Kapag nagdaragdag ng minus sa pamamagitan ng minus kung ano ang nagbibigay. Lagdaan ang mga panuntunan para sa pagpaparami at pagdaragdag

"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan"

Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one? Bakit ang minus one times plus one ay katumbas ng minus one? Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natututuhan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.

Noong unang panahon, ang mga natural na numero lamang ang alam ng mga tao: Ginagamit ang mga ito sa pagbilang ng mga kagamitan, biktima, kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero sa kanilang sarili ay sa halip ay walang silbi - kailangan mong mahawakan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, bukod sa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na numero din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay, sa katunayan, ang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang dami sa isa pa, ngunit dito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.

Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang kasangkapan lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi katulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nanatili sa napakahabang panahon, at maging si Descartes - isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika - ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).

Kunin natin ang equation bilang isang halimbawa. Maaari itong malutas tulad nito: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas , , . Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.

Ngunit maaari itong gawin sa ibang paraan kung nagkataon: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin ang , . Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: . Ngunit ang tamang sagot ay alam na, at ito ay nananatiling concluded na .

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, ang lohika na tumutukoy sa mga panuntunan para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay nagiging malinaw: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may malaking bilang ng mga termino) na paghahanap para sa landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa mga natural na numero. Higit pa rito, hindi na natin maiisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga dami na kino-convert - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.

Ang mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring kondisyon na nahahati sa mga yugto: ang bawat susunod na yugto ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction sa pag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, para sa lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba-iba, ay may maraming pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas, at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa, upang ang resulta ay muling integer, ay hindi laging posible. Ang parehong ay totoo para sa polynomials.

Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga koleksyon ng mga bagay sa matematika kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal na serye ng kapangyarihan, tuluy-tuloy na pag-andar ... Sa wakas, dumating ang pag-unawa na kung pag-aralan mo ang mga katangian ng mga operasyon mismo, kung gayon ang mga resulta ay maaaring mailapat sa lahat ng ito. mga koleksyon ng mga bagay (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).

Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: ang singsing. Isa lang itong grupo ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing patakaran dito ay ang mga patakaran lamang (tinatawag silang mga axiom), na napapailalim sa mga aksyon, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, isang bagong antas ng abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: ang singsing ng mga integer, ang singsing ng polynomial, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.

Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, katulad ng mga patakaran para sa mga operasyon na may mga integer), at pagkatapos ay patunayan namin na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay nagreresulta sa isang plus.

Ang singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, dalawang elemento ng singsing ang kasangkot sa bawat operasyon), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng pagpaparami upang maging permutable, at hindi rin ito mababaligtad (iyon ay, hindi laging posible na hatiin), o ang pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento na may paggalang sa pagpaparami. Kung ang mga axiom na ito ay ipinakilala, kung gayon ang iba pang mga istrukturang algebraic ay nakuha, ngunit ang lahat ng mga theorems na pinatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.

Ngayon pinatunayan namin na para sa anumang mga elemento at isang arbitrary na singsing, una, at pangalawa, . Mula dito, madaling sumunod ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: at .

Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming patunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang isang elemento na magkaroon ng dalawang magkasalungat: at . Yan ay . Isaalang-alang natin ang kabuuan. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang ari-arian ng zero, nakukuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng. Ibig sabihin, .

Tandaan ngayon na ang at , at ay kabaligtaran ng parehong elemento , kaya dapat silang pantay.

Ang unang katotohanan ay nakuha tulad ng sumusunod: , iyon ay, kabaligtaran sa , na nangangahulugang ito ay katumbas ng .

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag din natin kung bakit para sa anumang elemento . Sa katunayan, . Ibig sabihin, hindi binabago ng karagdagan ang kabuuan. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.

Evgeny Epifanov
"Mga elemento"

Mga komento: 0

Jacques Cesiano

Nagkaroon ng tatlong mahahalagang pagpapalawak ng numerical domain sa dalawang millennia. Una, mga 450 B.C. pinatunayan ng mga siyentipiko ng paaralan ng Pythagoras ang pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero. Ang kanilang paunang layunin ay ang numerong ipahayag ang dayagonal ng unit square. Pangalawa, sa mga siglong XIII-XV, ang mga siyentipikong Europeo, na naglutas ng mga sistema ng mga linear na equation, ay umamin sa posibilidad ng isang negatibong solusyon. At pangatlo, noong 1572 ang Italian algebraist na si Raphael Bombelli ay gumamit ng mga kumplikadong numero upang makakuha ng tunay na solusyon sa isang partikular na cubic equation.

Proskuryakov I.V.

Ang layunin ng aklat na ito ay mahigpit na tukuyin ang mga numero, polynomial, at algebraic fraction at bigyang-katwiran ang kanilang mga katangian na kilala na mula sa paaralan, at hindi upang ipakilala ang mambabasa sa mga bagong katangian. Samakatuwid, ang mambabasa ay hindi makakahanap dito ng mga bagong katotohanan para sa kanya (maliban sa ilang mga pag-aari, totoo at kumplikadong mga numero), ngunit malalaman niya kung paano napatunayan ang mga bagay na kilala sa kanya, simula sa "dalawang beses dalawa - apat" at nagtatapos sa mga alituntunin ng mga operasyon na may mga polynomial at algebraic fraction. Sa kabilang banda, makikilala ng mambabasa ang ilang pangkalahatang konsepto na gumaganap ng pangunahing papel sa algebra.

Ilya Shchurov

Mathematician na si Ilya Shchurov tungkol sa mga decimal fraction, transcendence at irrationality ng Pi.

Leon Takhtajyan

Ito ay magiging apat na maikling kwento. Magsisimula tayo sa mga numero, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paggalaw, tungkol sa pagbabago, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga hugis at sukat, at pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa simula at wakas. Sa ganoong medyo naka-encrypt na istilo, susubukan naming tingnan ang matematika mula sa loob at labas, at tiyak bilang isang bagay. Kung ano ang iniisip ng mga mathematician at kung ano ang kanilang nabubuhay - maaari nating pag-usapan ito mamaya.

Vladlen Timorin

Mathematician na si Vladlen Timorin sa mga bentahe ng kumplikadong mga numero, Hamilton quaternions, walong-dimensional na mga numero ng Cayley at ang iba't ibang mga numero sa geometry.

Jacques Cesiano

Kaunti lang ang alam natin tungkol kay Diophantus. Sa Alexandria daw siya nakatira. Walang Greek mathematician ang nagbanggit sa kanya bago ang ika-4 na siglo, kaya malamang na nabuhay siya sa kalagitnaan ng ika-3 siglo. Ang pinakamahalagang gawain ni Diophantus, "Arithmetic" (Ἀριθμητικά), ay naganap sa simula ng 13 "libro" (βιβλία), iyon ay, mga kabanata. Mayroon tayong 10 sa kanila ngayon, katulad ng: 6 sa tekstong Griyego at 4 na iba pa sa pagsasalin sa medieval na Arabic, na ang lugar ay nasa gitna ng mga aklat na Griyego: mga aklat I-III sa Griyego, IV-VII sa Arabic, VIII-X sa Griyego. Ang "Arithmetic" ng Diophantus ay pangunahing koleksyon ng mga problema, mga 260 sa kabuuan. Sa totoo lang, walang teorya; mayroon lamang mga pangkalahatang tagubilin sa pagpapakilala ng aklat, at mga tiyak na pangungusap sa ilang mga problema kung kinakailangan. Ang "Arithmetic" ay mayroon nang mga katangian ng isang algebraic treatise. Una, gumagamit si Diophantus ng iba't ibang mga palatandaan upang ipahayag ang hindi alam at ang mga antas nito, pati na rin ang ilang mga kalkulasyon; tulad ng lahat ng simbolismong algebra ng Middle Ages, ang simbolismo nito ay nagmula sa mga salitang matematika. Pagkatapos, ipinaliwanag ni Diophantus kung paano lutasin ang problema sa isang algebraic na paraan. Ngunit ang mga problema ni Diophantine ay hindi algebraic sa karaniwang kahulugan, dahil halos lahat ng mga ito ay nabawasan sa paglutas ng isang hindi tiyak na equation o mga sistema ng naturang mga equation.

Ang mundo ng matematika ay hindi maiisip kung wala ang mga ito - walang mga pangunahing numero. Ano ang mga pangunahing numero, ano ang espesyal sa kanila, at ano ang kahalagahan ng mga ito sa pang-araw-araw na buhay? Sa pelikulang ito, ibubunyag ng propesor sa matematika ng Britanya na si Marcus du Sotoy ang sikreto ng mga prime numbers.

George Shabat

Sa paaralan, lahat tayo ay nakikintal sa maling ideya na sa hanay ng mga makatwirang numero Q mayroong isang natatanging natural na distansya (ang modulus ng pagkakaiba), kung saan ang lahat ng mga operasyon ng aritmetika ay tuluy-tuloy. Gayunpaman, mayroon ding isang walang katapusang bilang ng mga distansya, ang tinatawag na mga p-adic, isa para sa bawat bilang na p. Ayon sa teorama ni Ostrovskii, ang "ordinaryong" distansya, kasama ang lahat ng p-adic na distansya, ay talagang nauubos ang lahat ng makatwirang mga distansya T. Ang terminong adele democracy ay ipinakilala ni Yu. I. Manin. Ayon sa prinsipyo ng adele democracy, ang lahat ng makatwirang distansya sa Q ay pantay-pantay bago ang mga batas ng matematika (marahil ang tradisyonal na "slightly = bahagyang mas pantay ...". Ang kurso ay magpapakilala ng adele ring na nagpapahintulot sa iyo na magtrabaho kasama ang lahat. ang mga distansyang ito nang sabay-sabay.

Vladimir Arnold

Pinatunayan ni JL Lagrange na ang isang sequence ng mga hindi kumpletong quotient (nagsisimula sa ilang lugar) ay panaka-nakang kung at kung ang numerong x ay isang quadratic irrationality. Pinatunayan ni R. O. Kuzmin na sa isang pagkakasunud-sunod ng mga hindi kumpletong quotient ng halos anumang tunay na numero, ang proporsyon d_m katumbas ng m hindi kumpletong quotient ay pareho (para sa mga tipikal na tunay na numero). Ang fraction d_m ay bumababa bilang m→∞ bilang 1/m^2 at ang halaga nito ay hinulaan ni Gauss (na walang napatunayan). Ipinagpalagay ni V.I. Arnolda (20 taon na ang nakakaraan) na ang Gauss–Kuzmin statistic d_m ay nagtataglay din para sa mga panahon ng patuloy na mga fraction ng mga ugat ng quadratic equation x^2+px+q=0 (na may integer p at q): kung sabay tayong sumulat ang mga hindi kumpletong quotient , na bumubuo sa mga panahon ng lahat ng patuloy na mga fraction ng mga ugat ng naturang mga equation na may p^2+q^2≤R^2, kung gayon ang fraction ng hindi kumpletong quotient m sa mga ito ay may posibilidad sa bilang na d_m bilang R→ ∞. Pinatunayan kamakailan ni V. A. Bykovsky at ng kanyang mga estudyante mula sa Khabarovsk ang matagal nang hypothesis na ito. Sa kabila nito, ang tanong tungkol sa mga istatistika ng hindi mga titik, ngunit mga salita na binubuo ng mga ito, na mga panahon ng patuloy na mga fraction ng anumang mga ugat x ng mga equation na x^2+px+q=0, ay malayong malutas.

Reid Miles

Iniiwan ko ang pamagat at abstract bilang malabo hangga't maaari, upang mapag-usapan ko kung ano man ang nararamdaman ko sa araw na iyon. Maraming mga uri ng interes sa pag-uuri ng mga varieties ay nakuha bilang Spec o Proj ng isang Gorenstein ring. Sa codimension ⩽3, ang kilalang teorya ng istraktura ay nagbibigay ng mga tahasang pamamaraan ng pagkalkula gamit ang mga singsing na Gorenstein. Sa kaibahan, walang magagamit na teorya ng istraktura para sa mga singsing ng codimension ⩾4. Gayunpaman, sa maraming kaso, ang projection ng Gorenstein (at ang kabaligtaran nito, Kustin–Miller unprojection) ay nagbibigay ng mga paraan ng pag-atake sa mga singsing na ito. Nalalapat ang mga pamamaraang ito sa mga sporadic na klase ng canonical ring ng mga regular na algebraic surface, at sa mas sistematikong mga konstruksyon ng Q-Fano 3-folds, Sarkisov links sa pagitan ng mga ito, at ang 3-folds flips ng Type A ng Mori theory.

Bakit ang isang minus na beses sa isang minus ay katumbas ng isang plus?

- (1 stick) - (2 sticks) = ((1 stick)+(2 sticks))= 2 sticks (At dalawang sticks ay + dahil may 2 sticks sa poste)))

Ang minus times a minus ay nagbibigay ng plus dahil ito ay isang tuntunin ng paaralan. Sa ngayon, walang eksaktong sagot kung bakit, sa aking opinyon. Ito ang tuntunin at ito ay umiikot sa loob ng maraming taon. Kailangan mo lamang tandaan ang isang sliver para sa isang sliver ay nagbibigay ng clothespin.

Mula sa kursong matematika ng paaralan, alam natin na ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus. Mayroon ding pinasimple at mapaglarong paliwanag ng panuntunang ito: ang minus ay isang linya, ang dalawang minus ay dalawang linya, plus binubuo lamang ng 2 linya. Samakatuwid, ang minus na beses na minus ay nagbibigay ng plus sign.

Sa tingin ko kaya: minus ay isang stick magdagdag ng isa pang minus stick - pagkatapos ay makakakuha ka ng dalawang stick, at kung ikinonekta mo ang mga ito nang crosswise, pagkatapos ay ang sign na + quot ; ay matututo, ito ay kung paano ko sinabi ang aking opinyon sa tanong: minus minus mga petsa plus.

Ang isang minus na beses ang isang minus ay hindi palaging nagbibigay ng isang plus, kahit na sa matematika. Ngunit karaniwang, inihambing ko ang pahayag na ito sa matematika, kung saan ito ay madalas na matatagpuan. Sinasabi rin nila na nag-knock out sila ng scrap gamit ang crowbar - ito ay nauugnay din sa anumang mga minus.

Isipin na humiram ka ng 100 rubles. Ngayon ang iyong account: -100 rubles. Pagkatapos ay binayaran mo ang utang na ito. Kaya lumalabas na binawasan mo (-) ang iyong utang (-100) sa parehong halaga ng pera. Nakukuha namin ang: -100-(-100)=0

Ang minus ay nagpapahiwatig ng kabaligtaran: ang kabaligtaran ng 5 ay -5. Ngunit ang -(-5) ay ang bilang na kabaligtaran ng kabaligtaran, i.e. 5.

Tulad ng sa isang biro:

1st - Nasaan ang tapat ng kalye?

2nd - sa kabilang panig

1st - at sinabi nila na tungkol dito ...

Isipin ang isang timbangan na may dalawang mangkok. Ang katotohanan na sa kanang mangkok ay laging may plus sign, sa kaliwang mangkok - minus. Ngayon, ang pagpaparami sa isang numero na may plus sign ay nangangahulugan na ito ay nangyayari sa parehong mangkok, at ang pagpaparami sa isang numero na may minus sign ay nangangahulugan na ang resulta ay dadalhin sa isa pang mangkok. Mga halimbawa. Pinaparami namin ang 5 mansanas sa 2. Nakakuha kami ng 10 mansanas sa kanang mangkok. Nag-multiply kami - 5 mansanas sa pamamagitan ng 2, nakakakuha kami ng 10 mansanas sa kaliwang mangkok, iyon ay -10. Ngayon i-multiply ang -5 sa -2. Nangangahulugan ito ng 5 mansanas sa kaliwang mangkok na pinarami ng 2 at inilipat sa kanang mangkok, iyon ay, ang sagot ay 10. Kapansin-pansin, ang pagpaparami ng plus sa pamamagitan ng minus, iyon ay, ang mga mansanas sa kanang mangkok, ay may negatibong resulta, iyon ay, ang mga mansanas ay pumunta sa kaliwa. At ang pagpaparami ng minus na kaliwang mansanas sa pamamagitan ng plus ay iniiwan ang mga ito sa minus, sa kaliwang mangkok.

Sa tingin ko ito ay maipapakita sa sumusunod na paraan. Kung maglagay ka ng limang mansanas sa limang basket, magkakaroon ng 25 mansanas sa kabuuan. Sa mga basket. At minus limang mansanas ay nangangahulugan na hindi ko ito iniulat, ngunit kinuha ang mga ito mula sa bawat isa sa limang basket. at ito ay naging parehong 25 mansanas, ngunit hindi sa mga basket. Samakatuwid, ang mga basket ay pumunta bilang isang minus.

Maaari mo ring ipakita ito nang napakahusay sa sumusunod na halimbawa. Kung ang iyong bahay ay nasusunog, iyon ay isang minus. Ngunit kung nakalimutan mong patayin ang gripo sa paliguan, at nagsimula kang baha, kung gayon ito ay isang minus din. Ngunit ito ay hiwalay. Ngunit kung ang lahat ay nangyari sa parehong oras, pagkatapos ay ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng isang plus, at ang iyong apartment ay may pagkakataon na mabuhay.

1) Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one?
2) Bakit katumbas ng minus one ang minus one plus one?

"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan."

Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natututuhan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.

Noong unang panahon, natural na mga numero lamang ang alam ng mga tao: 1, 2, 3, ... Ginamit ang mga ito sa pagbilang ng mga kagamitan, biktima, kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay medyo walang silbi - kailangan mong mahawakan sila. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, at bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay, sa katunayan, ang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang dami sa isa pa, ngunit dito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag ng isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.

Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang kasangkapan lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi katulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes, isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika, ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).

Isaalang-alang, halimbawa, ang equation 7x - 17 = 2x - 2. Maaari itong malutas tulad nito: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.

Ngunit ang isa ay maaaring hindi sinasadyang gawin ito sa ibang paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (-15)/(-5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling concluded na (-15)/(-5) = 3 .

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, nagiging malinaw ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may malaking bilang ng mga termino) na paghahanap para sa landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa mga natural na numero. Higit pa rito, hindi na natin maiisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga dami na kino-convert - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.

Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: singsing. Isa lang itong grupo ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing tuntunin dito ay mga panuntunan lamang (tinatawag silang mga axiom) kung saan ang mga aksyon ay napapailalim, hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, isang bagong antas ng abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: ang singsing ng mga integer, ang singsing ng polynomial, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.

singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, dalawang elemento ng singsing ang kasangkot sa bawat operasyon), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay sumusunod sa commutative ( A + B = B + A para sa anumang elemento A at B) at nag-uugnay ( A + (B + C) = (A + B) + C) mga batas; ang singsing ay naglalaman ng isang espesyal na elemento 0 (isang neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan) tulad na A + 0 = A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinutukoy (-A)), Ano A + (-A) = 0 ;
Ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A (B C) = (A B) C ;
Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na panuntunan sa pagpapalawak ng panaklong: (A + B) C = A C + B C at A (B + C) = A B + A C .

Pansinin namin na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng multiplikasyon upang maging permutable, at hindi rin ito mababaligtad (iyon ay, hindi laging posible na hatiin), at hindi rin nangangailangan ng pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento na may paggalang sa pagpaparami. Kung ang mga axiom na ito ay ipinakilala, kung gayon ang iba pang mga istrukturang algebraic ay nakuha, ngunit ang lahat ng mga theorems na pinatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.

Pinatunayan namin ngayon iyon para sa anumang mga elemento A at B totoo ang arbitrary ring, una, (-A) B = -(A B), at pangalawa (-(-A)) = A. Mula dito, madaling sundin ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: (-1) 1 = -(1 1) = -1 at (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming patunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elemento A may dalawang magkasalungat: B at MULA SA. Yan ay A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang ang kabuuan A+B+C. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang pag-aari ng zero, nakuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ibig sabihin, B=C .

Pansinin natin ngayon iyon A, at (-(-A)) ay kabaligtaran ng parehong elemento (-A), kaya dapat pantay-pantay sila.

Ang unang katotohanan ay ganito: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yan ay (-A)B kabaligtaran A B, kaya ito ay katumbas ng -(A B) .

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag natin kung bakit 0 B = 0 para sa anumang elemento B. talaga, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Iyon ay, ang karagdagan 0 B hindi nagbabago ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Evgeny Epifanov, Earth (Sol III).

Talaga, bakit? Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natututuhan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Naalala namin - iyon lang, at hindi na nagtatanong.

At itanong natin...

Ang pagbabawas, siyempre, ay kailangang-kailangan din. Ngunit sa pagsasagawa, malamang na ibawas natin ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 kendi at bibigyan ko ng 3 ang aking kapatid na babae, magkakaroon ako ng 5 - 3 = 2 kendi, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng 7 kendi nang buong pagnanais.) Maipaliwanag nito kung bakit hindi gumamit ng mga negatibong numero ang mga tao sa mahabang panahon.

Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang kasangkapan lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi katulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes, isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika, ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).

Isaalang-alang halimbawa ang equation 7x - 17 \u003d 2x - 2. Maaari itong malutas tulad ng sumusunod: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, makakakuha ka ng 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Sa pamamagitan nito Hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero sa solusyon.

Ngunit maaari itong gawin sa ibang paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at makakuha ng 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (-15)/(-5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling concluded na (-15)/(-5) = 3.

Ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay sumusunod sa commutative (A + B = B + A para sa anumang elemento A at B) at combinational (A + (B + C) = (A + B) + C) na mga batas; ang singsing ay may isang espesyal na elemento 0 (isang neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan) na ang A + 0 = A, at para sa anumang elemento ng A mayroong isang kabaligtaran na elemento (na tinukoy (-A)) na ang A + (-A) = 0 ;
- ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A (B C) = (A B) C;
Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa sumusunod na mga panuntunan sa pagpapalawak ng bracket: (A + B) C = A C + B C at A (B + C) = A B + A C.

Ngayon patunayan natin na para sa anumang elemento A at B ng isang arbitrary na singsing, una, (-A) B = -(A B), at pangalawa (-(-A)) = A. Madali itong nagpapahiwatig ng mga pahayag tungkol sa mga yunit: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 at (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming patunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elementong A na magkaroon ng dalawang magkasalungat: B at C. Ibig sabihin, A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang ang kabuuan A + B + C. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang ari-arian ng zero, tayo makuha iyon, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Samakatuwid, B = C.

Tandaan ngayon na ang parehong A at (-(-A)) ay magkasalungat ng parehong elemento (-A), kaya dapat silang pantay.

Ang unang katotohanan ay nakuha tulad ng sumusunod: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, iyon ay, (-A) B ay kabaligtaran ng A B, kaya ito ay katumbas ng - (A B).

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag din natin kung bakit 0·B = 0 para sa anumang elemento ng B. Sa katunayan, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Iyon ay, ang pagdaragdag ng 0 B ay hindi nagbabago sa kabuuan. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Evgeny Epifanov

Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang mga tao ang sumusubok na pumunta sa ibaba at alamin kung bakit ang "minus" hanggang "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibo ang lalabas.

Mga Batas ng Matematika

Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi makapagpaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Lubusan nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang nila sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain, kailangan nilang makarating sa ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin nating, bakit ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga matatanda ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nagkakaroon ng problema ...

Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng isang negatibo at isang positibong numero ay magbibigay lamang ng "minus". Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang digit na may "-" sign, ang resulta ay isang positibong numero. Ang parehong naaangkop sa paghahati. Kung ang isa sa mga ang mga numero ay negatibo, pagkatapos ang quotient ay magkakaroon din ng sign na "-" ".

Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, kaugalian na tawagan ang isang singsing na isang set kung saan ang dalawang operasyon na may dalawang elemento ay kasangkot. Ngunit ito ay mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.

Ring axiom

Mayroong ilang mga batas sa matematika.

Ang una sa kanila ay displaceable, ayon sa kanya, C + V = V + C.
Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).

Ang multiplikasyon (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.

Walang nagkansela ng mga panuntunan kung saan binubuksan ang mga bracket (V + C) x D = V x D + C x D, totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.

Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipakilala sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.

Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero

Sa pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong: ""Plus" sa "minus" ay nagbibigay ng anong senyales? Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.

Upang gawin ito, kailangan muna nating patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay may isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na ang dalawang numero ay magkasalungat para sa C - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng displacement at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Kaya, V = V + C + D.

Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.

Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), ang kabaligtaran ay C at (-(-C)), iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.

Pagkatapos ay halata na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Ito ay sumusunod mula dito na ang C x V ay kabaligtaran ng (-) C x V , na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).

Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produkto na 0 x V ay hindi nagbabago sa itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Ang pag-alam sa lahat ng mga axiom na ito, ang isang tao ay maaaring mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" ng "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag ang mga negatibong numero ay pinarami.

Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may sign na "-".

Kung hindi mo malalaman ang mga nuances sa matematika, maaari mong subukang ipaliwanag ang mga patakaran ng pagkilos na may mga negatibong numero sa mas simpleng paraan.

Ipagpalagay na ang C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Iyon ay, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.

(-C) x (-V) \u003d D, dalawang magkaparehong produkto ang maaaring idagdag at ibawas sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Ito ay sumusunod mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).

Katulad nito, maaari nating patunayan na ang resulta ng paghahati ng dalawang negatibong numero ay magiging positibo.

Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika

Siyempre, ang ganitong paliwanag ay hindi angkop para sa mga mag-aaral sa elementarya na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mainam para sa kanila na magpaliwanag sa mga nakikitang bagay, manipulahin ang pamilyar na termino sa pamamagitan ng salamin. Halimbawa, imbento, ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na may salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na katumbas sa kasalukuyan, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resultang pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi nagsisikap nang husto upang bungkalin ang lahat ng mga nuances sa matematika.

Bagaman, kung haharapin mo ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na may mas mataas na edukasyon, maraming mga patakaran ang nananatiling isang misteryo. Ang bawat tao'y tumatagal para sa ipinagkaloob kung ano ang kanilang mga guro na itinuturo sa kanila, hindi sa kawalan upang bungkalin ang lahat ng mga kumplikado na ang matematika ay puno ng. Ang "Minus" sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat ang tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at fractional na numero.

Pansin, NGAYON lang!

Mga Paraan ng Pag-uuri sa Programming: Bubble Sort

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Mga Batas ng Matematika

Ring axiom

Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero

Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may sign na "-".

Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO