Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Kde k - zatiaľ neznámy koeficient.

Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).

Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2:

Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ak x 1 \u003d x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná s osou y. Jeho rovnica je x = x 1 .

Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky možno napísať ako y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.

Rovnica priamky v segmentoch

Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar:
tie.
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty priamka oddeľuje na súradnicových osiach.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .

Vektor n = (A; B) kolmý na priamku sa nazýva normálový normálny vektor tejto čiary .

Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B sú súradnice normálneho vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr.2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice priamky

,

Kde
sú súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a
- smerový vektor.

Krivky kruhu druhého rádu

Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R sústredený na bod
:

Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom A , ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná hodnota
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami
.

Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a ktorej počiatok je v strede medzi ohniskami, má tvar
G de a dĺžka hlavnej poloosi; b je dĺžka vedľajšej poloosi (obr. 2).

Rovnica priamky na rovine.
Smerový vektor je rovný. Normálny vektor

Priama čiara v rovine je jedným z najjednoduchších geometrických tvarov, ktoré poznáte už od základných ročníkov, a dnes sa naučíme, ako sa s ňou vysporiadať pomocou metód analytickej geometrie. Na zvládnutie materiálu je potrebné vedieť postaviť priamku; vedieť, ktorá rovnica definuje priamku, najmä priamku prechádzajúcu počiatkom a priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Tieto informácie nájdete v príručke. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, vytvoril som to pre matan, ale sekcia o linearnej funkcii dopadla velmi vydarene a podrobne. Preto, milé čajníky, najprv sa tam zohrejte. Okrem toho musíte mať základné znalosti vektory inak bude pochopenie materiálu neúplné.

V tejto lekcii sa pozrieme na spôsoby, ako môžete napísať rovnicu priamky v rovine. Odporúčam nezanedbávať príklady z praxe (aj keď sa to zdá veľmi jednoduché), pretože ich budem zásobovať elementárnymi a dôležitými faktami, technickými metódami, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných sekciách vyššej matematiky.

• Ako napísať rovnicu priamky so sklonom?
• ako?
• Ako nájsť smerový vektor podľa všeobecnej rovnice priamky?
• Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

a začíname:

Čiarová rovnica so sklonom

Známy „školský“ tvar rovnice priamky je tzv rovnica priamky so sklonom. Ak je napríklad rovnicou daná priamka, potom jej sklon: . Zvážte geometrický význam tohto koeficientu a ako jeho hodnota ovplyvňuje umiestnenie čiary:

V priebehu geometrie sa to dokázalo sklon priamky je dotyčnica uhla medzi kladným smerom osia daný riadok: a roh sa „odskrutkuje“ proti smeru hodinových ručičiek.

Aby som kresbu nezavadzal, nakreslil som uhly len pre dve rovné čiary. Zvážte "červenú" priamku a jej sklon. Podľa vyššie uvedeného: (uhol "alfa" je označený zeleným oblúkom). Pre „modrú“ priamku so sklonom platí rovnosť (uhol „beta“ je označený hnedým oblúkom). A ak je známa dotyčnica uhla, v prípade potreby sa dá ľahko nájsť a roh pomocou inverznej funkcie - arkus tangens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo kalkulačka v ruke. teda sklon charakterizuje stupeň sklonu priamky k osi x.

V tomto prípade sú možné tieto prípady:

1) Ak je sklon záporný: , potom čiara, zhruba povedané, ide zhora nadol. Príkladom sú "modré" a "karmínové" rovné čiary na výkrese.

2) Ak je sklon kladný: , čiara ide zdola nahor. Príkladom sú "čierne" a "červené" rovné čiary na výkrese.

3) Ak je sklon rovný nule: , potom rovnica nadobudne tvar a príslušná čiara je rovnobežná s osou. Príkladom je „žltá“ čiara.

4) Pre skupinu priamych čiar rovnobežných s osou (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotnej osi), sklon neexistuje (tangens 90 stupňov nie je definovaný).

Čím väčší je modul sklonu, tým strmší je čiarový graf.

Zvážte napríklad dve priame čiary. Tu má teda rovinka strmší sklon. Pripomínam, že modul vám umožňuje ignorovať znamenie, len nás zaujíma absolútne hodnoty uhlové koeficienty.

Priamka je zasa strmšia ako priamka. .

Naopak: čím menší je modul sklonu, tým je rovná čiara plochejšia.

Pre rovné čiary nerovnosť je pravdivá, teda priamka je viac ako baldachýn. Detská šmýkačka, aby nevznikli modriny a hrbole.

Prečo je to potrebné?

Predĺžte si svoje trápenie Znalosť vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť svoje chyby, najmä chyby pri vykresľovaní grafov - ak sa ukázalo, že kresba „očividne nie je v poriadku“. Je žiaduce, aby ste hneď bolo jasné, že napríklad priamka je veľmi strmá a ide zdola nahor a priamka je veľmi plochá, blízko osi a ide zhora nadol.

V geometrických úlohách sa často objavuje niekoľko priamych čiar, preto je vhodné ich nejako označiť.

Notový zápis: rovné čiary sú označené malými latinskými písmenami: . Populárnou možnosťou je označenie toho istého písmena prirodzenými dolnými indexmi. Napríklad päť riadkov, ktoré sme práve zvážili, možno označiť .

Pretože každá priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, možno ju označiť týmito bodmi: atď. Zo zápisu celkom jasne vyplýva, že body patria k priamke.

Je čas sa trochu uvoľniť:

Ako napísať rovnicu priamky so sklonom?

Ak je známy bod, ktorý patrí k určitej čiare, a sklon tejto čiary, potom rovnica tejto čiary je vyjadrená vzorcom:

Príklad 1

Zostavte rovnicu priamky so sklonom, ak je známe, že bod patrí do tejto priamky.

Riešenie: Rovnicu priamky zostavíme podľa vzorca . V tomto prípade:

Odpoveď:

Vyšetrenie vykonávané elementárne. Najprv sa pozrieme na výslednú rovnicu a uistíme sa, že náš svah je na svojom mieste. Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať danú rovnicu. Zapojme ich do rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že bod vyhovuje výslednej rovnici.

Záver: Rovnica bola nájdená správne.

Zložitejší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Napíšte rovnicu priamky, ak je známe, že jej uhol sklonu voči kladnému smeru osi je , a bod patrí tejto priamke.

Ak máte nejaké ťažkosti, znova si prečítajte teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, chýba mi veľa dôkazov.

Zazvonilo posledné zvonenie, maturitný ples utíchol a za bránami našej rodnej školy nás čaká vlastne analytická geometria. Koniec vtipom... Možno to ešte len začína =)

Nostalgicky mávame rúčkou známemu a oboznamujeme sa so všeobecnou rovnicou priamky. Pretože v analytickej geometrii sa používa práve toto:

Všeobecná rovnica priamky má tvar: , kde sú nejaké čísla. Zároveň koeficienty súčasne sa nerovnajú nule, pretože rovnica stráca svoj význam.

Oblečme sa do obleku a uviažme rovnicu so sklonom. Najprv presunieme všetky výrazy na ľavú stranu:

Výraz s "x" musí byť uvedený na prvé miesto:

Rovnica už má v zásade tvar , ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého člena (v tomto prípade ) kladný. Zmena znamenia:

Pamätajte na túto technickú vlastnosť! Prvý koeficient (najčastejšie ) dávame kladne!

V analytickej geometrii bude rovnica priamky takmer vždy uvedená vo všeobecnej forme. Ak je to potrebné, je ľahké ho priviesť do „školského“ tvaru so sklonom (s výnimkou priamych čiar rovnobežných s osou y).

Položme si otázku čo dosť viete postaviť rovnú čiaru? Dva body. Ale o tomto detskom prípade neskôr, teraz vládnu palice so šípkami. Každá rovinka má presne definovaný sklon, ktorému sa dá ľahko „prispôsobiť“ vektor.

Vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou, sa nazýva smerový vektor tejto priamky.. Je zrejmé, že každá priamka má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky budú kolineárne (smerované alebo nie - na tom nezáleží).

Smerový vektor označím takto: .

Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky, vektor je voľný a nie je pripojený k žiadnemu bodu roviny. Preto je dodatočne potrebné poznať nejaký bod, ktorý patrí k čiare.

Ako napísať rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom rovnicu tejto priamky možno zostaviť podľa vzorca:

Niekedy je tzv kanonická rovnica priamky .

Čo robiť, keď jedna zo súradníc je nula, nižšie sa pozrieme na praktické príklady. Mimochodom, všimnite si - oboje naraz súradnice nemôžu byť nulové, pretože nulový vektor neurčuje konkrétny smer.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom

Riešenie: Rovnicu priamky zostavíme podľa vzorca. V tomto prípade:

Pomocou vlastností proporcie sa zbavíme zlomkov:

A privedieme rovnicu do všeobecného tvaru:

Odpoveď:

Kreslenie v takýchto príkladoch spravidla nie je potrebné, ale kvôli pochopeniu:

Na výkrese vidíme začiatočný bod, pôvodný smerový vektor (môže byť posunutý z akéhokoľvek bodu v rovine) a zostrojenú čiaru. Mimochodom, v mnohých prípadoch sa konštrukcia priamky najpohodlnejšie vykonáva pomocou rovnice sklonu. Naša rovnica sa dá ľahko previesť do formy a bez problémov zoberieme ešte jeden bod na vytvorenie rovnej čiary.

Ako bolo uvedené na začiatku časti, priamka má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky sú kolineárne. Napríklad som nakreslil tri takéto vektory: . Ktorýkoľvek smerový vektor zvolíme, výsledkom bude vždy rovnaká priamka rovnica.

Zostavme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Rozdelenie podielu:

Vydeľte obe strany číslom -2 a získajte známu rovnicu:

Tí, ktorí chcú, môžu podobne testovať vektory alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.

Teraz vyriešme inverzný problém:

Ako nájsť smerový vektor podľa všeobecnej rovnice priamky?

Veľmi jednoduché:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je smerový vektor tejto priamky.

Príklady hľadania smerových vektorov priamych čiar:

Tento príkaz nám umožňuje nájsť iba jeden smerový vektor z nekonečnej množiny, ale viac nepotrebujeme. Aj keď v niektorých prípadoch je vhodné znížiť súradnice smerových vektorov:

Takže rovnica špecifikuje priamku, ktorá je rovnobežná s osou a súradnice výsledného vektora riadenia sú vhodne delené -2, čím sa získa presne základný vektor ako vektor riadenia. Logicky.

Podobne rovnica definuje priamku rovnobežnú s osou a vydelením súradníc vektora číslom 5 dostaneme ort ako smerový vektor.

Teraz poďme popraviť skontrolujte príklad 3. Príklad šiel hore, takže vám pripomínam, že sme v ňom vytvorili rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

Po prvé, podľa rovnice priamky obnovíme jej smerový vektor: - všetko je v poriadku, dostali sme pôvodný vektor (v niektorých prípadoch sa môže ukázať, že je kolineárny s pôvodným vektorom, čo je zvyčajne ľahko vidieť podľa proporcionality zodpovedajúcich súradníc).

Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať rovnicu . Dosadíme ich do rovnice:

Bola dosiahnutá správna rovnosť, čo nás veľmi teší.

Záver: Úloha dokončená správne.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom

Toto je príklad „urob si sám“. Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Je veľmi žiaduce vykonať kontrolu podľa práve uvažovaného algoritmu. Snažte sa vždy (ak je to možné) skontrolovať koncept. Je hlúpe robiť chyby tam, kde sa im dá 100% vyhnúť.

V prípade, že jedna zo súradníc smerového vektora je nula, je to veľmi jednoduché:

Príklad 5

Riešenie: Vzorec je neplatný, pretože menovateľ na pravej strane je nula. Existuje východ! Pomocou vlastností proporcie prepíšeme vzorec do tvaru a zvyšok sa valí po hlbokej koľaji:

Odpoveď:

Vyšetrenie:

1) Obnovte smerový vektor priamky:
– výsledný vektor je kolineárny s pôvodným smerovým vektorom.

2) Dosaďte súradnice bodu do rovnice:

Získa sa správna rovnosť

Záver: úloha dokončená správne

Vynára sa otázka, prečo sa trápiť so vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať aj tak? Dôvody sú dva. Po prvé, zlomkový vzorec oveľa lepšie na zapamätanie. A po druhé, nevýhodou univerzálneho vzorca je to výrazne zvýšené riziko zámeny pri dosadzovaní súradníc.

Príklad 6

Zostavte rovnicu priamky s bodom a smerovým vektorom.

Toto je príklad „urob si sám“.

Vráťme sa k dvom všadeprítomným bodom:

Ako napísať rovnicu priamky zadanej dvoma bodmi?

Ak sú známe dva body, potom rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi možno zostaviť pomocou vzorca:

V skutočnosti je to druh vzorca a tu je dôvod: ak sú známe dva body, potom bude vektor smerovým vektorom tejto čiary. Na lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme najjednoduchší problém - ako nájsť súradnice vektora z dvoch bodov. Podľa tohto problému súradnice smerového vektora:

Poznámka : body je možné „prehodiť“ a použiť vzorec . Takéto rozhodnutie by bolo rovnocenné.

Príklad 7

Napíšte rovnicu priamky z dvoch bodov .

Riešenie: Použite vzorec:

Prečesávame menovateľov:

A zamiešajte balíček:

Teraz je vhodné zbaviť sa zlomkových čísel. V tomto prípade musíte obe časti vynásobiť 6:

Otvorte zátvorky a spomeňte si na rovnicu:

Odpoveď:

Vyšetrenie je zrejmé - súradnice počiatočných bodov musia spĺňať výslednú rovnicu:

1) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

2) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

Záver: rovnica priamky je správna.

Ak aspoň jeden bodov nevyhovuje rovnici, hľadajte chybu.

Stojí za zmienku, že grafické overenie je v tomto prípade ťažké, pretože postaviť čiaru a zistiť, či k nej body patria , nie je to také ľahké.

Uvediem niekoľko technických bodov riešenia. Možno je v tomto probléme výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec a za rovnaké body urob rovnicu:

Existuje menej zlomkov. Ak chcete, môžete riešenie dokončiť až do konca, výsledkom by mala byť rovnaká rovnica.

Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a zistiť, či sa dá ďalej zjednodušiť? Napríklad, ak sa získa rovnica, potom je vhodné ju znížiť o dve: - rovnica nastaví rovnakú priamku. To je však už téma na rozhovor vzájomné usporiadanie priamych línií.

Po prijatí odpovede v príklade 7 som pre každý prípad skontroloval, či sú VŠETKY koeficienty rovnice deliteľné 2, 3 alebo 7. Aj keď najčastejšie sa takéto redukcie robia pri riešení.

Príklad 8

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi .

Toto je príklad nezávislého riešenia, ktoré vám len umožní lepšie pochopiť a vypracovať techniku ​​výpočtu.

Podobne ako v predchádzajúcom odseku: ak je vo vzorci jeden z menovateľov (súradnica smerového vektora) zmizne, potom ho prepíšeme ako . A opäť si všimnite, ako nemotorne a zmätene začala vyzerať. Nevidím zmysel uvádzať praktické príklady, keďže takýto problém sme už skutočne riešili (pozri č. 5, 6).

Normálny vektor priamej čiary (normálny vektor)

čo je normálne? Zjednodušene povedané, normála je kolmica. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (kosmerné alebo nie - na tom nezáleží).

Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako so smerovými vektormi:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.

Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, potom je možné súradnice normálového vektora jednoducho „odstrániť“.

Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Ortogonalitu týchto vektorov overíme pomocou skalárny súčin:

Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor:

Je možné napísať rovnicu priamky, keď poznáme jeden bod a normálový vektor? Zdá sa, že je to možné. Ak je známy normálny vektor, potom je jednoznačne určený aj smer najpriamejšej čiary - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.

Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

Ak je známy nejaký bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:

Tu sa všetko zaobišlo bez zlomkov a iných prekvapení. Taký je náš normálny vektor. Milujem to. A rešpekt =)

Príklad 9

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Riešenie: Použite vzorec:

Získame všeobecnú rovnicu priamky, skontrolujme:

1) "Odstráňte" súradnice normálového vektora z rovnice: - áno, skutočne, pôvodný vektor sa získa z podmienky (alebo vektor by mal byť kolineárny s pôvodným vektorom).

2) Skontrolujte, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Keď sa presvedčíme, že rovnica je správna, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vytiahneme smerový vektor priamky:

Odpoveď:

Na výkrese je situácia nasledovná:

Na účely školenia podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 10

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Záverečná časť hodiny bude venovaná menej bežným, ale aj dôležitým typom rovníc priamky v rovine

Rovnica priamky v segmentoch.
Rovnica priamky v parametrickom tvare

Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen je nula a neexistuje spôsob, ako dostať jednotku na pravú stranu).

Ide, obrazne povedané, o „technický“ typ rovnice. Obvyklou úlohou je znázorniť všeobecnú rovnicu priamky ako rovnicu priamky v segmentoch. Prečo je to pohodlné? Rovnica priamky v segmentoch umožňuje rýchlo nájsť priesečníky priamky so súradnicovými osami, čo je veľmi dôležité v niektorých úlohách vyššej matematiky.

Nájdite priesečník priamky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnica má tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .

To isté s osou je bod, kde priamka pretína os y.

V tomto článku sa budeme zaoberať všeobecnou rovnicou priamky v rovine. Uveďme príklady zostrojenia všeobecnej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a normálový vektor tejto priamky. Uveďme metódy na transformáciu rovnice vo všeobecnom tvare do kanonických a parametrických foriem.

Nech je daný ľubovoľný karteziánsky pravouhlý súradnicový systém Oxy. Zvážte rovnicu prvého stupňa alebo lineárnu rovnicu:

Ax+By+C=0,

(1)

Kde A, B, C sú nejaké konštanty a aspoň jeden z prvkov A A B odlišný od nuly.

Ukážeme, že lineárna rovnica v rovine definuje priamku. Dokážme nasledujúcu vetu.

Veta 1. V ľubovoľnom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine môže byť každá priamka daná lineárnou rovnicou. Naopak, každá lineárna rovnica (1) v ľubovoľnom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine definuje priamku.

Dôkaz. Stačí dokázať, že línia L je určená lineárnou rovnicou pre ľubovoľný kartézsky pravouhlý súradnicový systém, pretože potom bude určená lineárnou rovnicou a pre akúkoľvek voľbu karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému.

Nech je na rovine daná priamka L. Súradnicový systém volíme tak, že os Vôl zarovnané s čiarou L a os Oj bola na ňu kolmá. Potom rovnica priamky L bude mať nasledujúcu formu:

y=0.

(2)

Všetky body na priamke L bude spĺňať lineárnu rovnicu (2) a všetky body mimo tejto priamky nebudú spĺňať rovnicu (2). Prvá časť vety je dokázaná.

Nech je daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém a nech je daná lineárna rovnica (1), kde aspoň jeden z prvkov A A B odlišný od nuly. Nájdite ťažisko bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (1). Keďže aspoň jeden z koeficientov A A B sa líši od nuly, potom rovnica (1) má aspoň jedno riešenie M(X 0 ,r 0). (Napríklad, keď A≠0, bodka M 0 (−C/A, 0) patrí do daného ťažiska bodov). Nahradením týchto súradníc do (1) získame identitu

Ax 0 +Autor: 0 +C=0.

(3)

Odčítajme identitu (3) od (1):

A(X−X 0)+B(r−r 0)=0.

(4)

Je zrejmé, že rovnica (4) je ekvivalentná rovnici (1). Preto stačí dokázať, že (4) definuje nejakú priamku.

Keďže uvažujeme kartézsky pravouhlý súradnicový systém, z rovnosti (4) vyplýva, že vektor so zložkami ( x-x 0 , y-y 0) je ortogonálny k vektoru n so súradnicami ( A,B}.

Zvážte nejaký riadok L prechádzajúci bodom M 0 (X 0 , r 0) a kolmo na vektor n(Obr. 1). Nechajte bod M(X,y) patrí do radu L. Potom vektor so súradnicami x-x 0 , y-y 0 kolmo n a rovnica (4) je splnená (skalárny súčin vektorov n a rovná sa nule). Naopak, ak bod M(X,y) neleží na čiare L, potom vektor so súradnicami x-x 0 , y-y 0 nie je ortogonálna k vektoru n a rovnica (4) nie je splnená. Veta bola dokázaná.

Dôkaz. Pretože čiary (5) a (6) definujú rovnakú čiaru, normálové vektory n 1 ={A 1 ,B 1) a n 2 ={A 2 ,B 2) sú kolineárne. Keďže vektory n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, potom existuje číslo λ , Čo n 2 =n 1 λ . Preto máme: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokážme to C 2 =C 1 λ . Je zrejmé, že zhodné čiary majú spoločný bod M 0 (X 0 , r 0). Násobenie rovnice (5) číslom λ a odčítaním rovnice (6) od nej dostaneme:

Keďže prvé dve rovnosti z výrazov (7) sú splnené, potom C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Poznámka bola dokázaná.

Všimnite si, že rovnica (4) definuje rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (X 0 , r 0) a majúci normálny vektor n={A,B). Ak teda poznáme normálový vektor priamky a bod patriaci tejto priamke, potom je možné zostrojiť všeobecnú rovnicu priamky pomocou rovnice (4).

Príklad 1. Priamka prechádza bodom M=(4,−1) a má normálny vektor n= (3, 5). Zostrojte všeobecnú rovnicu priamky.

Riešenie. Máme: X 0 =4, r 0 =−1, A=3, B=5. Aby sme vytvorili všeobecnú rovnicu priamky, dosadíme tieto hodnoty do rovnice (4):

odpoveď:

Vektor rovnobežný s čiarou L a teda je kolmá na normálový vektor priamky L. Zostrojme normálny čiarový vektor L vzhľadom na to, že skalárny súčin vektorov n a rovná sa nule. Môžeme napísať napr. n={1,−3}.

Na zostrojenie všeobecnej rovnice priamky použijeme vzorec (4). Dosadíme do (4) súradnice bodu M 1 (môžeme vziať aj súradnice bodu M 2) a normálny vektor n:

Nahradenie súradníc bodu M 1 a M 2 v (9) môžeme zabezpečiť, aby priamka daná rovnicou (9) prechádzala týmito bodmi.

odpoveď:

Odčítať (10) od (1):

Získali sme kanonickú rovnicu priamky. Vektor q={−B, A) je smerový vektor priamky (12).

Pozrite si spätnú transformáciu.

Príklad 3. Priamku v rovine predstavuje nasledujúca všeobecná rovnica:

Posuňte druhý člen doprava a vydeľte obe strany rovnice 2 5.

Priamku prechádzajúcu bodom K(x 0; y 0) rovnobežnú s priamkou y = kx + a nájdeme podľa vzorca:

y – y 0 \u003d k (x – x 0) (1)

Kde k je sklon priamky.

Alternatívny vzorec:
Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1 ; y 1) rovnobežná s priamkou Ax+By+C=0 je vyjadrená rovnicou

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom K( ;) rovnobežne s priamkou y = x + .

Príklad č. 1. Zostavte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (-2,1) a súčasne:
a) rovnobežne s priamkou 2x+3y -7 = 0;
b) kolmo na priamku 2x+3y -7 = 0.
Riešenie . Predstavme si rovnicu sklonu ako y = kx + a . Za týmto účelom prenesieme všetky hodnoty okrem y na pravú stranu: 3y = -2x + 7 . Potom pravú stranu vydelíme koeficientom 3 . Dostaneme: y = -2/3x + 7/3
Nájdite rovnicu NK prechádzajúcu bodom K(-2;1) rovnobežným s priamkou y = -2 / 3 x + 7 / 3
Nahradením x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dostaneme:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
alebo
y = -2 / 3 x - 1 / 3 alebo 3 roky + 2x +1 = 0

Príklad č. 2. Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s priamkou 2x + 5y = 0 a tvoriacej spolu so súradnicovými osami trojuholník, ktorého obsah je 5.
Riešenie . Keďže čiary sú rovnobežné, rovnica požadovanej čiary je 2x + 5y + C = 0. Oblasť pravouhlého trojuholníka, kde a a b sú jeho nohy. Nájdite priesečníky požadovanej čiary so súradnicovými osami:
;
.
Takže, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Vo vzorci pre oblasť nahraďte: . Dostaneme dve riešenia: 2x + 5y + 10 = 0 a 2x + 5y - 10 = 0 .

Príklad č. 3. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2; 5) a rovnobežky 5x-7y-4=0 .
Riešenie. Táto priamka môže byť vyjadrená rovnicou y = 5/7 x – 4/7 (tu a = 5/7). Rovnica požadovanej priamky je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), t.j. 7(y-5)=5(x+2) alebo 5x-7y+45=0.

Príklad č. 4. Riešením príkladu 3 (A=5, B=-7) pomocou vzorca (2) nájdeme 5(x+2)-7(y-5)=0.

Príklad číslo 5. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom (-2;5) a rovnobežnej priamky 7x+10=0.
Riešenie. Tu A=7, B=0. Vzorec (2) dáva 7(x+2)=0, t.j. x+2=0. Vzorec (1) nie je použiteľný, pretože túto rovnicu nemožno vyriešiť vzhľadom na y (táto priamka je rovnobežná s osou y).

Všeobecná rovnica priamky:

Konkrétne prípady všeobecnej rovnice priamky:

A keď C= 0, rovnica (2) bude mať tvar

Ax + Autor: = 0,

a priamka definovaná touto rovnicou prechádza počiatkom, pretože súradnice počiatku X = 0, r= 0 splniť túto rovnicu.

b) Ak vo všeobecnej rovnici priamky (2) B= 0, potom rovnica nadobúda tvar

Ax + S= 0 alebo .

Rovnica neobsahuje premennú r a priamka definovaná touto rovnicou je rovnobežná s osou Oj.

c) Ak vo všeobecnej rovnici priamky (2) A= 0, potom táto rovnica nadobúda tvar

Autor: + S= 0 alebo ;

rovnica neobsahuje premennú X a ním definovaná priamka je rovnobežná s osou Vôl.

Malo by sa pamätať na to: ak je priamka rovnobežná s akoukoľvek súradnicovou osou, potom jej rovnica neobsahuje výraz obsahujúci súradnicu rovnakého mena s touto osou.

d) Kedy C= 0 a A= 0 rovnica (2) má tvar Autor:= 0, alebo r = 0.

Toto je osová rovnica Vôl.

e) Kedy C= 0 a B= 0 rovnicu (2) je možné zapísať v tvare Ax= 0 alebo X = 0.

Toto je osová rovnica Oj.

Vzájomné usporiadanie priamych čiar v rovine. Uhol medzi čiarami v rovine. Stav rovnobežných čiar. Podmienka kolmosti čiar.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
12: A2x + B2y + C2 = 0

S 2 S 1 Vektory S 1 a S 2 sa nazývajú vodidlá ich čiar.

Uhol medzi priamkami l 1 a l 2 je určený uhlom medzi smerovými vektormi.
Veta 1: uhol cos medzi l 1 a l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Veta 2: Aby boli 2 riadky rovnaké, je potrebné a postačujúce:

Veta 3: aby 2 čiary boli kolmé, je potrebné a postačujúce:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Všeobecná rovnica roviny a jej špeciálne prípady. Rovnica roviny v segmentoch.

Všeobecná rovinná rovnica:

Ax + By + Cz + D = 0

Špeciálne prípady:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - rovina prechádza počiatkom

2. С=0 Ax+By+D = 0 – rovina || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – rovina || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – rovina || VÔL

5. A=0 a D=0 By+Cz = 0 - rovina prechádza cez OX

6. B=0 a D=0 Ax+Cz = 0 - rovina prechádza cez OY

7. C=0 a D=0 Ax+By = 0 - rovina prechádza cez OZ

Vzájomné usporiadanie rovín a priamok v priestore:

1. Uhol medzi čiarami v priestore je uhol medzi ich smerovými vektormi.

Cos (11; 12) = cos(S1; S2) = =

2. Uhol medzi rovinami je určený pomocou uhla medzi ich normálovými vektormi.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kosínus uhla medzi priamkou a rovinou možno nájsť cez sin uhla medzi smerovým vektorom priamky a normálovým vektorom roviny.

4. 2 riadky || vo vesmíre, keď ich || vektorových sprievodcov

5. 2 lietadlá || keď || normálne vektory

6. Pojmy kolmosti priamok a rovín sú zavedené podobne.

Otázka č. 14

Rôzne typy rovnice priamky na rovine (rovnica priamky v segmentoch, so sklonom atď.)

Rovnica priamky v segmentoch:
Predpokladajme, že vo všeobecnej rovnici priamky:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - priamka prechádza cez začiatok.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Sekera \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Rovnica priamky so sklonom:

Akákoľvek priamka, ktorá sa nerovná osi y (B nie = 0), môže byť zapísaná v nasledujúcom texte. forma:

k = tgα α je uhol medzi priamkou a kladne nasmerovanou priamkou ОХ

b - priesečník priamky s osou OS

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Rovnica priamky v dvoch bodoch:

Otázka č. 16

Konečná limita funkcie v bode a pre x→∞

Limit konca v bode x 0:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y \u003d f (x) pre x → x 0, ak pre ľubovoľné E > 0 existuje b > 0 také, že pre x ≠ x 0 spĺňa nerovnosť |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Limit je označený: = A

Koncový limit v bode +∞:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y = f(x) pre x → + ∞ , ak pre ľubovoľné E > 0 existuje C > 0 tak, že pre x > C nerovnosť |f(x) - A|< Е

Limit je označený: = A

Koncový limit v bode -∞:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y = f(x) pre x→-∞, ak pre nejaké E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е