Komplexné čísla

Imaginárny A komplexné čísla. Úsečka a ordináta

komplexné číslo. Konjugujte komplexné čísla.

Operácie s komplexnými číslami. Geometrické

reprezentácia komplexných čísel. komplexná rovina.

Modul a argument komplexného čísla. trigonometrické

forma komplexného čísla. Operácie s komplexom

čísla v trigonometrickom tvare. Vzorec Moivre.

Základné informácie o imaginárny A komplexné čísla sú uvedené v časti „Imaginárne a komplexné čísla“. Potreba týchto čísel nového typu sa objavila pri riešení kvadratických rovníc pre prípadD< 0 (здесь Dje diskriminant kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické využitie, a preto sa im hovorilo „imaginárne“ čísla. Teraz sú však veľmi široko používané v rôznych oblastiach fyziky.

a technológie: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.

Komplexné čísla sa píšu ako:a+bi. Tu a A b – reálne čísla , A i – pomyselná jednotka. e. i 2 = –1. číslo a volal úsečka, a b - súradnicakomplexné čísloa + b.Dve komplexné číslaa+bi A a-bi volal konjugovať komplexné čísla.

Hlavné dohody:

1. Reálne čísloAmožno napísať aj vo formekomplexné číslo:+ 0 i alebo a - 0 i. Napríklad položky 5 + 0i a 5-0 iznamená to isté číslo 5 .

2. Komplexné číslo 0 + bivolal čisto imaginárne číslo. Nahrávaniebiznamená to isté ako 0 + bi.

3. Dve komplexné číslaa+bi Ac + disa považujú za rovnaké, aka = c A b = d. Inak komplexné čísla nie sú rovnaké.

Doplnenie. Súčet komplexných čísela+bi A c + disa nazýva komplexné číslo (a+c ) + (b+d ) jateda pri pridaní komplexné čísla, ich úsečky a ordináty sa pridávajú samostatne.

Táto definícia sa riadi pravidlami pre prácu s obyčajnými polynómami.

Odčítanie. Rozdiel medzi dvoma komplexnými číslamia+bi(znížené) a c + di(odčítané) sa nazýva komplexné číslo (a-c ) + (b-d ) ja

teda pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty odčítajú oddelene.

Násobenie. Súčin komplexných čísela+bi A c + di sa nazýva komplexné číslo.

(ac-bd ) + (ad+bc ) jaTáto definícia vychádza z dvoch požiadaviek:

1) čísla a+bi A c + diby sa malo množiť ako algebraické dvojčlenky,

2) číslo imá hlavnú vlastnosť:i 2 = – 1.

PRÍKLAD ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . teda práca

dve konjugované komplexné čísla sa rovnajú skutočným

kladné číslo.

divízie. Rozdeľte komplexné čísloa+bi (deliteľné) na inéhoc + di(delič) - znamená nájsť tretie čísloe + fi(chat), ktorý po vynásobení deliteľomc + divýsledkom čoho je dividendaa + b.

Ak deliteľ nie je nula, delenie je vždy možné.

PRÍKLAD Nájsť (8+i ) : (2 – 3 i) .

Riešenie. Prepíšme tento pomer ako zlomok:

Vynásobte jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3i

A po vykonaní všetkých transformácií dostaneme:

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa Aznamená číslo -3, bodkaB je číslo 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na to zvolíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné čísloa+bi bude reprezentovaný bodkou P s osou x a a súradnica b (pozri obr.). Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina .

modul komplexné číslo sa nazýva dĺžka vektoraOP, zobrazujúce komplexné číslo na súradnici ( integrovaný) lietadlo. Modul komplexného číslaa+bi označené | a+bi| alebo list r

Komplexné číslo je číslo v tvare z = x + i * y, kde x a y sú skutočné čísla a i = imaginárna jednotka (t. j. číslo, ktorého druhá mocnina je -1). Na definovanie pohľadu argument integrovaný čísla, musíte vidieť komplexné číslo v komplexnej rovine v polárnom súradnicovom systéme.

Inštrukcia

1. Rovina, na ktorej je komplex čísla, sa nazýva komplexný. V tejto rovine je horizontálna os obsadená skutočným čísla(x), a vertikálna os - imaginárna čísla(y). Na takejto rovine je číslo dané dvoma súradnicami z = (x, y). V polárnom súradnicovom systéme sú súradnicami bodu modul a argument. Modul je vzdialenosť |z| od bodu po počiatok. Uhol sa nazýva argument? medzi vektorom spájajúcim bod a súradnicový predhovor a vodorovnou osou súradnicového systému (pozri obrázok).

2. Z obrázku je vidieť, že modul komplexu čísla z = x + i * y nájdeme podľa Pytagorovej vety: |z| = ? (x^2 + y^2). Ďalší argument čísla z sa nachádza ako ostrý uhol trojuholníka - cez hodnoty goniometrických funkcií sin, cos, tg:sin ? =y/? (x^2 + y^2), cos ? =x/? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Povedzme, že nech je dané číslo z = 5 * (1 + ?3 * i). Najprv vyberte reálnu a imaginárnu časť: z = 5 +5 * ?3 * i. Ukazuje sa, že skutočná časť x = 5 a imaginárna časť y = 5 * ?3. Vypočítajte modul čísla: |z| = a(25 + 75) = A100 = 10. Ďalej nájdite sínus uhla?: sin ? \u003d 5/10 \u003d 1/2. Odtiaľ sa získa argument čísla z je 30°.

4. Príklad 2. Nech je dané číslo z = 5 * i. Z obrázku je vidieť, že uhol = 90°. Skontrolujte túto hodnotu pomocou vyššie uvedeného vzorca. Zapíšte si súradnice tohto čísla na komplexnej rovine: z = (0, 5). modul čísla|z| = 5. Tangenta uhla tg ? = 5 / 5 = 1. Z toho vyplýva čo? = 90°.

5. Príklad 3. Nech je potrebné nájsť dôkaz súčtu 2 komplexných čísel z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Podľa pravidiel sčítania pridajte tieto dva komplexy čísla: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Ďalej podľa vyššie uvedenej schémy vypočítajte argument: tg ? = 9/3 = 3.

Poznámka!
Ak je číslo z = 0, potom hodnota argumentu preň nie je definovaná.

Užitočné rady
Hodnota argumentu komplexného čísla je určená s presnosťou 2 * ? * k, kde k je ľubovoľné celé číslo. Hodnota dôvodu? taký, že -?

Tomuto číslu zodpovedá: .
Modul komplexného čísla z sa zvyčajne označuje | z| alebo r.

Dovoliť a byť reálne čísla také, že komplexné číslo (obvyklý zápis). Potom

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je "Modul komplexného čísla" v iných slovníkoch:

modul komplexného čísla- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modul komplexného čísla vok. Betrag der complexen Zahl, m rus. modul komplexného čísla, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modul) Veľkosť čísla v zmysle jeho vzdialenosti od 0. Modul alebo absolútna hodnota reálneho čísla x (označené |x|) je rozdiel medzi x a 0 bez ohľadu na znamienko. Preto ak x0, potom |x|=x a ak x 0, potom |x|=–x... Ekonomický slovník

Pre komplexné číslo pozri absolútnu hodnotu. Modul prechodu zo systému logaritmov na báze a do systému na báze b je číslo 1/logab ... Veľký encyklopedický slovník

Absolútna hodnota alebo modul reálneho alebo komplexného čísla x je vzdialenosť od x k počiatku. Presnejšie: Absolútna hodnota reálneho čísla x je nezáporné číslo označené |x| a definované takto: ... ... Wikipedia

Modul v matematike, 1) M. (alebo absolútna hodnota) komplexného čísla z \u003d x + iy je číslo ═ (koreň sa berie so znamienkom plus). Pri reprezentácii komplexného čísla z v goniometrickom tvare z \u003d r (cos j + i sin j), reálne číslo r je ... ...

- (v matematike) miera na porovnávanie homogénnych veličín a na vyjadrenie jednej z nich pomocou druhej; m. sa vyjadruje ako číslo. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) číslo, ktorým sa násobia ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

MODUL komplexného čísla, pozri Absolútna hodnota (pozri ABSOLÚTNA HODNOTA). Modul prechodu zo systému logaritmov na báze a do systému na báze b je číslo 1/logab ... encyklopedický slovník

I Modul (z latinčiny modulová miera) v architektúre, konvenčná jednotka prijatá na koordináciu rozmerov častí budovy alebo komplexu. V architektúre rôznych národov, v závislosti od charakteristík stavebných zariadení a zloženia budov pre M. ... ... Veľká sovietska encyklopédia

I; m [z lat. modul miera] 1. aký. Špecialista. Hodnota, ktorá charakterizuje to, čo l. vlastnosť tuhého telesa. M. kompresia. M. elasticita. 2. Matematika. Reálne číslo, absolútna hodnota záporného alebo kladného čísla. M. komplexné číslo. M... encyklopedický slovník

Číselná charakteristika akejkoľvek matematiky. objekt. Hodnota M. je zvyčajne nezáporné reálne číslo, prvok, ktorý má určitú charakteristiku. vlastnosti vzhľadom na vlastnosti množiny uvažovaných objektov. Koncept M....... Matematická encyklopédia

Definícia 8.3 (1).

Dĺžka |z| vektor z = (x, y) sa nazýva modul komplexného čísla z = x + yi

Keďže dĺžka každej strany trojuholníka nepresahuje súčet dĺžok jeho ďalších dvoch strán a absolútna hodnota rozdielu dĺžok dvoch strán trojuholníka nie je menšia ako dĺžka tretej strany , potom pre ľubovoľné dve komplexné čísla z 1 a z 2 platia nerovnosti

Definícia 8.3 (2).

Argument komplexného čísla. Ak φ je uhol, ktorý zviera nenulový vektor z so skutočnou osou, potom akýkoľvek uhol tvaru (φ + 2πn, kde n je celé číslo a iba taký uhol) bude tiež uhlom vytvoreným vektorom z so skutočnou osou.

Množina všetkých uhlov, ktoré tvorí nenulový vektor z = (x, y) s reálnou osou, sa nazýva argument komplexného čísla z = x + yi a označuje sa arg z. Každý prvok tejto množiny sa nazýva hodnota argumentu čísla z (obr. 8.3(1)).

Ryža. 8.3(1).

Keďže nenulový rovinný vektor je jednoznačne určený svojou dĺžkou a uhlom, ktorý tvorí s osou x, potom sú dve nenulové komplexné čísla rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú ich absolútne hodnoty a argumenty rovnaké.

Ak je napríklad podmienka 0≤φ uložená na hodnoty argumentu φ čísla z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definícia 8.3.(3)

Trigonometrický tvar komplexného čísla. Reálne a imaginárne časti komplexného čísla z = x + yi ≠ 0 sú vyjadrené ako jeho modul r= |z| a argument φ takto (z definície sínusu a kosínusu):

Pravá strana tejto rovnosti sa nazýva trigonometrický tvar komplexného čísla z. Použijeme ho aj pre z = 0; v tomto prípade r = 0 a φ môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu - argument čísla 0 nie je definovaný. Takže akékoľvek komplexné číslo môže byť zapísané v trigonometrickej forme.

Je tiež jasné, že ak sa komplexné číslo z zapíše ako

potom číslo r je jeho modul, keďže

A φ je jednou z hodnôt jeho argumentu

Trigonometrická forma zápisu komplexných čísel môže byť vhodná na použitie pri násobení komplexných čísel, najmä vám umožňuje zistiť geometrický význam súčinu komplexných čísel.

Nájdime vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel v goniometrickom tvare ich zápisu. Ak

potom pravidlom násobenia komplexných čísel (pomocou vzorcov pre sínus a kosínus súčtu)

Keď sa teda komplexné čísla vynásobia, ich absolútne hodnoty sa vynásobia a pridajú sa argumenty:

Aplikovaním tohto vzorca postupne na n komplexných čísel dostaneme

Ak je všetkých n čísel rovnakých, dostaneme

Kde

vykonané

Preto pre komplexné číslo, ktorého absolútna hodnota je 1 (teda má tvar

Táto rovnosť sa nazýva De Moivre vzorce

Inými slovami, pri delení komplexných čísel sa ich moduly delia,

a argumenty sa odčítajú.

Príklady 8.3(1).

Nakreslite v komplexnej rovine C množinu bodov, ktoré spĺňajú nasledujúce podmienky:

Ktorý predstavuje dané komplexné číslo $z=a+bi$ sa nazýva modul daného komplexného čísla.

Modul daného komplexného čísla sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Príklad 1

Vypočítajte modul daných komplexných čísel $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Modul komplexného čísla $z=a+bi$ vypočítame podľa vzorca: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pre pôvodné komplexné číslo $z_(1) =13$ dostaneme $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) = 13 $

Pre pôvodné komplexné číslo $\, z_(2) =4i$ dostaneme $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pre pôvodné komplexné číslo $\, z_(3) =4+3i$ dostaneme $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definícia 2

Uhol $\varphi $ tvorený kladným smerom reálnej osi a polomerovým vektorom $\overrightarrow(OM) $, ktorý zodpovedá danému komplexnému číslu $z=a+bi$, sa nazýva argument tohto čísla a sa označuje ako $\arg z$.

Poznámka 1

Modul a argument daného komplexného čísla sa explicitne používajú pri reprezentácii komplexného čísla v trigonometrickej alebo exponenciálnej forme:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrický tvar;
• $z=r\cdot e^(i\varphi) $ je exponenciálny tvar.

Príklad 2

Napíšte komplexné číslo v goniometrickom a exponenciálnom tvare dané nasledujúcimi údajmi: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi)(4) $.

1) Dosaďte údaje $r=3;\varphi =\pi $ do zodpovedajúcich vzorcov a získajte:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrický tvar

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ je exponenciálny tvar.

2) Nahraďte údaje $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ do zodpovedajúcich vzorcov a získajte:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrický tvar

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ je exponenciálny tvar.

Príklad 3

Určte modul a argument daných komplexných čísel:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi)(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modul a argument nájdeme pomocou vzorcov na zápis daného komplexného čísla v goniometrickej a exponenciálnej forme, resp.

\ \

1) Pre pôvodné komplexné číslo $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dostaneme $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pre pôvodné komplexné číslo $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ sme získajte $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi)(3) $.

3) Pre pôvodné komplexné číslo $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dostaneme $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\pi )(4) $.

4) Pre pôvodné komplexné číslo $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dostaneme $r=13;\varphi =\pi $.

Argument $\varphi $ daného komplexného čísla $z=a+bi$ možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

V praxi sa na výpočet hodnoty argumentu daného komplexného čísla $z=a+bi$ zvyčajne používa nasledujúci vzorec:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(pole)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

alebo riešiť sústavu rovníc

$\left\(\begin(pole)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(pole)\vpravo. $. (**)

Príklad 4

Vypočítajte argument daných komplexných čísel: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Pretože $z=3$, potom $a=3,b=0$. Vypočítajte argument pôvodného komplexného čísla pomocou vzorca (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Pretože $z=4i$, potom $a=0,b=4$. Vypočítajte argument pôvodného komplexného čísla pomocou vzorca (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Pretože $z=1+i$, potom $a=1,b=1$. Vypočítajte argument pôvodného komplexného čísla riešením sústavy (**):

\[\left\(\begin(pole)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(pole)\vpravo. .\]

Z kurzu trigonometrie je známe, že $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pre uhol zodpovedajúci prvému kvadrantu súradníc a rovný $\varphi =\frac (\pi)( 4) $.

Keďže $z=-5$, potom $a=-5,b=0$. Vypočítajte argument pôvodného komplexného čísla pomocou vzorca (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Keďže $z=-2i$, potom $a=0,b=-2$. Vypočítajte argument pôvodného komplexného čísla pomocou vzorca (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Poznámka 2

Číslo $z_(3) $ je reprezentované bodom $(0;1)$, preto je dĺžka príslušného polomerového vektora rovná 1, t.j. $r=1$ a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ podľa poznámky 3.

Číslo $z_(4) $ je reprezentované bodom $(0;-1)$, preto je dĺžka príslušného polomerového vektora rovná 1, t.j. $r=1$ a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ podľa poznámky 3.

Číslo $z_(5) $ je reprezentované bodom $(2;2)$, preto sa dĺžka zodpovedajúceho vektora polomeru rovná $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, t.j. $r=2\sqrt(2) $ a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ vlastnosťou pravouhlého trojuholníka.