Časová a stacionárna Schrödingerova rovnica

Štatistická interpretácia de Broglieho vĺn a Heisenbergov vzťah neurčitosti viedla k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou, z ktorej by experimentálne pozorované vlnové vlastnosti častíc sledovať. Hlavnou rovnicou musí byť rovnica pre vlnovú funkciu (x, y, z, t), pretože práve táto funkcia, presnejšie veličina 2 určuje pravdepodobnosť, že častica bude v čase t v objeme dV. , t.j. v oblasti so súradnicami x a x+dx, y a y+dy, z a z+dz. Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí ísť o vlnovú rovnicu, podobnú rovnici popisujúcej elektromagnetické vlny.

Táto rovnica je postulovaná a jej správnosť je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou.

Základná rovnica nerelativistickej kvantovej mechaniky (1926)

4.1 Schrödingerova časová rovnica:

Rovnica platí pre nerelativistické častice<< ,

kde (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) je hmotnosť častice; - pomyselná jednotka; je potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje; je požadovaná vlnová funkcia; ∆ je Laplaceov operátor

Podmienky kladené na vlnovú funkciu:

Vlnová funkcia musí byť konečná, jednohodnotová a spojitá.

Deriváty ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t musia byť spojité.

Funkcia 2 musí byť integrovateľná (táto podmienka sa redukuje na podmienku normalizácie pravdepodobností).

4.2 Stacionárna Schrödingerova rovnica

V prípade stacionárneho silového poľa (funkcia U=U(x, y, z) nie je vyslovene závislá od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade je možné riešenie Schrödingerovej rovnice znázorniť ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je len funkciou času a závislosť od času vyjadruje faktor ).

Potom možno vlnovú funkciu pre stacionárne stavy (stavy s pevnými hodnotami energie) znázorniť ako:

Stacionárna Schrödingerova rovnica:

získané po dosadení vlnovej funkcie do Schrödingerovej časovej rovnice a transformácií (∆ je Laplaceov operátor, m- hmotnosť častíc; - znížená Planckova konštanta ( = h/2π); E je celková energia častice, U je potenciálna energia častice. V klasickej fyzike kvantita (EÚ) by sa rovnala kinetickej energii častice. V kvantovej mechanike je v dôsledku vzťahu neurčitosti pojem kinetickej energie nezmyselný. Tu je potenciálna energia U je vlastnosť vonkajšie silové pole v ktorom sa častica pohybuje. Táto hodnota je celkom jednoznačná. V tomto prípade je to tiež funkcia súradníc U =U(x,y,z)).

Schrödingerovou hlavnou myšlienkou je preniesť matematickú analógiu medzi geometrickou optikou a klasickou mechanikou na vlnové vlastnosti svetla a častíc.

Schrödingerovu rovnicu získame z výrazu pre vlnovú funkciu voľného elektrónu. Prepíšme to v komplexnej forme.

Použitím vzťahu frekvencie s energiou a vlnového čísla s hybnosťou získame: .

Vo všeobecnom prípade je celková energia častice, , je kinetická energia a je interakčná energia.

Nájdite prvú deriváciu vzhľadom na a druhú vzhľadom na súradnicu funkcie Y: (1), (2).

Rovnicu (1) vynásobíme a rovnicu (2) vynásobíme (takže faktory na pravej strane budú mať rozmer energie):

, .

Pridáme výsledné rovnice:

.

Od , posledná rovnosť môže byť prepísaná do formulára .

Toto je Schrödingerova rovnica. Získal sa pre jednu súradnicu . Ak sa prepíše na 3 súradnice , tak zavedením Laplaceovho operátora budeme mať konečne

.

Schrödingerova rovnica nemôže byť priamo odvodená zo základných zákonov klasickej fyziky. Schrodingerova rovnica vám umožňuje nájsť vlnovú funkciu v ľubovoľnom časovom okamihu. Na to potrebujete poznať vlnovú funkciu v pevnom časovom bode, hmotnosť častice a energiu interakcie častice so silovým poľom. Nájdená vlnová funkcia umožňuje vypočítať pravdepodobnosť nájdenia častice v ľubovoľnom bode v priestore v akomkoľvek časovom okamihu.

Hlavné vlastnosti, ktoré musia spĺňať vlnové funkcie, sú riešenia Schrödingerovej rovnice:

1. Vlnová funkcia je lineárna, t.j. ak ... sú riešenia rovnice, potom ich lineárna kombinácia je riešením.

2. Prvé parciálne derivácie vzhľadom na súradnice sú lineárne

3. Vlnová funkcia a jej priestorové derivácie musia byť jednohodnotové, konečné a spojité.

4. Keďže máme tendenciu ∞, hodnota vlnovej funkcie by mala smerovať k nule.

Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy.

Ak je silové pole, v ktorom sa popisovaná častica pohybuje, stacionárne, potom jej potenciál nezávisí vyslovene od času a funkcia má význam potenciálnej energie a závisí len od súradníc. V tomto prípade môže byť vlnová funkcia reprezentovaná ako súčin dvoch. Jedna funkcia závisí len od , druhá len od času :

Posledný výraz dosadíme do Schrödingerovej rovnice

Po redukcii o faktor času a niektorých elementárnych transformáciách dostaneme: (*).

Toto je Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Zahŕňa iba súradnicovú časť vlnovej funkcie - . Ak sa nájde druhý, potom sa celková vlnová funkcia nájde vynásobením súradnicovej časti časovým faktorom .

Keďže pravdepodobnosť je určená druhou mocninou vlnovej funkcie a druhá mocnina komplexnej hodnoty sa zistí vynásobením komplexným konjugátom, potom pre stacionárne vlnové funkcie platí nasledujúci vzťah:

Na nájdenie vlnovej funkcie pre stacionárne stavy je teda potrebné vyriešiť rovnicu (*) a poznať celkovú energiu .

Voľný pohyb častíc.

Počas voľného pohybu kvantovej častice na ňu nepôsobia žiadne sily a jej potenciálna energia sa môže rovnať nule. Nechajte časticu pohybovať sa v smere , potom (*) nadobudne tvar: .

Konkrétnym riešením tejto rovnice je funkcia tvaru , kde a sú konštanty. Ak do samotnej rovnice dosadíme požadované riešenie, dostaneme súvislosť medzi energiou častice a množstvom:

Úplná vlnová funkcia, berúc do úvahy časovú závislosť voľnej častice, má tvar . Ide o rovinné monochromatické vlnenie s frekvenciou a vlnovým číslom. Od , a , potom .

SCHROEDINGEROVÁ ROVNICE
A JEHO ŠPECIÁLNE PRÍPADY (pokračovanie): prechod častice cez POTENCIÁLNU BARIÉRU, Harmonický oscilátor

Prechod častice cez potenciálnu bariéru pre klasický prípad sme uvažovali už v PREDNÁŠKE 7 ČASŤ 1 (pozri obr. 7.2). Uvažujme teraz o mikročastici, ktorej celková energia je menšia ako hladina U potenciálna bariéra (obr. 19.1). V klasickej verzii je v tomto prípade priechod častice cez bariéru nemožný. V kvantovej fyzike však existuje možnosť, že častica prejde. Navyše cez ňu „nepreskočí“, ale akoby „pretečie“, využívajúc svoje vlnové kvality. Preto sa efektu hovorí aj „tunelovanie“. Pre každú oblasť I, II, III napíšeme stacionárnu Schrödingerovu rovnicu (18.3).

Pre ja a III: , (19.1, a)

pre II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, kde a = konšt. Potom a y" = . Nahradením y" do (19.1a) získame: Požadované všeobecné riešenie pre doménu ja napísané ako superpozícia

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

V tomto prípade je počiatočný bod šírenia vlny posunutý o L, a AT 3 = 0 , pretože v regióne III existuje len prechodná vlna.

V oblasti II(bariérová) substitúcia y" v (19.1b) dáva

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Charakterizuje sa pravdepodobnosť prechodu koeficient prenosu- pomer intenzity prenášanej vlny k intenzite dopadu:

(0) = y2"(0), y2"( L) = y3"( L); (19.5)

z ktorých prvé dve znamenajú "šitie" funkcií na ľavej a pravej hranici bariéry a tretia a štvrtá - plynulosť takéhoto prechodu. Dosadením funkcií y1, y2 a y3 do (19.5) dostaneme rovnice

Rozdeľme si ich na ALE 1 a označujú a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Prvú rovnicu (19.6) vynásobíme ik a pridajte ho k druhému. Dajme si 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)

Druhý pár rovníc (19.6) budeme považovať za sústavu dvoch rovníc s neznámymi a 2 a b 2.

Determinanty tohto systému sú:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

kde e- qL(q+ik) 2 » 0, pretože qL >> 1.

Preto https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> a nájsť modul komplexnej hodnoty a 3, vynásobte čitateľa a menovateľa výsledného zlomku číslom ( q +ik)2. Po jednoduchých transformáciách dostaneme

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Zvyčajne EÚ~ 90 % a celý koeficient pred „e“ je rádovo jedna. Preto pravdepodobnosť prechodu častice cez bariéru je určená nasledujúcim vzťahom:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

To znamená, že pri E< U častica neprekoná bariéru, t.j. v klasickej fyzike neexistuje tunelový efekt.

Tento efekt sa využíva v inžinierskej praxi na vytváranie tunelových diód široko používaných v rádiotechnických zariadeniach (pozri 3. ČASŤ, PREDNÁŠKA 3).

Navyše sa ukázalo, že je možné v pozemských podmienkach iniciovať termonukleárnu fúznu reakciu, ktorá prebieha na Slnku za podmienok obvyklých pre Slnko – pri teplote T ~ 109 K. Takáto teplota na Zemi nie je, avšak vďaka tunelovému efektu je možné reakciu spustiť pri teplote T ~ 107 K, ktorý sa odohráva pri výbuchu atómovej bomby, ktorá bola zapaľovacím zariadením vodíkovej bomby. Viac o tom v ďalšej časti kurzu.

Harmonický oscilátor.Klasická harmonický oscilátor sme už tiež zvažovali (PREDNÁŠKY 1,2 ČASŤ 3). Je to napríklad pružinové kyvadlo, ktorého celková energia E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoreticky môže táto energia nadobudnúť súvislý rad hodnôt, začínajúc od nuly.

Kvantový harmonický oscilátor je mikročastica oscilujúca podľa harmonického zákona, ktorá je vo viazanom stave vo vnútri atómu alebo jadra. V tomto prípade potenciálna energia zostáva klasická, charakterizujúca podobnú elastickú vratnú silu kx. Vzhľadom na to, že cyklická frekvencia získame za potenciálnu energiu https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematicky je tento problém ešte ťažší ako predchádzajúce. Preto sa obmedzíme na konštatovanie, aký bude výsledok. Rovnako ako v prípade jednorozmernej studne dostaneme diskrétne spektrum vlastných funkcií a vlastných energií a jedna vlastná hodnota energie bude zodpovedať jednej vlnovej funkcii: EnÛ y n(nedochádza k degenerácii stavov, ako v prípade trojrozmernej studne). Hustota pravdepodobnosti |yn|2 je tiež oscilačná funkcia, ale výška „hrbov“ je iná. Už to nie je banálne hriech2 , kým exotickejšie Hermitove polynómy hn(X). Vlnová funkcia má tvar

, kde Sn- záleží na n konštantný. Energetické spektrum vlastných hodnôt:

, (19.10)

kde je kvantové číslo n = 0, 1, 2, 3 ... . Existuje teda aj „nulová energia“ , nad ktorým energetické spektrum tvorí „hromadu“, kde sú police umiestnené v rovnakej vzdialenosti od seba (obr. 19.2). Rovnaký obrázok ukazuje zodpovedajúcu hustotu pravdepodobnosti |yn|2 pre každú energetickú hladinu, ako aj potenciálnu energiu vonkajšieho poľa (bodkovaná parabola).

Existencia nenulovej minimálnej možnej energie oscilátora má hlboký význam. To znamená, že oscilácie mikročastíc sa nezastavia nikdy, čo zase znamená, že teplota absolútnej nuly je nedosiahnuteľná.

1., Bursovská fyzika: Kurz prednášok s počítačovou podporou: Proc. príspevok pre študentov. vyššie učebnica inštitúcie: V 2 zväzkoch - M .: Vydavateľstvo VLADOS-PRESS, 2001.

V zásade nič zvláštne, dajú sa nájsť v tabuľkách a dokonca aj v grafoch.

Pre častice kvantového sveta platia iné zákony ako pre objekty klasickej mechaniky. Podľa de Broglieho predpokladu majú mikroobjekty vlastnosti častíc aj vĺn – a skutočne, keď sa elektrónový lúč rozptýli v diere, pozoruje sa difrakcia, ktorá je charakteristická pre vlny.

Preto nemôžeme hovoriť o pohybe kvantových častíc, ale o pravdepodobnosti, že častica bude v určitom bode v určitom čase.

Čo popisuje Schrödingerovu rovnicu

Schrödingerova rovnica má opísať vlastnosti pohybu kvantových objektov v poliach vonkajších síl. Častica sa často pohybuje cez silové pole, ktoré nezávisí od času. Pre tento prípad je napísaná stacionárna Schrödingerova rovnica:

V predloženej rovnici sú m a E energia častice v silovom poli a U je energia tohto poľa. je Laplaceov operátor. - Planckova konštanta rovná 6,626 10 -34 J s.

(nazýva sa aj amplitúda pravdepodobnosti alebo funkcia psi) – je to funkcia, ktorá vám umožňuje zistiť, kde vo vesmíre sa náš mikroobjekt s najväčšou pravdepodobnosťou nachádza. Fyzickým významom nie je samotná funkcia, ale jej štvorec. Pravdepodobnosť, že častica je v elementárnom objeme, je:

Preto je možné nájsť funkciu v konečnom objeme s pravdepodobnosťou:

Keďže funkcia psi je pravdepodobnosť, nemôže byť ani menšia ako nula, ani väčšia ako jedna. Celková pravdepodobnosť nájdenia častice v nekonečnom objeme je podmienka normalizácie:

Pre funkciu psi funguje princíp superpozície: ak častica alebo systém môže byť v množstve kvantových stavov, potom je pre ňu možný aj stav určený ich súčtom:

Stacionárna Schrödingerova rovnica má veľa riešení, ale pri riešení treba brať do úvahy okrajové podmienky a vyberať len správne riešenia – tie, ktoré majú fyzikálny význam. Takéto riešenia existujú len pre jednotlivé hodnoty energie častice E, ktoré tvoria diskrétne energetické spektrum častice.

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Vlnová funkcia popisuje vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom vodíka: r je vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom, a je prvý Bohrov polomer. Ako ďaleko od jadra je pravdepodobne elektrón?
rozhodnutie	1) Vyjadrením objemu v zmysle polomeru jadra nájdeme pravdepodobnosť, že elektrón je v určitej vzdialenosti od jadra: 2) Pravdepodobnosť, že elektrón je v elementárnom „kruhu“ dr: 3) Aby sme našli najpravdepodobnejšiu vzdialenosť, zistíme z posledného výrazu: Vyriešením tejto rovnice dostaneme r = a - najpravdepodobnejšia vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom.
Odpoveď	r = a – s najväčšou pravdepodobnosťou sa jadro nachádza vo vzdialenosti prvého Bohrovho polomeru od jadra.

PRÍKLAD 2

Cvičenie

Nájdite energetické hladiny častice v nekonečne hlbokej potenciálovej studni.

rozhodnutie

Nechajte časticu pohybovať sa pozdĺž osi x. Šírka jamy - l. Spočítame energiu zo spodnej časti studne a opíšeme ju funkciou: Napíšeme jednorozmernú stacionárnu Schrödingerovu rovnicu: Zvážte okrajové podmienky. Keďže sa domnievame, že častica nemôže preniknúť stenami, potom mimo studne = 0. Na hranici vrtu sa psi-funkcia tiež rovná nule: V studni je potenciálna energia U=0. Potom sa Schrödingerova rovnica napísaná pre studňu zjednoduší: Vo forme je to DE harmonického oscilátora:

Pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach je opísaný v rámci nerelativistickej kvantovej mechaniky pomocou Schrödingerovej rovnice, z ktorej vyplývajú experimentálne pozorované vlnové vlastnosti častíc. Táto rovnica, ako všetky základné rovnice fyziky, nie je odvodená, ale postulovaná. Jeho správnosť je potvrdená zhodou medzi výsledkami výpočtu a experimentom. Schrödingerova vlnová rovnica má tento všeobecný tvar:

- (ħ 2 / 2 m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

kde ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planckova konštanta;
m je hmotnosť častice;
∆ - Laplaceov operátor (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - požadovaná vlnová funkcia;
U (x, y, z, t) je potenciálna funkcia častice v silovom poli, kde sa pohybuje;
i je pomyselná jednotka.

Táto rovnica má riešenie iba za podmienok kladených na vlnovú funkciu:

1. ψ (x, y, z, t) musí byť konečné, jednohodnotové a spojité;
2. jeho prvé deriváty musia byť spojité;
3. funkcia | ψ | 2 musí byť integrovateľná, čo sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na normalizačnú podmienku pre pravdepodobnosti.

Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrokozme možno rovnicu (8.1) zjednodušiť odstránením závislosti ψ od času, t.j. nájdite Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy s pevnými energiami. Je to možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, t.j. U = U (x, y, z) nie je výslovne závislé od času a má význam potenciálnej energie. Potom, po transformáciách, môžeme dospieť k Schrödingerovej rovnici pre stacionárne stavy:

∆ψ + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

kde ψ = ψ (x, y, z) je vlnová funkcia iba súradníc;
E je parameter rovnice - celková energia častice.

Pre túto rovnicu majú skutočný fyzikálny význam iba riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami ψ (nazývanými vlastné funkcie), ktoré sa vyskytujú len pre určité hodnoty parametra E, nazývaného vlastná hodnota energie. Tieto hodnoty E môžu tvoriť súvislý alebo diskrétny rad, t.j. spojité aj diskrétne energetické spektrum.

Pre akúkoľvek mikročasticu v prítomnosti Schrödingerovej rovnice typu (8.2) sa problém kvantovej mechaniky redukuje na riešenie tejto rovnice, t.j. zistenie hodnôt vlnových funkcií ψ = ψ (x, y, z) zodpovedajúcich spektru vlastných energií E. Ďalej hustota pravdepodobnosti | ψ | 2 , ktorý v kvantovej mechanike určuje pravdepodobnosť nájdenia častice v jednotkovom objeme v okolí bodu so súradnicami (x, y, z).

Jedným z najjednoduchších prípadov riešenia Schrödingerovej rovnice je problém správania sa častice v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto "jama" pre časticu pohybujúcu sa iba pozdĺž osi X je opísaná potenciálnou energiou formy

kde l je šírka „jamy“ a energia sa meria od jej dna (obr. 8.1).

Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy v prípade jednorozmerného problému môže byť napísaná ako:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Vzhľadom na to, že „steny jamy“ sú nekonečne vysoké, častica nepreniká za „jamu“. To vedie k okrajovým podmienkam:

ψ (0) = ψ (l) = 0

V rámci „jamy“ (0 ≤ x ≤ l) sa rovnica (8.4) redukuje na:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

kde k2 = (2m ∙ E) / ħ 2

Riešenie rovnice (8.7), berúc do úvahy okrajové podmienky (8.5), má v najjednoduchšom prípade tvar:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

kde k = (n ∙ π)/l

pre celočíselné hodnoty n.

Z výrazov (8.8) a (8.10) vyplýva, že

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2 m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

tie. energia stacionárnych stavov závisí od celého čísla n (nazývaného kvantové číslo) a má určité diskrétne hodnoty, nazývané energetické hladiny.

Následne môže byť mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ len na určitej energetickej úrovni E n, t.j. v diskrétnych kvantových stavoch n.

Dosadením výrazu (8.10) do (8.9) nájdeme vlastné funkcie

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

Integračnú konštantu A možno zistiť z podmienky kvantovej mechanickej (pravdepodobnostnej) normalizácie

čo v tomto prípade možno napísať ako:

Odkiaľ v dôsledku integrácie dostaneme А = √ (2 / l) a potom máme

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Grafy funkcie ψ n (x) nemajú fyzikálny význam, kým grafy funkcie | ψ n | 2 je znázornené rozdelenie hustoty pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny jamy“ (obr. 8.1). Práve tieto grafy (ako aj ψ n (x) - pre porovnanie) sú v tejto práci študované a jasne ukazujú, že predstavy o dráhach častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné.

Z výrazu (8.11) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma susednými hladinami je rovný

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2 m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

To ukazuje, že pre mikročastice (ako je elektrón) s veľkými veľkosťami „jamky“ (l≈ 10 -1 m) sú energetické hladiny tak blízko seba, že tvoria takmer spojité spektrum. Takýto stav nastáva napríklad pri voľných elektrónoch v kove. Ak sú rozmery „jamy“ úmerné atómovým (l ≈ 10 -10 m), získa sa diskrétne energetické spektrum (čiarové spektrum). Tieto typy spektier možno v tejto práci študovať aj pre rôzne mikročastice.

Ďalším prípadom správania sa mikročastíc (ako aj mikrosystémov – kyvadiel), s ktorým sa v praxi často stretávame (a uvažujeme aj v tejto práci), je problém lineárneho harmonického oscilátora v kvantovej mechanike.

Ako je známe, potenciálna energia jednorozmerného harmonického oscilátora s hmotnosťou m sa rovná

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

kde ω 0 je vlastná frekvencia oscilácií oscilátora ω 0 = √ (k / m);
k - koeficient pružnosti oscilátora.

Závislosť (8.17) má tvar paraboly, t.j. „potenciálna studňa“ je v tomto prípade parabolická (obr. 8.2).

Kvantový harmonický oscilátor je opísaný Schrödingerovou rovnicou (8.2), ktorá berie do úvahy výraz (8.17) pre potenciálnu energiu. Riešenie tejto rovnice je napísané takto:

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

kde Nn je konštantný normalizačný faktor závislý od celého čísla n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) je polynóm stupňa n, ktorého koeficienty sa vypočítajú pomocou opakujúceho sa vzorca pre rôzne celé čísla n.
V teórii diferenciálnych rovníc možno dokázať, že Schrödingerova rovnica má riešenie (8.18) len pre vlastné hodnoty energie:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

kde n = 0, 1, 2, 3... je kvantové číslo.

To znamená, že energia kvantového oscilátora môže nadobúdať len diskrétne hodnoty, t.j. je kvantovaný. Pre n = 0 prebieha E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, t.j. energie nulových kmitov, ktorá je typická pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahu neurčitosti.

Ako ukazuje podrobné riešenie Schrödingerovej rovnice pre kvantový oscilátor, každá vlastná hodnota energie pri rôznom n má svoju vlnovú funkciu, pretože konštantný normalizačný faktor závisí od n

a tiež H n (x) je Čebyšev-Hermitov polynóm stupňa n.
Okrem toho sú prvé dva polynómy rovnaké:

H° (x) = 1;
H1 (x) = 2x ∙ √ α

Každý nasledujúci polynóm je s nimi spojený nasledujúcim rekurzívnym vzorcom:

Hn+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Vlastné funkcie typu (8.18) nám umožňujú nájsť pre kvantový oscilátor hustotu pravdepodobnosti nájdenia mikročastice ako | ψ n (x) | 2 a skúmajte jeho správanie na rôznych energetických úrovniach. Riešenie tohto problému je náročné kvôli potrebe použiť rekurzívny vzorec. Tento problém je možné úspešne vyriešiť iba s použitím počítača, čo je riešené v tejto práci.