Riešenie aplikovaných úloh sa redukuje na výpočet integrálu, ale nie vždy je možné to urobiť presne. Niekedy je potrebné poznať hodnotu určitého integrálu s určitým stupňom presnosti, napríklad na tisícinu.

Sú úlohy, kedy by bolo potrebné nájsť približnú hodnotu určitého integrálu s požadovanou presnosťou, potom sa používa numerická integrácia ako Simposnova metóda, lichobežníky, obdĺžniky. Nie všetky prípady nám umožňujú vypočítať ho s určitou presnosťou.

Tento článok sa zaoberá aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. To je potrebné pre presný výpočet určitého integrálu. Uvedieme podrobné príklady, zvážime zmenu premennej v určitom integráli a nájdeme hodnoty určitého integrálu pri integrácii po častiach.

Newtonov-Leibnizov vzorec

Definícia 1

Keď je funkcia y = y (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] a F (x) je potom jedným z primitívnych derivátov funkcie tohto segmentu Newtonov-Leibnizov vzorec považované za spravodlivé. Napíšme to takto ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Tento vzorec sa zvažuje základný vzorec integrálneho počtu.

Na preukázanie tohto vzorca je potrebné použiť koncept integrálu s dostupným horným limitom premennej.

Keď je funkcia y = f (x) spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom hodnotu argumentu x ∈ a ; b , a integrál má tvar ∫ a x f (t) d t a považuje sa za funkciu hornej hranice. Je potrebné akceptovať, že zápis funkcie bude mať tvar ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , je spojitý a nerovnosť tvaru ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = platí preň f (x).

Zafixujeme, že prírastok funkcie Φ (x) zodpovedá prírastku argumentu ∆ x , je potrebné použiť piatu hlavnú vlastnosť určitého integrálu a získať

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

kde hodnota c ∈ x ; x + ∆x .

Rovnosť zafixujeme v tvare Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Definíciou derivácie funkcie je potrebné prejsť do limity ako ∆ x → 0, potom dostaneme vzorec v tvare umiestnenom na [ a ; b ] V opačnom prípade možno výraz zapísať

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kde hodnota C je konštantná.

Vypočítajme F (a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu. Potom to dostaneme

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , teda C = F (a) . Výsledok je použiteľný pri výpočte F (b) a dostaneme:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , inými slovami, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Rovnosť dokazuje Newtonov-Leibnizov vzorec ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prírastok funkcie sa berie ako F x a b = F (b) - F (a) . Pomocou notácie sa Newton-Leibnizov vzorec zmení na ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Na aplikáciu vzorca je potrebné poznať jednu z primitív y = F (x) integrandu y = f (x) zo segmentu [ a ; b ] , vypočítajte prírastok primitívneho derivátu z tohto segmentu. Zvážte niekoľko príkladov výpočtov pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál ∫ 1 3 x 2 d x pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

rozhodnutie

Uvažujme, že integrand tvaru y = x 2 je spojitý z intervalu [ 1 ; 3 ] , potom a je integrovateľný na tento segment. Podľa tabuľky neurčitých integrálov vidíme, že funkcia y \u003d x 2 má množinu primitívnych derivátov pre všetky reálne hodnoty x, čo znamená, že x ∈ 1; 3 sa zapíše ako F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Je potrebné vziať antiderivát s C \u003d 0, potom dostaneme F (x) \u003d x 3 3.

Použime Newtonov-Leibnizov vzorec a získajme, že výpočet určitého integrálu bude mať tvar ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

odpoveď:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Príklad 2

Vypočítajte určitý integrál ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.

rozhodnutie

Daná funkcia je spojitá od segmentu [-1; 2 ], čo znamená, že je naň integrovateľný. Je potrebné nájsť hodnotu neurčitého integrálu ∫ x e x 2 + 1 d x metódou sčítania pod diferenciálnym znamienkom, potom dostaneme ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 12 e x 2+1+C.

Máme teda množinu primitívnych funkcií funkcie y = x · e x 2 + 1 , ktoré platia pre všetky x , x ∈ - 1 ; 2.

Je potrebné zobrať primitívny prvok pri C = 0 a použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Potom dostaneme vyjadrenie formy

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

odpoveď:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Príklad 3

Vypočítajte integrály ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x a ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

rozhodnutie

Segment - 4; - 1 2 hovorí, že funkcia pod znakom integrálu je spojitá, čo znamená, že je integrovateľná. Odtiaľto nájdeme množinu primitívnych funkcií funkcie y = 4 x 3 + 2 x 2 . Chápeme to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Je potrebné vziať antiderivát F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, potom pomocou vzorca Newton-Leibniz získame integrál, ktorý vypočítame:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Prejdeme k výpočtu druhého integrálu.

Zo segmentu [-1; 1 ] máme, že integrand považujeme za neohraničený, pretože lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , potom z toho vyplýva nevyhnutná podmienka integrovateľnosti zo segmentu. Potom F (x) = 2 x 2 - 2 x nie je primitívna derivácia pre y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; 1 ] , keďže bod O patrí do segmentu, ale nie je zahrnutý v doméne definície. To znamená, že existuje určitý Riemannov a Newton-Leibnizov integrál pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; jeden].

Odpoveď: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existuje určitý integrál Riemanna a Newtona-Leibniza pre funkciu y = 4 x 3 + 2 x 2 z intervalu [ - 1 ; jeden].

Pred použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca musíte presne vedieť o existencii určitého integrálu.

Zmena premennej v určitom integráli

Keď je funkcia y = f (x) definovaná a spojitá zo segmentu [ a ; b ] , potom existujúca množina [ a ; b ] sa považuje rozsah funkcie x = g (z) definovaný na intervale α ; β s existujúcou spojitou deriváciou, kde g (α) = a a g β = b , teda dostaneme, že ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g “ (z) d z .

Tento vzorec sa používa, keď je potrebné vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x , kde neurčitý integrál má tvar ∫ f (x) d x , vypočítame substitučnou metódou.

Príklad 4

Vypočítajte určitý integrál v tvare ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

rozhodnutie

Integrand sa považuje za spojitý na integračnom intervale, čo znamená, že určitý integrál existuje. Uveďme zápis, že 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Hodnota x \u003d 9 znamená, že z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 a pre x \u003d 18 dostaneme, že z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 α 3, potom g 3 u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18. Dosadením získaných hodnôt do vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z dostaneme, že

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 + 3 2 z 2 9 d z

Podľa tabuľky neurčitých integrálov máme, že jedna z primitív funkcie 2 z 2 + 9 nadobúda hodnotu 2 3 a r c t g z 3 . Potom získame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a π r c = g 3 - a π r c t = g 3 π r c t

Zistenie by sa dalo urobiť bez použitia vzorca ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ak náhradná metóda používa integrál v tvare ∫ 1 x 2 x - 9 d x , potom môžeme dospieť k výsledku ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Odtiaľto vykonáme výpočty pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a vypočítame určitý integrál. Chápeme to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c r c 3 - a 2 3 a r c r c 3 - a 2 \u003d π 18

Výsledky sa zhodovali.

Odpoveď: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrácia po častiach pri výpočte určitého integrálu

Ak je na segmente [ a ; b ] funkcie u (x) a v (x) sú definované a spojité, potom ich derivácie prvého rádu v " (x) u (x) sú integrovateľné, teda z tohto intervalu pre integrovateľnú funkciu u " (x) v (x) platí rovnosť ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x.

Potom sa dá použiť vzorec, treba vypočítať integrál ∫ a b f (x) d x a ∫ f (x) d x ho bolo potrebné nájsť integráciou po častiach.

Príklad 5

Vypočítajte určitý integrál ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

rozhodnutie

Funkcia x sin x 3 + π 6 je integrovateľná na segmente - π 2; 3 π 2 , teda je spojitá.

Nech u (x) \u003d x, potom d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x a d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x a v (x) = - 3 cos π3 + π6. Zo vzorca ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x dostaneme, že

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + \ π 6 d x \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 2 - 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Riešenie príkladu je možné vykonať aj iným spôsobom.

Nájdite množinu primitívnych derivátov funkcie x sin x 3 + π 6 pomocou integrácie po častiach pomocou Newton-Leibnizovho vzorca:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odpoveď: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

"Ja tiež, Newtonov binom!»

od Majstra a Margarity

„Pascalov trojuholník je taký jednoduchý, že ho dokáže napísať aj desaťročné dieťa. Zároveň ukrýva nevyčerpateľné poklady a spája rôzne aspekty matematiky, ktoré na prvý pohľad nemajú nič spoločné. Takéto nezvyčajné vlastnosti nám umožňujú považovať Pascalov trojuholník za jednu z najelegantnejších schém v celej matematike.

Martin Gardner.

Cieľ: zovšeobecniť vzorce skráteného násobenia, ukázať ich aplikáciu pri riešení úloh.

Úlohy:

1) študovať a systematizovať informácie o tejto problematike;

2) analyzovať príklady úloh na použitie Newtonovej binomickej sústavy a vzorcov pre súčet a rozdiel stupňov.

Výskumné objekty: Newtonov binom, vzorce pre súčet a rozdiel stupňov.

Výskumné metódy:

Práca s náučnou a populárno-náučnou literatúrou, internetovými zdrojmi.

Výpočty, porovnanie, analýza, analógia.

Relevantnosť.Človek sa často musí potýkať s problémami, pri ktorých je potrebné spočítať počet všetkých možných spôsobov usporiadania niektorých predmetov alebo počet všetkých možných spôsobov, ako vykonať nejakú akciu. Rôzne cesty alebo možnosti, ktoré si človek musí vybrať, vytvárajú širokú škálu kombinácií. A celé jedno odvetvie matematiky, nazývané kombinatorika, je zaneprázdnené hľadaním odpovedí na otázky: koľko kombinácií existuje v tom či onom prípade.

S kombinačnými veličinami sa musia vysporiadať predstavitelia mnohých odborov: vedec-chemik, biológ, konštruktér, dispečer atď. Rastúci záujem o kombinatoriku v posledných rokoch je spôsobený prudkým rozvojom kybernetiky a výpočtovej techniky.

Úvod

Keď chcú zdôrazniť, že účastník rozhovoru preháňa zložitosť úloh, ktorým čelil, povedia: „Potrebujem aj Newtonovu binomiu! Povedz, tu je Newtonov binom, je to ťažké, ale aké máš problémy! Dokonca aj tí ľudia, ktorých záujmy nemajú nič spoločné s matematikou, počuli o Newtonovej binomii.

Slovo „binomický“ znamená binomický, t.j. súčet dvoch termínov. Zo školského kurzu sú známe takzvané skrátené vzorce násobenia:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Zovšeobecnením týchto vzorcov je vzorec nazývaný Newtonov binomický vzorec. Vzorce na násobenie rozdielu štvorcov, súčtu a rozdielu kociek sa používajú aj v škole. Majú zovšeobecnenie pre iné stupne? Áno, existujú také vzorce, často sa používajú pri riešení rôznych problémov: dokazovanie deliteľnosti, zmenšovanie zlomkov, približné výpočty.

Štúdium zovšeobecňujúcich vzorcov rozvíja deduktívno-matematické myslenie a všeobecné rozumové schopnosti.

ODDIEL 1. NEWTONOV BINOMICKÝ VZOREC

Kombinácie a ich vlastnosti

Nech X je množina pozostávajúca z n prvkov. Akákoľvek podmnožina Y množiny X obsahujúca k prvkov sa nazýva kombinácia k prvkov z n ak ≤ n .

Počet rôznych kombinácií k prvkov z n je označený Cn k. Jedným z najdôležitejších vzorcov kombinatoriky je nasledujúci vzorec pre číslo C n k:

Môže byť napísaný po zrejmých skratkách takto:

najmä

To je celkom v súlade so skutočnosťou, že v množine X je len jedna podmnožina 0 prvkov – prázdna podmnožina.

Čísla C n k majú množstvo pozoruhodných vlastností.

Platí vzorec С n k = С n - k n, (3)

Význam vzorca (3) je, že existuje korešpondencia jedna ku jednej medzi množinou všetkých k-členných podmnožín z X a množinou všetkých (n - k)-členných podmnožín z X: na stanovenie tejto korešpondencie, stačí, aby sa každá k-členná podmnožina Y zhodovala s jej doplnkom v množine X.

Platí vzorec С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n (4)

Súčet na ľavej strane vyjadruje počet všetkých podmnožín množiny X (C 0 n je počet 0-členných podmnožín, C 1 n je počet jednočlenných podmnožín atď.).

Pre každé k, 1≤ k≤ n je rovnosť

Ck n \u003d Cn -1 k + Cn -1 k -1 (5)

Túto rovnosť možno ľahko získať pomocou vzorca (1). Naozaj,

1.2. Odvodenie Newtonovho binomického vzorca

Zvážte mocniny dvojčlenky +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Všimnite si nasledujúce zákonitosti:

Počet členov výsledného polynómu je o jeden väčší ako exponent binomu;

Exponent prvého člena klesá z n na 0, exponent druhého člena sa zvyšuje z 0 na n;

Stupne všetkých jednočlenov sa rovnajú stupňom dvojčlenov v podmienke;

Každý jednočlen je súčinom prvého a druhého výrazu v rôznych mocninách a určitom čísle - binomický koeficient;

Binomické koeficienty rovnako vzdialené od začiatku a konca expanzie sú rovnaké.

Zovšeobecnením týchto vzorcov je nasledujúci vzorec, ktorý sa nazýva Newtonov binomický vzorec:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

V tomto vzorci n môže byť akékoľvek prirodzené číslo.

Odvodíme vzorec (6). V prvom rade si napíšme:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kde je počet zátvoriek, ktoré sa majú vynásobiť n. Zo zaužívaného pravidla pre násobenie súčtu súčtom vyplýva, že výraz (7) sa rovná súčtu všetkých možných súčinov, ktoré možno zložiť takto: ľubovoľný člen prvého zo súčtov a + b vynásobený akýmkoľvek termínom druhej sumy a+b, v akomkoľvek termíne tretej sumy atď.

Z povedaného je zrejmé, že výraz vo výraze pre (a + b ) n porovnať (jedna k jednej) reťazce dĺžky n, zložené z písmen a a b. Medzi výrazmi budú podobné výrazy; je zrejmé, že takýmto členom zodpovedajú reťazce obsahujúce rovnaký počet písmen a. Ale počet riadkov obsahujúcich presne k krát písmeno a, sa rovná Cn k. Súčet všetkých členov obsahujúcich písmeno a s faktorom presne k krát sa teda rovná С n k a n - k b k . Keďže k môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, ..., n-1, n, vzorec (6) vyplýva z našej úvahy. Všimnite si, že (6) môže byť napísané kratšie: (8)

Hoci sa vzorec (6) nazýva Newtonovým menom, v skutočnosti bol objavený ešte pred Newtonom (poznal ho napríklad Pascal). Newtonova zásluha spočíva v tom, že našiel zovšeobecnenie tohto vzorca pre prípad neceločíselných exponentov. Bol to I. Newton v rokoch 1664-1665. odvodil vzorec vyjadrujúci stupeň binómie pre ľubovoľné zlomkové a záporné exponenty.

Čísla Co n, C 1 n, ..., C n , zahrnuté vo vzorci (6), sa zvyčajne nazývajú binomické koeficienty, ktoré sú definované takto:

Zo vzorca (6) možno získať množstvo vlastností týchto koeficientov. Napríklad za predpokladu a= 1, b = 1, dostaneme:

2 n = Con + C1n + C2n + C3n + ... + Cnn,

tie. vzorec (4). Ak dáme a= 1, b = -1, potom budeme mať:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

alebo Сon + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + + C5n + ... .

To znamená, že súčet koeficientov párnych členov rozšírenia sa rovná súčtu koeficientov nepárnych členov rozšírenia; každý z nich sa rovná 2 n -1.

Koeficienty členov rovnako vzdialených od koncov expanzie sú rovnaké. Táto vlastnosť vyplýva zo vzťahu: С n k = С n n - k

Zaujímavý špeciálny prípad

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

alebo kratšie (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. Polynomiálna veta

Veta.

Dôkaz.

Aby ste získali monomial po otvorení zátvoriek, musíte si vybrať tie zátvorky, z ktorých sa odoberá, tie zátvorky, z ktorých sa odoberá atď. a tie zátvorky, z ktorých je prevzatý. Koeficient tohto monomiálu po redukcii podobných členov sa rovná počtu spôsobov, ktorými je možné takúto voľbu uskutočniť. Prvý krok postupnosti volieb možno vykonať spôsobmi, druhý krok - , tretí - atď., -tý krok - spôsobmi. Požadovaný koeficient sa rovná súčinu

ODDIEL 2. Deriváty vyšších rádov.

Koncept derivátov vyšších rádov.

Nech je funkcia diferencovateľná v nejakom intervale. Potom jeho derivát, všeobecne povedané, závisí od X, to znamená, že je funkciou X. Preto s ohľadom na ňu môžeme opäť nastoliť otázku existencie derivátu.

Definícia . Derivácia prvej derivácie je tzv derivát druhého rádu alebo druhý derivát a označuje sa symbolom alebo, t.j.

Definícia . Derivácia druhej derivácie sa nazýva derivácia tretieho rádu alebo tretia derivácia a označuje sa symbolom alebo .

Definícia . derivátn poradie funkcie sa nazýva prvá derivácia derivátu (n -1)-tý rád tejto funkcie a je označený symbolom alebo:

Definícia . Deriváty vyššieho rádu ako prvý sa nazývajú vyššie deriváty.

Komentujte. Podobne je možné získať vzorec n-tá derivácia funkcie:

Druhá derivácia parametricky definovanej funkcie

Ak je funkcia daná parametricky rovnicami, potom na nájdenie derivácie druhého rádu je potrebné derivovať výraz pre jej prvú deriváciu ako komplexnú funkciu nezávislej premennej.

Odvtedy

a vzhľadom na to,

Chápeme to, tj.

Podobne môžeme nájsť tretiu deriváciu.

Diferenciál súčtu, súčinu a kvocientu.

Keďže diferenciál sa získa z derivácie vynásobením diferenciálom nezávislej premennej, potom, keď poznáme derivácie základných elementárnych funkcií, ako aj pravidlá hľadania derivácií, možno dospieť k podobným pravidlám hľadania diferenciálov.

1 0 . Rozdiel konštanty je nula.

2 0 . Diferenciál algebraického súčtu konečného počtu diferencovateľných funkcií sa rovná algebraickému súčtu diferenciálov týchto funkcií .

3 0 . Diferenciál súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov prvej funkcie a diferenciálu druhej a druhej funkcie a diferenciálu prvej funkcie. .

Dôsledok. Konštantný faktor možno odobrať zo znamienka diferenciálu.

2.3. Funkcie dané parametricky, ich diferenciácia.

Definícia . O funkcii sa hovorí, že je parametricky definovaná, ak sú obe premenné X a y sú definované každé samostatne ako jednohodnotové funkcie tej istej pomocnej premennej - parametrat :

kdet zmeny vo vnútri.

Komentujte . Uvádzame parametrické rovnice kružnice a elipsy.

a) Kružnica so stredom v počiatku a polomere r má parametrické rovnice:

b) Napíšme parametrické rovnice pre elipsu:

Vylúčením parametra t Z parametrických rovníc uvažovaných čiar možno dospieť k ich kanonickým rovniciam.

Veta . Ak je funkcia y z argumentu x je dané parametricky rovnicami, kde a sú diferencovateľné vzhľadom nat funkcie a potom.

2.4. Leibnizov vzorec

Na nájdenie derivátu n rádu súčinu dvoch funkcií má Leibnizov vzorec veľký praktický význam.

Nechať byť u a v- niektoré funkcie z premennej X majúce deriváty akéhokoľvek rádu a r = UV. expresné n-tá derivácia cez derivácie funkcií u a v .

Máme dôsledne

Je ľahké si všimnúť analógiu medzi výrazmi pre druhú a tretiu deriváciu a expanziou Newtonovho binomu v druhej a tretej mocnine, ale namiesto exponentov existujú čísla, ktoré určujú poradie derivácie, a funkcie samotné možno považovať za „deriváty nultého rádu“. Vzhľadom na to dostaneme Leibnizov vzorec:

Tento vzorec možno dokázať matematickou indukciou.

ODDIEL 3. APLIKÁCIA LEIBNIZOVHO VZORCA.

Na výpočet derivácie ľubovoľného poriadku zo súčinu dvoch funkcií, pričom sa obíde postupná aplikácia vzorca na výpočet derivácie súčinu dvoch funkcií, použijeme Leibnizov vzorec.

Pomocou tohto vzorca zvážte príklady výpočtu n-tej derivácie súčinu dvoch funkcií.

Príklad 1

Nájdite druhú deriváciu funkcie

Podľa definície je druhá derivácia prvou deriváciou prvej derivácie, t.j.

Preto najprv nájdeme deriváciu prvého rádu danej funkcie podľa pravidlá diferenciácie a používanie derivačná tabuľka:

Teraz nájdeme deriváciu derivácie prvého poriadku. Toto bude požadovaný derivát druhého rádu:

odpoveď:

Príklad 2

Nájdite deriváciu tretieho rádu funkcie

rozhodnutie.

Postupne nájdeme derivácie prvého, druhého, tretieho atď. rádu danej funkcie, aby sme vytvorili vzor, ​​ktorý možno zovšeobecniť na --tu deriváciu.

Deriváciu prvého rádu nájdeme ako derivácia kvocientu:

Tu sa výraz nazýva faktoriál čísla. Faktoriál čísla sa rovná súčinu čísel od jedna do, tj.

Druhá derivácia je prvou deriváciou prvej derivácie, tzn

Derivát tretieho rádu:

Štvrtý derivát:

Všimnite si vzor: v čitateli je faktoriál čísla, ktorý sa rovná rádu derivácie a v menovateli je výraz v stupni o jeden väčší ako rád derivácie, tj.

Odpoveď.

Príklad 3

Nájdite hodnotu tretej derivácie funkcie v bode.

rozhodnutie.

Podľa tabuľka derivátov vyššieho rádu, máme:

V tomto príklade teda dostaneme

Všimnite si, že podobný výsledok možno získať aj postupným hľadaním derivátov.

V danom bode je tretia derivácia:

odpoveď:

Príklad 4

Nájdite druhú deriváciu funkcie

rozhodnutie. Najprv nájdime prvú deriváciu:

Aby sme našli druhú deriváciu, opäť diferencujeme výraz pre prvú deriváciu:

odpoveď:

Príklad 5

Nájdite ak

Keďže daná funkcia je súčinom dvoch funkcií, na nájdenie derivácie štvrtého rádu by bolo vhodné použiť Leibnizov vzorec:

Nájdeme všetky derivácie a vypočítame koeficienty členov.

1) Vypočítajte koeficienty pre výrazy:

2) Nájdite derivácie funkcie:

3) Nájdite derivácie funkcie:

odpoveď:

Príklad 6

Je daná funkcia y=x 2 cos3x. Nájdite deriváciu tretieho rádu.

Nech u=cos3x, v=x 2 . Potom podľa Leibnizovho vzorca zistíme:

Deriváty v tomto výraze sú:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Tretia derivácia danej funkcie je teda

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Príklad 7

Nájdite derivát n funkcia -tého rádu y = x 2 cosx.

Používame Leibnizov vzorec, nastavenieu=cosx, v=x 2 . Potom

Zvyšné členy radu sa rovnajú nule, pretože(x2)(i)=0 pre i>2.

Derivát n -kosínusová funkcia prvého rádu:

Preto je derivácia našej funkcie

ZÁVER

Škola študuje a používa takzvané skrátené vzorce na násobenie: druhé mocniny súčtu a rozdielu dvoch výrazov a vzorce na rozklad rozdielu druhých mocnín, súčtu a rozdielu tretín dvoch výrazov. Zovšeobecnením týchto vzorcov je vzorec nazývaný Newtonov binomický vzorec a vzorce na faktorizáciu súčtu a rozdielu mocnin. Tieto vzorce sa často používajú pri riešení rôznych problémov: dokazovanie deliteľnosti, zmenšovanie zlomkov, približné výpočty. Uvažuje sa o zaujímavých vlastnostiach Pascalovho trojuholníka, ktoré úzko súvisia s Newtonovým binomom.

Príspevok systematizuje informácie k téme, uvádza príklady úloh na použitie Newtonovho binomu a vzorcov pre súčet a rozdiel stupňov. Práca môže byť použitá v práci matematického krúžku, ako aj na samostatné štúdium tým, ktorí majú radi matematiku.

ZOZNAM POUŽITÝCH ZDROJOV

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatorika - vyd. "Veda". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie organizácie základné a pokročilé úrovne - M.: Vzdelávanie, 2014. - 431 s.

3. Riešenie problémov v štatistike, kombinatorike a teórii pravdepodobnosti. 7-9 buniek / autor - zostavovateľ V.N. Studenetskaya. - vyd. 2., opravené, - Volgograd: Učiteľ, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebraické rovnice vyšších stupňov / Metodická príručka pre študentov Medziuniverzitného prípravného odboru. - Petrohrad, 2001.

5. Sharygin I.F. Voliteľný predmet z matematiky: Riešenie problémov. Učebnica pre 10 buniek. stredná škola. - M.: Osveta, 1989.

6.Veda a život, Newtonov binom a Pascalov trojuholník[Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Deriváty vyšších rádov

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváty vyššieho rádu, ako aj napísať všeobecný vzorec pre „n-tý“ derivát. Okrem toho sa zváži Leibnizov vzorec pre takýto derivát a podľa všeobecného dopytu sa zvážia deriváty vyššieho rádu implicitná funkcia. Navrhujem, aby ste okamžite urobili mini-test:

Tu je funkcia: a tu je jeho prvý derivát:

V prípade, že máte nejaké problémy/nedorozumenia týkajúce sa tohto príkladu, začnite prosím dvoma základnými článkami môjho kurzu: Ako nájsť derivát? a Derivácia zloženej funkcie. Po zvládnutí elementárnych derivátov vám odporúčam prečítať si lekciu Najjednoduchšie problémy s derivátom, ktorým sme sa venovali najmä druhá derivácia.

Nie je ťažké uhádnuť, že druhá derivácia je deriváciou prvej derivácie:

V zásade sa druhá derivácia už považuje za deriváciu vyššieho rádu.

Podobne: tretia derivácia je deriváciou 2. derivácie:

Štvrtá derivácia je deriváciou tretej derivácie:

Piaty derivát: a je zrejmé, že všetky deriváty vyšších rádov sa budú rovnať nule:

Okrem rímskeho číslovania sa v praxi často používajú tieto označenia:
, pričom derivát „n-tého“ rádu sa označuje . V tomto prípade musí byť index horného indexu uzavretý v zátvorkách.- odlíšiť deriváciu od "y" v stupni.

Niekedy sa vyskytne takýto záznam: - tretí, štvrtý, piaty, ..., "n-tý" derivát, resp.

Vpred bez strachu a pochybností:

Príklad 1

Daná funkcia. Nájsť .

rozhodnutie: čo poviete ... - vpred pre štvrtý derivát :)

Už nie je zvykom dávať štyri ťahy, takže prejdeme k číselným indexom:

Odpoveď:

Dobre, teraz sa zamyslime nad touto otázkou: čo robiť, ak sa podľa podmienky vyžaduje nájsť nie 4., ale napríklad 20. derivát? Ak pre derivát 3-4-5 (maximálne 6.-7.) poriadku, riešenie je vypracované pomerne rýchlo, potom sa „dostaneme“ k derivátom vyšších rádov, ach, ako nie. Nepíšte v skutočnosti 20 riadkov! V takejto situácii musíte analyzovať niekoľko nájdených derivátov, pozrieť si vzor a zostaviť vzorec pre „n-tý“ derivát. Takže v príklade č. 1 je ľahké pochopiť, že pri každej ďalšej diferenciácii pred exponentom „vyskočí“ ďalšia „trojka“ a v ktoromkoľvek kroku sa stupeň „trojky“ rovná počtu derivát teda:

Kde je ľubovoľné prirodzené číslo.

A skutočne, ak , potom sa získa presne 1. derivácia: , ak - tak 2.: atď. Dvadsiata derivácia je teda určená okamžite: - a žiadne "kilometrové listy"!

Vlastné zahrievanie:

Príklad 2

Nájdite funkcie. Napíšte deriváciu objednávky

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Po povzbudivom zahriatí zvážime zložitejšie príklady, v ktorých vypracujeme vyššie uvedený algoritmus riešenia. Pre tých, ktorí čítali lekciu Limit sekvencie, bude to trochu jednoduchšie:

Príklad 3

Nájsť funkciu .

rozhodnutie: na objasnenie situácie nájdeme niekoľko derivátov:

S násobením výsledných čísel sa neponáhľame! ;-)


Možno dosť. ... dokonca som to trochu prehnal.

V ďalšom kroku je najlepšie napísať vzorec pre „n-tú“ deriváciu (akonáhle to podmienka nevyžaduje, môžete si vystačiť s návrhom). Aby sme to dosiahli, pozrieme sa na získané výsledky a identifikujeme vzory, s ktorými sa získa každá ďalšia derivácia.

Najprv sa podpíšu. Prekladanie poskytuje "blikačka" a keďže 1. derivácia je kladná, do všeobecného vzorca vstúpi nasledujúci faktor: . Bude stačiť ekvivalentná možnosť, ale osobne ako optimista milujem znamienko plus =)

Po druhé, v čitateli "vetry" faktoriál a „zaostáva“ za číslom derivácie o jednu jednotku:

A po tretie, mocnina „dvojky“ rastie v čitateli, ktorý sa rovná číslu derivácie. To isté možno povedať o stupni menovateľa. Nakoniec:

Na účely overenia nahraďme napríklad pár hodnôt „en“ a:

Skvelé, teraz urobiť chybu je len hriech:

Odpoveď:

Jednoduchšia funkcia pre riešenie „urob si sám“:

Príklad 4

Nájdite funkcie.

A zložitejší problém:

Príklad 5

Nájdite funkcie.

Zopakujme postup ešte raz:

1) Najprv nájdeme niekoľko derivátov. Na zachytenie vzorov zvyčajne stačia tri alebo štyri.

2) Potom dôrazne odporúčam zostaviť (aspoň na koncepte)"n-tý" derivát - zaručene chráni pred chybami. Ale zaobídete sa aj bez, t.j. mentálne odhadnúť a hneď zapísať napríklad dvadsiatu alebo ôsmu deriváciu. Navyše, niektorí ľudia sú vo všeobecnosti schopní riešiť zvažované problémy ústne. Malo by sa však pamätať na to, že „rýchle“ metódy sú plné a je lepšie hrať na istotu.

3) V záverečnej fáze skontrolujeme "n-tý" derivát - vezmeme pár hodnôt "en" (lepšie ako susedné) a vykonáme substitúciu. A ešte spoľahlivejšie je skontrolovať všetky skôr nájdené deriváty. Potom dosadíme v želanej hodnote napr. alebo a výsledok opatrne vyčešeme.

Stručné riešenie 4. a 5. príkladu na konci hodiny.

V niektorých úlohách, aby ste sa vyhli problémom, musíte s funkciou urobiť malú mágiu:

Príklad 6

rozhodnutie: Nechcem vôbec rozlišovať navrhovanú funkciu, pretože sa ukáže, že ide o „zlý“ zlomok, čo veľmi sťaží nájdenie následných derivátov.

V tomto ohľade je vhodné vykonať predbežné transformácie: používame rozdiel štvorcov vzorca a vlastnosť logaritmu :

Celkom iná záležitosť:

A starí priatelia:

Myslím, že sa na všetko pozerá. Všimnite si, že 2. zlomok je podpísaný, ale 1. nie. Zostrojíme deriváciu objednávky:

Kontrola:

Pre krásu vyberáme faktoriál zo zátvoriek:

Odpoveď:

Zaujímavá úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 7

Napíšte vzorec derivácie objednávky pre funkciu

A teraz o neochvejnej vzájomnej zodpovednosti, ktorú im bude závidieť aj talianska mafia:

Príklad 8

Daná funkcia. Nájsť

Osemnásta derivácia v bode . Len.

rozhodnutie: Najprv musíte samozrejme nájsť . Choď:

Začali od sínusu a prišli k sínusu. Je jasné, že s ďalšou diferenciáciou bude tento cyklus pokračovať do nekonečna a vyvstáva otázka: ako sa najlepšie „dostať“ k osemnástej derivácii?

„Amatérska“ metóda: rýchlo zapíšeme čísla nasledujúcich derivátov vpravo do stĺpca:

takto:

Ale funguje to, ak poradie derivátu nie je príliš veľké. Ak potrebujete nájsť, povedzme, stý derivát, mali by ste použiť deliteľnosť 4. Sto je deliteľné 4 bezo zvyšku a je ľahké vidieť, že takéto čísla sa nachádzajú na spodnom riadku, preto: .

Mimochodom, 18. derivácia môže byť tiež určená z podobných úvah:
Druhý riadok obsahuje čísla, ktoré sú deliteľné 4 so zvyškom 2.

Ďalšia, akademickejšia metóda je založená na sínusová periodicita a redukčné vzorce. Používame hotový vzorec "n-tý" derivát sínusu , do ktorého sa jednoducho dosadí požadované číslo. Napríklad:
(redukčný vzorec ) ;
(redukčný vzorec )

V našom prípade:

(1) Keďže sínus je periodická funkcia s bodkou, potom z argumentu možno bezbolestne „vyskrutkovať“ 4 periódy (t.j.).

Deriváciu poriadku súčinu dvoch funkcií možno nájsť podľa vzorca:

Konkrétne:

Nemusíte si nič špeciálne pamätať, pretože čím viac vzorcov poznáte, tým menej rozumiete. Oveľa lepšie vedieť Newtonov binom, keďže Leibnizov vzorec je mu veľmi, veľmi podobný. No, tí šťastlivci, ktorí dostanú derivát 7. alebo vyšších rádov (čo je naozaj nepravdepodobné) bude k tomu nútený. Keď však príde čas kombinatorika- ešte musíš =)

Poďme nájsť tretiu deriváciu funkcie . Používame Leibnizov vzorec:

V tomto prípade: . Na deriváty sa dá jednoducho kliknúť slovne:

Teraz opatrne a OPATRNE vykonáme nahradenie a zjednodušíme výsledok:

Odpoveď:

Podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 11

Nájdite funkcie

Ak v predchádzajúcom príklade riešenie „na čelo“ ešte konkurovalo Leibnizovej formulke, tak tu to už bude naozaj nepríjemné. A ešte nepríjemnejšie - v prípade vyššieho rádu derivátu:

Príklad 12

Nájdite derivát zadaného poriadku

rozhodnutie: prvá a podstatná poznámka - takto sa rozhodnúť asi nie je potrebné =) =)

Zapíšme si funkcie a nájdime ich derivácie až do 5. rádu vrátane. Predpokladám, že deriváty pravého stĺpca sa pre vás stali ústnymi:

V ľavom stĺpci „živé“ deriváty rýchlo „skončili“ a to je veľmi dobré – v Leibnizovom vzorci sa tri výrazy vynulujú:

Opäť sa pozastavím nad dilemou, ktorá sa objavila v článku o komplexné deriváty: pre zjednodušenie výsledku? V zásade to môžete nechať tak - pre učiteľa to bude ešte jednoduchšie kontrolovať. Môže však vyžadovať, aby si rozhodnutie zapamätal. Na druhej strane, zjednodušenie z vlastnej iniciatívy je plné algebraických chýb. Máme však odpoveď získanú „primárnym“ spôsobom =) (pozri link na začiatku) a dúfam, že je to správne:

Super, všetko sa podarilo.

Odpoveď:

Šťastná úloha na samoriešenie:

Príklad 13

Pre funkciu:
a) nájsť priamou diferenciáciou;
b) nájdite podľa Leibnizovho vzorca;
c) vypočítať.

Nie, vôbec nie som sadista - bod "a" je celkom jednoduchý =)

Ale vážne, „priame“ riešenie postupnou diferenciáciou má tiež „právo na život“ – v niektorých prípadoch je jeho zložitosť porovnateľná so zložitosťou aplikácie Leibnizovho vzorca. Použite, ako uznáte za vhodné – je nepravdepodobné, že by to bol dôvod na nezapočítanie úlohy.

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aby ste zvýšili posledný odsek, musíte byť schopní diferencovať implicitné funkcie:

Deriváty vyššieho rádu implicitných funkcií

Mnohí z nás strávili dlhé hodiny, dni a týždne svojho života štúdiom kruhy, parabola, hyperbola– a niekedy to vyzeralo aj ako skutočný trest. Poďme sa teda pomstiť a poriadne ich odlíšiť!

Začnime „školskou“ parabolou v jej kanonické postavenie:

Príklad 14

Je daná rovnica. Nájsť .

rozhodnutie: prvý krok je známy:

To, že funkcia a jej derivácia sú vyjadrené implicitne, nemení podstatu veci, druhá derivácia je deriváciou 1. derivácie:

Existujú však pravidlá hry: zvyčajne sa vyjadrujú deriváty 2. a vyššieho rádu len cez "x" a "y". Do výslednej 2. derivácie teda dosadíme:

Tretia derivácia je deriváciou 2. derivácie:

Podobne nahradíme:

Odpoveď:

Hyperbola „škola“ v kanonické postavenie- pre samostatnú prácu:

Príklad 15

Je daná rovnica. Nájsť .

Opakujem, že 2. derivácia a výsledok by mali byť vyjadrené iba cez "x" / "y"!

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Po detských žartoch sa pozrime na nemeckú pornografiu @ fia, pozrime sa na viac príkladov pre dospelých, z ktorých sa dozvieme ďalšie dôležité riešenie:

Príklad 16

Elipsa sám.

rozhodnutie: nájdite prvú deriváciu:

A teraz sa zastavme a rozoberme nasledujúci moment: teraz musíme zlomok rozlíšiť, čo nie je vôbec povzbudivé. V tomto prípade je to, samozrejme, jednoduché, ale v skutočných problémoch existuje len niekoľko takýchto darov. Existuje spôsob, ako sa vyhnúť nájdeniu ťažkopádneho derivátu? Existovať! Zoberieme rovnicu a použijeme rovnakú techniku ​​ako pri hľadaní 1. derivácie – ťahy „zavesíme“ na obe časti:

Druhá derivácia musí byť vyjadrená iba cez a , takže teraz (práve teraz) je vhodné zbaviť sa 1. derivácie. Aby sme to dosiahli, dosadíme do výslednej rovnice:

Aby sme sa vyhli zbytočným technickým ťažkostiam, vynásobíme obe časti:

A až v záverečnej fáze zostavíme zlomok:

Teraz sa pozrieme na pôvodnú rovnicu a všimneme si, že získaný výsledok možno zjednodušiť:

Odpoveď:

Ako v určitom bode nájsť hodnotu 2. derivácie (ktorá samozrejme patrí do elipsy), napríklad v bode ? Veľmi ľahké! S týmto motívom sme sa už stretli v lekcii o normálna rovnica: vo výraze 2. derivácie treba dosadiť :

Samozrejme, vo všetkých troch prípadoch môžete získať explicitne dané funkcie a rozlíšiť ich, ale potom sa mentálne pripravte na prácu s dvoma funkciami, ktoré obsahujú korene. Riešenie je podľa mňa pohodlnejšie realizovať „implicitne“.

Posledný príklad vlastného riešenia:

Príklad 17

Nájsť implicitnú funkciu

Je uvedený Leibnizov vzorec na výpočet n-tej derivácie súčinu dvoch funkcií. Jeho dôkaz sa podáva dvoma spôsobmi. Uvažuje sa o príklade výpočtu derivácie n-tého rádu.

Obsah

Pozri tiež: Derivácia súčinu dvoch funkcií

Leibnizov vzorec

Pomocou Leibnizovho vzorca môžete vypočítať n-tú deriváciu súčinu dvoch funkcií. Vyzerá to takto:
(1) ,
kde
sú binomické koeficienty.

Binomické koeficienty sú koeficienty rozšírenia binomického celku v mocninách a :
.
Číslo je tiež počtom kombinácií od n do k .

Dôkaz Leibnizovho vzorca

Použiteľné vzorec pre deriváciu súčinu dvoch funkcií :
(2) .
Prepíšme vzorec (2) do nasledujúceho tvaru:
.
To znamená, že uvažujeme, že jedna funkcia závisí od premennej x a druhá závisí od premennej y. Na konci výpočtu predpokladáme . Potom môže byť predchádzajúci vzorec napísaný ako:
(3) .
Keďže derivácia sa rovná súčtu členov a každý člen je súčinom dvoch funkcií, na výpočet derivácií vyšších rádov môžete dôsledne aplikovať pravidlo (3).

Potom pre deriváciu n-tého rádu máme:

.
Vzhľadom na to a dostaneme Leibnizov vzorec:
(1) .

Dôkaz indukciou

Uvádzame dôkaz Leibnizovho vzorca metódou matematickej indukcie.

Prepíšme Leibnizov vzorec:
(4) .
Pre n = 1 máme:
.
Toto je vzorec pre deriváciu súčinu dvoch funkcií. Je spravodlivá.

Predpokladajme, že vzorec (4) platí pre deriváciu n-tého rádu. Dokážme, že platí pre deriváciu n + 1 - poradie.

Rozlíšiť (4):
;



.
Tak sme našli:
(5) .

Nahraďte v (5) a vezmite do úvahy, že:

.
To ukazuje, že vzorec (4) má rovnaký tvar pre deriváciu n + 1 - poradie.

Takže vzorec (4) platí pre n = 1 . Z predpokladu, že pre nejaké číslo platí n = m, vyplýva, že platí pre n = m + 1 .
Leibnizov vzorec bol osvedčený.

Príklad

Vypočítajte n-tú deriváciu funkcie
.

Aplikujeme Leibnizov vzorec
(2) .
V našom prípade
;
.

Autor: derivačná tabuľka máme:
.
Použiť vlastnosti goniometrických funkcií :
.
Potom
.
To ukazuje, že diferenciácia funkcie sínus vedie k jej posunu o . Potom
.

Nájdeme derivácie funkcie .
;
;
;
, .

Pretože pre , iba prvé tri členy v Leibnizovom vzorci sú nenulové. Hľadanie binomických koeficientov.
;
.

Podľa Leibnizovho vzorca máme:

.

Pozri tiež: