Stereometria vyvinuté z pozorovaní a riešení problémov, ktoré vznikli v procese praktickej činnosti človeka. Niet pochýb o tom, že aj primitívny človek, ktorý prešiel z kočovného života na usadlý, začal poľnohospodárstvo a pokúšal sa odhadnúť, aspoň v najhrubšom vyjadrení, veľkosť úrody, ktorú nazbieral v masách chleba. naukladané v hromadách, otrasoch alebo hromadách. Staviteľ aj tých najstarších primitívnych stavieb musel nejakým spôsobom brať do úvahy materiál, ktorý mal k dispozícii, a vedieť si vypočítať, koľko materiálu bude treba na stavbu konkrétnej stavby. Kamenárstvo u starých Egypťanov a Chaldejcov si vyžadovalo oboznámenie sa s metrickými vlastnosťami aspoň tých najjednoduchších geometrických telies: kocky, rovnobežnostenu, hranolu, valca atď. Potreby poľnohospodárstva, navigácie, orientácie v čase hnali ľudí k astronomickým pozorovaniam, a tie k štúdiu vlastností gule a jej častí, a teda aj zákonov vzájomnej polohy rovín a čiar v priestore.

Počas hospodárskeho a kultúrneho rozkvetu starovekého Grécka a jeho kolónií dosiahla geometria vysoký teoretický rozvoj. Z vynikajúcich geometrov Grécka sa o stereometriu zaujímali Anaxagoras, Democritus, Hippokrates (5. storočie pred Kristom). Hippokrates je medzi prvými, ktorí vyriešili slávny problém staroveku - problém Dillí zdvojnásobenia kocky. V Platónovej škole problémy stereometrie značne pokročili. Jeden z predstaviteľov Platónovej školy, Teetetus, uvažoval o oktaedróne a dvadsaťstennom a po prvýkrát uviedol teóriu niektorých vlastností piatich pravidelných mnohostenov. Platónov študent Menechme bol prvý, kto podal teóriu kužeľosečiek. Najväčšou zásluhou Euklida je, že zozbieral, spracoval a vniesol do súvislého systému materiál, ktorý sa k nemu dostal. Z 13 kníh jeho "Začiatkov" stereometrie sú priradené knihy XI-XIII. Informácie o stereometrii, ktoré zozbieral Euklides, doplnil, prehĺbil a rozšíril najväčší matematik staroveku Archimedes. Dal trinásť polopravidelných telies, z ktorých každá je ohraničená pravidelnými polygónmi, ale nie rovnakého druhu, a vypočítal objemy rotačných telies. Vďaka práci Archimeda dosiahla stereometria svoj vrchol a konečne bola založená elementárna geometria v jej modernom zmysle.

Po páde Grécka nastáva dlhá stagnácia rozvoja najmä matematiky a stereometrie, ktorá trvala tisíc rokov. Kepler urobil veľa pre rozvoj stereometrie v modernej dobe. Vo svojej "Novej stereometrii" - "stereometrii sudov" - prvýkrát použil v geometrii nekonečne malé množstvo. Objav integrálneho počtu Newtonom a Leibnizom konečne vyriešil problém kvadratúry a kubatúry.

Valec- teleso, ktoré pozostáva z dvoch kružníc, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kružníc.

r je polomer valca;
d je priemer valca;
l je tvoriaca čiara valca;
h je výška valca.

Poznámka: v pravom kruhovom valci sa dĺžka tvoriacej čiary rovná dĺžke výšky.

Objem kruhového valca vypočítané podľa vzorca:

V = π r 2 h, kde

π – konštantná hodnota (≈3,1415 );
r je polomer základne valca;
h je výška valca.

Kocka je pravidelný mnohosten, ktorého každá plocha je štvorec. Všetky hrany kocky sú rovnaké.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kocka;

A, B, C, D, A1, B1, C1, D1- vrcholy kocky;

a - dĺžka hrany kocky.

Objem kocky vypočítané podľa vzorca:

V kocka \u003d a 3, kde

a je dĺžka hrany kocky.

štvorsten je pravidelný mnohosten, ktorého strany sú štyri trojuholníky.

ABCD - štvorsten;

A, B, C, D - vrcholy štvorstenov;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - hrany štvorstenu;

ABD, BCD, ACD - tváre štvorstenu.

Objem štvorstenu vypočítané podľa vzorca:

a je dĺžka ľubovoľnej hrany štvorstenu.

Smernice

Ak chcete úspešne dokončiť úlohy v tejto kategórii, musíte:

poznať definície geometrických telies a ich vlastnosti;

byť schopný vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi;

vedieť riešiť stereometrické úlohy na hľadanie geometrických veličín (dĺžky, uhly, plochy, objemy);

poznať vzorce na výpočet plôch a objemov geometrických telies.

Táno Nie. 8 Objem valca Možnosť 1.

1. Nájdite objem valca s výškou 3 cm a priemerom podstavy 6 cm a) 27π cm 3; b) 9π cm3; c) 36π cm3; d) 18π cm3; e) 54π cm3.

2. Objem valca je 27π. Nájdite priemer základne valca, ak je jeho celkový povrch dvojnásobkom bočného povrchu.

a) 3; b) nemožno určiť pri 6; d) 2; e) 9.

3. Uhlopriečka axiálneho rezu valca zviera s rovinou základne valca uhol 60˚. Nájdite objem valca, ak je plocha axiálneho rezu 16√3 cm2.

a) 16π ​​​​cm3; b) 16√3 cm3; c) 32π√3 cm3; d) 8π√3 cm3; e) 16π√3 cm3.

4. Do valca je vpísaná guľa s polomerom 1 cm, nájdite objem valca.

a) 4π cm3; b) 2π cm3; c) 8π cm3; d) ncm3; d) nemožno určiť.

5. Objem valca je 120. Nájdite výšku valca s presnosťou na 0,01, ak je polomer podstavy 3-krát väčší ako on.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1,6; e) 1,60.

6. Plocha axiálneho rezu valca je 21 cm 2, plocha podstavca je 18π cm 2. Nájdite objem valca.

a) 9π cm3; b) 31,5π√2 cm3; c) 21π cm3; d) 63π cm3; e) 31,5π√3 cm3.

7. Vyberte správne tvrdenie.

a) Objem valca je polovica súčinu plochy základne a výšky.

b) Objem valca sa vypočíta podľa vzorca V = πS/2, kde S je plocha axiálneho rezu valca;

c) objem rovnostranného valca je V = 2πR 3 , kde R je polomer podstavy valca;

d) objem valca sa vypočíta podľa vzorca V = Mh/2, kde M je plocha bočného povrchu valca a h je jeho výška;

8. Časť rovnobežná s osou valca odreže oblúk 120˚ od obvodu základne. Polomer základne valca je R, uhol medzi uhlopriečkou rezu a osou valca je 30˚. Nájdite objem valca a) 3πR 2 ; b) πR3√3; c) 3πR3; d) nR3; e) 3πR3√3.

9. Cez tvoriacu čiaru valca sú nakreslené dve roviny. Uhol medzi nimi je 120°. Plochy výsledných rezov sú 1. Polomer podstavy valca je 1. Nájdite objem valca. a) π√3/3; b) 2π; c) π/2; d) pi; d) nemožno určiť.

10. Hliníkový drôt s priemerom 2 mm má hmotnosť 3,4 kg. Nájdite dĺžku drôtu s presnosťou na 1 cm, ak je hustota hliníka 2,6 g/cm3.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Táno Nie. 8 Objem valca Možnosť 2.

1. Nájdite objem valca s výškou 6 cm a priemerom podstavy 3 cm a) 13,5π cm 3; b) 9π cm3; c) 27π cm3; d) 18π cm3; e) 54π cm3.

2. Objem valca je 32π. Nájdite výšku valca, ak je jeho celková plocha trojnásobkom bočnej plochy.

a) 3; b) nemožno určiť pri 4; d) 8; D 2.

3. Uhlopriečka axiálneho rezu valca zviera s rovinou základne valca uhol 60˚. Nájdite plochu axiálneho rezu, ak je objem valca 16 π √3 cm 2.

a) 16 cm2; b) 16√3 cm2; c) 32-3 cm2; d) 8-3 cm2; e) 16π√3 cm2.

4. V blízkosti valca je opísaná guľa s polomerom 1 cm, nájdite objem valca.

a) 4π√2 cm3; b) 0,5π√2 cm3; c) nemožno určiť d) ncm3; e) π√2 cm 3.

5. Objem valca je 120. Nájdite výšku valca s presnosťou na 0,01, ak je polomer podstavy 3-krát menší ako on.

a) 2,3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2,335; e) 2,34.

6. Plocha axiálneho rezu valca je 30 cm 2, plocha základne je 9π cm 2. Nájdite objem valca.

a) 45π cm3; b) 22,5π cm3; c) 23π cm3; d) 9π cm3; e) 30π cm3.

7. Vyberte nesprávne tvrdenie.

a) Objem valca je súčin plochy základne a výšky.

b) Objem valca sa vypočíta podľa vzorca V = 1/2πrS, kde S je plocha axiálneho rezu valca a r je polomer valca;

c) objem rovnostranného valca sa vypočíta podľa vzorca V = 1/4πh 3, kde h je výška valca;

d) objem valca sa vypočíta podľa vzorca V = 1/2 Mr, kde M je plocha bočného povrchu valca a r je jeho polomer;

e) objem rovnostranného valca sa vypočíta podľa vzorca V = πh 3 /2, kde h je výška valca.

8. Úsek rovnobežný s osou valca odreže oblúk 120° od obvodu základne. Táto časť je vzdialená od osi valca o vzdialenosť rovnajúcu sa a. Uhlopriečka sekcie je 4a. Nájdite objem valca. a) 8pa 2 ; b) 4pa 3; c) 2πa3; d) 16pa 3 ; e) 8πa 3 .

9. Cez tvoriacu čiaru valca sú nakreslené dve roviny. Uhol medzi nimi je 120°. Plochy výsledných rezov sú 1. Výška valca je 1. Nájdite objem valca. a) π/4; b) π/2; c) π; d) π/3; d) nemožno určiť.

10. Hliníkový drôt s priemerom 2 mm má hmotnosť 3,4 m. Hmotnosť drôtu nájdite s presnosťou na 1 g, ak je hustota hliníka 2,6 g / cm 3 .

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Typ práce: 8
Téma: Valec

Podmienka

Vo valcovej nádobe dosahuje hladina kvapaliny 20 cm V akej výške bude hladina kvapaliny, ak sa naleje do druhej valcovej nádoby, ktorej priemer je dvojnásobkom priemeru prvej? Vyjadrite svoju odpoveď v centimetroch.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech R je polomer základne prvej nádoby, potom 2 R je polomer základne druhej nádoby. Podľa podmienok je objem kvapaliny V v prvej a druhej nádobe rovnaký. Označte H - hladinu, na ktorú kvapalina vystúpila v druhej nádobe. Potom

V=\pi R^2 \cdot 20, a V=\pi (2R)^2H= 4\pi R^2H. Odtiaľ \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H H = 5

Odpoveď

Typ práce: 8
Téma: Valec

Podmienka

2000 cm 3 vody sa nalialo do valcovej nádoby. Hladina kvapaliny sa ukázala byť 15 cm.Časť bola úplne ponorená do vody. Hladina kvapaliny v nádobe zároveň stúpla o 9 cm Aký je objem dielu? Vyjadrite svoju odpoveď v cm3.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech R je polomer základne valca a h je hladina vody naliatej do nádoby. Potom sa objem naliatej vody rovná objemu valca s polomerom základne R a výškou h. V voda \u003d S hlavné. · h = \pi R^2\cdot h. Podľa podmienky je splnená rovnosť 2000=\pi R^2\cdot15. Odtiaľ, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Nech H je hladina vody v nádobe po ponorení predmetu do nej. Potom sa celkový objem vody a časti rovná objemu valca s polomerom základne R a výškou H. Podľa podmienok H=h+9=15+9=24. Takže V voda + detaily = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Preto V dielov = V vody + dielov − V vody = 3200-2000=1200.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Valec

Podmienka

Nájdite výšku valca, ak je jeho základný polomer 8 a jeho bočný povrch je 96 μ.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2016. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Typ práce: 8
Téma: Valec

Podmienka

500 metrov kubických sa nalialo do valcovej nádoby. vidieť vodu. Určte objem časti úplne ponorenej vo vode, ak sa po ponorení hladina kvapaliny zvýšila 1,2-krát. Vyjadrite svoju odpoveď v kocke. cm.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Nech V 1 označuje počiatočný objem kvapaliny vo valci. Po ponorení dielu sa objem kvapaliny zväčšil 1,2 krát, čo znamená, že konečný objem kvapaliny je V 2 = 1,2 V 1. Objem časti sa rovná rozdielu medzi objemami pred a po ponorení, čo znamená V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 kocka cm.

Odpoveď

Keď kvapalina pretečie, jej počiatočný objem sa nemení, t.j.: V 1 \u003d V 2, čo znamená, že platí rovnosť: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Nahraďte hodnoty z podmienky, zjednodušte výraz a nájdite požadovanú výšku kvapaliny druhej nádoby h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7