Exponenciálna funkcia je zovšeobecnenie súčinu n čísel rovných a:
r (n) = a n = a a a a,
na množinu reálnych čísel x :
r (x) = x.
Tu a je pevné reálne číslo, ktoré sa nazýva základ exponenciálnej funkcie.
Nazýva sa aj exponenciálna funkcia so základom a exponenciálny k základu a.

Zovšeobecnenie sa uskutočňuje nasledovne.
Pre prirodzené x = 1, 2, 3,... , exponenciálna funkcia je súčinom x faktorov:
.
Okrem toho má vlastnosti (1,5-8) (), ktoré vyplývajú z pravidiel pre násobenie čísel. Pri nulových a záporných hodnotách celých čísel je exponenciálna funkcia určená vzorcami (1,9-10). Pre zlomkové hodnoty x = m/n racionálnych čísel, sa určuje podľa vzorca (1.11). V skutočnosti je exponenciálna funkcia definovaná ako limit postupnosti:
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel konvergujúcich k x : .
Pomocou tejto definície je exponenciálna funkcia definovaná pre všetky a spĺňa vlastnosti (1.5-8), ako aj pre prirodzené x .

Dôkladná matematická formulácia definície exponenciálnej funkcie a dôkaz jej vlastností je uvedený na stránke "Definícia a dôkaz vlastností exponenciálnej funkcie".

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel () nasledujúce vlastnosti:
(1.1) je definovaný a spojitý, pre , pre všetkých ;
(1.2) keď a ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s inou mocninou:

Pre b = e dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie z hľadiska exponentu:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = x
pre štyri hodnoty stupňa základov:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidieť, že pre > 1 exponenciálna funkcia monotónne rastie. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. o 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Stúpajúci klesajúci

Exponenciálna funkcia at je prísne monotónna, takže nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
doména	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotónne	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Nuly, y= 0	nie	nie
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota exponenciálnej funkcie so základom stupňa a je logaritmus k základu a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo pre derivovanie komplexnej funkcie.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie. Na tento účel zavedieme premennú

Potom

Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z ):
.
Keďže je konštanta, derivácia z vzhľadom na x je
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivácia exponenciálnej funkcie

.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Príklad diferenciácie exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y= 35 x

rozhodnutie

Základ exponenciálnej funkcie vyjadrujeme číslom e.
3 = e log 3
Potom
.
Zavádzame premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pokiaľ ide o 5ln 3 je konštanta, potom derivácia z vzhľadom na x je:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy v komplexných číslach

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Komplexnú konštantu a vyjadríme pomocou modulu r a argumentu φ :
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 pn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) je tiež nejednoznačný. Často sa považuje za jeho hlavný význam
.

Rozšírenie v sérii

.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Hypotéza: Ak študujete pohyb grafu pri vytváraní rovnice funkcií, všimnete si, že všetky grafy sa riadia všeobecnými zákonmi, a preto môžete formulovať všeobecné zákony bez ohľadu na funkcie, čo nielen uľahčí konštrukciu grafov. rôznych funkcií, ale využiť ich aj pri riešení problémov.

Účel: Študovať pohyb grafov funkcií:

1) Úlohou štúdia literatúry

2) Naučte sa vytvárať grafy rôznych funkcií

3) Naučte sa prevádzať grafy lineárnych funkcií

4) Zvážte použitie grafov pri riešení úloh

Predmet štúdia: Grafy funkcií

Predmet výskumu: Pohyby grafov funkcií

Relevantnosť: Konštrukcia funkčných grafov spravidla zaberie veľa času a vyžaduje pozornosť študenta, ale ak poznáte pravidlá transformácie funkčných grafov a grafov základných funkcií, môžete rýchlo a jednoducho zostaviť funkčné grafy, ktoré vám umožnia môžete nielen dokončiť úlohy na vykresľovanie funkčných grafov, ale aj riešiť súvisiace problémy (nájsť maximum (minimálna výška času a bod stretnutia))

Tento projekt je užitočný pre všetkých študentov školy.

Prehľad literatúry:

V literatúre sa rozoberajú spôsoby zostrojenia grafu rôznych funkcií, ako aj príklady transformácie grafov týchto funkcií. Grafy takmer všetkých hlavných funkcií sa používajú v rôznych technických procesoch, čo umožňuje jasnejšie prezentovať priebeh procesu a naprogramovať výsledok

Trvalá funkcia. Táto funkcia je daná vzorcom y = b, kde b je nejaké číslo. Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom (0; b) na osi y. Graf funkcie y \u003d 0 je os x.

Typy funkcií 1Priama úmernosť. Táto funkcia je daná vzorcom y \u003d kx, kde koeficient úmernosti k ≠ 0. Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom.

Lineárna funkcia. Takáto funkcia je daná vzorcom y = kx + b, kde k a b sú reálne čísla. Graf lineárnej funkcie je priamka.

Grafy lineárnych funkcií sa môžu pretínať alebo byť rovnobežné.

Čiary grafov lineárnych funkcií y \u003d k 1 x + b 1 a y \u003d k 2 x + b 2 sa pretínajú, ak k 1 ≠ k 2; ak k 1 = k 2, potom sú čiary rovnobežné.

2 Inverzná úmernosť je funkcia, ktorá je daná vzorcom y \u003d k / x, kde k ≠ 0. K sa nazýva koeficient nepriamej úmernosti. Graf inverznej proporcionality je hyperbola.

Funkciu y \u003d x 2 predstavuje graf nazývaný parabola: na intervale [-~; 0] funkcia je klesajúca, na intervale funkcia rastie.

Funkcia y \u003d x 3 sa zvyšuje pozdĺž celej číselnej osi a je graficky znázornená kubickou parabolou.

Mocninná funkcia s prirodzeným exponentom. Táto funkcia je daná vzorcom y \u003d x n, kde n je prirodzené číslo. Grafy mocninnej funkcie s prirodzeným exponentom závisia od n. Napríklad, ak n = 1, potom graf bude priamka (y = x), ak n = 2, potom bude graf parabola atď.

Mocninnú funkciu so záporným celočíselným exponentom predstavuje vzorec y \u003d x -n, kde n je prirodzené číslo. Táto funkcia je definovaná pre všetky x ≠ 0. Graf funkcie závisí aj od exponentu n.

Mocninná funkcia s kladným zlomkovým exponentom. Táto funkcia je reprezentovaná vzorcom y \u003d x r, kde r je kladný neredukovateľný zlomok. Táto funkcia tiež nie je párna ani nepárna.

Čiara grafu, ktorá zobrazuje vzťah závislých a nezávislých premenných na rovine súradníc. Graf slúži na vizuálne zobrazenie týchto prvkov.

Nezávislá premenná je premenná, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu v rámci funkcií (kde daná funkcia dáva zmysel (nedá sa deliť nulou))

Ak chcete nakresliť funkčný graf,

1) Nájdite ODZ (rozsah prijateľných hodnôt)

2) vziať nejaké ľubovoľné hodnoty pre nezávislú premennú

3) Nájdite hodnotu závislej premennej

4) Zostavte súradnicovú rovinu, označte na nej tieto body

5) V prípade potreby spojte ich čiary, preskúmajte výsledný graf Transformácia grafov elementárnych funkcií.

Konverzia grafu

V čistej forme nie sú základné elementárne funkcie, žiaľ, také bežné. Oveľa častejšie sa treba zaoberať elementárnymi funkciami získanými zo základných elementárnych funkcií sčítaním konštánt a koeficientov. Grafy takýchto funkcií je možné zostaviť aplikáciou geometrických transformácií na grafy príslušných základných elementárnych funkcií (alebo prechodom na nový súradnicový systém). Napríklad vzorec kvadratickej funkcie je vzorec kvadratickej paraboly, trikrát stlačený vzhľadom na zvislú os, symetricky zobrazený vzhľadom na os x, posunutý proti smeru tejto osi o 2/3 jednotiek a posunutý v smere zvislej osi. os o 2 jednotky.

Poďme pochopiť tieto geometrické transformácie grafu funkcií krok za krokom na konkrétnych príkladoch.

Pomocou geometrických transformácií grafu funkcie f (x) je možné zostaviť graf ľubovoľnej funkcie formulárového vzorca, kde vzorec je kompresný alebo expanzný koeficient pozdĺž osi oy a ox, v tomto poradí, mínus. znamienka pred vzorcom koeficientov a vzorcom označujú symetrické zobrazenie grafu vzhľadom na súradnicové osi , a a b definujú posun vzhľadom na úsečku a na súradnicovú os, v tomto poradí.

Existujú teda tri typy geometrických transformácií funkčného grafu:

Prvým typom je škálovanie (stlačenie alebo rozšírenie) pozdĺž úsečky a osi y.

Potreba škálovania je indikovaná inými koeficientmi vzorca ako jedna, ak je číslo menšie ako 1, potom sa graf stlačí vzhľadom na oy a natiahne sa vzhľadom na ox, ak je číslo väčšie ako 1, potom sa natiahneme pozdĺž osi y a zmršťujú sa pozdĺž osi x.

Druhým typom je symetrické (zrkadlové) zobrazenie vzhľadom na súradnicové osi.

Potrebu tejto transformácie naznačujú znamienko mínus pred koeficientmi vzorca (v tomto prípade zobrazujeme graf symetricky vzhľadom na os ox) a vzorca (v tomto prípade zobrazujeme graf symetricky s vzhľadom na os y). Ak nie sú žiadne znamienka mínus, tento krok sa preskočí.

Transformácia grafu funkcií

V tomto článku vám predstavím lineárne transformácie grafov funkcií a ukážem, ako tieto transformácie z grafu funkcií použiť na získanie grafu funkcie.

Lineárna transformácia funkcie je transformácia samotnej funkcie a/alebo jej argumentu do tvaru , ako aj transformácia obsahujúca modul argumentu a/alebo funkcií.

Nasledujúce akcie spôsobujú najväčšie ťažkosti pri vykresľovaní grafov pomocou lineárnych transformácií:

1. Izolácia základnej funkcie, v skutočnosti graf, ktorý transformujeme.
2. Definície poradia transformácií.

A Práve v týchto bodoch sa budeme podrobnejšie zaoberať.

Pozrime sa bližšie na funkciu

Je založená na funkcii. Zavolajme jej základná funkcia.

Pri vykresľovaní funkcie robíme transformácie grafu základnej funkcie .

Ak by sme mali transformovať funkciu v rovnakom poradí, v akom bola nájdená jeho hodnota pre určitú hodnotu argumentu, teda

Pozrime sa, aké typy transformácií lineárnych argumentov a funkcií existujú a ako ich vykonať.

Transformácie argumentov.

1. f(x) f(x+b)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Graf funkcie posunieme pozdĺž osi OX o |b| Jednotky

• vľavo, ak b>0
• právo, ak b<0

Nakreslíme funkciu

1. Vykreslíme funkciu

2. Posuňte ho o 2 jednotky doprava:

2. f(x) f(kx)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Úsečky bodov grafu vydeľte k, súradnice bodov ponechajte nezmenené.

Nakreslíme funkciu.

1. Vykreslíme funkciu

2. Všetky úsečky bodov grafu vydeľte 2, poradie ponechajte nezmenené:

3. f(x) f(-x)

1. Zostavíme graf funkcie

2. Zobrazíme ho symetricky okolo osi OY.

Nakreslíme funkciu.

1. Vykreslíme funkciu

2. Zobrazíme ho symetricky okolo osi OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Vykreslíme funkciu

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú vľavo od osi OY, časť grafu umiestnenú vpravo od osi OY Doplníme ju symetricky podľa osi OY:

Graf funkcie vyzerá takto:

Nakreslíme funkciu

1. Zostavíme funkčný graf (ide o funkčný graf posunutý pozdĺž osi OX o 2 jednotky doľava):

2. Časť grafu umiestnená naľavo od OY (x<0) стираем:

3. Časť grafu umiestnená napravo od osi OY (x>0) je vyplnená symetricky vzhľadom na os OY:

Dôležité! Dve hlavné pravidlá pre konverziu argumentov.

1. Všetky transformácie argumentov sa vykonávajú pozdĺž osi OX

2. Všetky transformácie argumentu sa vykonajú "naopak" a "v opačnom poradí".

Napríklad vo funkcii je postupnosť transformácií argumentov takáto:

1. Zoberieme modul z x.

2. Pridajte číslo 2 k modulu x.

Vykresľovanie sme však urobili v opačnom poradí:

Najprv sme vykonali transformáciu 2. - posunuli graf o 2 jednotky doľava (t. j. úsečky bodov sa zmenšili o 2, akoby "naopak")

Potom sme vykonali transformáciu f(x) f(|x|).

Stručne, postupnosť transformácií je napísaná takto:

Teraz si pohovorme o transformácia funkcie . Prebiehajú transformácie

1. Pozdĺž osi OY.

2. V rovnakom poradí, v akom sa vykonávajú akcie.

Toto sú premeny:

1. f(x)f(x)+D

2. Posuňte ho pozdĺž osi OY o |D| Jednotky

• hore, ak D>0
• dole, ak D<0

Nakreslíme funkciu

1. Vykreslíme funkciu

2. Posuňte ho pozdĺž osi OY o 2 jednotky nahor:

2. f(x)Af(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Súradnice všetkých bodov grafu vynásobíme A, úsečky necháme nezmenené.

Nakreslíme funkciu

1. Graf funkcie

2. Súradnice všetkých bodov grafu vynásobíme 2:

3.f(x)-f(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

Nakreslíme funkciu.

1. Zostavíme funkčný graf.

2. Zobrazujeme ho symetricky okolo osi OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Časť grafu umiestnená nad osou OX zostane nezmenená, časť grafu umiestnená pod osou OX sa zobrazí symetricky okolo tejto osi.

Nakreslíme funkciu

1. Zostavíme funkčný graf. Získa sa posunutím grafu funkcie pozdĺž osi OY o 2 jednotky nadol:

2. Teraz sa časť grafu umiestnená pod osou OX zobrazí symetricky vzhľadom na túto os:

A posledná transformácia, ktorú, prísne vzaté, nemožno nazvať transformáciou funkcie, pretože výsledkom tejto transformácie už nie je funkcia:

|y|=f(x)

1. Nakreslíme funkciu y=f(x)

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú pod osou OX, potom doplníme časť grafu umiestnenú nad osou OX symetricky okolo tejto osi.

Zostavme graf rovnice

1. Zostavíme funkčný graf:

2. Vymažeme časť grafu umiestnenú pod osou OX:

3. Časť grafu umiestnená nad osou OX je vyplnená symetricky okolo tejto osi.

A nakoniec vám navrhujem pozrieť si VIDEO LEKCIU, v ktorej ukážem krok za krokom algoritmus na vykreslenie grafu funkcií

Graf tejto funkcie vyzerá takto:

Ktorá z týchto funkcií má inverznú funkciu? Pre takéto funkcie nájdite inverzné funkcie:

4.12. a)	y=x;					b) y = 6 -3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. a)	y = 4x - 5;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = znamienko x ;						y = 1 + lg(x + 2);

	y = 2 x 2 + 1;
			x - 2
						pri x< 0
c) y =		−x
						pre x ≥ 0

Zistite, ktoré z týchto funkcií sú monotónne, ktoré sú striktne monotónne a ktoré sú ohraničené:

4.14. a)

f(x) = c, cR;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x.

4.15. a)

f(x) = 3− x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

X< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

− 10 hod

f(x)=

e) f(x) =

x 2 at

x > 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. elementárne funkcie. Transformácia grafu funkcií

Pripomeňme, že graf funkcie f (x) v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme Oxy je množina všetkých bodov v rovine so súradnicami (x, f (x)).

Graf funkcie y \u003d f (x) možno často zostaviť pomocou transformácií (posun, natiahnutie) grafu niektorej už známej funkcie.

Najmä z grafu funkcie y \u003d f (x) sa získa graf funkcie:

1) y \u003d f (x) + a - posun pozdĺž osi Oy o jednotky (nahor, ak a > 0, a nadol, ak a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - posun pozdĺž osi Ox o jednotky b (doprava, ak b > 0,

a doľava, ak b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - natiahnutím pozdĺž osi Oy o k krát;

4) y \u003d f (mx) - kompresia pozdĺž osi Ox m krát;

5) y \u003d - f (x) - symetrický odraz okolo osi Ox;

6) y \u003d f (-x) - symetrický odraz okolo osi Oy;

7) y \u003d f (x), takto: časť grafu sa nenachádza

pod osou Ox zostáva nezmenená a „spodná“ časť grafu sa odráža symetricky okolo osi Ox;

8) y = f (x ) , takto: pravá strana grafu (pre x ≥ 0 )

zostáva nezmenený a namiesto „ľavého“ je vybudovaný symetrický odraz „pravého“ okolo osi Oy.

Hlavné elementárne funkcie sa nazývajú:

1) konštantná funkcia y = c;

2) mocninná funkcia y = xa, aR;

3) exponenciálna funkcia y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) logaritmický funkcia y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonometrické funkcie y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x, y = sek x (kde sek x = cos 1 x), y = cosec x (kde cosec x = sin 1 x);

6) inverzné goniometrické funkcie y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

elementárne funkcie nazývané funkcie získané zo základných elementárnych funkcií pomocou konečného počtu aritmetických operácií (+, − , ÷) a kompozícií (t. j. tvorby komplexných funkcií f g ).

Príklad 4.6. Nakreslite funkciu

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

Riešenie: 1) zvýraznením celého štvorca sa funkcia prevedie do tvaru y = (x +3) 2 − 2, teda graf tejto funkcie získame z grafu funkcie y = x 2 . Stačí najskôr posunúť parabolu y \u003d x 2 o tri jednotky doľava (dostaneme graf funkcie y \u003d (x +3) 2) a potom o dve jednotky nadol (obr. 4.1);

	štandardná	sínusoida						y = hriech x	štyrikrát pozdĺž osi		Vôl,
dostaneme graf funkcie y \u003d sin 4 x (obr. 4.2).
										y=sin4x
										y = hriech x

Dvojitým natiahnutím výsledného grafu pozdĺž osi Oy dostaneme graf funkcie y \u003d 2sin 4 x (obr. 4.3). Zostáva odrážať posledný graf vzhľadom na os Ox. Výsledkom bude požadovaný graf (pozri obr. 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Úlohy na samostatné riešenie

Zostrojte grafy nasledujúcich funkcií na základe grafov hlavných elementárnych funkcií:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = −2sin(x −π );

4.18. a) y = -4 x -1;

4.19. a) y = log2 (-x);

4.20. a) y = x + 5;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = znamienko x ;

4.23. a) y = x x + + 42;

y = 3-2x-x2.

y = 2 cos 2 x .

V závislosti od podmienok priebehu fyzikálnych procesov niektoré veličiny nadobúdajú konštantné hodnoty a nazývajú sa konštanty, iné sa za určitých podmienok menia a nazývajú sa premenné.

Starostlivé štúdium prostredia ukazuje, že fyzikálne veličiny sú na sebe závislé, to znamená, že zmena niektorých veličín so sebou nesie aj zmenu iných.

Matematická analýza študuje kvantitatívne vzťahy vzájomne sa meniacich veličín, pričom abstrahuje od špecifického fyzikálneho významu. Jedným zo základných pojmov matematickej analýzy je pojem funkcie.

Zvážte prvky súpravy a prvky súpravy
(obr. 3.1).

Ak sa medzi prvkami súborov vytvorí určitá korešpondencia
a ako pravidlo , potom si všimneme, že funkcia je definovaná
.

Definícia 3.1. Zhoda , ktorý je spojený s každým prvkom nie prázdna množina
nejaký dobre definovaný prvok nie prázdna množina , sa nazýva funkcia alebo mapovanie
v .

Symbolicky zobraziť
v sa píše takto:

.

Zároveň mnohí
sa nazýva definičný obor funkcie a označuje sa
.

Na druhej strane mnohí sa nazýva rozsah funkcie a označuje sa
.

Okrem toho je potrebné poznamenať, že prvky súpravy
sa nazývajú nezávislé premenné, prvky množiny sa nazývajú závislé premenné.

Spôsoby nastavenia funkcie

Funkciu možno definovať týmito hlavnými spôsobmi: tabuľkovo, graficky, analyticky.

Ak sa na základe experimentálnych údajov zostavia tabuľky, ktoré obsahujú hodnoty funkcie a zodpovedajúce hodnoty argumentu, potom sa táto metóda špecifikácie funkcie nazýva tabuľková.

Súčasne, ak sú niektoré štúdie o výsledku experimentu výstupom do registrátora (osciloskop, záznamník atď.), Potom je potrebné poznamenať, že funkcia je nastavená graficky.

Najbežnejší je analytický spôsob definovania funkcie, t.j. metóda, v ktorej sú nezávislé a závislé premenné spojené pomocou vzorca. V tomto prípade hrá dôležitú úlohu oblasť definície funkcie:

rozdielne, hoci sú dané rovnakými analytickými vzťahmi.

Ak je uvedený iba vzorec funkcie
, potom uvažujeme, že doména definície tejto funkcie sa zhoduje s množinou týchto hodnôt premennej , pre ktorý výraz
má význam. V tomto smere zohráva osobitnú úlohu problém hľadania domény funkcie.

Úloha 3.1. Nájdite rozsah funkcie

rozhodnutie

Prvý výraz nadobúda skutočné hodnoty
, a druhý o. Na nájdenie oblasti definície danej funkcie je teda potrebné vyriešiť systém nerovností:

Výsledkom riešenia takéhoto systému získame . Preto doménou funkcie je segment
.

Najjednoduchšie transformácie grafov funkcií

Konštrukciu grafov funkcií možno značne zjednodušiť, ak použijeme známe grafy hlavných elementárnych funkcií. Nasledujúce funkcie sa nazývajú základné elementárne funkcie:

1) funkcia napájania
kde
;

2) exponenciálna funkcia
kde
a
;

3) logaritmická funkcia
, kde - akékoľvek kladné číslo iné ako jedna:
a
;

4) goniometrické funkcie




;
.

5) inverzné goniometrické funkcie
;
;
;
.

Elementárne funkcie sa nazývajú funkcie, ktoré sú získané zo základných elementárnych funkcií pomocou štyroch aritmetických operácií a superpozícií aplikovaných v konečnom počte krát.

Jednoduché geometrické transformácie tiež zjednodušujú proces vykresľovania funkcií. Tieto transformácie sú založené na nasledujúcich tvrdeniach:

Graf funkcie y=f(x+a) je graf y=f(x), posunutý (pre a >0 doľava, pre a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Graf funkcie y=f(x) +b má grafy y=f(x), posunuté (ak b>0 nahor, ak b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Graf funkcie y = mf(x) (m0) je graf y = f(x), natiahnutý (pre m>1) m-krát alebo stlačený (pre 0

Graf funkcie y = f(kx) je graf y = f(x), stlačený (pre k > 1) k-krát alebo natiahnutý (pre 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.