Prvá úroveň

Lineárne rovnice. Kompletný sprievodca (2019)

Čo sú to "lineárne rovnice"

alebo verbálne - traja priatelia dostali jablká každý, na základe skutočnosti, že Vasya má všetky jablká.

A teraz ste sa rozhodli lineárna rovnica
Teraz dajme tomuto pojmu matematickú definíciu.

Lineárna rovnica - je algebraická rovnica, ktorej celkový stupeň polynómov, ktoré ju tvoria, je. Vyzerá to takto:

Kde a sú nejaké čísla a

Pre náš prípad s Vasyou a jablkami napíšeme:

- "ak Vasya dá všetkým trom priateľom rovnaký počet jabĺk, nezostanú mu žiadne jablká"

„Skryté“ lineárne rovnice, alebo dôležitosť identických transformácií

Napriek tomu, že na prvý pohľad je všetko veľmi jednoduché, pri riešení rovníc musíte byť opatrní, pretože lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru, ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa transformáciou a zjednodušením redukujú na tento tvar. Napríklad:

Vidíme, že je vpravo, čo už teoreticky naznačuje, že rovnica nie je lineárna. Navyše, ak otvoríme zátvorky, dostaneme ďalšie dva výrazy, v ktorých bude, ale nerob unáhlené závery! Pred posudzovaním, či je rovnica lineárna, je potrebné vykonať všetky transformácie a tým zjednodušiť pôvodný príklad. V tomto prípade môžu transformácie zmeniť vzhľad, ale nie samotnú podstatu rovnice.

Inými slovami, tieto transformácie musia byť identické alebo ekvivalent. Existujú len dve takéto premeny, ale zohrávajú veľmi, VEĽMI dôležitú úlohu pri riešení problémov. Uvažujme obe transformácie na konkrétnych príkladoch.

Pohyb doľava - doprava.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu:

Ešte na základnej škole nám hovorili: "s X - doľava, bez X - doprava." Aký výraz s x je vpravo? Správne, nie ako nie. A to je dôležité, pretože ak je táto zdanlivo jednoduchá otázka nepochopená, prichádza nesprávna odpoveď. A aký je výraz s x vľavo? Správne, .

Teraz, keď sme sa tým zaoberali, presunieme všetky pojmy s neznámymi doľava a všetko, čo je známe, napravo, pamätajúc si, že ak napríklad pred číslom nie je žiadne znamienko, potom je číslo kladné, že je, predchádza mu znak " ".

Presunutý? Čo si dostal?

Zostáva len priniesť podobné podmienky. Predstavujeme:

Prvú identickú transformáciu sme teda úspešne analyzovali, aj keď som si istý, že ste ju už poznali a aktívne ste ju používali aj bezo mňa. Hlavná vec - nezabudnite na znamienka čísel a pri prenose cez znamienko rovnosti ich zmeňte na opak!

Násobenie-delenie.

Začnime hneď príkladom

Pozeráme a rozmýšľame: čo sa nám na tomto príklade nepáči? Neznáme je všetko v jednej časti, známe je v druhej, ale niečo nám bráni ... A toto je niečo - štvorka, pretože keby tam nebola, všetko by bolo dokonalé - x sa rovná číslu - presne ako potrebujeme!

Ako sa toho môžete zbaviť? Nemôžeme preniesť doprava, pretože potom musíme preniesť celý multiplikátor (nemôžeme ho vziať a odtrhnúť od neho) a preniesť celý multiplikátor tiež nemá zmysel ...

Je čas zapamätať si delenie, v súvislosti s ktorým rozdelíme všetko len na! Všetko - to znamená ľavú aj pravú stranu. Tak a len tak! čo získame?

Tu je odpoveď.

Pozrime sa teraz na ďalší príklad:

Hádajte, čo robiť v tomto prípade? Správne, vynásobte ľavú a pravú časť! Akú odpoveď ste dostali? správne. .

O identických premenách ste už určite vedeli všetko. Zvážte, že sme si práve osviežili tieto poznatky v pamäti a je čas na niečo viac - Napríklad vyriešiť náš veľký príklad:

Ako sme už povedali, pri pohľade na to nemôžete povedať, že táto rovnica je lineárna, ale musíme otvoriť zátvorky a vykonať rovnaké transformácie. Tak poďme na to!

Na začiatok si pripomenieme vzorce pre skrátené násobenie, najmä druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu. Ak si nepamätáte, čo to je a ako sa otvárajú zátvorky, dôrazne vám odporúčam prečítať si túto tému, pretože tieto zručnosti vám budú užitočné pri riešení takmer všetkých príkladov nájdených na skúške.
Odhalené? Porovnaj:

Teraz je čas priniesť podobné podmienky. Pamätáte si, ako nám na tých istých základných triedach povedali „nedávame muchy k rezňom“? Tu vám to pripomínam. Všetko pridávame samostatne – faktory, ktoré majú, faktory, ktoré majú, a ďalšie faktory, ktoré nemajú neznáme. Keď prinesiete podobné pojmy, posuňte všetky neznáme doľava a všetko, čo je známe, doprava. Čo si dostal?

Ako vidíte, x-štvorec zmizol a vidíme úplne obyčajný lineárna rovnica. Zostáva len nájsť!

A na záver poviem o identických transformáciách ešte jednu veľmi dôležitú vec – identické transformácie sú použiteľné nielen pre lineárne rovnice, ale aj pre štvorcové, zlomkové racionálne a iné. Musíte si len pamätať, že pri prenose faktorov cez znamienko rovnosti zmeníme znamienko na opačné a pri delení alebo násobení nejakým číslom vynásobíme / delíme obe strany rovnice rovnakým číslom.

Čo ste si ešte z tohto príkladu odniesli? Pri pohľade na rovnicu nie je vždy možné priamo a presne určiť, či je lineárna alebo nie. Najprv musíte výraz úplne zjednodušiť a až potom posúdiť, čo to je.

Lineárne rovnice. Príklady.

Tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré si môžete precvičiť sami - určite, či je rovnica lineárna, a ak áno, nájdite jej korene:

odpovede:

1. Je.

2. Nie je.

Otvorme zátvorky a dajme podobné výrazy:

Urobme identickú transformáciu - ľavú a pravú časť rozdelíme na:

Vidíme, že rovnica nie je lineárna, takže netreba hľadať jej korene.

3. Je.

Urobme identickú transformáciu - vynásobte ľavú a pravú časť čím, aby ste sa zbavili menovateľa.

Premýšľajte, prečo je to také dôležité? Ak poznáte odpoveď na túto otázku, prejdeme k ďalšiemu riešeniu rovnice, ak nie, určite nahliadnite do témy, aby ste sa nepomýlili v zložitejších príkladoch. Mimochodom, ako vidíte, situácia, keď je to nemožné. prečo?
Takže poďme ďalej a usporiadajme rovnicu:

Ak ste sa so všetkým vyrovnali bez problémov, povedzme si o lineárnych rovniciach s dvoma premennými.

Lineárne rovnice s dvoma premennými

Teraz prejdime k trochu zložitejšiemu – lineárnym rovniciam s dvoma premennými.

Lineárne rovnice s dvoma premennými vyzerajú takto:

Kde a sú nejaké čísla a.

Ako vidíte, jediný rozdiel je v tom, že do rovnice sa pridáva ešte jedna premenná. A tak je všetko po starom – neexistujú žiadne x na druhú, neexistuje delenie premennou atď. atď.

Aký životný príklad vám dať ... Vezmime si to isté Vasya. Predpokladajme, že sa rozhodne, že každému zo svojich 3 priateľov dá rovnaký počet jabĺk a jablká si nechá pre seba. Koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, ak dá každému priateľovi jablko? Čo takto? Čo ak do?

Závislosť počtu jabĺk, ktoré každá osoba dostane, od celkového počtu jabĺk, ktoré je potrebné kúpiť, vyjadruje rovnica:

• - počet jabĺk, ktoré osoba dostane (, alebo, alebo);
• - počet jabĺk, ktoré si Vasya vezme pre seba;
• - koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, berúc do úvahy počet jabĺk na osobu.

Po vyriešení tohto problému zistíme, že ak Vasya dá jednému priateľovi jablko, musí si kúpiť kúsky, ak dá jablká - a tak ďalej.

A všeobecne povedané. Máme dve premenné. Prečo nevykresliť túto závislosť do grafu? Hodnotu našich, teda bodov, staviame a označíme súradnicami a!

Ako vidíte, a závisí jeden na druhom lineárne, odtiaľ názov rovníc - “ lineárne».

Abstrahujeme od jabĺk a uvažujeme graficky odlišné rovnice. Pozorne si pozrite dva zostrojené grafy – priamku a parabolu, dané ľubovoľnými funkciami:

Nájdite a označte zodpovedajúce body na oboch obrázkoch.
Čo si dostal?

Môžete to vidieť na grafe prvej funkcie sám zodpovedá jeden, teda a lineárne na sebe závisia, čo sa o druhej funkcii povedať nedá. Samozrejme, môžete namietať, že na druhom grafe x zodpovedá aj - , ale to je len jeden bod, teda špeciálny prípad, keďže aj tak sa dá nájsť taký, ktorý zodpovedá viacerým. A zostrojený graf nijako nepripomína priamku, ale je parabolou.

Opakujem, ešte raz: graf lineárnej rovnice musí byť ROVNÁ čiara.

S tým, že rovnica nebude lineárna, ak pôjdeme do akejkoľvek miery - to je pochopiteľné na príklade paraboly, aj keď pre seba si môžete zostaviť niekoľko jednoduchých grafov, napr. Ale uisťujem vás – žiadna z nich nebude PRIAMA.

neveríte? Zostavte a potom porovnajte s tým, čo som dostal:

A čo sa stane, ak niečo vydelíme napríklad nejakým číslom? Bude existovať lineárna závislosť a? Nebudeme sa hádať, ale budeme stavať! Zostavme si napríklad funkčný graf.

Nejako to nevyzerá ako postavená priamka ... rovnica teda nie je lineárna.
Poďme si to zhrnúť:

1. Lineárna rovnica - je algebraická rovnica, v ktorej je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovnaký.
2. Lineárna rovnica s jednou premennou vyzerá takto:
   , kde a sú akékoľvek čísla;
   Lineárna rovnica s dvoma premennými:
   , kde a sú akékoľvek čísla.
3. Nie je vždy možné okamžite určiť, či je rovnica lineárna alebo nie. Niekedy, aby sme to pochopili, je potrebné vykonať identické transformácie, presunúť podobné výrazy doľava / doprava, nezabudnúť zmeniť znamienko alebo vynásobiť / rozdeliť obe časti rovnice rovnakým číslom.

LINEÁRNE ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

1. Lineárna rovnica

Toto je algebraická rovnica, v ktorej je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovnaký.

2. Lineárna rovnica s jednou premennou vyzerá ako:

Kde a sú nejaké čísla;

3. Lineárna rovnica s dvoma premennými vyzerá ako:

Kde a sú nejaké čísla.

4. Premeny identity

Na určenie, či je rovnica lineárna alebo nie, je potrebné vykonať identické transformácie:

• pohybovať sa doľava/doprava ako výrazy, pričom nezabudnite zmeniť znamienko;
• vynásobte/vydeľte obe strany rovnice rovnakým číslom.

Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pred študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak ste nezvládli úkony, ktoré sa majú vykonať s rovnicami z prvej skupiny, s ostatnými si poradíte len ťažko.

Aby sme mohli pokračovať v konverzácii, musíme sa dohodnúť na notácii.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s jednou neznámou a princíp jej riešenia

Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:

a * x = in,

volal lineárne. Toto je všeobecný vzorec. Ale často v zadaniach sú lineárne rovnice napísané v implicitnej forme. Potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa získal všeobecne akceptovaný zápis. Tieto akcie zahŕňajú:

• otváracie konzoly;
• posunutie všetkých členov s premennou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
• zníženie podobných podmienok.

V prípade, že neznáma hodnota je v menovateli zlomku, je potrebné určiť jej hodnoty, pre ktoré výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, predpokladá sa, že pozná doménu rovnice.

Princíp, ktorým sa riešia všetky lineárne rovnice, je vydeliť hodnotu na pravej strane rovnice koeficientom pred premennou. To znamená, že "x" sa bude rovnať / a.

Jednotlivé prípady lineárnej rovnice a ich riešenia

Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.

V prvej situácii:

a * x = 0 a ≠ 0.

Riešenie tejto rovnice bude vždy x = 0.

V druhom prípade má „a“ hodnotu rovnajúcu sa nule:

0 * x = 0.

Odpoveďou na túto rovnicu je ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Tretia situácia vyzerá takto:

0*x=in, kde v ≠ 0.

Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ho uspokojovali.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s dvoma premennými

Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme množstvá. Lineárne rovnice s dvoma premennými vyzerať takto:

a * x + b * y = c.

Keďže v položke sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí zadať iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pri ktorých sa rovnica stáva identitou, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi je vždy prvá napísaná premenná, ktorá je v abecede na prvom mieste. Niekedy sa hovorí, že ho tieto čísla uspokojujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.

Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma neznámymi?

Aby ste to dosiahli, musíte si vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.

Pri riešení musíte často vykonávať akcie na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa identické transformácie. Okrem toho pre rovnice vždy platia nasledujúce vlastnosti:

• každý výraz možno preniesť na opačnú časť rovnosti nahradením jeho znamienka opačným;
• ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice možno deliť rovnakým číslom, ak sa nerovná nule.

Príklady úloh s lineárnymi rovnicami

Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V rovnici, ktorá je na prvom mieste v tomto zozname, stačí jednoducho vydeliť 20 4. Výsledkom bude 5. Toto je odpoveď: x \u003d 5.

Tretia rovnica vyžaduje, aby sa uskutočnila transformácia identity. Bude to spočívať v otváraní zátvoriek a uvádzaní podobných výrazov. Po prvej akcii bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Potom musíte preniesť všetky neznáme na ľavú stranu rovnosti a zvyšok na pravú. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Po uvedení podobných výrazov: 14x \u003d 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie je ľahké nájsť. Odpoveď je x=8/7. Ale v matematike sa predpokladá, že izoluje celú časť od nesprávneho zlomku. Potom bude výsledok transformovaný a "x" sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.

Vo zvyšných príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pre aké hodnoty sú rovnice definované. Aby ste to dosiahli, musíte vylúčiť čísla, pri ktorých sa menovatelia zmenia na nulu. V prvom z príkladov je to "-4", v druhom je to "-3". To znamená, že tieto hodnoty by mali byť z odpovede vylúčené. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.

Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov v prvej z týchto rovníc vyjde: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešením prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná "-3", čo znamená, že posledný nemá žiadne riešenia.

Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.

Predpokladajme, že prvá neznáma x \u003d 1, potom bude mať rovnica tvar -7 * 1 + 2y \u003d 5. Prenesením násobiteľa "-7" na pravú stranu rovnosti a zmenou jeho znamienka na plus sa zmení z toho 2 roky \u003d 12. Takže y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.

Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou

Všetky možné situácie nerovností sú uvedené tu:

• a * x > b;
• a*x< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤ c.

Vo všeobecnosti to vyzerá ako najjednoduchšia lineárna rovnica, iba znamienko rovnosti je nahradené nerovnicou.

Pravidlá pre identické transformácie nerovnosti

Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Došli k tomuto:

1. k ľavej a pravej časti nerovnosti možno pridať ľubovoľný doslovný alebo číselný výraz a znak nerovnosti zostane rovnaký;
2. je tiež možné násobiť alebo deliť rovnakým kladným číslom, od toho sa opäť znamienko nemení;
3. pri násobení alebo delení rovnakým záporným číslom zostane rovnosť pravdivá za predpokladu, že znamienko nerovnosti sa obráti.

Všeobecná forma dvojitých nerovností

V úlohách môžu byť prezentované tieto varianty nerovností:

• v< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• v< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Nazýva sa dvojitý, pretože je obmedzený znakmi nerovnosti na oboch stranách. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako bežné nerovnosti. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.

Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností

Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v zložitých prípadoch to môže byť jednoducho nevyhnutné.

Pre znázornenie nerovnosti je potrebné na osi vyznačiť všetky body, ktoré boli získané pri uvažovaní. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené bodkami, ako aj o hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť body. Ak je nerovnosť prísna, potom< или >, potom sú tieto hodnoty prepichnuté. V neprísnych nerovnostiach treba body prelakovať.

Potom je potrebné uviesť význam nerovností. To sa dá urobiť šrafovaním alebo oblúkmi. Ich priesečník ukáže odpoveď.

Druhá vlastnosť súvisí s jej nahrávaním. Ponúkajú sa tu dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme medzier. Tu sa dostáva do problémov. Odpoveď v medzerách vždy vyzerá ako premenná so znakom vlastníctva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom musíte do zátvoriek napísať symbol „a“. Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhle sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede, a obdĺžniková zahŕňa túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.

Príklady riešenia nerovností

1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.

Po jednoduchých transformáciách to vyjde: -5x ≥ 30. Delením „-5“ dostanete nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].

2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprv musíte všade odčítať 6. Ukáže sa: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussovej a Cramerovej sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica s jednou premennou.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje znížiť ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je jedným z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v nadstavbovom študijnom programe na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pred študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak ste nezvládli úkony, ktoré sa majú vykonať s rovnicami z prvej skupiny, s ostatnými si poradíte len ťažko.

Aby sme mohli pokračovať v konverzácii, musíme sa dohodnúť na notácii.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s jednou neznámou a princíp jej riešenia

Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:

a * x = in,

volal lineárne. Toto je všeobecný vzorec. Ale často v zadaniach sú lineárne rovnice napísané v implicitnej forme. Potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa získal všeobecne akceptovaný zápis. Tieto akcie zahŕňajú:

• otváracie konzoly;
• posunutie všetkých členov s premennou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
• zníženie podobných podmienok.

V prípade, že neznáma hodnota je v menovateli zlomku, je potrebné určiť jej hodnoty, pre ktoré výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, predpokladá sa, že pozná doménu rovnice.

Princíp, ktorým sa riešia všetky lineárne rovnice, je vydeliť hodnotu na pravej strane rovnice koeficientom pred premennou. To znamená, že "x" sa bude rovnať / a.

Jednotlivé prípady lineárnej rovnice a ich riešenia

Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.

V prvej situácii:

a * x = 0 a ≠ 0.

Riešenie tejto rovnice bude vždy x = 0.

V druhom prípade má „a“ hodnotu rovnajúcu sa nule:

0 * x = 0.

Odpoveďou na túto rovnicu je ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Tretia situácia vyzerá takto:

0*x=in, kde v ≠ 0.

Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ho uspokojovali.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s dvoma premennými

Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme množstvá. Lineárne rovnice s dvoma premennými vyzerať takto:

a * x + b * y = c.

Keďže v položke sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí zadať iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pri ktorých sa rovnica stáva identitou, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi je vždy prvá napísaná premenná, ktorá je v abecede na prvom mieste. Niekedy sa hovorí, že ho tieto čísla uspokojujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.

Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma neznámymi?

Aby ste to dosiahli, musíte si vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.

Pri riešení musíte často vykonávať akcie na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa identické transformácie. Okrem toho pre rovnice vždy platia nasledujúce vlastnosti:

• každý výraz možno preniesť na opačnú časť rovnosti nahradením jeho znamienka opačným;
• ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice možno deliť rovnakým číslom, ak sa nerovná nule.

Príklady úloh s lineárnymi rovnicami

Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V rovnici, ktorá je na prvom mieste v tomto zozname, stačí jednoducho vydeliť 20 4. Výsledkom bude 5. Toto je odpoveď: x \u003d 5.

Tretia rovnica vyžaduje, aby sa uskutočnila transformácia identity. Bude to spočívať v otváraní zátvoriek a uvádzaní podobných výrazov. Po prvej akcii bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Potom musíte preniesť všetky neznáme na ľavú stranu rovnosti a zvyšok na pravú. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Po uvedení podobných výrazov: 14x \u003d 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie je ľahké nájsť. Odpoveď je x=8/7. Ale v matematike sa predpokladá, že izoluje celú časť od nesprávneho zlomku. Potom bude výsledok transformovaný a "x" sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.

Vo zvyšných príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pre aké hodnoty sú rovnice definované. Aby ste to dosiahli, musíte vylúčiť čísla, pri ktorých sa menovatelia zmenia na nulu. V prvom z príkladov je to "-4", v druhom je to "-3". To znamená, že tieto hodnoty by mali byť z odpovede vylúčené. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.

Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov v prvej z týchto rovníc vyjde: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešením prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná "-3", čo znamená, že posledný nemá žiadne riešenia.

Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.

Predpokladajme, že prvá neznáma x \u003d 1, potom bude mať rovnica tvar -7 * 1 + 2y \u003d 5. Prenesením násobiteľa "-7" na pravú stranu rovnosti a zmenou jeho znamienka na plus sa zmení z toho 2 roky \u003d 12. Takže y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.

Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou

Všetky možné situácie nerovností sú uvedené tu:

• a * x > b;
• a*x< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤ c.

Vo všeobecnosti to vyzerá ako najjednoduchšia lineárna rovnica, iba znamienko rovnosti je nahradené nerovnicou.

Pravidlá pre identické transformácie nerovnosti

Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Došli k tomuto:

1. k ľavej a pravej časti nerovnosti možno pridať ľubovoľný doslovný alebo číselný výraz a znak nerovnosti zostane rovnaký;
2. je tiež možné násobiť alebo deliť rovnakým kladným číslom, od toho sa opäť znamienko nemení;
3. pri násobení alebo delení rovnakým záporným číslom zostane rovnosť pravdivá za predpokladu, že znamienko nerovnosti sa obráti.

Všeobecná forma dvojitých nerovností

V úlohách môžu byť prezentované tieto varianty nerovností:

• v< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• v< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Nazýva sa dvojitý, pretože je obmedzený znakmi nerovnosti na oboch stranách. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako bežné nerovnosti. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.

Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností

Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v zložitých prípadoch to môže byť jednoducho nevyhnutné.

Pre znázornenie nerovnosti je potrebné na osi vyznačiť všetky body, ktoré boli získané pri uvažovaní. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené bodkami, ako aj o hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť body. Ak je nerovnosť prísna, potom< или >, potom sú tieto hodnoty prepichnuté. V neprísnych nerovnostiach treba body prelakovať.

Potom je potrebné uviesť význam nerovností. To sa dá urobiť šrafovaním alebo oblúkmi. Ich priesečník ukáže odpoveď.

Druhá vlastnosť súvisí s jej nahrávaním. Ponúkajú sa tu dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme medzier. Tu sa dostáva do problémov. Odpoveď v medzerách vždy vyzerá ako premenná so znakom vlastníctva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom musíte do zátvoriek napísať symbol „a“. Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhle sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede, a obdĺžniková zahŕňa túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.

Príklady riešenia nerovností

1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.

Po jednoduchých transformáciách to vyjde: -5x ≥ 30. Delením „-5“ dostanete nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].

2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprv musíte všade odčítať 6. Ukáže sa: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

A tak ďalej, je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cieľavedomé štúdium začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíte vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty, ukázať jej všeobecný tvar. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť študovanú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešenia.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice v dvoch premenných.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná formou jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a ďalších je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Typ rovnice ax=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc zodpovedajúcich znenej definícii. Napríklad 5 x=10 je lineárna rovnica s jednou premennou x, tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3 y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y , kde a=−2,3 a b=0 . A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 a v druhej - b=3,33.

A o rok skôr sa v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina považovali okrem rovníc tvaru a x = b aj lineárne rovnice s jednou neznámou za rovnice, ktoré možno do tohto tvaru zredukovať prenesením členov z jedného časť rovnice na inú s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných pojmov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x=2 x+6 atď. sú tiež lineárne.

Nasledujúca definícia je uvedená v učebnici algebry pre 7 tried od A. G. Mordkovicha:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto druhu sú 2 x - 12 = 0, tu sa koeficient a rovná 2 a b sa rovná -12 a 0,2 y + 4,6 = 0 s koeficientmi a = 0,2 a b = 4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré nemajú tvar a x+b=0, ale ax=b, napríklad 3 x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, pod lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b budeme chápať rovnicu v tvare a x+b=0 . Zdá sa, že tento typ lineárnej rovnice je najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné vyššie uvedené rovnice, ako aj rovnice, ktoré sú pomocou ekvivalentných transformácií redukované do tvaru a x+b=0, sa budú nazývať rovnice redukujúce na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. sú lineárne rovnice.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň na a≠0 ,
• nemá korene pre a=0 a b≠0 ,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0 , v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že na riešenie rovníc je možné prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom,
• a tiež násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednou premennou v tvare a x+b=0 môžeme presunúť člen b z ľavej strany na pravú s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a x=−b.

A potom sa navrhne delenie oboch častí rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je iné ako nula, a prípad nuly a zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe časti rovnice a x=−b vydeliť a , potom sa prevedie do tvaru x=(−b): a , tento výsledok možno zapísať pomocou a plná čiara ako .

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici , z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1 . Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku definície rovnakých čísel cez rozdiel je ekvivalentná podmienke x 1 − x 2 ≠0 . Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a x+b=0, potom nastávajú číselné rovnosti a x 1 +b=0 a a x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odkiaľ a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 a potom a(x1−x2)=0. A táto rovnosť nie je možná, keďže a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dostali sme sa teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0 .

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a x+b=0 s a≠0 . Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto pododdielu je opodstatnený. Sú ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0 .

Pre a=0 sa lineárna rovnica a·x+b=0 zmení na 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, keď ho dosadíme do rovnice 0 x+b=0, dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť platí, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

Preto pre a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a x+b=0, keďže za týchto podmienok dosadením ľubovoľného čísla namiesto x získame správnu číselnú rovnosť 0=0. A pre a=0 a b≠0 lineárna rovnica a x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie akéhokoľvek čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Vyššie uvedené zdôvodnenia umožňujú vytvoriť postupnosť akcií, ktorá umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takze Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak je a odlišné od nuly, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom, pričom lineárna rovnica sa prevedie do tvaru a x=−b ,
• po ktorom sa obe časti výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, čím sa získa požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Napísaný algoritmus je vyčerpávajúcou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto odseku je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a x=b. Jeho rozdiel spočíva v tom, že keď a≠0, obe časti rovnice sú okamžite delené týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc tvaru a x=b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0 , potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0 , potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice rovný b / a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Poďme analyzovať, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôznym hodnotám koeficientov lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0 x−0=0 .

rozhodnutie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov, každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x+2,7=0 riešenia?

rozhodnutie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.