Modelovanie je jedným z najdôležitejších nástrojov moderného života, keď chceme predvídať budúcnosť. A to nie je prekvapujúce, pretože presnosť tejto metódy je veľmi vysoká. Poďme sa v tomto článku pozrieť na to, čo je deterministický model.

všeobecné informácie

Deterministické modely systémov majú tú vlastnosť, že ich možno analyticky analyzovať, ak sú dostatočne jednoduché. V opačnom prípade pri použití značného počtu rovníc a premenných na tento účel možno použiť elektronické počítače. Počítačová pomoc sa navyše spravidla obmedzuje iba na ich vyriešenie a nájdenie odpovedí. Z tohto dôvodu je potrebné zmeniť sústavy rovníc a použiť inú diskretizáciu. A to so sebou nesie zvýšené riziko chýb vo výpočtoch. Všetky typy deterministických modelov sa vyznačujú tým, že znalosť parametrov na určitom sledovanom intervale nám umožňuje plne určiť dynamiku vývoja nad rámec známych ukazovateľov.

Zvláštnosti

Faktorové modelovanie

Odkazy na to možno vidieť v celom článku, ale ešte sme nediskutovali o tom, čo to je. Faktorové modelovanie znamená, že sú zvýraznené hlavné ustanovenia, pre ktoré je potrebné kvantitatívne porovnanie. Na dosiahnutie stanovených cieľov štúdia vytvára transformáciu formy.

Ak má rigidne deterministický model viac ako dva faktory, potom sa nazýva multifaktoriálny. Jeho analýza môže byť vykonaná rôznymi metódami. Ako príklad uvádzame V tomto prípade uvažuje o úlohách stanovených z pohľadu vopred stanovených a vypracovaných apriórnych modelov. Výber medzi nimi sa vykonáva podľa reprezentácie obsahu.

Pre kvalitatívnu konštrukciu modelu je potrebné využiť teoretické a experimentálne štúdie podstaty technologického procesu a jeho príčinno-následkových vzťahov. To je práve hlavná výhoda predmetov, o ktorých uvažujeme. Deterministické modely umožňujú presné predpovedanie v mnohých oblastiach nášho života. Pre svoje kvalitatívne parametre a všestrannosť sa tak veľmi rozšírili.

Kybernetické deterministické modely

Sú pre nás zaujímavé kvôli prechodným procesom založeným na analýze, ktoré sa vyskytujú pri akýchkoľvek, aj tých najnepodstatnejších zmenách agresívnych vlastností vonkajšieho prostredia. Pre jednoduchosť a rýchlosť výpočtov je súčasný stav nahradený zjednodušeným modelom. Je dôležité, aby spĺňal všetky základné požiadavky.

Účinnosť automatického riadiaceho systému a účinnosť jeho rozhodnutí závisí od jednoty všetkých potrebných parametrov. Zároveň je potrebné vyriešiť nasledovný problém: čím viac informácií sa nazbiera, tým vyššia je pravdepodobnosť chyby a dlhší čas spracovania. Ak však obmedzíte zber svojich údajov, môžete počítať s menej spoľahlivým výsledkom. Preto je potrebné nájsť strednú cestu, ktorá umožní získať informácie dostatočnej presnosti a zároveň ju nebudú zbytočne komplikovať zbytočnými prvkami.

Multiplikatívny deterministický model

Vytvára sa rozdelením faktorov do ich súboru. Ako príklad môžeme uviesť proces formovania objemu vyrobených produktov (PP). Na to je teda potrebné mať prácu (PC), materiály (M) a energiu (E). V tomto prípade možno faktor PP rozdeliť na súbor (RS; M; E). Táto možnosť odráža multiplikatívnu formu faktorového systému a možnosť jeho oddelenia. V tomto prípade môžete použiť nasledujúce metódy transformácie: rozšírenie, formálny rozklad a predĺženie. Prvá možnosť našla široké uplatnenie v analýze. Dá sa použiť na výpočet výkonu zamestnanca a pod.

Predĺženie nahrádza jednu hodnotu inými faktormi. Ale konečný výsledok by mal byť rovnaký počet. Príklad rozšírenia sme zvážili vyššie. Zostáva len formálne rozšírenie. Zahŕňa použitie predĺženia menovateľa pôvodného faktoriálneho modelu z dôvodu nahradenia jedného alebo viacerých parametrov. Zvážte tento príklad: vypočítame ziskovosť výroby. Na tento účel sa výška zisku vydelí výškou nákladov. Pri násobení namiesto jedinej hodnoty delíme súčtom nákladov na materiál, personál, dane a pod.

Pravdepodobnosti

Ach, keby všetko išlo presne podľa plánu! Ale to sa stáva zriedka. Preto sa v praxi často používajú deterministické a spolu.Čo možno povedať o druhom? Ich zvláštnosťou je, že zohľadňujú aj rôzne pravdepodobnosti. Vezmime si napríklad nasledovné. Sú dva štáty. Vzťahy medzi nimi sú veľmi zlé. Tretia strana sa rozhodne, či bude investovať do podnikov jednej z krajín. Ak totiž vypukne vojna, zisky tým veľmi utrpia. Alebo môžete uviesť príklad výstavby závodu v oblasti s vysokou seizmickou aktivitou. Tu sú predsa prírodné faktory, ktoré sa nedajú presne brať do úvahy, len približne.

Záver

Uvažovali sme o tom, čo sú modely deterministickej analýzy. Bohužiaľ, aby ste im plne porozumeli a mohli ich uviesť do praxe, mali by ste sa veľmi dobre učiť. Teoretické základy sú už pripravené. V rámci článku boli uvedené aj samostatné jednoduché príklady. Ďalej je lepšie ísť cestou postupnej komplikácie pracovného materiálu. Môžete si svoju úlohu trochu zjednodušiť a začať sa učiť softvér, ktorý dokáže vykonať príslušnú simuláciu. Ale nech už je výber akýkoľvek, porozumieť základom a vedieť odpovedať na otázky o tom, čo, ako a prečo, je stále potrebné. Mali by ste sa naučiť začať výberom správnych vstupných údajov a výberom správnych akcií. Potom budú programy schopné úspešne vykonávať svoje úlohy.

Systémové modely, o ktorých sme doteraz hovorili, boli deterministické (definované), t.j. úloha vstupnej akcie určovala výstup systému jednoznačne. To sa však v praxi stáva len zriedka: popis reálnych systémov sa zvyčajne vyznačuje neistotou. Napríklad pre statický model možno neistotu vziať do úvahy napísaním vzťahu miesto (2.1).

kde je chyba znížená na výstup systému.

Dôvody neistoty sú rôzne:

– chyby a interferencie pri meraniach vstupov a výstupov systému (prirodzené chyby);

– nepresnosť samotného modelu systému, ktorá si vyžaduje umelé vnesenie chyby do modelu;

– neúplné informácie o systémových parametroch a pod.

Spomedzi rôznych spôsobov objasňovania a formalizácie neistoty je najrozšírenejší chaotický (pravdepodobnostný) prístup, v ktorom sa neisté veličiny považujú za náhodné. Vyvinutý pojmový a výpočtový aparát teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky umožňuje dávať konkrétne odporúčania pre výber štruktúry systému a odhad jeho parametrov. Klasifikácia stochastických modelov systémov a metódy ich štúdia sú uvedené v tabuľke. 1.4. Závery a odporúčania sú založené na efekte spriemerovania: náhodné odchýlky výsledkov merania určitej veličiny od jej očakávanej hodnoty sa pri sčítaní navzájom rušia a aritmetický priemer veľkého počtu meraní sa ukazuje byť blízky očakávanej hodnote. . Matematické formulácie tohto efektu sú dané zákonom veľkých čísel a centrálnou limitnou vetou. Zákon veľkých čísel hovorí, že ak sú náhodné premenné s matematickým očakávaním (priemerom) a rozptylom, potom

pre dostatočne veľké N. To naznačuje zásadnú možnosť ľubovoľne presného odhadu z meraní. Centrálna limitná veta, ktorá spresňuje (2.32), hovorí, že

kde je štandardná normálne rozdelená náhodná premenná

Keďže rozdelenie veličiny je dobre známe a tabuľkové (napríklad je známe, že vzťah (2.33) nám umožňuje vypočítať chybu odhadu. Nech je napríklad potrebné zistiť, pri akom počte meraní je chyba odhadu ich matematické očakávanie s pravdepodobnosťou 0,95 bude menšie ako 0,01 , ak sa rozptyl každého merania rovná 0,25 Z (2.33) zistíme, že nerovnosť musí platiť odkiaľ N> 10000.

Samozrejme, formulácie (2.32), (2.33) môžu mať rigoróznejšiu formu, a to sa dá ľahko urobiť pomocou konceptov pravdepodobnostnej konvergencie. Ťažkosti vznikajú pri pokuse o kontrolu podmienok týchto prísnych tvrdení. Napríklad v zákone veľkých čísel a centrálnej limitnej vete sa vyžaduje nezávislosť jednotlivých meraní (realizácií) náhodnej veličiny a konečnosť jej rozptylu. Ak sú tieto podmienky porušené, potom môžu byť porušené aj závery. Napríklad, ak sú všetky merania rovnaké: potom, hoci sú splnené všetky ostatné podmienky, priemerovanie neprichádza do úvahy. Ďalší príklad: zákon veľkých čísel je nespravodlivý, ak sú náhodné veličiny rozdelené podľa Cauchyho zákona (s hustotou rozdelenia, ktorá nemá konečné matematické očakávanie a rozptyl. Ale takýto zákon sa vyskytuje v živote! na mori (na lodi) a zapínané v náhodných časoch.

No ešte zložitejšie je overenie platnosti samotného použitia pojmu „náhodný“. Čo je náhodná premenná, náhodná udalosť atď. Často sa hovorí, že udalosť ALE náhodou, ak sa v dôsledku experimentu môže vyskytnúť (s pravdepodobnosťou R) alebo nenastane (s pravdepodobnosťou 1- R). Všetko však nie je také jednoduché. Samotný pojem pravdepodobnosti možno spájať s výsledkami experimentov iba prostredníctvom frekvencie jej výskytu v určitom rade (sérii) experimentov: , kde N A je počet experimentov, v ktorých k udalosti došlo, N- celkový počet; experimenty. Ak sú čísla dostatočne veľké N priblížiť sa k nejakému konštantnému číslu r A:

tej udalosti ALE možno nazvať náhodné a číslo R- jeho pravdepodobnosť. V tomto prípade by mali byť frekvencie pozorované v rôznych sériách experimentov blízko seba (táto vlastnosť sa nazýva štatistická stabilita alebo homogenita). To platí aj pre koncept náhodnej premennej, pretože hodnota je náhodná, ak sú udalosti náhodné (a<£<Ь} для любых чисел a,b. Frekvencie výskytu takýchto udalostí v dlhých sériách experimentov by sa mali zhlukovať okolo nejakých konštantných hodnôt.

Aby bolo možné použiť stochastický prístup, musia byť splnené tieto požiadavky:

1) masový charakter experimentov, t.j. dostatočne veľký počet;

2) opakovateľnosť podmienok experimentov, ktorá odôvodňuje porovnanie výsledkov rôznych experimentov;

3) štatistická stabilita.

Stochastický prístup samozrejme nemožno aplikovať na jednotlivé experimenty: výrazy ako „pravdepodobnosť, že zajtra bude pršať“, „Zenith vyhrá pohár s pravdepodobnosťou 0,8“ atď. sú nezmyselné. Ale aj keď existujú rozsiahle a opakovateľné experimenty, nemusí existovať štatistická stabilita a nie je ľahké to skontrolovať. Známe odhady frekvenčnej odchýlky od pravdepodobnosti sú založené na centrálnej limitnej vete alebo Čebyševovej nerovnosti a vyžadujú si ďalšie hypotézy o nezávislosti alebo slabej závislosti meraní. Experimentálne overenie podmienky nezávislosti je ešte ťažšie, pretože si vyžaduje ďalšie experimenty.

Metodika a praktické recepty na aplikáciu teórie pravdepodobnosti sú podrobnejšie popísané v poučnej knihe V.N. Tutubalina, ktorej predstava je daná nasledujúcimi citátmi:

„Je mimoriadne dôležité odstrániť klam, ktorý sa niekedy vyskytuje medzi inžiniermi a prírodnými vedcami, ktorí nie sú dostatočne oboznámení s teóriou pravdepodobnosti, že výsledok akéhokoľvek experimentu možno považovať za náhodnú premennú. V obzvlášť závažných prípadoch je to sprevádzané vierou v zákon normálneho rozdelenia, a ak samotné náhodné premenné nie sú normálne, potom veria, že ich logaritmy sú normálne.

„Podľa moderných koncepcií je rozsah aplikácie pravdepodobnostných metód obmedzený na javy, ktoré sa vyznačujú štatistickou stabilitou. Test štatistickej stability je však náročný a vždy neúplný, navyše často dáva negatívny záver. Výsledkom je, že v celých oblastiach poznania, napríklad v geológii, sa takýto prístup stal normou, v ktorej sa štatistická stabilita vôbec nekontroluje, čo nevyhnutne vedie k závažným chybám. Navyše propaganda kybernetiky, ktorú podnikli naši poprední vedci, priniesla (v niektorých prípadoch!) trochu neočakávaný výsledok: teraz sa verí, že objektívne vedecké výsledky je schopný získať iba stroj (a nie človek).

Za takýchto okolností je povinnosťou každého učiteľa znovu a znovu propagovať starú pravdu, ktorou sa Peter I. (neúspešne) snažil inšpirovať ruských obchodníkov: že obchodovať treba čestne, bez klamstva, lebo v konečnom dôsledku je to pre nich výhodnejšie.

Ako zostaviť model systému, ak existuje neistota v probléme, ale stochastický prístup nie je použiteľný? Jeden z alternatívnych prístupov založených na teórii fuzzy množín je stručne načrtnutý nižšie.

Pripomíname, že relácia (relácia medzi a) je podmnožinou množiny. tie. nejaká množina párov R=(( X, pri)), kde,. Napríklad funkčný vzťah (závislosť) môže byť reprezentovaný ako vzťah medzi množinami vrátane párov ( X, pri) pre ktoré.

V najjednoduchšom prípade je azda R vzťah identity, ak.

Príklady 12-15 v tabuľke. 1. 1 vynájdený v roku 1988 študentom triedy 86 školy 292 M. Koroteevom.

Matematik si tu, samozrejme, všimne, že minimum v (1.4), prísne vzaté, nemusí byť dosiahnuté a vo formulácii (1.4) je potrebné nahradiť rnin inf („infimum“ je infimum súbor). Situácia sa však kvôli tomu nezmení: formalizácia v tomto prípade neodráža podstatu problému; vykonané nesprávne. V budúcnosti, aby sme inžiniera „nevystrašili“, budeme používať zápis min, max; majúc na pamäti, že v prípade potreby by sa mali nahradiť všeobecnejšími inf, súp.

Tu sa výraz „štruktúra“ používa v trochu užšom zmysle; 1.1, a znamená skladbu subsystémov v systéme a typy spojení medzi nimi.

Graf je pár ( G, R), kde G=(g 1 ... gn) je konečná množina vrcholov, a - binárny vzťah na G. Ak, potom a iba vtedy, potom sa o grafe hovorí, že je neorientovaný, v opačnom prípade je smerovaný. Dvojice sa nazývajú oblúky (hrany) a prvky množiny G- vrcholy grafu.

Teda algebraické alebo transcendentálne.

Prísne vzaté, spočítateľná množina je akousi idealizáciou, ktorú nie je možné v praxi realizovať pre konečnú veľkosť technických systémov a limity ľudského vnímania. Takéto idealizované modely (napríklad množina prirodzených čísel N=(1, 2,...)) má zmysel zaviesť pre množiny konečných, ale s predtým neobmedzeným (alebo neznámym) počtom prvkov.

Formálne je pojem operácia špeciálnym prípadom pojmu vzťahu medzi prvkami množín. Napríklad operácia sčítania dvoch čísel definuje 3-miestny (ternárny) vzťah R: trojica čísel (x, y, z) z) patrí do vzťahu R(píšeme (x, y, z)), ak z = x+y.

Komplexné číslo, argument polynómov ALE(), AT().

Tento predpoklad sa v praxi často napĺňa.

Ak je hodnota neznáma, potom by mala byť nahradená v (2.33) odhadom kde V tomto prípade bude hodnota rozdelená nie normálne, ale podľa Studentovho zákona, ktorý je prakticky nerozoznateľný od normálneho at.

Je ľahké vidieť, že (2.34) je špeciálny prípad (2.32), keď sa vezme udalosť ALE vošiel j- m experiment, inak. V čom

A dnes môžete pridať „... a informatiku“ (pozn. autora).

1. Deterministické a pravdepodobnostné matematické modely v ekonómii. Výhody a nevýhody

Metódy štúdia ekonomických procesov sú založené na použití matematicko – deterministických a pravdepodobnostných – modelov reprezentujúcich proces, systém alebo typ skúmanej činnosti. Takéto modely poskytujú kvantitatívny popis problému a slúžia ako základ pre prijímanie manažérskych rozhodnutí pri hľadaní najlepšej možnosti. Nakoľko sú tieto rozhodnutia opodstatnené, či sú najlepšie možné, či boli zohľadnené a zvážené všetky faktory, ktoré určujú optimálne riešenie, aké je kritérium, podľa ktorého môžete určiť, že toto riešenie je skutočne najlepšie – toto je rozsah otázky, ktoré majú veľký význam pre manažérov výroby a na ktoré možno nájsť odpoveď pomocou metód operačného výskumu [Chesnokov S. V. Deterministická analýza sociálno-ekonomických údajov. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Jedným z princípov tvorby riadiaceho systému je metóda kybernetických (matematických) modelov. Matematické modelovanie zaujíma medzipolohu medzi experimentom a teóriou: nie je potrebné zostavovať skutočný fyzikálny model systému, nahradí ho matematický model. Osobitosť tvorby riadiaceho systému spočíva v pravdepodobnostnom, štatistickom prístupe k procesom riadenia. V kybernetike sa uznáva, že každý riadiaci proces podlieha náhodným, rušivým vplyvom. Výrobný proces je teda ovplyvnený veľkým množstvom faktorov, ktoré nemožno deterministicky brať do úvahy. Preto sa predpokladá, že výrobný proces je ovplyvnený náhodnými signálmi. Z tohto dôvodu môže byť plánovanie práce podniku iba pravdepodobnostné.

Z týchto dôvodov, keď hovoríme o matematickom modelovaní ekonomických procesov, sú často myslené pravdepodobnostné modely.

Popíšme každý z typov matematických modelov.

Deterministické matematické modely sa vyznačujú tým, že vzťah určitých faktorov s ukazovateľom výkonnosti popisujú ako funkčnú závislosť, teda v deterministických modeloch je ukazovateľ výkonnosti modelu prezentovaný ako súčin, kvocient, algebraický súčet faktorov, príp. ako každá iná funkcia. Tento typ matematických modelov je najbežnejší, pretože je pomerne jednoduchý na používanie (v porovnaní s pravdepodobnostnými modelmi) umožňuje pochopiť logiku pôsobenia hlavných faktorov vo vývoji ekonomického procesu, kvantifikovať ich vplyv, pochopiť, ktoré faktory a v akom pomere je možné a účelné meniť na zvýšenie efektívnosti výroby.

Pravdepodobnostné matematické modely sa od deterministických zásadne líšia tým, že v pravdepodobnostných modeloch je vzťah medzi faktormi a výsledným znakom pravdepodobnostný (stochastický): pri funkčnej závislosti (deterministické modely) rovnaký stav faktorov zodpovedá jedinému stavu výsledného rys, zatiaľ čo v pravdepodobnostných modeloch jeden a ten istý stav faktorov zodpovedá celému súboru stavov výsledného atribútu [Tolstova Yu. N. Logika matematickej analýzy ekonomických procesov. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Výhodou deterministických modelov je ich jednoduché použitie. Hlavnou nevýhodou je nízka primeranosť reality, keďže, ako bolo uvedené vyššie, väčšina ekonomických procesov má pravdepodobnostný charakter.

Výhodou pravdepodobnostných modelov je, že sú spravidla viac v súlade s realitou (adekvátnejšie) ako deterministické. Nevýhodou pravdepodobnostných modelov je však zložitosť a prácnosť ich aplikácie, preto sa v mnohých situáciách stačí obmedziť na deterministické modely.

Prvýkrát formulácia úlohy lineárneho programovania vo forme návrhu na prípravu optimálneho plánu dopravy; umožňujúci minimalizovať celkový počet najazdených kilometrov, bol uvedený v práci sovietskeho ekonóma A. N. Tolstého v roku 1930.

Systematické štúdium problémov lineárneho programovania a vývoj všeobecných metód na ich riešenie sa ďalej rozvíjali v prácach ruských matematikov L. V. Kantoroviča, V. S. Nemčinova a ďalších matematikov a ekonómov. Aj mnohé práce zahraničných a predovšetkým amerických vedcov sa venujú metódam lineárneho programovania.

Úlohou lineárneho programovania je maximalizovať (minimalizovať) lineárnu funkciu.

, kde

pod obmedzeniami

a všetko

Komentujte. Nerovnosti môžu mať aj opačný význam. Vynásobením zodpovedajúcich nerovností (-1) je možné vždy získať systém tvaru (*).

Ak je počet premenných systému obmedzení a cieľovej funkcie v matematickom modeli úlohy 2, potom sa dá vyriešiť graficky.

Takže musíme maximalizovať funkciu

k uspokojivému systému obmedzení.

Vráťme sa k jednej z nerovností systému obmedzení.

Z geometrického hľadiska musia všetky body vyhovujúce tejto nerovnosti ležať na priamke

, alebo patria do niektorej z polrovín, na ktoré je rovina tejto priamky rozdelená. Aby ste to zistili, musíte skontrolovať, ktorý z nich obsahuje bodku ().

Poznámka 2. Ak

, je ľahšie brať bod (0;0).

Podmienky pre nezápornosť

tiež definovať polroviny, respektíve s hraničnými čiarami . Predpokladáme, že systém nerovníc je kompatibilný, potom polroviny, ktoré sa pretínajú, tvoria spoločnú časť, ktorá je konvexnou množinou a je súborom bodov, ktorých súradnice sú riešením tohto systému - to je množina realizovateľných riešení . Množina týchto bodov (riešení) sa nazýva polygón riešenia. Môže to byť bod, lúč, mnohouholník, neohraničená mnohouholníková oblasť. Úlohou lineárneho programovania je teda nájsť taký bod polygónu riešenia, v ktorom účelová funkcia nadobúda maximálnu (minimálnu) hodnotu. Tento bod existuje, keď polygón riešenia nie je prázdny a účelová funkcia na ňom je ohraničená zhora (zdola). Za týchto podmienok v jednom z vrcholov rozhodovacieho polygónu nadobúda účelová funkcia maximálnu hodnotu. Na určenie tohto vrcholu zostrojíme priamku (kde h je nejaká konštanta). Najčastejšie brané rovno . Zostáva zistiť smer pohybu tejto priamky. Tento smer je určený gradientom (antigradientom) účelovej funkcie. kolmá na priamku v každom bode , takže hodnota f sa zvýši, keď sa priamka bude pohybovať v smere gradientu (klesá v smere antigradientu). Ak to chcete urobiť, rovnobežne s čiarou kresliť rovné čiary pohybujúce sa v smere gradientu (antigradient).

V týchto konštrukciách budeme pokračovať, kým čiara neprejde posledným vrcholom polygónu riešenia. Tento bod určuje optimálnu hodnotu.

Takže hľadanie riešenia problému lineárneho programovania geometrickou metódou zahŕňa nasledujúce kroky:

Zostrojujú sa čiary, ktorých rovnice sa získajú ako výsledok nahradenia znakov nerovností v obmedzeniach znakmi presných rovnosti.

Nájdite polroviny definované každým z obmedzení problému.

Nájdite mnohouholník riešenia.

Zostavte vektor

.

Vytvorte priamku

.

Vytvorte paralelné čiary

v smere gradientu alebo antigradientu, v dôsledku čoho sa nájde bod, v ktorom funkcia nadobúda maximálnu alebo minimálnu hodnotu, alebo sa zistí neohraničenosť funkcie zhora (zdola) na prípustnej množine.

Určia sa súradnice maximálneho (minimálneho) bodu funkcie a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie v tomto bode.

Problém racionálnej výživy (problém stravovania)

Formulácia problému

Farma produkuje výkrm hospodárskych zvierat na komerčné účely. Pre jednoduchosť predpokladajme, že existujú iba štyri typy produktov: P1, P2, P3, P4; jednotkové náklady každého produktu sú C1, C2, C3, C4. Z týchto produktov je potrebné pripraviť stravu, ktorá by mala obsahovať: bielkoviny - najmenej b1 jednotiek; uhľohydráty - nie menej ako jednotky b2; tuk - najmenej b3 jednotky. Pre produkty P1, P2, P3, P4 je obsah bielkovín, sacharidov a tukov (v jednotkách na jednotku produktu) známy a uvedený v tabuľke, kde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - niektoré konkrétne čísla prvý index označuje číslo produktu, druhý - číslo prvku (bielkoviny, sacharidy, tuky).

Matematické modely v ekonómii a programovaní

1. Deterministické a pravdepodobnostné matematické modely v ekonómii. Výhody a nevýhody

Metódy štúdia ekonomických procesov sú založené na použití matematicko – deterministických a pravdepodobnostných – modelov reprezentujúcich proces, systém alebo typ skúmanej činnosti. Takéto modely poskytujú kvantitatívny popis problému a slúžia ako základ pre prijímanie manažérskych rozhodnutí pri hľadaní najlepšej možnosti. Nakoľko sú tieto rozhodnutia opodstatnené, či sú najlepšie možné, či boli zohľadnené a zvážené všetky faktory, ktoré určujú optimálne riešenie, aké je kritérium, podľa ktorého môžete určiť, že toto riešenie je skutočne najlepšie – toto je rozsah otázky, ktoré majú veľký význam pre manažérov výroby a na ktoré možno nájsť odpoveď pomocou metód operačného výskumu [Chesnokov S. V. Deterministická analýza sociálno-ekonomických údajov. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Jedným z princípov tvorby riadiaceho systému je metóda kybernetických (matematických) modelov. Matematické modelovanie zaujíma medzipolohu medzi experimentom a teóriou: nie je potrebné zostavovať skutočný fyzikálny model systému, nahradí ho matematický model. Osobitosť tvorby riadiaceho systému spočíva v pravdepodobnostnom, štatistickom prístupe k procesom riadenia. V kybernetike sa uznáva, že každý riadiaci proces podlieha náhodným, rušivým vplyvom. Výrobný proces je teda ovplyvnený veľkým množstvom faktorov, ktoré nemožno deterministicky brať do úvahy. Preto sa predpokladá, že výrobný proces je ovplyvnený náhodnými signálmi. Z tohto dôvodu môže byť plánovanie práce podniku iba pravdepodobnostné.

Z týchto dôvodov, keď hovoríme o matematickom modelovaní ekonomických procesov, sú často myslené pravdepodobnostné modely.

Popíšme každý z typov matematických modelov.

Deterministické matematické modely sa vyznačujú tým, že vzťah určitých faktorov s ukazovateľom výkonnosti popisujú ako funkčnú závislosť, teda v deterministických modeloch je ukazovateľ výkonnosti modelu prezentovaný ako súčin, kvocient, algebraický súčet faktorov, príp. ako každá iná funkcia. Tento typ matematických modelov je najbežnejší, pretože je pomerne jednoduchý na používanie (v porovnaní s pravdepodobnostnými modelmi) umožňuje pochopiť logiku pôsobenia hlavných faktorov vo vývoji ekonomického procesu, kvantifikovať ich vplyv, pochopiť, ktoré faktory a v akom pomere je možné a účelné meniť na zvýšenie efektívnosti výroby.

Pravdepodobnostné matematické modely sa od deterministických zásadne líšia tým, že v pravdepodobnostných modeloch je vzťah medzi faktormi a výsledným znakom pravdepodobnostný (stochastický): pri funkčnej závislosti (deterministické modely) rovnaký stav faktorov zodpovedá jedinému stavu výsledného rys, zatiaľ čo v pravdepodobnostných modeloch jeden a ten istý stav faktorov zodpovedá celému súboru stavov výsledného atribútu [Tolstova Yu. N. Logika matematickej analýzy ekonomických procesov. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Výhodou deterministických modelov je ich jednoduché použitie. Hlavnou nevýhodou je nízka primeranosť reality, keďže, ako bolo uvedené vyššie, väčšina ekonomických procesov má pravdepodobnostný charakter.

Výhodou pravdepodobnostných modelov je, že sú spravidla viac v súlade s realitou (adekvátnejšie) ako deterministické. Nevýhodou pravdepodobnostných modelov je však zložitosť a prácnosť ich aplikácie, preto sa v mnohých situáciách stačí obmedziť na deterministické modely.

2. Vyjadrenie úlohy lineárneho programovania na príklade úlohy potravinovej dávky

Prvýkrát formulácia úlohy lineárneho programovania vo forme návrhu na prípravu optimálneho plánu dopravy; umožňujúci minimalizovať celkový počet najazdených kilometrov, bol uvedený v práci sovietskeho ekonóma A. N. Tolstého v roku 1930.

Systematické štúdium problémov lineárneho programovania a vývoj všeobecných metód na ich riešenie sa ďalej rozvíjali v prácach ruských matematikov L. V. Kantoroviča, V. S. Nemčinova a ďalších matematikov a ekonómov. Aj mnohé práce zahraničných a predovšetkým amerických vedcov sa venujú metódam lineárneho programovania.

Úlohou lineárneho programovania je maximalizovať (minimalizovať) lineárnu funkciu.

pod obmedzeniami

a všetko

Komentujte. Nerovnosti môžu mať aj opačný význam. Vynásobením zodpovedajúcich nerovností (-1) je možné vždy získať systém tvaru (*).

Ak je počet premenných systému obmedzení a cieľovej funkcie v matematickom modeli úlohy 2, potom sa dá vyriešiť graficky.

Preto je potrebné maximalizovať funkciu na vyhovujúci systém obmedzení.

Vráťme sa k jednej z nerovností systému obmedzení.

Z geometrického hľadiska musia všetky body vyhovujúce tejto nerovnici ležať buď na priamke, alebo patriť do jednej z polrovín, na ktoré je rovina tejto priamky rozdelená. Aby ste to zistili, musíte skontrolovať, ktorý z nich obsahuje bodku ().

Poznámka 2. Ak , potom je ľahšie získať bod (0;0).

Podmienky nezápornosti tiež definujú polroviny s hraničnými čiarami. Predpokladáme, že systém nerovníc je kompatibilný, potom polroviny, ktoré sa pretínajú, tvoria spoločnú časť, ktorá je konvexnou množinou a je súborom bodov, ktorých súradnice sú riešením tohto systému - to je množina realizovateľných riešení . Množina týchto bodov (riešení) sa nazýva polygón riešenia. Môže to byť bod, lúč, mnohouholník, neohraničená mnohouholníková oblasť. Úlohou lineárneho programovania je teda nájsť taký bod polygónu riešenia, v ktorom účelová funkcia nadobúda maximálnu (minimálnu) hodnotu. Tento bod existuje, keď polygón riešenia nie je prázdny a účelová funkcia na ňom je ohraničená zhora (zdola). Za týchto podmienok v jednom z vrcholov rozhodovacieho polygónu nadobúda účelová funkcia maximálnu hodnotu. Na určenie tohto vrcholu zostrojíme priamku (kde h je nejaká konštanta). Najčastejšie sa berie priamka. Zostáva zistiť smer pohybu tejto priamky. Tento smer je určený gradientom (antigradientom) účelovej funkcie.

Vektor v každom bode je kolmý na čiaru, takže hodnota f sa bude zvyšovať, keď sa čiara pohybuje v smere gradientu (zníženie v smere antigradientu). Aby sme to dosiahli, nakreslíme rovné čiary rovnobežné s priamkou, ktoré sa pohybujú v smere gradientu (antigradient).

V týchto konštrukciách budeme pokračovať, kým čiara neprejde posledným vrcholom polygónu riešenia. Tento bod určuje optimálnu hodnotu.

Takže hľadanie riešenia problému lineárneho programovania geometrickou metódou zahŕňa nasledujúce kroky:

Zostrojujú sa čiary, ktorých rovnice sa získajú ako výsledok nahradenia znakov nerovností v obmedzeniach znakmi presných rovnosti.

Nájdite polroviny definované každým z obmedzení problému.

Nájdite mnohouholník riešenia.

Zostavte vektor.

Vytvorte priamku.

Rovnobežné čiary sú postavené v smere gradientu alebo antigradientu, v dôsledku čoho nájdu bod, v ktorom funkcia nadobudne maximálnu alebo minimálnu hodnotu, alebo nastavia funkciu tak, aby bola zhora (zdola) neohraničená. prípustná množina.

Určia sa súradnice maximálneho (minimálneho) bodu funkcie a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie v tomto bode.

Problém racionálnej výživy (problém stravovania)

Formulácia problému

Farma produkuje výkrm hospodárskych zvierat na komerčné účely. Pre jednoduchosť predpokladajme, že existujú iba štyri typy produktov: P1, P2, P3, P4; jednotkové náklady každého produktu sú C1, C2, C3, C4. Z týchto produktov je potrebné pripraviť stravu, ktorá by mala obsahovať: bielkoviny - najmenej b1 jednotiek; uhľohydráty - nie menej ako jednotky b2; tuk - najmenej b3 jednotky. Pre produkty P1, P2, P3, P4 je obsah bielkovín, sacharidov a tukov (v jednotkách na jednotku produktu) známy a uvedený v tabuľke, kde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - niektoré konkrétne čísla prvý index označuje číslo produktu, druhý - číslo prvku (bielkoviny, sacharidy, tuky).

23. januára 2017

Stochastický model popisuje situáciu, keď existuje neistota. Inými slovami, proces je charakterizovaný určitým stupňom náhodnosti. Samotné prídavné meno „stochastický“ pochádza z gréckeho slova „hádať“. Keďže neistota je kľúčovou charakteristikou každodenného života, takýto model môže opísať čokoľvek.

Vždy, keď ju však nanesieme, výsledok bude iný. Preto sa častejšie používajú deterministické modely. Aj keď sa čo najviac nepribližujú skutočnému stavu veci, vždy dávajú rovnaký výsledok a uľahčujú pochopenie situácie, zjednodušujú ju zavedením súboru matematických rovníc.

Hlavné rysy

Stochastický model vždy obsahuje jednu alebo viac náhodných premenných. Snaží sa odrážať skutočný život vo všetkých jeho prejavoch. Na rozdiel od deterministického modelu, stochastický nemá za cieľ všetko zjednodušiť a zredukovať na známe hodnoty. Preto je neistota jej kľúčovou charakteristikou. Stochastické modely sú vhodné na popis čohokoľvek, ale všetky majú nasledujúce spoločné črty:

• Každý stochastický model odráža všetky aspekty problému, pre ktorý bol vytvorený.
• Výsledok každého z javov je neistý. Preto model zahŕňa pravdepodobnosti. Správnosť celkových výsledkov závisí od presnosti ich výpočtu.
• Tieto pravdepodobnosti môžu byť použité na predpovedanie alebo popis samotných procesov.

Deterministické a stochastické modely

Pre niektorých sa život javí ako séria náhodných udalostí, pre iných - procesy, v ktorých príčina určuje účinok. V skutočnosti sa vyznačuje neistotou, ale nie vždy a nie vo všetkom. Preto je niekedy ťažké nájsť jasné rozdiely medzi stochastickými a deterministickými modelmi. Pravdepodobnosti sú dosť subjektívne.

Predstavte si napríklad situáciu pri hode mincou. Na prvý pohľad to vyzerá, že je 50% šanca, že dostanete chvosty. Preto je potrebné použiť deterministický model. V skutočnosti sa však ukazuje, že veľa závisí od šikovnosti rúk hráčov a dokonalosti vyváženia mince. To znamená, že je potrebné použiť stochastický model. Vždy sú parametre, ktoré nepoznáme. V reálnom živote vždy príčina určuje následok, no je tu aj určitá miera neistoty. Voľba medzi použitím deterministických a stochastických modelov závisí od toho, čoho sme ochotní sa vzdať – jednoduchosti analýzy alebo realizmu.

Podobné videá

V teórii chaosu

V poslednej dobe sa pojem, ktorý model sa nazýva stochastický, ešte viac rozmazal. Je to spôsobené vývojom takzvanej teórie chaosu. Popisuje deterministické modely, ktoré môžu poskytnúť rôzne výsledky s miernou zmenou počiatočných parametrov. Je to ako úvod do výpočtu neistoty. Mnohí vedci dokonca priznali, že ide už o stochastický model.

Lothar Breuer všetko elegantne vysvetlil pomocou poetických obrazov. Napísal: „Horský potok, tlčúce srdce, epidémia kiahní, stĺp stúpajúceho dymu – to všetko je príkladom dynamického javu, ktorý, ako sa zdá, niekedy charakterizuje náhoda. V skutočnosti takéto procesy vždy podliehajú určitému poriadku, ktorému vedci a inžinieri ešte len začínajú rozumieť. Toto je takzvaný deterministický chaos." Nová teória znie veľmi vierohodne, a preto sú jej zástancovia mnohí moderní vedci. Stále však zostáva málo rozvinutý a je dosť ťažké ho aplikovať v štatistických výpočtoch. Preto sa často používajú stochastické alebo deterministické modely.

Budovanie

Stochastický matematický model začína výberom priestoru elementárnych výsledkov. Takže v štatistike nazývajú zoznam možných výsledkov skúmaného procesu alebo udalosti. Výskumník potom určí pravdepodobnosť každého zo základných výsledkov. Zvyčajne sa to robí na základe určitej techniky.

Pravdepodobnosti sú však stále dosť subjektívny parameter. Výskumník potom určí, ktoré udalosti sú pre riešenie problému najzaujímavejšie. Potom už len určí ich pravdepodobnosť.

Príklad

Zvážte proces vytvárania najjednoduchšieho stochastického modelu. Predpokladajme, že hodíme kockou. Ak vypadne „šesť“ alebo „jedna“, naša výhra bude desať dolárov. Proces vytvárania stochastického modelu v tomto prípade bude vyzerať takto:

• Definujme priestor elementárnych výsledkov. Kocka má šesť strán, takže môže prísť jedna, dve, tri, štyri, päť a šesť.
• Pravdepodobnosť každého z výsledkov sa bude rovnať 1/6, bez ohľadu na to, koľko hodíme kockou.
• Teraz musíme určiť výsledky, ktoré nás zaujímajú. Ide o stratu tváre s číslom „šesť“ alebo „jedna“.
• Nakoniec môžeme určiť pravdepodobnosť udalosti, ktorá nás zaujíma. Je to 1/3. Zhrnieme pravdepodobnosti oboch elementárnych udalostí, ktoré nás zaujímajú: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Koncept a výsledok

V hazardných hrách sa často používa stochastická simulácia. Ale je tiež nepostrádateľný v ekonomických prognózach, pretože umožňuje pochopiť situáciu hlbšie ako deterministické. Stochastické modely v ekonómii sa často používajú pri rozhodovaní o investíciách. Umožňujú vám robiť predpoklady o ziskovosti investícií do určitých aktív alebo ich skupín.

Modelovanie zefektívňuje finančné plánovanie. S jeho pomocou investori a obchodníci optimalizujú rozloženie svojich aktív. Používanie stochastického modelovania má z dlhodobého hľadiska vždy výhody. V niektorých odvetviach môže odmietnutie alebo neschopnosť uplatniť ho dokonca viesť k bankrotu podniku. Je to spôsobené tým, že v reálnom živote sa denne objavujú nové dôležité parametre a ak sa nezohľadnia, môže to mať katastrofálne následky.