nasaan ang kabuuan ng first-order diagonal minors ng matrix A

– kabuuan ng mga diagonal na menor de edad ng pangalawang order ng matrix A

– ang kabuuan ng mga diagonal na menor de edad ng ikatlong order ng matrix A

Hayaana= - ,b= , pagkatapos ay ang ika-3 order na XY ay may anyo:

Kundisyon:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Dalawang katangian na equation ng Rössler.

Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga differential equation, mayroong 2 singular na puntos na P10(0,0,0) at P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), kung gagawin mo ang lahat ng operasyon sa paghahanap ng Jacobian at ang mga kabuuan ng mga elemento ng dayagonal, pagkatapos ay 2 equation ang makukuha Resslera:

3.3 Kondisyon para sa pagtukoy ng uri ng eigenvalues ​​ng isang third-order na katangian na equation.

Kundisyon:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – dalawa (tatlong) maramihang substance. ugat

Ф(a,b,c)>0 – dalawang kumplikadong conjugate na ugat

Mga ugat ng katangian na equation na may mga parameter: 0.38; 0.30; 4.82 (hindi matatag na focus saddle).

Ang mga integral na kurba ay dapat na binuo na may kaugnayan sa bawat isahang punto.

Lahat ng "kondisyon" ay isinasaalang-alang + kundisyon (s-av)>0at (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Kung isasaalang-alang natin ang mga equation na may mga parameter na 0.38..., pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang kawili-wiling tilapon, ang tilapon ay tinataboy mula sa Po1(0,0,0) kasama ang R2 (x1,x2) sa phase space R3, at naaakit kasama ang isang one-dimensional curve, na bumubuo ng isang nakapirming punto ng uri ng saddle -focus. Ang kumakatawan na punto ay umaalis sa rehiyon ng hindi matatag na punto ng ekwilibriyo ng uri ng Po1 sa eroplano ng mga variable (x1,x3), at pagkatapos ay babalik muli sa puntong ito.

Homoclinic trajectory sa phase space ng system.

Ginagawang posible ng phase portrait na ilarawan ang isang qualitative na katangian ng buong hanay ng mga libreng paggalaw (mga proseso) para sa isang napiling rehiyon ng NU root space.

kung ang trajectory ay umalis sa pinanggalingan ng mga coordinate, kung gayon, na gumawa ng isang buong rebolusyon sa paligid ng isa sa mga matatag na punto, ito ay babalik sa paunang punto - dalawang homoclinic loop ang lumitaw (Ang konsepto ng isang homoclinic trajectory ay nangangahulugan na ito ay umalis at dumating sa ang parehong posisyon ng balanse).

Homoclinic trajectory– hindi mangyayari kung ang mga parameter ay hindi nakakatugon sa ilang mahigpit na hadlang.

Structural instability ng isang homoclinic trajectory.

Sa malalaking halaga ng parameter, ang tilapon ay sumasailalim sa mga makabuluhang pagbabago. Ipinakita ni Shilnikov at Kaplan na sa napakalaking r ang sistema ay napupunta sa self-oscillation mode, at kung ang parameter ay nabawasan, ang isang paglipat sa kaguluhan ay masusunod sa pamamagitan ng isang sequence ng pagdodoble ng oscillation period.

Homoclinic trajectories- hindi matatag sa istruktura.

Kakaibang attractor

Kakaibang attractor: ang hindi matatag na posisyon ng ekwilibriyo ang pangunahing katangian ng magulong pag-uugali. Ang mga tilapon ay napaka-sensitibo sa mga pagbabago sa mga paunang kondisyon - ang kalidad na ito ay likas sa mga kakaibang pang-akit.

Ang kakaibang pang-akit ay isang pang-akit na may dalawang makabuluhang pagkakaiba mula sa isang regular na pang-akit: ang trajectory ng naturang pang-akit ay hindi pana-panahon (hindi ito nagsasara) at ang operating mode ay hindi matatag (maliit na mga paglihis mula sa pagtaas ng mode). Ang pangunahing criterion para sa magulong katangian ng isang attractor ay ang exponential na pagtaas sa oras ng maliliit na kaguluhan. Ang kinahinatnan nito ay "paghahalo" sa system, hindi periodicity sa oras ng alinman sa mga coordinate ng system, isang tuloy-tuloy na power spectrum at isang autocorrelation function na bumababa sa oras.

Ang dinamika sa mga kakaibang pang-akit ay kadalasang magulo: ang paghula sa isang tilapon na nahuhulog sa isang pang-akit ay mahirap, dahil ang isang maliit na kamalian sa paunang data ay maaaring humantong sa isang matinding pagkakaiba sa pagitan ng hula at ng aktwal na tilapon. Ang unpredictability ng trajectory sa deterministic dynamic system ay tinatawag na dynamic chaos, na nagpapakilala nito sa stochastic chaos na lumilitaw sa stochastic dynamic system. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay tinatawag ding butterfly effect, na nagpapahiwatig ng posibilidad na baguhin ang mahihinang magulong mga agos ng hangin na dulot ng pag-flap ng mga pakpak ng butterfly sa isang punto sa planeta tungo sa isang malakas na buhawi sa kabilang panig dahil sa maraming pagtindi ng mga ito sa atmospera sa loob ng isang panahon.

Posible bang magkaroon ng parehong stochastic at regular na pag-uugali sa parehong oras? O palagi ba itong regular o stochastic?

Parehong regular at magulong pag-uugali ng mga dynamic na dissipative system na may maraming mga variable (n>2) ay posible, hindi lamang hiwalay (alinman o), ngunit din nang sabay-sabay.

Hindi masasabi na ang sistema ay napupunta sa kaguluhan pagkatapos ng unang bifurcation (dahil napunta ito sa isang lugar at dumating sa isa pa)

Bakit ikatlong order? Posible bang lumitaw ang mga kakaibang pang-akit sa mga second-order system? At sa mga system na mas mataas kaysa sa ikatlong order?

Ang mas tumpak na mga kondisyon sa matematika para sa paglitaw ng kaguluhan ay ganito ang hitsura:

Ang system ay dapat na may mga nonlinear na katangian, maging globally stable, ngunit may hindi bababa sa isang hindi matatag na equilibrium point ng isang oscillatory type, at ang dimensyon ng system ay dapat na hindi bababa sa 1.5 (ibig sabihin, ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay hindi bababa sa 3).

Ang mga linear system ay hindi kailanman magulo. Para maging magulo ang isang dinamikong sistema, dapat itong maging nonlinear. Ayon sa Poincaré-Bendixson theorem, ang tuluy-tuloy na dynamic na sistema sa isang eroplano ay hindi maaaring maging magulo. Sa mga tuluy-tuloy na sistema, tanging mga non-flat spatial system lang ang may magulong pag-uugali (kinakailangan ang pagkakaroon ng hindi bababa sa tatlong dimensyon o non-Euclidean geometry). Gayunpaman, ang isang discrete dynamic system sa ilang yugto ay maaaring magpakita ng magulong pag-uugali kahit na sa isa o dalawang-dimensional na espasyo.

Lecture 3. Integrable at non-integrable system. Mga sistemang konserbatibo

Pinagsamang mga sistema

1. Pagbabawas sa malayang (hindi nababagabag) na paggalaw ng mga system. Ano ang mangyayari kung may irreducibility?

Para sa mga integrable system, maaari nating alisin ang mga pakikipag-ugnayan at bawasan ang problema sa problema ng malayang paggalaw. Para sa libreng paggalaw, hindi mahirap maghanap ng mga expression para sa mga coordinate at velocities sa anyo ng mga tahasang pag-andar ng oras. Para sa mga di-integrable na sistema, kinakailangan na iwanan ang paglalarawan sa mga tuntunin ng mga trajectory at pumunta sa isang probabilistikong paglalarawan (na may irreducibility).

Posible bang ilarawan ang isang di-integrable na sistema sa mga tuntunin ng mga trajectory?

walang imposible. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pangunahing probabilistikong paglalarawan, hindi mababawasan sa isang paglalarawan sa mga tuntunin ng mga indibidwal na tilapon.

Maaari bang magkaroon ng stochastic dynamics ang isang sistema na tinukoy ng isang deterministic equation?

D. s. laban sa probabilistikong sistema, ang mga output na random lamang, at hindi bukod-tanging nakadepende sa input.

Kamusta kayong lahat!

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga kamangha-manghang tampok sa mundo ng kaguluhan. Susubukan kong pag-usapan kung paano pigilan ang kakaiba at kumplikadong bagay bilang isang magulong proseso at matutunan kung paano lumikha ng iyong sariling mga simpleng generator ng kaguluhan. Kasama mo, pupunta kami mula sa tuyong teorya hanggang sa magandang visualization ng mga magulong proseso sa kalawakan. Sa partikular, gamit ang halimbawa ng mga kilalang magulong pang-akit, ipapakita ko kung paano lumikha ng mga dynamic na sistema at gamitin ang mga ito sa mga problemang nauugnay sa mga programmable logic integrated circuits (FPGAs).

Panimula

Teorya ng kaguluhan ay isang hindi pangkaraniwang at batang agham na naglalarawan sa pag-uugali ng mga nonlinear na dynamic na sistema. Sa proseso ng pagsisimula nito, ang teorya ng kaguluhan ay binaligtad lamang ang modernong agham! Pinasigla niya ang isipan ng mga siyentipiko at pinilit silang isawsaw ang kanilang sarili nang higit pa at higit pa sa pag-aaral ng kaguluhan at mga katangian nito. Hindi tulad ng ingay, na isang random na proseso, ang kaguluhan ay deterministic. Iyon ay, para sa kaguluhan mayroong isang batas ng pagbabago sa mga dami na kasama sa mga equation para sa paglalarawan ng magulong proseso. Mukhang sa kahulugan na ito, ang kaguluhan ay hindi naiiba sa anumang iba pang mga oscillations na inilarawan bilang isang function. Ngunit hindi iyon totoo. Ang mga magulong sistema ay napakasensitibo sa mga paunang kondisyon, at ang pinakamaliit na pagbabago sa mga ito ay maaaring humantong sa napakalaking pagkakaiba. Ang mga pagkakaibang ito ay maaaring napakalakas na imposibleng sabihin kung ang isa o higit pang mga sistema ay pinag-aralan. Mula sa mga sikat na pinagmumulan ng agham, ang pag-aari na ito ng kaguluhan ay pinakamahusay na inilarawan sa pamamagitan ng isang proseso na tinatawag na " Epekto ng paru-paro"Maraming tao ang nakarinig tungkol dito, at kahit na nagbasa ng mga libro at nanood ng mga pelikula na ginamit ang pamamaraan gamit ang butterfly effect. Sa esensya, ang butterfly effect ay sumasalamin sa pangunahing pag-aari ng kaguluhan.

Ang Amerikanong siyentipiko na si Edward Lorenz, isa sa mga pioneer sa larangan ng kaguluhan, ay minsang nagsabi:

Ang isang butterfly na nagpapapakpak sa Iowa ay maaaring magdulot ng avalanche ng mga epekto na maaaring magtapos sa tag-ulan sa Indonesia.

Kaya, sumisid tayo sa teorya ng kaguluhan at tingnan kung ano ang improvised na paraan ay maaaring makabuo ng kaguluhan.

Teorya

Bago ipakita ang pangunahing materyal, nais kong magbigay ng ilang mga kahulugan na makakatulong upang maunawaan at linawin ang ilang mga punto sa artikulo.

Dynamic na sistema– ito ay isang tiyak na hanay ng mga elemento kung saan ang isang functional na relasyon ay tinukoy sa pagitan ng time coordinate at ang posisyon sa phase space ng bawat elemento ng system. Sa madaling salita, ang isang dinamikong sistema ay isang sistema na ang estado sa espasyo ay nagbabago sa paglipas ng panahon.
Maraming mga pisikal na proseso sa kalikasan ang inilalarawan ng mga sistema ng mga equation, na mga dynamic na sistema. Halimbawa, ito ay mga proseso ng pagkasunog, daloy ng mga likido at gas, pag-uugali ng mga magnetic field at electrical oscillations, mga reaksiyong kemikal, meteorological phenomena, mga pagbabago sa populasyon ng mga halaman at hayop, kaguluhan sa mga alon ng dagat, ang paggalaw ng mga planeta at maging ang mga kalawakan. Tulad ng nakikita mo, maraming mga pisikal na phenomena ang maaaring ilarawan sa isang antas o iba pa bilang isang magulong proseso.

Larawan ng yugto ay isang coordinate plane kung saan ang bawat punto ay tumutugma sa estado ng isang dinamikong sistema sa isang tiyak na punto ng oras. Sa madaling salita, isa itong spatial na modelo ng system (maaaring two-dimensional, three-dimensional at kahit four-dimensional o higit pa).

Attractor– isang tiyak na set ng phase space ng isang dynamical system, kung saan ang lahat ng trajectory ay naaakit sa set na ito sa paglipas ng panahon. Sa napakasimpleng mga termino, ito ay isang tiyak na lugar kung saan ang pag-uugali ng system sa espasyo ay puro. Maraming mga magulong proseso ang nakakaakit, dahil sila ay puro sa isang tiyak na lugar ng espasyo.

Pagpapatupad

Sa artikulong ito nais kong pag-usapan ang tungkol sa apat na pangunahing pang-akit - Lorentz, Ressler, Rikitake at Nose-Hoover. Bilang karagdagan sa teoretikal na paglalarawan, ang artikulo ay sumasalamin sa mga aspeto ng paglikha ng mga dinamikong sistema sa kapaligiran MATLAB Simulink at ang kanilang karagdagang pagsasama sa FPGA ng kumpanya Xilinx gamit ang tool Tagabuo ng System. Bakit hindi VHDL/Verilog? Posibleng mag-synthesize ng mga pang-akit gamit ang mga RTL na wika, ngunit para sa mas mahusay na visualization ng lahat ng mga proseso, ang MATLAB ay ang perpektong opsyon. Hindi ko hawakan ang mga kumplikadong isyu na nauugnay sa pagkalkula ng spectrum ng mga exponents ng Lyapunov o pagbuo ng mga seksyon ng Poincaré. At higit pa rito, walang magiging masalimuot na mga pormula at konklusyon sa matematika. Kaya simulan na natin.

Upang lumikha ng mga generator ng kaguluhan kailangan namin ang sumusunod na software:

• MATLAB R2014 na may lisensya para sa Simulink at DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 na may lisensya ng System-Generator (DSP Edition).

Ang mga program na ito ay medyo mabigat, kaya maging matiyaga kapag ini-install ang mga ito. Mas mainam na simulan ang pag-install gamit ang MATLAB, at pagkatapos lamang i-install ang Xilinx software (na may ibang pagkakasunud-sunod, ang ilan sa aking mga kaibigan ay hindi nagawang isama ang isang application sa isa pa). Kapag ini-install ang huli, may lalabas na window kung saan maaari mong i-link ang Simulink at System Generator. Walang kumplikado o hindi karaniwan sa pag-install, kaya aalisin namin ang prosesong ito.

Lorentz attractor

Lorentz attractor ay marahil ang pinakasikat na dynamical system sa chaos theory. Sa loob ng ilang dekada ngayon, nakakuha ito ng malaking atensyon mula sa maraming mga mananaliksik upang ilarawan ang ilang mga pisikal na proseso. Ang attractor ay unang nabanggit noong 1963 sa mga gawa ni E. Lorenz, na kasangkot sa pagmomodelo ng mga phenomena sa atmospera. Ang Lorentz attractor ay isang three-dimensional na dynamic na sistema ng first-order nonlinear autonomous differential equation. Ito ay may isang kumplikadong topological na istraktura, ay asymptotically stable at Lyapunov stable. Ang Lorentz attractor ay inilalarawan ng sumusunod na sistema ng differential equation:

Sa formula, ang isang tuldok sa ibabaw ng isang parameter ay nangangahulugan ng pagkuha ng isang derivative, na sumasalamin sa rate ng pagbabago ng isang dami na may kinalaman sa parameter (ang pisikal na kahulugan ng derivative).

Sa mga halaga ng parameter σ = 10, r= 28 at b= 8/3 ang simpleng dynamical system na ito ay nakuha ni E. Lorentz. Sa mahabang panahon ay hindi niya maintindihan kung ano ang nangyayari sa kanyang computer, hanggang sa sa wakas ay napagtanto niya na ang sistema ay nagpapakita ng magulong katangian! Nakuha ito sa panahon ng mga eksperimento para sa problema ng pagmomodelo ng fluid convection. Bilang karagdagan, inilalarawan ng dinamikong sistemang ito ang pag-uugali ng mga sumusunod na pisikal na proseso:

• – modelo ng isang single-mode na laser,
• – convection sa isang closed loop at isang flat layer,
• - pag-ikot ng gulong ng tubig,
• – harmonic oscillator na may inertial nonlinearity,
• – kaguluhan ng mga ulap, atbp.

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng Lorentz attractor system sa MATLAB:

Ang figure ay gumagamit ng isang bilang ng mga sumusunod na simbolo:

• mga pagbabawas: SUB0-3;
• multiplier sa pamamagitan ng pare-pareho: SIGMA, B, R;
• mga multiplier: MULT0-1;
• mga integrator na may isang cell para sa pagtukoy ng paunang kondisyon: INTEGRATOR X,Y,Z;
• Mga OUT port: DATA X,Y,Z para sa mga senyales XSIG, YSIG, ZSIG;

Bilang karagdagan, ang diagram ay nagpapakita ng mga pantulong na tool sa pagsusuri, ito ay:

• pag-save ng mga resulta ng pagkalkula sa isang file: Sa Workspace X,Y,Z;
• pagbuo ng mga spatial graph: Graph XY, YZ, XZ;
• pagbuo ng mga time graph: Saklaw ng XYZ;
• mga tool para sa pagtatantya ng okupado na mga mapagkukunan ng kristal at pagbuo ng HDL code mula sa modelo " Resource Estimator"At" Tagabuo ng System».

Sa loob ng bawat node ng mathematical operations, kinakailangan upang ipahiwatig ang bit depth ng intermediate data at ang kanilang uri. Sa kasamaang palad, hindi ganoon kadaling magtrabaho kasama ang floating point sa mga FPGA at sa karamihan ng mga kaso ang lahat ng mga operasyon ay ginagawa sa isang fixed-point na format. Ang pagtatakda ng mga parameter nang hindi tama ay maaaring humantong sa mga maling resulta at maging sanhi ng pagkabigo kapag binubuo ang iyong mga system. Nag-eksperimento ako sa iba't ibang dami, ngunit nanirahan sa sumusunod na uri ng data: isang 32-bit na vector ng mga naka-sign na numero sa fixed-point na format. 12 bits ang inilalaan para sa integer na bahagi, 20 bits para sa fractional na bahagi.

Sa pamamagitan ng pagtatakda ng paunang halaga ng system sa mga integrator X, Y, Z sa trigger block, halimbawa, {10, 0, 0} , pinatakbo ko ang model. Ang sumusunod na tatlong senyales ay maaaring maobserbahan sa time base:


Kahit na ang simulation time ay napunta sa infinity, ang pagpapatupad sa oras ay hindi na mauulit. Ang mga magulong proseso ay hindi pana-panahon.

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ganito ang hitsura ng Lorentz attractor:

Ito ay makikita na ang attractor ay may dalawang punto ng atraksyon sa paligid kung saan ang buong proseso ay nangyayari. Sa kaunting pagbabago sa mga paunang kundisyon, ang proseso ay makokonsentra rin sa mga puntong ito, ngunit ang mga trajectory nito ay makabuluhang mag-iiba mula sa nakaraang bersyon.

Pang-akit ng Rössler

Ang pangalawang pang-akit sa mga tuntunin ng bilang ng mga pagbanggit sa mga siyentipikong artikulo at publikasyon. Para sa Pang-akit ng Rössler nailalarawan sa pagkakaroon ng isang hangganan na punto para sa pagpapakita ng magulo o pana-panahong mga katangian. Sa ilalim ng ilang mga parameter ng isang dynamic na sistema, ang mga oscillation ay hindi na maging pana-panahon at magulong mga oscillations. Ang isa sa mga kahanga-hangang katangian ng Rössler attractor ay ang fractal na istraktura sa phase plane, iyon ay, ang phenomenon ng self-similarity. Mapapansin na ang iba pang mga pang-akit, bilang panuntunan, ay may ari-arian na ito.

Ang Rössler attractor ay sinusunod sa maraming mga sistema. Halimbawa, ito ay ginagamit upang ilarawan ang mga daloy ng likido at gayundin upang ilarawan ang pag-uugali ng iba't ibang mga reaksiyong kemikal at mga proseso ng molekular. Ang sistema ng Rössler ay inilalarawan ng mga sumusunod na differential equation:

Sa kapaligiran ng MATLAB, ang pang-akit ay itinayo bilang mga sumusunod:

Temporal na pagsasakatuparan ng mga spatial na dami:

Three-dimensional na modelo ng Rössler attractor:

Bang! Ang mga halaga ay bahagyang nagbago:

Attractor na may bahagyang nabagong mga paunang kondisyon (iba ang mga trajectory!)

Attractor na may iba't ibang coefficient sa sistema ng mga equation (ang magulong proseso ay naging pana-panahon!)

Ihambing ang mga larawan ng mga three-dimensional na pang-akit para sa iba't ibang mga paunang kondisyon at koepisyent sa sistema ng mga equation. Nakikita mo ba kung paano nagbago ang mga trajectory ng paggalaw sa unang kaso? Ngunit sa isang paraan o iba pa ay puro sila malapit sa isang lugar ng atraksyon. Sa pangalawang kaso, ang attractor ay tumigil sa pagpapakita ng mga senyales ng kaguluhan sa kabuuan, na nagiging isang closed periodic loop (limit cycle).

Attractor na si Rikitake

Dynamo Rikitake– isa sa mga kilalang third-order dynamic system na may magulong pag-uugali. Ito ay isang modelo ng double-disk dynamo at unang iminungkahi sa mga problema ng magulong pagbabaligtad ng geomagnetic field ng Earth. Ang siyentipiko na si Rikitake ay nag-imbestiga ng isang dynamo system na may dalawang magkakaugnay na mga disk na itinayo sa paraang ang kasalukuyang mula sa isang likid ng disk ay dumaloy sa isa at nasasabik ang pangalawang disk, at kabaliktaran. Sa isang tiyak na punto, nagsimulang mag-malfunction ang system at magpakita ng mga hindi inaasahang bagay. Ang mga aktibong pag-aaral ng attractor ay naging posible na i-project ang Rikitake dynamo sa isang modelo ng koneksyon ng malalaking vortices ng magnetic field sa core ng Earth.

Ang dynamo ni Rikitake ay inilalarawan ng sumusunod na sistema ng mga equation:

Rikitake dynamo model sa MATLAB:

Pansamantalang pagpapatupad:

Attractor (unang bersyon):

Dynamo (pangalawang bersyon)

Maaari mong mapansin na ang Rikitake dynamo ay medyo katulad ng Lorentz attractor, ngunit ito ay ganap na magkakaibang mga sistema at naglalarawan ng iba't ibang mga pisikal na proseso!

Nose-Hoover attractor

Ang isang hindi gaanong sikat ngunit hindi gaanong mahalaga na tatlong-dimensional na dynamic na sistema ay Nose-Hoover thermostat. Ginamit sa teorya ng molekular bilang isang termostatic system na nababaligtad sa oras. Sa kasamaang-palad, wala akong gaanong alam tungkol sa pang-akit na ito gaya ng sa iba, ngunit nakita kong kawili-wili ito at isinama ito sa pagsusuri.

Ang Nose-Hoover thermostat ay inilalarawan ng sumusunod na sistema ng mga equation:

Modelo ng Nose-Hoover sa MATLAB:

Pansamantalang pagpapatupad:

1

Ang artikulo ay nakatuon sa paggamit ng paraan ng analytical na disenyo ng pinagsama-samang mga controllers para sa pagbuo ng mga batas ng kontrol para sa mga tipikal na nonlinear dynamic na sistema na may magulong dinamika, na nagsisiguro ng stabilization ng mga estado ng balanse sa mga naturang sistema. Ang artikulo ay nagpapakita ng isang solusyon sa isa sa mga katangian ng mga problema ng antichaotic control, lalo na ang problema ng pagsugpo sa aperiodic oscillations sa naturang mga sistema. Ang mga synergetic na batas sa pagkontrol para sa magulong Lorentz at Ressler na mga modelo ay binuo, na nagsisiguro ng stabilization ng mga phase variable sa mga modelong ito. Ang pagpapakilala ng synthesized feedback ay humahantong sa paglitaw ng isang estado ng equilibrium sa mga system. Ang pagmomodelo ng computer ng mga synthesized closed dynamic na sistema ay isinagawa, na nagpapatunay sa teoretikal na mga probisyon ng synergetic control theory. Ang mga synthesized control law ay maaaring gamitin sa iba't ibang teknikal na aplikasyon upang mapabuti ang kahusayan ng kanilang paggana.

Modelo ni Lorentz

Resler model

dinamikong sistema

kontrol

synergetics

Feedback

self-oscillations

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Mga lektura sa nonlinear dynamics // Balita ng mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Inilapat ang nonlinear dynamics. – 2010. – T. 18. – Bilang 3. – P. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Applied synergetics: mga batayan ng system synthesis. – Taganrog: Publishing House TTI SFU, 2007. – 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Synergetic na teorya ng pamamahala. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 p.

4. Malinetsky G.G. kaguluhan. Mga istruktura. Computational experiment: Panimula sa nonlinear dynamics. – M.: Editoryal URSS, 2002. – 255 p.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Stochastic at magulong oscillations. – M.: Nauka, 1987. – 424 p.

6. Modernong inilapat na teorya ng pamamahala. Part II: Synergetic approach to control theory / ed. ed. A.A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: TRTU Publishing House, 2000. – 558 p.

7. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. – 1963. – Hindi. 20. – P. 130–133.

8. Rossler O.E. Isang equation para sa tuluy-tuloy na kaguluhan // Phys. Sinabi ni Lett. A. – 1976. – Vol. 57A, Blg. 5. – P. 397–398.

Ngayon, ang paggamit ng terminong "kaguluhan" sa siyentipikong pananaliksik ay nauugnay sa pangangailangan na ilarawan ang mga sistema na nailalarawan sa pamamagitan ng ganap na random, sa unang sulyap, dinamika at sa parehong oras ang pagkakaroon ng isang nakatagong pagkakasunud-sunod sa kanila.

Ang medyo kagyat na pang-agham na problema ng pagkontrol sa magulong dinamika ay hindi pa nalutas sa kasalukuyang panahon. Sa malaking bilang ng magagamit na mga aspeto ng solusyon nito, ang pag-aaral ng iba't ibang mga pamamaraan at batas na pumipigil sa mga hindi regular na oscillations sa mga nonlinear system, na nailalarawan sa pagkakaroon ng magulong dinamika, ay maaaring makilala bilang lubhang mahalaga.

Ang problema ng pagkontrol sa mga nonlinear system na may magulong dinamika ay may malaking praktikal na kahalagahan. Kapansin-pansin na ang punto dito ay hindi lamang sa paglaban sa kaguluhan, na kadalasang nakakagambala sa kalidad ng paggana ng mga kumplikadong sistema, kundi pati na rin sa ideya ng paglitaw ng tinatawag na "order mula sa kaguluhan", na kung saan ay angkop para sa isang bilang ng mga teknolohikal na proseso.

Ang problema ng pagsugpo sa mga hindi regular na oscillations ay isa sa mga pinaka-katangiang problema ng pagkontrol sa mga modelo na may magulong dinamika at binubuo ng pagbuo ng mga aksyon na kontrol sa paraang matiyak ang pagpapapanatag ng isang unang magulong modelo sa isang matatag na nakatigil na estado. Sa mga sumusunod, ipinapalagay na posibleng maimpluwensyahan ang dynamics ng modelo sa tulong ng ilang panlabas na pagkilos na kontrol, na kung saan ay additively kasama sa kanang bahagi ng isa sa mga differential equation nito.

Layunin ng pag-aaral. Sa gawaing ito, nalutas namin ang problema sa pagbuo ng mga batas sa kontrol ng scalar na nagsisiguro sa pagsugpo sa mga magulong oscillations sa mga tipikal na magulong sistema ng Lorenz at Rössler, kung saan ang mga hindi regular na oscillations ng orihinal na mga modelo ay nagpapatatag sa isang estado ng equilibrium na matatag. Ang mga problema ng isang katulad na uri ay lumitaw kapag kinakailangan upang maalis ang mga hindi gustong panginginig ng boses ng mga istruktura, iba't ibang mga ingay, atbp. .

Mga materyales at pamamaraan ng pananaliksik

Ang isa sa mga pamamaraan para sa epektibong paglutas ng kumplikadong problema ng kontrol ng kaguluhan at pag-synthesize ng mga layunin na batas para sa pagkontrol ng mga nonlinear system na may magulong dinamika ay ang paraan ng analytical na disenyo ng mga pinagsama-samang controllers (ACAR), na iminungkahi ni Propesor A.A. Kolesnikov.

Ang pagtatayo ng mga scalar controllers sa pamamagitan ng paraan ng analytical na disenyo ng pinagsama-samang controllers ay batay sa pagpapakilala ng isang sequence ng invariant manifolds ng pagbaba ng geometric na dimensyon at kasunod na sunud-sunod na dynamic na decomposition ng orihinal na dynamic na sistema. Sa kasong ito, ang kumakatawan na punto (IT) ng system, na nagsisimulang lumipat mula sa isang di-makatwirang paunang estado, ay sunud-sunod na gumagalaw mula sa isang ibabaw ng atraksyon patungo sa isa pa hanggang sa maabot nito ang pagtatapos na ibabaw ng anyong ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. Ang mga " Panloob" na manifold ay topologically naka-embed sa "panlabas" na mga. Kaya, ang isang panloob na proseso ng self-government ay lumitaw sa synthesized system. Bilang isang resulta, ang isang kaskad na pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga panloob na kontrol ay nangyayari, na nag-compress sa dami ng phase ng system sa direksyon mula sa panlabas na rehiyon ng puwang ng phase hanggang sa hanay ng mga panloob na rehiyon na nakapugad sa bawat isa hanggang sa maabot ng IT ang nais na estado ng sistema.

Ipagpalagay natin na sa puwang ng estado ng isang saradong sistema ay mayroong nakakaakit na invariant manifold ng anyo ψ(x) = 0, na siyang asymptotic na limitasyon ng mga phase trajectories. Sa pangkalahatan, maaaring mayroong ilang mga uri. Bilang isang patakaran, ang bilang ng mga invariant manifold ay tumutugma sa bilang ng mga control channel. Pagkatapos ay ang kumakatawan sa punto ng system ay nagsisimula sa may posibilidad sa intersection ng invariant manifolds. Ang isang kinakailangang kundisyon para ang kumakatawan na punto ng closed system na "object-controller" ay mahulog sa invariant manifold ψ(x) = 0 ay ang paggalaw nito ay nakakatugon sa ilang stable differential equation na nakasulat na may kinalaman sa pinagsama-samang macrovariable ψ(x). Ang nasabing equation sa synergetic control theory ay tinatawag na functional o evolutionary. Karaniwan, ang isang sistema ng mga functional equation ay tinukoy bilang isang sistema ng first-order na ordinary differential equation ng form

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Narito ang m ay ang bilang ng mga ibinigay na invariant manifold; Ang Ts ay ang control parameter, ang φ s (ψ s) ay isang function na dapat matugunan ang sumusunod na hanay ng mga kundisyon:

1) φ s (ψ s) ay dapat na tuloy-tuloy, natatangi at naiba para sa lahat ng ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 para sa alinmang 0,

mga. naglalaho lamang ang mga ito sa mga manifold φ s = 0, kung saan ang sistema ng ibinigay na functional equation ay asymptotically stable sa kabuuan.

Bilang isang patakaran, ang pamamaraan ng ACAR ay gumagamit ng mga functional equation:

mga. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Ang mga equation ng ganitong uri, tulad ng makikita, ay nailalarawan sa pamamagitan ng asymptotic stability na may kinalaman sa manifold ψ s = 0 sa ilalim ng kondisyong Ts > 0.

Sa sitwasyong ito, ang problema sa pag-synthesize ng mga batas ng pag-stabilize ng kontrol ng mga magulong modelo sa pangkalahatang kaso ay nabuo bilang mga sumusunod. Kinakailangang hanapin ang function na uS(x) bilang isang tiyak na hanay ng mga feedback na nagsisiguro sa paglipat ng kumakatawang punto ng orihinal na magulong modelo mula sa di-makatwirang paunang kondisyon sa ilang tinatanggap na rehiyon patungo sa isang partikular na estado (set ng mga estado), na tumutugma sa isang stable mode. Sa pinakasimpleng kaso, ang control ay pumapasok lamang sa isang differential equation ng orihinal na sistema. Maaaring may mga opsyon kapag ang parehong kontrol na aksyon ay matatagpuan sa iba't ibang linya ng source system.

Ang isang natatanging aspeto ng pagbabalangkas ng problema ng synergetic synthesis ng mga batas ng kontrol ay ang pagkakaroon ng isang karagdagang kinakailangan para sa paggalaw ng system mula sa paunang estado hanggang sa pangwakas na estado, na binubuo sa asymptotic attraction ng mga phase trajectories ng system. sa isang tiyak na invariant manifold (intersection of manifolds) sa state space (SS) ng system.

Ang pagpapakilala ng pag-stabilize ng feedback sa mga equation ng orihinal na modelo ay humahantong sa isang naka-target na pagbabago sa topology ng state space nito. Bilang resulta ng naturang restructuring, nawawala ang magulong attractor at nabuo ang isang regular na "point" type attractor, na tumutugma sa nais na equilibrium mode of behavior.

Mga resulta ng pananaliksik at talakayan

Isaalang-alang natin ang mga yugto ng ipinatupad na pamamaraan para sa pag-synthesize ng stabilizing control law gamit ang AKAR method para sa isang magulong Lorentz system.

Ang modelong Lorentz ay orihinal na hinango mula sa Navier–Stokes at mga thermal conductivity equation upang siyasatin ang posibilidad ng paghula ng mga kondisyon ng panahon kapag nag-iiba ang mga parameter ng kontrol. Inilalarawan ng modelo ang paggalaw ng mga convective roll sa isang likido na may gradient ng temperatura.

Kinakatawan ng modelo ang sumusunod na sistema ng tatlong ordinaryong differential equation:

kung saan ang σ ay ang numero ng Prandtl; ρ - normalized na numero ng Rayleigh; ang parameter b ay nakasalalay sa magkaparehong distansya sa pagitan ng mga eroplano at ng pahalang na panahon.

kanin. 1. Magulong pang-akit ng sistemang Lorentz

Sa sistemang ito, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, nabubuo ang magulong mga oscillation. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 1 ang phase trajectory ng system para sa mga value ng parameter σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 sa deterministic chaos mode. Ang Stochastic self-oscillations ay pinag-aralan sa unang pagkakataon sa dinamikong sistemang ito. Ang magulong pang-akit ng system (1) ay pangunahing naiiba sa magulong pang-akit ng karamihan sa mga modelo ng nonlinear dynamics. Ang istraktura nito ay ganap na tumutugma sa isang kakaibang pang-akit at nailalarawan sa pagkakaroon ng isang uri ng paggalaw lamang.

Ipagpalagay natin na ang control action u1 ay kasama sa unang equation ng system (1) sa anyo ng panloob na feedback:

Ipakilala natin ang isang invariant variety ng form

kung saan ang μ ay ilang control parameter.

Kung pag-iiba natin ang function na ψ1 (3) kaugnay ng oras at papalitan ang derivative nito sa functional equation

nakukuha namin ang ninanais na batas ng kontrol:

Tinitiyak ng batas ng kontrol (5) ang paglipat ng kumakatawang punto ng system (2), na isinara ng feedback (5), sa invariant manifold ψ1 = 0.

Ang dynamics ng paggalaw ng kumakatawan na punto ng modelo kasama ang isang ibinigay na invariant manifold ay inilalarawan gamit ang mga differential equation ng decomposed na modelo, na nabuo pagkatapos palitan ang expression mula sa pagkakapantay-pantay ψ1 = 0 (3) sa pangalawa at pangatlong equation. ng system (2):

(6)

kanin. 2. Mga phase portrait ng mga system (2), (5) at (6)

kanin. Ang Figure 2 ay naglalarawan ng mga resulta ng numerical simulation ng system (2), (5) na may mga halaga ng mga parameter ng kontrol σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, katangian ng pagkakaroon ng isang magulong Lorentz attractor, at mga halaga ng mga parameter ng controller T1 = 0.1, μ = 4, na nagpapatunay sa pagiging epektibo ng mga teoretikal na probisyon ng pamamaraang AKAR. Ang unang equation sa decomposed system (6) ay ganap na magkapareho sa pangunahing evolutionary equation ng synergetics na may fork-type bifurcation.

Bumuo tayo ng stabilizing control law gamit ang ACAR method para sa Ressler model. Ang modelong Rössler ay isang nonlinear na dynamic na sistema ng mga third-order na differential equation ng form:

kung saan ang a, b, c ay mga parameter ng kontrol.

Ang System (7) ay iminungkahi ng Ressler upang imodelo ang mga proseso ng interaksyon ng isang bilang ng mga kemikal na sangkap. Ang sistemang ito ay kadalasang ginagamit sa iba't ibang siyentipikong pag-aaral ng mga phenomena ng iba't ibang kalikasan dahil sa pagkakaroon ng mga katangiang palatandaan ng paglitaw at pagkakaroon ng magulong dinamika. kanin. Ipinapakita ng Figure 3 ang magulong pang-akit ng Rössler system na may mga halaga ng parameter a = b = 0.2; c = 9.

Ipagpalagay natin na ang control action ay kasama sa pangalawang equation ng orihinal na system (7):

Uri ng invariant manifold

at functional equation (4) ay nagbibigay-daan sa amin na makuha ang ninanais na batas sa pagkontrol:

(10)

Ginagarantiyahan ng batas ng kontrol (10) ang paglipat ng kumakatawang punto ng kinokontrol na sistema (8), na isinara ng feedback (10), sa invariant manifold ψ2 = 0 (9).

kanin. 3. Magulong pang-akit ng sistemang Rössler

Ang kalikasan ng paggalaw ng system sa kahabaan ng invariant manifold ψ2 = 0 ay inilalarawan ng decomposed na modelo:

(11)

kung saan ang fork-type bifurcation equation ay naroroon sa unang hilera.

kanin. 4. Mga phase portrait ng mga system (8), (10) at (11)

kanin. Ang Figure 4 ay naglalarawan ng mga nakuhang resulta ng numerical simulation ng closed-loop system (8), (10) para sa mga halaga ng mga parameter ng kontrol ng modelo a = b = 0.2; c = 9, na katangian ng paglitaw ng isang magulong uri ng pang-akit, pati na rin ang mga halaga ng mga parameter ng controller T2 = 0.1; μ = 25.

Sa parehong nakuhang decomposed na mga modelo (6), (11), ang mga equation na matatagpuan sa unang hilera ay nag-tutugma sa pangunahing evolutionary equation ng synergetics na may isang fork-type bifurcation. Sa bagay na ito, maaari nating pagtibayin ang likas na katangian ng mga synthesized na batas ng pagpapatatag ng kontrol ng orihinal na magulong sistema at ang umiiral na pagkakaisa at panloob na pagkakaugnay ng unibersal na evolutionary equation ng nonlinear na teorya ng self-organization at synergetics.

Ang likas na katangian ng mga synthesized na batas ng kontrol ay dahil, una sa lahat, sa pagkakaroon ng isang hanay ng mga tipikal na katangian ng bifurcation sa mga closed system.

Bilang resulta ng pag-aaral, ang isang hanay ng mga koneksyon sa feedback ay na-synthesize, kapag isinasara ang mga paunang magulong sistema, ang isang pagbabago sa likas na katangian ng kanilang pag-uugali ay nangyayari at ang pagbabago ng isang magulong uri ng pang-akit sa isang "punto" na uri ng pang-akit ay nangyayari. Ang nakuha na mga batas sa kontrol na u1 (5) at u2 (10) ay ginagarantiyahan na magbigay ng asymptotic na katatagan sa buong phase space na may kaugnayan sa nais na equilibrium states sa mga halaga ng parameter μ< 0 или μ >0 para sa kaukulang paunang magulong modelo. Ang mga nakuhang batas u1 (5) at u2 (10) ay nabibilang sa klase ng mga batas sa pagkontrol ng layunin na nagbabago ng Lorentz at Ressler system, na may magulong dinamika, sa mga pangunahing evolutionary equation ng teorya ng self-organization at synergetics.

Ang synthesized control laws u1 (5) at u2 (10) ay orihinal at unibersal. Maaari silang magamit sa disenyo ng mga kinokontrol na sistema para sa iba't ibang layunin, na makabuluhang pinatataas ang kahusayan ng kanilang operasyon.

Bibliograpikong link

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. APPLICATION OF THE AKAR METHOD TO SOLUTION THE PROBLEM OF STABILIZATION OF EQUILIBRIUM STATE OF TYPICAL NONLINEAR SYSTEMS // Fundamental Research. – 2016. – Hindi. 5-2. – P. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (petsa ng access: 01/15/2020). Dinadala namin sa iyong pansin ang mga magazine na inilathala ng publishing house na "Academy of Natural Sciences"

Materyal mula sa Wikipedia - ang libreng encyclopedia

Pang-akit ng Rössler- magulong pang-akit, na taglay ng sistema ng mga differential equation ng Rössler:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matrix)\backslash kanan.$ ;

saan $a,b,c$- positibong mga pare-pareho. Sa mga halaga ng parameter $a\; =\; b\; =\; 0.2$ At $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Ang mga equation ni Rössler ay may matatag na ikot ng limitasyon. Para sa mga value ng parameter na ito, ang tagal at hugis ng ikot ng limitasyon ay sumasailalim sa pagdodoble ng panahon. Kaagad pagkatapos ng punto $c\; =\; 4.2$ lumitaw ang kababalaghan ng isang magulong pang-akit. Ang mahusay na tinukoy na mga linya ng mga limit na cycle ay lumalabo at pinupuno ang phase space ng isang walang katapusang mabibilang na hanay ng mga trajectory na may mga katangian ng isang fractal.

Minsan ang mga pang-akit ng Rössler ay itinayo para sa isang eroplano, iyon ay, may $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Mga sustenableng solusyon para sa $x,\; y$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkalkula ng eigenvector ng Jacobian matrix ng form , para sa $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Mula dito ay malinaw na kung kailan , ang eigenvectors ay kumplikado at may mga positibong tunay na sangkap, na ginagawang hindi matatag ang pang-akit. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang eroplano $Z$ sa parehong hanay $a$. paalam $x$ mas mababa $c$, parameter $c$ ay panatilihin ang trajectory malapit sa eroplano $x,\; y$. Sa lalong madaling panahon $x$ magkakaroon pa $c$, $z$-magsisimulang tumaas ang coordinate, at ilang sandali pa ang parameter $-z$ magpapabagal sa paglaki $x$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Mga puntos ng balanse

Upang makahanap ng mga punto ng equilibrium, ang tatlong Rössler equation ay itinakda na katumbas ng zero at $xyz$-Ang mga coordinate ng bawat punto ng ekwilibriyo ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga resultang equation. Sa kalaunan:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash kanan)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Gaya ng ipinapakita sa mga pangkalahatang equation ng pang-akit ng Rössler, ang isa sa mga nakapirming puntong ito ay nasa gitna ng pang-akit, habang ang iba ay medyo malayo sa gitna.

Pagbabago ng mga parameter a, b at c

Ang pag-uugali ng Rössler attractor ay higit sa lahat ay nakasalalay sa mga halaga ng pare-parehong mga parameter. Ang pagbabago sa bawat parameter ay nagbibigay ng isang tiyak na epekto, bilang isang resulta kung saan ang system ay maaaring mag-converge sa isang pana-panahong orbit, sa isang nakapirming punto, o magmadali sa kawalang-hanggan. Ang bilang ng mga yugto ng isang Rössler attractor ay tinutukoy ng bilang ng mga pagliko nito sa isang gitnang punto, na nangyayari bago ang isang serye ng mga loop.

Ang mga diagram ng bifurcation ay isang karaniwang tool para sa pagsusuri sa gawi ng mga dynamic na system, na kinabibilangan ng Rössler attractor. Ang mga ito ay nilikha sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation ng system kung saan ang dalawang variable ay naayos at ang isa ay binago. Kapag nagtatayo ng gayong diagram, halos ganap na "may kulay" na mga rehiyon ang nakuha; ito ang rehiyon ng dynamic na kaguluhan.

Pagbabago ng parameter a

Ayusin natin $b\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ at magbabago tayo $a$.

Bilang resulta, sa eksperimento, nakukuha namin ang sumusunod na talahanayan:

• $a\backslash leq\; 0$: Nagtatagpo sa isang matatag na punto.
• $a\; =\; 0.1$: Umiikot na may panahon na 2.
• $a\; =\; 0.2$: Kaguluhan (karaniwang parameter ng Rössler equation) .
• $a\; =\; 0.3$: Magulong pang-akit.
• $a\; =\; 0.35$: Katulad ng nauna, ngunit mas malinaw ang kaguluhan.
• $a\; =\; 0.38$: Katulad ng nauna, pero mas matindi ang kaguluhan.

Pagbabago ng parameter b

Ayusin natin $a\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$ at ngayon ay babaguhin natin ang parameter $b$. Tulad ng makikita mula sa pigura, kung kailan $b$ Dahil ang pang-akit ay nagiging zero, ito ay hindi matatag. Kailan $b$ magkakaroon pa $a$ At $c$, ang sistema ay mag-equilibrate at mapupunta sa isang nakatigil na estado.

Pagbabago ng parameter c

Ayusin natin $a\; =\; b\; =\; 0.1$ at magbabago tayo $c$. Mula sa diagram ng bifurcation ay malinaw na para sa maliit $c$ ang sistema ay panaka-nakang, ngunit habang dumarami ito ay mabilis itong nagiging magulo. Ang mga numero ay eksaktong nagpapakita kung paano nagbabago ang kaguluhan ng system sa pagtaas $c$. Halimbawa, kapag $c$= 4 ang attractor ay magkakaroon ng period na katumbas ng isa, at magkakaroon ng isang solong linya sa diagram, ang parehong bagay ay mauulit kapag $c$= 3 at iba pa; paalam $c$ ay hindi magiging higit sa 12: ang huling pana-panahong pag-uugali ay nailalarawan sa pamamagitan ng tiyak na halagang ito, pagkatapos ay nangyayari ang kaguluhan sa lahat ng dako.

Nagbibigay kami ng mga paglalarawan ng pag-uugali ng pang-akit sa tinukoy na hanay ng mga halaga $c$, na naglalarawan ng pangkalahatang pag-uugali ng mga naturang sistema - madalas na paglipat mula sa periodicity hanggang sa dynamic na kaguluhan.

Sumulat ng pagsusuri tungkol sa artikulong "Rössler Attractor"

Mga Tala

Mga link

• Tagabuo

Panitikan

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modernong pisika: Textbook. M., KomKniga, 2005, 512 pp., ISBN 5-484-00058-0, ch. 2 Physics ng mga bukas na sistema. pp. 2.4 Magulong Rössler attractor.

Isang sipi na nagpapakilala sa Rössler Attractor

"Hayaan mo ako, sinasabi ko sa iyo," ulit ni Prinsipe Andrei, na nakagat ang kanyang mga labi.
- At sino ka? - biglang lumingon sa kanya ang opisyal na may lasing na galit. - Sino ka? Ikaw ba (lalo niyang binigyang diin) ang amo, o ano? Ako ang boss dito, hindi ikaw. "Bumalik ka," inulit niya, "I'll smash you into a piece of cake."
Mukhang nagustuhan ng opisyal ang ekspresyong ito.
"Seryoso niyang inahit ang adjutant," isang boses ang narinig mula sa likuran.
Nakita ni Prinsipe Andrei na ang opisyal ay nasa lasing na iyon ng walang dahilan na galit kung saan hindi naaalala ng mga tao ang kanilang sinasabi. Nakita niya na ang kanyang pamamagitan para sa asawa ng doktor sa kariton ay puno ng pinakakinatatakutan niya sa mundo, ang tinatawag na panlilibak [nakakatawa], ngunit iba ang sinabi ng kanyang instinct. Bago matapos ang mga huling salita ng opisyal, si Prinsipe Andrei, ang kanyang mukha na pumangit sa galit, ay sumakay sa kanya at itinaas ang kanyang latigo:
-Papasukin mo ako!
Kinawayan ng opisyal ang kanyang kamay at nagmamadaling umalis.
"Lahat ng ito mula sa kanila, mula sa mga tauhan, ang lahat ng ito ay isang gulo," siya grumbled. - Gawin ang gusto mo.
Si Prinsipe Andrei ay nagmamadali, nang hindi itinaas ang kanyang mga mata, ay sumakay palayo sa asawa ng doktor, na tinawag siyang tagapagligtas, at, na naaalaala nang may pagkasuklam ang pinakamaliit na detalye ng nakakahiyang eksenang ito, ay tumakbo pa patungo sa nayon kung saan, tulad ng sinabi sa kanya, ang kumander- in-chief ay matatagpuan.
Pagpasok sa nayon, bumaba siya sa kanyang kabayo at pumunta sa unang bahay na may balak na magpahinga kahit isang minuto, kumain ng isang bagay at bigyang-linaw ang lahat ng mga nakakasakit na kaisipang ito na nagpahirap sa kanya. "Ito ay isang pulutong ng mga bastos, hindi isang hukbo," naisip niya, papalapit sa bintana ng unang bahay, nang tawagin siya ng isang pamilyar na boses sa pangalan.
Tumingin siya sa likod. Ang guwapong mukha ni Nesvitsky ay lumabas mula sa isang maliit na bintana. Si Nesvitsky, ngumunguya ng isang bagay gamit ang kanyang makatas na bibig at winawagayway ang kanyang mga braso, tinawag siya sa kanya.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Hindi mo ba naririnig, o ano? "Bilisan mo," sigaw niya.
Pagpasok sa bahay, nakita ni Prinsipe Andrei si Nesvitsky at isa pang adjutant na kumakain. Dali-dali silang lumingon kay Bolkonsky na nagtatanong kung may alam siyang bago. Sa kanilang mga mukha, na pamilyar sa kanya, nabasa ni Prinsipe Andrei ang isang pagpapahayag ng pagkabalisa at pag-aalala. Ang ekspresyong ito ay lalong kapansin-pansin sa laging tumatawa na mukha ni Nesvitsky.
-Nasaan ang pinunong kumander? – tanong ni Bolkonsky.
"Narito, sa bahay na iyon," sagot ng adjutant.
- Well, totoo ba na mayroong kapayapaan at pagsuko? - tanong ni Nesvitsky.
- Tinatanong kita. Wala akong alam maliban sa napunta ako sa iyo sa pamamagitan ng puwersa.
- Ano ang tungkol sa amin, kapatid? Horror! "Paumanhin, kapatid, tinawanan nila si Mak, ngunit mas masahol pa ito para sa amin," sabi ni Nesvitsky. - Well, umupo at kumain ng isang bagay.
"Ngayon, prinsipe, hindi ka makakahanap ng anumang kariton o anupaman, at ang iyong Pedro, alam ng Diyos kung saan," sabi ng isa pang adjutant.
-Saan ang pangunahing apartment?
– Magpapalipas tayo ng gabi sa Tsnaim.
"At ikinarga ko ang lahat ng kailangan ko sa dalawang kabayo," sabi ni Nesvitsky, "at ginawa nila akong mahusay na mga pakete." Hindi bababa sa pagtakas sa mga bundok ng Bohemian. Grabe naman kuya. Masama ka ba talaga, bakit ka ba kinikilig? - tanong ni Nesvitsky, na napansin kung paano kumikibot si Prince Andrei, na parang mula sa paghawak sa isang garapon ng Leyden.
"Wala," sagot ni Prinsipe Andrei.
Sa sandaling iyon ay naalala niya ang kanyang kamakailang pag-aaway sa asawa ng doktor at sa opisyal ng Furshtat.
-Ano ang ginagawa ng punong kumander dito? - tanong niya.
"Wala akong naiintindihan," sabi ni Nesvitsky.
"Ang naiintindihan ko lang ay ang lahat ay kasuklam-suklam, kasuklam-suklam at kasuklam-suklam," sabi ni Prinsipe Andrei at pumunta sa bahay kung saan nakatayo ang commander-in-chief.
Pagdaan sa karwahe ni Kutuzov, ang mga pinahirapang kabayo ng retinue at ang mga Cossacks na nagsasalita nang malakas sa kanilang sarili, pumasok si Prinsipe Andrei sa pasukan. Si Kutuzov mismo, gaya ng sinabi kay Prinsipe Andrei, ay nasa kubo kasama sina Prince Bagration at Weyrother. Si Weyrother ay isang Austrian general na pumalit sa pinatay na si Schmit. Sa entranceway, ang maliit na Kozlovsky ay naka-squat sa harap ng klerk. Ang klerk sa isang baligtad na batya, itinaas ang cuffs ng kanyang uniporme, dali-daling nagsulat. Ang mukha ni Kozlovsky ay pagod - siya, tila, ay hindi rin natulog sa gabi. Tumingin siya kay Prinsipe Andrei at hindi man lang tumango sa kanya.
– Pangalawang linya... Nagsulat nito? - nagpatuloy siya, na nagdidikta sa klerk, - Kiev Grenadier, Podolsk...
"Wala kang oras, ang iyong karangalan," sagot ng klerk nang walang paggalang at galit, tumingin pabalik kay Kozlovsky.
Sa oras na iyon, ang animated na hindi nasisiyahang boses ni Kutuzov ay narinig mula sa likod ng pinto, na nagambala ng isa pa, hindi pamilyar na boses. Sa pamamagitan ng tunog ng mga tinig na ito, sa pamamagitan ng kawalan ng pansin kung saan tumingin sa kanya si Kozlovsky, sa pamamagitan ng kawalang-galang ng pagod na klerk, sa pamamagitan ng katotohanan na ang klerk at Kozlovsky ay nakaupo nang napakalapit sa pinuno ng kumander sa sahig malapit sa batya. , at sa katotohanan na ang mga Cossacks na may hawak na mga kabayo ay tumawa nang malakas sa ilalim ng bintana ng bahay - mula sa lahat ng ito, naramdaman ni Prinsipe Andrei na may isang bagay na mahalaga at kapus-palad na mangyayari.
Agad na bumaling si Prince Andrei kay Kozlovsky na may mga tanong.
"Ngayon, prinsipe," sabi ni Kozlovsky. – Disposisyon sa Bagration.
-Ano ang tungkol sa pagsuko?
- Wala; ang mga utos para sa labanan ay ginawa.
Nagtungo si Prinsipe Andrei sa pintuan mula sa likuran kung saan narinig ang mga boses. Ngunit tulad ng gusto niyang buksan ang pinto, ang mga tinig sa silid ay tumahimik, ang pinto ay bumukas sa sarili nitong pagsang-ayon, at si Kutuzov, kasama ang kanyang matangos na ilong sa kanyang matambok na mukha, ay lumitaw sa threshold.
Tumayo si Prinsipe Andrei sa tapat ng Kutuzov; ngunit mula sa ekspresyon ng tanging nakikitang mata ng commander-in-chief ay malinaw na ang pag-iisip at pag-aalala ay sumasakop sa kanya nang labis na tila natatakpan ang kanyang paningin. Tumingin siya ng diretso sa mukha ng kanyang adjutant at hindi siya nakilala.
- Well, tapos ka na ba? – lumingon siya kay Kozlovsky.
- Ngayong segundo, Kamahalan.
Si Bagration, isang pandak na lalaki na may oriental na uri ng matigas at hindi gumagalaw na mukha, isang tuyo, hindi pa matanda, ay sumunod sa pinuno ng komandante.
"Mayroon akong karangalan na lumitaw," medyo malakas na ulit ni Prinsipe Andrei, na ibinigay ang sobre.
- Oh, mula sa Vienna? ayos lang. Pagkatapos, pagkatapos!
Lumabas si Kutuzov kasama si Bagration sa beranda.
"Well, prinsipe, paalam," sabi niya kay Bagration. - Si Kristo ay kasama mo. Pinagpapala kita para sa mahusay na gawaing ito.
Ang mukha ni Kutuzov ay biglang lumambot, at ang mga luha ay lumitaw sa kanyang mga mata. Hinila niya si Bagration sa kanya gamit ang kanyang kaliwang kamay, at gamit ang kanyang kanang kamay, kung saan may singsing, ay tila tumawid sa kanya ng isang pamilyar na kilos at inalok siya ng isang matambok na pisngi, sa halip na hinalikan siya ni Bagration sa leeg.

Sa aklat na ito kami ay gumawa ng isang empirical na diskarte sa magulong oscillations at nagbalangkas ng isang serye ng iba't ibang pisikal na phenomena kung saan ang magulong dinamika ay gumaganap ng isang mahalagang papel. Siyempre, hindi lahat ng mga mambabasa ay may access sa isang laboratoryo o isang pagkahilig para sa eksperimento, bagaman karamihan ay maaaring gumamit ng mga digital na computer. Sa pag-iisip na ito, ipinakita namin sa apendiks na ito ang isang serye ng mga numerical na eksperimento, na magagawa sa isang personal na computer o sa isang microcomputer, sa pag-asang makakatulong ang mga ito sa mambabasa na tuklasin ang dynamics ng mga klasikal na modelo ng kaguluhan na ngayon.

B.1. LOGISTIC EQUATION: DOBLE ANG PERIOD

Ang isa sa pinakasimpleng problema kung saan sisimulan ang pagpapakilala ng mga bagong dinamika ay dapat ang modelo ng paglaki ng populasyon, o logistic equation.

Ang mga phenomena na nauugnay sa pagdoble ng panahon ay naobserbahan ng iba't ibang mga mananaliksik (tingnan, halimbawa, ang gawain ng Mayo) at, siyempre, si Feigenbaum, na natuklasan ang mga sikat na batas ng pagkakapareho ng mga parameter (tingnan ang Kabanata 1 at 5). Pinapadali ng isang personal na computer ang pag-reproduce ng dalawang numerical na eksperimento.

Sa unang eksperimento mayroon kaming graph ng pagtitiwala sa nasa hanay . Ang mode ng pagdodoble ng panahon ay sinusunod sa mga halaga sa ibaba Simula sa makikita mo ang isang tilapon na may tuldok na 1. Upang makakita ng mas mahahabang trajectory, markahan ang unang 30-50 na pag-ulit na may mga tuldok, at kasunod na mga pag-ulit na may ibang simbolo.

Siyempre, sa pamamagitan ng pag-plot ng dependence sa , magagawa mong obserbahan ang mga transient at stationary na mode. Ang mga magulong trajectory ay makikita sa . Sa paligid ay maaaring makakita ng isang tilapon na may panahon na 3.

Ang susunod na numerical na eksperimento ay nauugnay sa pagbuo ng isang bifurcation diagram. Upang gawin ito, dapat kang bumuo ng isang graph ng dependence nang malaki sa control parameter. Pumili ng ilang paunang kundisyon (halimbawa, at gumawa ng 100 mapping iteration. Pagkatapos ay i-plot ang mga value na nakuha bilang resulta ng susunod na 50 iteration sa vertical axis, at ang katumbas na value sa horizontal axis (o vice versa). Pumili ng isang hakbang na humigit-kumulang 0.01 at dumaan sa hanay na On Sa diagram, sa panahon ng pagdodoble ng mga punto, dapat kang makakuha ng mga klasikal na bifurcation ng uri ng pitchfork. Maaari mo bang matukoy ang numero ng Feigenbaum mula sa data ng isang numerical na eksperimento?

Maaari ring magbigay ng listahan ng mga numerical na eksperimento sa iba pang mga one-dimensional na pagmamapa, halimbawa sa pagmamapa

Inilalarawan niya ang pagmamapa na ito bilang isang pattern ng paglaki ng populasyon ng isang species na kinokontrol ng isang epidemya na sakit. Galugarin ang lugar. Ang punto ng akumulasyon ng mga pagdodoble ng panahon at ang simula ng kaguluhan ay tumutugma sa . Ang papel ni May ay naglalaman din ng data sa ilang iba pang numerical na eksperimento.

B.2. LORENTZ EQUATIONS

Ang isang kahanga-hangang eksperimento sa numero, walang alinlangan na karapat-dapat sa pag-uulit, ay nakapaloob sa orihinal na gawa ni Lorentz. Pinasimple ni Lorentz ang mga equation na hinango ni Salzman batay sa mga equation ng thermal convection sa isang likido (tingnan ang Kabanata 3). Ang priyoridad sa pagtuklas ng mga di-pana-panahong solusyon sa mga convection equation, gaya ng inamin ni Lorenz, ay kay Salzman. Upang pag-aralan ang mga magulong galaw, pinili ni Lorentz ang mga klasikong halaga na ngayon ng mga parameter sa mga equation

Ang data na ipinapakita sa Fig. Ang 1 at 2 ng artikulo ni Lorentz ay maaaring kopyahin sa pamamagitan ng pagpili ng mga paunang kundisyon at hakbang sa oras at pagpapakita ng solusyon sa alinman sa isang eroplano o sa isang eroplano

Upang makuha ang one-dimensional na pagmamapa na dulot ng daloy na ito, isinasaalang-alang ni Lorentz ang sunud-sunod na maxima ng variable na z, na itinalaga niya na Graph of dependence ay nagpakita na sa kasong ito ang pagmamapa ay ibinibigay ng isang curve na kahawig ng hugis ng bubong ng isang bahay. Pagkatapos ay ginalugad ni Lorentz ang isang pinasimpleng bersyon ng pagmamapa na ito, na tinatawag na "house-type mapping", isang bilinear na bersyon ng logistic equation.

B.3. INTERMITABILITY AT LORENTZ EQUATIONS

Ang isang malinaw na halimbawa ng intermittency ay makikita sa pamamagitan ng numerical na pagsasama ng mga Lorentz equation gamit ang isang computer:

na may mga parameter ayon sa paraan ng Runge-Kutta. Kapag nakakuha ka ng panaka-nakang trajectory, ngunit kung kailan at higit pang "pagsabog" o magulong ingay ang lilitaw (tingnan ang gawa ng Manneville at Pomo). Sa pamamagitan ng pagsukat sa average na bilang ng N ng mga periodic cycle sa pagitan ng mga pagsabog (laminar phase), dapat mong makuha ang batas ng pagkakatulad

B.4. OENON ATTRACTOR

Ang isang generalization ng quadratic mapping sa isang linya para sa two-dimensional case (sa isang eroplano) ay iminungkahi ng Pranses na astronomer na si Hénon:

Ang mapa ng Hénon ay bumaba sa logistic na mapa na pinag-aralan nina May at Feigenbaum. Kasama sa mga halaga ng a at b kung saan lumilitaw ang isang kakaibang pang-akit, sa partikular, . Bumuo ng isang graph ng pagmamapa na ito sa isang eroplano, nililimitahan ito sa isang parihaba. Ang pagkakaroon ng nakatanggap ng isang pang-akit, ituon ang iyong pansin sa ilang maliit na bahagi nito at palakihin ang lugar na ito gamit ang isang pagbabagong pagkakatulad. Sundin ang mas malaking bilang ng mga pag-ulit ng pagmamapa at subukang ipakita ang maliit na istruktura ng fractal. Kung mayroon kang sapat na pasensya o mayroon kang isang mabilis na computer sa kamay, pagkatapos ay magsagawa ng isa pang pagbabagong pagkakatulad at ulitin ito nang paulit-ulit para sa isang mas maliit na lugar ng pang-akit (tingnan ang Fig. 1.20, 1.22).

Kung mayroon kang programa para sa pagkalkula ng mga exponent ng Lyapunov, kung gayon kapaki-pakinabang na tandaan na ang halaga ng exponent ng Lyapunov ay ibinibigay sa panitikan, at ang dimensyon ng fractal ng attractor sa mapa ng Henon ay katumbas ng . Sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng mga parameter a at b, maaari mong subukang matukoy ang saklaw ng mga halagang iyon kung saan umiiral ang pang-akit at hanapin ang panahon ng pagdodoble ng lugar sa eroplano (a, b).

B.5. DUFFING EQUATION: UEDA ATTRACTOR

Ang modelong ito ng isang de-koryenteng circuit na may nonlinear inductance ay tinalakay sa Kabanata. 3. Ang mga equation ng modelong ito, na nakasulat sa anyo ng isang sistema ng mga first-order equation, ay may anyo

Ang mga magulong oscillations sa modelong ito ay pinag-aralan nang detalyado ni Ueda. Gumamit ng ilang karaniwang numerical integration algorithm, gaya ng fourth order Runge-Kutta scheme, at isaalang-alang ang kaso. Kapag dapat kang makakuha ng periodic trajectory na may period 3. (Gawin ang Poincaré section sa ) ​​Sa paligid ng value, ang trajectory na may period 3 ay dapat pumunta sa magulong paggalaw pagkatapos ng bifurcation.

Sa periodicity ay naibalik muli sa isang lumilipas na magulong rehimen (tingnan ang Fig. 3.13).

Ihambing ang fractal na katangian ng attractor habang bumababa ang damping, sa pag-aakalang at 0.05. Pakitandaan na sa , maliit na bahagi na lang ng attractor ang natitira, at sa , nagiging pana-panahon ang paggalaw.

B.6. DUFFING EQUATION NA MAY DALAWANG POTENSYAL NA BUTAS: HOLMES ATTRACTOR

Ang halimbawang ito ay tinalakay sa aming aklat. Maraming mga numerical na eksperimento ang sulit na ulitin. Sa kasong ito, ang mga equation na walang sukat ay may anyo

(Sa pamamagitan ng pagtatakda at pagpapakilala ng karagdagang equation na z = w, maaari silang isulat bilang isang autonomous na third-order system.) Ang factor 1/2 ay ginagawang ang natural na dalas ng maliliit na oscillations sa bawat potensyal na balon ay katumbas ng pagkakaisa. Ang pamantayan ng kaguluhan para sa isang nakapirming koepisyent ng pamamasa at mga variable ay isinasaalang-alang namin sa Chap. 5. Ang isang lugar ng interes para sa pananaliksik ay. Sa rehiyong ito dapat magkaroon ng transisyon mula sa panaka-nakang tungo sa magulong rehimen, mga panaka-nakang bintana sa magulong rehimen at paglabas mula sa magulong rehimen sa . May isa pang kawili-wiling lugar: Sa lahat ng pag-aaral, lubos naming inirerekomenda ang mambabasa na gamitin ang mapa ng Poincaré. Kapag gumagamit ng isang personal na computer, ang mataas na bilis ng pagproseso ng impormasyon ay maaaring makamit sa pamamagitan ng mga espesyal na trick kapag lumilikha ng isang programa (tingnan ang Fig. 5.3).

Ang isa pang kawili-wiling eksperimento sa numero ay upang ayusin ang mga parameter, halimbawa, itakda at ibahin ang bahagi ng mapa ng Poincaré, ibig sabihin, i-plot ang mga punto sa pag-iiba-iba mula 0 hanggang Tandaan ang pagbabaligtad ng mapa sa May kaugnayan ba ito sa simetrya ng equation? (Tingnan ang Larawan 4.8.)

B.7. CUBIC MAPPING (HOLMES)

Inilarawan namin ang maraming mga konsepto ng teorya ng magulong oscillations gamit ang halimbawa ng isang attractor sa isang modelo na may dalawang potensyal na balon. Ang dynamics ng naturang modelo ay inilalarawan ng isang ordinaryong second-order nonlinear differential equation (tingnan ang Chap.

2 at 3), ngunit ang isang tahasang pormula para sa mapa ng Poincaré ng naturang pang-akit ay hindi alam. Iminungkahi ni Holmes ang isang two-dimensional cubic mapping na may ilang katangian ng isang Duffing oscillator na may negatibong tigas:

Ang isang magulong pang-akit ay matatagpuan malapit sa mga halaga ng parameter

B.8. PAGPAPAKITA NG BOLA NA TUMALO (STANDARD DISPLAY)

(Tingnan ang artikulo ni Holmes at ang aklat ni Lichtenberg at Lieberman.) Gaya ng nabanggit sa Chap. 3, ang mapa ng Poincaré para sa isang bolang tumatalbog sa isang vibrating table ay maaaring tumpak na maisulat sa mga tuntunin ng walang sukat na bilis ng bola na tumama sa mesa at ang yugto ng paggalaw ng talahanayan

kung saan ang pagkawala ng enerhiya sa epekto.

Kaso (conservative chaos). Ang kasong ito ay pinag-aralan sa aklat nina Lichtenberg at Lieberman bilang isang modelo para sa acceleration ng mga electron sa electromagnetic field. Pagkatapos ng pag-ulit ng display, i-plot ang mga resultang punto sa eroplano. Upang kalkulahin, gamitin ang expression

sa isang pinahusay na bersyon ng BASIC. Upang makakuha ng magandang larawan, kailangan mong pag-iba-ibahin ang mga paunang kondisyon. Halimbawa, piliin at subaybayan ang ilang daang pag-ulit ng pagmamapa sa magkaibang v mula sa pagitan -

Makakakita ka ng mga kawili-wiling kaso kung kailan. Kapag ang isa ay maaaring mag-obserba ng quasi-periodic closed trajectories sa paligid ng pana-panahong mga fixed point ng pagmamapa. Sa , ang mga rehiyon ng konserbatibong kaguluhan ay dapat lumitaw malapit sa mga punto ng mga separatrice (tingnan ang Fig. 5.21).

Kaso. Ang kasong ito ay tumutugma sa isang dissipative mapping, kapag ang enerhiya ay nawawala sa bawat banggaan sa pagitan ng bola at ng mesa. Magsimula sa . Tandaan na kahit na ang mga unang pag-ulit ay mukhang magulo, tulad ng sa Case 1, ang paggalaw ay nagiging pana-panahon. Upang makakuha ng fractal-like chaos, ang mga K value ay dapat tumaas sa . Makakakuha ka ng kakaibang pang-akit, na higit na nakapagpapaalaala sa isang fractal, sa pamamagitan ng pag-aakalang .

B.9. PAGPAPAKITA NG BILOG SA IYONG SARILI: SYNCHRONIZATION NG BILANG NG MGA PAG-ikot AT MGA PUNO NG DIWENTA

Ang isang puntong gumagalaw sa ibabaw ng isang torus ay maaaring magsilbi bilang abstract mathematical model ng dynamics ng dalawang coupled oscillators. Ang mga amplitude ng paggalaw ng mga oscillator ay nagsisilbing minor at major radii ng torus at kadalasang ipinapalagay na maayos. Ang mga yugto ng mga oscillator ay tumutugma sa dalawang anggulo na tumutukoy sa posisyon ng punto sa kahabaan ng maliit na bilog (meridian) at ang malaking bilog (parallel) sa ibabaw ng torus. Ang seksyon ng Poincaré sa kahabaan ng maliliit na bilog ng torus ay bumubuo ng isang one-dimensional na equation ng pagkakaiba na tinatawag na mapa ng bilog sa sarili nito:

kung saan ay isang periodic function.

Ang bawat pag-ulit ng pagmamapa na ito ay tumutugma sa tilapon ng isang oscillator sa kahabaan ng malaking bilog ng torus. Ang isang tanyag na bagay ng pag-aaral ay ang tinatawag na standard circle mapping (na-normalize sa )

Ang mga posibleng paggalaw na naobserbahan sa pagmamapa na ito ay: periodic, quasiperiodic at chaotic mode. Upang makita ang mga panaka-nakang cycle, i-plot ang mga punto sa isang bilog na may mga rectangular na coordinate

Sa parameter 0 walang higit pa kaysa sa bilang ng mga pag-ikot - ang ratio ng dalawang frequency ng hindi nauugnay na mga oscillator.

Kapag ang display ay maaaring maging pana-panahon at kapag ito ay isang hindi makatwirang numero. Sa kasong ito, sinasabi nila na ang mga oscillator ay naka-synchronize o ang mode tightening ay naganap. Kapag ang isang tao ay maaaring obserbahan ang naka-synchronize o panaka-nakang paggalaw sa mga rehiyon na may hangganan na lapad kasama ang O axis, na, siyempre, ay naglalaman ng mga hindi makatwirang halaga ng parameter . Halimbawa, kapag ang isang cycle na may period 2 ay matatagpuan sa interval at isang cycle na may period 3 ay matatagpuan sa interval. Upang mahanap ang mga interval na ito kapag, kalkulahin ang bilang ng mga rotation W bilang isang function ng parameter sa 0 01. Kinakalkula namin ang bilang ng mga pag-ikot kung itatapon namin ang operasyon ng paghahambing at pumunta sa limitasyon

Sa pagsasagawa, upang makuha ang bilang ng mga pag-ikot na may sapat na katumpakan, kailangan mong kumuha ng N > 500. Sa pamamagitan ng pag-plot ng W versus , makikita mo ang isang serye ng mga talampas na tumutugma sa mga rehiyon ng pag-synchronize. Upang makakita ng higit pang mga lugar ng pag-synchronize, dapat kang pumili ng isang maliit na lugar ng AP at i-plot ang W para sa isang malaking bilang ng mga punto sa maliit na lugar na ito.

Ang bawat synchronization plateau sa graph ) ay tumutugma sa isang rational number - ang ratio ng mga cycle ng isang oscillator sa q cycle ng isa pang oscillator. Ang mga relasyon ay nakaayos sa isang sequence na kilala bilang isang Fary tree. Kung ang dalawang rehiyon ng pag-synchronize ng mode ay ibinigay para sa mga halaga ng parameter, pagkatapos ay sa pagitan ng mga ito sa pagitan ay tiyak na magkakaroon ng isa pang rehiyon ng pag-synchronize na may bilang ng mga pag-ikot

Simula sa 0/1 sa at 1/1 sa, maaari mong buuin ang buong walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga lugar ng pag-synchronize. Karamihan sa kanila ay napakakitid.

Tandaan na ang lapad ng mga rehiyong ito ay may posibilidad na maging zero sa at nagiging mas malaki sa mga rehiyon ng Pag-synchronize sa eroplano () ay may hugis ng mahabang protrusions, at kung minsan ay tinatawag na Arnold tongues.

B.10. RÖSSLER ATTRACTOR: CHEMICAL REACTIONS, ONE-DIMENSIONAL APPROXIMATION NG MULTI-DIMENSIONAL SYSTEMS

Ang bawat isa sa mga pangunahing lugar ng klasikal na pisika ay lumikha ng sarili nitong modelo ng magulong dinamika: fluid mechanics - ang Lorentz equation, structural mechanics - ang Duffing-Holmes attractor na may dalawang potensyal na balon, electrical engineering - ang Duffing-Ueda attractor. Ang isa pang simpleng modelo ay lumitaw sa dinamika ng mga reaksiyong kemikal na nagaganap sa ilang lalagyan na may pagpapakilos. Ito ay iminungkahi ni Rubssler.