Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

• не иметь общих точек;
• иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
• иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

• одинаковая кривизна линии в любой из точек;
• относительно точки О;
• зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		пересекаются в одной точке .
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного середина гипотенузы .
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
		,
Площадь треугольника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке .

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы .

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ.

165. Фигуры, вписанныя в круг и описанныe около него. Многоугольник, вершины котораго находятся на окружности, наз. вписанным в круг; на чер. 243-м представлены вписанные треугольник, четыреxугольник и пятиугольник.

Маогоугольник, которoго стороны касаются круга наз. описанным около круга; на чер. 244-м представлены описанные треуг. и четыреxуг.

166. Если требуется вписать в круг какой-нибудь нецравильный многоугольник, напр. семиугольник, то стоит только взягь на окружности 7 произвольных точек А, В, С... (чер. 245) и соедннить их прямыми линиями.

Если бы хотeли описать около круга четырехугольник, то слeдовало бы взять на окружности 4 точки и провести в этих точках касательные; от пересeчения касательных и образуется описан. четырехуг. (чер. 246).

167. Положим теперь, что нужно вписать в круг прав. многоуг., напр. пятиугольник. Для этого нужно раздeлить окружность на 5 равных частей; вся окружн.=360°, слeд. в пятой долe её будет 72°; поэтому построим при центрe круга (чер. 247) по транспортиру уг. 72° и будем хорду АВ откладывать по окружн.; она уложится ровно 5 раз-и тогда образуется 5-к.

Он будет правильный, потому что всe стороны его равны между собою; углы тоже равны, так как каждый из них измeряется половиною трех пятых окружности и слeд. содержит 108°.

Если бы нужно было вписать прав. 9-к, то слeдовало бы раздeлить окружность на 9 равных частей, т.е. построить при центрe уг. в 40°; при 20-кe надо построить уг. в 18°, и т. под.

Положим еще, что надо вписать прав. 7-к;
седьмая часть окружн.= 360 / 7 = 51 3 / 7 =51°25"42 6 / 7 ". На транспортирe не означены не только секупды, но и минуты; поэтому такого угла нельзя отложить точно-мы отложим непремeвно или больше, или меньше его; оттого и послeдняя сторона многоуг. выйдет или меньше или больше остальных сторон.

Гораздо точнeе вписывать прав.многоугольники без помощи транстортира, а посредством только циркуля и линейки; но таким способом можно вписывать только нeкоторые многоуг., напр. квад-рат, 6-к.

168. Чтоб вписать в круг квад-рат, должно раздeлить окружн. на 4 равныя части; а для этого надо (чер. 248) провести два перпевдикулярных диаметра;

если соединить концы их, то получим квадрат, потому что всe стороны его равны между собою, как хорды, стягивающие равные дуги; всe углы прямые, как имeющие вершину на окружности и опирающиеся на концы диаметра.

169. Чтоб вписать в круг прав. шестиугольн., отложим от какой-нибудь точки окружн. (чер. 249) хорду АВ = радиусу; тогда, проведя радиусы АО и ВО, получим равносторонний тр-к АОВ; слeд. уг. АВО=60°, и дуга АВ будет шестая часть окружн.; а потому хорда АВ отложится по окружн. ровно 6 раз.

170. Умeя вписывать прав. 6-к, легко уже вписать и прав. тр-к. Для этого должно раздeлить сперва окружность на 6 равных частей (чер. 250) в точках В, А, С, потом соединить точки А, С и Е; получим правильный тр-к АСЕ, потому что стороны его равны, так как каждой из них соотвeтствует дуга, составляющая 1 / 3 окружности.

171. Слeдующим саособом можно с достаточной точностью вписывать в круг всякий прав. многоуг. Чтобы вписать напр. нрав. 9-к, проводим в кругe (чер. 251) диам. АВ;

строим на АВ равностор. тр-к АВС; дeлим АВ на 9 равных частей; соединяем вершину С тр-ка со второй точкой дeления D и продолжаем прямую СD до пересeчения с окружн. в Е; хорда AЕ отложится по окружности 9 раз.

Если бы нужно было вписать прав. 5-к, то надо бы раздeлкгь диаметр на 5 равных частей (чер. 252); для 7-ка на 7 частей (чер. 253), и т. под.

172. Еcли какой-нибудь прав. многоуг. вписан в круг, то можно удвоить число сторон мн-ка, т.-е. вписать такой прав. мног., который имeл бы вдвое больше сторон.

Пусть напр. АВСDEG (чер. 254) будет прав. 6-к; опустим из центра О перпендикуляры на всe стороны мн-ка; тогда дуги AВ, ВС... раздeлятся пополам; соединив точки дeления с вершинами 6-ка, получим прав. 12-к. Опустив перпенд. на стороны этого 12-ка, впишем прав. 24-к, потом 48-к, и т. д.

Таким образом посредством циркуля и линейки мы можем вписывать в круг правильные 6-ки, 12-ки, 24-ки..., а также квадраты, 8-ки, 16-ки...

173. С увеличением числа сторон вписан. многоуг., самые стороны будут становиться все мельче и мельче, и периметр мн-ка будет болeе и болeе подходить к окруж., так что окружность можно считать за периметр такого прав. мн-ка, который имeет чрезвычайно много сторон.

174. Если в круг вписать прав. многоуг., то легко и описать прав. многоуг. того же числа сторон.

Пусть напр. AВСDЕ (чер. 255) будет прав. 5-к; опустим из центра на стороны мн-ка перпендикуляры и через точки M, N.. проведем касательные; тогда получится прав. описанный 5-к.

Можно также (чер. 256) провести касательные через вершины вписанного многоугольника.

175. Рассмотрим, около каких фигур можно описать круг. Мы уже знаем (§ 143), что через три точки, не лежащие на одной прямой линии, всегда можно провести окружность; слeд. около всякого треугольника можно описать круг .

Возьмем теперь четырехуг. АВСD (чер. 257). Проведем окружн. через три точки А, В, С (мы уже умeем это сдeлать); окружн. эта может пройти также и через точку D, но может и не пройти. Eсли она пройдет через D, то уг. D будет содержать столько градусов, сколько их содержится в 1 / 2 дуги АВС; а так как уг. B измeряется 1 / 2 дуги АDС, дуги же АВС и АDС составляют вмeстe цeлую окружн., то углы D и В составят в суммe 180°; но сумма всeх угл. четыреуг.=360°, cлeд. и А+С==180°.

Итак, круг можно описать только около такого четырехугольника, в котором сумма противолежащих углов=180°. Таким образом, можно описать круг около прямоуголь-ника, а около косоугольного параллелограмма нельзя.

176. Около всякого прав. многоуг. можно описать круг . Пусть АВСDЕF (чер. 258) есть прав. многоуг.; внутри его можно найти такую точку, которая будет находиться в равном расстоянии от всeх его вершин.

Чтобы сдeлать это, раздeлим углы А и В пополам линиями АО и ВО; точка пересeчения этих линий и будет искомая. Докажем, что линии АО, ВО, СО, DO...равны между собою.

Треуг. АВО = ОВС, потому что у них сторона ВО общая, АВ=ВС, как стороны прав. мн-ка, уг. т = уг. п , как половины угла В; сдeд. и линия АО = СО; но АО=ВО, потому что тр-к АВО равнобедр., так как уг. т =уг. р , как половины равных углов; слeд., всe три линии АО, ВО, СО равны между собою. Сравнивая тр-ки ВОС и СОD, найдем, что ВО= СО=ОD...; слeд. если из O радиусом ОА, или ВО, или OC... описать окружн., то она пройдет через вершины всeх углов многоугольника.

177. Eсли около прав. мн-ка (чер. 259) описан круг то стороны АВ, ВС... этого мн-ка будут в кругe хордами;

но равныe хорды находятся в равных раcстояниях от центра; слeд. перпендикуляры ОМ, ОN.., опущенные из центра O на стороны мн-ка, будут равны между собою, и если из O радиу-сом ОМ или ОN.. опишем круг, то он коснется всeх сторон мн-ка в точках М, N... Такой круг назыв. вписанным , а радиус его наз. апофемою мног-ка.

Итак, во всякой прав. многоуг. можно вписать круг .

Таким образом, центром кругов, описанного около мн-ка и вписанного, будет точка пересeчения линий, дeлящих два угла мн-ка пополам; радиусом описан. круга будет линия, соединяющая центр с вершиной одного из углов мн-ка; а радиусом вписан. круга или апофемою - перпендикуляр, опущенный из центра на одну из сто-рон мн-ка. Центр вписанного и описанного кругов наз. также центром правильного мн-ка.

178. Вопросы. 1) Какие мн-ки наз. вписанными в круг? описанными? 2) Вписать в круг какой-нибудь мн-к? описать? 3) Как вписать в круг посредством транспортира какой-нибудь прав. мн-к? 4) Как вписать в круг посредством циркуля и линейки квадрат? прав. 6-к? 5) Если прав. мн-к вписан в круг, то как вписать прав. мн-к, имeющий вдвое больше сторон? 6) Если прав. мн-к вписан в круг, то как описать прав. мн-к того же числа сторон? 7) Что дeлается с периметром прав. вписан. мн-ка при увеличении числа сторон его? 8) Всегда ли можно описать круг около тр-ка? 9) Доказать, что около всякого прав. мн-ка можно описать и вписать в него круг? 10) Можно ли вписать в круг параллелограмм? трапецию? 11) Что дeлается с периметром прав. описан. мн-ка при увеличении числа сторон его?

179. Задачи. 1) Вписать в круг 4-к? 8-к? 10-к? 15-к?

2) Описать около круга 4-к? 7-к? 3-к? 5-к?

3) Вписать в круг посредством трансп. прав. 10-в? 15-к? 20-к?

4) Вписать в круг посредством циркуля и линейки прав. 8-к?

5) Описать около круга посредством трансп. прав. 5-к? 9-к? 10-к?

6) Описать около круга посредством циркуля и линейки прав. 3-к? 6-к? квадрат? 12-к?

7) Около тр-ка описан круг, и центр его находится внутри тр-ка; какого вида этот тр-к? Какого вида был бы тр-к, если бы центр был на сторонe тр-ка? внe тр-ка?

8) Начертить посредством транспортира такой прав. 5-к, 8-к, 10-к, чтобы радиус описанного около него круга = линии т ?

9) Начертить посредством транспортира такой прав. 5-к, чтоб его апофема равнялась данной линии?

10) На данной прямой линии построить с помощью транспортира правильный 5-к? 8-к? 10-к?

11) В кругe проведена хорда; из концов её восставлены перпендикуляры до встрeчи с окружностью; точки встрeчи соединены прямою; какого вида получился четыреугольник?

12) Рад. круга=3,6 дюйм.; чему равен периметр описанного квадр.?

13) Доказать, что сторона вписанного в круг правильного тр-ка находится в расстоянии половины радиуса от центра этого круга?

14) В круг вписан 4-к; вершины его дeлят окружность на части, находящиеся в отношении 4:7:5:11; опредeлить углы 4-ка?

15) В круг вписан прав. тр-к, и сторона его отстоит на 7 1 / 2 дюйм. от центра этого круга; опредeлить радиус круга?

16) Доказать, что внутренний угол всякого прав. мн-ка служит дополнением до 180° тому углу, который получится от соединения двух сосeдних вершин этого мн-ка с его центром?

17) Доказать, что если хорда АВ (чер. 260) = радиусу круга О, а АО есть сторона прав. впис. 10-ка, то, соединив точку В с С, получим сторону прав. впис. 15-ка.

На данной прямой линии а построить помощью циркуля и линейки: 18) прав. тр-к? 19) квадрат? 20) прав. 6-к? 21) прав. 8-к? 22) прав. 12-к?

Посредством циркуля и линейки построить: 23) квадрат по рад. r опиcаннoго круга? 24) квадрат по апофемe а ? 25) прав. 6-к по рад. r опис. круга? 26) прав. 6-к по апофемe а ? 27) прав. 3-к по рад. r опис. круга? 28) прав. 3-к по апофемe а ?

29) В данный ромб вписать круг?

30) Описать круг около прямоугольника?

31) В кругe вписан тр-к; одна сторона его есть диаметр, а двe другие стягивают дуги, которых отношение есть 15: 17; опредeлить углы тр-ка?

Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая – описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг выпуклой кривой, а кривая – вписанной в многоугольник, если каждая его сторона касается кривой. Если же кривая касается всех прямых, на которых лежат стороны многоугольника, причем некоторых из них она касается в точках, не принадлежащих сторонам, то она называется вневписанной. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Так, например, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных (рис. 2).

Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную или описанную окружность. Описанная вокруг четырехугольника окружность существует лишь в том случае, если сумма его противоположных углов равна 180°. А для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы каждая сумма длин одной пары противоположных сторон была равна сумме длин второй пары сторон.

Вписанная и описанная окружности существуют у любого правильного многоугольника (рис. 3). Этот факт использовался еще в древности для нахождения отношения длины окружности к ее радиусу.

Нетрудно обнаружить тот факт, что если на плоскости задана замкнутая кривая и равносторонний треугольник, то вокруг всегда можно описать равносторонний треугольник со сторонами, параллельными сторонам данного (рис. 4). Менее очевидным является утверждение о том, что вокруг любой замкнутой кривой можно описать квадрат.

Вписанные и описанные фигуры рассматриваются и в пространстве.

В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо выпуклой линии – выпуклая поверхность, чаще всего сфера.

Сфера называется описанной около многогранника, а многогранник – вписанным в сферу, если все вершины многогранника лежат на сфере. Сфера называется вписанной в многогранник, а многогранник описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.

У правильных многогранников существуют описанные и вписанные сферы, поскольку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра (рис. 5). Для того чтобы у других многогранников существовали описанная и вписанная сферы, требуются определенные условия. Например, около прямой призмы или пирамиды можно описать сферу, если можно описать окружность около ее основания (рис. 6).

Иногда рассматривают конус, вписанный в сферу; сферу, вписанную в конус, цилиндр и т.п. (рис. 7).

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в І в. до н. э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.