol, t.j. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Cvičenia.

1. Jeden zo susedných uhlov je 0,72 d. Vypočítajte uhol, ktorý zvierajú osy týchto susedných uhlov.

2. Dokážte, že osy dvoch susedných uhlov tvoria pravý uhol.

3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.

4. Koľko párov susedných rohov je na výkrese 81?

5. Môže sa dvojica susediacich uhlov skladať z dvoch ostrých uhlov? z dvoch tupých rohov? z pravého a tupého uhla? z pravého a ostrého uhla?

6. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, čo sa potom dá povedať o hodnote susedného uhla?

7. Ak je v priesečníku dvoch priamok jeden pravý uhol, čo sa potom dá povedať o veľkosti ostatných troch uhlov?

Lekcia 8 Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla. TEOREM. Vertikálne uhly sú rovnaké. Dôkaz: = = 180 Podobné = = = 3 2 = 4 Riešenie úloh: 64, 66 Domáca úloha: položky 11, 66, 67

Matematický diktát. 1 možnosť. 1. Doplňte vetu: „Ak uhly 1 a 2 susedia, potom ich súčet...“ 2. Bude uhol susediaci s uhlom 30 stupňov ostrý, tupý alebo pravý? 3. Súčet dvoch uhlov je 180 stupňov. Musia tieto uhly susediť? 4. Priamky AM a CE sa pretínajú v bode O, ktorý leží medzi nimi. Spôsobilo to vertikálne uhly? Ak áno, pomenujte ich. 5. Aký je uhol, ak zvislý uhol s ním je 34 stupňov? 6. Jeden zo štyroch uhlov vyplývajúcich z priesečníka dvoch priamok je 140 stupňov. Aké sú ostatné uhly? 7. Dva rohy majú spoločný vrchol, prvý roh má 40 stupňov, druhý 140 stupňov. Sú tieto rohy vertikálne? Možnosť 2. 1. Doplňte vetu: „Dva uhly sa nazývajú susedné, ak jedna strana je spoločná a druhá...“ 2. Bude uhol susediaci s uhlom 130 stupňov ostrý, tupý alebo pravý? 3. Súčet dvoch uhlov so spoločnou stranou 180 stupňov. Musia tieto uhly susediť? 4. Žiak postavil 2 zvislé rohy. Koľko párov priamych čiar to viedlo? 5. Dva rohy majú spoločný vrchol, každý z týchto rohov sa rovná 60 stupňom. Musia byť tieto uhly vertikálne? 6. Jeden zo štyroch uhlov vyplývajúcich z priesečníka dvoch priamok je 80 stupňov. Aké sú ostatné uhly? 7. Aký je uhol, ak zvislý uhol s ním je 120 stupňov?

Odpovede. 1. Rovná sa 180 stupňom 2. Tupý uhol 3. Nie 4. Uhly AOC a EOM, AOE a COM stupne a 40 stupňov 7. Áno 1. Ďalšie lúče 2. Ostrý uhol 3. Nie 4. Jeden pár 5. Nie a 100 stupňov stupňov