Mga formula para sa pagkalkula ng bilis ng isang punto, acceleration, radius ng curvature ng isang trajectory, tangent, normal at binormal mula sa ibinigay na mga coordinate laban sa oras. Isang halimbawa ng paglutas ng isang problema kung saan, gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw, kinakailangan upang matukoy ang bilis at acceleration ng isang punto. Natutukoy din ang radius ng curvature ng trajectory, tangent, normal at binormal.
NilalamanPanimula
Ang mga konklusyon ng mga formula sa ibaba at ang pagtatanghal ng teorya ay ibinibigay sa pahinang "Kinematics ng isang materyal na punto". Dito ay ilalapat natin ang mga pangunahing resulta ng teoryang ito sa paraan ng coordinate ng pagtukoy sa paggalaw ng isang materyal na punto.
Magkaroon tayo ng isang nakapirming rectangular coordinate system na may sentro sa isang nakapirming punto. Sa kasong ito, ang posisyon ng point M ay natatanging tinutukoy ng mga coordinate nito (x, y, z). Coordinate na paraan ng pagtukoy sa paggalaw ng isang punto- ito ay isang paraan kung saan ang dependence ng mga coordinate sa oras ay tinukoy. Iyon ay, tatlong function ng oras ang tinukoy (para sa three-dimensional na paggalaw):
Pagpapasiya ng kinematic na dami
Alam ang pag-asa ng mga coordinate sa oras, awtomatiko naming tinutukoy ang radius vector ng materyal na punto M gamit ang formula:
,
kung saan ang mga unit vectors (orts) sa direksyon ng x, y, z axes.
Ang pagkakaiba sa paggalang sa oras, nakita namin ang mga projection ng bilis at acceleration sa mga coordinate axes:
;
;
Mga module ng bilis at acceleration:
;
.
.
Ang tangential (tangential) acceleration ay ang projection ng kabuuang acceleration sa direksyon ng velocity:
.
Tangential (tangential) acceleration vector:
Normal na acceleration:
.
;
.
Unit vector sa direksyon ng pangunahing normal ng trajectory:
.
Radius ng curvature ng trajectory:
.
Sentro ng curvature ng trajectory:
.
.
Halimbawa ng solusyon sa problema
Pagtukoy sa bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw nito
Gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw ng isang punto, itatag ang uri ng trajectory nito at, sa ilang sandali, hanapin ang posisyon ng punto sa trajectory, ang bilis nito, kabuuan, tangential at normal na acceleration, gayundin ang radius ng curvature ng trajectory.
Mga equation ng paggalaw ng isang punto:
, cm;
, cm.
Solusyon
Pagtukoy sa uri ng trajectory
Ibinubukod namin ang oras mula sa mga equation ng paggalaw. Upang gawin ito, muling isulat namin ang mga ito sa form:
;
.
Ilapat natin ang formula:
.
;
;
;
.
Kaya, nakuha namin ang trajectory equation:
.
Ito ang equation ng isang parabola na may vertex sa isang punto at isang axis ng symmetry.
Dahil ang
, Iyon
; o
.
Sa katulad na paraan nakakakuha kami ng isang hadlang para sa coordinate:
;
;
Kaya, ang trajectory ng paggalaw ng punto ay ang arko ng isang parabola
,
matatagpuan sa
At .
Bumubuo kami ng parabola mula sa mga puntos.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Tinutukoy namin ang posisyon ng punto sa sandali ng oras.
;
.
Pagtukoy sa bilis ng isang punto
Ang pagkakaiba ng mga coordinate at may paggalang sa oras, nakita namin ang mga bahagi ng bilis.
.
Upang maiiba, ito ay maginhawa upang ilapat ang trigonometry formula:
. Pagkatapos
;
.
Kinakalkula namin ang mga halaga ng mga bahagi ng bilis sa sandali ng oras:
;
.
Bilis ng Module:
.
Pagtukoy sa acceleration ng isang punto
Ang pagkakaiba sa mga bahagi ng bilis at oras, nakita namin ang mga bahagi ng acceleration ng punto.
;
.
Kinakalkula namin ang mga halaga ng mga bahagi ng acceleration sa sandali ng oras:
;
.
Acceleration module:
.
Ang tangential acceleration ay ang projection ng kabuuang acceleration sa direksyon ng velocity:
.
Dahil, ang tangential acceleration vector ay nakadirekta sa tapat ng bilis.
Normal na acceleration:
.
Ang vector at nakadirekta patungo sa gitna ng curvature ng trajectory.
Radius ng curvature ng trajectory:
.
Ang trajectory ng isang punto ay ang arko ng isang parabola
;
.
Bilis ng punto: .
Pagpapabilis ng punto: ; ; .
Radius ng curvature ng trajectory: .
Pagpapasiya ng iba pang dami
Kapag nilulutas ang problema nakita namin:
vector at bilis ng module:
;
;
vector at module ng kabuuang acceleration:
;
;
tangential at normal na acceleration:
;
;
radius ng curvature ng trajectory: .
Tukuyin natin ang natitirang dami.
Unit vector sa tangent na direksyon sa landas:
.
Tangential acceleration vector:
.
Normal na acceleration vector:
.
Unit vector sa direksyon ng pangunahing normal:
.
Mga coordinate ng sentro ng curvature ng trajectory:
.
Ipakilala natin ang ikatlong axis ng coordinate system na patayo sa at axes. Sa isang three-dimensional na sistema
;
.
Unit vector sa binormal na direksyon:
.
Ang paggalaw ng isang punto sa espasyo ay maituturing na ibinigay kung ang mga batas ng pagbabago ng tatlong Cartesian coordinate nito na x, y, z bilang isang function ng oras ay kilala. Gayunpaman, sa ilang mga kaso ng spatial na paggalaw ng mga materyal na punto (halimbawa, sa mga lugar na limitado ng mga ibabaw ng iba't ibang mga hugis), ang paggamit ng mga equation ng paggalaw sa mga coordinate ng Cartesian ay hindi maginhawa, dahil nagiging napakahirap. Sa ganitong mga kaso, maaari kang pumili ng iba pang tatlong independiyenteng mga parameter ng scalar $q_1,(\q)_2,\\q_3$, na tinatawag na curvilinear o generalized na mga coordinate, na natatanging tumutukoy sa posisyon ng punto sa espasyo.
Ang bilis ng point M, kapag tinukoy ang paggalaw nito sa mga curvilinear coordinates, ay matutukoy sa anyo ng isang vector sum ng mga bahagi ng bilis na kahanay sa mga coordinate axes:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Ang mga projection ng velocity vector papunta sa kaukulang coordinate axes ay katumbas ng: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$
Narito ang $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ ay isang parameter na tinatawag na i-th Lame coefficient at katumbas ng modulus value partial derivative ng radius vector ng isang punto sa kahabaan ng i-th curvilinear coordinate na kinakalkula sa isang naibigay na punto M. Ang bawat isa sa mga vectors na $\overline(e_i)$ ay may direksyon na tumutugma sa direksyon ng paggalaw ng end point ng ang radius vector na $r_i$ bilang i-th generalized coordinates. Ang velocity module sa isang orthogonal curvilinear coordinate system ay maaaring kalkulahin mula sa dependence:
Sa mga formula sa itaas, ang mga halaga ng derivatives at Lamé coefficients ay kinakalkula para sa kasalukuyang posisyon ng point M sa espasyo.
Ang mga coordinate ng isang punto sa isang spherical coordinate system ay ang scalar parameters r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, sinusukat tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.
Figure 1. Velocity vector sa isang spherical coordinate system
Ang sistema ng mga equation ng paggalaw ng isang punto sa kasong ito ay may anyo:
\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]
Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 1 ang radius vector r na iginuhit mula sa pinanggalingan, mga anggulo na $(\mathbf \varphi )$ at $(\mathbf \theta )$, pati na rin ang mga coordinate na linya at axes ng system na isinasaalang-alang sa isang arbitrary point M ng trajectory. Makikita na ang mga coordinate na linya na $((\mathbf \varphi ))$ at $((\mathbf \theta ))$ ay nasa ibabaw ng isang globo na may radius r. Ang curvilinear coordinate system na ito ay orthogonal din. Ang mga coordinate ng Cartesian ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga spherical coordinate tulad nito:
Pagkatapos ang Lame coefficients: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; projection ng velocity ng point sa axis ng spherical coordinate system $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $, at ang magnitude ng velocity vector
Pagpapabilis ng isang punto sa isang spherical coordinate system
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]
projection ng acceleration ng isang punto sa axis ng isang spherical coordinate system
\ \
Acceleration module $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Problema 1
Ang punto ay gumagalaw sa linya ng intersection ng sphere at ng cylinder ayon sa mga equation: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- spherical coordinate ). Hanapin ang modulus at projection ng velocity ng point sa axis ng spherical coordinate system.
Hanapin natin ang mga projection ng velocity vector sa spherical coordinate axes:
Modulus ng bilis $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
Problema 2
Gamit ang kondisyon ng problema 1, tukuyin ang acceleration modulus ng punto.
Hanapin natin ang mga projection ng acceleration vector sa spherical coordinate axes:
\ \ \
Acceleration module $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
mga gawain sa paggalaw
Gamitin natin ang equation (4) at kunin ang derivative nito patungkol sa oras
Sa (8) para sa mga unit vector mayroong mga projection ng velocity vector papunta sa mga coordinate axes
Ang mga projection ng velocity papunta sa mga coordinate axes ay tinukoy bilang ang mga unang beses na derivatives ng mga kaukulang coordinate.
Alam ang mga projection, maaari mong mahanap ang magnitude ng vector at ang direksyon nito
,
(10)
Pagtukoy ng bilis gamit ang natural na pamamaraan
mga gawain sa paggalaw
Hayaang ibigay ang trajectory ng isang materyal na punto at ang batas ng pagbabago ng curvilinear coordinate. Kumbaga, sa t 1 puntos ay nagkaroon 
at ang coordinate s 1 , at sa t 2 – coordinate s 2. Sa panahon ng
ang coordinate ay nadagdagan 
, pagkatapos ay ang average na bilis ng punto
.
Upang mahanap ang bilis sa isang partikular na oras, pumunta tayo sa limitasyon
,
.
(12)
Ang velocity vector ng isang punto sa natural na paraan ng pagtukoy ng paggalaw ay tinukoy bilang ang unang beses na derivative ng curvilinear coordinate.
Pagpapabilis ng punto
Sa ilalim ng acceleration ng isang materyal na punto maunawaan ang dami ng vector na nagpapakilala sa rate ng pagbabago sa velocity vector ng isang punto sa magnitude at direksyon sa paglipas ng panahon.
Pagpapabilis ng isang punto gamit ang paraan ng vector ng pagtukoy ng paggalaw
Isaalang-alang ang isang punto sa dalawang punto sa oras t 1
(
) At t 2
(
), Pagkatapos 
- pagtaas ng oras, 
- pagtaas ng bilis.
Vector 
palaging namamalagi sa eroplano ng paggalaw at nakadirekta patungo sa kalungkutan ng tilapon.
P 
od average na acceleration ng isang punto habang
t
unawain ang magnitude
.
(13)
Upang mahanap ang acceleration sa isang partikular na oras, pumunta tayo sa limitasyon
,
.
(14)
Ang acceleration ng isang punto sa isang partikular na oras ay tinukoy bilang ang pangalawang derivative na may kinalaman sa oras ng radius vector ng punto o ang unang derivative ng velocity vector na may kinalaman sa oras.
Ang acceleration vector ay matatagpuan sa contacting plane at nakadirekta patungo sa concavity ng trajectory.
Pagpapabilis ng isang punto gamit ang coordinate na paraan ng pagtukoy ng paggalaw
Gamitin natin ang equation para sa koneksyon sa pagitan ng vector at coordinate na mga pamamaraan ng pagtukoy ng paggalaw
At kunin natin ang pangalawang derivative mula dito
,
.
(15)
Sa equation (15) para sa mga unit vector mayroong mga projection ng acceleration vector papunta sa mga coordinate axes
.
(16)
Ang mga pagpapabilis na projection papunta sa mga coordinate ax ay tinukoy bilang ang mga unang derivative na may paggalang sa oras mula sa mga projection ng bilis o bilang ang pangalawang derivative ng mga kaukulang coordinate na may kinalaman sa oras.
Ang magnitude at direksyon ng acceleration vector ay matatagpuan gamit ang mga sumusunod na expression
,
(17)
,
,
.
(18)
Pagpapabilis ng isang punto gamit ang natural na paraan ng pagtukoy ng paggalaw
P 
Hayaang lumipat ang punto sa isang hubog na landas. Isaalang-alang natin ang dalawang posisyon nito sa mga sandali ng panahon t
(s, M, v) At t 1
(s 1, M 1, v 1).
Sa kasong ito, ang acceleration ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga projection nito sa mga axes ng natural na coordinate system na gumagalaw kasama ang point M. Ang mga axes ay nakadirekta bilang mga sumusunod:
M - padaplis, nakadirekta kasama ang padaplis sa tilapon, patungo sa positibong sanggunian sa distansya,
M n– pangunahing normal, nakadirekta kasama ang normal na nakahiga sa contacting plane, at nakadirekta patungo sa concavity ng trajectory,
M b– binormal, patayo sa eroplanong M n at bumubuo ng right-hand triple gamit ang mga unang palakol.
Dahil ang acceleration vector ay nasa touching plane, kung gayon a b = 0. Hanapin natin ang mga projection ng acceleration sa iba pang mga axes.
.
(19)
I-project natin ang (19) sa coordinate axes
,
(20)
.
(21)
Gumuhit tayo sa point M 1 axes na kahanay sa mga axes sa point M at hanapin ang velocity projection:
saan - ang tinatawag na anggulo ng adjacency.
Palitan ang (22) sa (20)
.
Sa t 0 0, cos 1 pagkatapos
.
(23)
Ang tangential acceleration ng isang punto ay tinutukoy ng unang beses na derivative ng velocity o ang pangalawang beses na derivative ng curvilinear coordinate.
Tinutukoy ng tangential acceleration ang pagbabago sa velocity vector sa magnitude.
I-substitute natin ang (22) sa (21)
.
I-multiply ang numerator at denominator sa s upang malaman ang mga limitasyon
saan 
(ang unang kahanga-hangang limitasyon),
,
,
, Saan
- radius ng curvature ng trajectory.
Ang pagpapalit ng mga kinakalkula na limitasyon sa (24), makuha namin
.
(25)
Ang normal na acceleration ng isang punto ay tinutukoy ng ratio ng square ng velocity sa radius ng curvature ng trajectory sa isang naibigay na punto.
Ang normal na acceleration ay nagpapakita ng pagbabago sa velocity vector sa direksyon at palaging nakadirekta patungo sa concavity ng trajectory.
Sa wakas, nakuha namin ang mga projection ng acceleration ng materyal na punto sa axis ng natural na coordinate system at ang magnitude ng vector.
,
(26)
.
(27)
