Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a ako jeden z prvých v Európe začal používať arabské (indické) číslice. Prišiel s trochu umelým problémom o králikoch, ktoré sú chované na farme, pričom všetky sú považované za samice, samci sú ignorovaní. Králiky začínajú s chovom po dosiahnutí veku dvoch mesiacov a potom každý mesiac rodia králika. Králiky nikdy nezomrú.
Je potrebné určiť, koľko králikov bude na farme v n mesiacov, ak v počiatočnom okamihu bol iba jeden novonarodený králik.
Je zrejmé, že farmár má jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. V treťom mesiaci budú dva králiky, vo štvrtom mesiaci tri atď. Označme počet králikov v n mesiac ako . teda 
,
,
,
,
,
…
Môžeme vytvoriť algoritmus na nájdenie 
pre akékoľvek n.
Podľa stavu problému, celkového počtu králikov 
v n+1 mesiac sa rozkladá na tri zložky:
mesačné králiky, neschopné reprodukcie, v množstve
;
Tak dostaneme
. (8.1)
Vzorec (8.1) umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Čísla v tejto postupnosti sa volajú Fibonacciho čísla .
Ak prijmete 
a 
, potom pomocou vzorca (8.1) možno určiť všetky ostatné Fibonacciho čísla. Vzorec (8.1) sa nazýva opakujúci
vzorec ( opakovanie
- "návrat" v latinčine).
Príklad 8.1. Predpokladajme, že je tam schodisko n kroky. Môžeme naň vyliezť s krokom jedného kroku, alebo s krokom dvoch krokov. Koľko kombinácií rôznych liftingových metód existuje?
Ak n= 1, existuje len jedno riešenie problému. Pre n= 2 sú 2 možnosti: dva jednoduché kroky alebo jeden dvojitý krok. Pre n= 3 sú 3 možnosti: tri jednoduché schodíky alebo jeden jednoduchý a jeden dvojitý, alebo jeden dvojitý a jeden jednoduchý.
V ďalšom prípade n= 4, máme 5 možností (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
S cieľom odpovedať na danú otázku ľubovoľným n, označte počet možností ako 
a skúste určiť 
podľa slávneho 
a 
. Ak začneme od jedného kroku, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n kroky. Ak začneme dvojitým krokom, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n- 1 krok. Celkový počet možností pre n+1 krok sa rovná
. (8.2)
Výsledný vzorec, podobne ako dvojča, pripomína vzorec (8.1). To však neumožňuje identifikovať počet kombinácií 
s Fibonacciho číslami 
. Vidíme to napríklad 
, ale 
. Existuje však nasledujúci vzťah:
.
Toto platí pre n= 1, 2 a platí aj pre každú z nich n. Fibonacciho čísla a počet kombinácií 
sa vypočítajú pomocou rovnakého vzorca, ale počiatočné hodnoty 
,
a 
,
líšia sa.
Príklad 8.2. Tento príklad má praktický význam pre problémy s kódovaním na opravu chýb. Nájdite počet všetkých binárnych slov dĺžky n, ktorý neobsahuje viacero núl za sebou. Označme toto číslo pomocou 
. samozrejme, 
, a slová dĺžky 2, ktoré spĺňajú naše obmedzenie, sú: 10, 01, 11, t.j. 
. Nechať byť 
- slovo z n postavy. Ak je symbol 
, potom 
môže byť ľubovoľné ( 
)-doslovné slovo, ktoré neobsahuje viacero núl za sebou. Takže počet slov s jednotkou na konci je 
.
Ak je symbol 
, potom nevyhnutne 
, a prvý 
symbol 
môžu byť ľubovoľné, berúc do úvahy uvažované obmedzenia. Preto existuje 
dĺžka slova
n s nulou na konci. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, je teda
.
Berúc do úvahy skutočnosť, že 
a 
, výsledná postupnosť čísel sú Fibonacciho čísla.
Príklad 8.3. V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t(a dĺžka k) sa rovná 
. Teraz nájdime počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t, ktorý neobsahuje viacero núl za sebou.
Môžete uvažovať takto. Nechať byť 
počet núl v uvažovaných slovách. Každé slovo má 
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viacero jednotiek. Predpokladá sa, že 
. Inak neexistuje ani jedno slovo bez susedných núl.
Ak z každého intervalu odstránime práve jednu jednotku, dostaneme slovo dĺžky 
obsahujúce 
nuly. Akékoľvek takéto slovo je možné získať určeným spôsobom od niektorých (a iba jedného) k-spisovné slovo obsahujúce 
nuly, z ktorých žiadne dve nesusedia. Požadovaný počet sa teda zhoduje s počtom všetkých slov dĺžky 
obsahujúce presne 
nuly, t.j. rovná sa 
.
Príklad 8.4. Dokážme, že súčet 
sa rovná Fibonacciho číslam pre akékoľvek celé číslo 
. Symbol 
znamenať najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné
. Napríklad ak 
, potom 
; A keď 
, potom 
strop("strop"). Je tam aj symbol 
, čo znamená najväčšie celé číslo menšie alebo rovné
. V angličtine sa táto operácia nazýva poschodie
("podlaha").
Ak 
, potom 
. Ak 
, potom 
. Ak 
, potom 
.
Pre uvažované prípady sa teda súčet skutočne rovná Fibonacciho číslam. Teraz uvádzame dôkaz pre všeobecný prípad. Keďže Fibonacciho čísla možno získať pomocou rekurzívnej rovnice (8.1), musí platiť rovnosť:
.
A v skutočnosti to robí:
Tu sme použili predtým získaný vzorec (4.4): 
.
Súčet Fibonacciho čísel
Určme súčet prvého n Fibonacciho čísla.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Je ľahké vidieť, že pridaním jednotky na pravú stranu každej rovnice opäť dostaneme Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n Fibonacciho čísla majú tvar:
Dokážeme to pomocou metódy matematickej indukcie. Aby sme to dosiahli, píšeme:
Táto suma sa musí rovnať 
.
Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice o –1 dostaneme rovnicu (6.1).
Vzorec pre Fibonacciho čísla
Veta 8.1. Fibonacciho čísla možno vypočítať pomocou vzorca
.
Dôkaz. Overme si platnosť tohto vzorca pre n= 0, 1 a potom dokážeme platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n indukciou. Vypočítajme pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:
Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo hodnoty 1,618 (ak ignorujeme prvých pár hodnôt). Táto vlastnosť Fibonacciho čísel sa podobá členom geometrickej progresie. súhlasiť 
,
(
). Potom výraz
prevedené na
ktorý po zjednodušení vyzerá takto
.
Získali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sa rovnajú:
Teraz môžeme napísať:
(kde c je konštanta). Obaja členovia 
a 
neuvádzajte napríklad Fibonacciho čísla 
, zatiaľ čo 
. Avšak rozdiel 
spĺňa rekurzívnu rovnicu:
Pre n= 0 dáva tento rozdiel 
, t.j.: 
. Avšak, kedy n= 1 máme 
. Získať 
treba akceptovať: 
.
Teraz máme dve sekvencie: 
a 
, ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký rekurzívny vzorec. Musia byť rovnaké: 
. Veta bola dokázaná.
S pribúdajúcimi nčlenom 
sa stáva veľmi veľkým 
a úloha člena 
sa znižuje rozdiel. Preto na slobode n môžeme písať približne
.
Ignorujeme 1/2 (pretože Fibonacciho čísla sa zvyšujú do nekonečna n do nekonečna).
Postoj 
volal Zlatý pomer, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý rez je pomer medzi uhlopriečkou a stranou pravidelný päťuholník(obr. 8.1).
Ryža. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky
Na označenie zlatého rezu je zvykom používať písmeno 
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.
základné čísla
Všetky prirodzené čísla, veľké, spadajú do dvoch tried. Prvý zahŕňa čísla, ktoré majú práve dvoch prirodzených deliteľov, jedného a samého seba, druhý zahŕňa všetky ostatné. Volajú sa čísla prvej triedy jednoduché a druhý zložka. Prvočísla v rámci prvých troch desiatok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Vlastnosti prvočísel a ich súvislosť so všetkými prirodzenými číslami skúmal Euklides (3. storočie pred Kristom). Ak napíšete prvočísla za sebou, môžete vidieť, že ich relatívna hustota klesá. Na prvých desať z nich pripadá 4, teda 40 %, na sto - 25, t.j. 25 %, promile - 168, t.j. menej ako 17 %, na milión - 78498, t.j. menej ako 8% atď. Ich celkový počet je však nekonečný.
Medzi prvočíslami existujú dvojice takých, medzi ktorými je rozdiel rovný dvom (tzv jednoduché dvojčatá), ale konečnosť alebo nekonečnosť takýchto párov nebola dokázaná.
Euklides považoval za samozrejmé, že vynásobením iba prvočísel možno získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo možno znázorniť ako súčin prvočísel jedinečným spôsobom (až do poradia faktorov). Prvočísla teda tvoria multiplikatívny základ prirodzeného radu.
Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý umožňuje získať tabuľky prvočísel. Takýto algoritmus je sito Eratosthenes(3. storočie pred Kristom). Táto metóda spočíva v preosievaní (napríklad prečiarknutím) tých celých čísel danej postupnosti 
, ktoré sú deliteľné aspoň o jedno z prvočísel menšie ako 
.
Veta 8 . 2 . (Euklidova veta). Počet prvočísel je nekonečný.
Dôkaz. Euklidovu vetu o nekonečnosti počtu prvočísel dokážeme metódou navrhnutou Leonhardom Eulerom (1707–1783). Euler zvažoval súčin nad všetkými prvočíslami p:
pri 
. Tento súčin konverguje, a ak sa rozšíri, potom sa v dôsledku jedinečnosti rozkladu prirodzených čísel na prvočísla ukáže, že sa rovná súčtu radu 
, odkiaľ Eulerova identita vyplýva:
.
Od hod 
rad vpravo diverguje (harmonický rad), potom Eulerova identita implikuje Euklidovu vetu.
Ruský matematik P.L. Čebyšev (1821 – 1894) odvodil vzorec, ktorý určuje hranice, v ktorých sa nachádza počet prvočísel 
, nepresahujúci X:
,
kde 
,
.
Ak sa pozriete na rastliny a stromy okolo nás, môžete vidieť, koľko listov má každý z nich. Z diaľky sa zdá, že konáre a listy na rastlinách sú usporiadané náhodne, v ľubovoľnom poradí. Vo všetkých rastlinách je však zázračne, matematicky presne naplánované, ktorá vetva odkiaľ vyrastie, ako budú vetvy a listy umiestnené v blízkosti stonky alebo kmeňa. Od prvého dňa svojho objavenia sa rastlina vo svojom vývoji presne riadi týmito zákonmi, to znamená, že sa náhodou neobjaví ani jeden list, ani jeden kvet. Ešte predtým, ako je vzhľad rastliny už presne naprogramovaný. Koľko konárov bude na budúcom strome, kde budú rásť konáre, koľko listov bude na každom konári a ako, v akom poradí budú listy usporiadané. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že v usporiadaní listov na konári (fylotaxia), v počte závitov na stonke, v počte listov v cykle sa prejavuje Fibonacciho séria, a teda aj zákon zlatého rezu. sa prejavuje.
Ak sa vydáte hľadať číselné vzory vo voľnej prírode, všimnete si, že tieto čísla sa často nachádzajú v rôznych špirálovitých formách, na ktoré je svet rastlín taký bohatý. Napríklad listové odrezky priliehajú k stonke v špirále, ktorá prebieha medzi dvoma susednými listami: úplný obrat - v lieske, - v dube, - v topoli a hruške, - vo vŕbe.
Semená slnečnice, Echinacea purpurea a mnohých ďalších rastlín sú usporiadané v špirálach a počet špirál v každom smere je Fibonacciho číslo.
Slnečnica, 21 a 34 špirál. Echinacea, 34 a 55 špirál.
Jasná, symetrická forma kvetov tiež podlieha prísnemu zákonu.
Mnohé kvety majú počet okvetných lístkov – presne tie čísla zo série Fibonacci. Napríklad:
dúhovka, 3 lep. masliaka, 5 lep. zlatý kvet, 8 lep. delphinium,
čakanka, 21 lep. astra, 34 lep. sedmokrásky, 55 lep.
Séria Fibonacci charakterizuje štruktúrnu organizáciu mnohých živých systémov.
Už sme povedali, že pomer susedných čísel vo Fibonacciho rade je číslo φ = 1,618. Ukazuje sa, že samotný muž je len zásobárňou čísla phi.
Proporcie jednotlivých častí nášho tela tvoria číslo veľmi blízke zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého rezu, potom sa vzhľad alebo telo osoby považujú za ideálne postavené. Princíp výpočtu zlatej miery na ľudskom tele možno znázorniť vo forme diagramu.
M/m = 1,618
Prvý príklad zlatého rezu v štruktúre ľudského tela:
Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi ľudským chodidlom a bodom pupka ako jednotku merania, potom sa výška osoby rovná číslu 1,618.
Ľudská ruka
Stačí teraz priblížiť dlaň k sebe a pozorne sa pozrieť na ukazovák a hneď v ňom nájdete vzorec zlatého rezu. Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov.
Súčet prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta dáva zlatý pomer (s výnimkou palca).
Navyše, pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa tiež rovná zlatému rezu.
Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (s výnimkou palca). Na každej ruke je 5 prstov, teda spolu 10, ale s výnimkou dvoch dvojfalangeálnych palcov je vytvorených len 8 prstov podľa princípu zlatého rezu. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú číslami Fibonacciho postupnosti.
Zlatý rez v štruktúre ľudských pľúc
Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger počas fyzikálnych a anatomických štúdií zistil, že v štruktúre ľudských pľúc 
existuje aj zlatý rez.
Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria pľúca človeka, spočíva v ich asymetrii. Priedušky tvoria dve hlavné dýchacie cesty, jedna (vľavo) je dlhšia a druhá (vpravo) je kratšia.
Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Navyše pomer dĺžky krátkych a dlhých priedušiek je tiež zlatým pomerom a rovná sa 1: 1,618.
Umelci, vedci, módni návrhári, dizajnéri robia svoje výpočty, kresby alebo náčrty na základe pomeru zlatého rezu. Využívajú merania z ľudského tela, tiež vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier pred vytvorením svojich majstrovských diel prevzali parametre ľudského tela vytvoreného podľa zákona zlatého pomeru.
Existuje aj iná, prozaickejšia aplikácia proporcií ľudského tela. Pomocou týchto pomerov napríklad kriminálni analytici a archeológovia obnovujú vzhľad celku z fragmentov častí ľudského tela.
Fibonacciho sekvencia, ktorú preslávil film a kniha Da Vinciho kód, je séria čísel odvodených talianskym matematikom Leonardom z Pisy, známym pod pseudonymom Fibonacci, v trinástom storočí. Vedcovi nasledovníci si všimli, že vzorec, ktorému podlieha táto séria čísel, nachádza svoj odraz vo svete okolo nás a odráža ďalšie matematické objavy, čím nám otvára dvere do tajomstiev vesmíru. V tomto článku vysvetlíme, čo je Fibonacciho postupnosť, zvážime príklady toho, ako sa tento vzor zobrazuje v prírode, a tiež ho porovnáme s inými matematickými teóriami.
Formulácia a definícia pojmu
Fibonacciho rad je matematická postupnosť, ktorej každý prvok sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch. Označme určitý člen postupnosti ako x n. Takto získame vzorec, ktorý je platný pre celú sériu: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. V tomto prípade bude poradie sekvencie vyzerať takto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Ďalšie číslo bude 55, keďže súčet 21 a 34 je 55. A tak ďalej podľa rovnakého princípu.
Príklady v životnom prostredí
Ak sa pozrieme na rastlinu, najmä na korunu listov, všimneme si, že kvitnú špirálovito. Medzi susednými listami sú vytvorené rohy, ktoré zase tvoria správnu matematickú Fibonacciho postupnosť. Vďaka tejto vlastnosti dostane každý jednotlivý list, ktorý rastie na strome, maximálne množstvo slnečného svetla a tepla.
Fibonacciho matematické puzzle
Slávny matematik predstavil svoju teóriu vo forme hádanky. Znie to takto. Pár králikov môžete umiestniť do uzavretého priestoru, aby ste zistili, koľko párov králikov sa narodí v jednom roku. Vzhľadom na povahu týchto zvierat, skutočnosť, že každý mesiac je pár schopný vytvoriť nový pár, a keď dosiahnu dva mesiace, sú pripravené na reprodukciu, v dôsledku toho dostal svoju slávnu sériu čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - čo ukazuje počet nových párov králikov v každom mesiaci.
Fibonacciho sekvencia a proporcionálny pomer
Táto séria má niekoľko matematických nuancií, ktoré je potrebné zvážiť. Ten, ktorý sa približuje pomalšie a pomalšie (asymptoticky), má tendenciu k určitému proporčnému vzťahu. Ale je to iracionálne. Inými slovami, ide o číslo s nepredvídateľnou a nekonečnou postupnosťou desatinných čísel v zlomkovej časti. Napríklad pomer ktoréhokoľvek prvku série sa pohybuje okolo čísla 1,618, niekedy ho prevyšuje, niekedy ho dosahuje. Ďalší sa analogicky blíži k 0,618. Čo je nepriamo úmerné číslu 1,618. Ak rozdelíme prvky jedným, dostaneme 2,618 a 0,382. Ako ste už pochopili, sú tiež nepriamo úmerné. Výsledné čísla sa nazývajú Fibonacciho pomery. Teraz si vysvetlime, prečo sme tieto výpočty vykonali.
Zlatý pomer
Všetky predmety okolo seba rozlišujeme podľa určitých kritérií. Jedným z nich je forma. Niektoré nás lákajú viac, niektoré menej a niektoré sa vôbec nepáčia. Zistilo sa, že symetrický a proporcionálny objekt je pre človeka oveľa ľahšie vnímateľný a vyvoláva pocit harmónie a krásy. Celý obrázok vždy obsahuje časti rôznych veľkostí, ktoré sú medzi sebou v určitom pomere. Z toho vyplýva odpoveď na otázku, čo sa nazýva zlatý rez. Tento pojem znamená dokonalosť pomeru celku a častí v prírode, vede, umení atď. Z matematického hľadiska uvažujme o nasledujúcom príklade. Vezmite úsečku ľubovoľnej dĺžky a rozdeľte ju na dve časti tak, že menšia časť súvisí s väčšou ako súčet (dĺžka celej úsečky) k väčšej. Tak poďme na rez s pre veľkosť jedna. jej súčasťou a sa bude rovnať 0,618, druhá časť b Ukázalo sa, že sa rovná 0,382. Sledujeme teda stav Zlatého rezu. Pomer segmentov c do a rovná sa 1,618. A vzťah častí c a b- 2,618. Získame Fibonacciho koeficienty, ktoré sú nám už známe. Zlatý trojuholník, zlatý obdĺžnik a zlatý kváder sú postavené na rovnakom princípe. Za zmienku tiež stojí, že proporčný pomer častí ľudského tela sa blíži zlatému rezu.
Je základom všetkého Fibonacciho postupnosť?
Skúsme spojiť teóriu Zlatého rezu a známu sériu talianskeho matematika. Začnime s dvoma štvorcami prvej veľkosti. Potom pridajte ďalší štvorec druhej veľkosti na vrch. Nakreslíme vedľa toho istého obrázku s dĺžkou strany rovnajúcou sa súčtu dvoch predchádzajúcich strán. Podobne nakreslíme štvorec piatej veľkosti. A tak môžete pokračovať donekonečna, kým vás to neomrzí. Hlavná vec je, že veľkosť strany každého nasledujúceho štvorca sa rovná súčtu strán predchádzajúcich dvoch. Dostaneme sériu mnohouholníkov, ktorých dĺžky strán sú Fibonacciho čísla. Tieto obrazce sa nazývajú Fibonacciho obdĺžniky. Nakreslime hladkú čiaru cez rohy našich mnohouholníkov a získajme ... Archimedova špirála! Ako viete, zvýšenie kroku tohto čísla je vždy rovnomerné. Ak zapnete fantáziu, výsledný vzor môže byť spojený s mušľou. Tu môžeme konštatovať, že Fibonacciho postupnosť je základom proporcionálnych, harmonických pomerov prvkov v okolitom svete.
Matematická postupnosť a vesmír
Ak sa pozriete pozorne, potom Archimedovu špirálu (niekde explicitne, ale niekde zahalenú) a teda aj Fibonacciho princíp možno vysledovať v mnohých známych prírodných prvkoch okolo človeka. Napríklad rovnaká škrupina mušle, súkvetia obyčajnej brokolice, kvet slnečnice, šiška ihličnatej rastliny a podobne. Ak sa pozrieme ďalej, uvidíme Fibonacciho postupnosť v nekonečných galaxiách. Aj človek, inšpirovaný prírodou a preberajúc jej podoby, vytvára predmety, v ktorých možno vystopovať spomínané série. Je čas pripomenúť si Zlatý rez. Spolu s Fibonacciho vzorom sú vysledované princípy tejto teórie. Existuje verzia, že Fibonacciho postupnosť je akýmsi testom prírody na prispôsobenie sa dokonalejšej a zásadnejšej logaritmickej postupnosti Zlatého pomeru, ktorá je takmer identická, ale nemá začiatok a je nekonečná. Vzorec prírody je taký, že musí mať svoj vlastný východiskový bod, z ktorého sa dá stavať, aby vytvoril niečo nové. Pomer prvých prvkov Fibonacciho série je ďaleko od princípov Zlatého rezu. Čím ďalej však v nej pokračujeme, tým viac sa tento nesúlad vyhladzuje. Na určenie postupnosti potrebujete poznať jej tri prvky, ktoré na seba nadväzujú. Pre zlatú sekvenciu stačia dve. Pretože ide o aritmetický aj geometrický postup.
Záver
Na základe vyššie uvedeného si však možno položiť celkom logické otázky: "Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento autor zariadenia celého sveta, ktorý sa ho snažil urobiť ideálnym? Bolo vždy všetko tak, ako chcel? Ak áno? , prečo došlo k zlyhaniu? Čo bude ďalej?" Keď nájdeš odpoveď na jednu otázku, dostaneš ďalšiu. Vyriešte to - objavia sa ďalšie dve. Ak ich vyriešite, získate ďalšie tri. Keď sa s nimi vysporiadate, dostanete päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, dvadsaťjeden, tridsaťštyri, päťdesiatpäť...
Fibonacciho čísla sú prvky číselnej postupnosti.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, pričom každé nasledujúce číslo sa rovná súčtu dvoch predchádzajúcich čísel. Názov je pomenovaný podľa stredovekého matematika Leonarda z Pisy (alebo Fibonacciho), ktorý žil a pracoval ako obchodník a matematik v talianskom meste Pisa. Je jedným z najuznávanejších európskych vedcov svojej doby. Medzi jeho najväčšie úspechy patrí zavedenie arabských číslic namiesto rímskych číslic. Fn=Fn-1+Fn-2
Matematický rad asymptoticky (to znamená, že sa približuje stále pomalšie) má tendenciu ku konštantnému pomeru. Tento postoj je však iracionálny; má za sebou nekonečnú, nepredvídateľnú postupnosť desatinných hodnôt. Nikdy sa to nedá presne vyjadriť. Ak sa každé číslo, ktoré je súčasťou série, vydelí predchádzajúcou hodnotou (napríklad 13-^8 alebo 21-FROM), výsledok akcie sa vyjadrí v pomere, ktorý kolíše okolo iracionálneho čísla 1,61803398875, o niečo viac, resp. o niečo menej ako susedné pomery série. Pomer nebude nikdy, donekonečna, presný do poslednej číslice (ani pri tých najvýkonnejších počítačoch súčasnosti). Kvôli stručnosti použijeme ako Fibonacciho pomer číslo 1,618 a poprosíme čitateľov, aby na túto chybu nezabudli.
Pri analýze sú dôležité aj Fibonacciho čísla Euklidov algoritmus na určenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel. Fibonacciho čísla pochádzajú z Pascalovho vzorca pre uhlopriečku trojuholníka (binomické koeficienty).
Fibonacciho čísla sú spojené so zlatým pomerom.
Zlatý rez bol známy v starovekom Egypte a Babylone, v Indii a Číne. Čo je to „zlatá sekcia“? Odpoveď je zatiaľ neznáma. Fibonacciho čísla sú skutočne relevantné pre teóriu praxe v našej dobe. Nárast významu nastal v 20. storočí a trvá dodnes. Použitie Fibonacciho čísel v ekonómii a informatike prilákalo k štúdiu masy ľudí.
Metodika môjho výskumu spočívala v preštudovaní odbornej literatúry a zosumarizovaní získaných informácií, ako aj vo vlastnom výskume a zisťovaní vlastností čísel a rozsahu ich použitia.
V priebehu vedeckého výskumu určila samotný pojem Fibonacciho čísla, ich vlastnosti. Zaujímavé vzory som zistil aj vo voľnej prírode, priamo v štruktúre slnečnicových semienok.
Na slnečnici sú semená zoradené v špirálach a počet špirál, ktoré idú opačným smerom, je iný - sú to po sebe idúce Fibonacciho čísla.
Táto slnečnica má 34 a 55.
To isté sa pozoruje na plodoch ananásu, kde je špirál 8 a 14. Listy kukurice sú spojené s jedinečnou vlastnosťou Fibonacciho čísel.
Zlomky tvaru a/b, ktoré zodpovedajú špirálovitému usporiadaniu listov stonky rastliny, sú často pomery po sebe nasledujúcich Fibonacciho čísel. Pre liesku je tento pomer 2/3, pre dub 3/5, pre topoľ 5/8, pre vŕbu 8/13 atď.
Vzhľadom na usporiadanie listov na stonke rastlín môžete vidieť, že medzi každým párom listov (A a C) je tretí umiestnený v mieste zlatého rezu (B)
Ďalšou zaujímavou vlastnosťou Fibonacciho čísla je, že súčin a podiel akýchkoľvek dvoch rôznych Fibonacciho čísel iných ako jedna nie je nikdy Fibonacciho číslo.
Výsledkom výskumu som dospel k nasledujúcim záverom: Fibonacciho čísla sú jedinečným aritmetickým postupom, ktorý sa objavil v 13. storočí nášho letopočtu. Táto progresia nestráca na aktuálnosti, čo sa potvrdilo aj v priebehu môjho výskumu. Fibonacciho číslo nájdeme aj v programovaní a ekonomických prognózach, v maľbe, architektúre a hudbe. Obrazy takých slávnych umelcov ako Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael či Botticelli v sebe ukrývajú čaro zlatého rezu. Dokonca aj I. I. Shishkin použil zlatý rez vo svojom obraze „Borovicový háj“.
Je ťažké uveriť, ale zlatý rez sa nachádza aj v hudobných dielach takých veľkých skladateľov ako Mozart, Beethoven, Chopin atď.
Fibonacciho čísla nájdeme aj v architektúre. Zlatý rez bol napríklad použitý pri stavbe katedrály Parthenon a Notre Dame.
Zistil som, že Fibonacciho čísla sa používajú aj v našej oblasti. Napríklad platne domov, štíty.
Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF
NAJVYŠŠÍM ÚČELOM MATEMATIKY JE NÁJSŤ SKRYTÝ PORIADOK V CHAOSE, KTORÝ NÁS OBKOLUJE.
Viner N.
Človek sa celý život snaží o poznanie, snaží sa študovať svet okolo seba. A v procese pozorovania má otázky, na ktoré je potrebné odpovedať. Odpovede sa nájdu, ale objavia sa nové otázky. V archeologických nálezoch, v stopách civilizácie, vzdialených od seba v čase a priestore, sa nachádza jeden a ten istý prvok - vzor v tvare špirály. Niektorí ho považujú za symbol slnka a spájajú ho s legendárnou Atlantídou, no jeho skutočný význam je neznámy. Čo majú spoločné tvary galaxie a atmosférického cyklónu, usporiadanie listov na stonke a semená v slnečnici? Tieto vzory sa spájajú s takzvanou „zlatou“ špirálou, úžasnou Fibonacciho postupnosťou, ktorú objavil veľký taliansky matematik 13. storočia.
História Fibonacciho čísel
Prvýkrát o tom, čo sú Fibonacciho čísla, som počul od učiteľa matematiky. Ale okrem toho, ako sa tvorí postupnosť týchto čísel, som nevedel. To je to, čím je táto sekvencia vlastne známa, ako na človeka pôsobí, a to vám chcem povedať. O Leonardovi Fibonaccim sa vie len málo. Neexistuje ani presný dátum jeho narodenia. Je známe, že sa narodil v roku 1170 v rodine obchodníka v meste Pisa v Taliansku. Fibonacciho otec bol často služobne v Alžíri a Leonardo tam študoval matematiku s arabskými učiteľmi. Následne napísal niekoľko matematických prác, z ktorých najznámejšia je „Kniha počítadla“, ktorá obsahuje takmer všetky aritmetické a algebraické informácie tej doby. 2
Fibonacciho čísla sú postupnosť čísel s množstvom vlastností. Fibonacci objavil túto číselnú postupnosť náhodou, keď sa v roku 1202 pokúsil vyriešiť praktický problém o králikoch. „Niekto umiestnil pár králikov na určité miesto, zo všetkých strán ohradený múrom, aby zistil, koľko párov králikov sa narodí počas roka, ak je povaha králikov taká, že za mesiac pár králikov rodí ďalší pár a králiky rodia od druhého mesiaca po jeho narodení. Pri riešení úlohy bral do úvahy, že každý pár králikov počas života porodí ďalšie dva páry a potom uhynie. Takto sa objavila postupnosť čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V tejto postupnosti sa každé ďalšie číslo rovná súčtu dvoch predchádzajúcich. Nazýva sa to Fibonacciho postupnosť. Matematické vlastnosti postupnosti
Chcel som preskúmať túto sekvenciu a identifikoval som niektoré jej vlastnosti. Toto pravidlo má veľký význam. Postupnosť sa pomaly blíži k určitému konštantnému pomeru približne 1,618 a pomer akéhokoľvek čísla k ďalšiemu je približne 0,618.
Možno si všimnúť množstvo zvláštnych vlastností Fibonacciho čísel: dve susedné čísla sú koprimé; každé tretie číslo je párne; každý pätnásty končí nulou; každý štvrtý je násobkom troch. Ak si vyberiete ľubovoľných 10 susedných čísel z Fibonacciho postupnosti a sčítate ich, vždy dostanete číslo, ktoré je násobkom 11. To však nie je všetko. Každý súčet sa rovná číslu 11 vynásobenému siedmym členom danej postupnosti. A tu je ďalšia zaujímavá funkcia. Pre ľubovoľné n bude súčet prvých n členov postupnosti vždy rovný rozdielu (n + 2) -tého a prvého člena postupnosti. Túto skutočnosť možno vyjadriť vzorcom: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Teraz máme nasledujúci trik: nájsť súčet všetkých členov
sekvencie medzi dvoma danými členmi, stačí nájsť rozdiel zodpovedajúcich (n+2)-x členov. Napríklad 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - a 27. Teraz hľadajme súvislosť medzi Fibonaccim, Pytagorasom a „zlatým rezom“. Najznámejším dôkazom matematického génia ľudstva je Pytagorova veta: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov jeho nôh: c 2 \u003d b 2 + a 2. Z geometrického hľadiska môžeme všetky strany pravouhlého trojuholníka považovať za strany troch na nich postavených štvorcov. Pytagorova veta hovorí, že celková plocha štvorcov postavených na nohách pravouhlého trojuholníka sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone. Ak sú dĺžky strán pravouhlého trojuholníka celé čísla, potom tvoria skupinu troch čísel nazývaných Pytagorove trojice. Pomocou Fibonacciho postupnosti môžete nájsť takéto trojice. Vezmite ľubovoľné štyri po sebe idúce čísla z postupnosti, napríklad 2, 3, 5 a 8, a zostrojte ďalšie tri čísla takto: 1) súčin dvoch extrémnych čísel: 2*8=16; 2) dvojitý súčin čísla dve čísla v strede: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) súčet druhých mocnín dvoch priemerných čísel: 3 2 +5 2 \u003d 34; 342 = 302 +162. Táto metóda funguje pre akékoľvek štyri po sebe idúce Fibonacciho čísla. Akékoľvek tri po sebe idúce čísla Fibonacciho série sa podľa očakávania správajú predvídateľným spôsobom. Ak vynásobíte ich dva extrémy a výsledok porovnáte s druhou mocninou priemerného čísla, potom sa výsledok bude vždy líšiť o jeden. Napríklad pre čísla 5, 8 a 13 dostaneme: 5*13=8 2 +1. Ak túto vlastnosť zvážime z hľadiska geometrie, môžeme si všimnúť niečo zvláštne. Rozdeľte štvorec
veľkosti 8x8 (spolu 64 malých štvorcov) na štyri časti, ktorých dĺžky strán sa rovnajú Fibonacciho číslam. Teraz z týchto častí postavíme obdĺžnik s rozmermi 5x13. Jeho rozloha je 65 malých štvorcov. Odkiaľ pochádza extra štvorec? Ide o to, že sa nevytvorí dokonalý obdĺžnik, ale ostanú malé medzery, ktoré celkovo dávajú túto dodatočnú jednotku plochy. Pascalov trojuholník má tiež spojitosť s Fibonacciho postupnosťou. Stačí napísať čiary Pascalovho trojuholníka jednu pod druhú a potom pridať prvky diagonálne. Získajte Fibonacciho sekvenciu.
Teraz zvážte „zlatý“ obdĺžnik, ktorého jedna strana je 1,618-krát dlhšia ako druhá. Na prvý pohľad sa nám môže zdať ako obyčajný obdĺžnik. Urobme si však jednoduchý experiment s dvoma obyčajnými bankovými kartami. Jednu z nich dáme vodorovne a druhú zvislo tak, aby ich spodné strany boli na jednej línii. Ak nakreslíme diagonálnu čiaru do vodorovnej mapy a predĺžime ju, uvidíme, že prejde presne cez pravý horný roh zvislej mapy - príjemné prekvapenie. Možno je to náhoda, alebo možno takéto obdĺžniky a iné geometrické tvary využívajúce „zlatý rez“ lahodia najmä oku. Myslel Leonardo da Vinci pri práci na svojom majstrovskom diele na zlatý rez? Zdá sa to nepravdepodobné. Dá sa však tvrdiť, že prepojeniu estetiky a matematiky prikladal veľký význam.
Fibonacciho čísla v prírode
Spojenie zlatého rezu s krásou nie je len vecou ľudského vnímania. Zdá sa, že samotná príroda pridelila špeciálnu úlohu F. Ak sa štvorce postupne zadávajú do „zlatého“ obdĺžnika, potom sa v každom štvorci nakreslí oblúk, potom sa získa elegantná krivka, ktorá sa nazýva logaritmická špirála. Vôbec nejde o matematickú kuriozitu. 5
Naopak, táto nádherná línia sa často nachádza vo fyzickom svete: od lastúry nautila po ramená galaxií a v elegantnej špirále okvetných lístkov ruže v plnom kvete. Súvislosti medzi zlatým rezom a Fibonacciho číslami sú početné a neočakávané. Zvážte kvetinu, ktorá vyzerá veľmi odlišne od ruže - slnečnice so semenami. Prvá vec, ktorú vidíme, je, že semená sú usporiadané do dvoch druhov špirál: v smere a proti smeru hodinových ručičiek. Ak spočítame pravotočivé špirály, dostaneme dve zdanlivo obyčajné čísla: 21 a 34. Toto nie je jediný príklad, kedy v štruktúre rastlín nájdete Fibonacciho čísla.
Príroda nám dáva množstvo príkladov usporiadania homogénnych objektov opísaných Fibonacciho číslami. V rôznych špirálovitých usporiadaniach malých častí rastlín možno zvyčajne vidieť dve rodiny špirál. V jednej z týchto rodín sa špirály krútia v smere hodinových ručičiek a v druhej - proti smeru hodinových ručičiek. Špirálové čísla jedného a druhého typu sa často ukážu ako susedné Fibonacciho čísla. Takže, keď vezmete mladú vetvičku borovice, je ľahké si všimnúť, že ihly tvoria dve špirály, ktoré idú zdola zľava doprava nahor. Na mnohých šiškách sú semená usporiadané v troch špirálach, ktoré sa jemne vinú okolo stonky šišky. Sú usporiadané v piatich špirálach, ktoré sa vinú strmo v opačnom smere. Vo veľkých kužeľoch je možné pozorovať 5 a 8 a dokonca aj 8 a 13 špirál. Na ananáse sú dobre viditeľné aj Fibonacciho špirály: zvyčajne ich je 8 a 13.
Výhonok čakanky urobí silné vymrštenie do priestoru, zastaví sa, vypustí list, ale už kratší ako prvý, opäť vykoná vymrštenie do priestoru, ale menšej sily, vypustí ešte menší list a opäť vymrští. Jeho rastové impulzy postupne klesajú úmerne „zlatému“ úseku. Aby sme ocenili obrovskú úlohu Fibonacciho čísel, stačí sa pozrieť na krásu prírody okolo nás. Fibonacciho čísla možno nájsť v množstve
konáre na stonke každej rastúcej rastliny a v počte okvetných lístkov.
Spočítajme lupienky niektorých kvetov - kosatec s 3 lupeňmi, prvosienka s 5 lupeňmi, ambrózia s 13 lupeňmi, sedmokráska s 34 lupeňmi, astra s 55 lupeňmi atď. Je to náhoda, alebo je to zákon prírody? Pozrite sa na stonky a kvety rebríka. Celková Fibonacciho sekvencia teda môže ľahko interpretovať vzor prejavov „zlatých“ čísel nájdených v prírode. Tieto zákony fungujú bez ohľadu na naše vedomie a túžbu prijať ich alebo nie. Vzory „zlatej“ symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov, v stavbe jednotlivých ľudských orgánov a tela ako napr. celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a zrakového vnímania.
Fibonacciho čísla v architektúre
Zlatý rez sa prejavuje aj v mnohých pozoruhodných architektonických výtvoroch v celej histórii ľudstva. Ukazuje sa, že aj starogrécki a egyptskí matematici poznali tieto koeficienty dávno pred Fibonaccim a nazvali ich „zlatým rezom“. Princíp „zlatého rezu“ využili Gréci pri stavbe Parthenonu, Egypťania – Veľkej pyramídy v Gíze. Pokrok v stavebnej technológii a vývoj nových materiálov otvorili architektom 20. storočia nové možnosti. Američan Frank Lloyd Wright bol jedným z hlavných zástancov organickej architektúry. Krátko pred smrťou navrhol Múzeum Solomona Guggenheima v New Yorku, čo je obrátená špirála a interiér múzea pripomína mušľu nautila. Poľsko-izraelský architekt Zvi Hecker použil špirálové konštrukcie aj pri návrhu školy Heinza Galinského v Berlíne, dokončenej v roku 1995. Hecker začal s myšlienkou slnečnice s centrálnym kruhom, odkiaľ
všetky architektonické prvky sa rozchádzajú. Budova je kombinovaná
ortogonálne a koncentrické špirály, symbolizujúce interakciu obmedzeného ľudského poznania a riadeného chaosu prírody. Jeho architektúra napodobňuje rastlinu, ktorá sleduje pohyb slnka, takže triedy sú počas dňa osvetlené.
V parku Quincy, ktorý sa nachádza v Cambridge, Massachusetts (USA), často nájdete „zlatú“ špirálu. Park navrhol v roku 1997 umelec David Phillips a nachádza sa v blízkosti Clay Mathematical Institute. Táto inštitúcia je známym centrom matematického výskumu. V parku Quincy sa môžete prechádzať medzi „zlatými“ špirálami a kovovými krivkami, reliéfmi dvoch mušlí a skaly so symbolom druhej odmocniny. Na tanieri je napísaná informácia o „zlatom“ pomere. Dokonca aj parkovanie bicyklov používa symbol F.
Fibonacciho čísla v psychológii
V psychológii dochádza k zlomovým momentom, krízam, prevratom, ktoré znamenajú premenu štruktúry a funkcií duše na životnej ceste človeka. Ak človek úspešne prekonal tieto krízy, stáva sa schopným riešiť problémy novej triedy, o ktorých predtým ani neuvažoval.
Prítomnosť zásadných zmien dáva dôvod považovať čas života za rozhodujúci faktor rozvoja duchovných vlastností. Koniec koncov, príroda nám meria čas nie veľkoryso, „nezáleží na tom, koľko ho bude, toľko bude“, ale len toľko, aby sa proces vývoja zhmotnil:
v štruktúrach tela;
v citoch, myslení a psychomotorike – kým nezískajú harmónia potrebné pre vznik a spustenie mechanizmu
tvorivosť;
v štruktúre energetického potenciálu človeka.
Vývoj tela nemožno zastaviť: dieťa sa stáva dospelým. S mechanizmom kreativity nie je všetko také jednoduché. Jeho vývoj možno zastaviť a zmeniť jeho smerovanie.
Je šanca dobehnúť čas? Bezpochyby. Na to však musíte na sebe veľa pracovať. To, čo sa vyvíja slobodne, prirodzene, si nevyžaduje zvláštne úsilie: dieťa sa vyvíja slobodne a nevníma túto obrovskú prácu, pretože proces slobodného rozvoja sa vytvára bez násilia voči sebe samému.
Ako sa chápe zmysel životnej cesty v každodennom vedomí? Obyvateľ to vidí takto: na úpätí - narodenie, na vrchole - rozkvet života a potom - všetko ide dole vodou.
Múdry človek povie: všetko je oveľa komplikovanejšie. Výstup delí na etapy: detstvo, dospievanie, mladosť... Prečo je to tak? Len málo ľudí je schopných odpovedať, hoci každý si je istý, že ide o uzavreté, integrálne etapy života.
Aby zistil, ako sa vyvíja mechanizmus tvorivosti, V.V. Klimenko použil matematiku, konkrétne zákony Fibonacciho čísel a podiel „zlatého rezu“ – zákony prírody a ľudského života.
Fibonacciho čísla rozdeľujú náš život na etapy podľa počtu prežitých rokov: 0 - začiatok odpočítavania - dieťa sa narodilo. Stále mu chýba nielen psychomotorika, myslenie, cítenie, predstavivosť, ale aj prevádzkový energetický potenciál. On je začiatkom nového života, novej harmónie;
1 - dieťa si osvojilo chôdzu a ovláda najbližšie prostredie;
2 - rozumie reči a koná pomocou slovných pokynov;
3 - koná prostredníctvom slova, kladie otázky;
5 - "vek milosti" - harmónia psychomotoriky, pamäti, predstavivosti a pocitov, ktoré už dieťaťu umožňujú objať svet v celej jeho celistvosti;
8 - do popredia sa dostávajú pocity. Slúži im predstavivosť a myslenie silou svojej kritickosti je zamerané na podporu vnútornej a vonkajšej harmónie života;
13 - začína fungovať mechanizmus talentu zameraný na transformáciu materiálu získaného v procese dedenia, rozvoj vlastného talentu;
21 - mechanizmus tvorivosti sa priblížil k stavu harmónie a pokúšajú sa vykonávať talentovanú prácu;
34 - harmónia myslenia, cítenia, predstavivosti a psychomotoriky: rodí sa schopnosť brilantnej práce;
55 - v tomto veku, pri zachovanej harmónii duše a tela, je človek pripravený stať sa tvorcom. Atď…
Čo sú Fibonacciho pätky? Možno ich prirovnať k priehradám na ceste životom. Tieto priehrady čakajú na každého z nás. V prvom rade je potrebné prekonať každý z nich a potom trpezlivo zvyšovať úroveň svojho rozvoja, až kým sa jedného dňa nerozpadne a otvorí sa cesta k ďalšiemu voľnému toku.
Teraz, keď sme pochopili význam týchto uzlových bodov vývoja veku, skúsme rozlúštiť, ako sa to všetko deje.
V 1 roku dieťa sa učí chodiť. Predtým poznal svet prednou hlavou. Teraz poznáva svet svojimi rukami – výlučným privilégiom človeka. Zviera sa pohybuje v priestore a on, poznávajúc, ovláda priestor a ovláda územie, na ktorom žije.
2 roky rozumie slovu a koná v súlade s ním. Znamená to, že:
dieťa sa naučí minimálny počet slov - významy a vzorce konania;
napriek tomu sa neoddeľuje od prostredia a je zlúčený do celistvosti s prostredím,
Preto koná podľa pokynov niekoho iného. V tomto veku je pre rodičov najposlušnejší a najpríjemnejší. Zo zmyslového človeka sa dieťa mení na vedomého človeka.
3 roky- pôsobenie pomocou vlastného slova. Oddelenie tohto človeka od okolia už prebehlo – a učí sa byť samostatne konajúcou osobou. Preto on:
vedome sa stavia proti okoliu a rodičom, učiteľkám materských škôl a pod.;
uvedomuje si svoju suverenitu a bojuje za nezávislosť;
snaží sa podriadiť svojej vôli blízkych a známych ľudí.
Teraz je pre dieťa slovo čin. Tu začína konajúca osoba.
5 rokov- Vek milosti. Je zosobnením harmónie. Hry, tance, obratné pohyby - všetko je nasýtené harmóniou, ktorú sa človek snaží zvládnuť vlastnou silou. Harmonická psychomotorika prispieva k uvedeniu do nového stavu. Preto je dieťa nasmerované na psychomotorickú aktivitu a snaží sa o čo najaktívnejšie činy.
Materializácia produktov práce citlivosti sa uskutočňuje prostredníctvom:
schopnosť zobraziť prostredie a seba ako súčasť tohto sveta (počujeme, vidíme, dotýkame sa, čucháme atď. – pre tento proces pracujú všetky zmyslové orgány);
schopnosť navrhovať vonkajší svet vrátane seba
(tvorba druhej prirodzenosti, hypotézy – urobiť oboje zajtra, postaviť nový stroj, vyriešiť problém), silami kritického myslenia, citov a predstavivosti;
schopnosť vytvárať druhé, človekom vytvorené produkty činnosti (realizácia plánu, špecifické duševné alebo psychomotorické akcie s konkrétnymi objektmi a procesmi).
Po 5 rokoch prichádza mechanizmus predstavivosti a začína dominovať nad ostatnými. Dieťa robí obrovskú prácu, vytvára fantastické obrazy a žije vo svete rozprávok a mýtov. Hypertrofia detskej predstavivosti spôsobuje u dospelých prekvapenie, pretože predstavivosť nijako nezodpovedá realite.
8 rokov- pocity sa dostávajú do popredia a ich vlastné merania pocitov (kognitívne, morálne, estetické) vznikajú vtedy, keď dieťa neomylne:
hodnotí známe a neznáme;
rozlišuje mravné od nemorálneho, mravné od nemorálneho;
krása z toho, čo ohrozuje život, harmónia z chaosu.
13 ročný- začína fungovať mechanizmus tvorivosti. To však neznamená, že pracuje na plný výkon. Do popredia sa dostáva jeden z prvkov mechanizmu a všetky ostatné prispievajú k jeho práci. Ak sa aj v tomto vekovom období vývinu zachová harmónia, ktorá takmer stále prestavuje svoju štruktúru, potom sa dieťa bezbolestne dostane na ďalšiu hrádzu, nebadane ju prekoná a bude žiť vo veku revolucionára. Vo veku revolucionára musí mládež urobiť nový krok vpred: oddeliť sa od najbližšej spoločnosti a žiť v nej harmonický život a činnosť. Nie každý dokáže vyriešiť tento problém, ktorý sa vynára pred každým z nás.
21 rokov starý Ak revolucionár úspešne prekonal prvý harmonický vrchol života, potom jeho mechanizmus talentu je schopný naplniť talentovaného
práca. Pocity (kognitívne, morálne alebo estetické) niekedy zatieňujú myslenie, ale vo všeobecnosti všetky prvky fungujú v harmónii: pocity sú otvorené svetu a logické myslenie je schopné pomenovať a nájsť miery vecí z tohto vrcholu.
Mechanizmus tvorivosti, ktorý sa normálne rozvíja, dosahuje stav, ktorý mu umožňuje prijímať určité ovocie. Začína pracovať. V tomto veku nastupuje mechanizmus pocitov. Keď sa predstavivosť a jej produkty hodnotia citmi a myslením, vzniká medzi nimi antagonizmus. Pocity víťazia. Táto schopnosť postupne naberá na sile a chlapec ju začína využívať.
34 rokov- rovnováha a harmónia, produktívna efektivita talentu. Harmónia myslenia, cítenia a predstavivosti, psychomotorika, ktorá sa dopĺňa optimálnym energetickým potenciálom, a mechanizmus ako celok – rodí sa príležitosť na brilantnú prácu.
55 rokov- človek sa môže stať tvorcom. Tretí harmonický vrchol života: myslenie si podmaňuje silu citov.
Fibonacciho čísla pomenúvajú etapy ľudského vývoja. To, či človek prejde touto cestou bez zastavenia, závisí od rodičov a učiteľov, vzdelávacieho systému a potom od seba samého a od toho, ako sa človek naučí a prekoná sám seba.
Na ceste životom človek objaví 7 predmetov vzťahov:
Od narodenín do 2 rokov - objavovanie fyzického a objektívneho sveta bezprostredného prostredia.
Od 2 do 3 rokov - objavovanie seba samého: "Som sám sebou."
Od 3 do 5 rokov - reč, efektívny svet slov, harmónia a systém "ja - ty".
Od 5 do 8 rokov - objavovanie sveta myšlienok, pocitov a obrazov iných ľudí - systém "Ja - My".
Od 8 do 13 rokov - objavenie sveta úloh a problémov, ktoré riešia géniovia a talenty ľudstva - systém "Ja - spiritualita".
Od 13 do 21 rokov - objavenie schopnosti samostatne riešiť známe úlohy, keď myšlienky, pocity a predstavivosť začnú aktívne pracovať, vzniká systém "ja - noosféra".
Od 21 do 34 rokov - objav schopnosti vytvárať nový svet alebo jeho fragmenty - uvedomenie si sebapoňatia "Ja som Stvoriteľ".
Životná cesta má časopriestorovú štruktúru. Pozostáva z veku a jednotlivých fáz, determinovaných mnohými parametrami života. Človek do určitej miery ovláda okolnosti svojho života, stáva sa tvorcom svojich dejín a tvorcom dejín spoločnosti. Skutočne tvorivý postoj k životu sa však neprejaví hneď a dokonca ani u každého človeka. Medzi fázami životnej cesty existujú genetické väzby a to určuje jej prirodzený charakter. Z toho vyplýva, že v zásade je možné predpovedať budúci vývoj na základe poznania jeho raných fáz.
Fibonacciho čísla v astronómii
Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm z 18. storočia pomocou Fibonacciho série našiel pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy. Ale jeden prípad sa zdal byť v rozpore so zákonom: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Ale po smrti Titia na začiatku XIX storočia. sústredené pozorovanie tejto časti oblohy viedlo k objavu pásu asteroidov.
Záver
V procese výskumu som zistil, že Fibonacciho čísla sú široko používané v technickej analýze cien akcií. Jedným z najjednoduchších spôsobov využitia Fibonacciho čísel v praxi je určiť dobu, po ktorej nastane udalosť, napríklad zmena ceny. Analytik spočíta určitý počet Fibonacciho dní alebo týždňov (13,21,34,55 atď.) od predchádzajúcej podobnej udalosti a urobí predpoveď. Ale toto je pre mňa príliš ťažké zistiť. Hoci bol Fibonacci najväčším matematikom stredoveku, jedinými pamiatkami na Fibonacciho sú socha pred šikmou vežou v Pise a dve ulice, ktoré nesú jeho meno, jedna v Pise a druhá vo Florencii. A predsa sa v súvislosti so všetkým, čo som videl a čítal, vynárajú celkom prirodzené otázky. Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho snažil urobiť dokonalým? čo bude ďalej? Keď nájdeš odpoveď na jednu otázku, dostaneš ďalšiu. Ak ho vyriešite, získate dva nové. Vysporiadajte sa s nimi, objavia sa ďalšie tri. Po ich vyriešení získate päť nevyriešených. Potom osem, trinásť a tak ďalej. Nezabudnite, že na dvoch rukách je päť prstov, z ktorých dva pozostávajú z dvoch falangov a osem z nich pozostáva z troch.
Literatúra:
Voloshinov A.V. "Matematika a umenie", M., Osvietenie, 1992
Vorobyov N.N. "Fibonacciho čísla", M., Nauka, 1984
Stakhov A.P. "Da Vinciho kód a Fibonacciho séria", Peter Format, 2006
F. Corvalan „Zlatý pomer. Matematický jazyk krásy“, M., De Agostini, 2014
Maksimenko S.D. „Citlivé obdobia života a ich kódy“.
"Fibonacciho čísla". Wikipedia
