K otázke 1. Uveďte definíciu rovnobežiek. Ktoré dva úsečky sa nazývajú rovnobežné? daný autorom Saša Niževjasov najlepšia odpoveď je ktoré sa v rovine nikdy nepretnú

Odpoveď od prispôsobivosť[guru]
Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a buď sa zhodujú, alebo sa nepretínajú.

Odpoveď od Naumenko[guru]
segmentov. patriace do rovnobežných línií. sú paralelné.
priamky na rovine tzv. paralelný. ak sa nepretínajú alebo nezhodujú.

Odpoveď od Neurológ[nováčik]
Dve priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločný bod, sa nazývajú rovnobežné.

Odpoveď od Hodiť[majster]

Odpoveď od Varvara Lamekina[nováčik]
dve priamky v rovine sa považujú za rovnobežné, ak sa nepretínajú)

Odpoveď od Maxim Ivanov[nováčik]
Ktoré sa v rovine nepretínajú.

Odpoveď od Sem2805[aktívny]
dve čiary v rovine sa nazývajú rovnobežné, ak sa nepretínajú (7. stupeň)

Odpoveď od Saša Kľučnikov[nováčik]
Rovnobežné čiary v euklidovskej geometrii, čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. V absolútnej geometrii cez bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza aspoň jedna priamka, ktorá danú priamku nepretína. V euklidovskej geometrii existuje iba jedna takáto čiara. Tento fakt je ekvivalentný Euklidovmu piatemu postulátu (asi paralelne). V Lobačevského geometrii (pozri Lobačevského geometriu) v rovine cez bod C (pozri obrázok) mimo danej priamky AB existuje nekonečná množina priamok, ktoré AB nepretínajú. Z nich iba dva sa nazývajú paralelné s AB. Priamka CE sa nazýva rovnobežná s priamkou AB v smere od A do B, ak: 1) body B a E ležia na tej istej strane priamky AC; 2) priamka CE nepretína priamku AB; lúč pretína lúč prechádzajúci vnútorným uhlom ACE. AB Rovná čiara CF rovnobežná s AB v smere z B do A je definovaná podobne.

Odpoveď od Anatolij Mišin[nováčik]
Dve čiary v priestore sa nazývajú rovnobežné, ak ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa.

Odpoveď od Ўliya[aktívny]
Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré sa nepretínajú

Odpoveď od povedal charakov[nováčik]
Rovnobežné sú dve priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú žiadne spoločné body.
Cez bod možno nakresliť iba jednu priamku rovnobežnú s danou rovinou.

Odpoveď od Oľga Nemtyreva[nováčik]
Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a buď sa zhodujú, alebo sa nepretínajú. ..Lobačevského geometria) v rovine cez bod C (viď obr.) mimo danej priamky AB prechádza nekonečná množina priamok, ktoré AB nepretínajú. Z nich iba dva sa nazývajú paralelné s AB.

Odpoveď od Oksana Tyščenko[nováčik]
Rovnobežné čiary sú dve čiary v rovine, ktoré sa nepretínajú. Dva úsečky sa nazývajú rovnobežné, ak ležia na rovnobežných čiarach.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Tento článok je o rovnobežkách a rovnobežkách. Najprv je uvedená definícia rovnobežiek v rovine a v priestore, uvádza sa notácia, príklady a grafické znázornenie rovnobežiek. Ďalej sa analyzujú znaky a podmienky rovnobežnosti priamych čiar. V závere sú uvedené riešenia typických úloh dokazovania rovnobežnosti priamok, ktoré sú dané niektorými rovnicami priamky v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine a v trojrozmernom priestore.

Navigácia na stránke.

Paralelné čiary - základné informácie.

Definícia.

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný ak nemajú spoločné body.

Definícia.

Dve čiary v troch rozmeroch sa nazývajú paralelný ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Všimnite si, že klauzula „ak ležia v rovnakej rovine“ v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá. Ujasnime si tento bod: dve priame čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale sú zošikmené.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu poznámkového bloku ležia na rovnobežných čiarach. Priame čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Železničné trate na rovnom teréne možno považovať aj za paralelné čiary.

Symbol "" sa používa na označenie rovnobežných čiar. To znamená, že ak sú čiary a a b rovnobežné, potom môžete stručne napísať a b.

Všimnite si, že ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Vyslovme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri skúmaní rovnobežiek v rovine: bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie sa prijíma ako fakt (nedá sa dokázať na základe známych axióm planimetrie) a nazýva sa axióma rovnobežiek.

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek (jej dôkaz nájdete v učebnici geometrie triedy 10-11, ktorá je uvedená na konci článku v zozname literatúry).

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek.

Rovnobežnosť priamok - znaky a podmienky rovnobežnosti.

Znak rovnobežných línií je postačujúca podmienka pre rovnobežné vedenia, teda taká podmienka, ktorej splnenie zaručuje rovnobežné vedenia. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na konštatovanie skutočnosti, že čiary sú rovnobežné.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky sú aj pre rovnobežné priamky v rovine a v trojrozmernom priestore.

Vysvetlíme si význam slovného spojenia „nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežky“.

Už sme sa zaoberali dostatočnou podmienkou pre paralelné vedenia. A aká je „nevyhnutná podmienka pre paralelné vedenia“? Už pri názve "nevyhnutné" je jasné, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné, aby boli vedenia rovnobežné. Inými slovami, ak nie je splnená podmienka pre rovnobežné čiary, potom čiary nie sú rovnobežné. teda nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby boli čiary rovnobežné je podmienkou, ktorej splnenie je pre paralelné vedenia nevyhnutné aj postačujúce. To znamená, že na jednej strane je to znak rovnobežných čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred uvedením nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby boli čiary rovnobežné, je užitočné pripomenúť si niekoľko pomocných definícií.

sečná čiara je priamka, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných priamok.

Na priesečníku dvoch línií sečny sa vytvorí osem nerozmiestnených. Takzvaný ležiace priečne, zodpovedajúce a jednostranné rohy. Ukážme si ich na výkrese.

Veta.

Ak dve priamky v rovine pretína sečna, potom pre ich rovnobežnosť je potrebné a postačujúce, aby boli priečne ležiace uhly rovnaké, alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké, alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňom.

Ukážme si graficky túto nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežky v rovine.

Dôkazy týchto podmienok pre rovnobežky nájdete v učebniciach geometrie pre ročníky 7-9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že dve čiary a sečna ležia v rovnakej rovine.

Tu je niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú pri dokazovaní rovnobežnosti čiar.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z axiómy rovnobežných čiar.

Podobná podmienka platí pre rovnobežné čiary v trojrozmernom priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti sa zvažuje na hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujme vyjadrené vety.

Uveďme ešte jednu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť priamok v rovine.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné.

Podobná veta platí pre čiary v priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Nakreslime obrázky zodpovedajúce týmto teorémam.

Všetky vyššie formulované vety, znamienka a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú dokonale vhodné na dôkaz rovnobežnosti priamok pomocou metód geometrie. To znamená, že na dokázanie rovnobežnosti dvoch daných úsečiek je potrebné ukázať, že sú rovnobežné s treťou úsečkou, alebo ukázať rovnosť medzi sebou ležiacich uhlov atď. Mnohé z týchto problémov sa riešia na hodinách geometrie na strednej škole. Treba si však uvedomiť, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť metódu súradníc na dôkaz rovnobežnosti priamok v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Formulujme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme.

V tejto časti článku budeme formulovať nevyhnutné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme, v závislosti od typu rovníc, ktoré tieto čiary určujú, a uvedieme aj podrobné riešenia typických problémov.

Začnime podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy . Jeho dôkaz je založený na definícii smerového vektora priamky a definícii normálového vektora priamky v rovine.

Veta.

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálu. vektor druhého riadku.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine sa redukuje na (smerové vektory priamok alebo normálové vektory priamok) alebo na (smerový vektor jednej priamky a normálový vektor druhej priamky). Teda ak a sú smerové vektory priamok a a b, a a sú normálové vektory priamok a a b, potom nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby boli priamky a a b rovnobežné, možno zapísať ako , alebo , alebo , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice smerových a (alebo) normálových vektorov priamok a a b sa zase nachádzajú zo známych rovníc priamok.

Najmä ak priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú rovnicu priamky tvaru a priamka b - , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti priamok a a b sa zapíše ako .

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky s koeficientom sklonu tvaru . Ak sú teda priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť dané rovnicami priamych čiar so sklonovými koeficientmi, potom budú koeficienty sklonu priamok rovnaké. A naopak: ak nezhodné priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme môžu byť dané rovnicami priamky s rovnakými koeficientmi sklonu, potom sú takéto priamky rovnobežné.

Ak priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme definujú kanonické rovnice priamky v rovine formulára a , alebo parametrické rovnice priamky na rovine tvaru a potom smerové vektory týchto čiar majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti pre čiary a a b sa zapíše ako .

Poďme sa pozrieť na pár príkladov.

Príklad.

Sú čiary rovnobežné? a ?

rozhodnutie.

Rovnicu priamky v segmentoch prepíšeme do podoby všeobecnej rovnice priamky: . Teraz vidíme, že ide o normálny vektor priamky , a je normálnym vektorom priamky. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje žiadne reálne číslo t, pre ktoré platí rovnosť ( ). V dôsledku toho nie je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, preto dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď:

Nie, čiary nie sú rovnobežné.

Príklad.

Sú to priamky a rovnobežky?

rozhodnutie.

Kanonickú rovnicu priamky privedieme na rovnicu priamky so sklonom: . Je zrejmé, že rovnice čiar a nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a sklony čiar sú rovnaké, preto sú pôvodné čiary rovnobežné.

V tomto článku budeme hovoriť o paralelných líniách, poskytneme definície, označíme znaky a podmienky paralelizmu. Pre názornosť teoretického materiálu použijeme ilustrácie a riešenie typických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Rovnobežné čiary v rovine sú dve priame čiary v rovine, ktoré nemajú spoločné body.

Definícia 2

Paralelné čiary v 3D priestore- dve priamky v trojrozmernom priestore, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Treba poznamenať, že na určenie rovnobežných čiar v priestore je mimoriadne dôležité objasnenie „ležiace v rovnakej rovine“: dve čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú paralelné, ale pretínajúce sa.

Na označenie rovnobežných čiar sa bežne používa symbol ∥ . To znamená, že ak sú dané priamky a a b rovnobežné, túto podmienku treba stručne zapísať takto: a ‖ b . Slovne sa rovnobežnosť priamok označuje takto: priamky a a b sú rovnobežné, alebo priamka a je rovnobežná s priamkou b, alebo priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Formulujme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu v skúmanej téme.

axióma

Cez bod, ktorý nepatrí do danej priamky, vedie len jedna priamka rovnobežná s danou priamkou. Toto tvrdenie nemožno dokázať na základe známych axióm planimetrie.

V prípade, že ide o priestor, platí veta:

Veta 1

Cez akýkoľvek bod v priestore, ktorý nepatrí do danej priamky, bude s danou rovnobežnou len jedna priamka.

Táto veta sa dá ľahko dokázať na základe vyššie uvedenej axiómy (program geometrie pre ročníky 10-11).

Znak rovnobežnosti je dostatočnou podmienkou, za ktorej sú zaručené rovnobežné čiary. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na potvrdenie skutočnosti paralelizmu.

Predovšetkým sú potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť priamok v rovine a v priestore. Vysvetlime si: nevyhnutná znamená podmienku, ktorej splnenie je nevyhnutné pre rovnobežky; ak nie je splnené, čiary nie sú rovnobežné.

Suma sumárum, nutnou a postačujúcou podmienkou rovnobežnosti úsečiek je taká podmienka, ktorej dodržanie je nevyhnutné a postačujúce na to, aby úsečky boli navzájom rovnobežné. Na jednej strane je to znak paralelizmu, na druhej strane vlastnosť vlastná paralelným líniám.

Predtým, ako uvedieme presnú formuláciu nevyhnutných a postačujúcich podmienok, pripomenieme ešte niekoľko ďalších pojmov.

Definícia 3

sečná čiara je čiara, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných čiar.

Sečna, ktorá pretína dve priame čiary, tvorí osem neroztiahnutých uhlov. Na formulovanie potrebnej a postačujúcej podmienky použijeme také typy uhlov, ako sú priečne ležiace, zodpovedajúce a jednostranné. Ukážme si ich na ilustrácii:

Veta 2

Ak dve priamky v rovine pretínajú sečnicu, potom na to, aby boli dané priamky rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby priečne ležiace uhly boli rovnaké alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňa.

Znázornime graficky nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežky v rovine:

Dôkaz týchto podmienok je prítomný v programe geometrie pre ročníky 7-9.

Vo všeobecnosti sú tieto podmienky použiteľné aj pre trojrozmerný priestor za predpokladu, že dve čiary a sečna patria do rovnakej roviny.

Dovoľte nám poukázať na niekoľko ďalších viet, ktoré sa často používajú pri dokazovaní skutočnosti, že priamky sú rovnobežné.

Veta 3

V rovine sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné. Táto vlastnosť je dokázaná na základe vyššie uvedenej axiómy rovnobežnosti.

Veta 4

V trojrozmernom priestore sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné.

Doklad o atribúte sa študuje v programe geometria pre 10. ročník.

Uvádzame ilustráciu týchto teorém:

Naznačme ešte jednu dvojicu viet, ktoré dokazujú rovnobežnosť priamok.

Veta 5

V rovine sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Sformulujme podobnú pre trojrozmerný priestor.

Veta 6

V trojrozmernom priestore sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Poďme na ilustráciu:

Všetky vyššie uvedené vety, znamienka a podmienky umožňujú pohodlne dokázať rovnobežnosť priamok metódami geometrie. To znamená, že na dôkaz rovnobežnosti priamok je možné ukázať, že zodpovedajúce uhly sú rovnaké, alebo preukázať skutočnosť, že dve dané priamky sú kolmé na tretiu atď. Poznamenávame však, že na dôkaz rovnobežnosti čiar v rovine alebo v trojrozmernom priestore je často vhodnejšie použiť metódu súradníc.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme

V danom pravouhlom súradnicovom systéme je priamka určená rovnicou priamky na rovine jedného z možných typov. Podobne priamka daná v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore zodpovedá niektorým rovniciam priamky v priestore.

Napíšme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovnice popisujúcej dané priamky.

Začnime s podmienkou rovnobežných čiar v rovine. Vychádza z definícií smerového vektora priamky a normálového vektora priamky v rovine.

Veta 7

Na to, aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolineárny. kolmo na normálový vektor druhej priamky.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežných priamok v rovine je založená na podmienke kolineárnych vektorov alebo podmienke kolmosti dvoch vektorov. To znamená, že ak a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory priamok a a b ;

a n b → = (n b x , n b y) sú normálové vektory priamok a a b, potom vyššie uvedenú nevyhnutnú a postačujúcu podmienku zapíšeme takto: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y alebo n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y alebo a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice smerových alebo priamych vektorov sú určené danými rovnicami priamok. Uvažujme o hlavných príkladoch.

1. Priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou priamky: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; čiara b - A2 x + B2 y + C2 = 0. Potom budú mať normálové vektory daných čiar súradnice (A 1 , B 1 ) a ( A 2 , B 2 ). Podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

Ai = tA2B1 = tB2

1. Priamka a je opísaná rovnicou priamky so sklonom v tvare y = k 1 x + b 1 . Priama čiara b - y \u003d k 2 x + b 2. Potom normálové vektory daných čiar budú mať súradnice (k 1 , - 1) a (k 2 , - 1) a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Ak sú teda rovnobežné priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme dané rovnicami so sklonovými koeficientmi, potom sa sklonové koeficienty daných priamok budú rovnať. A platí aj opačné tvrdenie: ak sú nezhodné priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme určené rovnicami priamky s rovnakými koeficientmi sklonu, potom sú tieto priamky rovnobežné.

1. Priamky a a b v pravouhlom súradnicovom systéme sú dané kanonickými rovnicami priamky v rovine: x - x 1 a x = y - y 1 a y a x - x 2 b x = y - y 2 b y alebo parametrickými rovnicami. priamky v rovine: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y a x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Potom budú smerové vektory daných čiar: a x , a y a b x , b y a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

a x = t b x a y = t b y

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Dané dva riadky: 2 x - 3 y + 1 = 0 a x 1 2 + y 5 = 1 . Musíte určiť, či sú paralelné.

rozhodnutie

Rovnicu priamky napíšeme v segmentoch vo forme všeobecnej rovnice:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidíme, že n a → = (2 , - 3) je normálový vektor priamky 2 x - 3 y + 1 = 0 a n b → = 2, 1 5 je normálový vektor priamky x 1 2 + y 5 = 1.

Výsledné vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje taká hodnota t, pre ktorú bude platiť rovnosť:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Nie je teda splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka rovnobežnosti priamok v rovine, čo znamená, že dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď: dané čiary nie sú rovnobežné.

Príklad 2

Dané priamky y = 2 x + 1 a x 1 = y - 4 2 . Sú paralelné?

rozhodnutie

Transformujme kanonickú rovnicu priamky x 1 \u003d y - 4 2 na rovnicu priamky so sklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidíme, že rovnice priamok y = 2 x + 1 a y = 2 x + 4 nie sú rovnaké (ak by to bolo inak, priamky by boli rovnaké) a sklony priamok sú rovnaké, čo znamená, že dané čiary sú rovnobežné.

Skúsme problém vyriešiť inak. Najprv skontrolujeme, či sa dané čiary zhodujú. Používame ľubovoľný bod priamky y \u003d 2 x + 1, napríklad (0, 1), súradnice tohto bodu nezodpovedajú rovnici priamky x 1 \u003d y - 4 2, čo znamená, že riadky sa nezhodujú.

Ďalším krokom je určenie splnenia podmienky rovnobežnosti pre dané čiary.

Normálový vektor priamky y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , smerový vektor druhej danej priamky je b → = (1 , 2) . Skalárny súčin týchto vektorov je nula:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektory sú teda kolmé: to nám demonštruje splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby pôvodné čiary boli rovnobežné. Tie. dané čiary sú rovnobežné.

odpoveď: tieto čiary sú rovnobežné.

Na preukázanie rovnobežnosti priamok v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru sa používa nasledujúca nevyhnutná a postačujúca podmienka.

Veta 8

Aby boli dve nezhodné priamky v trojrozmernom priestore rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne.

Tie. pre dané rovnice priamok v trojrozmernom priestore sa odpoveď na otázku: sú rovnobežné alebo nie, zisťuje určením súradníc smerových vektorov daných priamok, ako aj kontrolou podmienky ich kolinearity. Inými slovami, ak a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) sú smerové vektory priamok a a b, potom, aby boli rovnobežné, existencia takého reálneho počtu je potrebné t, aby platila rovnosť:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Príklad 3

Dané čiary x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 a x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Je potrebné dokázať rovnobežnosť týchto čiar.

rozhodnutie

Podmienkami úlohy sú kanonické rovnice jednej priamky v priestore a parametrické rovnice inej priamky v priestore. Smerové vektory a → a b → dané čiary majú súradnice: (1 , 0 , - 3) a (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, potom a → = 1 2 b → .

Preto je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežné čiary v priestore.

odpoveď: je dokázaná rovnobežnosť daných čiar.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter